PROF. JOSIMAR PADILHA

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1 RACIOCÍNIO LÓGICO Nós somos o que fazemos repetidamente, a excelência não é um feito, e sim, um hábito.aristóteles. Sucesso! PROF. JOSIMAR PADILHA 1

2 01 - NOÇÕES DE CONJUNTOS Nesta primeira aula iremos estudar sobre noções de conjuntos, uma vez que a mesmo trará uma interpretação concreta dos fundamentos utilizados na lógica proposicional. É importante ressaltar que é um conteúdo constante nas últimas provas de concursos públicos. Introdução Relação de Pertinência: É a relação existente entre elemento e conjunto. Caso você queira relacionar um elemento x a um conjunto X, a relação deverá ser: O elemento x pertence a X (x X) ou o elemento x não pertence a X( x X). Uma outra maneira para definir conjuntos, consiste em escrever uma lista dos elementos do conjunto, entre chaves. Desse modo, escreveríamos o conjunto A da seguinte forma: A = { I,II,III,IV,V,VI,VII,VIII,IX,,X,...} Um conjunto poderá ser representado por diagramas da seguinte forma: Relação de Inclusão: É a relação existente entre conjunto e subconjunto ou subconjunto e conjunto. Caso você queira relacionar um subconjunto A a um conjunto B, a relação deverá ser: Ex.: No diagrama abaixo temos que A contém o conjunto B. Logo A é um conjunto e B é um subconjunto. A relação existente entre os dois é a seguinte: A B A contém B e B A B está contido em A 2

3 Número de subconjuntos O número de subconjuntos de um conjunto como por exemplo: A= { a, b } = { a }, { b }, {a, b }, { } ; temos neste caso 4(quatro) subconjuntos de um conjunto A com 2 elementos. Conjunto vazio é aquele que não possui nenhum elemento. E ele está contido em qualquer conjunto. Representação: ou { }, nunca { }. Conjunto das partes: Denotado por P(A) e possui todos os subconjuntos de A. n(p(a)) = 2 n(a) ( número de elementos do conjunto). C= { a,b,c } = { a }, {b}, { c }, { a,b}, { a,c}, {b,c}, {a,b,c},{ } = 2 3 =8 subconjuntos. Operações com conjuntos REUNIÃO OU UNIÃO: Iremos identificar uma União entre dois conjuntos quando tivermos o termo: OU Conceito. Dados dois conjuntos quaisquer A e B, chama-se união ou reunião de A e B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um desses conjuntos (podendo, evidentemente, pertencer aos dois), isto é, o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B. Em símbolos: Exemplos: {1; 2} U {3; 4} = {1; 2; 3; 4} {n, e, w, t, o, n} U {h, o, r, t, a} = {a, e, h, n, o, r, t, w} A definição 1 nos diz que um elemento x pertencer a A U B é equivalente a dizer que uma das proposições x pertence A ou x pertence a B é verdadeira. Desse fato decorre que: Propriedades da União Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades: 1. Idempotência: A U A = A. A união de um conjunto qualquer A com ele mesmo é igual a A; 2. Comutativa: A U B = B U A; 3. Elemento Neutro: Ø U A = A U Ø = A. O conjunto Ø é o elemento neutro da união de conjuntos; 4. Associativa: (A U B) U C = A U (B U C). 3

4 INTERSECÇÃO Iremos identificar uma Interseção entre dois conjuntos quando tivermos os termos: e, simultaneamente e ao mesmo tempo Conceito. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos intersecção de A e de B (ou de A com B) a um novo conjunto, assim definido: Exemplos: Da definição de intersecção resulta que: Os fatos acima nos diz que A intersecção B é um subconjunto de A e de B, ou seja: Propriedades da Intersecção Sejam A, B e C três conjuntos quaisquer. Então são verdadeiras as seguintes propriedades: 1. Idempotência: 2. Comutativa: 3. Elemento Neutro - O conjunto universo U é o elemento neutro da intersecção de conjuntos: 4.Associativa: Quando dois conjuntos quaisquer A e B não têm elemento comum, dizemos que A e B são conjuntos disjuntos. Em outras palavras, dois conjuntos são disjuntos quando a intersecção entre eles é igual ao conjunto vazio. 4

5 DIFERENÇA Iremos identificar uma Diferença entre dois conjuntos quando tivermos os termos : apenas, somente e exclusivamente, ligados ao conjunto. Conceito. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Chamaremos a diferença entre A e B o conjunto dos elementos de A que não pertencem a B. Exemplos: {a, b, c} - {a, c, d, e, f} = {b} {a, b} - {e, f, g, h, i} = {a, b} {a, b} - {a, b, c, d, e} = Ø Temos a seguir uma interpretação concreta por meio do diagrama de Euler-Venn em que a diferença corresponde à parte branca de A. COMPLEMENTAR DE B EM A Definição 4. Dados os conjuntos A e B quaisquer, com B contido em A, chama-se complementar de B em relação a A o conjunto A - B, e indicamos como: APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS 01) (ESAF/TÉCNICO-2006) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y - X é igual a: a) 4 5

6 b) 6 c) 8 d) vazio e) 1 Nesta questão é dado dois conjuntos não vazios, ou seja, possuem elementos, mas é fornecido a quantidade de subconjuntos de cada conjunto, em que deveremos encontrar o número de elementos da seguinte maneira : Para o conjunto X temos que : P(X)=64, sendo P(X) = 2 n. Logo, 2 n =64, fatorando o número 64 temos que 64= n =2 6 n=6 ( o número de elementos do conjunto n(x) = 6) Para o conjunto Y temos que : P(Y)=256, sendo P(Y) = 2 n. Logo, 2 n =256, fatorando o número 256 temos que 256= n =2 8 n=8 ( o número de elementos do conjunto n(y) = 8) Para o conjunto Z, segundo o enunciado temos : Z = X Y possui 2 elementos ( n(z)=2 ). Logo, 6

7 Após construirmos os diagramas e suas respectivas operações temos que a questão solicita o número de elementos do conjunto P = Y - X. Sendo assim, trata-se da diferença entre os conjuntos Y e X, em que devemos selecionar os elemento que pertencem a Y mas não pertencem a X. De acordo com o diagrama acima temos que P= Y-X = 6 elementos. Resposta : Letra B 02) (CESPE-2002) Para preencher vagas disponíveis, o departamento de pessoal de uma empresa aplicou um teste em 44 candidatos, solicitando, entre outras informações, que o candidato respondesse se já havia trabalhado I em setor de montagem eletromecânica de equipamentos; II em setor de conserto de tubulações urbanas; III em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão. Analisados os testes, o departamento concluiu que todos os candidatos tinham experiência em pelo menos um dos setores citados acima e que tinham respondido afirmativamente 28 pessoas à alternativa I. 4 pessoas somente à alternativa I. 1 pessoa somente à alternativa III. 21 pessoas às alternativas I e II. 11 pessoas às alternativas II e III. 13 pessoas às alternativas I e III. Com base nas informações anteriores, assinale a opção incorreta. a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores. 7

8 b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas. c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações. d) Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de subestações. e) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubulações urbanas e de ampliações e reformas de subestações. Comentário : Nesta questão é dado três conjuntos : I em setor de montagem eletromecânica de equipamentos; II em setor de conserto de tubulações urbanas; III em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão. A questão deixa claro que todos têm experiência em pelo menos um dos setores citados, logo não existe elementos do lado de fora. De outro lado temos candidatos que possuem experiências nos três setores, sendo assim construiremos o diagrama para melhor interpretação. 8

9 Vamos agora preencher o diagrama referente ao setor de montagem : 1- O setor de Montagem possui 28 candidatos com experiência, Ao analisar o diagrama temos que 4 candidatos têm experiência apenas no setor de Montagem, logo podemos inferir que no espaços ( X + Y+ Z ) que estão nas cores rosa, vermelha e azul, sobraram ( 28 4 ) = 24 candidatos. De acordo com os valores dados de 21 candidatos nos setores (I e II) e 13 candidatos nos setores ( I e III ), se somarmos temos: = 34, mas a quantidade real das áreas pintadas é igual 24, logo temos 10 candidatos a mais. O que passa da realidade se encontra na interseção, pois é na interseção que os elementos são contados mais de uma vez, logo temos 10 candidatos com experiências nos três setores ( Y=10 ). 9

10 Segundo os valores encontrados podemos agora preencher de forma completo o diagrama para podemos julgar os itens, não esquecendo que o total de candidatos,ou seja, a soma dos números abaixo devem totalizar 44 candidatos. Julgando os itens: Com base nas informações adquiridas iremos assinalar a opção incorreta. a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores. ( o item está de acordo) b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas.( o item está de acordo) c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações. (o item está de acordo) d) Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de subestações. ( o item está incorreto, pois temos 3 candidatos) e) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubulações urbanas e de ampliações e reformas de subestações. ( o item está de acordo) Resposta: Letra D 10

11 03) (CESPE TRT 5 RG- adaptada ) No curso de línguas Esperanto, os 180 alunos estudam inglês, espanhol ou grego. Sabe-se que 60 alunos estudam espanhol e que 40 estudam somente inglês e espanhol. Com base nessa situação, julgue os itens que se seguem. 1- Se 40 alunos estudam somente grego, então mais de 90 alunos estudam somente inglês. 2- Se os alunos que estudam grego estudam também espanhol e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando inglês do que espanhol. 3- Se os 60 alunos que estudam grego estudam também inglês e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando somente inglês do que espanhol. Analisando a questão acima temos que : G ); alunos estudam inglês, espanhol ou grego, vamos representar da seguinte maneira ( I E - 60 estudam espanhol ( E= 60 ); - 40 estudam somente inglês e espanhol ( ( I E)-G). 1- Se 40 alunos estudam somente grego, então mais de 90 alunos estudam somente inglês. Vimos que as duas áreas pintadas acima totalizam 100 alunos, o que resta 80 para preencher os espaços em branco, supondo que a interseção de somente inglês e grego fosse igual a zero, ou seja, não tivesse nenhum aluno, mesmo assim, não teríamos 90 alunos que estudam apenas inglês. O item está errado. 11

12 2- Se os alunos que estudam grego estudam também espanhol e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando inglês do que espanhol. De acordo com o diagrama acima o item está certo. 3- Se os 60 alunos que estudam grego estudam também inglês e nenhuma outra língua mais, então há mais alunos estudando somente inglês do que espanhol. 12

13 04) (ESAF/AFC-2004) Foi feita uma pesquisa de opinião para determinar o nível de aprovação popular a três diferentes propostas de políticas governamentais para redução da criminalidade. As propostas (referidas como A, B e C ) não eram mutuamente excludentes, de modo que o entrevistado poderia se declarar ou contra todas elas, ou a favor de apenas uma, ou a favor de apenas duas, ou a favor de todas as três. Dos entrevistados, 78% declararam-se favoráveis a pelo menos uma delas. Ainda do total dos entrevistados, 50% declararam-se favoráveis à proposta A, 30% à proposta B e 20% à proposta C. Sabe-se, ainda, que 5% do total dos entrevistados se declararam favoráveis a todas as três propostas. Assim, a percentagem dos entrevistados que se declararam favoráveis a mais de uma das três propostas foi igual a: a) 17% b) 5% c) 10% d) 12% e) 22% 13

14 Aproveitando a questão para uma análise mais profunda e melhor entendimento. Fiz umas inferências que poderiam ser perguntas da banca. 14

15 MOMENTO DE TREINAMENTO FIXAÇÃO DE APRENDIZAGEM 01) Em uma classe, há 20 alunos que praticam futebol mas não praticam vôlei e há 8 alunos que praticam vôlei mas não praticam futebol. O total dos que praticam vôlei é 15. Ao todo, existem 17 alunos que não praticam futebol. O número de alunos da classe é: A) 30 B) 35 C) 37 D) 42 E) 44 02) Em certa comunidade há indivíduos de três raças: branca, negra e amarela. Sabendo que 70 são brancos, 350 são não negros e 50% são amarelos, responda: A) quantos indivíduos tem a comunidade? B) quantos são os indivíduos amarelos? 03) Numa classe de 45 alunos, 28 falam francês e 14 falam espanhol. Desses alunos, 8 não falam nem francês nem espanhol. Quantos falam as duas línguas? 04) Numa classe de 43 alunos, 27 falam inglês, 15 falam alemão, 6 falam inglês e alemão. Quantos alunos não falam nem inglês, nem alemão? 05) Considere o conjunto M = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16} e responda quantos subconjuntos tem M. 06) Quantos elementos tem o conjunto do qual se pode obter subconjuntos? 07) (PUC-Rio) Um levantamento sócio-econômico entre os habitantes de uma cidade revelou que, exatamente : 17% têm casa própria; 22% têm automóvel; 8% têm casa própria e automóvel Qual o percentual dos que não tem casa própria nem automóvel? 15

16 08) Uma senhora que costuma fazer saladas de frutas para servir aos fregueses em seu restaurante, dispõe de oito frutas diferentes. Sabendo que cada mistura de pelo menos duas frutas resulta numa salada diferente, calcule o número de saladas de frutas diferentes que podem ser obtidas 09) Numa escola existem 84 meninas, 48 crianças loiras, 26 meninos não loiros e 18 meninas loiras. Pergunta-se: A) Quantas crianças existem na escola? B) Quantas crianças são meninas ou são loiras? 10) Dos funcionários de uma empresa, sabe-se que existem: 35 homens; 18 pessoas que possuem automóvel; 15 mulheres que não possuem automóvel; 7 homens que possuem automóvel; A) Qual o número de funcionários que há nessa empresa? B) Quantos funcionários são homens ou quantos possuem automóvel? 11) Numa classe colheu-se os seguintes dados em relação as três matérias estudadas: 20 alunos foram aprovados nas 3 matérias. 35 alunos foram aprovados em Química e Física. 42 alunos foram aprovados em Matemática e Física. 22 alunos foram aprovados em Química e Matemática O professor de Matemática aprovou 50 alunos. O professor de Física aprovou 70 alunos. O professor de Química aprovou 40 alunos. Quantos alunos foram aprovados: a) em uma matéria? 16

17 b) somente em uma matéria? c) em pelo menos uma matéria? d) em duas matérias? e) somente em duas matérias? f) em mais de duas matérias? g) somente em três matérias? h) em matemática e física? i) em matemática ou física? j) em matemática e física e não foram aprovados em química? Ainda com relação a questão 11, julgue os itens, 1 seis alunos foram aprovados em matemática. 2 apenas seis alunos foram aprovados em matemática. 3 seis alunos foram aprovados somente em matemática. 4 apenas 6 alunos foram aprovados somente em matemática. 5 mais de 60 alunos foram aprovados em pelo menos 2 matérias. 17

18 6 o número de alunos na classe é ) Em um exame vestibular, 30% dos candidatos eram da área de Humanas. Dentre esses candidatos, 20% optaram pelo curso de Direito. Do total de candidatos, qual a porcentagem dos que optaram por direito? A)50% B) 20% C) 10% D) 6% E) 5% 13) Numa universidade com N alunos, 80 estudam Física, 90 Biologia, 55 Química, 32 Biologia e Física, 23 Química e Física, 16 Biologia e Química e 8 estudam nas três faculdades. Sabendo-se que esta Universidade somente mantém as três faculdades, quantos alunos estão matriculados na Universidade? A) 304 B) 162 C) 146 D)154 E) n.d.a QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS 14) (ESAF/TÉCNICO-2006) X e Y são dois conjuntos não vazios. O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que o conjunto Z = X Y possui 2 elementos. Desse modo, conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y - X é igual a: A) 4 B) 6 C) 8 D) vazio E) 1 15) (CESPE-2002) Para preencher vagas disponíveis, o departamento de pessoal de uma empresa aplicou um teste em 44 candidatos, solicitando, entre outras informações, que o candidato respondesse se já havia trabalhado I em setor de montagem eletromecânica de equipamentos; II em setor de conserto de tubulações urbanas; III em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão. Analisados os testes, o departamento concluiu que todos os candidatos tinham experiência em pelo menos um dos setores citados acima e que tinham respondido afirmativamente 28 pessoas à alternativa I. 4 pessoas somente à alternativa I. 1 pessoa somente à alternativa III. 21 pessoas às alternativas I e II. 11 pessoas às alternativas II e III. 13 pessoas às alternativas I e III. 18

19 Com base nas informações anteriores, assinale a opção incorreta. a) Apenas 10 candidatos têm experiência nos 3 setores. b) Somente 36 candidatos têm experiência no setor de conserto de tubulações urbanas. c) Apenas 15 candidatos têm experiência no setor de ampliações e reformas de subestações. d) Somente 2 candidatos têm experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de subestações. e) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubulações urbanas e de ampliações e reformas de subestações. 16) (CESPE-2003) Vacinas Crianças Vacinadas Sabin 5300 Sarampo 5320 Tríplice 4600 Sabin e sarampo 1020 Sabin e tríplice 900 Sarampo e tríplice 800 Sabin, sarampo e tríplice 500 Nenhuma 2000 Considerando os dados da tabela acima, que representam as quantidades de crianças de uma determinada cidade que receberam em 2002 as vacinas Sabin, sarampo e tríplice, julgue os itens seguintes: A) Exatamente 3880 crianças receberam apenas a vacina Sabin. B) Exatamente 3700 crianças receberam apenas a vacina tríplice. C) Exatamente 4300 crianças receberam apenas a vacina sarampo. D) 2720 crianças receberam pelo menos duas vacinas. E) Mais de crianças foram vacinadas nessa cidade em ) (CESPE/METRÔ-2005) Uma associação de motoristas e de pilotos de trens elétricos distribui a seus associados dois jornais periódicos A e B, que tratam de assuntos de interesse das duas categorias profissionais. Um total de 4540 membros compõe a associação. Devido a problemas de comunicação, 75 associados não receberam nenhum dos jornais, 980 receberam os dois jornais e 2840 receberam o jornal A. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. 19

20 1 Mais de 1800 associados receberam apenas o jornal A. 2 Menos de 2500 associados receberam o jornal B. 18) (CESPE-2008) Com relação às operações com conjuntos, julgue o item abaixo. 1 Considere que os candidatos ao cargo de programador tenham as seguintes especialidades: 27 são especialistas no sistema operacional Linux, 32 são especialistas no sistema operacional Windows e 11 desses candidatos são especialistas nos dois sistemas. Nessa situação, é correto inferir que o número total de candidatos ao cargo de programador é inferior a ) (CESPE/STF-2008) Uma pesquisa envolvendo 85 juízes de diversos tribunais revelou que 40 possuíam o título de doutor, 50 possuíam o título de mestre, 20 possuíam somente o título de mestre e não eram professores universitários, 10 possuíam os títulos de doutor e mestre e eram professores universitários, 15 possuíam somente o título de doutor e não eram professores universitários e 10 possuíam os títulos de mestre e doutor e não eram professores universitários. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 1 Menos de 35 desses juízes são professores universitários. 2 Mais de 10 desses juízes são professores universitários mas não têm título de doutor nem de mestre. 3 Menos de 50 desses juízes possuem o título de doutor ou de mestre mas não são professores universitários. 4 Mais de 3 desses juízes possuem somente o título de doutor e são professores universitários. 20) (FCC-2006) Uma escola de música oferece apenas os cursos de Teclado, Violão e Canto e tem 345 alunos. Sabe-se que - nenhum aluno estuda apenas Canto. - nenhum aluno estuda Teclado e Violão alunos estudam Teclado. -90 alunos estudam Teclado e Canto. -50 alunos estuda apenas Violão. Quantos alunos estudam Canto e violão? A) 70 B) 120 C) 140 D) 150 E) 160 Gabarito 20

21 01 E 17 CE 02 a)560 / b) C 03 5 alunos 19 ECCC 04 7 alunos 20 A elem % a) 140 / b) a) 61 / b) alunos 12 D 13 B 14 B 15 D 16 CEEE 21

22 02 LÓGICA DE 1ª ORDEM Neste segundo momento iremos dar ênfase as provas de concursos realizadas pelo CESPE e ESAF, pois verificaremos que são as bancas que mais aprofundam em tal assunto. Mas nos capítulos posteriores daremos uma atenção maior às demais instituições de acordo com os assuntos mais cobrados e suas particularidades. Você não só irá aprender, mas entender o que a bancas querem de você. Estudar o que realmente cai é bom demais! Sucesso! ESTRUTURAS LÓGICAS A lógica formal não se ocupa com os conteúdos pensados ou com os objetos referidos pelo pensamento, mas apenas com a forma pura e geral dos pensamentos, expressa através da linguagem. O objeto da lógica é a proposição, que exprime, através da linguagem, os JUÍZOS formulados pelo pensamento. A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito. I - SENTENÇAS - Expressão de um pensamento completo; - São compostas por um sujeito (algo que se declara) e por um predicado (aquilo que se declara sobre o sujeito). Ex.: José passou no concurso público. Lógica não é difícil. Que horas começa o filme? Que belas flores! Pegue essa xícara agora. S e n t e n ç a s - Afirmativas; Ex.: A matemática é uma ciência do raciocínio. - Negativas; Ex.: José não vai à praia. - Imperativas; Ex.: Faça seu trabalho com presteza. - Exclamativas; Ex.: Que dia lindo! - Interrogativas. Ex.: Qual é o seu nome? 22

23 A - SENTENÇAS ABERTAS São as sentenças nas quais não podemos determinar o sujeito da sentença. Uma forma mais simples de identificar uma sentença aberta é quando a mesma não pode ser nem V(verdadeiro) nem F( falso). Ex.:Ela foi a melhor atleta da competição. Algumas sentenças são chamadas abertas porque não são passíveis de interpretação para que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Por exemplo, se tivermos uma proposição expressa: Para todo a, P(a), em que a é um elemento qualquer do conjunto U, e P(a) é uma propriedade a respeito dos elementos de U, logo se torna necessário explicitar U e P para que seja possível valorar. Ex.: { x R/ x > 2 }, neste caso x pode ser qualquer número maior que dois, ou seja, não há um sujeito especifico. Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, por exemplo: Ele é juiz do TRT da 1.ª Região, ou x + 5 = 10. O sujeito é uma variável que pode ser substituído por um elemento arbitrário, transformando a expressão em uma proposição que pode ser valorada como V ou F. Expressões dessa forma são denominadas sentenças abertas, ou funções proposicionais. Pode-se passar de uma sentença aberta a uma proposição por meio dos quantificadores qualquer que seja, ou para todo, indicado por, e existe, indicado por. Por exemplo: a proposição ( x)(x R)(x + 3 = 9) é valorada como F, enquanto a proposição ( x)(x R)(x + 3 = 9) é valorada como V. B - SENTENÇAS FECHADAS São as sentenças nas quais podemos determinar o sujeito da sentença. Ex.: Antônio está de férias. Ex.: O professor Josimar foi trabalhar. Na lógica sentencial, denomina-se proposição uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas não, como ambas. Assim, frases como Como está o tempo hoje? e Esta frase é falsa não são proposições porque a primeira é pergunta( sentença interrogativa ) e a segunda não pode ser nem V nem F. III- PROPOSIÇÕES Dá-se o nome de proposição a uma sentença (afirmativa ou negativa) formada por palavras ou símbolos que expressam um pensamento de sentido completo, as quais se podem atribuir um valor lógico, ou seja, uma valoração (verdadeiro ou falso). Esta valoração também é chamada de valor-lógico ou valor-verdade. DIAGRAMA 23

24 - Uma aplicação legal! Uma questão que deixa claro a relação entre proposições e sentenças é uma questão do concurso para o cargo de analista do SEBRAE realizada pelo CESPE em 2008, onde a mesma realizou a seguinte afirmação a ser julgada: - A seguinte proposição Ninguém ensina ninguém é um exemplo de sentença aberta. RESOLUÇÃO: Esta questão é interessante, pois exige do candidato uma diferenciação entre os conceitos já citados, em que muitos iriam se deter em ficar interpretando a frase sugerida. O que se deve perceber é que quando o CESPE cita que a proposição Ninguém... é uma sentença aberta, torna-se uma contradição, uma vez que, uma proposição pode ser valorada o que não ocorre com uma é uma sentença aberta( não há como se valorar.) Logo o item está errado. APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS 01) ( FCC SFASP-Ag.Fis.Rendas-2006) Considere as seguintes frases: I. Ele foi o melhor jogador do mundo em II. (x+y) / 5 é um numero inteiro. III. João da Silva foi o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em É verdade que APENAS. (A) I é uma sentença aberta. (B) II é uma sentença aberta. (C) I e II são sentenças abertas. (D) I e III são sentenças abertas. (E) II e III são sentenças abertas Comentário: No item I temos uma sentença aberta, pois não se pode determinar quem foi o melhor jogador do mundo em 2005, logo a sentença é aberta; No item II vários valores podem ser atribuídos a x ou a y para que a razão possua resultado inteiro. Ex.: x=5 e y= 10, temos ( ) / 5 = 3 ( 3 pertence aos inteiros) ; pode acontecer o mesmo com x= 20 e y=10, temos ( )= 15 e etc., logo a sentença é aberta; No item III, aí sim, temos uma sentença fechada, pois sabemos determinar quem é o Secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000, ou seja, o Sr. João da Silva. Logo a resposta desta questão é a letra C. 02) ( FCC SFASP-Ag.Fis.Rendas-2006 Adaptada) Das quatro frases abaixo, três delas tem uma mesma característica lógica e comum, enquanto uma delas não tem essa característica. I. Que belo dia! II. Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico. III. O jogo terminou empatado? IV. Escreva uma poesia. A Frase que não possui essa característica comum é a 24

25 (A) IV. (B) III. (C) I. (D) II. Comentário: Das frases acima temos quatro sentenças: I - Que Belo dia! ( não possui uma interpretação lógica sentença exclamativa- não há como valorar. II Josias é um excelente aluno de raciocínio lógico sentença afirmativa - há como valorar. III - O jogo terminou empatado? - sentença interrogativa - não há como valorar. IV Escreva uma poesia. sentença imperativa - não há como valorar. Dentre as quatro apenas uma pode ser valorada, logo temos uma proposição. Neste caso trata-se da segunda frase. A resposta da questão é a letra D 03) UnB/CESPE Banco do Brasil S.A Na lógica de primeira ordem, uma proposição é funcional quando é expressa por um predicado que contém um número finito de variáveis e é interpretada como verdadeira (V) ou falsa (F) quando são atribuídos valores às variáveis e um significado ao predicado. Por exemplo, a proposição Para qualquer x, tem-se que x - 2 > 0 possui interpretação V quando x é um número real maior do que 2 e possui interpretação F quando x pertence, por exemplo, ao conjunto {-4, -3, -2, -1, 0}. Com base nessas informações, julgue os próximos itens. ( ) A proposição funcional Para qualquer x, tem-se que x 2 > x é verdadeira para todos os valores de x que estão no conjunto ( ) A proposição funcional Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 é verdadeira para elementos do conjunto {2, 3, 9, 10, 15, 16}. Comentário: - O primeiro item está errado, pois quando atribuímos a x o valor de ½ a desigualdade torna-se falsa. Por exemplo: x 2 > x = V (½) 2 > ½ ¼ > ½ (F). - O segundo item: Existem números que são divisíveis por 2 e por 3 está errado, pois se verificarmos os elementos do conjunto, eles não são divisíveis por 2 e 3 ( ao mesmo tempo). Por exemplo: o número 10 é divisível por 2 porém não é divisível por 3, O número 15 é divisível por 3, mas não é divisível por 2. Logo o item está Falso. Para que o item estivesse correto a sentença deveria ser: Existem números que são divisíveis por 2 ou por 3. 04) UnB/CESPE Banco do Brasil S.A ( ) A frase Quanto subiu o percentual de mulheres assalariadas nos últimos 10 anos? não pode ser considerada uma proposição. Comentário: O item não é uma proposição, pois não pode ser valorado. É uma sentença interrogativa. O item está correto. 25

26 REPRESENTAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES As proposições podem ser representadas por letras, sendo estas maiúsculas ou minúsculas. p: O estado do Espírito Santo é produtor de Petróleo. q: O mundo precisa de Paz. r: Renato é um aluno dedicado. PROPOSIÇOES SIMPLES OU BÁSICAS: São as proposições que expressam apenas um pensamento. Ex.: Guarapari tem lindas praias. Ex.: José passou no concurso. PROPOSIÇÕES COMPOSTAS: São as proposições que expressam mais de um pensamento. As proposições compostas costumam ser chamadas de fórmulas proposicionais ou apenas fórmulas. Ex.: José passou no concurso e Guarapari tem lindas praias. APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS 01-(CESPE PRODEST Técnico em Informática- adaptada) - Considere a seguinte lista de frases e julgue o item. - I - Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. - II- Qual é o horário do filme? - III- O Brasil é pentacampeão de futebol. - IV- Que belas flores! - V Marlene não é atriz e Djanira é pintora. ( ) Nesta Lista, há exatamente 4 proposições Comentário : Nesta questão acima temos as proposições: - Rio Branco é a capital do estado de Rondônia. (uma proposição, um pensamento). - Qual é o horário do filme? ( sentença) - O Brasil é pentacampeão de futebol. (uma proposição, um pensamento). - Que belas flores! ( sentença) - Marlene não é atriz e Djanira é pintora. (duas proposições- 2 pensamentos) Logo, temos 4 proposições. O item está certo. 02-(UnB/CESPE STF Técnico Judiciário) Filho meu, ouve minhas palavras e atenta para meu conselho. A resposta branda acalma o coração irado. O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da ruína do homem. Se o filho é honesto então o pai é exemplo de integridade. Tendo como referência as quatro frases acima, julgue os itens seguintes. ( ) A primeira frase é composta por duas proposições lógicas simples unidas pelo conectivo de conjunção. ( )A segunda frase é uma proposição lógica simples. ( ) A terceira frase é uma proposição lógica composta. ( ) A quarta frase é uma proposição lógica em que aparecem dois conectivos lógicos. Comentário: O primeiro item está errado, uma vez que temos duas sentenças imperativas (não são proposições) ligadas por um conectivo de conjunção, logo podemos afirmar que não é uma proposição. O segundo item está correto, uma vez que temos apenas uma idéia completa (proposição simples). O terceiro item está errado, pois temos apenas uma idéia completa (proposição simples). 26

27 O quarto item está errado uma vez que temos duas proposições simples (pensamentos) conectadas por um conectivo condicional Se..., então (UnB/CESPE 2008 SEBRAE ANALISTA) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes. ( )A frase Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE é uma proposição simples. ( ) A proposição João viajou para Paris e Roberto viajou para Roma é um exemplo de proposição formada por duas proposições simples relacionadas por um conectivo de conjunção. Comentário O primeiro item está correto, uma vez que temos apenas uma idéia completa (proposição simples). O segundo item está correto, pois temos duas idéias completas conectadas (operadas) por um conectivo de conjunção e. MOMENTO DE TREINAMENTO 01- MRE(CESPE -2008) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras V, ou falsas F, mas não cabem a elas ambos os julgamentos. As proposições simples são freqüentemente simbolizadas por letras maiúsculas do alfabeto, e as proposições compostas são conexões de proposições simples. Uma expressão da forma A^ B é uma proposição composta que tem valor lógico V quando A e B forem ambas V e, nos demais casos, será F, e é lida A e B. A expressão A, não A, tem valor lógico F se A for V, e valor lógico V se A for F. A expressão AV B, lida como A ou B, tem valor lógico F se ambas as proposições A e B forem F; nos demais casos, é V.A expressão A B tem valor lógico F se A for V e B for F. Nos demais casos, será V, e tem, entre outras, as seguintes leituras: se A então B, A é condição suficiente para B, B é condição necessária para A. Uma argumentação lógica correta consiste de uma seqüência de proposições em que algumas são premissas, isto é, são verdadeiras por hipótese, e as outras, as conclusões, são obrigatoriamente verdadeiras por conseqüência das premissas. Considerando as informações acima, julgue o item abaixo. - ( ) Considere a seguinte lista de sentenças: I Qual é o nome pelo qual é conhecido o Ministério das Relações Exteriores? II O Palácio Itamaraty em Brasília é uma bela construção do século XIX. III As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui são, respectivamente, x e y. IV O barão do Rio Branco foi um diplomata notável. Nessa situação, é correto afirmar que entre as sentenças acima, apenas uma delas não é uma proposição. 02 STJ (CESPE 2008-adaptada) A lógica formal representa as afirmações que os indivíduos fazem em linguagem do cotidiano para apresentar fatos e se comunicar. Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F) (embora não se exija que o julgador seja capaz de decidir qual é a alternativa válida). ( ) Nas sentenças abaixo, apenas A e D são proposições. A: 12 é menor que 6. 27

28 B: Para qual time você torce? C: x + 3 > 10. D: Existe vida após a morte. GABARITO: 1 E 2 C SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA MATEMÁTICA Símbolo Significado Símbolo Significado ~ não /\ e V ou União se..., então... intersecção se e somente se Contém tal que Está contido implica = Igual equivalente Diferente existe, algum qualquer que seja, todo existe um e Menor ou igual somente um que Maior ou igual que congruente > Maior que < Menor que Pertence Não pertence OS CONECTIVOS LÓGICOS NA LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL Nas provas de concursos é de suma importância conhecer os significados dos símbolos, os conectivos lógicos e suas linguagens, bem como os termos atuais que estão sendo utilizados, então neste momento iremos nos deter à linguagem da lógica formal. Vamos lá... Exemplos de proposições compostas: P: José é irmão de Maria e André é irmão de João Q: André é dedicado nos estudos ou José pratica esporte. R: Se o professor Josimar Padilha é rigoroso, então seus alunos gostam de lógica. S: Josias era um homem admirado se, e somente se, gostava muito da sua família. 28

29 Conectivos Operadores Símbolos Significados CONJUNÇÃO /\ e / mas DISJUNÇÃO INCLUSIVA V ou DISJUNÇÃO EXCLUSIVA V ou...ou... CONDICIONAL Se...então.. / Quando BICONDICIONAL Se, e somente se APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA ( CESPE-2008) Uma proposição é uma afirmação que pode ser julgada como verdadeira V, ou falsa F, mas não como ambas. Uma proposição é denominada simples quando não contém nenhuma outra proposição como parte de si mesma, e é denominada composta quando for formada pela combinação de duas ou mais proposições simples. De acordo com as informações contidas no texto, julgue os itens a seguir. 1 A frase Você sabe que horas são? é uma proposição. 2 A frase Se o mercúrio é mais leve que a água, então o planeta Terra é azul, não é considerada uma proposição composta. Comentário : Item 1- A frase Você sabe que horas são? trata-se de uma sentença interrogativa, logo as sentenças interrogativas não são proposições, pois as mesmas não podem ser valoradas. Logo o item está incorreto. Item 2 As proposições compostas são aquelas que expressam mais de um pensamento completo, sendo assim, os conectivos lógicos são utilizados para criar novas proposições, ou até mesmo modificá-las. Tomando a seguinte sentença: Se o mercúrio é mais leve que a água, então o planeta Terra é azul,temos duas idéias conectadas por um conectivo condicional Se,...então,.... Logo o item está incorreto. IMPORTANTE!!! É obvia a necessidade de usar parênteses na simbolização das proposições, que devem ser colocados a evitar qualquer tipo de ambigüidade. A ordem de precedência para os conectivos é: 1- Negação; 2- conjunção e disjunção; 3- condicional; 4 bicondicional. Portanto, o conectivo mais fraco é a negação e o mais forte é o bicondicional. 29

30 MOMENTO DE TREINAMENTO LINGUAGEM DA LÓGICA FORMAL Dadas a proposições: p: Estudo lógica. q: Passo em concurso público. r: Estudo com dedicação. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) p b) p q c) p q d) q p e) p r f) p q g) ~r ~q h) ( r q ) p i) ~( p ~q) p 01) (CESPE/TCU-2004) ADAPTADA - Considere que as letras P,Q e R representam proposições e os símbolos, e são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e e então, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas(valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão definidos, para cada valoração atribuída às letras proposicionais na tabela abaixo. a) A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ( R Q). b) A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P Q. 02) (CESPE-2006) Considere que P, Q, R e S representem proposições e que os símbolos,, e sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor verdadeiro (V) ou falso (F). Considere, ainda, que P, Q, R e S representem as sentenças listadas abaixo. P: O homem precisa de limites. Q: A justiça deve ser severa. R: A repressão ao crime é importante. S: A liberdade é fundamental. Com base nessas informações, julgue os itens. a) A sentença A liberdade é fundamental, mas o homem precisa de limites, pode ser corretamente 30

31 representada por P ~S. b) A sentença A repressão ao crime é importante, se a justiça deve ser severa. Pode ser corretamente representada por R Q. c) A sentença Se a justiça não deve ser severa nem a liberdade fundamental, então a repressão ao crime não é importante, pode ser corretamente representada por (~Q) (~S) ~R.. d) A sentença Ou o homem não precisa de limites e a repressão ao crime não é importante, ou a justiça deve ser severa, pode ser corretamente representada por ((~P) (~R)) Q. e) A sentença Se a justiça deve ser severa, então o homem precisa de limites pode ser corretamente representada por Q P. 03) (CESPE-2006) Uma proposição pode ter valoração verdadeira (V) ou falsa (F). Os caracteres, e que simbolizam não, ou e e, respectivamente, são usados para formar novas proposições. Por exemplo, se P e Q são proposições, então P Q, P Q e P também são proposições. Considere as proposições seguir. A: as despesas foram previstas no orçamento B: os gastos públicos aumentaram C: os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único D: a lei é igual para todos. A partir dessas informações, julgue os itens subseqüentes. a) A proposição Ou os gastos públicos aumentaram ou as despesas não foram previstas no orçamento está corretamente simbolizada por ( B) ( A). b) A (C ( B)) simboliza corretamente a proposição As despesas foram previstas no orçamento e, ou os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único ou os gastos públicos não aumentaram. c) A proposição Não é verdade que os funcionários públicos são sujeitos ao Regime Jurídico Único nem que os gastos públicos aumentaram está corretamente simbolizada pela forma ( C) ( B). 04) (CESPE/PF-2004 Adaptada) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos,, e sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. Considere as sentenças abaixo. I Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam. II Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde. III Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. IV Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser proibido. V Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; conseqüentemente, muitos europeus fumam. Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir. P Q Fumar deve ser proibido. Fumar deve ser 31

32 R T encorajado. Fumar não faz bem à saúde. Muitos europeus fumam. Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes. 1 A sentença I pode ser corretamente representada por P ( T). 2 A sentença II pode ser corretamente representada por ( P) ( R). 3 A sentença III pode ser corretamente representada por R P. 4 A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ( T)) P. 5 A sentença V pode ser corretamente representada por T (( R) ( P)). 05) (CESPE/TSE-2007) Na análise de um argumento, pode-se evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposições e que,, e sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente e, ou, negação e o conector condicional. Considere também a proposição a seguir. Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal, assumindo que P= Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus, Q= Quando Paulo vai ao trabalho de metrô, R= ele sempre leva um guarda-chuva e S= ele sempre leva dinheiro trocado. a) P (Q R) c) (P Q) (R S) b) (P Q) R d) P (Q (R S)). 06) CESPE 2007 BANCO DO BRASIL Há duas proposições no seguinte conjunto de sentenças: (I) O BB foi criado em (II) Faça seu trabalho corretamente. (III) Manuela tem mais de 40 anos de idade. 07) CESPE 2008 ANALISTA JUDICIÁRIO - STF Considere as seguintes proposições lógicas representadas pelas letras P, Q, R e S: P: Nesse país o direito é respeitado. Q: O país é próspero. R: O cidadão se sente seguro. S: Todos os trabalhadores têm emprego. Considere também que os símbolos V, ^, e representem os conectivos lógicos ou, e, se... então e não, respectivamente. Com base nessas informações, julgue os itens seguintes. 1. A proposição Nesse país o direito é respeitado, mas o cidadão não se sente seguro pode ser representada simbolicamente por P^( R). 32

33 2. A proposição Se o país é próspero, então todos os trabalhadores têm emprego pode ser representada simbolicamente por Q S. 3. A proposição O país ser próspero e todos os trabalhadores terem emprego é uma conseqüência de, nesse país, o direito ser respeitado pode ser representada simbolicamente por (Q^R) P. TREINAMENTO : GABARITO 01-CC a) não estudo lógica 02-EECEC b) estudo lógica e passo em concurso público 03-EEC c)estudo lógica ou passo em concurso público 04-ECCCE d) passo em concurso público se e somente se estudo lógica 05-C e) se estudo lógica então estudo com dedicação 06-C f) estudo lógica se e somente se não passo em concurso público 07- CCE g) não estudo com dedicação e não passo em concurso público h) se estudo com dedicação ou não passo em concurso público, então estudo lógica. i) se é falso que estudo lógica e não passo em concurso público, então passo em concurso público CONSTRUÇÃO DE UMA TABELA VERDADE Se uma proposição composta é formada por n variáveis proposicionais, a sua tabela verdade possuirá 2 n linhas. Nº de linhas = 2 n Proposições EXEMPLO 01: Quantas linhas possuem a tabela verdade da proposição composta (P /\ Q)? SOLUÇÃO: O número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 2, ou seja, n = 2, então N de linhas= 2 2 = 4 linhas.veja: P Q (P /\ Q) V V V V F F F V F F F F EXEMPLO 02: Quantas linhas possuem a tabela verdade da proposição composta (P/\Q) v R? SOLUÇÃO: 33

34 O número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 3, ou seja, n = 3, então N de linhas= 2 3 = 8 linhas.veja: P Q R (P /\ Q) (P /\ Q) v R V V V V V V V F F V V F V F V F V V F V V F F F F F V F F V F F V F V F F F F F NÚMERO DE VALORAÇÕES DISTINTAS O número de valorações distintas que podem ser obtidas para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2 n de Linhas. Nº. de valorações = 2 n de Linhas. Exemplo: Qual o número de valorações distintas que podem ser obtidas para proposições com exatamente duas variáveis proposicionais? SOLUÇÃO: O número de proposições simples, variáveis proposicionais, é igual a 2, ou seja, n = 2, então temos 2 2 = 4 linhas, então podem ser obtidas 2 4 = 16 valorações distintas. APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS 01(CESPE TCU ADAPTADA) Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos e são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, e então, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos. Com base nessas informações e no texto, julgue o item seguinte. 1. O número de valorações possíveis para (Q /\ R) P é inferior a 9. Comentário : Como já visto o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis) que podem ser obtidas para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2 n, logo temos: 2 3 = 8. Sendo assim temos que 8 é inferior a 9. O item está correto. 02 (CESPE TRT 5ª REGIÃO 2008) - Se A, B, C e D forem proposições simples e distintas, então o número de linhas da tabela-verdade da proposição (A B) (C D) será superior a 15. Comentário : 34

35 Como já visto o número de tabelas de valorações distintas (valorações possíveis) que podem ser obtidas para proposições com n variáveis proposicionais é igual a 2 n, logo temos: 2 4 = 16. Sendo assim temos que 16 é superior 15. O item está correto. CONECTIVOS OU OPERADORES LÓGICOS 01 - DISJUNÇÃO INCLUSIVA A disjunção inclusiva é a proposição composta formada por duas proposições simples que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo ou. Tabela Verdade P Q P v Q V V V V F V F V V F F F O operador ou tem o sentido de um ou outro, possivelmente ambos. O operador ou em operações de conjuntos dá idéia de União e uma idéia de Soma. 02- DISJUNÇÃO EXCLUSIVA Denomina-se disjunção exclusiva a proposição composta formada por duas proposições simples que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo ou...ou... Tabela Verdade R S R v S V V F V F V F V V F F F O operador ou...ou... tem o sentido de um ou outro e não ambos. O operador ou..ou... em operações de conjuntos dá idéia de União dos exclusivos e uma idéia da Soma dos exclusivos. Quando se utilizar o ou no sentido exclusivo é comum adicionar no final a expressão: mas não os dois. 35

36 APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS 1) (ESAF) De três irmãos - José, Adriano e Caio. Sabe-se que ou José é o mais velho, ou Adriano é o mais moço. Sabe-se também que, ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. Então, o mais velho e o mais moço dos três irmãos são, respectivamente: A) Caio e José B) Caio e Adriano C) Adrianoe Caio D) Adrianoe José E) José e Adriano Comentário : Aplicando mão da dica acima temos que todas as proposições premissas são verdadeiras, logo iremos valorá-las com V e aplicando a tabela verdade do conectivo utilizado na proposição iremos valorando as proposições simples que compõem as premissas P1e P2. P1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço V P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. V Para que os resultados das premissas (P1e P2) sejam verdadeiros temos que valorar as proposições simples sublinhadas de acordo com a tabela-verdade da disjunção exclusiva. Então teremos: F V P1: ou José é o mais velho ou Adriano é o mais moço V F V P2: ou Adriano é o mais velho ou Caio é o mais velho. V Logo, Conclusão (o mais velho é Caio e o mais moço é Adrinano ) V MOMENTO DE TREINAMENTO Conectivos: Disjunção e disjunção exclusiva 01) (ESAF) Maria tem três carros: um gol, um corsa e um fiesta. Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro é azul. Sabe-se que: 1) ou gol é branco, ou o fiesta é branco, 2) ou o gol é preto, ou o corsa é azul, 3) ou o fiesta é azul, ou o corsa é azul, 4) ou o corsa é preto, ou o fiesta é preto. Portanto, as cores do gol, corsa e do fiesta são, respectivamente: A) Branco, preto, azul; 36

37 B) Preto, azul, branco; C) Azul, branco, preto; D) Preto, branco, azul; E) Branco, azul, preto. 02) (MPU/2004) Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles é médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-se que: 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico, 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico, 4) ou Rogério é J'professor, ou Renato é professor. Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e Renato são, respectivamente, A) Professor, médico, músico. B) Médico, professor, músico. C) Professor, músico, médico. D) Músico, médico, professor. E) Médico, músico, professor. 03) (ANEEL-2004/ESAF) Surfo ou estudo. Fumo ou não surfo. Velejo ou não estudo. Ora, não velejo. Assim, A) estudo e fumo. B) não fumo e surfo. C) não velejo e não fumo. D) estudo e não fumo. E) fumo e surfo. 04) (CESPE-2007) Circuitos lógicos são estruturas que podem ser exibidas por meio de diagramas constituídos de componentes denominados portas lógicas. Um circuito lógico recebe um ou mais de um valor lógico na entrada e produz exatamente um valor lógico na saída. Esses valores lógicos são representados por 0 ou 1. As portas lógicas OU e N (não) são definidas pelos diagramas abaixo. Nesses diagramas, A e B representam os valores lógicos de entrada e S, o valor lógico da saída. Em OU, o valor de S é 0 quando A e B são ambos 0, caso contrário, é 1. Em N, o valor de S é 0 quando A for 1, e é 1 quando A for 0. Considere o seguinte diagrama de circuito lógico. Com base nas definições apresentadas e no circuito ilustrado acima, julgue os itens subseqüentes. 1 Considere-se que A tenha valor lógico 1 e B tenha valor lógico 0. Nesse caso, o valor lógico de S será 0. 2 A saída no ponto Q terá valor lógico 1 quando A tiver valor lógico 0 e B tiver valor lógico (CESPE-2007) Os símbolos que conectam duas proposições são denominados conectivos. Considere a proposição definida simbolicamente por A B, que é F quando A e B são ambos V ou ambos F, caso contrário 37

38 é V. O conectivo é denominado ou exclusivo porque é V se, e somente se, A e B possuírem valorações distintas. Com base nessas informações e no texto II, julgue os itens que se seguem. 1. A proposição João nasceu durante o dia ou João nasceu durante a noite não tem valor lógico V. 06- (CGU-2008) Sou amiga de Abel ou sou amiga de Oscar. Sou amiga de Nara ou não sou amiga de Abel. Sou amiga de Clara ou não sou amiga de Oscar. Ora, não sou amiga de Clara. Assim, a) não sou amiga de Nara e sou amiga de Abel. b) não sou amiga de Clara e não sou amiga de Nara. GABARITO 01 E 02 E 03 E 04 EC 05 E 06 C c) sou amiga de Nara e amiga de Abel. d) sou amiga de Oscar e amiga de Nara. e) sou amiga de Oscar e não sou amiga de Clara. III-CONJUNÇÃO Denomina-se conjunção a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas (operadas) pelo conectivo "e". Exemplo: T: José trabalha no Tribunal. (1º Conjuntivo) U: José mora em Brasília. (2º Conjuntivo) Tabela Verdade I E I /\ E V V V V F F F V F F F F I E Concluindo... O operador e tem o sentido de ambos, simultaneidade, ao mesmo tempo. O operador e em operações de conjuntos dá idéia de Intersecção e uma idéia de multiplicação. APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS 01( FUNIVERSA-POLÍCIA CIVIL-DF 2008) Os valores lógicos verdadeiro e falso podem constituir uma álgebra própria, conhecida como álgebra booleana. As operações com esses valores podem ser representadas em tabelas-verdade, como exemplificado abaixo: A B A e B falso falso falso falso verdadeiro falso 38

39 verdadeiro falso falso verdadeiro verdadeiro verdadeiro As operações podem ter diversos níveis de complexidade e também diversas tabelas-verdade. Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa correta. I- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão ( A e B e C), são, respectivamente, falso, falso e verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é falso. II- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão ( A ou B ou C), são, respectivamente, falso, verdadeiro e falso, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro. III- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão [ A e (B ou C)], são, respectivamente, falso, verdadeiro e verdadeiro, então o valor lógico dessa expressão é verdadeiro. IV- Se os valores lógicos de A, B e C na expressão e falso, então o valor lógico dessa expressão é falso [ A ou (B e C)], são, respectivamente, verdadeiro, falso a) Todas as afirmativas estão erradas. b) Há apenas uma afirmativa certa. c) Há apenas duas afirmativas certas. d) Há apenas três afirmativas certas. e) Todas as afirmativas estão certas. Comentário: Esta questão trata-se apenas da aplicação da tabela verdade. O item I - A ^B ^C O item II A v B v C F ^F ^ V = F ( certo o item ) F v V v F = V ( certo o item ) O item III - [ A ^ (B V C)] [ F ^ ( V v V )] = F ( errado o item ) O item IV [ A ou (B e C)] [ V v (F ^ F)] = V ( errado o item) RESPOSTA C 02) (CESPE-2008) Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa. Um argumento é considerado válido se, sendo sua hipótese verdadeira, a sua conclusão também é verdadeira. Considerando essas informações e a figura acima, em que estão colocadas algumas figuras geométricas conhecidas quadrados, triângulos e pentágonos (5 lados) dispostas em uma grade, julgue os itens seguintes. 1 A afirmativa Existe um pentágono grande e todos os triângulos são pequenos é uma proposição falsa. Comentário: Analisando a grade temos: 39

40 Existe um pentágono grande e todos os triângulos são pequenos. V/F(?) ^ F = F Sendo a primeira proposição Existe um pentágono grande verdadeiro ou falso(?), pois segundo a grade temos apenas um tamanho de pentágono, o que não nos permite afirmar com certeza que ele é pequeno ou grande( uma sentença aberta não valorada- não há referencial) a segunda proposição todos os triângulos são pequenos falsa, pois segundo a grade temos triângulos grandes. Logo pela conjunção temos um resultado falso, pois se uma proposição é falsa, o resultado já é falso. O item está correto por afirmar que a proposição é falsa. IV-CONDICIONAL Denomina-se condicional a proposição composta formada por duas proposições que estejam ligadas( operadas) pelo conectivo Se..., então... / Quando. A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas idéias de natureza lógica que são fundamentais para a Matemática e o desenvolvimento do raciocínio. Por exemplo, a implicação lógica denotada por A B pode ser interpretada como uma inclusão entre conjuntos, ou seja, como A B, em que A é o conjunto cujos objetos cumprem a condição a, e b é o conjunto cujos objetos cumprem a condição b. A B A B V V V V F F F V V F F V Em uma proposição condicional não existe a possibilidade de termos a primeira verdadeira e a segunda falsa, então se sabemos que a primeira é verdadeira, a segunda, por dedução, deverá ser considerada verdadeira e se sabemos que a segunda é falsa a primeira deverá ser considerada falsa. Note também que: se sabemos que a primeira é falsa, não temos como deduzir o valor-lógico da segunda, e, se sabemos que a segunda é verdadeira não temos como deduzir o valor-lógico da primeira. Veja: A B Antecedente Conseqüente Em uma proposição condicional temos as seguintes condições: X Antecedentes Conseqüentes Y X= Condicional suficiente Y= Condicional Necessária Ex: Se o dia estiver claro, estão José vai ao comércio. 40

41 Temos que: O dia estar claro é condição suficiente para José ir ao comércio. ou José ir ao comércio é condição necessária para o dia estar claro O Operador Se...então... dá idéia de inclusão de dois conjuntos, em que, p q p q Uma observação muito importante para o conectivo condicional é que o mesmo não pode (comutar) a tabela verdade ostra isto claramente nas linhas 2 e 3, em que os resultados são diferentes. V V V V F F F V V F F V Uma outra demonstração é por meio dos diagramas, onde temos: p q APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS 01) (ESAF) Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: A) O jardim é florido e o gato mia; B) O jardim é florido e o gato não mia; C) O jardim não é florido e o gato mia; D) O jardim não é florido e o gato não mia; E) Se o passarinho canta então o gato não mia Comentário : Partindo do princípio de que todas as premissas são verdadeiras temos: V V P1: O jardim não é florido O gato mia (V) F F (V) 41

42 P2: O jardim é florido o passarinho não canta P3: O passarinho canta (V) Partindo da premissa p3 como (V) temos as seguintes valorações para as demais proposições simples, de acordo com a tabela verdade da condicional analisando as respostas: a) o jardim é florido e o gato mia. F /\ V = F b) o jardim é florido e o gato não mia. F /\ F = F c) o jardim não é florido e o gato mia. V /\ V = V d) o jardim não é florido e o gato não mia. V /\ F = F e) Se o passarinho canta então o gato não mia. V F = F Logo temos que a sentença C é verdadeira. Obs: você percebeu que tivemos que analisar cada uma das opções para encontrar o item verdadeiro. 03) (CESPE-2008) Uma proposição é uma frase afirmativa que pode ser julgada como verdadeira ou falsa. Um argumento é considerado válido se, sendo sua hipótese verdadeira, a sua conclusão também é verdadeira. Considerando essas informações e a figura acima, em que estão colocadas algumas figuras geométricas conhecidas quadrados, triângulos e pentágonos (5 lados) dispostas em uma grade, julgue o item seguinte. 1 A proposição Se A é um triângulo pequeno, então A está atrás de C é verdadeira. Comentário: A proposição composta: A é um triângulo pequeno A está atrás de C será valorada pela grade acima apresentada. Então: (verdade) (falsa) A é um triângulo pequeno A está atrás de C V F = F (falso) Item errado. 42

43 MOMENTO DE TREINAMENTO (Conectivos: Disjunção, disjunção exclusiva, conjunção e condicional) 01) (ESAF) Se Beto briga com Glória, então Glória vai ao cinema. Se Glória vai ao cinema, então Carla fica em casa. Se Carla fica em casa, então Raul briga com Carla. Ora, Raul não briga com Carla, logo: A) Carla não fica em casa e Beto não briga com Glória B) Carla fica em casa e Glória vai ao cinema. C) Carla não fica em casa e Glória vai ao cinema. D) Glória vai ao cinema e Beto briga com Glória. E) Glória não vai ao cinema e Beto briga com Glória. 02) (ESAF) Se não durmo, bebo. Se estiver furioso, durmo. Se dormir, não estou furioso. Se não estou furioso, não bebo. Logo: A) Não durmo, estou furioso e não bebo. B) Durmo, estou furioso e não bebo. C) Não durmo, estou furioso e bebo. D) Durmo, não estou furioso e não bebo. E) Não durmo, não estou furioso e bebo. 03) (ESAF) Há três suspeitos de um crime: o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-se que o crime foi efetivamente cometido por um ou por mais de um deles, já que podem ter agido individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: I. Se o cozinheiro é inocente, então a governanta é culpada; II. Ou o mordomo é culpado ou a governanta é culpada, mas não os dois; III. O mordomo não é inocente. Logo: A) A governanta e o mordomo são os culpados. B) Cozinheiro e o mordomo são os culpados. C) Somente a governanta é culpada. D) Somente o cozinheiro é inocente. E) Somente o mordomo é culpado. 04) (ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme "Fogo contra fogo", mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís, e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está em cartaz ou não. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver enganado então o filme não está sendo exibido. Ora. Ou o filme "Fogo contra fogo" está sendo exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo: A) Filme "fogo contra fogo" está sendo exibido. B) Luís e Júlio não estão enganados. C) Júlio está enganado, mas não Luís. D) Luís está enganado, mas não Júlio. E) José não irá ao cinema. 05) (AFC) Ou lógica é fácil, ou Arthur não gosta de Lógica. Por outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é difícil. Daí segue-se que, se Arthur gosta de Lógica, então: A) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. B) Lógica é fácil e Geografia é difícil. C) Lógica é fácil e Geografia é fácil. D) Lógica é difícil e Geografia é difícil. E) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. 43

44 06) (ESAF) Ou Celso compra um carro, ou Ana vai à África, ou Rui vai a Roma. Se Ana vai à África, então Luís compra um livro. Se Luís compra um livro, então Rui vai a Roma. Ora Rui não vaia Roma, logo: A) Celso compra um carro e Ana não vai à África; B) Celso não compra um carro e Luís não compra o livro; C) Ana não vai à África e Luís compra um livro; D) Ana vai à África ou Luís compra um livro; E) Ana vai à África e Rui não vai a Roma. 07) (ESAF) Se Nestor disse a verdade, Júlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a verdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. Logo: A) Nestor e Júlia disseram a verdade. B) Nestor e Lauro mentiram. C) Raul e Lauro mentiram. D) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade. E) Raul e Júlia mentiram. 08) (ESAF) Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Júlia têm a mesma idade. Se Maria e Júlia têm a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então: A) Carlos não é mais velho do que Júlia, e João é mais moço do que Pedro; B) Carlos é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia têm a mesma idade; C) Carlos e João são mais moços do que Pedro; D) Carlos é mais velho do que Pedro e João é mais moço do que Pedra; E) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Júlia não têm a mesma idade. 09) (ESAF) Quando não vejo Carlos, não passeio ou fico deprimida. Quando chove, não passeio e fico deprimida. Quando não faz calor e passeio, não vejo Carlos. Quando não chove e estou deprimida, não passeio. Hoje eu passeio. Portanto, hoje: A) vejo Carlos, e não estou deprimida, e chove, e faz calor; B) não vejo Carlos, e estou deprimida, e chove, e faz calor; C) vejo Carlos, e não estou deprimida, e não chove, e faz calor-; D) não vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e não faz calor; E) vejo Carlos, e estou deprimida, e não chove, e faz calor. 10) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos /\, v e sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto acima, julgue os itens a seguir. (1) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição (. P) V (. Q) também é verdadeira. (2) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R (T) é falsa. (3) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P /\ R) (Q) é verdadeira. 11) (CESPE ) Considere que as letras P, Q e R representam proposições e os símbolos e são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, e então, respectivamente. Na lógica proposicional que trata da expressão do raciocínio por meio de proposições que são avaliadas (valoradas) como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas nunca ambos, esses operadores estão definidos, para cada valoração atribuída às letras proposicionais, na tabela abaixo. P Q P P /\ Q P Q 44

45 V V F V V V F F F F V V F V F F F V Suponha que P represente a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. Com base nessas informações e no texto, julgue os itens seguintes. (1) A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ( R /\ Q). (2) A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P /\ Q. (3) Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valorada como V, então a sentença representada por P Q é falsa. GABARITO 01 A 08 E 02 D 09 C 03 B 10 EEC 04 E 11 CCE 05 B 06 A 07 B V - BICONDICIONAL Denomina-se bicondicional a proposição composta formada por duas proposições que estejam ligadas pelo conectivo se, e somente se. Exemplo: A: Gosto de lógica. B: Gosto de matemática. A proposição bi-condicional A se, e somente se, B' pode ser escrita como: Tabela Verdade A B: Gosto de lógica se, e somente se,gosto de matemática. A B A B Quando declaramos que esta proposição bicondicional devemos de acordo com os axiomas da Lógica aceitar como verdadeiro que: Se é V V V verdade que Gosto de lógica, obrigatoriamente, é verdade que Gosto de matemática. Se é verdade que gosto de matemática, obrigatoriamente, é verdade que Gosto de lógica. Se é falso que gosto de lógica, obrigatoriamente, é falso que gosto de matemática, e, se é falso que gosto de matemática, obrigatoriamente, é falso que gosto de lógica. Qualquer outra possibilidade representa um conjunto vazio. A tabela e o diagrama abaixo representam esta situação. 45

46 V F F F V F F F V Conclusão: Na proposição bi-condicional se a primeira das duas proposições simples que a compõem for verdadeira a segunda será verdadeira e se a primeira for falsa a segunda será falsa. Se a segunda for falsa a primeira será falsa e se a segunda for verdadeira a primeira será verdadeira. Veja: Quando temos: V F V F P Q P Q e Logo P=Q Q P Q P P Q Uma aplicação deste conceito foi comentada na prova do TRF 1ª REGIÃO em Se todos nossos atos tem causas, então não há atos livres. Se não há atos livres, então todos nossos atos tem causas. Tomando como proposições: P1: Todos nossos atos tem causas. P2: Não há atos livres. P Q Q P P Q Todos nossos atos tem causas se e somente se não há atos livres. P é condição necessária e suficiente para Q Temos que observar que em muitas questões de concursos públicos os conectivos lógicos: condicional e bicondicional são expressões não em uma linguagem formal ( seu significado), mas por meio de condições impostas as proposições simples que compõem uma sentença composta. Vejamos nas questões abaixo: APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS 01-(EPPGG - MP/2005 ESAF) Carlos não ir ao Canadá é condição necessária para Alexandre ir à Alemanha. Helena não ir à Holanda é condição suficiente para Carlos ir ao Canadá. Alexandre não ir à Alemanha é condição necessária para Carlos não ir ao Canadá. Helena ir à Holanda é condição suficiente para Alexandre ir à Alemanha. Portanto: a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. 46

47 c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha. e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. Comentário : Primeiramente vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos a uma conclusão verdadeira. (F) (F) P1: Alexandre ir à Alemanha Carlos não ir ao Canadá (V) (V) (V) P2: Helena não ir à Holanda Carlos ir ao Canadá (V) (F) (V) P3: Carlos não ir ao Canadá Alexandre não ir à Alemanha(V) (F) (F) P4: Helena ir à Holanda Alexandre ir à Alemanha (V) Logo partindo de que todas as premissas ( proposições ) são verdadeiras e utilizando as tabelasverdade valoramos as proposições simples. Analisando os itens propostos pela questão para se chegar a uma conclusão verdadeira, temos: a) Helena não vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. V ^ F ^ V = F ( errado ) b) Helena vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. F ^ V ^V = F ( errado ) c) Helena não vai à Holanda, Carlos vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. V ^ V ^V = V ( certo ) d) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre vai à Alemanha. F ^ F ^ F = F ( errado ) e) Helena vai à Holanda, Carlos não vai ao Canadá, Alexandre não vai à Alemanha. F ^F ^ F = F ( errado ) Logo temos como item correto a letra C. 02 (ESAF/TÉCNICO-2006) Sabe-se que Beto beber é condição necessária para Carmem cantar e condição suficiente para Denise dançar. Sabe-se, também, que Denise dançar é condição necessária e suficiente para Ana chorar. Assim, quando Carmem canta, a) Denise não dança ou Ana não chora. b) nem Beto bebe nem Denise dança. c) Beto bebe e Ana chora. d) Beto não bebe ou Ana não chora e) Denise dança e Beto não bebe Comentário : Primeiramente vamos identificar os conectivos e construir a estrutura para chegarmos a uma conclusão verdadeira. (V) (V) P1: Carmem cantar Beto beber (V) (V) (V) P2: Beto beber Denise dançar (V) (V) (V) P3: Denise dançar Ana chorar (V) (V) P4: Carmem cantar (V) Logo partindo de que todas as premissas ( proposições ) são verdadeiras e utilizando as tabelasverdade valoramos as proposições simples. Analisando os itens propostos pela questão para se chegar a uma conclusão verdadeira, temos: (F) v (F) = (F) a) Denise não dança ou Ana não chora 47

48 (F) ^ (F) = F b) Nem Beto nem Denise dançam (V) ^ (V) = V c) Beto bebe e Ana chora (F) ^ (F) =F d) Beto não bebe e Ana não chora (V) ^ (F) =F e) Denise dança e Beto não bebe. Logo temos como item correto a letra C. Momento de Treinamento 1) (ESAF) Sabe-se que João estar feliz é condição necessária para Maria sorrir e condição suficiente para Daniela abraçar Paulo. Sabe-se, também, que Daniela abraçar Paulo é condição necessária e suficiente para Sandra abraçar Sérgio. Assim, quando Sandra não abraça Sérgio: A) João está feliz, e Maria não sorri, e Daniela abraça Paulo. B) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela não, abraça Paulo. C) João está feliz, e Maria sorri, e Daniela não abraça Paulo. D) João não está feliz, e Maria não sorri e Daniela não abraça Paulo. E) João não está feliz, e Maria sorri, e Daniela abraça Paulo. 2) (ESAF) O Rei ir à caça é condição necessária para o Duque sair do castelo, e é condição suficiente para a Duquesa ir ao jardim. Por outro lado, o Conde encontrar a Princesa é condição necessária e suficiente para o Barão sorrir e é condição necessária para a Duquesa ir ao jardim. O barão não sorriu, logo: A) A Duquesa foi ao jardim ou o Conde encontrou a Princesa. B) Se o Duque não saiu do castelo, então o Conde encontrou a Princesa. C) O Rei não foi à caça e o Conde não encontrou a Princesa. D) O Rei foi à caça e a Duquesa não foi ao jardim. E) O Duque saiu do castelo e o rei não foi à caça. 3) (ESAF) Sabe-se que a ocorrência de B é condição necessária para a ocorrência de C e condição suficiente para a ocorrência de D. Sabe se, também, que a ocorrência de D é condição necessária e suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C ocorre: A) D ocorre e B não ocorre. B) D não ocorre ou A não ocorre. C) B e A ocorrem. D) Nem B nem D ocorrem. E) B não ocorre ou A não ocorre. GABARITO 01 D 02 C 03 C 48

49 VI- NEGAÇÃO OU MODIFICADOR LÓGICO O 'não' é chamado de modificador lógico porque ao ser inserido em uma proposição muda seu valor lógico, ou seja, faz a negação da proposição. Quando formos representar a negação de uma proposição, vamos usar o sinal de til (~) ou ( ) antes da letra que representa a proposição Proposição p Proposição p Reginaldo é trabalhador Reginaldo não é trabalhador Não é verdade que Reginaldo é trabalhador É falso que Reginaldo é trabalhador Se uma proposição p é verdadeira, então a sua negação, a proposição p, é falsa. Veja: Se a proposição... A bola é pesada então a proposição... A bola não é pesada tem valor lógico... verdadeiro tem valor lógico... Falso Se uma proposição p é verdadeira, então a sua negação, proposição p, é falsa.veja: Se a proposição... Não quero. então a proposição... Quero. tem valor lógico... verdadeiro tem valor lógico... Falso Não quero, verdadeiro. Quero, falso Podemos representar as tabelas acima apenas por: p V F ~ p ou p F V 49

50 03 LÓGICA DE 1ª ORDEM VERDADES E MENTIRAS As três Leis do Pensamento ou Princípios Fundamentais da Lógica Proposicional Os que definiram a Lógica como a ciência. das leis do pensamento sustentaram, freqüentemente, que existem exatamente três leis fundamentais do pensamento, as quais são necessárias e suficientes para que o pensar se desenvolva de maneira "correta". Essas leis do pensamento receberam, tradicionalmente, os nomes de Princípio de Identidade, Princípio de Contradição (por vezes, Principio de Não-Contradição) e Princípio do Terceiro Excluído. Há formulações alternativas desses princípios, apropriadas a diferentes contextos. No nosso caso, as formulações apropriadas são as seguintes: O Princípio de Identidade afirma.que se qualquer enunciado é verdadeiro, então ele é verdadeiro., O Princípio da Não-contradição afirma que nenhum enunciado pode ser verdadeiro e falso. O Princípio do Terceiro Excluído afirma que um enunciado ou é verdadeiro, ou é falso. O princípio da Identidade afirma que todo o enunciado da forma p p é verdadeiro, ou seja, que todo o enunciado desse tipo é uma tautologia. O princípio de Contradição afirma que todo o enunciado da forma p /\ ~ p é falso, ou seja, que todo o enunciado desse tipo é contraditório. O Princípio do Terceiro Excluído afirma que todo o enunciado da forma p v ~ p é verdadeiro, ou seja, que todo o enunciado desse tipo é uma tautologia. Nas provas de concursos temos questões de analítica em que devemos aplicar conhecimentos associados aos princípios fundamentais, onde devemos experimentar as duas valorações possíveis para uma proposição, V ou F. Sendo que apenas uma das hipóteses deverá dar certo, a outra resultará em uma contradição, vamos aos exemplos: APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA 01-( CESPE 2008 SEBRAE -ANALISTA )Com relação à lógica formal, julgue o item seqüente. ( ) Toda proposição lógica pode assumir no mínimo dois valores lógicos. 50

51 Comentário O item está errado, pois segundo a informação da sentença dá-se a entender que uma proposição pode assumir uma quantidade de dois ou mais valores lógicos, o que não respeita uma das leis do pensamento: Princípio do Terceiro Excluído. 02- (CESPE PF- PAPILOSCOPISTA) - Denomina-se contradição uma proposição que é sempre falsa. Uma forma de argumentação lógica considerada válida é embasada na regra da contradição, ou seja, no caso de uma proposição R verdadeira (ou R verdadeira), caso se obtenha uma contradição, então concluise que R é verdadeira (ou R é verdadeira). Considerando essas informações e o texto de referência, e sabendo que duas proposições são equivalentes quando possuem as mesmas valorações, julgue o item que se segue: ( ) Considere que, em um pequeno grupo de pessoas G envolvidas em um acidente, haja apenas dois tipos de indivíduos: aqueles que sempre falam a verdade e os que sempre mentem. Se, do conjunto G, o indivíduo P afirmar que o indivíduo Q fala a verdade, e Q afirmar que P e ele são tipos opostos de indivíduos, então, nesse caso, é correto concluir que P e Q mentem. Comentário : Neste tipo de questão temos apenas dois tipos de indivíduos, logo aplicaremos o seguinte método (experimentação): Primeiro atribuiremos a P que ele fale sempre a verdade, então iremos realizar a análise, se houver alguma contradição, iremos atribuir a P que ele sempre fale a mentira. Uma das hipóteses dará certo, de acordo com as leis do pensamento. Sendo assim temos: Indivíduo P Q fala a verdade Indivíduo Q Eu e P somos de tipos opostos FALA VERDADE FALA VERDADE 1- Atribuindo a P V(verdade) acreditaremos no que ele disser, pois fala a verdade, logo ao falar que Q fala a verdade, teremos que Q irá falar a verdade também (v). ANALISANDO: Quando Q afirma que ele e P são tipos opostos, o mesmo entra em contradição, o que não deveria acontecer, pois o mesmo só fala a verdade, logo esta análise está inválida. Indivíduo P Indivíduo Q Q fala a verdade Eu e P somos de tipos opostos FALA MENTIRA FALA MENTIRA 2- Atribuindo a P F(mentira), pegamos o oposto do que ele disse, pois o mesmo sempre mente, logo Q irá mentir também, e ao mentir disse que P fala a verdade, o que é mentira, pois o Q é mentiroso, logo os dois mentem. E assim podemos concluir que os dois mentem. O item está correto. 03-(CESPE SERPRO ANALISTA ) No final dos anos 70 do século passado, um importante lógico chamado Smullyan descreveu, em um livro, uma ilha onde havia apenas dois tipos de pessoas: mentirosas, pois só falavam mentiras, e honestas, pois só falavam verdades. Um visitante chega à ilha, aproxima-se de quatro nativos, chamados Jari, Marli, Geni e Marlim, e inicia WTI a conversação da qual se relatam os seguintes trechos. 51

52 ( ) De acordo com o trecho 1 da conversa, está correto que o visitante conclua que Jarí e Marli são ambos mentirosos. ( ) De acordo com o trecho 2 da conversa, se o visitante concluiu que Geni é honesta e Marlim é mentiroso, então o visitante chegou a uma conclusão errada. Trecho 1 Trecho 2 Geni diz a Marlim: nós dois somos honestos. Jari diz: Marli é honesta Marli diz: Jari e eu somos pessoas de tipos opostos Marlim diz: a Geni é mentirosa. Comentário : Esta questão pode ser analisada da mesma forma da segunda questão (PF 2004) já comentada anteriormente. No trecho 1 temos: Supondo Jarí (V) fala sempre a verdade temos que Marli também falará a verdade o que faz com que Marli entre em contradição, pois o mesmo afirmar que eles são tipos opostos. Então iremos supor agora que Jarí (F) fala sempre a mentira o que faz com que Marli fale mentira também segundo a contradição. Supondo Marli com (F) falando a mentira temos que sua declaração deverá ser analisada de forma contrária o que faz com que Jari também é mentirosa. Logo os dois mentem. No trecho 2 temos : Neste caso é melhor começarmos analisar pela Marlim,pois sua declaração é simples,então supondo Marlim (V) temos que Geni fala a mentira, o que faz com que este minta e ao mentir o mesmo afirma que os dois são honestos, o que não é verdade pois ao afirmar que os dois são honestos ele está mentindo o que deixa a questão com as seguintes valorações : Marlim(V) e Geni (F). 04-(CESPE BANCO DO BRASIL) No livro Alice no País dos Enigmas, o professor de matemática e lógica Raymond Smullyan apresenta vários desafios ao raciocínio lógico que têm como objetivo distinguir-se entre verdadeiro e falso. Considere o seguinte desafio inspirado nos enigmas de Smullyan. Duas pessoas carregam fichas nas cores branca e preta. Quando a primeira pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente a verdade, mas, quando carrega a ficha preta, ela fala somente mentiras. Por outro lado, quando a segunda pessoa carrega a ficha branca, ela fala somente mentira, mas, quando carrega a ficha preta, fala somente verdades. Com base no texto acima, julgue o item a seguir. ( ) Se a primeira pessoa diz Nossas fichas não são da mesma cor e a segunda pessoa diz Nossas fichas são da mesma cor, então, pode-se concluir que a segunda pessoa está dizendo a verdade. Comentário : Vamos resumir o texto da seguinte forma FP= ficha preta FB= ficha branca Supondo que a 1ª pessoa FALA A VERDADE, temos: 1ª Pessoa (Fala a verdade) 52

53 V(Carrega ficha branca) ao falar que nossas fichas não são da mesma cor, isto é verdade, pois uma pessoa que fala a verdade não pode mentir, logo a ficha da 2ª pessoa deverá ser preta. Sendo a ficha da 2ª pessoa preta, a mesma deverá falar a verdade. Verificando temos: Nossas fichas são da mesma cor, diz a 2ª pessoa, o que é verdade, algo que não pode acontecer pois uma pessoa que fala a verdade não pode mentir. Princípio da não contradição. Supondo que a 1ª pessoa FALA MENTIRA, temos: 1ª pessoa (Fala mentira) F(Carrega ficha preta) ao falar que nossas fichas não são da mesma cor, isto é mentira, pois uma pessoa que fala mentira não pode falar a verdade, logo a ficha da segunda pessoa será preta. Sendo a ficha da segunda pessoa preta, a mesma deverá falar a verdade. Verificando temos: Nossas fichas são da mesma cor, diz a segunda pessoa, o que é verdade, logo os dois possuem fichas da mesma cor. 1ª Pessoa FP (F) 2ª Pessoa FP (V) O item está certo QUESTÕES COM CONTRADIÇÕES E EXPERIMENTAÇÃO Nas provas de concursos temos questões em que as bancas cobram dos candidatos uma análise referente à declarações realizadas em uma determinada situação procurando na maioria das vezes saber que é o mentiroso e até mesmo o culpado de um determinado delito.isto é notável nas ultimas provas para Polícia Federal 2004 e Policia civil Sendo assim é necessário utilizar um método prático para resolução dessas questões. Nas questões com declarações onde existem pessoas que mentem e falam a verdade, em que podemos perceber existir uma contradição entre declarações, pois não há como adivinhar quem mente ou quem fala a verdade, sendo assim, devemos aplicar o que foi ensinado no início referente as três leis do pensamento, onde uma proposição declaração não pode ser verdadeira(v) e falsa ( F)ao mesmo tempo, daí teremos uma possível valoração para estas declarações... Vejamos as questões comentadas de 01 E 02 abaixo e a aplicação do método : APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS 01) ESAF Um crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem era o culpado, cada um deles respondeu: Armando: Sou inocente Celso: Edu é o culpado. Edu: Tarso é o culpado Juarez: Armando disse a verdade Tarso: Celso mentiu. 53

54 Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é: a) Edu b) Tarso c) Juarez d) Armando e) Celso RESOLUÇÃO : De acordo com a questão temos que as declarações de: Celso: Edu é o culpado Tarso: Celso mentiu. Existe uma contradição: Não é possível as duas serem verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo. Logo temos que uma é verdadeira e a outra é falsa ou vice-versa. Partindo da contradição das declarações temos que: Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu..., podemos deduzir que a mentira ( adotaremos como F ) está entre Celso ou Tarso, logo podemos analisar da seguinte forma: - Armando: Sou inocente (v) - Celso: Edu é o culpado. - Edu: Tarso é o culpado (v) - Juarez: Armando disse a verdade (v) - Tarso: Celso mentiu. Iremos valorar estas declarações de acordo com as outras que temos certeza que são verdadeiras, pois a única mentira irá se encontrar na contradição. Sendo verdadeiras as declarações de Armando, Edu e Juarez podemos concluir que Tarso é o culpado. Logo por Tarso ser o culpado temos que Celso mentiu e Tarso falou a verdade. Armando: Sou inocente (v) Celso: Edu é o culpado. (F) Edu: Tarso é o culpado (v) RESPOSTA LETRA B Juarez: Armando disse a verdade (v) 54

55 Tarso: Celso mentiu. (v) 02) (ESAF 2000) Cinco colegas foram a um parque de diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhado por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram: l. Sabendo-se que um e somente um dos colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: RESOLUÇÃO : a) Mara d) Manuel b) Maria e) Marcos c) Mário De acordo com a questão temos que as declarações de : Existe uma contradição: Não é possível as duas serem verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo. Logo temos que uma é verdadeira e a outra é falsa ou vice-versa, pois Mara vai contra a informação de Mário. Partindo da contradição das declarações temos que: Sabendo-se que um e somente um dos colegas mentiu podemos deduzir que a mentira ( adotaremos como F ) está entre Mara ou Mário, logo podemos analisar da seguinte forma: (v) Iremos valorar estas declarações de acordo com as outras que temos certeza que são verdadeiras, pois a única mentira irá se encontrar na contradição. (v) Sendo verdadeiras as declarações de Marcos, Manuel e Maria, podemos concluir que foi a Mara que entrou sem pagar, segundo a afirmação de Manuel. 55

56 (v) RESPOSTA LETRA A (v) rcos, disse Maria. (v) 56

57 MOMENTO DE TREINAMENTO: CONTRADIÇÕES TEXTO PARA AS QUESTÕES 01 E 02 Um grupo de 4 jovens foi encontrado por um policial que passava pelo local e frente a um muro recémpichado. O policial, tentando encontrar o autor do vandalismo, pergunta: - Quem pichou o muro? Jorge, um dos jovens, responde: -Não fui eu. Eu estava apenas de passagem por aqui, assim, como o senhor. Marcelo responde e seguia, apontando para outro: - Quem pichou o muro foi Marcos. Pedro defende o amigo: -Marcelo está mentindo. Marcos se manifesta, acusando outra pessoa: -Eu jamais picharia o muro, quem pichou foi Pedro. O policial percebe que apenas um deles mentiu. 01.( FUNIVERSA 2008 ) Com base no texto VI, assinale a alternativa correta. a) Jorge mentiu b) Marcos mentiu c) Marcelo mentiu d) Pedro mentiu e) O diálogo e a dedução do policial são insuficientes para descobrir qual dos jovens mentiu. 02.( FUNIVERSA 2008 ) Ainda com base no texto, assinale a alternativa correta. a) Jorge pichou o muro b) Marcos pichou o muro c) Marcelo pichou o muro d) Pedro pichou o muro 57

58 e) O diálogo e a dedução do policial são insuficientes para descobrir qual dos jovens é o autor do vandalismo. 03. (CESPE-2004) Um líder criminoso foi morto por um de seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes declarações. A afirmou que C matou o líder. B afirmou que D não matou o líder. C disse que D estava jogando dardos com A quando o líder foi morto e, por isso, não tiveram participação no crime. D disse que C não matou o líder. Considerando a situação hipotética apresentada acima e sabendo que três dos comparsas mentiram em suas declarações, enquanto um deles falou a verdade, julgue os itens seguintes. a) A declaração de C não pode ser verdadeira. b) D matou o líder. 04) Quatro pessoas interrogadas pela polícia, sob suspeita de terem cometido um roubo. - Eu não fui, diz Eduardo. - Foi o Fábio, afirma Heitor - Foi o Paulo, garante o Fábio - O Heitor está mentindo, diz Paulo. Sabendo que somente um deles mentiu e que somente um deles cometeu o roubo, quem é o ladrão? a) Fábio c) Eduardo b) Paulo d) Heitor 05) (FGV - FNDE 2007) Quatro irmãos, André, Bernardo, Carlos e Daniel, reparam que seu pai, quando chegou em casa, colocou em cima da mesa da sala quatro bombons. Logo ao retornar à sala, o pai viu que um dos bombons tinha desaparecido e perguntou às crianças quem tinha sido o autor do delito. André disse: - Não fui eu. Bernardo disse: - Foi Carlos quem pegou o bombom. Carlos:- Daniel é o ladrão do bombom. Daniel:- Bernardo não tem razão. Sabe-se que apenas um deles mentiu. Então: (A) André pegou o bombom. 58

59 (B) Bernardo pegou o bombom. (C) Carlos pegou o bombom. (D) Daniel pegou o bombom. (E) Não é possível saber quem pegou o bombom. GABARITO: 1 C 2 D 3 C C 4 B 5-D EXPERIMENTAÇÃO Nas questões com declarações em que não há contradições entre duas ou mais declarações devemos valorar uma declaração como verdadeira e partir dela, caso não esteja correto, devemos começar com a declaração sendo falsa, ou seja, experimentar. Vejamos as questões comentadas de 01 e 02 abaixo e a aplicação do método: APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS 01- (AFC/ ESAF) Quatro amigos, André, Beto, Caio e Dênis obtiveram os quatro primeiros lugares em um concurso de oratória julgado por uma comissão de três juizes. Ao comunicarem a classificação final, cada Juiz anunciou duas colocações, sendo uma delas verdadeira e outra falsa: Juiz 1: André foi o primeiro; Beto foi o segundo. Juiz 2: André foi o segundo; Dênis foi o terceiro. Juiz 3: Caio foi o segundo; Dênis foi o quarto. Sabendo que não houve empates, o primeiro, o segundo, o terceiro e o quarto colocado foram respectivamente: a) André Caio, Beto, Dênis. b) Beto, André, Caio, Dênis. c) André Caio, Dênis, Beto. d) Beto, André, Dênis, Caio. e) Caio, Beto, Denis, André. Comentário: Nesta questão temos duas possibilidades para cada discurso, ou seja, cada um contendo uma informação verdadeira para o primeiro e falsa para a segunda, ou falsa para a primeira e verdadeira para a segunda. Logo temos que realizar uma experimentação: 59

60 1ª SITUAÇÃO (POSSIBILIDADE) Supondo a valoração para o primeiro juiz: André foi o primeiro. (verdade) Beto foi o segundo. (falso) Temos: Juiz 1: André foi o primeiro ( verdadeiro) ; Beto foi o segundo. (falso) Juiz 2: André foi o segundo (falso) ; Dênis foi o terceiro. (verdadeiro) Juiz 3: Caio foi o segundo ( verdadeiro) ; Dênis foi o quarto. (falso) Supondo a valoração para o primeiro juiz: André foi o primeiro. (falso) Beto foi o segundo. (verdade) 2ª SITUAÇÃO (POSSIBILIDADE) Temos: Juiz 1: André foi o primeiro (falso) ; Beto foi o segundo. (verdadeiro ) Juiz 2: André foi o segundo (verdadeiro) ; Dênis foi o terceiro. (falso) Juiz 3: Caio foi o segundo ( verdadeiro) ; Dênis foi o quarto. (falso) NESTE CASO TIVEMOS EMPATE ENTRE BETO E CAIO, LOGO ESTA SITUAÇÃO NÃO ESTÁ DE ACORDO. SENDO ASSIM A PRIMEIRA SITUAÇÃO ESTA CORRETA. RESPOSTA LETRA C. 02- (CGU/ESAF 2008) Cinco moças, Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda, estão vestindo blusas vermelhas ou amarelas. Sabe-se que as moças que vestem blusas vermelhas sempre contam a verdade e as que vestem blusas amarelas sempre mentem. Ana diz que Beatriz veste blusa vermelha. Beatriz diz que Carolina veste blusa amarela. Carolina, por sua vez, diz que Denise veste blusa amarela. Por fim, Denise diz que Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Por fim, Eduarda diz que Ana veste blusa vermelha. Desse modo, as cores das blusas de Ana, Beatriz, Carolina, Denise e Eduarda são respectivamente: a) amarela, amarela, vermelha, vermelha e amarela. b) vermelha, vermelha, vermelha, amarela e amarela. c) vermelha, amarela, amarela, amarela e amarela. d) vermelha, amarela, vermelha, amarela e amarela. e) amarela, amarela, vermelha, amarela e amarela. Comentário: Esta questão assim como a anterior devemos experimentar a partir da primeira declaração como verdadeira, caso não haja contradição a questão estará de acordo, mas se houver deveremos começar como falsa. A cada valoração iremos associar a cor da blusa. 60

61 1ª SITUAÇÃO: Ana começando falando a verdade. - Ana diz: Beatriz veste blusa vermelha. (se Ana fala a verdade então veste blusa vermelha, sua declaração é verdadeira, logo Beatriz veste blusa vermelha). - Beatriz diz: Carolina veste blusa amarela. (Se Beatriz veste blusa vermelha, então fala a verdade, sua declaração é verdadeira, logo Carolina veste amarelo e com isto é mentirosa, pois quem veste amarelo mente). - Carolina diz: Denise veste blusa amarela. (Se Carolina mente, então veste amarelo, sua declaração é falsa, logo Denise veste blusa vermelha e fala a verdade, pois quem veste vermelho fala verdade). - Denise diz: Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. (Se Denise veste vermelho, então fala a verdade, sua declaração é verdadeira, logo Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. Como sabemos que Beatriz veste blusa de cor vermelha, então Eduarda veste blusa de cor amarela, o que significa que a mesma mente). - Eduarda diz: Ana veste blusa vermelha. (Se Eduarda mente, então veste amarelo, sua declaração é falsa, logo Ana tem que vestir amarelo, para que Eduarda esteja mentindo). Percebemos que Eduarda está falando a verdade o que não pode acontecer, pois ela é uma pessoa mentirosa. Uma pessoa que mente não pode falar a verdade (entrar em contradição). Neste caso, a 1ª situação não está de acordo. 2ª SITUAÇÃO: Ana começando falando mentira. - Ana diz: Beatriz veste blusa vermelha. (se Ana fala a mentira então veste blusa amarela, sua declaração é falsa, logo Beatriz veste blusa amarela). - Beatriz diz: Carolina veste blusa amarela. (Se Beatriz veste blusa amarela, então fala a mentira, sua declaração é falsa, logo Carolina veste vermelho e com isto fala a verdade, pois quem veste vermelho fala a verdade). - Carolina diz: Denise veste blusa amarela. (Se Carolina fala a verdade, então veste vermelho, sua declaração é verdadeira, logo Denise veste blusa amarela e fala mentira, pois quem veste amarelo fala mentira). - Denise diz: Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores diferentes. (Se Denise veste amarelo, então fala a mentira, sua declaração é falsa, logo Beatriz e Eduarda vestem blusas de cores iguais. Como sabemos que Beatriz veste blusa de cor amarela, então Eduarda veste blusa amarela, o que significa que a mesma fala mentira). - Eduarda diz: Ana veste blusa vermelha. (Se Eduarda fala mentira, então veste amarelo, sua declaração é falsa, logo Ana tem que vestir amarelo, o que realmente acontece, pois Ana é mentirosa). Neste caso, a 2ª situação está de acordo, pois nenhuma delas entra em contradição com sua própria declaração. A resposta será: Ana: Amarelo Beatriz: Amarelo Carolina: Vermelho Denise: Amarelo Eduarda: Amarelo 61

62 AULA 04 LÓGICA DE 1ª ORDEM TAUTOLOGIA Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma tautologia se ela for sempre verdadeira, independente da verdade de seus termos. Em filosofia e outras áreas das ciências humanas, diz-se que um argumento é tautológico quando se explica por ele próprio, às vezes redundantemente ou falaciosamente. Por exemplo, dizer que "o mar é azul porque reflete a cor do céu e o céu é azul por causa do mar" é uma afirmativa tautológica. Da mesma forma, um sistema é caracterizado como tautológico quando não apresenta saídas à sua própria lógica interna em outro exemplo, exige-se de um trabalhador que tenha curso universitário para ser empregado, mas ele precisa ter um emprego para receber salário e assim custear as despesas do curso universitário. Quando uma proposição composta é sempre verdadeira, então teremos uma Tautologia. Ex: P(p,q)= (p q) <=> ~(p q) Numa Tautologia, o valor lógico da proposição composta P(p,q,s)={(p q) (p s) [p ~(q s)]} p, será sempre verdadeiro. Exemplo: A ~A B A B ~A v B (A B) (~A v B) V F V V V V V F F F F V F V V V V V F V F V V V A proposição (A 7 B) «(~A v B)é uma tautologia. Momento de Treinamento 1) Chama-se tautologia a toda proposição que é sempre verdadeira, independentemente da verdade dos termos que a compõem. Verifique se a proposição composta (p /\ ~p) (p v q)é uma tautologia. p ~p q p /\ ~ p p v q (p /\ ~p) (p v q) V F V V F F F V V F V F 2) (ESAF) Um exemplo de Tautologia é: A) Se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo. B) Se João é alto, então João é alto e Guilherme é gordo. C) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então Guilherme é gordo. D) Se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é alto e Guilherme é gordo. E) Se João é alto ou não é alto, então Guilherme é gordo. 3) CESPE STF 2008 ANALISTA JUDICIÁRIO Julgue os itens seguintes relacionados à lógica proposicional. 1. Uma tautologia é uma proposição lógica composta que será verdadeira sempre que os valores lógicos das proposições simples que a compõem forem verdadeiros. 62

63 4) (CESPE/SENADO-2002) tautologia. S. f. 1. Vício de linguagem que consiste em dizer, por formas diversas, sempre a mesma coisa: A gramática usual é uma série de círculos viciosos, uma tautologia infinita. (João Ribeiro, Cartas Devolvidas, p. 45). 2. Filos. Proposição que tem por sujeito e predicado um mesmo conceito, expresso ou não pelo mesmo termo. 3. Filos. Erro lógico que consiste em aparentemente demonstrar uma tese repetindo-a com palavras diferentes. Novo Dicionário Aurélio da Língua Portuguesa. Rio de Janeiro: Nova Fronteira. 4. Na linguagem da lógica proposicional, denomina-se tautologia a toda fórmula α (nessa linguagem) para a qual toda valoração verdadeira ou falsa dada a seus símbolos proposicionais resulta que α é verdadeira. Considerando as acepções listadas acima, julgue, em cada item seguir, se a proposição apresentada é uma tautologia de acordo com a acepção que a precede. 1- Acepção 2: O sal é salgado. 2- Acepção 2: Todo indivíduo gordo ingere mais alimentos do que necessita. 3- Acepção 3: Para provar que 0 < 1, suponha que 1 > 0; como isso é claramente verdade, conclui-se que 0 < Acepção 4: Se 7% dos candidatos inscritos no concurso público do Senado Federal concorrem a vagas para o cargo de Consultor de Orçamentos e 93% concorrem para Consultor Legislativo, então a maioria dos candidatos no concurso público do Senado Federal concorre para o cargo de Consultor Legislativo. 5- Acepção 4: A gramática usual é uma série de círculos viciosos, uma tautologia infinita. 5) (CESPE SEBRAE) Os conectivos e, ou, não e o condicional se... então são, simbolicamente, representados por ^, v, e, respectivamente. As letras maiúsculas do alfabeto, como P, Q e R, representam proposições. As indicações V e F são usadas para valores lógicos verdadeiro e falso, respectivamente, das proposições. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 1.A proposição [(P Q) (Q R)] (P R) é uma tautologia. 6) ( CESPE TRT 5ª RG 2008) Se A e B são proposições, então a proposição A v B ( A) ^ ( B) é uma tautologia. 63

64 GABARITO 1-6-E p ~p q p /\ ~ p p v q (p /\ ~p) (p v q) V F V F V V V F F F V V F V V F V V F V F F F V 2- a 3- errada 4- C E C C E 5- C CONTRADIÇÃO Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições é uma contradição ou contraválida se ela for sempre falsa, independente da verdade de seus termos. Exemplo: A ~A A ~A V F F F V F A proposição A ~A é uma contradição MOMENTO DE TREINAMENTO 1) Uma proposição é uma contradição quando é sempre falsa. Verifique se a proposição composta P/\~P é uma contradição. p ~p p /\ ~p V F F F V F 2) (CESPE) Considere a proposição: Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Simbolizando por P trecho meu cliente fosse culpado e simbolizando por Q o trecho a arma estaria no carro, obtém-se uma proposição implicativa, ou simplesmente uma implicação, que é lida: Se P então Q, e simbolizada por P Q. Uma tautologia é uma proposição que é sempre V (verdadeira). Uma proposição que tenha a forma P Q é V sempre que P for F (falsa) e sempre que P e Q forem V. Com base nessas informações e na simbolização sugerida, julgue os itens. subseqüentes

65 (1) A proposição "Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, se a arma do crime não estava no carro, então meu cliente não é culpado." É uma tautologia. (2) A proposição "Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, ou meu cliente não é culpado ou a arma do crime estaria no carro." não é uma tautologia. GABARITO 01) É Contradição p ~p p /\ ~p V F F F V F 02) CC CONTINGÊNCIA Uma proposição composta será dita uma contingência sempre que não for uma tautologia nem uma contradição. Somente isso! Você pegará a proposição composta e construirá a sua tabela-verdade. Se, ao final, você verificar que aquela proposição nem é uma tautologia (só resultados V), e nem é uma contradição (só resultados F), então, pela via de exceção, será dita uma contingência! As contingências são também denominadas proposições contingentes ou proposições indeterminadas. P Q R (P/\Q) (P/\Q) V R V V V V V V V F V V V F V F V V F F F F F V V F V F V F F F F F V F V F F F F F 65

66 05 LÓGICA DE 1ª ORDEM PROPOSIÇÕES LOGICAMENTE EQUIVALENTES Duas proposições são ditas equivalentes quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os resultados das tabelas-verdade são idênticos. A B A) LEIS ASSOCIATIVAS 1) (A /\ B) /\ C A /\ (B /\ C) 2) (A v B) v C A v (B V C) DEMONSTRAÇÃO: (A /\ B) /\ C A /\ (B /\ C) A B C (A/\B) (A/\B) /\C B/\C A/\(B/\C) V V V V V V V V V F V F F F V F V F F F F V F F F F F F F V V F F V F F V F F F F F F F V F F F F F F F F F F F Exemplo B) LEIS DISTRIBUTIVAS 3) A /\ (B V C) (A /\ B) V (A /\ C) 4) A v (B /\ C) (A v B) /\ (A v C) Exemplo : DEMONSTRAÇÃO: A /\ (B V C) (A /\ B) V (A /\ C) A B C BVC A/\(BVC) A/\B A/\C (A/\B)V(A/\C) V V V V V V V V V V F V V V F V V F V V V F V V V F F F F F F F F V V V F F F F F V F V F F F F F F V V F F F F F F F F F F F F 66

67 C) LEI DA DUPLA NEGAÇÃO 5) ~(~A) A DEMONSTRAÇÃO: ~(~A) A A ~A ~(~A) V F V F V F Exemplo : PROPOSIÇÕES Não é verdade que o Prof. Josimar Padilha não é brasiliense PROPOSIÇÕES EQUIVALENTES O Prof. Josimar Padilha é brasiliense D) EQUIVALÊNCIA DA CONDICIONAL 6) ( A B ~A v B) / ( A B ~B ~A ) I ) A B ~A v B DEMONSTRAÇÃO: A B ~A v B A B ~A A B ~A vb V V F V V V F F F F F V V V V F F V V V As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições A B e ~A v B são proposições logicamente equivalentes, isto é: A B ~A v B II) A B ~B ~A ( TEOREMA DA CONTRA-RECÍPROCO OU CONTRA-POSITIVA) DEMONSTRAÇÃO: A B ~B ~A A B ~A ~B A B ~B ~A V V F F V V V F F V F F F V V F V V F F V V V V As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo são proposições logicamente equivalentes, isto é: A B ~B ~A Essa relação é chamada de teorema contra recíproco. Exemplos: Dizer que: Se Beraldo briga com Beatriz, então Beatriz briga com Bia. 67

68 É logicamente equivalente a dizer que: Se Beatriz não briga com. Bia, então Beraldo não briga com Beatriz. Uma relação existente entre as equivalências condicionais é dada pela inferência que se tem por meio da intersecção das sentenças A B ~A v B e A B ~B ~A, em que podemos concluir: A v B ~A B ou A v B B A. Observe a tabela abaixo: A B ~A ~B A v B ~A B ~B A V V F F V V V V F F V V V V F V V F V V V F F V V F F F As três últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições A V B, ~A B e ~B A são proposições logicamente equivalentes, isto é: A V B ~A B, A V B ~B A, ~A B ~B A. Exemplos: PROPOSIÇÃO Se Enny tomar remédio, ela vai ficar boa. Clara anda ou corre PROPOSIÇÃO EQUIVALENTE Enny não toma remédio ou fica boa Se Clara não anda, então Clara corre. E) LEI DE AUGUSTUS DE MORGAN 7) ~(A /\ B) (~A) V (~B) / ~(A v B) (~A) /\ (~B) I) ~(A /\ B) (~A) V (~B) DEMONSTRAÇÃO: ~(A /\ B) (~A) V (~B) A B A /\ B ~(A /\ B ) ~A ~B (~A) V (~B) V V V F F F F 68

69 V F F V F V V F V F V V F V F F F V V V V As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições ~(A /\ B) e ( ~A ) V (~ B ) são proposições logicamente equivalentes, isto é: ~(A /\ B) ~A V ~ B. II) ~(A v B) (~A) /\ (~B) DEMONSTRAÇÃO: ~(A /\ B) (~A) V (~B) A B A V B ~(A V B ) ~A ~B (~A) /\ (~B) V V V F F F F V F V F F V F F V V F V F F F F F V V V V As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições ~(A V B) e ( ~A ) /\ (~ B ) são proposições logicamente equivalentes, isto é: ~(A V B) ~A /\ ~B. F) EQUIVALÊNCIA DA BICONDICIONAL 8) [(A B) /\ (B A)] [A B] DEMONSTRAÇÃO A B A B B A (A B) /\ (B A) A B V V V V V V V F F V F F F V V F F F F F V V V V As duas últimas colunas apresentam os mesmos valores lógicos em todas as linhas, logo as proposições [(A B) /\ (B A)] e [A B] G) EQUIVALÊNCIA COMUTATIVA : Como já visto antes, ao estudarmos as tabelas-verdade, foi comentado que os conectivos: conjuntivo, disjuntivo, disjuntivo exclusivo e bicondicional possuem a propriedade comutativa, isto é, ao trocarmos a ordem das proposições simples, os resultados das tabelas-verdade permanecem idênticos. Com relação ao conectivo condicional não ocorre o mesmo, uma vez que os resultados de suas tabelasverdade não serão os mesmos, resumindo temos que o conectivo condicional não possui a propriedade comutativa. (A) /\ (B) (B) /\ (A) (A) V (B) (B) V (A) COMUTAM (A ) (B) (B) (A) (A) (B) (B) (A) NÃO COMUTA 69

70 (A) v (B) (B) v (A) Nas últimas provas de concursos públicos temos visto a importância das equivalências lógicas, aparecendo com maior freqüência. As leis são cobradas, mas torna-se interessante identificar quando duas proposições são equivalentes. Então para isto, torna-se necessário construir as tabelas-verdade possibilitando uma a análise concreta. APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS 01. (CESPE 2008 SEBRAE ANALISTA) Os conectivos e, ou, não e o condicional se... então são, simbolicamente, representados por ^, V, e, respectivamente. As letras maiúsculas do alfabeto, como P, Q e R, representam proposições. As indicações V e F são usadas para valores lógico verdadeiro e falso, respectivamente, das proposições. Com base nessas informações, julgue o item seguinte. 1. A proposição (P^Q) é equivalente à proposição ( P)V( Q). Comentário: A proposição composta: (P^Q) não é verdade que P e Q, ao aplicar a Lei de De Morgan temos : ( P)V( Q). As suas tabelas verdades são idênticas. O item está correto. 02.( CESPE/BB-2007) As afirmações que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não ambas, são chamadas proposições. As proposições são usualmente simbolizadas por letras maiúsculas: A, B, C etc. A expressão A B, lida, entre outras formas, como se A então B, é uma proposição que tem valoração F quando A é V e B é F, e tem valoração V nos demais casos. Uma expressão da forma A, lida como não A, é uma proposição que tem valoração V quando A é F, e tem valoração F quando A é V. A expressão da forma A B, lida como A e B, é uma proposição que tem valoração V apenas quando A e B são V, nos demais casos tem valoração F. Uma expressão da forma A B, lida como A ou B, é uma proposição que tem valoração F apenas quando A e B são F; nos demais casos, é V. Com base nessas definições, julgue os itens que se seguem. 1 Uma expressão da forma (A B) é uma proposição que tem exatamente as mesmas valorações V ou F da proposição A B. Comentário: Se uma questão afirmar ou perguntar sobre proposições que possuem as mesmas valorações, está implícito que se trata de uma equivalência lógica, o que no caso podemos ganhar tempo aplicando uma das leis. A proposição composta: (A B) não é verdade que A e não B, ao aplicar a Lei de De Morgan temos :( A)V(B), logo pela Lei Condicional [ A B ( A)V(B)], As suas tabelas verdades são idênticas. O item está correto. 03) (ESAF/TÉCNICO-2006) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo, 70

71 a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar. Comentário: Dada a proposição temos: Elaine não ensaia Elisa não estuda. O antecedente (Elaine não ensaia) é condição suficiente para o conseqüente (Elisa não estuda). O conseqüente (Elisa não estuda) é condição necessária o antecedente (Elaine não ensaia). Segundo os itens da questão não temos nenhum que esteja de acordo com o comentário acima realizado. O que fazer? Percebemos que as respostas propostas pela ESAF não satisfazem a proposição: Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Sendo assim podemos concluir que não foi utilizada esta proposição, mas outra e logo iremos lançar mãos dos nossos conhecimentos quanto a equivalências lógicas, pois utilizaremos uma proposição logicamente equivalente a dada pelo enunciado da questão. Como sabemos que segundo a lei condicional temos duas equivalências, qual a indicada: A contra-positiva, umas vez que a mesma possuem condições o que neste caso exige a questão. Aplicando a lei condicional: Elaine não ensaia Elisa não estuda. Elisa estuda Elaine ensaia Agora sim, temos que: I - Elisa estudar é condição suficiente para Elaine ensaiar. II- Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar A resposta correta é a letra E 04) (ESAF/TÉCNICO-2006) Uma sentença logicamente equivalente a Se Ana é bela, então Carina é feia é: a) Se Ana não é bela, então Carina não é feia. b) Ana é bela ou Carina não é feia. c) Se Carina é feia, Ana é bela. d) Ana é bela ou Carina é feia. e) Se Carina não é feia, então Ana não é bela. Comentário: Dada a proposição temos: Ana é bela Carina é feia Segundo a lei condicional temos duas equivalências: I - Se Carina não é feia, então Ana não é bela. II Ana não é bela ou Carina é feia. Assim temos: A resposta correta é a letra E Momento de Treinamento 1. Demonstrar, através de tabelas-verdade, as seguintes equivalências: 71

72 a) P b) P c) Q d) P e) (P f) (P ( P Q) P ( P Q) P Q ( P Q) P Q ( P Q) P Q Q) ( P R) P ( Q R) Q) ( P R) P ( Q R) Q ( P Q) ( P Q) g) P 2. (CESPE) Julgue os itens: ( ) As tabelas de valorações das proposições P Q) S Q e Q S) ( Q S) P são iguais. ( ) As proposições (P e (P possuem tabelas de valorações iguais. ( ) Do ponto de vista lógico, dizer que Rafael foi ao cinema ou Renata não foi ao parque é o mesmo que dizer que Se Rafael foi ao cinema, então Renata foi ao parque. ( ) Do ponto de vista lógico, dizer que Rafael foi ao cinema ou Renata não foi ao parque é o mesmo que dizer que Se Renata foi ao parque, então Rafael foi ao cinema. ( ) As proposições Quem tem dinheiro, não compra fiado e Quem não tem, compra são logicamente equivalentes. ( ) A tabela de interpretação de (P é igual a tabela de interpretação de P. 3. (FGV - M. COMUNICAÇÕES/2006) Suponha que Se X=1, então Y>7. Assinale a conclusão correta. 1, então Y<7 1, então Y 7 a) Se X b) Se X c) Se Y>7, então X=1 d) Se Y, então X e) Se Y=7, então X=1 7 1 Q) P Q 4. (M. POG 2006) Dizer que Ana não é alegre ou Beatriz é feliz é do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) Se Ana não é alegre, então Beatriz é feliz. b) Se Beatriz é feliz, então Ana é alegre. c) Se Ana é alegre, então Beatriz é feliz. d) Se Ana é alegre, então Beatriz não é feliz. e) Se Ana não é alegre, então Beatriz não é feliz. 5. (GESTOR) Dizer que André é artista ou Bernardo não é engenheiro é logicamente equivalente a dizer que: a) André é artista se e somente se Bernardo não é engenheiro. b) Se André é artista, então Bernardo não é engenheiro. c) Se André não é artista, então Bernardo é engenheiro. d) Se Bernardo é engenheiro, então André é artista. e) André não é artista e Bernardo é engenheiro. 6. (AFT) Dizer que Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que: a) Se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista. b) Se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro. c) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista. d) Se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista. e) Se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista. 7. (ESAF) Uma sentença logicamente equivalente a Pedro é economista, então Luísa é solteira é: 72

73 a) Pedro é economista ou Luísa é solteira. b) Pedro é economista ou Luísa não é solteira. c) Se Luísa é solteira, Pedro é economista. d) Se Pedro não é economista, então Luísa não é solteira. e) Se Luísa não é solteira, então Pedro não é economista. 8. (TRT) Um economista deu a seguinte declaração em uma entrevista: Se os juros bancários são altos então a inflação é baixa. Uma proposição logicamente equivalente à do economista é: a) Se a inflação não é baixa, então os juros bancários não são altos. b) Se a inflação é alta, então os juros bancários são altos. c) Se os juros bancários não são altos, então a inflação não é baixa. d) Os juros bancários são baixos e a inflação é baixa. e) Ou os juros bancários, ou a inflação é baixa. 9. (UM-SP) Duas grandezas x e y são tais que Se x = 3, então y = 7. Pode-se concluir que: a) Se x 3, então y 7 b) Se y = 7, então x = 3 c) Se y 7, então x d) Se x = 5, então y = 5 e) Nenhuma das conclusões acima é válida (ANA) Sabendo-se que o símbolo denota negação e que o símbolo proposição A B, que é lida Se A, então B, pode ser reescrita como: denota o conectivo lógico ou, a a) A B b) c) A B d) e) 11. (ANPAD) Considere a sentença Se é carnaval, os sambistas dançam nas ruas. A contra positiva dessa sentença é: A B A B ( A B) a) Se os sambistas não dançam nas ruas, não é carnaval. b) Se os sambistas dançam nas ruas, não é carnaval. c) Se não é carnaval, os sambistas não dançam nas ruas. d) Se os sambistas dançam nas ruas, é carnaval. e) Se é carnaval, os sambistas não dançam nas ruas. 12. (CESPE/SENADO-2002) O Teorema Fundamental da Aritmética afirma que: Se n for um número natural diferente de 1, então n pode ser decomposto como um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores. Julgue se cada um dos itens subseqüentes reescreve, de modo correto e equivalente, o enunciado acima. 1 É condição suficiente que n seja um número natural para que n possa ser decomposto como um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores. 2 É condição necessária que n seja um número natural para que n possa ser decomposto como um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores. 73

74 3 Se n não possuir decomposição como um produto de fatores primos, que seja única, a menos da ordem dos fatores, então n não é um número natural diferente de 1. 4 Ou n não é um número natural diferente de 1, ou n tem uma decomposição como um produto de fatores primos, que é única, a menos da ordem dos fatores. 5 n é um número natural diferente de 1 se puder ser decomposto como um produto de fatores primos, de modo único, a menos da ordem dos fatores. 13 (CESPE/SENADO-2002) A noção de conjunto fornece uma interpretação concreta para algumas idéias de natureza lógica que são fundamentais para a Matemática e o desenvolvimento do raciocínio. Por exemplo, a implicação lógica denotada por p q pode ser interpretada como uma inclusão entre conjuntos, ou seja, como P Q, em que P é o conjunto cujos objetos cumprem a condição p, e Q é o conjunto cujos objetos cumprem a condição q. Com o auxílio do texto acima, julgue se a proposição apresentada em cada item a seguir é equivalente à sentença abaixo. Se um indivíduo está inscrito no concurso do Senado Federal, então ele pode ter acesso às provas desse concurso. 1 Se um indivíduo não pode ter acesso às provas do concurso do Senado Federal, então ele não está inscrito nesse concurso. 2 O conjunto de indivíduos que não podem ter acesso às provas do concurso do Senado Federal e que estão inscritos nesse concurso é vazio. 3 Se um indivíduo pode ter acesso às provas do concurso do Senado Federal, então ele está inscrito nesse concurso. 4 conjunto de indivíduos que podem ter acesso às provas do concurso do Senado Federal é igual ao conjunto de indivíduos que estão inscritos nesse concurso. 5 O conjunto de indivíduos que estão inscritos no concurso do Senado Federal ou que podem ter acesso às provas desse concurso está contido neste último conjunto. 14- (CESPE-2007) Os símbolos que conectam duas proposições são denominados conectivos. Considere a proposição definida simbolicamente por A B, que é F quando A e B são ambos V ou ambos F, caso contrário é V. O conectivo é denominado ou exclusivo porque é V se, e somente se, A e B possuírem valorações distintas. Com base nessas informações e no texto II, julgue os itens que se seguem. 1 Considerando que A e B sejam proposições, então a proposição A B possui os mesmos valores lógicos que a proposição (A B) (A B). 15) (CGU-2008) Um renomado economista afirma que A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta. Do ponto de vista lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que: a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta. b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa. c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta. d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta. e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta. 74

75 AFIRMA ÇÃO 16) (CESPE- SERPRO- ANALISTA 2008) Uma proposição é uma sentença que pode ser julgada verdadeira (V) ou falsa (F). As proposições são normalmente representadas pelas letras maiúsculas A, B, C etc. A partir de proposições dadas, podem-se construir novas proposições compostas, mediante o emprego de símbolos lógicos chamados conectivos: e, indicado pelo símbolo lógico ^, e ou, indicado pelo símbolo lógico v. Usase o modificador não, representado pelo símbolo lógico, para produzir a negação de uma proposição; pode-se, também, construir novas proposições mediante o uso do condicional se A então B, representado por A B. O julgamento de uma proposição lógica composta depende do julgamento que se faz de suas proposições componentes. Considerando os possíveis julgamentos V ou F das proposições A e B, tem-se a seguinte tabela-verdade para algumas proposições compostas. Considerando-se a proposição A, formada a partir das proposições B, C etc. mediante o emprego de conectivos (^ ou v), ou de modificador ( ) ou de condicional ( ), diz-se que A é uma tautologia quando A tem valor lógico V, independentemente dos valores lógicos de B, C etc. e diz-se que A é uma contradição quando A tem valor lógico F, independentemente dos valores lógicos de B, C etc. Uma proposição A é equivalente a uma proposição B quando A e B têm as tabelas-verdade iguais, isto é, A e B têm sempre o mesmo valor lógico. Com base nas informações acima, julgue os itens a seguir. 1- A proposição (A B) ( A v B) é uma tautologia. 2- Em relação às proposições A: e B: 9 é par, a proposição composta A B é uma contradição. 3- A proposição A B é equivalente à proposição B A. GABARITO 1. Demonstração 2. EEECEC 3. D 4. C 5. D 6. A 7. E 8. A 9. C 10. B 11. A 12. EECCE 13. CCEEC 14. E 15. D 16. CEC NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Duas proposições, uma é negação da outra quando são formadas pelas mesmas proposições simples e os resultados das tabelas-verdade são contrários. A B A/\B AVB A B A B V V V V V V V F F V F F F V F V V F 75

76 NEGAÇÃO F F F F V V A B AV B A/\ B A/\ B (A/\ B)V(B/\ A) F F F F F F F V V F V V V F V F F V V V V V F F De acordo com as tabelas-verdade temos o seguinte: Afirmação P/\Q Ex: O réu é culpado e a testemunha mente PVQ Ex: Bárbara come ou dorme P Q Ex: Se molhar então vai desmanchar P Q Ex: Eu te darei um carro, se e somente se eu ficar rico Negação PV Q Ex: O réu não é culpado ou a testemunha não mente P/\ Q Ex: Bárbara não come e não dorme P/\ Q Ex: Vai molhar e não vai desmanchar (P/\ Q)V(Q/\ P) Ex; Eu fico rico e não te dou um carro ou eu não fico rico e te dou um apartamento NEGAÇÃO DE UMA SENTENÇA AFIRMAÇÃO X>A X<A X=A NEGAÇÃO X A X A X A 76

77 APLICAÇÃO: QUESTAO DE CONCURSO COMENTADA 1.(UnB/CESPE 2008 SEBRAE ANALISTA) Com relação à lógica formal, julgue os itens subseqüentes. ( ) A negação da proposição = 9 é a proposição = 7. Comentário A negação da sentença 2+5 = 9 é 2+5 9, sendo assim temos que o item está errado. Momento de Treinamento 01. Dê a negação para cada uma das proposições abaixo. a) O dia está quente e seco. b) Ela trabalhou muito ou teve sorte na vida. c) Maria não é ruiva ou Regina é loira d) Se o tempo está chuvoso então está em dezembro. e) Faz sol se, e somente se, a família foi à praia. 02. A negação de O gato mia e o rato chia é: a) O gato não mia e o rato não chia. b) O gato mia ou o rato chia. c) O gato não mia ou o rato não chia. d) O gato e o rato não miam nem chiam. e) O gato chia e o rato mia. 03. A negação de Hoje é segunda feira e amanhã não choverá é: a) Hoje não e segunda feira e amanhã choverá. b) Hoje não é segunda feira ou amanhã choverá. c) Hoje não é segunda feira, então amanhã choverá. d) Hoje não é segunda feira nem amanhã choverá. e) Hoje é segunda feira ou amanhã não choverá. 04. (ANPAD/02) A negação da proposição A seleção brasileira classificou-se para a copa do mundo, mas não jogou bem é: a) A seleção brasileira não se classificou para a copa do mundo e não jogou bem. b) A seleção brasileira classificou-se para a copa do mundo ou não jogou bem. c) A seleção brasileira não se classificou para a copa do mundo, mas jogou bem. d) A seleção brasileira não se classificou para a copa do mundo ou jogou bem. e) A seleção brasileira classificou-se para a copa do mundo e não jogou bem. 05. (M. AGR) A negação da afirmativa Me caso ou compro sorvete é: c) Me caso e não compro sorvete d) Não me caso ou não compro sorvete 77

78 e) Não me caso e não compro sorvete f) Não me caso ou compro sorvete g) Se me casar, então não compro sorvete 06. (AFT/97) A negação da afirmação condicional Se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. é: a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva. b) Se não está chovendo e eu levo o guarda-chuva. c) Não está chovendo e eu não levo o guarda chuva. d) Se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva. e) Está chovendo e eu não levo o guarda chuva. 07. (ANEEL 2006) A negação da afirmação condicional Se Ana viajar, Paulo vai viajar é: a) a)ana não está viajando e Paulo vai viajar. b) Se Ana não viajar, Paulo vai viajar. c) Ana está viajando e Paulo não vai viajar. d) Ana não está viajando e Paulo não vai viajar. e) Se Ana estiver viajando, Paulo não vai viajar. 08. (GEFAZ) A afirmação Não é verdade que, se Pedro está em Roma, então Paulo está em Paris é logicamente equivalente a afirmação: a) É verdade que Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris. b) Não é verdade que Pedro está em Roma ou Paulo está não está em Paris. c) Não e verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo não está em Paris d) É verdade que Pedro não está em Roma ou Paulo está em Paris. 09. (ANPAD/02) Considere a seguinte sentença: Não é verdade que, se os impostos baixarem, então haverá mais oferta de emprego. Pode-se concluir que: a) Haverá mais oferta de emprego se os impostos baixarem. b) Se os impostos baixarem, não haverá mais oferta de emprego. c) Os impostos baixam e não haverá mais oferta de emprego. d) Os impostos baixam e haverá mais oferta de emprego. e) Se os impostos não baixarem, não haverá mais oferta de emprego. 10. (CESPE-PETROBRÁS) As sentenças S1, S2 e S3 a seguir são notícias acerca da Bacia de Campos-RJ, Extraídas e adaptadas da revista comemorativa dos 50 anos da Petrobrás. S1: Foi descoberto óleo no campo de Garoupa, em S2: Foi batido o recorde mundial em perfuração horizontal, em profundidade de 905 m, no campo de Marlim, em S3: Foi iniciada a produção em Moréia e foi iniciado o programa de desenvolvimento tecnológico em águas profundas (Procap), em1986. Quanto às informações das sentenças acima, julgue os itens subseqüentes. ( ) A negação da união de S1 e S2 pode ser expressa por: Se não foi descoberto óleo no campo de Garoupa, em 1974, então não foi batido o recorde mundial em perfuração horizontal, em profundidade de 905 m, no Campo de Marlim, em

79 ( ) A negação de S3 pode ser expressa por: Não foi iniciada a produção em Moréia ou não foi iniciado o programa de desenvolvimento tecnológico em águas profundas (procap), em A negação de x -2 é: a) x 2 b) x -2 c) x < -2 d) x < 2 e) x (GESTOR/02) Se m = 2x + 3y, então m = 4p + 3r Se m = 4p + 3r, então m = 2w 3r 7 m = 2x + 3y ou m = 0 Se m = 0, então m + h = 1 Ora, m + h 1. Logo: a) 2w - 3r = 0 b) 4p + 3r 2w 3r c) m 2x +3y d) 2x +3y 2w - 3r e) m= 2w 3r 13. (OF. CHANC./02) se x y, então Z > P ou Q R. Se Z > P, então S T. Se S T, então Q R. Ora, Q > R, logo: a) S > T e Z P. b) S T e Z >P. c) X Y e Z P d) X > Y e Z P e) X < Y e S < T. 14. (AFC/04) Uma professora de matemática faz as três seguintes afirmações: I- X > Q e Z < Y; II-X > Y e Q > Y, se e somente se Y > Z; III-R Q, se e somente se Y = X. Sabendo-se que todas as afirmações da professora são verdadeiras, conclui-se corretamente que: a) X> Y> Q> Z b) X> R> Y> Z c) Z< Y< X< R d) X> Q> Z> R e) Q< X< Z < Y GABARITO 1- a) O dia não está quente e não seco. 79

80 2- c 3- b 4- d 5- c 6- e 7- c 8- a 9- c 10 e c 12 e 13- a 14- b b) Ela não trabalhou muito e não teve sorte na vida. c) Maria é ruiva e Regina não é loira. d) O tempo está chuvoso e não está em dezembro. e) Faz sol e a família não foi à praia ou a família foi à praia e não faz sol. 80

81 06 DIAGRAMAS LÓGICOS No estudo das operações com conjuntos e das soluções de problemas envolvendo conjuntos, os diagramas ajudam a visualizar e contribuem para a compreensão de vários assuntos em Lógica. Um tipo especial de proposição são as proposições categóricas. Podemos identificá-ias facilmente porque são precedidas pelos quantificadores lógicos: Todo ( ), Nenhum ( ), Algum ( ). Na lógica clássica (também chamada de lógica aristotélica) o estudo da dedução era desenvolvido usando-se as proposições categóricas. OBSERVAÇÃO IMPORTANTE, (RETIRADA DE UMA PROVA): Na linguagem falada ou escrita, o elemento primitivo é a sentença, ou proposição simples, formada basicamente por um sujeito e um predicado. Nessas considerações, estão incluídas apenas as proposições afirmativas ou negativas, excluindo, portanto, as proposições interrogativas, exclamativas etc. Só são consideradas proposições aquelas sentenças bem definidas, isto é, aquelas sobre as quais pode decidir serem verdadeiras (V) ou falsas (F). Toda proposição tem um valor lógico, ou uma valoração, V ou F, excluindo-se qualquer outro. As proposições serão designadas por letras maiúsculas A, B, C etc. Há expressões às quais não se pode atribuir um valor lógico V ou F, por exemplo: Ele é juiz do TRT da 5.ª Região, ou x + 3 = 9. O sujeito é uma variável que pode ser substituído por um elemento arbitrário, transformando a expressão em uma proposição que pode ser valorada como V ou F. Expressões dessa forma são denominadas sentenças abertas, ou funções proposicionais. Pode-se passar de uma sentença aberta a uma proposição por meio dos quantificadores qualquer que seja, ou para todo, indicado por, e existe, indicado por. Por exemplo: a proposição (x)(x R)(x + 3 = 9) é valorada como F, enquanto a proposição (x)(x R)(x + 3 = 9) é valorada como V. Exemplos: "Todos os homens são mortais" se torna "Para todo x, se x é homem, então x é mortal.", o que pode ser escrito simbolicamente como: x( H( x) M( x)) "Alguns homens são vegetarianos" se torna "Existe algum (ao menos um) x tal que x é homem e x é vegetariano", o que pode ser escrito simbolicamente como:. x( H( x) V( x)) As proposições categóricas podem ser universais ou particulares, cada uma destas subdividindo-se em afirmativa ou negativa. Temos, portanto, quatro proposições categóricas possíveis. As quatro proposições categóricas possíveis, em suas formas típicas, são dadas no quadro seguinte: Proposições Afirmativas Proposições Negativas Proposições Universais (A) Todo A é B (E) Nenhum A é B Todo A não é B Proposições Particulares (I) Algum A é B (O) Algum A não é B 81

82 Entre parênteses estão as vogais que as representam quantificação Podemos observar no quadro acima que cada uma das proposições categóricas na forma típica começa por Todo ou Nenhum (chamados de quantificadores universais) ou por Algum (chamado de quantificador particular ). Sujeito e predicado de uma proposição categórica Dada uma proposição categórica em sua forma típica chamamos: - Sujeito: Elemento da sentença relacionado ao quantificador da proposição - Predicado: Elemento que se segue ao verbo Exemplo: PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS SUJEITO PREDICADO Todo estudante dedicado é bem sucedido Estudante Bem sucedido Nenhum animal é imortal Animal Imortal Algum atleta é artista Atleta Artista Algum policial não é idôneo Policial Idôneo Exemplos: Todo pássaro voa. Alguns computadores travam. Nenhuma mulher é feia. 82

83 01- Particular afirmativo: Algum A é B Alguns termos que podem substituir a palavra algum nas provas de concursos públicos: - Ao menos um - Pelo menos um - Existe INTERSEÇÃO (A B) = {u} - Alguém Conjunto unitário Relação de qualidade Algum A é B Relação de quantidade O conjunto interseção é formado pelos elementos que pertencem aos conjuntos A e B simultaneamente. (A B) = {x / x A e x B} Simbologicamente: x (A(x) ^B(x)) x (B(x) ^A(x)) 02- Universal Negativo: Nenhum A é B CONJUNTOS DISJUNTOS O termo nenhum pode ser substituído pela a palavra não existe nas provas de concursos públicos: Relação de qualidade Nenhum A é B A e B são disjuntos se A Conjunto vazio B = Ø. Relação de quantidade Simbologicamente: x (A(x) ^B(x)) x (B(x)^A(x)) 83

84 03- Particular negativo: Algum A não é B Alguns termos que podem substituir a palavra algum nas provas de concursos públicos: - Ao menos um Algum Relação de qualidade A não é B - Pelo menos um - Existe - Alguém C B A = A - B = {x / x A e x B} COMPLEMENTAR Relação de quantidade Simbologicamente: X (A(X)^ B(X)) 04- Universal Afirmativor: Todo A é B A U B = B A B = A INCLUSÃO DE CONJUNTOS (A C B) Alguns termos que podem substituir a palavra todo nas provas de concursos públicos: - Para todo; - Qualquer que seja. Relação de qualidade Todo A é B Relação de quantidade U A B A e B B - A ~A e ~B Simbologicamente: 84

85 OBS.: x( A( x) B( x)) x( B( x) A( x)) NÃO POSSUI A PROPRIEDADE COMUTATIVA. LINGUAGEM (SIMBOLOGIA) DAS PROPROSIÇÕES CATEGÓRICAS Nesses últimos concursos as bancas têm cobrado dos candidatos um conhecimento mais amplo referente à simbologia e a escrita das proposições categóricas. Sendo assim torna-se importante verificarmos algumas questões de concursos. APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA 1) (INSS 2008 CESPE) Algumas sentenças são chamadas abertas porque são passíveis de interpretação para que possam ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F). Se a sentença aberta for uma expressão da forma x P(x), lida como para todo x, P(x), em que x é um elemento qualquer de um conjunto U, e P(x) é uma propriedade a respeito dos elementos de U, então é preciso explicitar U e P para que seja possível fazer o julgamento como V ou como F. A partir das definições acima, julgue os itens a seguir. 1( ) Considere-se que U seja o conjunto dos funcionários do INSS, P(x) seja a propriedade x é funcionário do INSS e Q(x) seja a propriedade x tem mais de 35 anos de idade. Desse modo, é correto afirmar que duas das formas apresentadas na lista abaixo simbolizam a proposição Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade. (i) (se Q(x) então P(x)) (ii) (P(x) ou Q(x)) (iii) (se P(x) então Q(x)) 2( ) Se U for o conjunto de todos os funcionários públicos e P(x) for a propriedade x é funcionário do INSS, então é falsa a sentença P(x).Comentário: Item 1 A proposição: Todos os funcionários do INSS têm mais de 35 anos de idade é um quantificador Universal Afirmativo, em que temos a seguinte simbologia: ((P(x) Q(x)) ou pode ser escrita (se P(x) então Q(x)). Sendo assim analisaremos os seguintes itens: (i) (se Q(x) então P(x)) : Esta forma não simboliza corretamente a proposição pois o quantificador universal afirmativo não permite a propriedade comutativa. (ii) (P(x) ou Q(x)): Esta forma não simboliza corretamente a proposição, pois o quantificador universal afirmativo não se trata de uma união de conjuntos, mas sim de uma inclusão de conjuntos. (iii) (se P(x) então Q(x)): Esta forma está correto. Logo o item 1 está errado pois não temos duas formas que representam o proposição encontrada no enunciado. Item 2 - Construindo um diagrama para representar sentença P(x), temos: U (Conjunto de todos os funcionários públicos) x P (conjunto dos funcionários do INSS) x 85

86 O elemento x pode pertencer ao conjunto P, o que pertence também ao conjunto U, mas temos a possibilidade do elemento x pertencer somente ao conjunto U, o que torna a sentença falsa, uma vez que ser funcionário público não garante ser funcionário do INSS. Logo o item 2 está correto. Momento de Treinamento 1) ( BB 2008 CESPE) Julgue os itens : 01 Suponha-se que U seja o conjunto de todas as pessoas, que M(x) seja a propriedade x é mulher e que D(x) seja a propriedade x é desempregada. Nesse caso, a proposição Nenhuma mulher é desempregada fica corretamente simbolizada por (M(x)^D(x)). 02 A proposição Não existem mulheres que ganham menos que os homens pode ser corretamente simbolizada na forma x (M(x) G(x)). 03- ( TRT 5ª RG 2008) Se R é o conjunto dos números reais, então a proposição ( )(x R)( y)(y R)(x + y = x) é valorada como V. GABARITO 1 C 2- E 3- C 86

87 NEGAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES CATEGORICAS Duas proposições categóricas distintas que tenham o mesmo sujeito e o mesmo predicado ou não poderão ser ambas verdadeiras ou não poderão ser ambas falsas, ou as duas coisas. Dizemos que estarão sempre em oposição. CONTRÁRIAS Todo A é B Nenhum A é B Nega quantidade, mas não qualidade. SUBCONTRÁRIAS Algum A é B Algum A não Nega qualidade, mas não quantidade. 87

88 CONTRADITÓRIAS Todo A é B Algum A não é B Algum A é B Nenhum A é B Nega quantidade e qualidade APLICAÇÃO: QUESTÃO DE CONCURSO COMENTADA 01-(UnB/CESPE 2008 SEBRAE -ANALISTA Considere a seguinte proposição: Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento. Julgue os itens que se seguem, acerca dessa proposição. 1 ( ) A proposição Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. 2 ( ) Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento não é uma proposição logicamente equivalente à negação da proposição acima. Comentário: Item 1 A negação da proposição: Ninguém será considerado culpado ou condenado sem julgamento. será pela negação contraditória: Existe alguém que será considerado culpado ou condenado sem julgamento, uma vez que nega quantidade e qualidade. Logo o item está correto. Item 2 Tomando como base o item anterior podemos concluir que Todos serão considerados culpados e condenados sem julgamento não é a negação da proposição proposta pela questão. Logo item está correto. 02-(UnB/CESPE 2008 SEBRAE -ANALISTA Com relação à lógica formal, julgue o item subseqüente. ( ) A negação da proposição Ninguém aqui é brasiliense é a proposição Todos aqui são brasilienses Comentário A proposição: Ninguém aqui é brasiliense trata-se de quantificador universal negativo. Se quisermos a negação torna-se viável negarmos pela contraditória, uma vez que termos a certeza que será por quantidade e qualidade. Logo a negação será: Alguém aqui é brasiliense. O item está errado. MOMENTO DE TREINAMENTO 01. Dê a negação para cada uma das proposições abaixo: a) Todos os corvos são negros. b) Nenhum triangulo é retângulo. c) Alguns sapos são bonitos. d) Algumas vidas não são importantes. 88

89 02. (FCC) Considere que S seja a sentença: todo político é filiado a algum partido. A sentença equivalente á negação da sentença S acima é: a) Nenhum político é filiado a algum partido. b) Nenhum político não é filiado a qualquer partido. c) Pelo menos um político é filiado a algum partido. d) Pelo menos um político não é filiado a qualquer partido. 03. (TRT) A correta negação da proposição Todos os cargos deste concurso são de analista judiciário é: a) Alguns cargos deste concurso são de analista judiciário. b) Existem cargos deste concurso que não são de analista judiciário. c) Existem cargos deste concurso que são de analista judiciário. d) Nenhum dos cargos deste concurso não é de analista judiciário. e) Os cargos deste concurso são ou de analista, ou de judiciário. 04. (ANPAD/02) A negação da proposição Todos os homens são bons motoristas é: a) Todas as mulheres são boas motoristas. b) Algumas mulheres são boas motoristas. c) Nenhum homem é bom motorista. d) Todos os homens são maus motoristas. e) Ao menos um homem é mau motorista. 05. (CVM/00) Dizer que a afirmação Todos os economistas são médicos é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) Pelo menos um economista não é médico. b) Nenhum economista é médico. c) Nenhum médico é economista. d) Pelo menos um médico não é economista. e) Todos os não médicos são não economistas. 06. (M. AGR) A negação da afirmativa Todo tricolor é fanático é: a) Existem tricolores não fanáticos b) Nenhum tricolor é fanático c) Nem todo fanático é tricolor d) Nenhum fanático é tricolor e) Existe pelo menos um fanático que é tricolor 07. (Medicina ABC) A negação de Todos os gatos são pardos é: a) Nenhum gato é pardo b) Existe gato pardo c) Existe gato não pardo d) Existe um e só um gato pardo e) Nenhum gato é não pardo. 08. (ESAF) Fábio, após visitar uma aldeia distante, afirmou: Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Fábio seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: a) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. 89

90 b) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta. c) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a sesta. d) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta. e) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta. 09. (ANPAD/02) negação da sentença Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola é: a) Todas as pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola. b) Todas as pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola. c) Algumas pessoas lentas em aprender freqüentam esta escola. d) Algumas pessoas lentas em aprender não freqüentam esta escola. e) Nenhuma pessoa lenta em aprender freqüenta esta escola. 10. (ESAF) Se não é verdade que alguma professora universitária não dá aulas interessantes, portanto é verdade que: a) Todas as professoras universitárias dão aulas interessantes. b) Nenhuma professora universitária dá aulas interessantes. c) Nenhuma aula interessante é dada por alguma professora universitária. d) Nem todas as professoras universitárias dão aulas interessantes. e) Todas as aulas não interessantes são dadas por professoras universitárias. 11. (OF.CHANC./02) Se a professora de matemática foi à reunião, nem a professora de Inglês nem a professora de Francês deram aula. Se a professora de francês não deu aula, a professora de português foi à reunião. Se a professora de português foi à reunião, todos os problemas foram resolvidos. Ora, pelo menos um problema não foi resolvido. Logo, a)a professora de matemática não foi à reunião e a professora de francês não deu aula. b) A professora de matemática e a professora de português não foram à reunião. c) A professora de francês não deu aula e a professora de português não foi à reunião. d) A professora de francês não deu aula ou a professora de português foi à reunião. e) A professora de inglês e a de francês não deram aula. GABARITO : 1) a) Pelo menos um corvo não é negro. b) Algum triângulo é retângulo c) Nenhum sapo é bonito d) Todas as vidas são importantes. 2) D 3) B 4) E 5) A 6) A 7) C 8) C 9) C 10) A 11) B 90

91 07 INFERÊNCIAS INFERÊNCIA LÓGICA É uma operação mental pela qual extraímos uma nova proposição denominada conclusão, de proposições já conhecidas, denominadas premissas P1: Proposição Premissa (Hipótese) P2: Proposição Premissa (Hipótese) P3: Proposição Premissa (Hipótese) P4: Proposição Premissa (Hipótese) P5: Proposição Premissa (Hipótese) Pn: Proposição Premissa (Hipótese) C: Proposição Conclusão (Tese) Regras de inferência 1. Modus Ponens A, A B B 2. Generalização Universal A Teoremas Nos teoremas abaixo: - As premissas estão sempre à esquerda do sinal (Lê-se portanto); - Uma vírgula separa duas premissas - Rec. Significa teorema recíproco do apresentado na linha anterior. T1: A A T2: ~(~A) A REC: A ~(~A) T3: A, B A/\B T4: A AVB T5: A/\B A T6: AVB, ~A B T7: A B, B C A C T8: A, (A B) B T9: (AVB), B C (AVC) T10: A B ~B ~A REC: ~B ~A A B T11: A B, (~A B) B T12: (A/\B) C A (B C) REC: A (B C) (A/\B) C 91

92 T13: (A/\~B) (C/\~C) A B (Princípio a não-contradiçao) T14: A (BVC, ~B A C) Nestes últimos concursos públicos temos observado que as bancas têm cobrado do candidato uma interpretação do que é uma inferência lógica, onde questões bem elaboradas fazem parte do processo seletivo. Sendo assim torna-se necessário entendermos que uma inferência lógica é constituída de premissas verdadeiras para se deduzir uma conclusão também verdadeira, uma vez que a lógica afirma: Se as premissas fornecem bases ou boas provas para a conclusão, se a afirmação da verdade das premissas garante afirmação da verdade da conclusão, então o raciocínio é correto. APLICAÇÃO: QUESTÕES DE CONCURSOS COMENTADAS (SEBRAE 2008 CESPE) Considere as seguintes proposições: I Todos os cidadãos brasileiros têm garantido o direito de herança. II Joaquina não tem garantido o direito de herança. III Todos aqueles que têm direito de herança são cidadãos de muita sorte. Supondo que todas essas proposições sejam verdadeiras, é correto concluir logicamente que 1 ( ) Joaquina não é cidadã brasileira. 2 ( ) Todos os que têm direito de herança são cidadãos brasileiros. 3 ( ) Se Joaquina não é cidadã brasileira, então Joaquina não é de muita sorte. Comentário: Cidadãos de muita sorte Garantia de direito de herança Cidadão brasileiro Joaquina Joaquina Segundo as premissas podemos construir o diagrama acima, vamos lá... Pela premissa I temos a inclusão de dois conjuntos: Todo cidadão brasileiro têm garantido o direito de herança. Cidadão brasileiro está contido no conjunto garantia de direito de herança. Pela premissa II temos que Joaquina não pode pertencer ao conjunto Garantia de direito de herança, podendo assim ficar nas duas posições indicadas no diagrama. Pela premissa III temos que o conjunto: Cidadãos de muita sorte pode possui ou não Joaquina. Julgando os itens : 1( C ) certo o item, pois Joaquina não pertence ao conjunto : Cidadão brasileiro. 2( E ) errado o item, pois comutou o quantificador universal afirmativo,onde o mesmo não aceita tal propriedade. 3( E ) Temos um conectivo condicional, em que podemos valorar as proposições dadas: Se Joaquina não é cidadã brasileira, então não é de muita sorte. V (V / F) = V / F Sendo assim, temos que o item está errado, pois não podemos garantir a verdade da proposição dada. 92

93 02) (ESAF) Nenhum matemático é aluno. Algum administrador é aluno, logo: a) Algum administrador é matemático b) Todo administrador é matemático c) Nenhum administrador é matemático d) Algum administrador não é matemático. e) Todo administrador não é matemático. Comentário: Da mesma forma que analisamos as premissas formadas com os conectivos lógicos (utilizando as tabelas-verdade) para que possamos encontrar uma conclusão verdadeira, iremos analisar as premissas formadas com os quantificadores lógicos. Cada premissa será representada pelo seu diagrama lógico, sendo cada um deles verdadeiro para que tenhamos uma conclusão verdadeira. O que analisar? Vamos construir os diagramas para cada premissa: P1: Nenhum matemático é aluno. (Não há nada em comum) P2: Algum Administrador é aluno ( Pelo menos um {X}. Conjunto unitário ) Relacionando as duas premissas (diagramas lógicos), temos: A conclusão será fruto da relação das premissas acima, sendo que deverá ser uma nova proposição conseqüência de uma certeza. Não podemos concluir o que não temos certeza, e é desta forma que podemos afirmar que a resposta da questão será: Algum Administrador não é matemático. Letra d. 93

94 04) ( CESPE- PF Escrivão 2004) para se preparar para o concurso, utilizou um site de busca da internet e pesquisou em uma livraria virtual, especializada ns áreas de direito, administração e economia, que vende livros nacionais e importados. Nessa livraria, alguns livros de direito e todos os de administração fazem parte dos produtos nacionais. Além disso, não há livro nacional disponível de capa dura. Julgue os itens com base nas informações acima. É possível que Pedro em sua pesquisa tenha: a) Encontrado um livro de administração de capa dura. b) Adquirido dessa livraria um livro de economia de capa flexível. c) Selecionado para compra um livro nacional de direito de capa dura. d) Comprado um livro importado de direito de capa flexível. Comentário P1: Alguns livros de Direito são produtos nacionais: P2: Todos os livros de Administração são produtos nacionais. P3: Não há livro nacional disponível de capa dura. (não há nada em comum) Relacionando as premissas acima temos: Julgando os itens, temos: 94