Lógica de Primeira Ordem. Capítulo 8

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1 Lógica de Primeira Ordem Capítulo 8

2 Sumário Necessidade da Lógica de Primeira Ordem (LPO) Sintaxe e Semântica da LPO Uso da LPO Mundo do Wumpus em LPO Engenharia do Conhecimento em LPO

3 Prós e Contras da Lógica Proposicional Lógica proposicional é declarativa Lógica proposicional permite informação parcial / disjuntiva / negada Ao contrário de muitas estruturas de dados e bases de dados Lógica proposicional é composta Significado de B 1,1 P 1,2 é derivado do significado de B 1,1 e de P 1,2 Significado em lógica proposicional é independente do contexto Ao contrário da linguagem natural, onde o significado depende do contexto Lógica proposicional tem poder de expressividade limitado Ao contrário da linguagem natural E.g., não se pode dizer "pits provocam bom cheiro em posições adjacentes Excepto se escrevermos uma frease para cada posição

4 Lógica de Primeira Ordem Enquanto que a lógica proposicional assume que o mundo contém factos A lógica de primeira ordem (tal como a linguagem natural) assume que o mundo contém: Objectos: pessoas, casas, números, cores, jogos de baseball, guerras, Relações: vermelho, redondo, par, irmão de, maior do que, parte de, está entre, Funções: pai de, melhor amigo, incremento, soma,

5 Sintaxe LPO: elementos básicos Constantes ReiJoao, 2,... Predicados Irmaos, >,... Funções Raiz, PernaEsquerdaDe,... Variáveis x, y, a, b,... Conectivas,,,, Igualdade = Quantificadores,

6 Modelos para LPO: Exemplo Modelos são mundos possíveis

7 Modelos para LPO: Exemplo Constantes RicardoCoracaoLeao, ReiJoao, PernaEsqDeRicardoCoracaoLeao, PernaEsqDeReiJoao, Coroa Predicados Aridade=2 Irmãos: (RicardoCoracaoLeao, ReiJoao), (ReiJoao, RicardoCoracaoLeao) NaCabeca: (Coroa, ReiJoao) Aridade=1 Pessoa: (RicardoCoracaoLeao),(ReiJoao) Rei: (ReiJoao) ECoroa: (Coroa) Funções PernaEsqDe: (RicardoCoracaoLeao,PernaEsqDeRicardoCoracaoLeao), (ReiJoao,PernaEsqDeReiJoao), (PernaEsqDeRicardoCoracaoLeao,INV), (PernaEsqDeReiJoao,INV), (Coroa,INV) INV é uma perna invisível! Funções em LPO são totais, i.e. estão definidas para todos os objectos

8 Frases Atómicas FraseAtómica Predicado(Termo,...) Termo = Termo Termo Função(Termo, ) Constante Variável E.g. PernaEsqDe(ReiJoao) Irmãos(ReiJoao,RicardoCoracaoLeao) >(Comprimento(PernaEsqDe(RicardoCoracaoLeao)), Comprimento(PernaEsqDe(ReiJoao))) Pai(ReiJoao) = Henrique

9 Frases Complexas FraseComplexa FraseAtómica (FraseComplexa Conectiva FraseComplexa) Quantificador Variável, FraseComplexa FraseComplexa Conectiva Quantificador

10 Frases Complexas Exemplos Irmãos(ReiJoao,RicardoCoracaoLeao) Irmãos(RicardoCoracaoLeao,ReiLeao) Irmãos(PernaEsqDe(RicardoCoracaoLeao), ReiJoao) x,y Irmãos(x,y) Irmãos(y,x)

11 Verdade em LPO Frases são verdadeiras em relação a um modelo/conceptualização e uma interpretação Modelo contém objectos (elementos do domínio) e relações entre eles Interpretação especifica referências para Símbolos de constante objectos Símbolos de predicado relações Símbolos de função relações funcionais Uma frase atómica com a forma predicado(termo 1,...,termo n ) é verdadeira sse os objectos referidos por termo 1,...,termo n pertencem à relação referida pelo predicado

12 Quantificador Universal <variáveis> <frase> Todos os reis são pessoas: x Rei(x) Pessoa(x) x P é verdadeiro num modelo m sse P é verdadeiro para x em que x são todos os objectos existente no modelo m Por outras palavras, é equivalente à conjunção de instanciações de P... Rei(ReiJoao) Pessoa(ReiJoao) Rei(RicardoCoracaoLeao) Pessoa(RicardoCoracaoLeao) Rei(PernaEsqDeRicardoCoracaoLeao) Pessoa(PernaEsqDeRicardoCoracaoLeao)

13 Erro comum a evitar Tipicamente, é a principal conectiva usada com Erro comum: usar como conectiva com : x Rei(x) Pessoa(x) significa Todos são reis e são pessoas

14 Quantificador Existencial <variáveis> <frase> O Rei João tem uma coroa na cabeça: x ECoroa(x) NaCabeca(x,ReiJoao) x P é verdadeiro num modelo m sse P é verdadeiro para x em que x é um objecto existente no modelo m Por outras palavras, é equivalente à disjunção das instanciações de P ECoroa(ReiJoao) NaCabeca(ReiJoao,ReiJoao) ECoroa(RicardoCoracaoLeao) NaCabeca(RicardoCoracaoLeao,ReiJoao)... ECoroa(Coroa) NaCabeca(Coroa,ReiJoao)...

15 Outro erro comum a evitar Tipicamente, é a principal conectiva usada com Erro comum: usar como conectiva com : x ECoroa(x) NaCabeca(x,ReiJoao) é verdadeiro se não existe nenhuma coroa!

16 Propriedades dos quantificadores x y é o mesmo que y x x y é o mesmo que y x x y não é o mesmo que y x Exº para o domínio das pessoas: x y Gosta(x,y) Existe alguém que gosta de todas as pessoas y x Gosta(x,y) Todas as pessoas têm alguém que gosta de delas Dualidade dos quantificadores: cada quantificador pode ser expresso usando o outro quantificador x Gosta(x,Gelado) x Gosta(x,Gelado) x Gosta(x,Bróculos) x Gosta(x,Bróculos)

17 Igualdade termo 1 = termo 2 é verdadeiro para uma dada interpretação se e só se termo 1 e termo 2 se referem ao mesmo objecto Pai(ReiJoao) = Henrique E.g. para uma frase complexa Ricardo Coração de Leão tem pelo menos dois irmãos x,y Irmao(x,RicardoCoracaoLeao) Irmao(y,RicardoCoracaoLeao) (x = y)

18 Uso da LPO Domínio do Reino: Irmãos são parentes x,y Irmãos(x,y) Parentes(x,y) A mãe é o elemento feminino dos progenitores m,c Mãe(c) = m (Feminino(m) Progenitor(m,c)) Parentesco é uma relação simétrica x,y Parentes(x,y) Parentes(y,x)

19 Uso da LPO: n os naturais (Axiomas de Peano) NumNat(0) n NumNat(n) NumNat(Suc(n)) n 0 Suc(n) m,n m n S(m) S(n) m NumNat(m) Soma(0,m) = m m,n NumNat(m) NumNat(n) Soma(Suc(m),n) = Suc(Soma(m,n))

20 Uso da LPO: conjuntos Domínio dos conjuntos: c Conj(c) (c = {}) ( x,c2 Conj(c 2 ) c = {x c 2 }) x,c {x c} = {} x,c x c c = {x c} x,c x c [ y,c2 (c = {y c 2 } (x = y x c 2 ))] c1,c2 c 1 c 2 ( x x c 1 x c 2 ) c1,c2 (c 1 = c 2 ) (c 1 c 2 c 2 c 1 ) x,c1,c2 x (c 1 c 2 ) (x c 1 x c 2 ) x,c1,c2 x (c 1 c 2 ) (x c 1 x c 2 ) {x c} equivale a {x} c

21 Mundo do Wumpus Considere-se um agente no mundo do wumpus que usa uma BC em LPO e recebe uma percepção no instante t=5: Diz(BC,Percepção([CheiraMal,CheiraBem,Brilho],5)) Existe alguma acção que é consequência lógica para a BC para t=5? Pergunta(BC, a MelhorAcção(a,5)) Resposta: Sim, {a/agarrar} substituição Dada uma frase F e uma substituição σ, Fσ denota o resultado de substituir σ em F F = MelhorAluno(x,y) σ = {x/maria,y/horácio} Fσ = MelhorAluno(Maria,Horácio) Pergunta(BC,F) devolve algum/todos σ tal que BC σ

22 Base de Conhecimento para mundo do wumpus Percepção t,s,b Percepção([m,b,Brilho],t) Brilho(t) Reflexo t Brilho(t) MelhorAcção(Agarrar,t)

23 Dedução de propriedades x,y,a,b Adjacente([x,y],[a,b]) [a,b] {[x+1,y], [x-1,y],[x,y+1],[x,y-1]} Propriedades das posições: s,t Em(Agente,s,t) CheiraBem(t) CheiraBem(s) Posições cheiram bem junto a pit: Regra de diagnóstico - inferir causas a partir de efeitos s CheiraBem(s) r [Adjacente(r,s) Pit(r)] Regra causal inferir efeito a partir da causa r Pit(r) [ s Adjacente(r,s) CheiraBem(s)] s [ r Adjacente(r,s) Pit(r)] CheiraBem(s)

24 Engenharia do Conhecimento em LPO 1. Identificar a tarefa 2. Aquisição de conhecimento 3. Escolha do vocabulário: predicados, funções e constantes ontologia do domínio 4. Especificar conhecimento geral sobre o domínio (axiomas), eventualmente com necessidade de reiterar algum dos pontos anteriores 5. Especificar conhecimento específico sobre o domínio 6. Colocar questões ao mecanismo de inferência (e obter respostas) 7. Fazer debug da base de conhecimento

25 Domínio dos circuitos electrónicos Adicionador para um bit (one-bit full adder)

26 Domínio dos circuitos electrónicos 1. Identificar a tarefa Análise da funcionalidade do circuito 2. Aquisição de conhecimento Circuito é composto por portas, entradas e saídas; tipo de portas: AND, OR, XOR, NOT Irrelevante: dimensão, forma, cor, custo das portas 3. Escolher vocabulário Alternativas: Tipo(X 1 ) = XOR Ligados(Out(1,X 1 ), In(1,X 2 )) Tipo(X 1, XOR) Sinal(In(1, X 1 )) XOR(X 1 )

27 Domínio dos circuitos electrónicos 4. Codificar conhecimento genérico do domínio Elementos ligados têm o mesmo sinal t 1,t 2 Ligados(t 1, t 2 ) Sinal(t 1 ) = Sinal(t 2 ) Cada elemento tem um e um só sinal t Sinal(t) = 1 Sinal(t) = Ligados é um predicado comutativo t 1,t 2 Ligados(t 1, t 2 ) Ligados(t 2, t 1 )

28 Domínio dos circuitos electrónicos 4. Conhecimento genérico do domínio (cont.) OR tem saída 1 sse pelo menos uma entrada é 1 g Tipo(g) = OR (Sinal(Out(1,g)) = 1 n Sinal(In(n,g)) = 1) AND tem saída 0 sse pelo menos uma entrada é 0 g Tipo(g) = AND (Sinal(Out(1,g)) = 0 n Sinal(In(n,g)) = 0) XOR tem saída 1 sse entradas são diferentes g Tipo(g) = XOR (Sinal(Out(1,g)) = 1 Sinal(In(1,g)) Sinal(In(2,g))) Saída do NOT é diferente da entrada g Tipo(g) = NOT (Sinal(Out(1,g)) Sinal(In(1,g)))

29 Domínio dos circuitos electrónicos 5. Conhecimento específico: instância do problema Tipo(X 1 ) = XOR Tipo(A 1 ) = AND Tipo(O 1 ) = OR Tipo(X 2 ) = XOR Tipo(A 2 ) = AND Ligados(Out(1,X 1 ),In(1,X 2 )) Ligados(In(1,C 1 ),In(1,X 1 )) Ligados(Out(1,X 1 ),In(2,A 2 )) Ligados(In(1,C 1 ),In(1,A 1 )) Ligados(Out(1,A 2 ),In(1,O 1 )) Ligados(In(2,C 1 ),In(2,X 1 )) Ligados(Out(1,A 1 ),In(2,O 1 )) Ligados(In(2,C 1 ),In(2,A 1 )) Ligados(Out(1,X 2 ),Out(1,C 1 )) Ligados(In(3,C 1 ),In(2,X 2 )) Ligados(Out(1,O 1 ),Out(2,C 1 )) Ligados(In(3,C 1 ),In(1,A 2 ))

30 Domínio dos circuitos electrónicos 6. Colocar questões ao motor de inferência Que combinações de entradas podem fazer com que o 1 =0 e o 2 =1? i 1,i 2,i 3,o 1,o 2 Sinal(In(1,C 1 )) = i 1 Sinal(In(2,C 1 )) = i 2 Sinal(In(3,C 1 )) = i 3 Sinal(Out(1,C 1 )) = 0 Sinal(Out(2,C 1 )) = 1 Soluções possíveis: {i 1 /1,i 2 /1,i 3 /0}, {i 1 /1,i 2 /0,i 3 /1}, {i 1 /0,i 2 /1,i 3 /1} 7. Fazer debug da base de conhecimento Possibilidade de ter omitido asserções e.g. 1 0

31 Sumário Lógica de Primeira Ordem Objectos e relações são primitivas semânticas Sintaxe: constantes, funções, predicados, igualdade, quantificadores Maior poder expressivo vs. Lógica Proposicional Suficiente para definir o mundo do wumpus