PROJETO DE CONTROLADORES FUZZY PARA UMA CLASSE DE SISTEMAS NÃO-LINEARES SUJEITOS A FALHAS ESTRUTURAIS

Transcrição

1 PROJETO DE CONTROLADORES FUZZY PARA UMA CLASSE DE SISTEMAS NÃO-LINEARES SUJEITOS A FALHAS ESTRUTURAIS Eerson Ravazzi P. da Silva Edvaldo Assunção Marcelo C. M. Teixeira FlávioA.Faria Rodrigo Cardi Faculdade de Engenharia UNESP - Univ Estadual Paulista Capus de Ilha Solteira Departaento de Engenharia Elétrica Laboratório de Pesquisa e Controle Avenida José Carlos Rossi n o Ilha Solteira SP Brasil. e.ravazzi@bol.co.br edvaldo@dee.feis.unesp.br arcelo@dee.feis.unesp.br flaviof5@yahoo.co.br rcardi@dee.feis.unesp.br Abstract: A technique of PDC fuzzy controller design for nonlinear continuous-tie systes is proposed in this paper. It is supposed that the nonlinear plant is subject to structural failures which can be considered as polytope uncertain. The nonlinear systes are represented through fuzzy odels proposed by Takagi-Sugeno. The controller design is ade through conditions based in Linear Matrix Inequalities LMIs which can be easily solved using convex prograing techniques. Finally a nuerical exaple and its siulation illustrate the efficiency of the proposed ethodology. Keywords: Linear Matrix Inequalities LMI Nonlinear Systes Structural Failures.. INTRODUÇÃO A análise de estabilidade e o projeto de controladores e sisteas não-lineares é ua área de pesquisa bastante explorada alguns destes sisteas são representados através de odelos fuzzy Takagi-Sugeno 3 e o projeto é feito usando Desigualdades Matriciais Lineares e inglês Linear Matrix Inequalities LMI 4 9. No entanto a grande aioria dos trabalhos considera soente o projeto de controladores para sisteas nãolineares deterinísticos que pode não representar sisteas de controle reais. É cou a existência de odelos ais coplexos que possue e sua estrutura eleentos de parâetros não fixos eleentos incertos pertencentes a u intervalo de valores nuéricos conhecidos. Este fato pode acontecer por alguns otivos por exeplo desgaste natural de algu coponente quebra por fatores externos anuseio incorreto entre outros. Então é fato que a dificuldade existe e sisteas co esta característica são denoinados sisteas sujeitos a falhas estruturais e os esos pode ser odelados usando cobinação convexa descritas por incertezas do tipo politópicas 2. Acopanhando esta tendência a pesquisa relacionada a Parallel Distributed Copensation. esta área cresce a cada dia. O propósito é obter soluções inovadoras projetando sisteas de controle confiáveis que garanta a estabilidade robusta de plantas não-lineares sujeitas a falhas estruturais. Co isso alguns trabalhos tê sido publicados para este tipo de problea 3 4. Entretanto os trabalhos acaba tratando as incertezas e não-linearidades de fora idêntica. Se tratando de sisteas que possue e sua estrutura eleentos co características não-lineares e incertas o ideal seria fazer a distinção de abas às coplicações para que seja analisadas de fora diferente a fi de se obter u resultado satisfatório e seguro pois se não houver esta anipulação os resultados alcançados serão de ua fora e geral considerados conservadores 5. A otivação deste trabalho se baseia na etodologia apresentada e onde os autores apresenta ua técnica para o projeto de controladores e sistea T-S sujeitos a falhas levando e consideração a separação dos eleentos não-lineares dos incertos. A etodologia considera o projeto de controladores fixos K poré esta técnica ainda pode levar a resultados conservadores. Neste trabalho são propostas condições suficientes para o projeto de controladores usando o procediento conhecido coo Copensação Distribuída Paralela do inglês Parallel Distributed Copensation PDC 3. Esse procediento consiste e projetar controladores lineares para cada u dos odelos locais e o controlador global que é não linear e geral é obtido através da cobinação fuzzy dos controladores locais. Ale disso nesse trabalho o projeto de controladores são forulados por probleas na fora de LMIs. Nuericaente LMIs pode ser resolvidas eficienteente por eio de alguas ferraentas poderosas disponíveis na literatura de prograação ateática 2. Para o projeto dos controladores e a siulação do sistea controlado é utilizado o software MATLAB 6. O propósito final é estudar e analisar questões sobre estabilidade quadrática e propor u étodo para o projeto de Serra Negra SP - ISSN

2 controladores via PDC utilizando a realientação dos estados para ua classe de sisteas não-lineares que apresenta e sua estrutura parâetros sujeitos a falhas estruturais. Para verificar a viabilidade do étodo u exeplo nuérico é apresentado resolvido e siulado. 2. CONDIÇÃO INICIAL Podeos destacar que todos os tipos de sisteas e equipaentos estão sujeitos a apresentar ua interrupção peranente não desejada ao realizar ua deterinada função. Denoinaos este evento coo sendo falhas estruturais que pode ser inseridas no odelo dinâico da planta através de incertezas do tipo politópicas. Considere u sistea nãolinear incerto descrito da seguinte fora: ẋ t A α β x t+b α β u t sendo Aα β R n n e Bα β R n atrizes que representa a dinâica do sistea não-linear incerto sendo que as não-linearidades são representadas por α e as incertezas por β ut R é a entrada de controle do sistea e xt R n é o vetor de estados. A próxia hipótese denoinada coo etapa de separação é ua condição necessária para que os sisteas seja controlados pelos controladores obtidos co o uso do étodo proposto. Hipótese. Considere coo exeplo e se perda de generalidade as atrizes A Bα β descritas abaixo: A α β a α a 2 α a 3 β a 2 β a 22 β a 23 α a 3 α β a 32 β a 33 α B α β b α b 2 β b 3 α β 2 3 realizando a separação das não-linearidades e das incertezas faz-se ua decoposição das atrizes A Bα β sendo que agora as atrizes A Bα são copostas soente pelos eleentos não-lineares e as atrizes A Bβ soente pelos eleentos incertos A α β + a α a 2 α a 23 α ā 3 α a 33 α }{{} Aα a 3 β a 2 β a 22 β ã 3 β a 32 β } {{ } Aβ sendo a 3 α β ā 3 α+ã 3 β B α β b α b3 α } {{ } Bα + b 2 β b3 β } {{ } Bβ 4 5 sendo b 3 α β b 3 α+ b 3 β. Então concluindo a etapa de separação chega-se a ua nova representação na qual as atrizes pode ser decopostas da seguinte fora: A α β Aα+Aβ e B α β Bα+Bβ. Observação. No oento e que houver a separação das atrizes A Bα β os eleentos constantes das esas pode ser alocados e quaisquer atrizes ou divididos e parcelas para que se evite atrizes nulas evitar a não controlabilidade na parcela ou seja os eleentos poderão fazer parte das atrizes que conté as nãolinearidades A Bα ou das atrizes que conté as incertezas A Bβ ou ainda suas parcelas fazere parte de abas as atrizes não diferindo do resultado final. Desta fora o sistea pode ser representado por odelos fuzzy T-S da seguinte aneira : ẋ t i k + i k i i<j k α i z t β k A αi β k x t+b αi β k u t i k B αi + B βk α i z t β k A αi + A βk α j z t K j x t j α 2 i z t β k A αi + A βk B αi + B βk K i x t α i z t α j z t β k A αi + A βk B αi + B βk K j + A αj + A βk B αj + B βk Ki x t 6 sendo z t R r denoinado de vetor preissa. As atrizes A αi R n n e B αi R n são os parâetros dos odelos locais e as variáveis α i z t são as funções de pertinência dos odelos locais e satisfaze a relação: A Bα r α i z t A B αi α i z t odelos i fuzzy TS i 2... r α i z t co α i i α α z t α 2 z t... α r z t T. conhecido 7 NOTA: Apenas por facilidade de notação e todo o texto o tero α i z t será representado por α i. As atrizes A βk R n n e B βk R n são os parâetros dos odelos locais incertos e as variáveis β k são funções desconhecidas e satisfaze a relação: A Bβ β k A B βk β k odelos de k incertezas k 2... p β k k β β β 2... β p T. co β k desconhecido 8 O ponto de equilíbrio x do sistea 6 é obtido encontrando atrizes constantes K K 2... K r R n co Serra Negra SP - ISSN

3 a entrada de controle u t α i u i t i K α x t. α i K i x t i 3. PROJETO DO CONTROLADOR FUZZY PARA SISTEMAS NÃO-LINEARES INCERTOS O projeto do controlador fuzzy T-S é forulado substituindo 9 e 6 deste odo o sistea e alha fechada é dado por: ẋ t A α β x t+bα β K α x t ẋ t A α β B α β Kα x t. }{{} A ψ Assi a análise de estabilidade quadrática do sistea pode ser realizada verificando as condições de existência de ua atriz siétrica P R n n satisfazendo as condições de Lyapunov 2: A T ψ P + PA ψ < P>. 9 }. Desta aneira o problea pode ser reduzido ao estudo de factibilidade de LMIs. LMIs quando factíveis pode ser facilente resolvidas e icrocoputadores usando por exeplo o software MATLAB 6. Para o projeto do controlador o próxio teorea encontra condições suficientes que garante a estabilidade quadrática e assintótica do sistea. Teorea. Se existir ua atriz siétrica X R n n e atrizes M i R n satisfazendo as LMIs X> 2 XA T α i M T i BT α i M T i BT β k +A αi X + A βk X B αi M i B βk M i < XA T α i Mj T BT α i Mj T BT β k +A αi X + A βk X B αi M j B βk M j +XA T α j Mi T BT α j Mi T BT β k +A αj X + A βk X B αj M i B βk M i i <j 3 4 sendo i j 2... r e k 2... p. Então o sistea é estabilizável via PDC. Os ganhos locais que resolve o problea pode ser dados por K i M i X eaatriz Kα que garante a estabilidade é dada por K α α i K i. 5 i Deonstração. Multiplicando a equação 3 por αi 2β k 4 por α i α j β k e soando todas as LMIs segue de 7 e 8 que: α i α j β k XA T α i Mj T BT α i Mj T BT β k i j k +A αi X + A βk X B αi M j B βk M j X α i A T α i + p β k A T β k i k r α i Mi T α i B T α i + p β k Bβ T k i i k + α i A αi + p β k A βk X i k α i B αi + p β k B βk α i M i <. i k i Substituindo r α i M i r α i K i X e sabeos que: i i A α β α i A αi + p i k B α β α i B αi + p i k K α α i K i i β k A βk β k B βk então de 6 chega-se e: T T X A α β XKα T B α β +A α β X B α β KαX < Agora ultiplique 8 à esquerda e a direita por X e fazendo X P obtenha T A α β B α β Kα P 9 +P A α β B α β Kα <. Agora quando 2 é factível te-se que X P > P >. Considerando esse fato conclui-se que 9 é equivalente as condições de Lyapunov para o sistea. Portanto quando 2 3 e 4 são factíveis o ponto de equilíbrio x do sistea é globalente assintoticaente estável. E u controlador Kα desejado pode ser obtido co EXEMPLO - SIMULAÇÃO DIGITAL Para resolver o exeplo e a siulação através de icrocoputadores foi usado o pacote LMI control toolbox presente no software MATLAB 6. Através da solução obtida co o Teorea a resposta dinâica do sistea realientado para ua deterinada condição inicial é plotada. 4.. Sistea ecânico assa-ola-aortecedor Considere o sistea assa-ola-aortecedor ilustrado na Figura 7. Cujo odelo dinâico pode ser descrito por: ẋ t ẋ 2 t k c x t + u t. x 2 t 2 O vetor de estados é definido por xt x t ẋ t T. Vaos supor que a ola do sistea seja Serra Negra SP - ISSN

4 u t x t c k Figura Sisteaassa-ola-aortecedor. não-linear então k iplica e ua força não-linear da ola e será representado por 8: k k x + d 2 x t 2 sendo k x o coeficiente de elasticidade d a constante de dureza e x t o deslocaento da assa. O problea consiste e atenuar as oscilações da assa deslocada x t do ponto de equilíbrio através da entrada de controle ut. Considerando que o coeficiente de aorteciento c é incerto e pertence ao intervalo <c<4ns/ ou seja o aortecedor pode quebrar depois de algu tepo de uso c 2Kg k x 2N/ d eque a variável de estado x t é liitada no intervalo 2 x t 2. Desta fora podeos reescrever 2 coo sendo A α β e B α β. f 2 x t Ĩ 22 β sendo f 2 x t k x + d 2 x t 2 a função que conté a não-linearidade do sistea e Ĩ22β c a função que conté o eleento sujeito a falha do sistea. Agora de acordo co o propósito deve-se separar o eleento não-linear do eleento incerto das atrizes. Portanto as atrizes serão: 5 5 A α e A β f 2 x t Ĩ22 β B α e B β 2 2 sendo que Bα e Bβ fora feitos dessa fora para que nenhu vértice seja não controlável. Nesse exeplo o tero não-linear depende de x t supondo zt x t e de acordo co 9 pode-se encontrar os odelos locais para a odelage exata da seguinte fora: { e 2 ax f2 x t} x t { 2 e 22 in f2 x t} 5. x t f 2 x t ξ 2 x te 2 + ξ 22 x te 22 ξ 2 x t + ξ 22 x t 22 logo de 22 ξ 2 x t f 2 x t e 22 e 2 e 22 ξ 22 x t f 2 x t e 2 e 22 e Seja α x t ξ 2 x t 24 α 2 x t ξ 22 x t as funções de pertinências para este sistea. Nota-se que para i 2: α i x t e 2 α i x t. 25 i Logo os odelos locais para o sistea são: 5 5 A α A α2 5 B αi 25 i 2. Agora para o parâetro incerto c do sistea os vértices do politopo encontrados fora: 5 5 A β A β2 2 B βk 25 k 2. As soluções encontradas pelo Teorea fora: P X M M O controlador 5 obtido foi: K α α x t α 2 x t Se essa realientação note que sisteas ecânicos co estas características são estáveis por natureza. Contudo quando ocorre ua falha estrutural ou seja para este caso o aortecedor c se rope observe que o sistea se torna largaente oscilatório isso é visto na Figura 2. No entanto esse problea é resolvido ao realientar o sistea co o controlador 26 obtido. A resposta do sistea realientado para a condição inicial de siulação x T co o aortecedor c funcionando e co o aortecedor quebrado c pode ser vista na Figura 3. Observando a Figura 3 nota-se que o coportaento do sistea controlado praticaente não uda eso que o aortecedor c se quebre. E abos os casos o sistea possui u tepo de duração do transitório e torno de 2s. Serra Negra SP - ISSN

5 Tepo s x t se falhas x 2t se falhas x t co falhas x 2 t co falhas Tepo s Deslocaento Sinal de Controle N Funções de Pertinência Funções de Pertinência Figura2 Siulaçãodosistea2 se entrada de controle x t se falhas x t co falhas Tepo s Velocidade /s Tepo s x 2t se falhas x 2t co falhas Tepo s ut se falhas ut co falhas Figura3 SisteacontroladocooTeorea. Logo o controlador 26 foi capaz de garantir a estabilidade do sistea eso após a ocorrência de falha no aortecedor. Ainda na Figura 4 é plotado o coportaento das funções de pertinência note que e abos os casos ou seja co o sistea funcionando e co o sistea co falhas as esas fica be próxias..8 α se falhas.6 α 2 se falhas Tepo s.8 α co falhas.6 α 2 co falhas Tepo s Figura 4 Coportaento das funções de pertinência. 5. CONCLUSÕES Neste artigo foi proposta ua etodologia para o projeto de controladores fuzzy via PDC para ua classe de sisteas não-lineares sujeitos a falhas estruturais. Foi possível através de LMIs e utilizando os odelos fuzzy Takagi-Sugeno projetar de aneira relativaente siples o controlador para a solução do problea. Apenas a condição de estabilidade foi abordada neste trabalho poré a técnica perite facilente a inclusão de restrições de desepenho no projeto do controlador tais coo: restrição na taxa de decaiento e restrição no valor de entrada. Esta técnica de projeto odelada na fora de LMIs pode ser facilente resolvida utilizandose algoritos de convergência polinoiais resolvidos através de icrocoputadores. A eficácia da técnica pode ser verificada pela solução do exeplo nuérico. AGRADECIMENTOS Os autores agradece ao CNPq 2 eafapesp 3 pelo apoio financeiro a este trabalho. Referências T. Takagi and M. Sugeno. Fuzzy identification of systes and its applications to odeling and control. IEEE Transactions on Systes Man and Cybernetics 5: K. Tanaka T. Ikeda and H. O. Wang. Fuzzy regulators and fuzzy observers: Relaxed stability conditions and LMI-based designs. IEEE Transactions on Fuzzy Systes 62: K. Tanaka and H. Wang. Fuzzy control systes design and analysis: A linear atrix inequality approach. John Wiley and Sons New York 2. 4 K. Tanaka and M. Sugeno. Stability analysis and design of fuzzy control systes. Fuzzy Sets and Systes 452: M. C. M. Teixeira M. F. R. Catharino E. Assunção and E. R. M. D. Machado. A coparative study between two relaxed LMI-based fuzzy control designs. In Proceedings of the... pages Reno 25. IEEE INTERNATIONAL CONFERENCE ON FUZZY SYSTEMS IEEE. 6 M. C. M. Teixeira N. A. P. da Silva E. Assunção and E. R. M. D. Machado. Design of fuzzy regulators with optial initial conditions copensation. In Proceedings of the... pages 84 9 Vancouver 26. IEEE IN- TERNATIONAL CONFERENCE ON FUZZY SYS- TEMS IEEE. 7M.C.M.TeixeiraE.AssunçãoandR.G.Avellar. On relaxed LMI-based design for fuzzy controllers. In Proceedings of the... volue 3 pages New York 2. IEEE INTERNATIONAL CONFERENCE ON FUZZY SYSTEMS IEEE. 8 M. C. M. Teixeira E. Assunção and H. C. Pietrobo. On relaxed LMI-based design fuzzy. In Proceedings of the... pages 2 25 Porto 2. PROCE- 2 Conselho Nacional de Desenvolviento Científico e Tecnológico. 3 Fundação de Aparo à Pesquisa do Estado de São Paulo. Serra Negra SP - ISSN

6 EDINGS OF THE EUROPEAN CONTROL CONFE- RENCE s.n.. 9 M. C. M. Teixeira E. Assunção and R. G. Avellar. On relaxed LMI-based designs for fuzzy regulators and fuzzy observers. IEEE Transactions on Fuzzy Systes 5: E. R. P. da Silva M. C. M. Teixeira E. Assunção and F. A. Faria. Controle robusto de sisteas não-lineares sujeitos a falhas estruturais. In Proceedings of the 8th Brazilian Conference on Dynaics Control and Applications Bauru 29. Unesp. 7p. E. R. P. da Silva M. C. M. Teixeira E. Assunção and F. A. Faria. Controle robusto de sisteas não-lineares sujeitos a falhas estruturais usando realientação da derivada dos estados. In Anais do 9 o Sipósio Brasileiro de Autoação Inteligente Brasília 29. SBA. 6p. Artigo S. Boyd L. El Ghaoui E. Feron and V. Balakrishnan. Linear Matrix Inequalities in Systes and Control Theory. Volue 5 of Studies in Applied Matheatics. SIAM Studies in Applied Matheatics USA 2nd edition boyd/libook/. 3 M. C. M. Teixeira and S. H. Żak. Stabilizing controller design for uncertain nonlinear systes using fuzzy odels. IEEE Transactions on Fuzzy Systes 72: S. K. Nguang P. Shi and S. Ding. Fault detection for uncertain fuzzy systes: An LMI approach. IEEE Transactions on Fuzzy Systes 56: N. S. D. Arrifano V. A. Oliveira and L. V. Cossi. Synthesis of an LMI-based fuzzy control syste with guaranteed cost perforance: A piecewise lyapunov approach. Revista Controle & Autoação 72: P. Gahinet A. Neirovski A. J. Laub and M. Chilali. LMI control toolbox - For use with MATLAB. TheMath Works Inc K. Ogata. Engenharia de controle oderno. Prentice Hall New York 4 edition C. H. Edwards and D. E. Penney. Eleentary differential equations with boundary value probles. Prentice Hall Englewood Cliffs 5 edition T. Taniguchi K. Tanaka H. Ohatake and H. O. Wang. Model construction rule reduction and robust copensation for generalized for of Takagi-Sugeno fuzzy systes. IEEE Transactions on Fuzzy Systes 94: Serra Negra SP - ISSN