A Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo nem sempre é 180 o

Transcrição

1 Soma dos Ângulos Internos de um Triângulo nem sempre é 180 o ndrea de Jesus Sacramento, Érica oizan atista, Michelli Maldonado Carretero Orientadora: Prof. Dra. parecida Francisco da Silva

2 1 Introdução Neste minicurso pretendemos apresentar algumas idéias simples das geometrias não euclidianas e alguns modelos que permitam sua visualização. Não daremos um tratamento rigoroso, demonstrando ou comentando todos os resultados. Procuramos apresentar apenas um fio condutor que permita vislumbrar este intrigante assunto que permitiu um grande desenvolvimento científico e tecnológico no final do século XIX e início do século X. 1.1 Os xiomas e Postulados de Euclides Noções Comuns 1. Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si. 2. Se quantidades iguais são adicionadas a iguais, os totais são iguais. 3. Se quantidades iguais são subtraídas de iguais, os restos são iguais. 4. Coisas que coincidem uma com a outra são iguais. 5. O todo é maior do que qualquer de suas partes Postulados 1. Uma linha reta pode ser traçada de um ponto a outro, escolhidos a vontade. 2. Uma linha reta pode ser prolongada indefinidamente. 3. Um círculo pode ser traçado com centro e raio arbitrários. 4. Todos os ângulos retos são iguais. 5. Se uma reta secante a duas outras forma ângulos, de um mesmo lado desta secante, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então essas retas se prolongadas suficientemente encontrar-se-aõ em um ponto desse mesmo lado. 1.2 O Escândalo da Geometria Por cerca de dois mil anos a Geometria de Euclides foi considerada como a única geometria possível. obra os Elementos era inquestionável. Pela forma como era apresentado o 5 o postulado, os matemáticos, por cerca de 2000 anos, pensavam que ele fosse uma consequência dos demais, isto é, um teorema. Os trabalhos independentes de olyai e Lobachevsky provam que não.o 5 o Postulado 1

3 não é uma conseqüência lógica dos quatro anteriores. Substituindo-o, criam-se novas geometrias, tão boas e consistentes quanto a Euclidiana. 2 Substitutos do 5 o Postulado 2.1 O que são substitutos? firmar que uma determinada proposição P é um substituto do 5 o postulado é o mesmo que dizer que a teoria desenvolvida usando os quatro primeiros postulados e mais a proposiçao P coincide com a geometria de Euclides. 2.2 Como Provar que P é um substituto? maneira de provar que um proposição P é um substituto para o 5 o postulado é a seguinte: Primeiramente, devemos demonstrar que P é uma proposição da geometria euclidiana. Depois, devemos demonstrar que, na teoria desenvolvida usando os quatro primeiros postulados e mais P, pode se provar o 5 o postulado como uma proposição. 2.3 lguns Substitutos do 5 o postulado 1. xioma de Playfair: Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única paralela à reta dada. Demonstração. 1 o ) Vamos provar o axioma de Playfair: Sejam m e P uma reta e um ponto fora da reta dada, respectivamente. Então de acordo com os quatro primeiros postulados e de acordo com a seguinte proposição da geometria euclidiana: "Se uma reta corta duas outras formando ângulos correspondentes iguais, então, as duas retas são paralelas", existe uma reta m paralela a m, cuja construção é a seguinte: trace uma reta n perpendicular a m po P e, a partir de P, a reta m perpendicular a n. Então m é a paralela a m. Para provar a unicidade basta supor que exista outra reta m, paralela a m por P. Esta reta forma um ângulo agudo com n. Portanto pelo quinto postulado temos que m intercepta m. O que contradiz nossa hipótese. Portanto m = m. 2 o ) Vamos provar o quinto postulado usando a teoria desenvolvida a partir dos quatro postulados de Euclides mais o axioma de Playfair, para isso faremos uso da figura abaixo. 2

4 m' n' S β β' m T α Supondo α + β < 180 o e que as retas m e m são paralelas, traçamos pelo ponto S uma reta n formando um ângulo β tal que α + β = 180 o. Então n é paralela a m. Logo temos duas retas distintas passando por S e paralelas a uma mesma reta, o que é absurdo segundo V 1. Portanto m e m se encontram. 2. soma dos ângulos internos de um triângulo é sempre igual a dois ângulos retos Demonstração. 1 o ) Vamos provar a proposição acima através da teoria de Euclides. Para isso utilizaremos a seguinte proposição: Proposição 1. Se duas retas paralelas são cortadas por uma transversal, então os ângulos correspondentes são congruentes. Seja C um triângulo. Pelo vértice C trace uma reta paralela ao lado. Númere os ângulos formados com o vértice C, como indicado na figura seguinte. 1 C 2 3 3

5 Tem-se ˆ1 + ˆ2 + ˆ3 = 180 o. Como C é transversal às duas paralelas, é uma consequência direta da proposição anterior que ˆ1 = Â. Como C é também transversal às duas paralelas, então o ˆ3 = ˆ. Portanto  + ˆ + Ĉ = ˆ1 + ˆ3 + ˆ2 = 180 o 2 o ) gora vamos provar o 5 o postulado usando os quatro primeiros postulados mais o subtituto. Queremos provar que se soma dos ângulos de qualquer triângulo é dois ângulos retos, então, por um ponto fora de uma reta, passa uma única reta paralela a uma reta dada. Para isso precisaremos dos seguintes lemas e o axioma de Pasch: Lema 1. Um ângulo externo de um triângulo é sempre igual à soma dos dois ângulos internos que não lhe são adjacentes. Lema 2. Por um ponto P, pode-se sempre traçar uma reta, formando, com uma reta dada, ângulo menor do que qualquer número positivo pré fixado. xioma 1. Sejam, e C três pontos não colineares e seja m uma reta que não contem nenhum destes pontos. Se m corta o segmento, então ela também corta o segmento C ou o segmento C. dmintindo a validade dos lemas, sejam P um ponto e m uma reta. perpendicular à reta m passando por P intercepta m no ponto 1. Sabemos como construir uma reta paralela à reta m passando por P: basta tomar a reta n perpendicular ao segmento P 1 passando por P. n P n' m 1 Seja n qualquer outra reta que passa pelo ponto P. Seja ε o ângulo entre n e n. reta n forma com o segmento P 1 um ângulo α complementar de ε. Observamos que, de acordo com o lema 2, podemos traçar uma reta pelo ponto P que intercepta m em um ponto, formando um ângulo menor do que ε. Então o triângulo P 1, que é retângulo em 1 tem o ângulo em P maior do que α. Portanto, a 4

6 reta n entra no triângulo P 1 pelo vértice P e, pelo axioma de Pasch, corta o lado oposto que é o segmento 1. Portanto não é paralela a m. Isso completa a demonstração. 3. Existe um par de retas equidistantes Demonstração. 1 o ) Vamos provar que o substituto acima pertence a teoria de Euclides. Sejam m e n retas paralelas. Sobre m tome dois pontos e e deles, baixe perpendiculares à reta n. Sejam e respectivamente os pés dessas perpendiculares. Devemos provar que =. Para isso trace como indicado na figura seguinte. ' ' Observe que  = ˆ e que  = 90 o, portanto os triângulos e são triângulos retângulos com um ângulo agudo e hipotenusa congruentes, logo estes triângulos são congruentes. congruência é a que leva em, em e em. Logo =. 2 o ) Vamos provar que se o substituto acima for adotado, podemos deduzir o 5 o postulado mostrando que existe um triângulo cuja soma dos ângulos internos é igual a dois ângulos retos. De fato, se m e n são as duas retas equidistantes, de pontos O e Q na reta n, baixe perpendiculares à reta m e designe por P e R, respectivamente, os pés destas perpendiculares. De um ponto qualquer S do segmento PR, baixe uma perpendicular ST à reta n. Por hipótese, PO=ST=RQ. m P S R n O T Q 5

7 Por construção, os triângulos OPS, STO, SQR e QTS, são retângulos. É fácil que os dois primeiros e os dois últimos são congruentes, de onde se segue que: T ÔS = PŜO e T ˆQS = QŜR. Portanto a soma dos ângulos internos do triângulo OSQ é igual a dois ângulos retos, já que: T ÔS + OŜQ + S ˆQT = PŜO + OŜQ + QŜR = PŜR = 180 o 3 Geometria Hiperbólica 3.1 Postulado de Lobachevsky Na Geometria Hiperbólica os quatro primeiros postulados de Euclides são válidos e o quinto postulado é substituído pelo que segue: Postulado 3. Por um ponto P fora de uma reta r passa mais de uma reta paralela à reta r. Há vários modelos para essa geometria. No que segue apresentaremos dois deles: o de Klein e o de Poincaré, que permitem "visualizar"não apenas os postulados, mas também os resultados mais importantes desta teoria, como os seguintes: Proposição 2. Dados uma reta r e um ponto P fora desta reta, existem exatamente duas retas a e b que passam pelo ponto P e que separam o conjunto das retas secantes e não-secantes a r. P a b r Definição 4. Sejam m uma reta e P um ponto não pertencente a m, ângulo de paralelismo é o ângulo formado por uma das paralelas com a perpendicular baixada do ponto a reta. Proposição 3. s retas paralelas a r passando por P formam ângulos de paralelismo iguais e agudos com a perpendicular baixada de P a r. 6

8 3.2 Modelo de klein No modelo de Felix Klein tomamos como "plano"o interior de um círculo no plano euclidiano. s retas desse "plano"são as cordas do círculo. Na figura abaixo traçam-se N e M, paralelas a que contêm P. s infinitas retas não-secantes estão situadas no interior do ângulo θ. M N θ P Fatos que podem ser visualizados no modelo de Klein 1. - o ângulo de paralelismo é agudo o ângulo de paralelismo é variável, ou seja, depende da distância do ponto P à reta duas retas distintas e perpendiculares à reta formam um quadrilátero PQMK, que vem a ser o "retângulo"da Geometria Hiperbólica, como na figura abaixo. P Q K M 7

9 3.3 Modelo de Poincaré O modelo de Henri Poincaré é muito semelhante ao de Klein, a não ser pelo fato de que as retas são arcos de círculos perpendiculares ao círculo que representa o plano hiperbólico, como no exemplo a seguir. É "fácil"visualizar neste modelo que a soma dos ângulos internos é menor que 180 o. ntes porém, a fim de apresentarmos uma argumentação razoável para este resultado apresentaos os quadriláteros de Saccheri e de Lambert. 3.4 Quadrilátero de Saccheri Girolamo Saccheri foi um padre jesuíta professor da universidade de Paiva que como tantos outros matemáticos tentou provar o quinto postulado sem sucesso. Porém ele foi o primeiro a contemplar a possibilidade de outras hipóteses que não a de Euclides e a trabalhar com suas consequências. 8

10 C F D E Saccheri considerou um quadrilátero CD, onde e DC são congruentes e perpendiculares a C. Os dois teoremas, a seguir, são os resultados mais importantes de seus estudos. Teorema 5. O seguimento que une os pontos médios da base e do topo do Quadrilátero de Saccheri é perpendicular a ambos. Demonstração. Seja CD o quadrilátero de Saccheri com base. E e F são os pontos médios de e de CD respectivamente. Ligam-se os pontos C e D a E formando os triângulos congruentes: DE e CE. Com isto, DE é congruente a CE, e como F é ponto médio de CD, segue-se que EF é a mediatriz do segmento CD e, portanto, perpendicular a este segmento. Da congruência dos pares de triângulos DE, CE, CEF E DEF, conclui-se que os ângulos ÊF e ÊF são congruentes, logo FE é perpendicular à base. Teorema 6. Os ângulos do topo do Quadrilátero de Saccheri são congruentes e agudos. 3.5 Quadrilátero de Lambert grande semelhança entre o trabalho de Johann Heinrich Lambert e o de Saccheri é que a figura fundamental de seus estudos era um quadrilátero com três ângulos retos. D C Na Geometria Hiperbólica prova-se que o quarto ângulo é agudo, para isso basta observar que o quadrilátero de Saccheri nada mais é do que dois quadriláteros de Lambert. 9

11 3.6 soma dos ângulos internos de um triângulo é menor do que 180 o Teorema 7. soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo retângulo é menor que 180 o. Demonstração. Seja C um triângulo retângulo e E o ponto médio da hipotenusa C. ED é perpendicular a C. Constrói-se F tal que CÂF = Ĉ e DC=F. Com isso formam-se os triângulos congruentes FE e DEC. Consequentemente, E,F e D são pontos alinhados e o ângulo em F é reto. Portanto, DF é um quadrilátero de Lambert com ângulo agudo em, ou seja, ÂC +CÂF < 90 o. Como CÂF é congruente ao ângulo interno Ĉ do triângulo retângulo segue que: ˆC + Ĉ +CÂ Teorema 8. soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é menor que 180 o. Demonstração. Seja C um triângulo. Se C é retângulo segue do teorema anterior. Supondo C não-retângulo. Traça-se D perpendicular a C. Ficam formados os dois triângulos retângulos em D, DC e D, cujas somas das medidas dos ângulos internos é menor que 180 o. Considerando os dois triângulos, tem-se: 2 ˆD + Â + ˆ +Ĉ < 360 o,ouâ + ˆ +Ĉ < 180 o 4 Geometria Elíptica Com a descoberta de Lobachevsky passou a ser considerada a possibilidade de existência de outras geometrias não-euclidianas. O alemão Riemann ( ) desenvolveu a geometria Elíptica, onde a noção de estar entre foi abandonada e as retas deixaram de ser infinitas para serem ilimitadas. Riemann considerou a seguinte negação do quinto postulado: 4.1 Postulado de Riemann Postulado 9. Quaisquer duas retas em um plano tem um ponto de encontro. Modelos (esferas). 10