Universidade Federal do Paraná. Notas de aula. (ainda em preparação!) Álgebra Linear. Higidio Portillo Oquendo.

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1 Universidade Federal do Paraná Notas de aula (ainda em preparação!) Álgebra Linear Higidio Portillo Oquendo higidio Última atualização: 30 de maio de 2019

2 Sumário 1 Matrizes e Sistemas Lineares Operações com Matrizes Sistemas Lineares Determinante de uma matriz Exercícios Espaços Vetoriais Espaços Vetoriais Base e Dimensão Transformações Lineares Representação Matricial de Transformações lineares Exercícios Produto Escalar Produto escalar Ortogonalidade Processo de Ortogonalização de Gram-Schmidt Aproximação por Mínimos Quadráticos Exercícios Autovalores Autovalores e Autovetores Diagonalizaçao Cónicas e equações quadráticas

3 Capítulo 1 Matrizes e Sistemas Lineares Neste capitulo introduziremos algumas noções sobre matrizes e sua relação com os sistemas de equações lineares. 1.1 Operações com Matrizes Definição: Uma matriz real A de m linhas e n colunas, é um arranjo da forma: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =...., a m1 a m2 a mn onde cada entrada a ij, 1 i m, 1 j n, é um número real. Quando estas entradas sejam dadas por números complexos afirmaremos que estamos frente a uma matriz complexa. Com frequência usaremos uma notação mais compacta para estas matrizes: A = [a ij ] m n, onde para cada par (i, j), 1 i m, 1 j n, a ij é a entrada da matriz A na posição da i-ésima linha e j-ésima coluna. Usaremos os seguintes delimitadores para matrizes [ ] ( ) ou. O conjunto de matrizes de m e n colunas com entradas reais será denotada por M m n (R). Quando as estradas forem números complexos este espaço será denotado por M m n (C). Duas matrizes que jogam um papel importante são: a matriz nula 0 e a matriz identidade I dadas por :=, I := m n Definição: Uma matriz A = [a ij ] m n é dita quadrada se m = n é neste caso dizemos que A é uma matriz quadrada de ordem n. A seguir, definimos alguns tipos de matrizes quadradas: 1. A = [a ij ] n n é uma matriz diagonal se a ij = 0 para todo i j. 2 n n

4 2. A = [a ij ] n n é uma matriz triangular superior se a ij = 0 para todo i > j. 3. A = [a ij ] n n é uma matriz triangular inferior se a ij = 0 para todo i < j. Operações com matrizes Soma de matrizes e produto por um escalar: Sejam A = [a ij ] m n e B = [b ij ] m n, a soma de matrizes é definda por A + B = [c ij ] m n onde c ij =: a ij + b ij para cada i, j, isto é, a 11 a 1n b 11 b 1n a 11 + b 11 a 1n + b 1n a 21 a 2n... + b 21 b 2n... := a 21 + b 21 a 2n + b 2n... a m1 a mn b m1 b mn a m1 + b m1 a mn + b mn O produto de uma matriz por um escalar α (número real ou complexo) é definido por αa = [c ij ] m n onde c ij := αa ij, isto é a 11 a 12 a 1n αa 11 αa 12 αa 1n a 21 a 22 a 2n α.... := αa 21 αa 22 αa 2n.... a m1 a m2 a mn αa m1 αa m2 αa mn Propriedades: Para A, B, C M m n (R) e escalares α, α 1, α 2 R temos as seguintes propriedades: 1. Comutatividade: A + B = B + A 2. Associatividades: (A + B) + C = A + (B + C) e (α 1 α 2 )A = α 1 (α 2 A) 3. Distributivas: α(a + B) = αa + αb e (α 1 + α 2 )A = α 1 A + α 2 A 4. Elemento neutro aditivo: A + 0 = A = 0 + A Observações: A igualdade nas propriedades acima são consideradas no seguinte sentido: duas matrizes são iguais se tem o mesmo numero de linhas, mesmo numero de colunas e as entradas em cada posição coincidem. Também a diferença de matrizes pode ser definido da forma: A B := A + ( 1)B. Produto de Matrizes: Sejam A = [a ij ] m l e B = [b ij ] l n, o produto de matrizes é definido por AB = [c ij ] m n, onde c ij := l a ik b kj = a i1 b 1j + a i2 b 2j a il b lj. k=1 Observe que cada entrada c ij é a soma dos produtos das entradas da i-ésima linha de A com as entradas da j-ésima coluna de B a 11 a 12 a 1n b 11 b 1j c 11 c 1j.... b 21 b 2j a i1. a in.... :=.... c i1 c ij.... b m1 b mj.... 3

5 Observe que o produto de duas matrizes A e B somente é definido quando o numero de colunas de A coincide com o número de linhas de B. Exemplo 1 2 [ ] , 3 1/3 6 8 = , = 23 4, π Observação: Em geral AB BA como vemos no seguinte exemplo: Consideremos [ ] [ ] A =, B = Então AB = [ ] [ ] 0 1 = BA. 0 0 Este exemplo também mostra que se AB = 0 não implica que A = 0 ou B = 0. Propriedades: 1. (AB)C = A(BC) 2. AI = A = IA 3. A(B + C) = AB + AC e (A + B)C = AC + BC Matrizes Invertíveis: Uma matriz quadrada A é dita invertível ou não singular, se existe uma matriz quadrada B, da mesma ordem que A tal que AB = I e BA = I. (1.1) Neste caso, a matriz A 1 := B será chamada de inversa de A. A 1 tem a propriedade AA 1 = I = A 1 A. Observação: Pode-se provar que, se A e B são matrizes quadradas tal que tal que AB = I então também vale BA = I, portanto para determinar a invertibilidade de A, basta encontrar uma matriz B que satisfaça somente uma das igualdades de (1.1). Exemplo: Analizemos a invertibilidade das matrizes [ ] [ ] A 1 =, A = 2 4 consideremos uma matriz genérica [ ] x y B = z w candidata a ser inversa de alguma dessas matrizes. Invertibilidade de A 1 : [ ] [ ] [ ] 1 2 x y x + 2z y + 2w A 1 B = =, 3 4 z w 3x + 4z 3y + 4w assim A 1 B = I quando x = 2, y = 1, z = 3/2, w = 1/2, isto é, A 1 é invertível e [ ] 2 1 B = = A /2 1/2 4

6 Invertibilidade de A 2 : [ ] [ ] 1 2 x y A 2 B = = 2 4 z w [ ] x + 2z y + 2w 2(x + 2z) 2(y + 2w) A matriz resultante deste produto não pode ser a matriz identidade, pois é impossível encontrar valores para x e z tal que x + 2z = 1 e 2(x + 2z) = 0, portanto A 2 não é invertível. Propriedades: Se A, B são matrizes quadradas da mesma ordem e α é um escalar não nulo, então são invertiveis αa e AB. Alem disso (αa) 1 = 1 α A 1 e (AB) 1 = B 1 A 1. Matriz Transposta: Consideremos uma matriz A = [a ij ] m n. A matriz transposta de A, será A T = [â ji ] n m, onde â ji := a ij. propriedades: 1. (A T ) T = A a 11 a 12 a 1n a 11 a 21 a m1 a 21 a 22 a 2n A =.... então a 12 a 22 a m2 AT =.... a m1 2. (A + B) T = A T + B T 3. (αa) T = α(a T ) 4. (AB) T = B T A T.. a mn a 1n a 2n. a mn Mostremos a última propriedade, para isso consideremos as notações: A = [a ik ] m p, B = [b kj ] p n, AB = [c ij ] m n, B T A T = [d ji ] n m. Logo as transpostas de A, B e AB terão a notação A T = [â ji ] p m, B T = [ˆb ji ] n p e (AB) T = [ĉ ji ] n m. Logo tmos que ĉ ji = c ij = p a ik b kj = p b kj a ik = p ˆbjk â ki = d ji, k=1 k=1 k=1 o qual mostra o resultado desejado. Vetores coluna e matrizes em blocos Um vetor coluna ou matriz coluna é uma matriz de uma única coluna da forma: x 1 v =. x m = Ao conjunto de vetores coluna de m entradas de números reias denotaremos com R m c. Analogamente, um vetor linha ou matriz linha é uma matriz de uma única linha da forma: x 1. x m v = (x 1, x 2,..., x n ) = [x 1, x 2,..., x n ], 5

7 e neste caso, o conjunto de vetores linha de n entradas de números reais, pode ser identificado com o espaço R n. Se consideramos matrizes A = [a ij ] m l e B = [b ij ] l n podemos expressar o produto destas matrizes da seguinte forma: Se consideramos os vetores coluna v 1, v 2,..., v n da uma matriz B, isto é b 11 b 21 b l1 podemos escrever a matriz B da forma b 12 b 22 b l2 b 1n b 2n v 1 =., v 2 =.,..., v n =. B = [v 1, v 2,..., v n ] Assim, o produto de AB pode ser expressado da forma: b ln AB = A[v 1, v 2,..., v n ] = [Av 1, Av 2,..., Av n ], onde a última matriz está empresada em colunas. Um raciocínio similar pode ser usado para manipular matrizes formadas por vetores linha. Em algumas situações é util particionar uma matriz em em blocos menores, por exemplo se consideramos a seguinte matriz A = a 11 a 12 a 13 a 14 a 15 a 21 a 22 a 23 a 24 a 25 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 a 41 a 42 a 43 a 44 a 45 a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 podemos particionarla em blocos delimitados pelas linhas horizontais e verticais, obtendo [ ] A11 A A = 12 A 21 A 22 onde [ ] [ ] a11 a A 11 = 12 a 13 a14 a, A a 21 a 22 a 12 = 15, 23 a 24 a 25 a 31 a 32 a 33 a 34 a 35 A 21 = a 41 a 42 a 43, A 22 = a 44 a 45. a 51 a 52 a 53 a 54 a 55 Em geral, dadas duas matrizes A e B de tal forma que o produto delas este definido (numero de colunas de A coincide com o numero de linhas de B), fixada uma partição de A, sempre podemos particionar B de forma conveniente de tal forma que [ ] [ ] [ ] A11 A AB = 12 B11 B 12 A11 B = 11 + A 12 B 21 A 11 B 12 + A 12 B 22, A 21 A 22 B 21 B 22 A 21 B 11 + A 22 B 21 A 21 B 12 + A 12 B 22 onde cada produto de blocos este definido, isto é, o número de cada bloco do lado esquerdo do produto coincida com o número de linhas do bloco do lado direito. Exemplo: Consideremos as matrizes A = [ A11 A = 12 A 21 A 22 ], B = = [ B11 B 12 B 21 B 22. ]

8 Observando que A 21 = I e A 22 = 0 temos que AB = Exemplo: Vejamos que a matriz A n n dada por [ ] A11 0 A = 0 A 22 é inversível uma vez que as matrizes A 11 matriz r r e A 22 matriz s s com r + s = n, são invertíveis. [ ] [ ] [ ] [ ] Ir 0 A11 0 B11 B = 12 A11 B = 11 A 11 B 12 0 I s 0 A 22 B 21 B 22 A 22 B 21 A 22 B 22 Então B 11 = A 1 11, B 22 = A 1 22, B 12 = 0 = B 21, logo podemos afirmar que A é inversível e [ ] A A = 0 A Sistemas Lineares Um sistema de m equações lineares e n incógnitas é um conjunto de equações da forma a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m Aqui as variáveis x 1, x 2,..., x n denotam as incógnitas a serem encontradas enquanto os coeficientes restantes são prescritos. Uma solução deste sistema, é uma coleção de números ˆx 1, ˆx 2,..., ˆx n tal que se tomamos x 1 = ˆx 1,..., x n = ˆx n as equações do sistema anterior são satisfeitas. Exemplo:[Interpretação geométrica das soluções] Consideremos os seguintes sistemas: Graficos?? x 1 + x 2 = 2 x 1 x 2 = 2 x 1 + x 2 = 2 2x 1 + 2x 2 = 2 x 1 + x 2 = 2 2x 1 2x 2 = 4 O sistema de equações (2.2) pode ser escrito de forma matricial a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n x 2 b 2 = a m1 } a m2 {{ a mn x n }}{{} b m }{{} A x b e neste contexto uma solução do sistema de equações (2.2), e um vetor coluna ˆx = (ˆx 1,..., ˆx 1 ) T tal que Aˆx = b. Com a intenção de economizar notação nas manipulações com sistema de equações, introduzimos o que chamaremos de matriz aumentada associada ao sistema (2.3): a 11 a 12 a 1n b 1 a 21 a 22 a 2n b a m1 a m2 a mn b m 7 (2.2) (2.3)

9 Exemplo: Encontremos as soluções de 3x 1 + 3x 2 + 6x 3 = 9 4x 1 + 4x 2 + 9x 3 = 10 2x 1 3x 2 + 5x 3 = 5 ou x x 2 = x 3 5 Para encontrar as soluções manipularemos cada uma das equações. Multiplicando a primeira linha por 1/3 (notação: L L 1), temos x 1 + x 2 + 2x 3 = 3 4x 1 + 4x 2 + 9x 3 = 10 2x 1 3x 2 + 5x 3 = 5 ou x x 2 = x 3 5 Substraindo da segunda linha, 4 vezes a linha 1 (notação: L 2 L 2 4L 1 ), e somando à terceira linha, 2 vezes a linha 1 (notação: L 3 L 3 + 2L 1 ), temos que x 1 + x 2 + 2x 3 = x 1 3 x 3 = 2 ou x 2 = 2 x 2 + 9x 3 = x 3 11 Finalmente, Trocando de posição a linha 2 com a linha 3 (notação: L 2 L 3 ), temos que x 1 + x 2 + 2x 3 = x 1 3 x 2 + 9x 3 = 11 ou x 2 = 11 x 3 = x 3 2 e desta forma podemos resolver o sistema de forma recursiva, x 3 = 2, x 2 = 29, x 1 = 36. Observe que em cada pasagem, ao manipular alguma linha do sistema, os coeficientes do sistema mudam de valor, porem as incógnitas se preservam, significando que as soluções de cada um destes sistemas são as mesmas. Todo este processo, pode ser escrito de forma compacta usando a matriz aumentada do sistema: L 2 L 2 4L 1 L 3 L 3 + 2L 1 L L L 2 L No exemplo anterior, manipulamos as equações do sistema ou as linhas da sua matriz aumentada associada de tal forma que o sistema resultante se torne simples de resolver. Essas operações são conhecidas como operações elementares sobre linhas e são dos seguintes tipos: Operações elementares sobre linhas 1. Tipo I. Trocar duas linhas de posição: L i L j 2. Tipo II. Multiplicar uma linha por um número não nulo L i αl i, α Tipo III. Substituir uma linha por um múltiplo real de outra linha L i L i + βl j, β R. Observe que podemos usar uma combinação das 2 últimas operações: L i αl i + βl j, com α 0 e β qualquer. Definição: Uma matriz está na forma escada se satisfaz as seguintes condições: 8

10 1. Em cada linha a primeira entrada não nula é 1 2. Se uma linha é não nula (i-ésima linha), o número de zeros no início desta linha é menor que o numero de zeros no início da seguinte linha (i + 1-ésima linha). 3. As linhas nulas, se existirem, estão por baixo de todas as linhas não nulas O método de eliminação de Gauss ou escalonamento consiste em aplicar operações elementares sobre linhas no o sistema de equações ou sobre sua matriz aumentada até transforma-la num sistema de equações que a torne mais simples de resolver. O mais comum é transformar num sistema de equações cuja matriz aumentada esteja na forma escada. Procedimento: Exemplo: Num exemplo anterior foi aplicado várias operações sobre linhas ao sistema de equações representado pela matriz aumentada tendo como resultado um sistema equivalente representado pela matriz aumentada Esta última matriz não esta na forma escada, porém representa um sistema de equações simples de resolver, alias se multiplicamos a segunda linha desta matriz por 1 torna-se uma matriz escada. Mais ainda, vejamos que podemos torna-la uma matriz aumentada que dê a solução de forma direta. De fato, aplicando as operações sobre linhas L 2 L 2 + 9L 3 e L 1 L 1 2L 3 temos como resultado que é uma matriz na forma escada. Observe que aplicando a operação L 1 L 1 L 2 resulta o qual é uma matriz escada que nos fornece diretamente a solução do sistema de equações x 1 = 36, x 2 = 29, x 3 = 2. Esta última matriz pertence ao grupo das matrizes que estão na forma escada reduzida que definimos a seguir. Definição: Dizemos que uma matriz esta na forma escada reduzida, se satisfaz as seguintes condições: 9

11 1. Está na forma escada. 2. O primeiro elemento não nulo de cada linha é o único elemento não nulo da coluna que o contém. Exemplo: Além da matriz anterior, as seguintes matrizes estão na forma escada reduzida: , Exemplo: As seguintes matrizes não estão na forma escada reduzida: , Resolubilidade de sistemas homogêneos: Quando o sistema de equações é não homogêneo, isto é, quando temos Ax = b com b 0, em geral, nada podemos afirmar sobre existência de solução ou quantidade de soluções, porém, quando o sistema é homogêneo, isto é, quando temos Ax = 0 o vetor nulo sempre é uma solução, mais ainda, veremos que sob certas condições, este sistema possui infinitas soluções como ilustra o seguinte exemplo. Exemplo: Considere o sistema de equações x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 2x 1 + 3x 2 + 4x 3 + x 4 = 0 x 1 + 2x 2 + 3x 3 = 0 Aplicando operações linha na matriz aumentada deste sistema temos que Esta última, representa a matriz aumentada do sistema de onde temos que x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x 2 + 2x 3 x 4 = 0 x 2 = 2x 3 + x 4, x 1 = 2x 3 2x 4. Ísto significa que x 1 e x 2 dependem das variáveis x 3 e x 4 sendo que estas últimas podem assumir qualquer valor (variaveis livres ou sem restrição), portanto teremos infinitas soluções deste sistema, algumas soluções por exemplo são: se tomamos x 3 = 0 e x 4 = 3 teremos a solução ( 6, 3, 0, 3), agora se tomamos x 3 = 1 e x 4 = 2 teremos a solução ( 2, 0, 1, 2). Theorem Se A M m n tal que m < n, então o sistema homogêneo Ax = 0, têm infinitas soluções. Em particular, podemos afirmar que alem da solução nula tem uma solução não nula. 10

12 Proof: Aplicamos operações sobre linhas no sistema ate transformar o sistema em U x = 0 onde U está na forma escada. Como m < n (número de equações menor que número de incógnitas), temos pelo menos n m variáveis livres entre as coordenadas de x = (x 1,..., x n ) T que podem assumir qualquer valor. Sistemas Equivalentes e Matrizes Elementares Sejam A M m n e E M m m e b R m c, consideremos os sistemas de equações lineares (a) Ax = b, (b) EAx = Eb. Observe que, se ˆx é uma solução de (a), então tambem será uma solução de (b). O recíproco não necessáriamente é verdade, porém, se E é invertível temos que, se ˆx é uma solução de (b) então EAˆx = Eb E 1 EAˆx = E 1 Eb Aˆx = b, isto é, ˆx também será uma solução de (a). Assim, podemos resumir que, se E é invertível, os sistemas (a) e (b) tem o mesmo conjunto de soluções e neste caso dizemos que estes sistemas são equivalentes. Veremos agora que as operações sobre linhas aplicadas em matrizes aumentadas de sistemas de equações, equivale a multiplicar estas matrizes pelo lado esquerdo por matrizes elementares. Matrizes Elementares: São matrizes resultantes de aplicar alguma operação elementar sobre linhas na matriz identidade e são de 3 tipos. Para simplificar a notação faremos as definições em matrizes de ordem 3, o caso geral, para matrizes de ordem n, será deixado pro leitor. Tipo I. Resulta de realizar a troca de duas linhas de I: Linha i L i L j = E Linha j Observe a matriz elementar E tem a seguinte propriedade: para A é uma matriz de ordem n ( neste caso n = 3), temos que a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 EA = = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23 esta última matriz e justamente a resultante de aplicar a operação sobre linha L i L j, na matriz A. Como EE = I, temos que E é invertível e E 1 = E e portanto E 1 é uma matriz elementar de Tipo I. Tipo II. Resulta de multiplicar uma linha I por um escalar não nulo: Linha i L i αl i 0 α 0 = E α Observe a matriz elementar E tem a seguinte propriedade: para A é uma matriz de ordem n ( neste caso n = 3), temos que a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 EA = 0 α 0 a 21 a 22 a 23 = α 31 αa 32 αa a 31 a 32 a 33 a 21 a 22 a 23 11

13 esta última matriz e justamente a resultante de aplicar a operação sobre linha L i αl i, na matriz A. Se consideramos a matriz elementar F resultante de aplicar L i 1 α L i na matriz identidade, teremos que EF = I, logo E é invertível e E 1 = F e portanto E 1 é uma matriz elementar de Tipo II. Tipo III. Resulta somar a uma linha de I um múltiplo real de outra linha: Linha i L i L i + βl j 0 1 β = E Linha j Observe a matriz elementar E tem a seguinte propriedade: para A é uma matriz de ordem n ( neste caso n = 3), temos que a 11 a 12 a 13 a 11 a 12 a 13 EA = 0 1 β a 21 a 22 a 23 = a 21 + βa 31 a 22 + βa 32 a 23 + βa a 31 a 32 a 33 a 31 a 32 a 33 esta última matriz e justamente a resultante de aplicar a operação sobre linha L i L i + βl j, na matriz A. Se consideramos a matriz elementar F resultante de aplicar L i L i βl j na matriz identidade, teremos que EF = I, logo E é invertível e E 1 = F e portanto E 1 é uma matriz elementar de Tipo III. Em resumo, se B e resultante de aplicar operações sobre linha na matriz A, então B = E p..e 2 E 1 A onde E 1,..., E p são matrizes elementares. Observe tambem que A = E 1 1 E 1 2..Ep 1 isto é, A é resulta de aplicar operações sobre linhas na matriz B. As matrizes A e B, neste caso, são ditas equivalentes por operações sobre linhas. Theorem Considere o sistema de equações lineares Ax = b. O conjunto de soluções do sistema resultante de aplicações de operações sobre linhas neste sistema coincide com o conjunto de soluções deste sistema. B Theorem Seja A uma matriz quadrada de ordem n. afirmações: São equivalentes as seguintes 1. A é invertível. 2. O sistema Ax = 0 tem como única solução x = A é equivalente por operações sobre linhas com I. Proof: (a) (b) : Seja ˆx uma solução de Ax = 0, logo Aˆx = 0 A 1 Aˆx = A 1 0 ˆx = 0. (b) (c) : Aplicamos Operações sobre linhas na matriz aumentada [A 0] ate transformar-la numa matriz escada reduzida [U 0], logo U = E p..e 2 E 1 A. 12

14 Se algum elemento da diagonal de U fosse nulo, uma das equações de Ux = 0 seria identicamente nula e portanto teriamos menos equações que incógnitas o que implicaria na existência de uma solução não nula, portanto os elementos da diagonal de U não são nulos e por estar na forma escada reduzida necessáriamente U = I. (c) (a) : Como I = E p..e 2 E 1 A onde E i são matrizes elementares, temos que A é invertível e A 1 = E p..e 2 E 1. Corollary Seja A uma matriz quadrada de ordem n e b um vetor de R n. O sistema Ax = b tem uma única solução, se e somente se, A é invertível. Proof: ( ): Basta multiplicar o sistema de equações pelo lado esquerdo por A 1 para encontrar que a única solução possível é x = A 1 b. ( ): Seja x 0 a solução de Ax = b. Se A não fosse invertível existiria um vetor x 1 não nulo, tal que Ax 1 = 0 assim A(x 0 + x 1 ) = Ax 0 + Ax 1 = b, o qual significa que o sistema Ax = b tem duas soluções x 0 e x 0 + x 1 ( ) O teorema anterior nos fornece uma outra alternativa para determinar se uma matriz é invertível e ao mesmo tempo calcular sua inversa da seguinte forma: Caso consigamos, atravez de operações sobre linha, tranformar a matriz A na identidade, temos que I = E p..e 2 E 1 A logo A é invertível e A 1 = E p..e 2 E 1, logo temos que [A I] Operações sobre linhas E p..e 2 E 1 [I E p..e 2 E 1 ] = [I A 1 ]. Exemplo: Considerando a matriz A = 0 2 6, temos que [A I] = / / / /3 = [I A 1 ] Portanto podemos afirmar que A é invertível e 1 2 7/3 A 1 = 0 1/ /3 13

15 1.3 Determinante de uma matriz Consideremos uma matriz A n n, com n 2. Com A ij denotaremos a matriz menor complementar de a ij a qual é resultante de eliminar da matriz A a i-ésima linha e j-ésima coluna, portanto é de ordem (n 1) (n 1). Exemplo: Se a 11 a 12 a 13 A = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 então [ ] a12 a A 21 = 13, A a 32 a 22 = 33 [ a11 a 13 a 31 a 33 ], A 33 = [ a11 a 12 a 21 a 22 ]. A matriz quadrada de ordem 1, A = [a 11 ], será invertível, se e somente se, a Se denotamos com det(a) := a 11, podemos dizer que A é invertível se det(a) 0. Agora, se queremos estudar a invertibilidade de uma matriz de ordem 2, [ ] a11 a A = 12 a 21 a 22 sabemos que será invertível se o vetor nulo for a única solução do sistema Ax = 0. Assim, caso a 11 0, aplicando operações linha teremos que [ ] [ ] [ ] a11 a 12 0 a11 a 12 0 a11 a 12 0, a 21 a 22 0 a 11 a 21 a 11 a a 11 a 22 a 12 a 21 0 logo, A será invertível somente se a 11 a 22 a 12 a Se denotarmos det(a) := a 11 a 22 a 12 a 21, (3.4) podemos afirmar que a matriz A é invertível se e somente se det(a) 0. Caso a 11 = 0, trocando as linhas de posição teremos [ ] [ ] 0 a12 0 a 21 a 22 0 a21 a 22 0, 0 a 12 0 e neste caso, teremos também que A é invertível se e somente se det(a) = a 11 a 22 a 12 a 21 = a 12 a Observe que, neste caso, usando as matrizes menores complementares, podemos escrever a expressão(3.4) da seguinte forma det(a) = ( 1) 1+1 a 11 det(a 11 ) + ( 1) 1+2 a 12 det(a 12 ). Definição: Definimos o determinante de uma matriz quadrada de ordem n da seguinte forma: quando n = 1, isto é A = [a 11 ], det(a) := a 11. Para n 2, sendo A = [a ij ], definimos o determinante de forma recursiva (em função de matrizes de ordem menor) det(a) := ( 1) 1+1 a 11 det(a 11 ) + ( 1) 1+2 a 12 det(a 12 ) + + ( 1) 1+n a 1n det(a 1n ). 14

16 Observe que, se para cada i, j, introduzimos o termo c ij = ( 1) i+j det(a ij ), chamado de cofactor de a ij a expressão anterior pode ser escrito da forma det(a) := a 11 c 11 + a 12 c a 1n c 1n. O determinante de de A também é denotado por A, isto é, a 11 a 1n a 11 a 1n. = det.. a n1 a nn a n1 a nn Exemplo: Encontremos os determinantes da matrizes [ ] b a11 a 11 b 12 b 13 A = 12, B = b a 21 a 21 b 22 b b 31 b 32 b 33 Usando a definição temos que det(a) = a 11 c 11 + a 12 c 12 = a 11 A 11 a 12 A 12 = a 11 a 22 a 12 a 21, e det(b) = b b 22 b b 32 b 33 b 12 b 21 b 23 b 31 b 33 + b 13 b 21 b 22 b 31 b 32 = b 11 (b 22 b 33 b 23 b 32 ) b 12 (b 21 b 33 b 23 b 31 ) + b 13 (b 21 b 32 b 22 b 31 ) = b 11 b 22 b 33 + b 12 b 23 b 31 + b 13 b 21 b 32 {b 11 b 23 b 32 + b 12 b 21 b 33 + b 13 b 22 b 31 } Esta ultima fórmula coincide com a obtida pela regra de Sarrus. Theorem O determinante de uma matriz A = [a ij ], n n, o determinante pode ser expresso com uma expansão de cofactores de qualquer linha ou coluna de A, isto é, para qualquer i ou j fixado temos det(a) = a i1 c i1 + a i2 c i2 + + a in c in = a 1j c 1j + a 2j c 2j + + a nj c nj. Exemplo: Usando o teorema anterior temos que = 2c c c 32 = 2 A 12 = = 28. Corollary Seja A uma matriz quadrada de ordem n. 1. Se A tem uma linha nula ou uma coluna nula, então det(a) = Se A tem duas linhas iguais ou duas colunas iguais, então det(a) = 0. 15

17 Proof: O primeiro item é imediato do teorema anterior. Mostremos o segundo item por indução. para n = 2 verifica-se que é verdade. Seja agora n 3 e suponhamos que o resultado vale para matrizes de ordem menor que n. Fixando duas linhas iguais de A consideremos qualquer outra linha diferente destas de subindice i teremos que det(a) = ( 1) i+1 a i1 A i1 + + ( 1) i+n a i1 A in. Como cada uma das matrizes A i1,..., A in são de ordem menor que n e tem duas linhas iguais, por hipóteses, seus determinantes se anulam, portanto det(a) = 0. Corollary Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Então det(a T ) = det(a). Exemplo: O determinante de uma matriz triangular superior a 11 a 12. a 1n 0 a 22. a 2n A = a nn pode ser calculada de forma recursiva obtendo que det(a) = a 11 a 22 a nn. Pelo corolário anterior, esta fórmula tambem vale para matrizes triangulares inferiores, pois os elementos da diagonal de A e A T são os mesmos. Em particular, temos que det(i) = 1. Determinante do produto de matrizes Considerando uma matriz A de ordem n, vejamos primeiramente que acontece com o determinante desta matriz quando aplicamos uma operação linha tornando-a EA onde E é uma matriz elementar. Tipo I: Seja E uma matriz elementar do tipo I, isto é, resultante de trocar de posição duas linhas de I. Consideremos a matriz de ordem 2 [ ] [ ] a11 a A = 12 a21 a EA = 22 a 21 a 22 a 11 a 12 logo podemos observar que det(ea) = det(a). (3.5) Consideremos, agora uma matriz A de ordem n 3, suponhamos que (3.5) vale para matrizes de ordem menor que n. Sejam A ij as matrizes menores de A, denotemos com Âij as matrizes menores de EA, calculando seu determinante como expansão de cofactores de qualquer linha k diferente das que foram trocadas, teremos que det(ea) = a k1 ( 1) k+1 Âk1 + + a kn ( 1) k+n Âkn. Como cada Âkj é uma matriz de ordem menor que n e é resultante de trocar duas linhas de A kj temos que det(ea) = a k1 ( 1) k+1 A k1 a kn ( 1) k+n A kn ) = det(a). 16

18 Em particular, det(e) = det(ei) = det(i) = 1, portanto o resultado anterior novamente pode ser escrito da forma: det(ea) = det(e) det(a). Tipo II: Seja E uma matriz elementar do tipo II, isto é, resultante de multiplicar a i-ésima linha de I por α 0, expresando o deteminante de EA como expansão de cofactores da linha i teremos que det(ea) = αa i1 c i1 + + αa in c n1 = α det(a). Em particular, det(e) = det(ei) = α det(i) = α, portanto o resultado anterior pode ser escrito da forma: det(ea) = det(e) det(a). Tipo III: Seja E uma matriz elementar do tipo I, resultante de somar à i-ésima linha de I, β vezes a j-ésima linha, expresando o deteminante de EA como expansão de cofactores da linha i teremos que det(ea) = (a i1 + βa j1 )c i1 + + (a in + βa jn )c in = det(a) + β(a j1 c i1 + + a jn c in ) porêm, a quantidade a j1 c i1 + + a jn c in é o determinante da matriz obtida ao substituir a i-ésima pela j-ésima linha de A, assim esta teria duas linhas iguais e pelo corolário seu determinante é zero, isto é a j1 c i1 + + a jn c in = 0, (3.6) logo det(ea) = det(a). Em particular, det(e) = det(ei) = det(i) = 1, portanto, mais uma vez, o resultado anterior pode ser escrito da forma det(ea) = det(e) det(a). Em resumo, Se E é qualquer matriz elementar, então det(ea) = det(e) det(a). Observe que, se A é uma matriz invertível, do teorema 1.2.3, temos que logo A = E 1 E 2..E p det(a) = det(e 1 ) det(e 2 ).. det(e p ) 0. Theorem Seja A uma matriz de ordem n. A é invertível, se e somente se, det(a) 0. Proof: ( ): Acabamos de mostrar. ( ): Asumindo que det(a) 0, suponhamos que A não é invertível, logo aplicando operações linha na matriz A para deixa-la na forma escada temos que E p... E 2 E 1 A = U onde U é uma matriz triangular superior. Como A não é invertível, U não será invertível, logo algum elemento da diagonal de U é nulo e neste caso det(u) = 0, porém det(u) = det(e p )... det(e 2 ) det(e 1 ) det(a) 0 ( ). 17

19 Theorem Sejam A e B matrizes de ordem n, então det(ab) = det(a) det(b). (3.7) Proof: Se A é invertivel então, existem matrizes elemnetares E 1,... E p tal que A = E 1 E 2... E p, assim det(ab) = det(e 1 E 2... E p B) = det(e 1 ) det(e 2 )... det(e p ) det(b) = det(e 1 E 2... E p ) det(b) = det(a) det(b). Se A não é invertivel então AB tambem não é invertível, e neste caso, (3.7) continua valendo. Regra de Cramer Consideremos A = [a ij ] uma matriz quadrada de ordem n sabemos seu determinante ser expresa como expansão de cofactores de qualquer linha, isto é a i1 c i1 + + a in c in = det(a), para todo i. Por outro lado vimos em (3.6) que para j i logo, temos que a i1 c j1 + + a in c jn = 0. a i1 c j1 + + a in c jn = { det(a), i = j 0, i j Neste ponto, se consideramos a matriz de cofatores de A c 11 c 12 c 1n c 21 c 22 c 2n cof(a) =...., c n1 c n2 a nn e consideramos sua transposta c 11 c 21 c n1 adj(a) := (cof(a)) T c 12 c 22 c n2 =...., c 1n c 2n a nn chamada de adjunta da matriz A, vemos que Aadj(A) = det(a)i A caso det(a) 0. Portanto, neste caso A 1 = 1 det(a) adj(a). 18 ( ) 1 det(a) adj(a) = I,

20 Exemplo: Consideremos a matriz de ordem 2 [ ] a11 a A = 21 a 12 a 22 A matriz é invertivel se det(a) = a 11 a 22 a 12 a 21 0, e neste caso A 1 = 1 det(a) [ ] c11 c 21 = c 12 c 22 1 det(a) [ ] a22 a 12 a 21 a 11 Exemplo: Consideremos a matriz de ordem A = Como det(a) = 1(35 48) 2(28 42) + 3(32 35) = 6 0, temos que A é invertível e 5 6 A 1 = = Uma outra consequencia desta fórmula para a inversa de uma matriz é a seguinte: sabemos que, se A é invertível, a única solução do sistema Ax = b é x = A 1 b = 1 det(a) adj(a)b. Neste caso, cada coordenada da solução x = (x 1,..., x n ) T estará dado por x j = b 1c 1j + b 2 c 2j + + b n c nj. det(a) Por outro lado, se expresamos a matriz A em função de suas colunas A = [a 1,..., a j,..., a n ] e substituimos sua j-ésima coluna por b, temos a matriz B = [a 1,..., b,..., a n ]. Se calculamos o determinante desta matriz como expansão de cofactores da j-ésima coluna teremos det(b) = b 1 c 1j + b 2 c 2j + + b n c nj, 19

21 desta forma encontramos uma fórmula para determinar as coordenadas da solução x j = det(b) det(a) = det[a 1,..., b,..., a n ] det[a 1,..., a j,..., a n ] Esta fórmula, é conhecida como a Regra de Cramer. Exemplo: Se consideramos o sistema de equações a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 = b 2, a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3 = b 3, caso a matriz A = [a ij ] seja invertível, isto é, se det(a) 0, teremos que a solução x = (x 1, x 2, x 3 ) T é dada por b 1 a 12 a 13 a 11 b 1 a 13 a 11 a 12 b 1 b 2 a 22 a 23 a 21 b 2 a 23 a 21 a 22 b 2 b 3 a 32 a 33 a 31 b 3 a 33 a 31 a 23 b 3 x 1 =, x 2 =, x 3 =. det(a) det(a) det(a) 20

22 1.4 Exercícios 1. Determine a matriz [a ij ] 4 4 cujas entradas satisfazem a condição a ij = i j Sejam α, β R, considere a matriz [ ] α β A =. β α Determine as condições sobre as entradas da matriz B = [b ij ] 2 2 para que seja satisfeita AB = BA nos seguintes casos: (a) β 0. (b) β = Sejam A e B matrizes quadradas. Mostre que, se uma destas matrizes não for invertível, então o produto AB não é invertível. 4. Sejam I e 0 as matrizes identidade e nula respectivamente, e considere a matriz [ ] 2 2 A =. 0 1 (a) Existe alguma matriz B tal que 3I 2AB = 0? Quais? (b) Existe alguma matriz B tal que AB é diagonal? Quais? 5. Uma matriz quadrada A é dita simétrica se A T = A. Determine os valores de x e y de tal forma que as matrizes A e B sejam simétricas, onde [ ] [ ] 3 x A = 2 4 2y, B = 2 sin 2 (3y) 6 x 1 y 4 + cos 2 (3y) 5 1 x + 2y z 4 6. Sabendo que a matriz S = é simétrica determine os valores de 3z + 6 3x y 0 x, y e z. 7. Verifique, através de exemplos, que as seguintes afirmações são falsas. (a) se A e B são matrizes simétricas então AB = BA. (b) se AB = 0 então BA = 0. (c) se AB = AC com A 0, então B = C. 8. Se A é uma matriz triangular superior 2 2, prove que A 2 é também triangular superior. (A 2 := AA) Este resultado pode ser generalizado para matrizes triangulares superiores n n? justifique sua resposta. 9. Considere as matrizes A = [a ij ] 2 2 e B = [b ij ] 3 3 tais que a 11 0, b 11 0 e b 11 b 22 b 12 b Determine os valores para α, β, α i, β i, en função dos as entradas de A ou B de tal forma que A = [ 1 0 α 1 ] [ a11 a 12 0 β ], B = b 11 b 12 b 13 α β 1 β 2. α 2 α β 3 Isto significa que podemos decompor essas matrizes como produto de uma matriz triangular inferior com uma triangular superior. 21

23 10. Uma matriz quadrada Q é dita ortogonal se Q 1 = Q T, isto é, QQ T = I = Q T Q. Verifique se as seguintes matrizes são ortogonais [ ] cos(θ) sin(θ), 0 cos(θ) sin(θ), sin(θ) cos(θ) 0 sin(θ) cos(θ) Se P e Q são matrizes ortogonais mostre que P Q é ortogonal. 12. Uma matriz quadrada A é dita anti-simétrica se A T = A. Mostre que matriz quadrada B pode ser escrito da forma B = S +A onde S é uma matriz simétrica e A anti-simétrica. Dica: pode ser descoberta quais seriam essas matrizes calculando a transposta de B. 13. Considere o sistema de equações αx 1 + x 2 = b 1 βx 1 + x 2 = b 2 (a) Prove que o sistema tem uma única solução se e somente se α β. (b) Caso α = β, prove que este sistema tem solução, se e somente se, b 1 = b Determine os possíveis valores de x de tal forma que o sistema de equações cuja matriz aumentada é 1 1 x x x x 0 1 x 2 1 tenha pelo menos uma solução. Em que casos teria infinitas soluções? Em que casos não teria solução? 15. Determine os possíveis valores de α e β de tal forma que o sistema de equações cuja matriz aumentada é 1 0 α α β α α β 1 satisfaça uma das seguintes condições: (a) Tenha uma única solução. (b) Tenha infinitas soluções. (c) Não tenha solução. 16. Encontre exemplos de sistemas de m equações lineares e n incógnitas, tal que satisfaçam uma das seguintes condições (a) Tenha uma única solução nos casos m = n, m < n e m > n. (b) Tenha infinitas soluções nos casos m = n, m < n e m > n. (c) Não tenha solução nos casos m = n, m < n e m > n. 17. Determine os coeficientes do polinômio p(x) = ax 2 + bx + c em função dos valores p(1), p(2) e p( 1). 22

24 18. Sejam a 1,...,a n as colunas da matriz A, m n, e b um vetor coluna de m coordenadas. Se o vetor x = (x 1, x 2,..., x n ) T é solução do sistema Ax = b verifique que x 1 a 1 + x 2 a x n a n = b. Seguidamente responda as seguintes perguntas: (a) Se A é uma matriz 3 5 tal que a 1 a 2 + a 3 a 4 = b, quantas soluções tem o sistema Ax = b? (b) Se A é uma matriz 3 4 tal que a 1 + 2a 2 3a 3 + 5a 4 = b, quantas soluções tem o sistema Ax = b? (c) Se A é uma matriz 2 3, sendo que a 1 = (1, 0, 0) T, a 2 = (1, 1, 0) T, b = (1, 1, 1) T, quantas soluções tem o sistema Ax = b? 19. Seja I a matriz identidade de orden n e α um escalar real. (a) Mostre que det(αi) = α n. (b) Mostre que det(αa) = α n det(a) para qualquer matriz quadrada de ordem n. 20. Duas matrizes A, B são ditas semelhantes se existe uma matriz inversível M tal que B = M 1 AM. Mostre que matrizes semelhantes tem o mesmo determinante. 21. Uma propriedade das matrizes triangulares superiores ou inferiores é que seu determinante é produto dos elementos da sua diagonal. Mostre esta propriedade para matrizes triangulares superiores genéricas 4 4 assumindo que essa propriedade já vale para matrizes Sejam v 1, v 2,..., v n denotam os vetores coluna de matriz A, n n, isto é A = [v 1, v 2,..., v n ]. Uma das propriedades do determinante é a linearidade em função das colunas, isto é satisfaz as seguintes propriedades (a) det[v 1,..., v j 1, αv j, v j+1,..., v n ] = α det[v 1,..., v j 1, v j, v j+1,..., v n ], α R, (b) det[v 1,..., v j 1, v j + ˆv j, v j+1,..., v n ] = det[v 1,..., v j 1, v j, v j+1,..., v n ] + det[v 1,..., v j 1, ˆv j, v j+1,..., v n ]. Mostre que estas propriedades são satisfeitas para matrizes genéricas 3 3 a partir de que vale para matrizes

25 Capítulo 2 Espaços Vetoriais 2.1 Espaços Vetoriais No Conjunto R 2 = {(x, y) : x, y R} temos duas operações binárias conhecidas que são as seguintes: para v 1 = (x 1, y 1 ), v 2 = (x 2, y 2 ), v = (x, y) e α R, temos v 1 + v 2 = (x 1 + x 2, y 1 + y 2 ), αv = (αx, αy). Estas operações, conhecidas como soma de vetores e produto por um escalar, satisfazem uma série de propriedades como por exemplo: v 1 + v 2 = v 2 + v 1, α(v 1 + v 2 ) = αv 1 + αv 2, v + (0, 0) = v, etc. Com estas propriedades, R 2 é um conjunto que tem uma certa estrutura algébrica. Em várias aplicações nos distinto ramos da ciência no deparamos com conjuntos de objetos que tem uma estrutura similar a R 2 onde as somas de seus elementos e produto por um escalar preservam as mesmas propriedades que tem R 2, os objetos destes conjuntos podem ser por exemplo, matrizes, ou polinômios, ou uma classe de funções, ou etc. Estes conjuntos de objetos formam parte de uma classe de conjuntos chamados de espaços vetoriais que definimos a seguir. Definição: Um conjunto V que tem definida duas operações binárias, de soma ( ) e de produto por um escalar ( ): (F1) v 1 v 2 V, para todo v 1, v 2 V, (F2) α v V, para todo α R e v V, é um espaço vetorial real, se essas operações satisfazem as seguintes condições: (EV1) v 1 v 2 = v 2 v 1, v 1, v 2 V (EV2) (v 1 v 2 ) v 3 = v 1 (v 2 v 3 ) (EV3) Existe θ V, tal que v θ = v (EV4) Para cada v V, existe ˆv V talque v ˆv = 0 (EV5) α (v 1 v 2 ) = (α v 1 ) (α v 2 ) (EV6) (α 1 + α 2 ) v = (α 1 v) (α 2 v) (EV7) (α 1 α 2 ) v = α 1 (α 2 v) (EV8) 1 v = v (onde 1 R) 24

26 Os elementos de V são chamados de vetores (embora seus elementos sejam matrizes, polinômios, funções, etc) e as operações e costuma-se escrever simplesmente por + e respectivamente, isto é, em lugar de escrever v 1 v 2 escrevemos v 1 + v 2 e em lugar de escrever α v escrevemos α v ou αv. Também para o vetor neutro e inverso aditivos acima, adotamos a notação θ = 0, ˆv = v. Exemplo: O conjunto R n con suas operações usuais (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) := (x 1 + y 1,..., x n + y n ) e α(x 1,..., x n ) := (αx 1,..., αx n ) satisfaz cada uma as propriedades (EV1)- (EV8) cuja verificação são deixadas para o leitor, portanto será um espaço vetorial real. Exemplo: Observe que para V ser um espaço vetorial, ele tem que ser fechado em relação a soma de vetores e produto por um escalar, isto é (F 1) e (F 2) tem que ser satisfeitos. Para ilustrar este fato, consideremos o conjunto V := {(x, y, 2) R 3 : x, y R} com as operações de soma de vetores e produto por um escalar usuais de R 3, assim para v 1 = (x 1, y 1, 2), v 2 = (x 2, y 2, 2) V temos que v 1 + v 2 = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, 2 + 2) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, 4) V, logo V, com estas operações, não pode ser um espaço vetorial. Exemplo: O conjunto de matrizes M m n (R) é um espaço vetorial com as operações de soma de matrizes e produto por um escalar. Neste caso o vetor neutro é a matriz nula pois A+0 = A para todo A M m n (R) e o inverso aditivo da matriz A = [a ij ] é Â = [ a ij]. Deixamos ao leitor verificar as propriedades restantes. Exemplo: Denotemos com F(I) ao conjunto de funções reias definidas no intervalo I. Este conjunto é um espaço vetorial real como as operações binárias (f + g)(x) := f(x) + g(x), (α f)(x) = αf(x). Aqui o elemento neutro é a função identicamente nula, pois f + 0 = f para todo f F(I) e o inverso aditivo de uma função f, é a função ˆf dada por ˆf(x) = f(x). Deixamos ao leitor verificar as propriedades restantes. Exemplo: Em R 2 definamos as operações (x 1, y 1 ) + (x 1, y 1 ) := (x 1 + x 2, y 1 + y 2 + 1), α(x, y) := (αx, αy). O leitor pode vericar que as condições (EV1),(EV2),(EV5),(EV7) e (EV8) são satisfeitas. Verifiquemos as condições restantes: (EV3): para θ = (α, β) ser o elemento neutro é necessário que (x, y) + (α, β) = (x, y) x, y R (x + α, y + β + 1) = (x, y) x, y R, de onde segue que θ = (0, 1). (EV4): Seja v = (x, y) para ˆv = (ˆx, ŷ) ser seu inverso aditivo é necessário que (x, y) + (ˆx, ŷ) = (0, 1) (x + ˆx, y + ŷ + 1) = (0, 1), de onde segue que ˆv = ( x, y 2). (EV6): Sejam v = (x, y) e α 1, α 2 R, então Por outro lado, (α 1 + α 2 )v = ((α 1 + α 2 )x, (α 1 + α 2 )y). α 1 v + α 2 v = (α 1 x, α 1 y) + (α 2 x, α 2 y) = (α 1 x + α 2 x, α 1 y + α 2 y + 1), logo (α 1 + α 2 )v α 1 v + α 2 v portanto (EV6) não é satisfeita, consequentemente R 2 com as operações acima definidas não é um espaço vetorial. 25

27 Theorem Seja V um espaço vetorial, então (a) 0v = 0 para todo v V. (b) ( 1)v = v para todo v V. Proof: (a): como 0v = (0 + 0)v = 0v + 0v, somando o inverso de 0v a ambos lados temos que 0v = 0. (b): como v + ( 1)v = (1 1)v = 0v = 0, da definição do inverso aditivo segue que ( 1)v = v. Definição: Seja V um espaço vetorial, podemos definir a diferença de vetores como sendo v 1 v 2 := v 1 + ( 1)v 2. No que segue, quando consideremos espaços vetoriais conhecidos, como por exempo R n, M m n (R), F(I), caso não se faça mensão das operações binárias nestes conjuntos, elas serão as operações usuais já conhecidas. Theorem Seja V um espaço vetorial real. Se S um subconjunto não vazio de V, fechado em relação a soma de vetores e produto por um escalar, isto é, satisfazendo para w 1, w 2, w S e α R, tem-se que w 1 + w 2 S e αw S, (1.1) então S é um espaço vetorial com as operações binárias herdadas de V. Neste caso, S é chamado de subespaço vetorial de V. Proof: Como os elementos de S pertencem a V, então as propriedades (EV 1) (EV 2), (EV 5) (EV 8) são satisfeitas. Verifiquemos (EV 3) e (EV 4): Agora, como 0 = w + ( 1)w S, então (EV 3) se verifica. Se w S como w = ( 1)w S, logo (EV 4) se verifica. Observações: 1. Da prova do teorema anterior, podemos concluir que para S ser um subespaço vetorial de V é necessário que 0 S e que se w S para todo w S. 2. As duas condições (1.1) podem ser substituidas pela única condição para w 1, w 2 S e α R, tem-se que αw 1 + w 2 S, (1.2) Exemplo: Vejamos que o conjunto S = {(x, y) R 2 : y = 2x} com as operações binárias herdadas de R 2 é um espaço vetorial. Como R 2 é um espaço vetorial e S R 2, pelo teorema anterior basta verificar que (1.2) é satisfeito: Sejam (x 1, y 1 ), (x 2, y 2 ) S e α R, então y 1 = 2x 1 e y 2 = 2x 2. Como α(x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (αx 1 + x 2, αy 1 + y 2 ) temos que αy 1 + y 2 = α2x 1 + 2x 2 = 2(αx 1 + x 2 ) o qual significa que portanto S é um subespaço vetorial de R 2. α(x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) = (αx 1 + x 2, αy 1 + y 2 ) S, 26

28 Exemplo: Consideremos S = {(x, y) R 2 : y = x + 1} R 2. Como (0, 0) S, temos que S nao é um subespaço de R 2. Exemplo: Consideremos S = {(x, y) R 2 : y = x 2 } R 2. Temos que (1, 1) S, porém 2(1, 1) = (2, 2) S, logo S não é um subespaço vetorial de R 2. Exemplo: Consideremos P n = {p : p é um polinômio real de grau n} é um subespaço vetorial de F(R), pois se p 1, p 2 S, e α R temos que p 1 (x) = a 0 + a 1 x + a n + x n, p 2 (x) = b 0 + b 1 x + + b n x n, logo (αp 1 + p 2 )(x) = (αa 0 + b 0 ) + (αa 1 + b 1 )x + + (αa n + b n )x n, isto é, αp 1 + p 2 S, logo S é um subespaço vetorial de F(R). Exemplo: Vejamos que o conjunto {[ ] a + 1 b S = 3b 0 } : a, b R é um subespaço vetorial de M 2 2 (R). De fato, se a 1, b 1, a 2, b 2, α R, temos que [ ] [ ] [ ] [ a1 + 1 b α 1 a2 + 1 b + 2 (αa1 + α + a = 2 ) + 1 αb 1 + b 2 â + 1 ˆb = 3b 1 0 3b 2 0 3(αb 1 + b 2 ) 0 3ˆb 0 logo S é um subespaço vetorial de M 2 2 (R). Exemplo: Seja A M m n (R). O núcleo da matriz A N(A) := {x R n c : Ax = 0}. ] S, é um subespaço vetorial de R n c. De fato, consideramos v 1, v 2 N(A) e α R; como A(αv 1 + v 2 ) = αav 1 + Av 2 = 0 segue que αv 1 + v 2 N(A). 2.2 Base e Dimensão Primeira Prova: Ate aqui! Geradores de um espaço vetorial Antes de introduzir alguma definição formal vejamos oque motiva este conceito. Consideremos a matriz [ ] A = Vimos que o núcleo de A, N(A) = {x R 4 c : Ax = 0} é um subespaço vetorial de R 4 c. Vejamos como são so elemetnos de N(A), para isso, temos que encontrar as soluções x = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) T de Ax = 0. Aplicando operações linha na matriz aumentada associada ao sistema de equações temos que [ ] [ logo, x 1 = x 3 x 4, x 2 = 3x 4, então temos que os elementos de N(A) são da forma x 1 x 3 x x 2 x 3 = x 4 x 3 = x x x 4 x ]

29 onde x 3, x 4 são variáveis livres pudendo assumir qualquer valor. Se consideramos os vetores 1 1 v 1 = 0 1, v 2 = temos que N(A) = {α 1 v 1 + α 2 v 2 : α 1, α 2 R}, isto é, todo elemento v N(A) é da forma v = α 1 v 1 + α 2 v 2. Definição: Sejam v 1, v 2,..., v k vetores do espaço vetorial V. Uma combinação linear desses vetores é uma expressão da forma αv α k v k onde α 1,..., α k são escalares. Ao conjunto de todas as combinaçoes lineares desses vetores denotaremos por span{v 1, v 2,..., v k } := {α 1 v α k v k : onde α i são escalares}, o qual será chamado de espaço gerado pelos vetores v 1,..., v k. Exemplo: No exemplo anterior vimos que N(A) = span{v 1, v 2 }, isto é, o espaço vetorial N(A) é gerado por v 1, v 2. Theorem Se v 1, v 2,..., v k são vetores do espaço vetorial V, o espaço gerado span{v 1, v 2,..., v k } é um subespaço vetorial de V. Proof: Sejam w, z span{v 1, v 2,... v k } e α R, logo w = β 1 v β k v k e z = γ 1 v γ k v k para alguns escalares β i e γ i, então αw + z = (αβ 1 + γ 1 )v (αβ k + γ k )v k span{v 1,..., v k }, portanto span{v 1, v 2,... v k } é um subespaço vetorial de V. Definição: Um conjunto de vetores {v 1,..., v k } do espaço vetorial V é dito gerador do subespaço vetorial S, se S = span{v 1,..., v k }. Exemplo: Em R 3 consideremos os vetores canônicos e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0), e 3 = (0, 0, 1). Observe que para qualquer v = (b 1, b 2, b 3 ) R 3, temos que v = (b 1, b 2, b 3 ) = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 span{e 1, e 2, e 3 } logo {e 1, e 2, e 3 } é um gerador de R 3 pois R 3 = span{e 1, e 2, e 3 }. Observe que se w é qualquer outro vetor distinto de e 1,e 2 e e 3, então {e 1, e 2, e 3, w} tambem é um gerador de R 3 pois, v = (b 1, b 2, b 3 ) = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 + 0w. Se w = (1, 1, 1), então {e 1, e 2, w} é um gerador de R 3, pois v = (b 1, b 2, b 3 ) = (b 1 b 3 )(1, 0, 0) + (b 2 b 3 )(0, 1, 0) + b 3 (1, 1, 1) = (b 1 b 3 )e 1 + (b 2 b 3 )e 2 + b 3 w. Se w = (1, 1, 0), então {e 1, e 2, w} não é um gerador de R 3, pois é impossível escrever v = (0, 0, 1) R 3 como combinação linear de e 1, e 2 e w. De fato, se existisem escalares α 1, α 2 e α 3 tal que (0, 0, 1) = α 1 (1, 0, 0) + α 2 (0, 1, 0) + α 3 (1, 1, 0) = (α 1 + α 3, α 2 + α 3, 0), 28

30 o qual é absurdo. Por último, vejamos que o conjunto de vetores {(1, 1, 1), (1, 4, 4), (0, 0, 1)} também é um gerador de R 3. De fato v = (b 1, b 2, b 3 ) = α 1 (1, 1, 1) + α 2 (1, 4, 4) + α 3 (0, 0, 1), se e somente se, α 1 + α 2 + 0α 3 = b 1 α 1 + 4α 2 + 0α 3 = b 2 α 1 + 4α 2 + α 3 = b α 1 α 2 α 3 = b 1 b 2 b 3. Como = 3 0, o sistema tem uma única solução, isto é existem escalares α 1, α 2, α 3 que resolvem o sistema de equações lineares. Exemplo: O conjunto de polinômios {1, x, x 2 } é um gerador de P 2, pois se p P 2 temos que p(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 para alguns escalares b 0, b 1, b 2, então p(x) = b b 1 x + b 2 x 2 span{1, x, x 2 }. O conjunto {2, x 2 x, x 2 + 1} também é um gerador de P 2. De fato, para que p(x) = b 0 + b 1 x + b 2 x 2 = α α 2 (x 2 x) + α 3 (x 2 + 1) = (2α 1 + α 3 ) α 2 x + (α 2 + α 3 )x 2, basta tomar α 2 = b 1, α 3 = b 2 + b 1, α 1 = (b 0 b 2 b 1 )/2. Independência Linear Seja V um espaço vetorial. Sabemos que o subconjunto de vetores {v 1, v 2,... v k } geram o subespaço vetorial span{v 1, v 2,..., v k }, nestas condições estamos interessados em descobrir qual o menor número de vetores que geram ese subespaço. A resposta a esta inquitude está vinculados a conceitos de independência ou dependência linear. Antes de fornecer as definições respectivas, vejamos o seguinte exemplo. Exemplo: Em R 3 consideremos os vetores v 1 = (1, 2, 3), v 2 = (1, 0, 1) e v 3 = ( 1, 4, 3), logo o subespaço vetorial S = span{v 1, v 2, v 3 } é gerado por eses vetores, isto é qualquer elemento v de S é da forma onde α i são escalares. Observe que v = α 1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3, logo substituindo na equação anterior temos que v 3 = 2v 1 3v 2, (2.3) v = (α 1 + 2)v 1 + (α 2 3)v 2, o que significa que S é gerado pelos vetores v 1, v 2, isto é, S é gerado por um número menor de vetores. Isto acontece por causa da relação (2.3) o qual ainda pode ser escrito da forma 2v 1 + ( 3)v 2 + ( 1)v 3 = 0, 29