Bases, frames (quadros) e decomposições lineares
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- Ruth Lisboa
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1 Bases, frames quadros e decomposições lineares
2 Introdução Até o momento no curso: Bases e frames. Bases ortogonais ortonormais e biortogonais. Frames justos, genéricos. Representações mínimas e redundantes. Preservação da energia. Produtos internos, decomposições lineares. Etc Mas! De onde vem tudo isso? Por que é dessa forma? Qual a sua importância?
3 Espaços vetoriais Em nosso dia-a-dia, estamos acostumados a lidar com coisas em ou 3 dimensões ℝ, ℝ3. Para tanto notação vetorial v = [ ] [] [] [] v = 3 =3 ^i + ^j= v A=[, 3, 6 ] = ^i+ 3 ^j +6 k^ =[ A, A, A 3 ]
4 Espaços vetoriais Fechamento em relação à adição: a =[ a, a ] b=[ b, b ] a + b=[ a +b, a + b ] a b=a + b = =[ a b, a b ] a =b a b= 0 =[ 0, 0 ] a =b, a=b Fechamento em relação à multiplicação por escalar: a =[ a, a ] k a =[ k a, k a ] ℝ, ℝ3 são espaços vetoriais fechados
5 Produto interno, norma e distância Produto interno escalar, dot product : Forma trigonométrica a, b =a b a, b = a b cos θ a b, 0 θ a b π = a b cos θ a θ b = a b [ cos θ a cos θ b+ sinθa sin θ b ] [ a b a b = a b + a b a b =a b + a b ] N a, b = a i bi i = Forma algébrica
6 Produto interno, norma e distância Em ℝ3 teríamos v A =[ x A 0 x A x A ] v B =[ x B 0 x B x B ] va, v B = v A v B cos θ AB =x A 0 x B 0 + x A x B + x A x B Forma trigonométrica Forma algébrica Generalizando em espaços vetoriais de dimensão N ℝN: va, vb = v A v B cos θ AB =x A 0 x B 0 + x A x B + + x A N x B N N va, vb = x Ak x Bk k =0 Produto interno generalizado
7 Produto interno, norma e distância O produto interno de um vetor com ele mesmo será va, va =x A 0 x A 0 + x A x A + + x A N x A N =x A0 + x A+ + x A N N = x Ak Energia do vetor k =0 A raiz quadrada positiva é a norma-l do vetor: va = va, va = N k =0 x Ak = l Comprimento do vetor
8 Produto interno, norma e distância Distância erro, discrepância entre dois vetores norma da diferença: d va, vb = va vb = [ x A 0 x B 0 ] + +[ x A N x B N ] = N [ x Ak x Bk ] k =0 Usado, por exemplo, em avaliações de aproximações: root-mean-square RMSE, signal to noise ration SNR, peak SNR PSNR e regressão por mínimos quadrados, etc...
9 Produto interno, norma e distância O produto interno é uma medida de orientação entre dois vetores: v, v = v v cos θ A B A B AB Se os vetores são colineares e no mesmo sentido: θ AB =0 va, vb máximo Se são colineares, mas em sentidos opostos: θ AB =π va, vb mínimo negativo Se são perpendiculares: θ AB = π va, vb =0 a b Vetores ortogonais Se um dos vetores for de norma constante ou unitário avaliação de similaridade! v A, v B = v A cos θ AB a ua =, u a = a
10 Projeção vetorial Projetar um vetor em outro vetor: proj B A= A cos θ AB ub A, B B = B B Projetar um vetor em um subespaço vetorial: a proj xy a = proj x a + proj y a = A cos α u x + A cos β u y A, x x A, y y = + x x y y
11 Espaços vetoriais N-dimensionais Os conceitos de vetores, pontos, linhas, planos, etc., podem ser generalizados para qualquer dimensão. Ex.: Espaço ℝ N odos os vetores de números reais de dimensão N. a =[ a, a,, a N ] Ex.: Espaço ℂ N N-tuplos de números reais, ai ℝ. Vetores de números complexos de dimensão N. a =[ a, a,, a N ] N-tuplos de números complexos ai ℂ. =[ a ℜ + j a ℑ, a ℜ+ j a ℑ,, an ℜ+ j an ℑ ] =[ a e, a e,, a N e ] ϕ a Espaço ℝ Ex.: ϕa ϕan odas as funções de variáveis reais contínuas. f =f t
12 Espaços vetoriais N-dimensionais Os conceitos de vetores, pontos, linhas, planos, etc., podem ser generalizados para qualquer dimensão. Hummm! qualquer conjunto de dados, Ex.: Espaço ℝ N reaisosouvetores complexos, de dimensão N ex.:n. odos de números reais de dimensão Ex.: Espaço ℂ N Qualquer funçãocomplexos de variável contínuan.ex.: Vetores de números de dimensão xn, 0 n N- pode ser tratado como N-tuplos de espaço números de reais, ai ℝ. N a =[ a, a,, a N ]um vetor em um dimensão ft, fd, f C, real ou complexa, pode ser ai ℂ de números complexos. a =[ a, a,, a N ] tratadan-tuplos como um vetor em um espaço de =[ a ℜ + j a ℑ,dimensão a ℜ+ j a,, an + j an ℑ ℜ ℑ ] =[ a e, aqualquer e,, a função N e ] de dimensões MxN ex.: as imagens pode ser tratada como um Espaço ℝ odas funções de variáveis reais contínuas. Ex.: vetor em um espaço MxN... f =f t ϕ a ϕa ϕan
13 Espaços vetoriais N-dimensionais As propriedades básicas são as mesmas. Ex.: a =[ a, a,, a N ] b=[ b b, b ],, N a + b=[ a +b, a + b,, a N + b N ] k a =[ k a, k a,, k a N ] a = a+ a + + a N = a =l norm a ua =, u a = a Normalização de a, b = a b cos θ a b, 0 θ a b π, N =a b +a b + + a N b N = ai bi i= Se a, b =0 Vetores ortogonais a Produto interno
14 Alguns espaços vetoriais importantes A linha real ℝ, o plano real ℝ e o espaço real ℝ3. Vetores reais e complexos e dimensão N, ℝN eℂ. Polinômios Pn de ordem menor ou igual a n: N n f x=c n x +c n x n + +c x+ c 0 Polinômios P de ordem infinita. Funções reais contínuas f de variáveis reais. Funções reais contínuas f em um intervalo fechado [a, b]. Funções reais contínuas f para as quais f, f,, fn existem em um intervalo fechado [a, b].
15 Subespaços Um subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespaço de V se: W é fechado em relação à adição e multiplicação por um escalar. W contém a origem vetor 0. b= b +a W a + a, b W Closure k a W 3 Example: V = [ v, v, v 3 ] Space ℝ W =[ w, w ] b=[ b b ] W, c =[ c, c ] W is a subspace of V b+ c =c + b=[ b +c, b + c ] W k b=[ k b k b ] W, 0 =[ 0, 0 ] W
16 Bases Independência linear: x, x, x 3,, xn, } { são linearmente independentes se k x + k x + + k N x N = 0 k =k = =k N =0 Bases: Se B= { x, x, x 3,, xn } v V, são linearmente independentes e v =k x + k x + + k N x N, então B é uma base de V Exemplos: { x n, x n,, x, } é a base padrão para {^i, ^j, k^ } é a base padrão para ℝ3 Pn n+ Dimensão do espaço e =[,0,, 0 ], e =[ 0,,, 0 ],, e N =[ 0, 0,, ] é a base padrão para ℝN
17 Bases Cobertura span de um conjunto de vetores: Se S ={ x, x, x 3,, xn } k x + k x + + k N xn, é umconjunto de vetores no espaço V, então Span S k, k,, k N é o O conjunto de todas as combinações lineares de um conjunto finito de vetores S é chamado de cobertura span de S! Consequentemente, se S ={ x, x, x 3,, xn } forem linearmente independentes e Span S =V então Dimensão de V S é uma base de V
18 Exemplos Vetores linearmente dependentes em D e 3D. Vetores linearmente independentes em D e 3D. Bases em D e 3D.
19 Bases ortogonais e ortonormais N B= { e, e,, e N } é uma base ortogonal de ℝ se ei, e j = { 0, ei, e i = e i, i j i= j } N ei, e i = B= { e, e,, e N } é uma base ortonormal de ℝ se Exemplo: base ortogonal não-padrão. B= { w, w, w 3 }, [ ] [ ] [ ] w = 3, 3, 3 w =,, w3 = 0,, w w =0 w w w w 3=0 w w3 w w 3=0 w w 3 w = w = w3 =
20 Exemplos Exemplo: base ortonormal padrão para ℝN vetores unitários, matriz identidade, matriz de amostragem [ 0 e,, e N }= 0 {e, ] ei, e j = Exemplos: FF, DC, DS, DW, etc... { 0, ei, e i =, i j i= j }
21 Projeção em uma base ortogonal Considere um vetor na base padrão R3 a =[ a, a, a3 ] [] [] [] 0 0 ^ =a ^i + a ^j+a 3 k=a 0 + a +a w, w, w 3 } é: A projeção de a em outra base ortogonal B= { k = a, w, k = a, w, k 3= a, w3 a B =k w + k w +k 3 w3, Exemplo: projeção em base ortogonal não-padrão. B= { w, w, w 3 }, a =[ 3,, 9 ] =3 ^i ^j + 9 k^ c = a, w = [ ] [ ] [ ] w = 3, 3, 3 w =,, w3 = 0,, 0, c = a, w =, c 3 = a, w 3 = ab= w + w w 3= c k wk 3 6 k
22 Bases biortogonais Agora, considere o seguinte par de vetores em ℝ. ϕ =[, 0], ϕ =, [ ] É possível reconstruir qualquer vetor x como uma expansão x = c k ϕk =c ϕ+ c ϕ? k = Neste caso base dual! x =c ϕ + c ϕ ~ ~ c = x, ϕ =x x ϕ =, = x x + x / 0 ~ ~ c = x, ϕ =x ϕ =[0, ] =[ x x ] [ ] [ ] [ ]
23 Bases biortogonais O conjunto ϕ =[ 0] [ ] ϕ = [ ϕ~ = ] ϕ~=[0 ] Forma um par de bases biortogonais em ℝ. As equações de análise e síntese tornam-se x = c k ϕk =c ϕ+ c ϕ = k = ~ ~ = x, ϕ ϕ + x, ϕ ϕ
24 Bases biortogonais Qualquer conjunto de N vetores pode ser uma base em ℝN. Desde que não sejam colineares paralelos. Para qualquer base, a base dual é única. Condição geral para formação de bases biortogonais? ~ϕ, ϕ =δ i k {, if i =k = i k 0, otherwise } Bi-orthogonality! Bases biortogonais oferecem mais graus de liberdade. Desvantagens: Normas energias dos sinais não são preservadas. Vetores das bases não podem ser unitários! Computações instáveis se vetores da base são quase-colineares.
25 Frames Nos exemplos anteriores sempre usamos N vetores para espaços ℝN. vetores em ℝ, 3 em ℝ3, etc. Mínima informação para reconstrução perfeita BASES de ℝN. Mas, podemos usar mais do que N vetores? Ex.: 3 vetores em ℝ. x= x, ϕ 0 ϕ 0+ x, ϕ ϕ + x, ϕ ϕ his expansion exists if ϕ0, ϕ and ϕ are not collinear.
26 Frames ais conjuntos redundantes {ϕ0, ϕ, ϕ } são frames. Para cada frame há infinitos frames duais que garantem reconstrução perfeita: Dependência linear entre os vetores. Infinitas formas de reconstrução. {ϕ 0, ϕ, ϕ,, ϕ N + K } {ϕ 0, ϕ, ϕ,, ϕ N + K } Como escolher? Crie suas regras! Regularização!
27 Frames Ex.: comece com a base ϕ 0=[ 0] ϕ =[0 ] Adicione outro vetor ϕ = ϕ 0 ϕ =[ ] Como há 3 vetores em ℝ: Linearmente dependentes. A decomposição é redundante. Sobrecompleto podem representar qualquer outro vetor em ℝ.
28 Frames Um possível frame dual é ϕ~0=ϕ 0 + ϕ =[ ] ϕ~ = ϕ =[0 ] ϕ~=ϕ 0=[ 0 ] Nesse caso, a decomposição será: x= x, ϕ 0 ϕ 0+ x, ϕ ϕ + x, ϕ ϕ = = x,ϕ 0+ ϕ ϕ 0 + x, ϕ ϕ + x, ϕ ϕ
29 Frames justos É possível construir um frame de forma a imitar uma base ortogonal? Considere: [ ] [ ] [ ] 0 3 ϕ 0= ϕ = 6 ϕ = 6 Para qualquer vetor em ℝ pode-se verificar que: x= x, ϕ k = x, ϕ 0 ϕ 0+ x, ϕ ϕ + x, ϕ ϕ k=0
30 Frames justos Frames justos: Os mesmos vetores compõem o frame original e seu dual. A norma é preservada conservação da energia. Para isso, as normas dos vetores devem ser menores que no exemplo, /3. Se os vetores forem unitários redundância 3 x, ϕ = x k k =0 3/ é a redundância do frame. Exemplos: FF sobrecompleta, SW, Wpackets, Ridgelets, Curvelets, Contourlets, etc...
31 Matrizes, transformadas e decomposições lineares Matrizes: a a A= a a am am Adição, subtração e igualdade: A= aij m n B= bij m n A+ B= aij + bij m n a n a n = a ij m n amn Multiplicação por escalar: k a k a ka = k a k a k am k am A B= aij bij m n A=B A B= 0 m n aij =bij i, j k a n k a n = k a ij m n k a mn
32 Multiplicação matricial a a Am p B p n= a a am am a p b b a p b b a mp b p b p a b +a b + + a p b p = a b +a b + +a p b p am b +a m b + +a mp b p b n bn b pn a b n +a b n + +a p b pn a b n +a b n+ +a p b pn a m b n +a m b n + +a mp b pn Am p B p n= cij m n= p aik b kj k= m n =C m n
33 Multiplicação matricial e produtos internos a a Am p B p n= a a am am a p b b a p b b a mp b p b p a b +a b + + a p b p = a b +a b + +a p b p am b +a m b + +a mp b p ak, bk b n bn b pn a b n +a b n + +a p b pn a b n +a b n+ +a p b pn a m b n +a m b n + +a mp b pn
34 Multiplicação matricial e produtos internos a a Am p B p n= a a am am a p b b a p b b a mp b p b p a b +a b + + a p b p = a b +a b + +a p b p am b +a m b + +a mp b p ak, bk b n b n ak, bk b pn a b n +a b n + +a p b pn a b n +a b n+ +a p b pn a m b n +a m b n + +a mp b pn
35 Multiplicação matricial e produtos internos a a Am p B p n= a a am am a p b b a p b b a mp b p b p a b +a b + + a p b p = a b +a b + +a p b p am b +a m b + +a mp b p ak, bk b n b n ak, bk b pn ak, b kn a b n +a b n + +a p b pn a b n +a b n+ +a p b pn a m b n +a m b n + +a mp b pn
36 Multiplicação matricial e produtos internos a a Am p B p n= a a am am a p b b a p b b a mp b p b p a b +a b + + a p b p = a b +a b + +a p b p am b +a m b + +a mp b p a k, bk b n bn b pn a b n +a b n + +a p b pn a b n +a b n+ +a p b pn a m b n +a m b n + +a mp b pn
37 Multiplicação matricial e produtos internos a a Am p B p n= a a am am a p b b a p b b a mp b p b p a b +a b + + a p b p = a b +a b + +a p b p am b +a m b + +a mp b p a k, bk b n b n a k, bk b pn a b n +a b n + +a p b pn a b n +a b n+ +a p b pn a m b n +a m b n + +a mp b pn
38 Multiplicação matricial e produtos internos a a Am p B p n= a a am am a p b b a p b b a mp b p b p a b +a b + + a p b p = a b +a b + +a p b p am b +a m b + +a mp b p a k, bk b n b n a k, bk b pn a k, b kn a b n +a b n + +a p b pn a b n +a b n+ +a p b pn a m b n +a m b n + +a mp b pn
39 Multiplicação matricial e produtos internos a a Am p B p n= a a am am a p b b a p b b a mp b p b p a b +a b + + a p b p = a b +a b + +a p b p am b +a m b + +a mp b p a mk, bk b n bn b pn a b n +a b n + +a p b pn a b n +a b n+ +a p b pn a m b n +a m b n + +a mp b pn
40 Multiplicação matricial e produtos internos a a Am p B p n= a a am am a p b b a p b b a mp b p b p a b +a b + + a p b p = a b +a b + +a p b p am b +a m b + +a mp b p a mk, bk b n b n a mk, bk b pn a b n +a b n + +a p b pn a b n +a b n+ +a p b pn a m b n +a m b n + +a mp b pn
41 Multiplicação matricial e produtos internos a a Am p B p n= a a am am a p b b a p b b a mp b p b p a b +a b + + a p b p = a b +a b + +a p b p am b +a m b + +a mp b p a mk, bk b n b n a mk, bk b pn a mk, b kn a b n +a b n + +a p b pn a b n +a b n+ +a p b pn a m b n +a m b n + +a mp b pn
42 Multiplicação matriz-vetor: transformações lineares Vistas como produtos internos a a Am p b p = a a am am a, b a p b a p b = a, b amp b p a m, b p c k = a ki bi, i= k =,,, m Vista como uma combinação linear de vetores a a Am p b p = a a am am p x = bi a ki i= a p b a p b =b amp b p a a +b am a a + + b p am a p a p amp
43 Matrizes transpostas a a Am n= a a am am a n a n a mn ransposed: a a An m= a a a n a n am am amn Hermitian transposed: A H n m * * * * * * a a a m = a a a m * * * a n a n amn
44 Matrizes inversas Considere a matriz quadrada Se então b b B= b b bn bn B= A a a A= a a a n an b n b n = b ij n n b nn a n a n = a ij n n a nn tal que B é a inversa de A. A B=B A=I n n Inversas só são definidas para matrizes quadradas! A é uma matriz não-singular. Cálculo da inversa: Operações em linhas, método da matriz adjunta, método de Cramer, etc...
45 Ranque de uma matriz Para uma matriz genérica a a Am n= a a am am a n a n a mn r A r A A= r Am r Ai, i m Row vectors A= ca ca c An c Ak, k n Column vectors Ranque máximo número de linhas ou colunas linearmente independentes. Ex.: 3 A= Linearmente dependentes, mas: Linearly independent Rank A= 4 r A 0.5 r A + r A 3 =0 ra ra Form a basis for R. Para qualquer matriz Row rank = column rank!
46 ransformadas e sistemas de equações lineares Sistemas lineares conjuntos de equações do tipo: a x + a x + +a n x n=b a x + a x + +a n x n =b a m x +a m x + + amn x n=bm Coefficients n Unknowns m Constants Objetivo: encontre x =[ x, x,, x n ] que satisfaça todas as equações simultaneamente system solution. Se b=[b, b,, b m ] =0 b=[b b, b ] 0,, m Homogeneous. Non-homogeneous.
47 Representação matricial Sistemas lineares podem ser representados na forma matricial: x + 6 x + x 3=7 x + x x 3 = 5 x + 7 x 4 x 3 =9 x 6 7 x = x 3 9 A x =B A solução depende de A e B matriz aumentada! = A B Operações elementares: Multiplicar linha por constante k 0. rocas linhas de lugar. Adicionar uma linha a um múltiplo de outra linha.
48 ipos de soluções { O sistema linear pode ter: Solução única precisa. Infinitas soluções indeterminado. Nenhuma solução inconsistente. Ex.: em R linhas! a x +a x =b a x +a x =b } b a b a x= x a a a a b a x = x a a b a x = x a a Find x for which the two sides are equal! Unique solution x No solution parallel x Infinite solutions identical lines
49 ipos de soluções Exemplo em R3 planos! Com menos de 3 equações sistemas subdeterminados. a x +a x + a3 x 3=b a x + a x + a3 x 3=b Infinitas soluções [ a a a3 a a a3 Sem solução highly unlike ][ ] [ ] x b x = b x3 Matrizes dicionários sobrecompletos
50 ipos de soluções Exemplo em R3 planos! Com exatamente a x +a x +a3 x 3=b 3 equações a x +a x +a 3 x 3 =b a 3 x + a3 x + a33 x 3=b3 No solutions Unique solution Infinite solutions
51 ipos de soluções Exemplo em R3 planes! Com mais de 3 equações sobredeterminados sistemas a x +a x +a3 x 3=b a x +a x +a 3 x 3 =b a m x +a m x + am 3 x 3=bm Unique solution highly unlike Matrizes dicionários subcompletos. Infinite or no solutions
52 Resumindo Para um sistema de equações lineares a x + a x + +a n x n=b a x + a x + +a n x n =b a m x +a m x + + amn x n=bm a a a a am am a n x b a n x = b amn x n bn Am n x n =Bm Sistema homogêneo: Se B=0 Rank A=n Solução única trivial x = 0 Rank A<n Infinitas soluções, [ n Rank A ] parâmetros livres If B 0 Inconsistente, sem solução. Rank A< Rank A B Rank A= Rank A B Rank A=n Solução única. Rank A<n Infinitas soluções [ n Rank A ] parâmetros livres.
53 Referências M. Vetterli, J. Kovacevic, and V. K. Goyal, Foundations of Signal Processing. 04. < J. Kovacevic, V. K. Goyal, and M. Vetterli, Fourier and Wavelet Signal Processing, no. January. 03. < Bronson, R., Costa, G. B. Linear algebra: an introduction. nd ed. Burlington: Elsevier Inc J. Kovacevic and A. Chebira, Life beyond bases: he advent of frames part I, IEEE Signal Process. Mag., vol. 4, no. 4, pp , 007. J. Kovacevic and A. Chebira, Life Beyond Bases: the advent of frames part II, IEEE Signal Process. Mag., vol. 4, no. 5, pp. 5 5, 007.
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