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Transcrição

1 VERSÃO PRÉVIA: Por favor, visite para acessar recursos extras e para comprar este livro na íntegra.

2 O INCRÍVEL LIVRO DOS ENIGMAS DA com inspiração e contribuições da comunidade SEED

3 ÍNDICE RACIOCÍNIO ALGÉBRICO PROBABILIDADE TOPOLOGIA LÓGICA SENSO NUMÉRICO GEOMETRIA E RACIOCÍNIO ESPACIAL COMBINATÓRIA ARITMÉTICA MISCELÂNEA SOLUÇÕES LISTA DE ENIGMAS

4 O QUE FAZ UM ENIGMA MATEMÁTICO TÃO DIVERTIDO?

5 A busca para solucionar um problema que parece insolúvel em um primeiro momento? A noção de que existe um truque por trás do enigma, com uma resposta muito menos óbvia que a que você pensou? O momento em que você percebe que talvez exista mais de uma resposta? Ou talvez o divertido é quando você encontra a resposta certa, sente-se orgulhoso, surpreso e com um grande sentimento de satisfação própria porque resolveu o problema. Independentemente de qual for o seu caso, existe um enigma matemático para todo mundo! O Site do SEED começou a apresentar enigmas matemáticos mensais em À medida que os enigmas se acumulavam, outros eram adicionados por colaboradores voluntários, anos e 83 enigmas, estamos publicando essa coleção como um livro. Os enigmas que você está prestes a realizar encorajam diversas soluções e investigações posteriores e ainda podem inspirá-lo a criar mais enigmas. Fazer novas perguntas é mais importante que encontrar a resposta. E qual é a melhor maneira de dar sequência a essa ideia que escrever mais enigmas e compartilhá-los com outros? Pode ser que você se torne o autor do próximo enigma matemático do SEED Portanto, pegue um lápis, vire a página, e prepare-se para o Seus amigos no SEED 2

6 LÓGICA Um Hotel de Barbada? Este enigma foi enviado por Diego Reyes. Três funcionários da Schlumberger, após um dia de trabalho em um local distante, chegaram a um hotel para passar a noite. Eles foram à recepção e pediram três quartos. O recepcionista ofereceu a eles três quartos a US$10 por quarto. Os colegas da Schlumberger pagaram US$10 cada (US$30 no total) e foram dormir. Mais tarde, o recepcionista procurou a gerente do hotel e contou-lhe sobre os hóspedes recém-chegados. A gerente lembrou o recepcionista de que o hotel tinha uma tarifa especial para os funcionários da Schlumberger e que ele deveria cobrar somente US$25 no total para os três quartos. Na manhã seguinte, quando os hóspedes foram acertar as contas, o recepcionista lembrou da alteração na tarifa e devolveu cinco dólares de troco da conta aos funcionários; cada um pegou US$1 e deixaram US$2 como gorjeta ao recepcionista. RESUMINDO Cada funcionário pagou US$10. Cada funcionário recebeu US$1 como troco, de forma pagou apenas US$9. 1 1? No total, eles pagaram US$27, ou seja, 3 vezes US$9. Somando os US$2 da gorjeta, o total é de US$29. Mas os funcionários da Schlumberger pagaram um total de US$30. Onde está o dinheiro que está faltando? A solução está na página

7 LÓGICA A Quantidade Certa de Água Você é capaz de medir exatamente 4 litros de água? Você tem três garrafões grandes com capacidades para 3, 5 e 8 litros. O garrafão de 8 litros está cheio de água. Sua tarefa é medir exatamente 4 litros de água. Você não possui outros recipientes para trabalhar, e os recipientes não estão marcados, indicando as frações. Você pode despejar a água de um recipiente em outro recipiente quantas vezes quiser, e desprezar a água que estiver em excesso. Você encontrará este e muitos outros grandes enigmas matemáticos no website Jogos Matemáticos para Crianças CTK (CTK Math Games for Kids). Elabore alguns enigmas como este e envie-os com suas soluções. Nós os publicaremos no website da SEED. Veja a solução na página

8 ENIGMAS MATEMÁTICOS DO SEED Encontre a Bola Pesada Você consegue reproduzir a experiência de Galileu? Uma variação deste enigma pode ser encontrada no livro Meus Melhores Problemas Matemáticos e de Lógica (My Best Mathematical and Logic Puzzles), de Martin Gardner. Leo Galley quer reproduzir a famosa experiência na qual Galileu jogou duas bolas mesma velocidade. Você pode conferir essa experiência, chamada Galileu Joga a Bola, no Centro de Ciências da SEED. Leo tem nove bolas, todas do mesmo tamanho. Embora todas pareçam iguais, ele sabe que uma delas é mais pesada do que as demais. Ele quer levar a mais pesada, juntamente com uma das outras, até o topo da Torre de Pisa, e jogar ambas de lá de cima. Ele tem uma balança para comparar o peso das bolas. Qual é o menor número de pesagens necessário para ele encontrar a bola pesada? A solução está na página

9 LÓGICA Pedindo Informações Qual é o número mínimo de perguntas a serem feitas para chegar ao farol? Este enigma foi sugerido por Lawrence Lee. À primeira vista, ele parece semelhante ao enigma Dizendo a Verdade, porém, após uma observação mais detalhada, na realidade não é (e isso é uma dica de como resolvê-lo). Na costa da Seedônia há uma ilha rochosa plana chamada Brighton, na qual só crescem capim e líquen. A ilha tem uma área aproximada de 2 hectares. Sobre a ilha existe somente uma estrutura: um farol de pedra com 75 metros de altura. Um turista da ilha queria visitar o farol, e partiu em direção a ele. Logo ele chegou a uma encruzilhada com quatro caminhos e não sabia qual deles tomar. Mas a agência de turismo já o havia avisado de que ele encontraria quatro moradores da ilha, cada um parado em uma das quatro estradas. Ele poderia pedir informações sobre como chegar ao farol. Infelizmente, essas pessoas não falam a verdade o tempo todo. Uma sempre fala a verdade. Outra sempre mente. A terceira sempre fala a verdade quando responde à primeira pergunta feita, mas, depois, ela falará a verdade se a resposta à pergunta anterior, feita a qualquer uma das quatro pessoas, tiver sido verdadeira, mas mentirá se a resposta anterior tiver sido falsa. A quarta pessoa sempre mente ao responder à primeira pergunta feita, porém, assim como a terceira pessoa, responde às perguntas subsequentes com a mesma honestidade que a pessoa que respondeu à pergunta anterior feita pelo viajante. Qual o número mínimo de perguntas a serem feitas para ele conseguir chegar ao farol? 45

10 LÓGICA A escolha do trem Este enigma foi sugerido por Martin Gardner, no livro Meus Melhores Problemas Matemáticos e de Lógica. O Sr. Tsuru diariamente toma um trem para ir de sua casa até o escritório onde trabalha, no centro da cidade. Os trens vão e voltam pela linha que vai da estação cinza, em uma extremidade, até a estação rosa, na outra ponta. Existem dezenas de estações no caminho. Aqui mostramos apenas cinco. O Sr. Tsuru trabalha perto entre a estação vermelha e a estação amarela, então ele pode usar qualquer uma das duas para chegar em casa no mesmo tempo. Os trens atravessam constantemente a estação azul nos dois sentidos. Então, ao sair do trabalho, o Sr. Tsuru pode tomar o trem em qualquer direção. O que ele costuma fazer é tomar o trem que chega primeiro, independentemente de sua direção. Se o trem estiver indo em uma direção, ele irá parar na estação vermelha. Se estiver indo na direção contrária, irá parar na estação amarela. Em cada direção, o intervalo entre os trens é de exatamente 10 minutos. O Sr. Tsuru trabalha em horários bastante irregulares, então a hora em que ele sai do trabalho varia muito, e a hora em que chega na estação azul é essencialmente aleatória. Ele pensa que vai para casa via estação vermelha metade das vezes e via estação amarela na outra metade. Porém, depois de vários meses, ele descobre que está usando a estação vermelha cerca de 90% das vezes. Como isso é possível? Descubra a solução para este enigma na página

11 ENIGMAS MATEMÁTICOS DO SEED 6 11 Medindo Exatamente 8 Litros de Água Você é capaz de medir exatamente 8 litros de água sem usar um balde de 8 litros? Este enigma é semelhante ao problema A Quantidade Certa de Água, que também foi sugerido no website Jogos Matemáticos para Crianças CTK (CTK Math Games for Kids). Agora você tem dois baldes vazios. Um tem uma capacidade de 6 litros. No outro cabem exatamente 11 litros. Sua tarefa é ir até um lago e voltar com exatamente 8 litros de água. Como você faz isso? Elabore alguns enigmas como este e envie-os com suas soluções. Nós os publicaremos no website da SEED. A solução está na página

12 ENIGMAS MATEMÁTICOS DO SEED O Problema das Linhas Eis aqui duas maneiras de resolver este enigma. Você consegue encontrar outra solução? Esta solução foi enviada por Raymundo de Jesus. Árvores em Fila Eis uma maneira de resolver o enigma: Seis filas, três árvores por fila. Qual Bicicleta está Livre? Para ajudar a resolver este enigma, nós desenhamos um diagrama. Simplificando, desenhamos as bicicletas como sendo círculos e o poste como um ponto cinza. Percebemos que não era necessário acorrentar todas as bicicletas, como descrito no enigma, e então remover duas das correntes. A única informação importante é quais bicicletas ficaram presas na corrente de Bart. O que Omar e Chang fizeram é uma informação desnecessária, uma vez que no final eles removeram suas correntes. Já que Bart acorrentou sua bicicleta ao poste e à bicicleta de Chang, as duas bicicletas permaneceram presas. A bicicleta de Omar ficou livre. LÓGICA SOLUÇÕES Um Hotel de Barbada? Não falta dinheiro algum. O enigma é apresentado de forma a confundir você, fazendo-o pensar que um dólar desapareceu. Na verdade, todo o dinheiro pode ser contabilizado. Veja duas maneiras de analisar a situação para ver se nada está faltando. Ao examinarmos estes dois pontos de vista juntos, poderemos ver como o criador do enigma nos enganou. 1. Acompanhe os US$30 originais. Os hóspedes entram no hotel com US$30. Vamos ver para onde esse dinheiro vai em cada etapa do enigma. Existem três lugares onde o dinheiro pode estar: nas mãos dos hóspedes, no caixa do hotel ou no bolso do recepcionista. Esta tabela rastreia a movimentação do dinheiro: Onde está o Dinheiro? O que os hóspedes têm Quantia no caixa do hotel Quantia no bolso do recepcionista 1. Inicialmente US$30 US$0 US$0 2. No check-in US$0 US$30 US$0 3. Depois do reembolso de US$5 4. Depois que os hóspedes dão a gorjeta ao recepcionista US$5 US$25 US$0 US$3 US$25 US$2 Em cada etapa, some o que os hóspedes têm, mais a quantia no caixa do hotel, mais a quantia no bolso do recepcionista. O resultado é sempre US$30. Nada está faltando. 140

13 SOLUÇÕES 2. Acompanhe o que os hóspedes gastaram em cada etapa O que os hóspedes gastaram 1. Inicialmente US$0 2. No check-in US$30 3. Depois do reembolso de US$5 US$ Depois que os hóspedes dão a gorjeta ao recepcionista US$27 Os valores podem ser perfeitamente somados. Os hóspedes gastaram US$10 cada quando fizeram o check in, mas, como cada um recebeu um reembolso de US$1, no final eles gastaram US$27 no total. Desse total, US$25 foram para o hotel e US$2 para o recepcionista. O enigma é apresentado de modo a fazê-lo se concentrar nos US$30 originais (nossa primeira abordagem), mas depois muda o foco para acompanhar o que foi gasto, como nossa segunda abordagem. Mas o total gasto é US$27, e o enigma apresenta o total como US$29. Qual é a explicação para essa diferença? O enigma dá a entender que a gorjeta de US$2 veio dos hóspedes, mas, na verdade, veio do reembolso dos US$5. Então, o total gasto na verdade foi US$27, dos quais US$25 foram para o hotel e US$2 para o recepcionista. Cuidado com as pegadinhas! Medindo Exatamente 8 Litros de Água Para mostrar nossa solução de forma mais clara, utilizamos recipientes transparentes com marcações de litros no lugar dos baldes (1). Vamos começar enchendo o recipiente de 11 litros no lago (2) Depois, despejamos o conteúdo do recipiente de 11 litros no recipiente de 6 litros até que ele esteja cheio, deixando os cinco litros restantes no recipiente maior (3). Agora, despejamos o conteúdo do recipiente menor de volta no lago (4) e despejamos os 5 litros do recipiente maior no recipiente menor (5). Agora, enchemos novamente o recipiente maior no lago (6). Em seguida, despejamos o maior volume possível do recipiente maior dentro do recipiente menor. Isso enche o recipiente menor e deixa 10 litros no recipiente maior (7) Então, despejamos o conteúdo do recipiente menor de volta no lago (8) e despejamos o maior volume possível do recipiente maior no recipiente menor. Isso deixa 4 litros no recipiente maior (9) Depois, despejamos o conteúdo do recipiente de 6 litros de volta no lago (10) e despejamos o conteúdo do recipiente maior no recipiente menor (11). Vamos encher novamente o recipiente de 11 litros no lago (12) 19. e despejamos o maior volume possível do recipiente maior no recipiente menor (13). Despejamos o conteúdo do recipiente de 6 litros de volta no lago (14) 141

14 ENIGMAS MATEMÁTICOS DO SEED e despejamos o maior volume possível do recipiente maior no recipiente menor (15). E novamente despejamos o conteúdo do recipiente de 6 litros de volta no lago (16) e transferimos o conteúdo do recipiente maior para o recipiente menor (17). O diâmetro é duas vezes o raio, ou seja, um pouco menos de 160 metros. Assim, a distância de um lado da ilha para o outro é de menos de 160 metros. Como não há árvores, arbustos e nenhuma outra construção além do farol de 75 metros de altura, deve ser possível avistá-lo de qualquer lugar da ilha. Você não precisa pedir orientações. Enchemos mais uma vez o recipiente de 11 litros no lago (18). Por fim, despejamos o maior volume possível do recipiente de 11 litros no recipiente de 6 litros. Isso deixa 8 litros no recipiente maior (19). Pronto. É hora de ir para casa. Este é um processo repetitivo. Enquanto buscávamos os 8 litros, tivemos em nossas mãos 10 e 9 litros. Também poderíamos continuar até obtermos 7 litros. No percurso, também isolamos 5, 4 e 3 litros. Na verdade, com o método descrito acima podemos medir qualquer número inteiro de litros, de 1 a 11. Ele também funciona para outras combinações de recipientes, não apenas para 6 e 11 litros. O segredo é que as quantidades devem ser números mutuamente primos: Os números são considerados mutuamente primos quando não existe outro número, além de 1, que possa ser dividido uniformemente entre os dois. Por exemplo, 7 e 12 são mutuamente primos. Assim como 4 e 9. Encontre a Bola Pesada Leo consegue fazer isso em duas pesagens. Veja como: 1. Pegue três bolas quaisquer e pese-as ao lado de três outras quaisquer. Existem dois resultados possíveis: A. os pesos são iguais B. os pesos não são iguais Vamos ver primeiro a possibilidade A. Se as três bolas de um lado tiverem o mesmo peso das três bolas do outro, então a bola pesada deve estar entre as três bolas que ficaram de fora da balança. Então, na próxima etapa: 2. Pegue as seis bolas que foram para a balança na etapa 1 e coloque-as de lado. Pegue duas das três bolas restantes e coloque uma de cada lado da balança. Se o peso for igual, a terceira bola será a bola pesada. Se o peso for diferente, você saberá qual a mais pesada. Agora, vamos voltar para a Etapa 1 e analisar a possibilidade B. Nesse caso, pegue as três bolas que foram mais pesadas e conduza a Etapa 2 com elas. De qualquer forma, são necessárias apenas duas pesagens para encontrar a bola pesada entre as nove. Leo pode agora subir a torre e jogar as duas bolas. Naturalmente, ele se preocupa muito com a segurança e vai verificar se não há ninguém lá embaixo antes de jogar as bolas. Pedindo Informações Isso é uma pegadinha. Você não precisa fazer nenhuma pergunta para encontrar o farol. Nós lhe demos todas as informações sobre a honestidade dos habitantes de Brighton apenas para distraí-lo. As outras informações sobre a ilha de Brighton são o que importa. Primeiro, a área da ilha é de 2 hectares, ou metros quadrados. Como a ilha é quase redonda, podemos determinar seu diâmetro aproximado usando a fórmula para a área de um círculo: A = x r² onde r é o raio e = 3, = 3,14 x r² / 3,14 = r² = r² r = 79,8 m A escolha do trem Nós dissemos que os intervalos entre os trens em cada direção eram de dez minutos, mas não dissemos como esses intervalos se sobrepunham. Uma possibilidade seria que os trens de cada direção chegassem simultaneamente. Então, dez minutos depois, dois outros trens chegariam simultaneamente, um em cada direção. Nesse caso, o Sr. Tsuru teria dificuldade para escolher. Outra possibilidade seria que a cada cinco minutos chegasse um trem, primeiro em uma direção, depois na outra, novamente na primeira direção, e assim por diante. Com esses intervalos, o Sr. Tsuru, chegando à estação em um horário aleatório, teria a mesma probabilidade de ir em uma ou outra direção. Mas, e se chegasse um trem rumo à estação vermelha e, um minuto depois, chegasse outro trem rumo à estação amarela? Então, nove minutos depois, um trem chegaria à estação vermelha. Isso dá dez minutos após o primeiro trem rumo à estação vermelha. Então, um minuto depois, chegaria um trem rumo à estação amarela. Isso dá dez minutos após o primeiro trem rumo à estação amarela. Portanto, em cada direção, o intervalo é de dez minutos, conforme dissemos, mas, em nove de cada dez minutos, o próximo trem será rumo à estação vermelha. Com esse intervalo, o Sr. Tsuru irá usar a estação vermelha para ir para casa 90% das vezes. A Quantidade Certa de Água Solução de Patrick Huseneau Vamos nomear os garrafões: A = 3 L B = 5 L C = 8 L Vamos começar com o garrafão C, de 8 litros, enquanto os garrafões A e B estão vazios: A = 0 B = 0 C = 8 Para solucionar esse enigma, faça o seguinte: 1. Despeje o conteúdo de C em A. Estado: A = 3, B = 0, C = 5 2. Despeje o conteúdo de A em B. Estado: A = 0, B = 3, C = 5 3. Despeje o conteúdo de C em A, de forma que A = 3, B = 3, C = 2. Já fizemos metade do trabalho, e até agora não houve desperdício do precioso líquido. 4. Despeje o conteúdo de A em B e use o litro restante para alguma outra coisa. Estado: A = 0, B = 5, C = 2 5. Despeje o conteúdo de B em A. Estado: A = 3, B = 2, C = 2 6. Despeje o conteúdo de B em C ou de C em B para obter 4 litros. Estado: A = 3, B = 4, C = 0 Pronto! 142

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