3.1 A partícula não-relativística sem estrutura interna

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1 3. A partícua não-reatiística sem estrutura interna O eitor interessado nas eis fundamentais da física pode taez ficar decepcionado com uma aproximação não-reatiística. Mas a mecânica quântica não-reatiística fornece resutados importantes na física atômica, moecuar e de estado sóido. Não seria prudente descreer estas áreas da física a partir de uma teoria reatiística. Isto porque a teoria reatiística apresenta uma série de probemas difíceis. Para muitos fenômenos é mais fáci começar com uma descrição não-reatiística e acrescentar correções depois. Aém disso, teremos a oportunidade de aprender certos conceitos no caso nãoreatiístico. Vamos então adotar uma descrição do espaço-tempo ta que a simutaneidade seria souta e a transformação de coordenadas de um referencia inercia para outro seria dada peas transformações de Gaieu. Se queremos estudar a mecânica quântica de uma partícua temos que definir o que queremos dizer com a paara partícua. Cassicamente temos uma noção intuitia de partícua. Mas como o mundo quântico é tão diferente do mundo cássico esta intuição ajuda pouco para montar a teoria quântica da partícua. O que caracteriza um dado sistema físico? De fato é até difíci de dizer o que é um sistema físico. Me parece que o conjunto de obseráeis que podem ser medidos com o sistema são parte da caracterização. Então se queremos dizer o que é uma partícua temos que dizer que grandezas podem ser medidas numa partícua. A grandeza mais óbia que pode ser medida numa partícua é a posição da mesma. Então temos a seguinte caracterização: uma partícua é um sistema físico que permite medir o obseráe posição. Perfeito, - mas, aparentemente só transferimos o probema para outro ugar: agora temos que definir o que queremos dizer com posição. A definição de posição pode ser dada com a ajuda das simetrias cinemáticas. Quando submetermos tanto os obseráeis como os estados à simetria os resutados experimentais não sofrem ateração. Mas quando submetermos somente os obseráeis à simetria teremos aterações dos resutados e justamente estas aterações podem ser usadas para caracterizar certos obseráeis. Nas secções anteriores ficou bastante caro que um obseráe não é um operador no espaço de Hibert, mas que o operador é apenas uma representação do obseráe. Mas na presente secção não mudaremos a representação e amos permitir uma inguagem menos precisa e faar de obseráeis A, B, C... usando os símboos dos operadores. O eitor será que se trata na erdade dos obseráeis representados peos operadores A, B, C.... A definição de posição não será uma definição escrita em uma inha, mas amos juntar árias propriedades que juntos definem o obseráe posição: A posição é um obseráe tridimensiona que, com escoha de uma base ortonorma direita eˆ ˆ ˆ, e, e 3 compreende três obseráeis comesuráeis X, X, X unidimensionais, formando as componentes na base, e que tomam aores no espaçoaor de distâncias espaciais. Na casse de equiaência dos aparatos ou processos físicos existem aparatos cujos etores marcantes no chassi não dependem do tempo. 57

2 3 Existe um grupo de simetrias cinemáticas que atuam sobre a posição como transações, isto é, ees atuam sobre os aparatos que medem X, X, X como desocamentos físicos no oratório. 4 O efeito que estas simetrias têm na ação sobre os ( = X θ θ θ X, X, X é dada pea fórmua TX T (3.. 5 Existe um grupo de simetrias cinemáticas que atuam sobre a posição como rotações. 6 O efeito que estas simetrias têm na ação sobre os X, X, X é dada pea fórmua ( R - R X R = X (3.. Fata ainda um aspecto importante na caracterização dos obseráeis X : temos que definir o instante da medida. Esta definição fará uso de mais uma simetria cinemática, cuja ação sobre os X consiste na substituição dos aparatos que medem os X por aparatos com a mesma estrutura interna, o mesmos instante marcante t M mas que diferem dos originais peo estado de moimento. Chamaremos uma substituição de um obseráe E, r A, r B, r C, tm que tinha pontos marcantes ra, rb, rc independentes do temos por + ( + ( + ( ra t t, rb t t, rc t t, t E, M um boost com eocidade e instante isooca t. Com esta noção podemos acrescentar mais duas condições na definição de posição: 7 Existe um grupo de simetrias cinemáticas que atuam sobre a posição como boosts. 8 Obseráeis X, X, X que cumprem as condições 7 são de posição no instante t, se os boosts com instante isooca t deixarem os X, X, X inaterdos: ( ( ( ( = ( B t X t B t X t (3..3 As exigências 8 definem o obseráe posição. Uma ez que definimos o instante de medida deemos botar o indicador do instante de t também nas equações (3.. e (3... Escreendo, por exempo, a medida ( (3.. para uma transação infinitesima θ obtemos a definição do momento inear da partícua no instante t : ( ( ( ( ( ( ip t θ X t + ip t θ = X t θ (3..4 Na erdade esta equação sozinha não define ainda os momentos ineares no instante t. X t, X t, X 3 t não formam um conjunto irredutíe de Isto porque os ( ( ( obseráeis. Mais tarde teremos que acrescentar o comportamento de outros obseráeis sob transações para definir os momentos ineares competamente. Os momentos anguares associados aos pontos 5 e 6 da definição de posição também dependerão do tempo. Vamos representar a partícua no espaço de Hibert de ta forma que o estado, uma ez preparado seja representado por um operador densidade ρ independente do tempo. 58

3 Esta representação é chamada de representação de Heisenberg. Os três componentes da X t, X t, X 3 t dependentes posição seriam então representados por operadores ( ( ( do tempo. Com estas funções aor-operador podemos definir operadores de eocidade como deriadas: Os operadores ( t X dx ( t V ( t = = X ( t (3..5 def. dt são auto-adjuntos e podem representar obseráeis. Mas infeizmente não temos nenhuma prescrição ou indicação como seria a estrutura de um medidor de eocidade da mecânica quântica. A definição operaciona de eocidade da mecânica cássica não sere para uma partícua quântica. A prescrição cássica preê duas medidas de posição em instantes t e t + ε. Quanticamente a medida no instante t destrói o estado de modo que a medida no instante t + ε não teria sentido. O procedimento cássico pode, no entanto, ser apicado num ensembe. Imagine que preparamos N ezes a partícua no mesmo estado. Em N/ exempares medimos a posição no instante t, Nos demais exempares medimos no instante t + ε. Desta forma a destruição do estado pea medida no instante t não afeta as medidas no instante t + ε porque estas seriam feitas com outros exempares. Infeizmente este tipo de medida num ensembe não corresponde à medida de um obseráe! A medida de um obseráe dee ser feita num exempar de sistema dando um resutado. Mas esta medida em ensembe peo menos pode ser usado para identificar um mediror de eocidade. Suponha que agum físico experimenta genia conseguiu construir um medidor do obseráe eocidade. Podemos reconhecer este medidor da seguinte forma: preparamos um ensembe de sistemas num estado ρ, Numa parte destes sistemas medimos com o ta medidor obtendo aores indiiduais, das quais podemos formar médias;. Numa outra parte medimos aores médios de posição para diersos instantes. Destas útimas podemos determinar a deriada tempora. Se o medidor do físico experimenta genia for mesmo um medidos de eocidade deemos encontrar d X dt Isto dee aer para todos os estados. A erificação experimenta da fórmua (3..6 seria o teste para proar que o aparato mede de fato o obseráe eocidade. V = (3..6 O Professor Jens Mund tem propostas concretas como se pode impementar um medidor de eocidade e este assunto é interessante. Mas para o presente probema não precisamos conhecer os detahes de um medidor de eocidade. Basta que tenhamos o critério (3..6 para reconhece-o. O que precisamos ser é como o ( t Seja ε um apso de tempo infinitesima. Podemos escreer e com a (3..3 X é aterado por um boost no instante X ( t = { X ( t + ε X ( t } (3..7 ε { } ( ( ( ( ( ( ( ( t t t B X B = B t X t + ε B t X ( t ε (3..8 t. 59

4 Se apicarmos um boost no instante t + ε a um medidor de posição no instante t + ε os etores posição das marcas r, r, r no chassi sofrem a seguinte ateração ABC A B C r r + t t ε (3..9 ABC ( Se apicarmos em seguida uma transação no instante t + ε com etor desocamento r + t t, então como se tiéssemos feito um boost ε as arcas focam em ( ABC com instante isooca t. Então podemos escreer o termo subinhado da fórmua (3..8 da seguinte forma: ( ( t ( t ( t B X + ε B = ( ( ( ( ( ( ε ( t t t t ε t = T + ε B + ε X + ε B + ε T + ε Substituindo este resutado na (3..8 obtemos ( ( ( ( ( (3.. B t X t B t = X t (3.. Vamos introduzir um gerador C ( t também para a simetria de boost e escreer B ( t para infinitesima na forma B ( = C ( t i t Para infinitesima a (3.. toma a forma (3.. ( ( X ( ( ( X ( ic t t + ic t = t (3..3 Com a definição de partícua não-reatiística introduzimos grandezas como posição, eocidade, momento inear, momento anguar e geradores de boost. Agora precisamos dos comutadores dos operadores que representam estas grandezas. Na determinação destes comutadores usaremos sempre grandezas definidas para o mesmo instante t. Então podemos simpificar a notação e escreer simpesmente ugar de X ( t, X ( t, P (, J (, C ( (3..3 obtemos imediatamente: t t t X, X, P, J, C no. Das fórmuas (3.., (3.. e P, X = i δ (3..4, C X = i δ (3..5 C, X = (3..6 Os operadores P e X são iimitados e portanto não são definidos em todo o espaço de Hibert mas apenas num subjonjunto denso. Por esta razão a regra de comutação deer-se-ia escreer na forma P, X i δ, o que significa que a gráfico do operador, P X é um subconjunto do gráfico do operador i δ. Pode-se eitar este tipo de compicação formuando tudo somente com os operadores unitários das simetrias e não com os geradores. 6

5 As regras de comutação para J e P, que deduzimos na secção.5 de forma gera, continuam áidas também para o caso particuar de uma partícua. Aém disso podemos deduzir regas anáogas para os geradores de boost. A dedução é idêntica a aquea dada na secção.5 para J e P. Vae então [, ] J C = ic δ (3..7 na m n a m [ ] C, C (3..8 = Mas, tendo tanto transações como boosts como simetrias, aparece uma noa possibiidade: podemos combinar boots e transações. Se submetermos um aparato de medida primeiramente a um boost e depois a uma transação obtemos a mesma mudança do que fazendo estas substituições na ordem inersa. Portanto o operador ( + i ( ( ( + i θ i i θ C P C P (3..9 com e θ infinitesimais dee descreer a simetria que não atera nenhum obseráe e ee dee diferir do operador identidade apenas por um fator de fase: ( C ( P ( C ( P i (, i i i i e Λ + + θ θ = θ (3... Até agora conseguimos eiminar estes fatores de fase sempre. As ezes isto resutaa na eiminação da iberdade de somar constantes nos geradores. Esta ez a situação é diferente; o fator de fase na fórmua (3.. não pode ser eiminado e ee terá maior importância. Escreendo, como sempre, o fator de fase como série de Tayor e comparando termo por termo obtemos: [, ] P C = i m (3.. onde m são coeficientes reais oriundos da expansão do fator de fase. m toma aores no espaço aor de temos mutipicado duas ezes com o espaço aor dua das distancias, ou seja, m pode ser medido em s m. Conjugando a (3.. com um operador unitário que representa uma rotação P, C se comporta numa percebemos com as fórmuas (.5.5 e (3..7 que [ ] rotação como as componentes de um tensor coariante, enquanto o ado direito da (3.. não sofre nada. Então os m são componentes de um tensor que é inariante sob rotações. Semos que em três dimensões os únicos tensores coariantes que são inariantes sob rotações são os mútipos do tensor métrico. Então podemos escreer [, ] P C = i mδ (3.. Conjugando com a dinâmica emos que o aor m é uma propriedade da partícua independente do tempo. Deemos aaiar quais aspectos desta constante têm reamente um significado físico. Estamos construindo a representação do sistema partícua num espaço de Hibert. Deemos nos embrar que a representação não é única. Sempre podemos mudar uma representação por outra com uma conjugação anti-unitária. Nesta operação ambos os geradores P e C mudam de sina, de ta forma que o ado esquerdo da (3.. fica inaterado. Mas o fator i no ado direto fornece uma troca de sina numa conjugação anti-unitária. Então o sina de m dee mudar. Portanto o sina de m não tem sentido físico e é apenas uma questão de escoha. Vamos escoher 6

6 m >. Com esta escoha, mudanças de representação anti-unitárias não podem ser mais feitas e os sinais de todos os geradores começam a ter significado físico. Para poder prosseguir, temos que caracterizar a partícua mais. Queremos descreer uma partícua sem estrutura interna. Não ter estrutura interna significa que um conhecimento da posição da partícua já teria todo que se pudesse ser do seu estado, pois não existe nenhuma condição interna que poderia ser questionada. Na inguagem X t, X t, X 3 t da mecânica quântica isto significa que os obseráeis ( ( ( formam um conjunto competo de obseráeis comesuráeis. Lembramos que isto X t, X t, X 3 t dee significa que quaquer obseráe comesuráe com os ( ( ( ser uma função destes. Com esta caracterização da fata de estrutura interna em mente amos reer os comutadores que foram deduzidos. De noo amos suprimir a indicação t. A fórmua (3..6 impica então que os geradores de boosts são do instante ( funções das posições. Vamos supor que estas funções sejam anaíticas: ( ( ( a a b C = c + c X + c X X +... (3..3 a Inserindo esta expansão na (3.. e usando a (3..4 obtemos ( ( ( a a b a b i c δ i c δ X i c X δ... = i m δ (3..4 a As potências dos operadores de posição deem certamente ser inearmente independentes e podemos comparar termos ordem por ordem. Desta forma obtemos L ( ( n c = m δ e c = para n > (3..5 Vamos inserir este resutado na fórmua (3..5 a m a, δ X X = i δ (3..6 Esta regra de comutação tem muita semehança com a (3..4. Para torna-a ainda mais parecida amos mutipicar a (3..6 com a métrica e com a métrica inersa, trocar a ordem no comutador e escreer o fator m junto com o X : s r r n m, δ X X = i δn (3..7 Para faciitar a comparação com a (3..4 amos mudar os nomes dos índices: c a a m, δ X X = i δ (3..8 Agora podemos subtrair esta fórmua da (3..4 e obtemos h a ( P δ a mx, X = (3..9 Como a partícua supostamente não tem estrutura interna, esta iguadade impica que P δ mx a a pode ser escrito como uma função da posição: e (,,, P t mx t A X t X t X t t (3..3 a ( δ ( = ( ( 3 ( a Neste momento introduzimos a citação do instante de noo para poder destacar que a função A pode ter uma dependência expícita do tempo. Então imos que a reação entre momento inear e eocidade tem necessariamente a forma B e 6

7 (,,, P t mx t A X t X t X t t (3..3 a ( = δ ( + ( ( 3 ( a Fata determinar a dinâmica da partícua. É natura escoher como conjunto de ariáeis X t, X t, X 3 t. Com esta dinâmicas um conjunto que contenha os operadores ( ( ( escoha o operador Hamitoniano dee cumprir a reação X = i H, X (3..3 Vamos comparar esta iguadade com a iguadade que resuta quando cacuamos o comutador do operador X a X b δ m / com X. Com a fórmua (3..7 obtemos m a b X X δ, X = m m = δ, + δ, = i X X X X X X X a b a b Mutipicando esta iguadade com i e subtraindo-a da (3..3 obtemos (3..33 m a b H X X δ, X = (3..34 Como a partícua não tem estrutura interna esta iguadade impica que é uma função dos ( t, ( t, 3 ( t X X X : m a b H X X δ m a b H ( t ( ( ( ( ( 3 X t X t δ = U X t, X t, X ( t, t (3..35 Isto determina a forma gera do operador Hamitoniano de uma partícua nãoreatiística sem estrutura interna: m a b H ( t ( ( ( ( ( 3 = X t X t δ + U X t, X t, X ( t, t (3..36 Para cacuar o comportamento tempora do sistema, esta maneira de escreer o Hamitoniano ainda não é muito apropriado, porque as regras de comutação das eocidades podem ser muito compicadas. É coneniente reescreer o operador em termos dos momentos ineares: ehcselb ( a a ( b b ( ( ( H = δ m P A X, X, X P A X, X, X + U X, X, X (3..37 Suprimimos de noo a dependência tempora para poder escreer uma fórmua que caiba numa inha, mas é caro que os operadores dependem do tempo e que A e U podem ter dependências expicitas do tempo. Reconhecemos imediatamente a correspondência deste operador de Hamiton com a função de Hamiton da mecânica cássica de uma partícua não-reatiística eetricamente carregada num campo eetromagnético externo. H ( p, r = ( p q A + qu m a (

8 Para uma partícua carregada com carga q podemos considerar os produtos de carga com potencia etor e potencia escaar como as sombras cássicas que os erdadeiros,, U X, X, X deixam no setor de fenômenos que objetos Aa ( X X X e ( permitem uma descrição cássica da partícua. O operador (3..37 foi deduzido sem a ajuda da correspondente expressão cássica. Notas de Aua do mini-curso Fundamentos da Mecânica Quântica do Seminário dos Aunos de Pós-graduação do Dep. de Física UFJF 3 Bernhard Lesche 64