m bala = 10 g; r bala = 1 cm I disco = ½ M R 2 com rotação em torno do seu eixo de simetria I bala = ½ m bala r bala Figura 1

Transcrição

1 Exame simulado de Mecânica e Ondas (MEEC) Prof. Pedro Abreu, Prof. Vasco Guerra Prof. David Resendes, Prof. João Mendanha Dias, Prof a. Maria João Ceboleiro 7 de Julho de 2009 Repetição do primeiro teste: problemas 1 e 2 [ valores] Repetição do segundo teste: problemas 3 e 4 [ valores] Repetição do terceiro teste: problemas 5 e 6 [ valores] Exame: problemas 2, 3 e 6 [( )*2/3 valores] Duração dos Testes: 1h 30m, Duração do Exame: 2h 15m Na primeira página indique o tipo de prova efectuada. 1. O 210-Polónio tem um tempo de semi-vida de dias e decai em 206-chumbo resultando um átomo de 4-hélio (partícula alfa) com elevada energia cinética. Quando inalado, o Polónio é uma das substancias mais perigosas que se conhecem. O polónio serve para manter quentes componentes de satélites, é aplicado em escovas electrostáticas, teve aplicações militares e foi recentemente utilizado para envenenar um ex-espião Russo. Quando ingerido, a dose letal de Polónio é estimada em cerca de 5 nanogramas (ou seja 1.43x10 13 átomos). a) Quantas desintegrações por segundo se podem detectar numa dose letal de 210- Polónio? b) Uma dose segura de 210-Polónio é estimada em cerca de 7 picogramas (2 x10 10 átomos). Quanto tempo é necessário esperar para que uma dose letal se transforme numa dose segura? c) O 210-Polónio também está presente no tabaco. Para além do 210-Polónio também está presente outro isótopo radioactivo, o 210-Chumbo. O 210-Chumbo tem um tempo de semi-vida de 22.3 anos e decai em 210-Bismuto, que por sua vez decai rapidamente para 210-Polónio. i) Considere um fumador que fuma a mesma quantidade diária de uma marca de tabaco, que deposita 30 fg ( g) por dia de 210-Polónio e a mesma quantidade de 210- Chumbo nas paredes dos vasos pulmonares. Determine a evolução com o tempo do 210-Chumbo nos vasos pulmonares do fumador. (sugestão: escreva a equação para a taxa de variação do 210-Chumbo por unidade de tempo, tendo em conta o que é depositado e o que vai decaindo). ii) Suponha agora que o fumador morreu há várias dezenas de anos. Verificou-se que existe ainda uma quantidade apreciável de 210-Polónio nos seus restos mortais. Como explica a presença dessa quantidade de 210-Polónio, lembrando-se que o tempo de vida do 210-Polónio é de apenas dias. Diga qualitativamente como é que poderia usar esta informação para determinar o momento da morte do fumador.

2 2. Uma película de Fluoreto de Magnésio de índice de refracção n =1,25 e espessura d= m, cobre a lente duma máquina fotográfica (com índice de refracção n L = 1,5). Luz incide perpendicularmente à lente e é em parte reflectida logo na superfície, enquanto parte é reflectida na lente (e parte será transmitida), conforme figura. a) Determine a relação entre o comprimento de onda da onda no ar e o comprimento de onda da onda na película. b) Calcule os comprimentos de onda das ondas no ar para as quais a intensidade reflectida é respectivamente máxima e mínima. c) Cai uma gota de óleo de índice de refracção n =1,5 sobre a película cobrindo-a uniformemente. i. Qual o maior comprimento de onda que permite obter a onda reflectida mais intensa (note que será o resultado da soma de 3 ondas)? ii. Qual o maior comprimento de onda que permite obter a onda reflectida menos intensa (note que será o resultado da interferência globalmente destrutiva de 3 ondas)? 3. No laboratório de balística da polícia científica a velocidade dos projécteis é determinada disparando os projécteis contra um alvo de massa M = 5000 kg, suspenso como um pêndulo, em que a bala fica incrustada (ver figura 1). a) Para o projéctil que o laboratório está a estudar a altura máxima atingida pelo conjunto alvo+bala é h = 20 cm. Determine a velocidade do conjunto imediatamente após a bala se incrustar no alvo. b) Determine a velocidade inicial da bala. c) Após a análise do alvo observa-se que a bala está incrustada a 50 cm da superfície do alvo. Determine o trabalho realizado pela força de atrito. d) Uma análise mais detalhada do movimento do projéctil revela que o movimento de rotação em torno do seu eixo de simetria é muito elevado. Disparando o projéctil no centro de um alvo circular de massa M = 0,1 kg, e raio R = 18 cm, que pode rodar em torno do seu eixo de simetria (ver figura 2), e em que o projéctil fica incrustado, observase que após a colisão o alvo roda com frequência f = 0,02 Hz. Determine a frequência de rotação do projéctil. m bala = 10 g; r bala = 1 cm I disco = ½ M R 2 com rotação em torno do seu eixo de simetria I bala = ½ m bala r bala 2 Figura 1

3 4. Os astrónomos descobriram um novo asteróide, que se move em torno do Sol, numa órbita circular com um período de 5 anos. a) Qual a distância a que o asteróide se encontra do Sol, expressa em U.A. (distância Terra-Sol)? b) Um satélite é lançado para estudar a composição do asteróide (M a* = M sol ). O satélite é colocado em órbita circular a uma distância segura do centro do asteróide d a* = 10 km. Determine o período do movimento do satélite em torno do asteróide. c) Uma explosão liberta um pedaço do asteróide que é lançado com velocidade v = 30 km/s. Sabendo que não cai no Sol, mostre que o pedaço de asteróide libertado não fica em órbita fechada em torno do Sol (se não resolveu a alínea a) assuma que a distância do asteróide à Terra é 3 U.A.). d) Como é que o movimento do satélite é afectado pela perda de massa do asteróide? G ~ 6, m 3 s -2 kg -1 1 U.A. ~ 1, m M sol ~ kg

4 5. Um Estudante de M.E.E.C. com 80 kg de peso sobe para a sua 2-rodas Kava Electric K32W (320 kg de peso), baixando a mota em 4 cm. Considere a suspensão independente constituída por uma simples mola em cada roda, acoplada a um amortecedor com coeficiente de amortecimento λ = 3.0 s -1 (exercendo uma força de atrito contrária à velocidade dy/dt, F at = 1200dy/dt). Considere também que o peso total está igualmente distribuído pelas duas rodas [note que não é legal fazer cavalinhos ], e se precisar utilize para o comprimento de equilíbrio das molas o valor l 0 =1 m. a) Qual a constante das molas? b) Mostre que a equação do movimento vertical para pequenas oscilações do banco traseiro em torno do ponto de equilíbrio do sistema (y = 0), considerando que a mola e amortecedor traseiros suportam o peso de metade da mota e do Estudante, e desprezando a ligação entre as duas metades, se pode escrever: y + 6y + 49y = 0 [Sugestão: comece por escrever o Lagrangeano do sistema considerando o nível da Energia Potencial gravítica igual a zero no ponto de equilíbrio do sistema] c) Qual a frequência angular de oscilação natural do sistema? d) O Estudante participa numa prova de trial, em que a estrada tem lombas espaçadas duma distância constante e igual a 20 m. Qual a velocidade a evitar para não maximizar os danos na suspensão do motociclo? e) Na realidade, o amortecedor ideal seria aquele que não permitiria qualquer oscilação do banco. Qual o valor mínimo da respectiva constante de amortecimento λ para que as molas não chegassem a oscilar?

5 6. Uma civilização avançada desenvolveu uma poderosa arma de anti-matéria (e + ), que consiste num feixe de positrões (e + ) com velocidade v = 0,99 c. Como defesa para esta arma os aceleradores de partículas da Terra disparam feixes de electrões (e - ), como resposta aos feixes de anti-matéria. a) Sabendo que as naves inimigas se aproximam da Terra com v nave = 0,95 c, determine qual é a velocidade do feixe de anti-matéria no referencial da Terra. b) Quando o feixe de matéria e anti-matéria colidem, libertam-se fotões de acordo com a reacção e + + e - γ+γ, libertando-se dois fotões que se movem em direcções opostas. Supondo que as direcções dos fotões produzidos são colineares com as direcções dos feixes, e que as velocidades dos dois feixes, no referencial da Terra, são simétricas e têm o valor calculado na alínea anterior (se não resolveu a alínea anterior, use v 2 =0,9999 c 2 ), b1) determine a energia dos fotões libertados; b2) represente num diagrama espaço-tempo, no referencial da Terra, a trajectória de um positrão e de um electrão disparados simultaneamente quando a nave se encontrava a uma distância da Terra de km, e dos fotões resultantes, determinando a posição no diagrama espaço-tempo do evento A (colisão e- e+) e do evento B (chegada de um dos fotões à Terra). b3) refaça a alínea b2) no referencial próprio do comandante da nave inimiga c = m/s ~ m/s m e- = m e+ = 9, kg = ev/c 2.