Exercícios de Probabilidade

Transcrição

1 USP-FFCLRP Introdução à Estatística e Probabilidade I DCM Matemática Aplicada a Negócios Prof. Rafael A. Rosales 8 de agosto de 2011 Sumário 1 Eventos e Espaços amostrais Eventos (Conjuntos) Espaços amostrais Ω Seqüência de eventos Álgebras e σ-álgebras Probabilidade Espaços de probabilidade Simetria Propriedades adicionais de P Probabilidade (Combinatória) 7 4 Probabilidade Condicional 10 5 Independência de eventos 11 6 Variáveis Aleatórias Vetores aleatórios Esperança matemática e variância 15 8 Esperança condicional 17 9 independência de variáveis aleatórias Extras Modelos Probabilísticos Discretos Modelos Probabilísticos Contínuos Suplementos Conjuntos enumeráveis σ-álgebras? Exercícios de Probabilidade Os exercícios marcados com são mais difíceis e podem ser deixados para uma segunda leitura. Cada uma das provas terão uma ou dois perguntas a este nível. Os exercícios 1

2 marcados com são ainda mais difíceis e alguns serão resolvidos em aula, porém recomendamos a maneira de reto a sua resolução. A seção de suplementos contem tópicos mais avançados e o seu estudo é opcional. 1 Eventos e Espaços amostrais 1.1 Eventos (Conjuntos) Exercício 1. Demonstrar as seguintes identidades utilizando a definição de cada operação, considerando que para quaisquer dois conjuntos A e B, A = B se A B e B A. A B = (A B c ) (A c B) A = (A B) (A B c ) A \ B = A B c A c = Ω \ A A A c = A A c = Ω A A = A A = A (i) (ii) (iii) (iv) (v) (vi) (vii) (A B) C = (A C) (B C) (viii) (A B) C = (A C) (B C) (ix) Exercício 2. (Leis de De Morgan) Seja {A i : i = 1,..., n} uma coleção de eventos de Ω. Mostre, ( n ) c n ( n ) c n A i = A c i, A i = A c i. i=1 i=1 Exercício 3. Sejam A, B e C eventos de Ω. Identifique as seguintes equações e frases, unindo cada equação expressa na notação de conjuntos com a correspondente frase na linguagem de eventos, (a) A B C = A B C (i) A e B ou C são incompatíveis (b) A B C = A (ii) Os eventos A, B, C são idênticos (c) A B C = A (iii) A ocorrência de A implica a de B e C (d) (A B C) \ (B C) = A (iv) A ocorrência de A decorre de B ou C Exercício 4. Sejam A, B, C eventos de Ω. Mostre que A\(B \C) A\B C. Encontrar uma expreção mais simples para A \ B C. Exercício 5. Sejam A, B e C três eventos em Ω. Encontrar as expressões para os seguintes eventos: (a) aconteceu somente A (b) aconteceram A e B mas não C (c) aconteceram os três eventos (d) aconteceu ao menos um dos eventos (e) aconteceram ao menos dois eventos (f) aconteceu só um dos eventos (g) ocorreram só dois eventos i=1 i=1 2

3 (h) não aconteceu nenhum dos eventos (i) não aconteceram mais de dois eventos Exercício 6. Dois dados são lançados. Sejam os eventos E = {a soma dos dados é impar} 1, F = {pelo menos um dado tem o número 1 na face superior}, e G = {a soma dos dados é 5}. Descreva os eventos E F, E F, F G, E F c, e E F G. 1.2 Espaços amostrais Ω Exercício 7. Descrever os espaços amostrais, Ω, dos seguintes experimentos: (i) uma moeda é lançada n vezes (n < ) [Dica: pense em um produto cartesiano. Por que?] (ii) duas bolas são retiradas de uma urna que inicialmente contem duas bolas pretas e duas vermelhas. Considere todas as posíveis situações: as bolas podem ser retiradas com reposição ou sem reposição, e a ordem na qual são retiradas as bolas pode ser considerada ou não. (iii) seleciona-se um ponto, ao acaso, do quadrado unitário {(x, y) : 0 x 1, 0 y 1} (iv) Retiram-se cartas sucessivamente de um baralho de 52 cartas, ao acaso e com reposição, até retirar-se o primeiro rei. Registra-se o número total de retiradas. Exercício 8. Um torneio de tênis começa com 2 n competidores e apresenta n jogos. Descrever o espaço Ω de todos os possíves resultados. [Dica: produto cartesiano] 1.3 Seqüência de eventos Exercício 9. Seja A 1, A 2,... uma seqüência de eventos. Defina B n = m=n A m, C n = Neste caso C n A n B n. As seqüências {B n } e {A n } são respectivamente decrescentes e crescentes com limites m=n A m. lim B n = B = B n = A m, n=1 lim C n = C = C n = n=1 m n n=1 n=1 m n A m. 1 Esta notação é a forma abreviada de {ω Ω : ω que apresentam soma impar}. Em geral {ϕ} denota o conjunto dos eventos elementares {ω Ω : ω ϕ} onde ϕ é um predicado qualquer (da lógica de primeira ordem). 3

4 Os eventos B e C são chamados lim sup n A n e lim inf n A n respectivamente. Demonstrar a seguinte interpretação para B e C, (i) B = {ω Ω : ω A n para uma infinidade de valores de n}, C = {ω Ω : ω A n para todo n menos uma quantidade finita de valores de n}. (ii) (esta parte realmente é de probabilidade) Se lim sup A n = lim inf A n = A, n n chamamos o evento limite A de lim n A n, ou simplesmente A n A. Demonstrar que se A = lim n A n, então P(A n ) P(A) quando n. 1.4 Álgebras e σ-álgebras Definição 1. Seja Ω um conjunto. A familia A de conjuntos de Ω é uma álgebra de Ω se: (i) A, (ii) A A A c A, (iii) sejam A 1, A 2,..., A n conjuntos em A, então n i=1 A i A. Dezimos que A é uma sigma álgebra (σ-álgebra) de Ω se A satisfaze as condições (i), (ii) e em lugar de (iii) temos que para quaisquer A 1, A 2,... A, i=1 A i A A diferença entre álgebra e σ-álgebra é que a primeira só apresenta conjuntos formados por operações finitas. A noção de σ-álgebra será raramente utilizada neste curso, porém é necessária para desenvolver a teoria de probabilidade de maneira consistente. Uma justificativa relativamente informal disto é apresentada no apêndice. Exercício 10. Um dado equilibrado é jogado uma vez, e é observado o número da face superior. Os resultados possíveis são Ω = {ω 1, ω 2,..., ω 6 } = {1, 2,..., 6}. São considerados os seguintes eventos: A= o resultado é par, B= o resultado é impar, C= o resultado é um número primo. Explique por que {, A, B, Ω} é uma álgebra de Ω, embora {, A, Ω} não é uma álgebra de Ω. Exercício 11. Mostre que {, Ω} é uma álgebra (de Ω). Exercício 12. Seja A um evento de Ω. Mostre que A = {, A, A c, Ω} é uma álgebra. Exercício 13. Sejam A e B dois conjuntos em A. Mostre que A contem os conjuntos A B, A \ B e A B. Exercício 14. Mostre que uma σ-álgebra (de Ω) também é uma álgebra (de Ω). Exercício 15. Seja A uma σ-álgebra dos subconjuntos de Ω e suponha que B A. Mostre que F B = {A B : A A } é uma σ-álgebra dos subconjuntos de B. Exercício 16. Sejam A e F duas σ-álgebras dos subconjuntos de Ω. (i) Seja D = A F a coleção dos subconjuntos de Ω em ambos A e F. Mostre que D é uma σ-álgebra. (ii) Mostre que A F, a coleção de subconjuntos de Ω pertencentes a A ou F, não é necessáriamente uma σ-álgebra.[dica: utilice um contra exemplo] 4

5 (iii) Generalize o item (i): Se F i, i = 1,..., n são σ-álgebras de partes de Ω, então n i=1 F i também é uma σ-álgebra. (iv) Seja B uma classe de subconjuntos de Ω. Mostre que existe pelo menos uma σ-álgebra que contem B. [Dica: qual a maior classe de subconjuntos de Ω?] (v) Visando a plena utilização dos itens (b) e (c), como você definiria a menor σ- álgebra contendo B, onde B é uma classe de subconjuntos de Ω? Exercício 17. Mostre que a família de todos os subconjuntos de um conjunto finito é uma álgebra. [Dica: se A esta formado por todos os subconjuntos de Ω, então A A realmente significa A é um subconjunto de Ω.] 2 Probabilidade 2.1 Espaços de probabilidade Exercício 18. Descreva um espaço de probabilidade para os experimentos (i) e (ii) mencionados no exercício 7. Exercício 19. Uma moeda é jogada um número infinito de vezes. Descreva um espaço de probabilidade para este experimento. Exercício 20. Descreva o espaço de probabilidade do seguinte experimento: uma moeda não equilibrada é jogada repetidas vezes até aparecer a primeira cara. 2.2 Simetria Exercício 21. Um dado equilibrado e jogado duas vezes. Qual é a probabilidade de que: (i) o número 6 ocorre só uma vez, (ii) ambos resultados sejam um número par, (iii) a soma dos resultados é 4, (iv) a soma dos resultados é divisível por 3. Exercício 22. Dois dados equilibrados são jogados simultaneamente. Qual é a probabilidade dos seguintes eventos: (i) a soma dos resultados é 2, 3 ou 12, (ii) a soma dos resultados é impar, (iii) o produto é impar, (iv) a diferença e impar, (v) o resultado de um dado é menor que o outro, (vi) os resultados serem diferentes e o menor dos dois números é r, para 1 r 6. [É importante distinguir os dois dados. No caso que isto não seja tomado em conta, o espaço amostral Ω = {(i, j) : 1 i j 6}, apresenta 21 possibilidades, Ω = 21, cada uma com probabilidades diferentes do caso no qual os dados são diferentes.] Exercício 23. Uma sala de aula tem 7 homens e 8 mulheres. (i) Se duas pessoas são selecionadas ao acaso para sair da sala, qual é a probabilidade destas serem do mesmo sexo? (ii) Em duas ocasiones diferentes uma pessoa é selecionada para sair da sala. Qual a probabilidade das escolhas resultar em pessoas de sexo diferente? Exercício 24. Uma moeda equilibrada é jogada repetidas vezes. Qual é a probabilidade de que na n-ésima jogada: (i) o resultado seja uma cara pela primeira vez, (ii) o número de caras e coroas é o mesmo, (iii) ocorreram exatamente duas caras, (iv) ocorreram pelo menos duas caras. 5

6 Exercício 25. Uma moeda equilibrada é jogada quatro vezes. Qual é a probabilidades de: (i) o resultado contem pelo menos três caras, (ii) o resultado contem exatamente três caras, (iii) o resultado contém três o mais caras consecutivas, (iv) o resultado tem exatamente três caras consecutivas. Exercício 26. Uma urna contem n bolas brancas, b, e n de cor laranja, l. Duas bolas são retiradas ao acaso. (i) Encontrar P(bb) quando o espaço amostral é formado por todos os pares não ordenados de bolas indistinguíveis. (ii) Qual é a probabilidade de que a primeira bola seja branca? e da segunda branca?. (iii) A metade das bolas são removidas e colocadas em uma caixa. Se das bolas restantes uma é escolhida ao acaso, qual é a probabilidade de que esta última seja laranja?. (iii) Um dado honesto com n lados é jogado. Se a r-ésima face é o resultado, r bolas são removidas da urna e colocadas num saco. Qual é a probabilidade de que uma bola removida ao acaso do saco seja de cor laranja? Exercício 27. Um jogo de 4 xícaras e 4 pires contém duas xícaras brancas e dois pires de uma cor, e os restantes de outra cor, por exemplo, preto e branco. (i) Qual é a probabilidade de que exatamente uma xícara esteja sobre um pires da mesma cor?. (ii) Qual é a probabilidade de que duas xícaras estejam sobre pires da mesma cor?. (iii) Qual é a probabilidade de que nenhuma xícara esteja sobre um pires da mesma cor se o jogo consiste de quatro cores diferentes em lugar de só dois? [Dica: coloque primeiro os pires e deixe estes fixos! (pense por que não faz diferença se também consideramos o casos onde os pires são colocados ao acaso em qualquer disposição) ] Exercício 28. Para começar um jogo de azar com um dado, é preciso sacar um 6 no primeiro lançamento. (i) Qual é a probabilidade de que o 6 resulte pela primeira vez sé no terceiro intento?. (ii) Qual é a probabilidade de que sejam requeridos mais de três intentos?. (iii) Qual é o número de intentos mais prováveis requeridos para obter um 6? Exercício 29. Encontrar a probabilidade de que em 24 laçamentos de dois dados não ocorra o evento (6,6). Exercício 30. No jogo crabs mencionado na sala de aula, qual é a probabilidade dos seguintes eventos: (i) ganhar ou perder antes ou no segundo lançamento, (ii) ganhar ou perder antes ou no terceiro lançamento, (iii) ganhar se no primeiro lançamento o primeiro dado resulta em 2, (iv) ganhar se no primeiro lançamento o primeiro dado resulta em 6, e (v) De ser possível fixar o resultado de um dos dados no primeiro lançamento, qual seria o número escolhido por você? Exercício 31. Uma urna contem três tickets marcados com 1, 2 e 3. Se os tickets são retirados sem reposição, qual é a probabilidade de que exista um valor r (r = 1, 2, 3) tal que na r-ésima retirada resulte um tiket marcado com r? 2.3 Propriedades adicionais de P Exercício 32. Demonstrar que a probabilidade de que ocorra exatamente A e B é P(A)+ P(B) 2P(A B). 6

7 Exercício 33. Demonstre as seguintes propriedades ( (i) Se P(A n ) = 0 para n = 1, 2,..., então P k=1 A n ) = 0, ( ) (ii) Se P(A n ) = 1 para n = 1, 2,..., então P A n = 1. Exercício 34. Demonstrar as seguintes desigualdades, conhecidas como as desigualdades de Boole, ( n ) n ( n ) n P A i P(A i ), P A i 1 P(A c i) i=1 i=1 Exercício 35. Mostre que se P(A k ) 1 ε para k = 1,..., n, então, ( n P k=1 i=1 A k ) 1 nε. Exercício 36. Demonstre o seguinte fato: se A 1, A 2,... e B 1, B 2,... são eventos do mesmo espaço de probabilidade tais que P(A n ) 1 e P(B) p, quando n, então P(A n B n ) p. Exercício 37. Demonstrar que ( n P i=1 A i ) = n P(A i ) i=1 n P(A i A j ) + i<j n i<j<k k=1 + + ( 1) n+1 P(A 1 A 2 A n ). 3 Probabilidade (Combinatória) i=1 P(A i A j A k ) Mesmo que seja possível obter a resposta por outros médios, todos os cálculos necessários para obter as probabilidades nesta seção devem utilizar argumentos combinatórios. Exercício 38. De quantas maneiras é possível ordenar um conjunto de n elementos? Exercício 39. De quantas maneiras podemos escolher k elementos de um conjunto de n elementos? (neste caso a ordem não é considerada) Exercício 40. Qual é o número de bijeções de um conjunto de n elementos a um conjunto de m elementos? Exercício 41. Qual é o número de todas as relações (não unicamente as bijeções) de um conjunto de n elementos a um conjunto de m elementos? Exercício 42. Qual é o número de subconjuntos de um conjunto de n elementos? Exercício 43. Suponha que você tem dois pares de meias vermelhas, três pares de meias beije, e quatro com um atrativo motivo de arco-íris. Se são escolhida duas meias ao acaso, qual é a probabilidade destas serem do mesmo par? 7

8 Exercício 44. Um estudante do DFM tem a livros de álgebra, b sobre bancos de dados, e c de cálculo. Se os livros são colocados numa prateleira ao acaso, qual será a probabilidade dos eventos: (i) os livros sobre um mesmo tema não estam separados, (ii) os livros sobre um mesmo tema estam em ordem alfabético mas não são necessariamente adjacentes, (iii) os livros sobre o mesmo tema são adjacentes e seguem o ordem alfabético. Exercício 45. Um jogo de cartas é bem embaralhado e uma mão de 13 cartas é oferecida a quatro jogadores. Encontrar a probabilidade de que: (i) cada jogador tenha um ás, (ii) um jogador tenha todos os asses. [Dica: usualmente em um jogo com cartas, a ordem na qual as cartas são entregues não é importante. Lembre também que as cartas são inicialmente entregues sem reposição. Como contamos os eventos?] Exercício 46. Suponha que as pessoas tem a mesma probabilidade de nascer em qualquer dia do ano. Dado um grupo de r pessoas selecionadas ao acaso, das quais é sabido que nenhuma nasceu no 29 de fevereiro, mostrar que a probabilidade de que ao menos duas destas tenham aniversário em dias consecutivos ou no mesmo dia é p r, onde p r = 1 (365 r 1)! 365 r+1, (2r < 365). (365 2r)! Deduzir que para r = 13, a probabilidade de conseguir dois aniversários consecutivos é 1/2. Exercício 47. Uma urna contem 4n bolas, n das quais são pretas, n roxas, n azuis e n marrons. Se r, r 4, bolas são retiradas sem reposiçãoão, qual é a probabilidade de que: (i) ao menos uma bola é preta? (ii) exatamente duas bolas são pretas? (iii) existe ao menos uma bola de cada cor? Exercício 48. De quantas maneiras diferentes r bolas distintas podem ser distribuídas, ao acaso, em n urnas numeradas de 1 a n? Qual é a probabilidade de que pelo menos uma urna tenha duas bolas? Qual é a probabilidade de cada uma conter no máximo uma bola? Exercício 49. Um indivíduo tem n chaves, das quais somente uma abre uma porta. Ele seleciona, a cada tentativa, uma chave ao acaso sem reposição e tenta abrir a porta. Qual é a probabilidade de que ele abra a porta na k-ésima tentativa (k = 1, 2,..., n)? Exercício 50. Dez pessoas são sentadas ao acaso numa mesa redonda. Qual a probabilidade de que dois pessoas de um casal em particular estejam sentadas uma ao lado da outra? [Dica: enumere as cadeiras do 1 até o 10 ao igual que dez cartas bem embaralhadas, as quais serão repartidas entre as dez pessoas. O número total de resultados é igual a todas as permutações de 10 elementos. Conte o número de eventos favoráveis.] Exercício 51. Você encontra-se jogando Poker e recebe 5 cartas. Um full house consta de três cartas do mesmo valor e duas de outro, por exemplo (2, 2, 2, 4, 4 ). Uma quadra esta formada por quatro cartas do mesmo valor e uma quinta carta de qualquer outro valor, por exemplo (5, 5, 5, 5, K ). O que é mais provável, que você receba um full house ou uma quadra? [Dica: mesma observação que para o exercício 45] Exercício 52. Seis números são escolhidos de um total de 49 (loteria). Qual a probabilidade dos seguintes eventos (i) A = {os números escolhidos são 1, 2, 3, 4, 5, 6}, (ii) B = {44 é um dos números escolhidos}. [Dica: A ordem das escolhas não é importante.] 8

9 Exercício 53. Qual é a probabilidade de formar a palavra ABRACADABRA se as letras A, A, A, A, A, B, B, C, D, R, e R são escolhidas ao acaso? Exercício 54. Um elevador carega 7 pessoas e para subsequentemente em 10 andares. (i) Qual a probabilidade de que não desça mais de 1 pessoa no mesmo andar? (ii) Os diferentes arranjos de descarga podem ser denotados como 3, 2, 2, caso 3 pessoas tenham descido juntas em um andar, duas tenham descido juntas em outro andar e finalmente as duas restantes em outro andar. Calcule a probabilidade dos quinze possíveis arranjos de descarga desde a configuração 7 até a 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1. Exercício 55. Mostre as seguintes identidades n ( ) n/2 n ( ) n (i) ( ) k = 0. (iii) = 2 n 1, se n é par. k 2k k=0 k=0 n ( ) n/2 n ( ) n (ii) = 2 n. (iv) = 2 n 1, se n é par. k k k=0 Exercício 56. Considerando as identidades mostrar que (i) k j=0 ( )( ) m n = j k j k=0 (1 + x) m (1 + x) n = (1 + x) m+n, (1 + x) m (1 + x) n 2 = (1 + x) m n 2, ( m + n k ). (ii) Exercício 57. Mostre que ( )( )( ) n n + k n = r r + 2k r + k m ( m ( ) m k k k=1 ( n r + k )( n + k r )( ) ( ) n + k n =. n + 1 m 1 )( ) n + 2k r + 2k e interpretar esta identidade no triângulo de Pascal. O triângulo de de Pascal é apresentado como um arranjo de coeficientes binomiais, C m n, C 0 0 C1 0 C1 1 C2 0 C2 1 C2 2 C3 0 C3 1 C3 2 C3 3. = Onde C m n = ( ) n m = n! m!(n m)!, e C0 0 = 1, já que por definição 0! = 1. 9

10 4 Probabilidade Condicional Exercício 58. Um dado viciado com faces 1, 2, 3 da cor laranja e 4, 5, 6 da cor azul tem probabilidades P(1) = P(3) = P(5) = 1 9, P(2) = P(4) = P(6) = 2 9. Se o dado é lançado uma vez, qual a probabilidade de que de que a face superior mostre um número par dado que esta é da cor laranja? Exercício 59. Dois dados são jogados no cassino, porém e o seu resultado não é mostrado. Suponha que o cassino informa que a face superior de um dos dados é 1, qual a probabilidade da soma dos dois dados ser maior o igual a 5? [Dica: quem é Ω? Se uma das faces é 1, quais dos elementos de Ω não são possíveis? quantos sobram?] Exercício 60. Durante o mês de novembro a probabilidade de chuva é de 0,3. O São Paulo ganha um jogo em um dia com chuva com a probabilidade de 0,4; em um dia sem chuva com probabilidade 0,6. Se ganhou um jogo em novembro, qual é a probabilidade de que choveu nesse dia? Exercício 61. Pedro quer enviar uma carta a Marina. A probabilidade de que Pedro escreva a carta é de 0,8. A probabilidade de que o correio não a perca é de 0,9. A probabilidade de que o carteiro a entregue é de 0,9. Dado que Marina não recebeu a carta, qual é a probabilidade condicional de que Pedro não a tenha escrito? Exercício 62. ( Urna de Polya ) Uma urna contém a bolas azuis e v de cor verde. Uma bola é retirada ao acaso e seu cor é considerado. Subsequentemente a bola é devolvida para a urna junto com b bolas do mesmo cor. (i) Qual é a probabilidade dos eventos: (a) a segunda bola é verde, (b) a primeira bola retirada é verde dado que a segunda bola foi verde. (ii) Se V n denota o evento o resultado da n-ésima retirada e verde, mostrar que P(V n ) = P(V 1 ) para todo n 1. (iii) Encontrar a probabilidade de que a primeira bola retirada seja verde se na n-ésima retirada o resultado é verde. (iv) Mostre que para quaisquer j, k, P(V k V j ) = P(V j V k ). Exercício 63. Achiles e Orfeu (A e O, em breve) decidem jogar golf. De acordo as suas habilidades A pode ganhar cada buraco com probabilidade 0 < p < 1 e O com probabilidade 0 < q < 1 (q não é necessáriamente 1 p). A probabilidade de que um buraco qualquer seja empatado é 0 < r < 1. Suponha que o jogo acaba a primeira vez na qual A ou O ganhe um buraco do outro jogador. (i) Mostre que a probabilidade u n de que A ganhe antes ou no n-ésimo buraco é u n = p(1 rn ) (1 r). (ii) Dado que A ganha antes ou no n-ésimo buraco, mostrar que: (a) a probabilidade de que o primeiro buraco resultou em empate é r(1 r n 1 ) (1 r n. ) 10

11 (b) a probabilidade de que o primeiro buraco foi ganhado é (1 r) (1 r n ). (iii) Dado a que O ganha, qual é a probabilidade disto acontecer antes do terceiro buraco? Exercício 64. Um homem tem 5 moedas, duas das quais tem duas caras, uma tem duas coroas e as duas últimas são normais. (i) O homem fecha os olhos elege uma moeda e a lança. Qual é a probabilidade de que a face inferior da moeda seja cara? (ii) O homem abre os olhos e observa que a moeda mostra cara; qual é a probabilidade de que a face inferior seja cara? (iii) O homem fecha seus olhos de novo e lança a moeda uma segunda vez. Qual é a probabilidade de que a face inferior seja cara? (iv) O homem abre os olhos e observa que o resultado é cara; qual é a probabilidade de que a face inferior seja cara? (v) O homem descarta esta moeda, escolhe outra ao acaso e a lança. Qual é a probabilidade de que o resultado seja cara? 5 Independência de eventos Exercício 65. Se A e B são eventos independentes, mostrar que A c e B são independentes, e então deducir que A c e B c também são independentes. Exercício 66. Seja (Ω, A, P) um espaço de probabilidade, e A 1,..., A n A eventos independentes com p k = P(A k ), k = 1,..., n. Obtenha a probabilidade de ocorrência dos seguintes eventos, em termos das probabilidades p k : (i) a ocorrência de nenhum dos A k, (ii) a ocorrência de pelo menos um dos A k, (iii) a ocorrência de exatamente um dos A k, (iv) a ocorrência de exatamente dois dos A k, (v) a ocorrência de, no máximo, n 1 dos A k. Exercício 67. (Independência a pares não implica independência coletiva) Um dado é jogado n vezes. Seja o evento A ij = a i-ésima e a j-ésima jogada tem o mesmo resultado. Mostre que os eventos {A ij : 1 i < j n} são independentes somente quando considerados por pares, isto é, P(A ij A jn ) = P(A ij )P(A jn ) mas P(A ij A jk A ik ) P(A ij )P(A jk )P(A ik ) se i j k. Exercício 68. Uma moeda honesta é jogada repetidas vezes. Mostre que os seguintes enunciados são equivalentes ( ): (a) os resultados de lançamentos diferentes são independentes, (b) dada qualquer seqüência de caras e coroas, a probabilidade de que a seqüência ocorra nos primeiros m lançamentos é 2 m, sendo m o comprimento da seqüência. Exercício 69. Suponha que ter um menino ou uma menina tem a mesma probabilidade. Suponha também que a Sra. M tem três filhos. Seja A o evento que a família tem filhos de ambos sexos, e B o evento que a família apresenta pelo menos uma menina. (i) Mostre que A e B são independentes. (ii) Serão A e B independentes se a probabilidade de ter um menino ou uma menina não são iguais? (iii) O que ocorre se a Sra. M tem quatro filhos? 11

12 Exercício 70. Existem duas estradas para ir de A a B e duas para ir de B a C. Cada estrada pode estar bloqueada, independentemente das outras, devido a um acidente de transito com probabilidade p. (i) Encontrar a probabilidade de que uma das estradas de A a B esteja aberta dado que não existe nenhuma estrada aberta de B a C. (ii) Encontrar a probabilidade condicional se adicionalmente existe uma estrada direta entre A e C, também bloqueada independentemente das outras com probabilidade p. A p p B p p C p (iii) Qual a probabilidade de chegar de A a D se agora a disposição entre estas cidades segue o seguinte desenho embaixo? A p p B p C p p D 6 Variáveis Aleatórias Exercício 71. Considere a v.a. discreta X com distribuição de probabilidade P (X = 2) = 1/10, P (X = 3) = 1/10, P (X = 4) = 4/10, P (X = 5) = 2/10, P (X = 6) = 1/10, P (X = 7) = 1/10. Determine (i) P (X 6); (ii) P ( X 4 > 2); (iii) P (X = a), a é um número primo. Exercício 72. Suponha que você é convidado a jogar um jogo definido de acordo as seguintes regras: um dos números 2,..., 12 é escolhido ao acaso ao jogar um par de dados e somando os resultados das faces superiores. Você ganha 9 reais caso o resultado seja 2, 3, 11, ou 12, ou perde 10 reais se o resultado é 7. No caso contrário a estas duas situações, você não perde ou ganha nada. Se ξ denota o valor ganho (ou perdido) no jogo, quais são as probabilidades P (ξ > 0) e P (ξ < 0)? Exercício 73. Seja X uma v.a. discreta com distribuição de probabilidade dada por { c2 x, x N, P (X = x) = 0, x N. onde N = {0, 1, 2,...}, e N é o complemento de N. Determine: (i) O valor da constante c; (ii) P (X 2); (iii) P (X > 5); (iv) P (X ser ímpar). Exercício 74. Considere o lançamento de dois dados simultaneamente. Para cada um dos items a seguir determine Im(X), e P (X = x), x Im(X): (i) X: maior valor observado no lançamento dos sois dados. (ii) X é a soma dos valores observados. (iii) X é o produto dos valores observados. (iv) X é a diferença entre o maior valor observado e o menor valor observado. 12

13 Exercício 75. Seja X uma v.a. cuja função de distribuição é dada por 0, x < 0, 1/3, 0 x < 1, F (x) = 1/2, 1 x < 2, 1, x 2. Calcular: P ( 1 2 X 3 2 ), P ( 1 2 X < 3 2 ), P ( 1 2 X 1), P ( 1 2 P (1 X 2) e P (X > 1). X < 1), P (1 < X < 2), Exercício 76. Cinco bolas são selecionadas aleatoriamente sem reposição de uma urna contendo N bolas numeradas de 1 até N, N > 5. Seja X a v.a. que denota o maior valor selecionado, determine a função de distribuição de X. Exercício 77. Quais são os valores da constante C para que as seguintes funções sejam distribuições nos inteiros positivos 1, 2,...? (i) Geométrica: P (X = x) = C2 x. (ii) Logarítmica: P (X = x) = C2 x /x. (iii) Quadrática inversa: P (X = x) = Cx 2. (iv) Poisson modificada : P (X = x) = C2 x /x!. Exercício 78. Seja Ω = {ω 1, ω 2, ω 3 }, com P(ω 1 ) = P(ω 2 ) = P(ω 3 ) = 1 3. Defina X, Y, Z : Ω R tal que X(ω 1 ) = 1, X(ω 2 ) = 2, X(ω 3 ) = 3, Y (ω 1 ) = 2, Y (ω 2 ) = 3, Y (ω 3 ) = 1, Z(ω 1 ) = 2, Z(ω 2 ) = 2, Z(ω 3 ) = 1. Mostre que X e Y tem as mesmas distribuições. Encontra a funções de distribuição de X + Y, XY, e X/Y. Exercício 79. Seja X uma v.a. definida em (Ω, A, P), e a uma constante. Mostre que (i) ax é uma variável aleatória, (ii) X X = 0 é uma variável aleatória sempre igual a cero, e X + X = 2X. Exercício 80. Seja X uma v.a. com função de distribuição F. Qual é a distribuição de Y = ax + b, onde a e b são constantes ( R)? Exercício 81. Seja X uma v.a. e seja g : R R uma função continua e estritamente crescente. Mostre que Y = g(x) é uma v.a. Exercício 82. O lançamento de uma moeda resulta em cara com probabilidade p. A moeda e lançada até aparecer a primeira cara. Seja X o número total de lançamentos, qual é a probabilidade P (X > m)? Encontrar a função de distribuição de X. Exercício 83. Expressar as funções de distribuição de X + = max{0, X}, X = min{0, X}, X = X + + X, X, em termos da função de distribuição F da v.a. X. 13

14 Exercício 84. Seja X uma variável aleatória com densidade dada por a(1 + x) se 0 < x 1, f(x) = 2/3 se 1 < x 2, 0 caso contrário. (i) Obtenha o valor de a. (ii) P (1/2 < X < 3/2). 6.1 Vetores aleatórios A resolução dos problemas nesta seção requere que você saiba trabalhar com integrais duplas. Se este não for o caso, continue com os problemas da próxima seção. Exercício 85. As variáveis aleatórias ξ e η tem densidade conjunta { Kx a, se x < 1, y < 1, x + y > 1, a > 1, f ξ,η (x, y) 0, caso contrário. (i) Calcule o valor da constante K. (ii) Determine a função de distribuição conjunta F ξ,η (x, y). (iii) Mostre que é possível construir um triangulo com lados ξ, η, 2 ξ η com probabilidade 1. (iv) Mostre que o angulo oposto ao lado de comprimento η é obtuso com probabilidade 1 x a+1 x a+2 K dx. 2 x (v) Se a = 0, mostre que a probabilidade em (iv) é 3 4 log 2. 0 Exercício 86. (transformação a coordenadas poalres) Suponha que Z = (X, Y ) apresenta distribuição uniforme no disco circular de raio 1, isto é, f X,Y (x, y) = 1 π, quando x2 + y 2 = 1. Mostre que a densidade conjunta das variáveis aleatórias R = r(x, Y ), Θ = θ(x, Y ) determinadas pelas transformações r = (x 2 + y 2 ) 1/2, θ = tan 1 (y/x) com inversas x = r cos(θ) e y = rsen(θ), é f R,Θ (r, θ) = r, quando 0 r 1, 0 < θ 2π. π [Sugestão: utilice o teorema geral de troca de variáveis visto em Cálculo 2.] Exercício 87. Seja OA um segmento de R de comprimento a. Escolhem-se dois pontos P 1 e P 2 em OA de forma aleatória e idependente. Denote por X 1 e X 2 os omprimentos dos segmentos OP 1 e OP 2 respectivamente. Dentre P 1 e P 2 sejam Y 1, o ponto mais próximo da O, e Y 2, o ponto mais próximo a A. Sejam M 1 e M 2 os comprimentos dos segmentos OY 1 e OY 2 respectivamente. (i) Calcule a função de distribuição da variável aleatória M = distância entre P 1 e P 2. (ii) encontre a densidade de M. (iii) Determine a probabilidade de que com três segmentos OY 1, Y 1 Y 2 e Y 2 A seja possível construir um triângulo. [Sugestões: observe que X 1 e X 2 sao variáveis aleatórias independentes distribuídas uniformemente em [0, a], logo (X 1, X 2 ) tem distribuição uniforme no quadrado Q = [0, a] [0, a]. Além disso, M 1 = mín{x 1, X 2 }, M 2 = máx{x 1, X 2 } e M = M 2 M 1 = X 1 X 2.] 14

15 Exercício 88. Considere um circulo de raio r na origem. Suponha que um ponto do circulo é escolhido ao acaso de maneira uniforme (ou seja, regiões da mesma área tem a mesma chance de conter o ponto). y (ξ 1, ξ 2) r x Se ξ 1 e ξ 2 denotam as coordenadas do ponto escolhido, então a densidade conjunta de (ξ 1, ξ 2 ) é { c se x 2 + y 2 r 2 f ξ1,ξ 2 (x, y) = 0 se x 2 + y 2 > r 2. para algum c > 0. (i) Determine o valor da constante c. (ii) Encontre as distribuições marginais de ξ 1 e ξ 2. (iii) Seja D = ξ ξ2 2 (a distância de (ξ 1, ξ 2 ) a origem). Calcule P (D a). (iv) Calcule E[D]. Exercício 89. Sejam X e Y duas variáveis aleatórias com densidade uniforme no disco unitário, ou seja, f X,Y (x, y) = π 1, (x, y) C = {(x, y) : x 2 + y 2 1}. (i) São X e Y independentes? (ii) encontre as densidades marginais f X (x) e f Y (y). (iii) Se X = R cos(θ) e Y = sen(θ), serão R e Θ independentes? 7 Esperança matemática e variância Exercício 90. Mostre, para toda variável aleatória X discreta, que: (i) Se existe uma constante α tal que P (X α) = 1, então E[X] α. (ii) Se existe uma constante β tal que P (X β) = 1, então E[X] β. Se X Y, isto é, {w Ω : X(w) Y (w)}, então E[X] E[Y ]. Exercício 91. Seja X uma variável aleatória com E[X 2 ] < e sejam a e b constantes reais. Mostre que Var(aX + b) = a 2 Var(X). [pode começar mostrando que Var(X + b) = Var(X).] Exercício 92. Considere dois lançamentos consecutivos de um dado. Seja o X número de vezes em que é obtida a face 1, x = 0, 1, 2; Y o número de vezes em que é obtida a face 6, y = 0, 1, 2; e Z = X + Y o número de vezes em que aparece ou uma face 1 ou uma face 6, z = 0, 1, 2. Determine Var(X), Var(Y ), Var(Z). Será verdade que Var(X + Y ) = Var(Y ) + Var(Z)? 15

16 Exercício 93. Para um grupo de n pessoas, determine o número esperado de dias do ano que são aniversário de exatamente k pessoas, k n. [Dica: suponha que o ano tem 365 dias e que todos os arranjos são equiprováveis.] Exercício 94. Um homem possui em seu chaveiro n chaves e deseja abrir a porta de sua casa experimentando as chaves ao acaso e independentemente. Determine a média e a variância do número de tentativas se (i) as chaves incorretas são descartadas e, consequentemente, não mais selecionadas; (ii) as chaves incorretas não são separadas, podendo ser escolhidas novamente. Admita que apenas uma chave consegue abrir a porta. Exercício 95. Uma urna contém bolas numeradas de 1 a N. Uma pessoa retira uma bola e a devolve, retira uma segunda bola e a devolve, e procede desta forma até obter uma bola pela segunda vez, isto é, até obter uma bola já retirada anteriormente. Seja X o número total de extrações necessárias para obter esta repetição, (i) obtenha a distribuição de X [calcule P (X > k)], (ii) Mostre que ( E[X] = ) ( )( 1 2 ) ( )( 1 2 ) ( 1 n 1 ) n n n n n n Exercício 96. Cada membro de um grupo de n jogadores lança um dado (só uma vez). (i) Se o grupo ganha um ponto por cada par de jogadores cujo lançamento tem o mesmo resultado, encontrar a média e a variância do total de pontos do grupo. (ii) Encontrar a média e a variância dos pontos totais do grupo se qualquer par de jogadores que lançam o mesmo número k (k = 1, 2,..., 6), ganham k pontos. Exercício 97. Das 2n pessoas de um grupo de n cassais, morem exatamente m. Se as m pessoas são selecionadas ao acaso, calcule o número médio de cassais sobreviventes. [Este problema foi formulado por Daniel Bernoulli em 1768.] Exercício Suponha que depois de assistir uma peça de teatro, n pessoas recebem os seus chapéus ao acaso (o funcionário encarregado é extremadamente descuidado). Considere as variáveis aleatórias X i, i = 1,..., n, tais que X i = 1 se a i-ésima pessoa recebe o seu próprio chapéu e X i = 0 no caso contrário. Seja S n = n i=1 X i, isto é, S n denota o número total de pessoas que recebem o seu chapéu. Mostre que: (a) E[Xi 2 ] = 1/n, (b) E[X i X j ] = 1/n(n 1) se i j, (c) E[Sn] 2 = 2 (utilice (a), (b)), e (d) Var(S n ) = 1. Exercício 99. Mostre que se Var(X) = 0 então X é constante; isto é, existe a R tal que P (X = a) = 1. [Mostre primeiro que se E[X 2 ] = 0 então P (X = 0) = 1.] Exercício 100. Seja X uma v.a. discreta e g : R R. Mostre que E[g(X)] = x g(x)p (X = x), sempre e quando a soma do lado direito exista. 2 a última parte desta questã foi feita para o curso MAN em

17 8 Esperança condicional Exercício 101. Mostre as seguintes propriedades da esperança condicionada (i) E[aY + bz X] = ae[y X] + be[z X], a, b R. (ii) E[Y X] 0 se Y 0. (iii) E[1 X] = 1. (iv) Se X e Y são independentes, então E[Y X] = E[Y ]. (vi) E[Y g(x) X] = g(x)[y X] para qualquer função g apropriada. (v) E{E[Y X, Z] X} = E[Y X] 9 independência de variáveis aleatórias Exercício 102. Sejam X e Y v.a. independentes, cada uma com valores -1 ou 1 com probabilidade 1/2. Seja Z = XY. Mostre que X, Y e Z são independentes a pares. Serão as três independentes? Exercício 103. Sejam X e Y v.a. independentes com valores nos inteiros positivos e com a mesma distribuição P (X = x) = 2 x, x = 1, 2,.... Encontrar (i) P (min{x, Y } x). (iii) P (X = Y ). (v) P (X divide Y ). (ii) P (Y > X). (iv) P (X ky ), k inteiro positivo. (vi) P (X = ry ), r racional positivo. Exercício 104. Três jogadores A, B e C se revezam para jogar um dado de acordo a ordem ABC, ABC, A... (i) Mostre que a probabilidade de que A seja o primeiro em lançar um 6, logo B e finalmente também C é 216/1001. (ii) Mostre que a probabilidade de que o primeiro 6 seja lançado por A, o segundo por B, e o terceiro por C é 46656/ Exercício 105. (a) Sejam X e Y v.a. discretas e independentes. Sejam g, h : R R. Mostre que g(x) e h(y ) são independentes. (b) Mostre que duas v.a. X e Y são independentes se, e somente se, P (X = x, Y = y) = P (X = x)p (Y = y) para todo x Im(X), y Im(Y ). (c) Mais geralmente, mostrar que X e Y são independentes se, e somente se, P (X = x, Y = y) pode ser fatorada como o produto g(x)h(y) de uma função de x e outra de y. 10 Extras Exercício 106. Definimos a função geradora de probabilidade da variável aleatória X (inteira não-negativa) como sendo ϕ X (t) = E[t X ], t R. (i) Verifique que ϕ X (t) = φ X (log(t)) e que φ X (t) = ϕ X (e t ), onde ϕ X (t) é a função geradora de momentos de X. (ii) Mostre que dϕ X (t) = E[X], dt t=1 d n ϕ X (t) t=0 dt n = n! P (X = n). 17

18 Exercício 107. Seja X uma variável aleatória. A função característica de X é a função ψ : R C dada por ψ X (t) = E[e itx ], onde i = 1. Lembrando que e itx = cos(tx)+isen(tx) e a+bi 2 = a 2 +b 2, verifique que a função característica é limitada por 1, isto é, ψ X (t) 1, t R. A função característica de v.as. é de grande importância em teoria das probabilidades, dentre outros motivos, por ser limitada e portanto sempre existir. 11 Modelos Probabilísticos Discretos Exercício 108. Sabe-se que os parafusos produzidos por uma certa companhia são defeituosos com probabilidade 0,01, independentemente uns dos outros (isto é, a fração não-conforme de parafusos na produção é 0,01). A companhia vende os parafusos em pacotes de dez unidades e oferece uma garantia de devolução do dinheiro caso existam dois ou mais parafusos defeituosos no pacote com dez parafusos. (i) Qual a proporção de pacotes vendidos para os quais a companhia deve efetuar devolução de dinheiro? (ii) Supondo que o número de parafusos defeituosos num determinado pacote é independente dos demais pacotes, qual a probabilidade de que uma pessoa que compra dez pacotes de parafusos tenha que retornar à companhia para devolução do dinheiro? Exercício 109. Suponha que o número de erros tipográficos em uma única página de um livro tem distribuição Poisson(1/2). (i) Calcule a probabilidade de existir exatamente dois erros tipográficos em uma página. (ii) Calcule a probabilidade de que exista pelo menos um erro em uma página. (iii) Suponha agora que o livro em questão possui 200 páginas. Qual a probabilidade de não existir erros tipográficos neste livro? Exercício 110. Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é 0,1. Determine a probabilidade de que uma amostra de dez itens conterá no máximo um item defeituoso. Compare os resultados obtidos pelas distribuições binomial e Poisson. Exercício 111. Seja X uma variável aleatória com distribuição Poisson(λ). Determine P (X A), onde A = {0, 2, 4,...}. Exercício 112. Considere X Poisson(λ). (i) Mostre que E[X n ] = λe[(x + 1) n 1 ]. (ii) Calcule E[X 4 ]. (iii) Determine E[X!] para 0 < λ < 1. (iv) Determine E[cos(πX)] e Var(cos(πX)). Exercício 113. Seja X uma variável aleatória binomial com parâmetros n e p. Mostre que P (X = k) atinge o valor máximo para k = [(n+1)p] ([x] denota o maior inteiro menor ou igual a x). Exercício 114. Suponha que ensaios independentes, cada um tendo probabilidade p de sucesso, 0 < p < 1, são realizados até que um total de R sucessos seja acumulado. Seja X o número de ensaios necessários para se obter o total de R sucessos. Determine a distribuição de X (dizemos, neste caso, que X possui distribuição binomial negativa com parâmetros R e p). 18

19 Exercício 115. Considere a variável aleatória X do exercício anterior. Determine E[X] e Var(X). [Observe que X = Y 1 + Y Y R, onde Y i tem distribuição geométrica de parâmetro p, 1 i R.] Exercício 116. Se ensaios independentes, cada um deles resultando em sucesso com probabilidade p, são realizados indefinidamente, qual a probabilidade de que R sucessos ocorram antes de M fracassos? Exercício 117. Sejam X e Y variáveis aleatórias binomiais com parâmetros (n, p) e (m, p), respectivamente. (i) Determine a distribuição de X + Y. (ii) Determine a distribuição condicional de X dado X + Y = n. Exercício 118. Sejam X e Y variáveis aleatórias Poisson com parâmetros λ e µ. Mostre que: (i) X + Y é Poisson(λ + µ), (ii) a distribuição condicional de X dado X + Y = n é binomial. Encontrar os parâmetros da distribuição em (ii). Exercício 119. Se X geométrica, então P (X = n + k X > n) = P (X = k) para k, n 1. (i) Isto é interpretado como perda de memória, por que? (ii) Mostre que não existe outra distribuição nos inteiros com esta propriedade. Exercício 120. Uma urna contem N bolas das quais b são azuis e r (= N b) são vermelhas. Uma amostra aleatória de n bolas e retirada sem reposição da urna. Mostre que o número B de bolas azuis na amostra tem distribuição ( )( ) / ( ) b N b N P (B = k) =. k n k n Esta distribuição é conhecida como a distribuição hipergeométrica com parâmetros N, b e n. Exercício 121. (i) Mostre que se X toma valores inteiros não negativos, então E[X] = P (X > n). n=0 (ii) Uma urna contem b bolas azuis e r vermelhas. As bolas são removidas ao acaso até aparecer a primeira bola azul. Mostre que o número esperado de bolas removidas é (b + r + 1)/(b + 1). Exercício 122. Em 1710, J. Arbuthnot observou que o número de meninos nascidos em Londres superou ao número de meninas em 82 anos sucessivos. Supondo que os dois sexos podem ocorrer na mesma proporção, e que 2 82 é pequeno, Arbuthnot atribuiu a diferença observada à Providencia Divina. Suponhamos que o nascimento de uma menina tem probabilidade de 0, 485 e que sexo resultante em cada nascimento é independente dos outros. (i) Mostre que a probabilidade de que a ménimas sejam mais numerosas que os meninos em 2n nascimentos é ( ) 2n p n q n q n q p. onde q = 1 p. (ii) Suponha que nasceram pessoas em 82 anos sucessivos. Mostre que a probabilidade de que os meninos superem o número de meninas em cada ano é ao menos 0,99. Exercício 123. Sejam X e Y variáveis aleatórias Bernoulli(1/2) independentes. Mostre que X + Y e X Y são dependentes mas não correlacionadas. 19

20 12 Modelos Probabilísticos Contínuos Exercício 124. Se X é uniformemente distribuída no intervalo (0,20), calcule a probabilidade de: (i) X < 3, (ii) X > 12, (iii) X 3 < 4. Exercício 125. Se X é uma variável aleatória normal com µ = 3 e σ 2 = 9, determine: (i) P (2 < X < 5), (ii) P (X > 0). 13 Suplementos 13.1 Conjuntos enumeráveis Denotamos por Q os números racionais, logo [0, 1] Q, são os números racionais em [0, 1]. Se agrupamos estes números de acordo aos denominadores comuns, estes podem ser ordenados da seguinte maneira 0, 1, 1 2, 1 3, 2 3, 1 4, 2 4, 3 4, 1 5, 2 5, 3 5, 4 5, 1 6,... O fato de que 1/2 esteja repetido como 2/4, 3/6, 4/8,... não tem importância (podemos omitir qualquer número que já esteja na seqüência de tal forma que cada racional em [0, 1] seja obtido de uma única forma). Definição 2. Um conjunto é enumerável se os seus elementos podem ser dispostos em uma seqüência (permitindo repetições). Teorema 1. Q é enumerável. A demonstração deste Teorema utilizara o seguinte resultado. Proposição 1. A união de uma seqüência de conjuntos enumeráveis é enumerável. Demonstração. 3 Se os conjuntos são denotados por S i = {s ij }, i, j 1, então os termos da seqüência s 11, s 12, s 21, s 31, s 22, s 13, s 14,... formada ao seguir as frechas no desenho S 1 s 11, s 12, s 13, s 14,... S 2 s 21, s 22, s 23, s 24,... S 3 s 31, s 32, s 33, s 34,... S 4 s 41, s 42, s 43, s 44,... contam (possívelmente com repetições) todos os elementos de todos os conjuntos S i. Portanto a união i S i é enumerável. 3 O argumento utilizado na prova, conhecido como o argumento diagonal, é devido a Georg Cantor. 20

21 Para provar o Teorema 1, é suficiente tomar S 1, S 2, S 3, S 4,..., como os conjuntos formados pelos números racionais nos intervalos [0, 1], [ 1, 0], [1, 2], [ 2, 1],... respectivamente. Por que sera que que os racionais em [0,1] são enumeráveis? (Exercício). Teorema 2. R não é enumerável. Demonstração. 4 Mostraremos apenas que os números reais em (0, 1) não são enumeráveis. Seja {s n } uma seqüência arbitraria dos números reais no intervalo aberto (0, 1). A prova consiste em mostrar que existe pelo menos um número real que não corresponde a nenhum dos números s n. Observamos que os números s n podem ser expressados ao considerar decimais sem fim utilizando a expansão decimal, por exemplo, o número 4, pode ser escrito como 4 + 2/10 + 9/ / Em geral qualquer número s R pode ser expressado pela série a k s = a + 10 k = a, a 0a 1 a 2 k=1 onde a k {0, 1,..., 9}, e a é a parte inteira de s. Esta representação é consistente se, por exemplo, sempre é utilizado o número 0, em lugar de 0, para 1/5. Seja s 1 = 0, a 11 a 12 a s 2 = 0, a 21 a 22 a s 3 = 0, a 31 a 32 a Se a nn 1 seja b n = 1 e se a nn = 1 seja b n = 2. Isto define b n para qualquer n 1. Devido a construção realizada, a expansão decimal sem fim 0, b 1 b 2 b 3... converge a um número real b em (0, 1) o qual é diferente de qualquer s n, sendo que a sua expansão difere da expansão de s n na n-ésima posição. Suponhamos, por exemplo, que a nossa listagem {s n } é dada pelos números s 1 = s 2 = s 3 = s 4 = logo a 11 = 2 1 b 1 = 1 a 22 = 3 1 b 2 = 1 a 33 = 1 b 3 = 2 a 44 = 5 1 b 4 = 1 Assim b = 0, (0, 1), o qual poderia levar a pensar que b = s N, para algum N N, mas a expansão decimal de b difere da expansão de s N no N-ésimo decimal. Concluímos que não é possível dispor numa seqüência todos os números em (0,1), isto é, R não é enumerável. Exercício 126. Será que o Teorema 1 e o Teorema 2 juntos permitem determinar se o conjunto dos números irracionais é enumerável o não? (Qual é a definição de um número irracional?) 4 Esta prova também é devida a G. Cantor. 21

22 Exercício 127. Considere o espaço amostral Ω = {0, 1} N. Isto é, Ω tem eventos elementares ω k, k 1, da forma ω k = (a 1, a 2, a 3,...), onde a i {0, 1} para i N (ou seja, Ω contem todas as seqüências infintas de 0 s e 1 s). Será Ω enumerável? [Dica: revise cuidadosamente o Teorema 2] Exercício 128. Seja N o conjunto dos números naturais e S 1, S 2, S 3 uma seqüência dos subconjuntos de N. Construa uma seqüência de N que seja diferente de S n para cada n 1. (Você estara demonstrando que todos os subconjuntos de N formam um conjunto não enumerável!) 13.2 σ-álgebras? Esta seção, em especial a Proposição 2, contém material mais avançado e o seu estudo é opcional. Por que necessitamos de uma σ-álgebra? Mais especificamente, por que não podemos simplesmente considerar todos os possíveis subconjuntos de Ω para definir P? Do exercício 17 sabemos que o conjunto de todos os subconjuntos de Ω é uma álgebra quando Ω é finito. A situação quando Ω não é enumerável é bem diferente. A seguir fornecemos um exemplo simples o qual mostra a imposibilidade de construir uma função de probabilidade simétrica em todos os subconjuntos de Ω quando Ω é não enumerável. Especificamente, veremos que não é possível incluir os conjuntos formados por uniões não enumeráveis. Considere Ω = [0, 1], e suponha que temos interesse em definir uma probabilidade P neste conjunto. Seguindo a prescrição usual, fazemos P([0, 1]) = P(Ω) = 1. (1) Se assumimos que P é simétrica, então P([0, 1 2 ]) = 1 2, ou, por exemplo, P([ 3 4, 7 8 ]) = 1 8. Mais geralmente, sob simetria, Assim, em particular, se a = b, então P([a, b]) = b a, 0 a b 1. (2) P([a, a]) = P({a}) = 0. (3) Pelo outro lado, se [a, b ] e [a, b] são dois conjuntos disjuntos de [0, 1], então imediatamente de (2) temos que P ( [a, b ] [a, b] ) = P([a, b ]) + P([a, b]), (4) isto é, P é finitamente aditiva. É possível estender P a operações enumeráveis (estas permitem calcular as probabilidades de operações infinitamente delicadas como um limite). Sejam A i = [a i, b i ], i = 1, 2,... um conjunto enumerável de intervalos disjuntos de [0, 1], então P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +... (5) Neste caso dizemos que P é enumeravelmente aditiva. Observamos agora que não é possível estender P a uniões não enumeráveis, pois claramente P([0, 1]) = P({x}) x [0,1] 22

23 é uma contradição uma vez que lado esquerdo é 1, porém o lado direito é 0. Suponhamos que os conjuntos A i em (5) formam uma partição de Ω, isto é, Ω = i=1 A i. É importante ressaltar que neste caso não há nenhum problema pois o intervalo [0, 1] é uma união enumerável. Seja A = [a, b]. Sob simetria de P, observamos que se transladamos A por uma quantidade fixa τ, a probabilidade do intervalo transladado devera ser igual a probabilidade do intervalo original. Denotamos a translação de A por τ como assim, A τ = {a + τ : a A, a + τ 1} {a + τ 1 : a A, a + τ > 1}, P(A τ) = P(A) (6) O próximo resultado mostra que não é possível definir uma probabilidade P sobre todos os conjuntos de [0, 1], se desejamos que esta seja consistente com as propriedades (2), (5) e (6). Equivalentemente, existem conjuntos em [0,1], aos quais não podemos outorgar um valor de probabilidade de maneira consistente, se queremos que a probabilidade satisfaga as condições (2), (5) e (6). Proposição 2. Não é possível definir uma probabilidade P sobre qualquer conjunto do intervalo [0,1] tal que esta satisfaça simultâneamente (2), (5) e (6). Demonstração. Suponhamos que P(A) pode ser definida para qualquer conjunto A [0, 1]. Consideramos primeiro a seguinte relação de equivalência em [0, 1]. Sejam x e y pontos em [0, 1], então x y se e somente se y x é racional. Esta relação determina uma partição em [0, 1] de classes de equivalência. Seja H um conjunto de [0, 1] o qual consiste de um elemento de cada uma destas classes de equivalência (é possível formar este conjunto pelo axioma da escolha 5 ; um resultado fundamental da teoria dos conjuntos). Suponhamos que 0 H (se 0 H, então podemos substitui-lo por 1/2). Sendo que H contem um elemento de cada uma das classes de equivalência, observamos que cada ponto em (0, 1] esta contido na união (H τ) τ [0,1) τ racional das translações de H. Dado que H contém só um ponto de cada classe de equivalência, então os conjuntos H τ para τ [0, 1) racional são todos disjuntos. Assim, da aditividade enumerável temos que P ( (0, 1] ) = P(H τ). τ [0,1) τ racional Porém, da invariância por translação temos que P(H τ) = P(H), logo 1 = P ( (0, 1] ) = P(H), τ [0,1) τ racional o qual implica a seguinte contradição: uma soma enumerável (infinita) da mesma quantidade só pode ser igual a 0, ou, ou, mas nunca igual a 1. 5 Halmos, P. R. Teoria ingenua dos conjuntos. 1970, Editora Universidade de Sao Paulo. BCRP: H194t