Ítalo Gomes Gonçalves et al. Teoria de Kubelka-Munk aplicada na indústria de minerais industriais: predição do teor de contaminantes em caolim

Transcrição

1 Ítalo Gomes Goçalves et al. eração Teora de ubelka-uk aplada a dústra de meras dustras: predção do teor de otamates em aolm (ubelka-uk theory appled to dustral merals: predto of mpurty otet kaol) Ítalo Gomes Goçalves Graduado em Egehara de as - URG - Porto Alegre - R - rasl E-mal: talogoalves@best.om.br Carlos O. Petter Professor do Departameto de Egehara de as - URG - Porto Alegre - R - rasl E-mal: petter@ufrgs.br Resumo Para a maora dos meras dustras, o valor eoômo do produto está assoado, dretamete, às suas propredades ótas, omo or, alvura, et. Essas propredades ótas também podem ser utlzadas omo ferrameta auxlar o plaejameto de lavra e proessameto do méro. Nesse trabalho, a teora de ubelka-uk fo utlzada a tetatva de rar um método para a determação da oetração de otamates em aolm. Devdo a dfuldades prátas, fo eessáro o desevolvmeto de algumas relações matemátas evolvedo o modelo para a obteção das duas ostates eessáras para ada materal. Os resultados obtdos foram satsfatóros, possbltado a realzação de estudos mas detalhados sobre a aplação dessas relações matemátas, tato para o aolm, omo para os meras dustras em geral. Palavras-have: Alvura, aolm, ubleka-uk, otamates. Abstrat or most dustral merals, the eoom value of the produt s dretly assoated to ts optal propertes, lke olor, brghtess, et. These optal propertes a also be used as auxlary tools the me plag ad meral proessg. I ths work, the ubelka-uk Theory was used a attempt to reate a method for the determato of otamat oetrato kaol. Due to pratal dffultes, t was eessary to develop some mathematal relatos volvg the model to obta the two ostats eeded for eah materal. The obtaed results were satsfatory, makg possble the realzato of more detaled studes about the applato of these mathematal relatos, as muh for the kaol as for dustral merals geeral. eywords: rghtess, kaol, ubelka-uk, otamats. 49

2 Teora de ubelka-uk aplada a dústra de meras dustras: predção do teor de.... Itrodução O valor eoômo de dversos meras dustras está dretamete assoado às suas propredades ótas. Isso se deve ao fato de que a maora das dústras osumdoras desses meras dustras orpora-os em produtos os quas a aparêa vsual é otrolada. Para essas dústras, omo, por exemplo, as de plástos, papel, ttas e erâmos, varações a oloração das matéras-prmas meras mplam dfuldades o aerto da or do produto fal. No aso partular do aolm, uma das maores dfuldades o seu proessameto é o otrole da remoção dos seus otamates. Esses otamates são osttuídos, prpalmete, por óxdos de ferro e ttâo e ada um respode de maera dfereada às operações utáras de proessameto. Portato o objetvo desse trabalho é a obteção de fórmulas que possbltem explorar as propredades ótas do aolm e seus otamates (e meras dustras em geral), de forma a otmzar as operações evolvdas a sua produção. Para tato, fo explorada a teora de ubelka-uk, que é largamete utlzada as dústras osumdoras de meras dustras.. Cosderações teóras A teora de - prevê que, para uma amada de materal de espessura d sedo rradada om um fluxo de radação dfusa mooromáta a dreção -x, represetado por I, a relação etre este fluxo e aquele que está sedo espalhado de volta pelo materal (a dreção x), represetado por J, em uma fa amada de espessura dx é dada pelo sstema de equações dfereas (): di = ( ) I J dx dj = ( ) J I dx () Ode e represetam, respetvamete, os oefetes de absorção e de espalhameto da luz por udade de omprmeto. Resolvedo o sstema (), pode-se hegar à ução de ubelka- uk, expressa a equação : ( R ) = R R ( ) () Ode R represeta a refletâa de uma amada de materal totalmete opaa (ou seja, om uma espessura tal que a luz ão a atravesse). No aso de uma mstura de materas (omo um méro otamado ou uma arga omposta por város meras, por exemplo), (R ) (daqu em date deomado apeas por ), é dado por: Σ = () Σ No aso de um substrato brao em exesso (om ), otedo outros elemetos em oetrações baxas (daqu em date deomados otamates ), oforme ortüm (969), a Eq. () pode ser smplfada para: (λ) (λ) = (λ) (λ)... (4) Ode represeta o (R ) do substrato puro. Os valores de de ada otamate são, etão, obtdos através de msturas báras de oetração oheda dos otamates om o substrato, om um otamate de ada vez, pelo álulo da lação da reta x obtda a gura. Uma vez ohedo o de todos os materas para todo o espetro vsível, a determação de oetrações desohedas de otamates osste em seleoar omprmetos de oda oveetes e resolver um sstema de equações de ordem gual ao úmero de otamates a mstura. Etretato, a práta, surgem algus problemas: A smplfação supõe que o valor de de todos os materas é ostate em todo o espetro vsível, o que, a realdade, ão oorre. Pelo fato de se desosderar o deomador a eq. (), para se hegar à eq. (4), o dos otamates fa relatvo ao substrato esolhdo, ou seja, se for esolhdo outro substrato, o valor de obtdo para os otamates será dferete. Além dsso, a eq. (4) só matém o seu omportameto lear para oetrações muto baxas de otamates. Essas dfuldades levaram à busa por um método mas robusto e ofável que a smplfação apresetada aterormete. Para tato, osdere-se a Eq. (), o aso em que há apeas o substrato e um otamate (que reeberão, respetvamete, os ídes e ). A equação pode, etão, ser esrta da segute forma: = (5) Reesrevedo =- e, obtém-se: = ( ) ( ) (6) Dervado a expressão (6), em relação a, e aplado a aproxmação lear de Taylor em toro do poto =, é possível obter: = (7) gura - Reta utlzada para o álulo de. 49

3 A expressão (7) represeta uma reta semelhate àquela da gura. No etato, a lação da reta ão é dada por um úo valor e sm, por uma ombação das duas ostates, e, dos dos materas evolvdos. Isso elma os problemas de relatvdade etre otamates e substratos e ão exge que seja ostate o espetro. Porém, agora a determação de uma ostate exge que se oheça outras três. A solução eotrada para este problema fo a utlzação desta equação em ojuto om a teora orgal de -, omo será vsto mas adate.. Cosderações prátas De aordo om ortüm (969), a partr da refletâa de uma amada fa de materal é possível obter a ostate do mesmo através da expressão: ar = oth d b br (8) Ode d represeta a espessura da amada, a e b são ambos fuções de R do materal e R é a refletâa medda para uma espessura d sobre um fudo ão refletor. Coheedo R e, é possível obter através da eq. (), ou seja: =. (9) A utlzação da Eq. (8) pode ser dfíl devdo a problemas expermetas (o erro em tede a ser alto para altas refletâas) ou prátos (a obteção de uma amada muto fa de um líqudo ou pó, por exemplo), mas será eessára, o mímo, para a obteção de e do materal a ser defdo omo substrato. Coheedo-se etão, e do substrato, toma-se a lação da reta a Eq. (7), lembrado que o íde represeta o substrato, equato que o íde represeta o materal ujas ostates são desohedas: = () ou = Ítalo Gomes Goçalves et al. Dvddo essa expressão por, obtém-se: = Esrevedo e e orgazado os termos, pode-se hegar à expressão: = () Ou seja, pode-se obter o oefete de espalhameto de um materal desohedo oheedo-se R (e por oseqüêa ) de ada materal puro, o oefete de espalhameto do substrato (obtdo pela eq. (8)) e a lação da reta x para oetrações muto baxas do materal desohedo, obtda por uma regressão lear. E uma vez ohedo, pode ser obtdo através da expressão: =. () Cohedos os valores de e para todos os materas, o objetvo agora é desevolver um método para a determação de oetrações a partr da medção de (R ) de uma mstura. Para sso, osderado-se a Eq. (5) para um úmero qualquer de otamates e esrevedo =- N obtém-se: = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Passado o deomador para o outro lado da gualdade e oloado em evdêa,, et., hega-se à expressão: [ - - ( - )] [ - - ( - )]...[ - - ( - )] = - (4) Esreve-se: [ ( )] A( λ ) [ ( )] ( λ) [ ( )] N( λ) γ ( λ) Pela represetação em forma matral, a qual ada lha represeta um omprmeto de oda, obtém-se: A A A A N γ N γ N γ = N γ N () (5) 49

4 Teora de ubelka-uk aplada a dústra de meras dustras: predção do teor de... Aplado-se o método dos mímos quadrados de forma a utlzar todo o espetro meddo, hega-se à expressão: ΣA ΣA ΣA N ΣA Σ Σ N O ΣA N Σ N ΣN ΣAγ Σγ = ΣN γ A expressão (6) represeta um sstema de equações leares de ordem gual ao úmero de materas evolvdos a mstura meos um. A aplação dessas fórmulas, para o aso do aolm, está desrta a segur. gura - Espetro de refletâa dos materas estudados. (6). ateras e métodos Os prpas otamates eotrados o aolm são os óxdos, tas omo hematta, goethta, rutlo, et. Pela eessdade de se possuírem todos os materas evolvdos puros, utlzou-se um aolm beefado, lvre de mpurezas e pgmetos artfas à base de óxdos de ferro (um de or vermelha e outro, amarela), de forma a smular um aolm otamado. Os espetros de R dos materas estão apresetados a gura. A refletâa dos materas fo medda através de pastlhas. As pastlhas são preparadas om o auxílo de uma presa, que ompata o pó ofado em um ael metálo em otato om uma superfíe de vdro. A medção da refletâa é feta sobre a superfíe da pastlha que estava em otato om o vdro. Em todas as meddas, fo utlzado um espetrofotômetro olta modelo 6d. No aso de uma amada fa, eessára para a utlzação da eq. (8), o materal fo presado maualmete otra uma plaa preta de plásto om o auxílo de uma lamíula de plásto e a espessura da amada fo medda om um mrômetro dgtal tuoyo IP65. gura - Espetro de do aolm.. Resultados e dsussão O prmero passo fo a determação das ostates e do aolm, através das equações (8) e (9). Os resultados eotram-se as guras e 4. upostamete, essas urvas deveram ser mas suaves do que as urvas realmete obtdas. Esse ruído pode ser devdo a erros expermetas, pos, para a meor espessura de amada que fo possível ser obtda (da ordem de,5 mm), o valor de R meddo estava muto próxmo do R do aolm, aso em que a eq. (8) tede a gerar resultados meos exatos. 494

5 Ítalo Gomes Goçalves et al. O segudo passo fo utlzar as Eqs. () e () para desobrr as ostates dos otamates. Para a obteção da reta da Eq. (7), foram fetas msturas om oetrações de até,% em massa. Em todos os omprmetos de oda meddos foram obtdos oefetes de orrelação maores que,95, oforme a gura 5. Os espetros de e obtdos para os otamates estão apresetados as guras 6 e 7. Para o presete aso, o sstema em (6) fo resolvdo para os dos otamates apresetados, deomado-se o aolm omo substrato. Isso levou a um sstema de equações x. Os expermetos realzados e o erro obtdo são mostrados a Tabela. gura 4 - Espetro de do aolm. 4. Colusões. As fórmulas aqu apresetadas se mostram bem sueddas omo um passo a dreção de uma ferrameta de otmzação de proessos para o aolm, tedo omo base suas propredades ótas.. O erro expermetal obtdo pode ser reduzdo ao se desobrr uma maera de se obter uma amada de aolm mas fa, om espessura e refletâa possíves de serem meddas om meor erro.. A teora de ubelka-uk tem poteal para ser aplada também para outros meras dustras, tato omo uma ferrameta de otmzação de proesso, omo de plaejameto de lavra. A maor dfuldade se eotra a eessdade de obteção de amostras puras de todos os meras evolvdos. gura 5 - Cotamates em baxas oetrações para aplação da eq. (). Comprmeto de oda: 5 m. Tabela - Coetrações reas e aluladas. Erro absoluto médo: vermelho -,4%, amarelo -,9%. 495

6 Teora de ubelka-uk aplada a dústra de meras dustras: predção do teor de... gura 6 - Espetro de dos otamates. gura 7 - Espetro de dos otamates. 5. Referêas bblográfas ORTÜ, G. Refletae spetrosopy. Prples, methods, applatos. prger-verlag, 969. PETTER, C.O. Cotrbuto à l etude de la valorsato de kaols pour l dustre papetere: mse au pot d ue methodologe olormetrque, applato à la seletvté mere. Éole des es de Pars, 994. (These). PETTER, C.O., ATITON, E.., GONÇAVE, I.G., PEIXOTO, C.A. Determação do teor de otamates olorates o aolm a partr do espetro de refletâa dfusa. I: ENTE,, 5. Natal. Aas Natal: O, 5. v, p Artgo reebdo em 6//6 e aprovado em //7. 496