Sistemas Dedutivos Lógica de 1ª. Ordem (LPO)

Transcrição

1 Sistemas Dedutivos Lógica de 1ª. Ordem (LPO) UTFPR/Curitiba Prof. Cesar A. Tacla 28/03/ :51

2 MÉTODO DE PROVA POR RESOLUÇÃO

3 Plano Resolução em LPO método de prova por refutação (como em LP) Reduzir a resolução em LPO à resolução em LP pela: Eliminação/instanciação do universal Eliminação do existencial (skolemização) Completude e decidibilidade

4 MÉTODO DA RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO No nosso caso, interessa resolução para uma linguagem mais próxima possível da LPO completa (com quantificadores, negação, predicados n-ários, funções, ). Também nos interessa o método de resolução por redução ao absurdo ou por refutação. Γ sse Γ U { } não é satisfazível (prova por refutação)

5 REVISÃO: RESOLUÇÃO EM LÓGICA PROPOSICIONAL Procedimento para lógica proposicional para verificar a se alga é consequência lógica da teoria (Γ ) 1. Colocar Γ U { } na forma normal conjuntiva (clausal) 2. Verificar se é possível derivar a cláusula aplicandose as regras de resolução 3. Caso seja possível, prova-se por refutação que Γ a teoria Γ aqui será umconjunto de cláusulas na FNC a ordem dos literais dentro das cláusulas não é importante a ordem das cláusulas também não é importante

6 EXEMPLO Γ? sendo = menina Γ usos sucessivos da regra de resolução a. fund //está no ensino fund. b. fund criança c. criança masc menino d. jardim criança e. criança fem menina f. fem Γ U { } na FNC [fund] 1 [ fund, criança] [criança] 2 [ criança, fem menina] [ fem, menina] [menina] [ ] [fem] 6 [ menina] {[fund], 2. [ fund, criança], 3. [ criança, masc, menino], 4. [ jardim, criança] 5. [ criança, fem menina], 6. [fem], 7. [ menina]} a cláusula vazia foi derivada, então é deduzível da teoria Γ

7 MÉTODO DE RESOLUÇÃO EM LPO

8 RESOLUÇÃO EM LPO Resolução com lógica proposicional está um pouco distante da LPO pois não considera os quantificadores universal e existencial, nem predicados e funções n-ários com n>0. Para fazer inferência com quantificadores, a idéia básica é reduzi-la à inferência da lógica proposicional BASTA ELIMINARMOS OS QUANTIFICADORES!!!

9 RESOLUÇÃO EM LPO 1. Colocar a Γ U { } na FNC 2. Eliminar os quantificadores universais* 3. Aplicar a regra de resolução *primeiramente, excluiremos somente o quantificador universal, depois veremos como excluir o existencial.

10 FNC em LPO Eliminar implicação lógica Mover negações para dentro para que precedam os átomos utilizando as equivalências x( ) substituir por x( ) x( ) substituir por x. Padronizar as variáveis: cada quantificador deve corresponder a uma variável x(p(x)) q(x) substituir por z.(p(z)) q(x) Eliminar todos os existenciais (será visto mais tarde) Mover universal para fora do escopo do e do utilizando as equivalências: ( x(β)) substituir por x( β) desde que x não seja var. livre em ( x(β)) substituir por x( β) desde que x não seja var. livre em Fazer conjunção de disjunções por meio da distributiva e das leis de Morgan Não colocar os quantificadores universais na FNC pois todas as fórmulas quantificadas serão universais (desprezar eliminar)

11 substituições ELIMINAÇÃO DO UNIVERSAL Pode-se eliminar o quantificador universal pela instanciação universal ou unificação, i.e. substituir as variáveis por valores concretos. X(rei(X) ganancioso(x) perverso(x)) joão constante que denota um objeto do domínio ricardo constante que denota um objeto do domínio pai(x) função que retorna o pai de X que é um objeto do domínio {X/joão} {X/ricardo} {X/pai(joão)} Pela instanciação universal obtém-se: rei(joão) ganancioso(joão) perverso(joão) rei(ricardo) ganancioso(ricardo) perverso(ricardo) rei(pai(joão) ganancioso(pai(joão)) perverso(pai(joão)) Termos básicos: não apresentam variáveis

12 EXEMPLO RESOLUÇÃO EM LPO Γ? sendo = brinca(maria) Γ 1. X (fund(x) criança(x)) 2. X (criança(x) brinca(x)) 3. fund(maria) Γ U { } na FNC 1. {[ fund (X), criança(x)], 2. [ criança (X), brinca(x)], 3. [fund(maria)], 4. [ brinca(maria)]} [ fund (X), criança(x)] X/maria X/maria criança(maria) [fund(maria)] [brinca(maria)] [ criança (X), brinca(x)] Logo, brinca(maria) é uma consequência lógica das fórmulas em Γ [ ] [ brinca(maria)]

13 EXEMPLO RESOLUÇÃO EM LPO (extraído de Brachman e Levesque, 2005)

14 PREDICADO RESPOSTA Além de demonstrar a satisfabilidade de uma sentença, também queremos saber quais são os objetos que a satisfazem. Neste caso, incluimos um predicado resposta A(x) e tentamos derivá-lo por resolução.

15 PREDICADOS RESPOSTA Negação da query= x( Student(x) or Happy(x)) (extraído de Brachman e Levesque, 2005) Cada derivação produz uma só resposta. Se tivéssemos Happy(Sue) na KB terímos que fazer outra substituição {x/sue}. Porém, a resposta pode ser uma disjunção

16 PREDICADOS RESPOSTA A resposta é jane ou john. Não há certeza sobre qual deles está feliz.

17 ELIMINAÇÃO DO EXISTENCIAL Para completar a resolução em LPO, é preciso tratar fórmulas com o quantificador existencial Para tal, faz-se a instanciação do existencial ou skolemização (do autor, Skolem). A idéia básica é exemplificada: X(coroa(X) nacabeça(x, joão)) Se existe um objeto que é uma coroa e que está sobre a cabeça do João, então podemos supor que este objeto existe e nomêa-lo com um símbolo constante que não exista e nem venha a se repetir na KB. No exemplo, c1 é chamado de constante de skolem. coroa(c1) nacabeça(c1, joão)

18 SKOLEMIZAÇÃO Se existe um x, chame-o de a (constante) x mae(x, jose) mae(a, jose) Se para todo x existe um y, chame-o de f(x) x 1 yp(x 1,y) x 1 P(x 1,f(x 1 )) x 1 x 2 yp(x 1, x 2, y) x 1 x 2 P(x 1, x 2, f(x 1, x 2 )) x 1 x 2 x n yp(x 1, x 2,, x n, y) x 1 x 2 P(x 1, x 2,, x n, f(x 1,, x n )) Exemplo x 1 y(pessoa(x 1 ) mae(y, x 1 )) x 1 (pessoa(x 1 ) mae(f(x 1 ), x 1 )) f é um novo símbolo de função que não existe em nenhum outro lugar da KB

19 Exemplo de SKOLEMIZAÇÃO 1. X (homem(x) pessoa(x)) 2. X Y (pessoa(x) mae(y, X)]) % y é mãe de x 3. X, Y (mae(x, Y) ama(x, Y)) 4. homem(platao) Pergunta-se: Y ama(y, platao) % alguem ama a Platão? X/platao em 1: pessoa(platao) Y/f(X) em 2, skolemizacao: pessoa(platao) -> mae(f(platao), platao) mae(f(platao), platao) -> ama(f(platao), platao) Logo, a query pode ser satisfeita com as instanciações: X/platao Y/f(platao) Este exemplo foi implementado em ex skolemizacao.pl

20 IMPLICAÇÃO DA SKOLEMIZAÇÃO Quando fazemos instanciação dos existenciais numa KB, a nova KB não é logicamente equivalente à anterior pois x.p(x) P(a) é falso!!! Porém, a KB antiga e a nova (resultante da skolemização) apresentam equivalência inferencial, i.e. é satisfazível sse é satisfazível, sendo o resultado da skolemização. Preservar a equivalência inferencial ou a satisfabilidade é suficiente para resolução!

21 DEPENDÊNCIA DAS VARIÁVEIS A ordem de aparecimento dos quantificadores é importante na resolução em LPO. Esta ordem gera dependências entre as variáveis o que afeta a skolemização e a satisfabilidade! x y.r(x, y) y x.r(x, y) é satisfazível y x.r(x, y) x y.r(x, y) não é satisfazível

22 DEPENDÊNCIA DAS VARIÁVEIS satisfazível não é satisfazível x y.r(x, y) y x.r(x, y) y x.r(x, y) x y.r(x, y) 1. Mostrar que as cláusulas abaixo derivam [] 1. Mostrar que as cláusulas abaixo derivam [] 2. {x/a} 2. {x/f(y)} // x depende de y 3. Negação para dentro e {y/b} 3. Negação para dentro e {y/g(x)} 4. Unificar cláusulas sem negação pela substituição {x/a, y/b} 4. Unificar cláusulas sem negação: não há unificação

23 DECIDIBILIDADE A resolução por derivações não oferece solução geral para o cálculo da consequência lógica (nem com a instanciação dos quantificadores universais e existenciais) Há situações onde há infinitas substituições. Por exemplo, se há um símbolo de função, o número de substituições é infinito.

24 DECIDIBILIDADE KB: X rei(x) ganancioso(x) perverso(x) joão constante que denota um objeto do domínio ricardo constante que denota um objeto do domínio rei(joão) ganancioso(joão) pai(x) função que retorna o pai de X substituições {X/joão} {X/ricardo} {X/pai(joão)} {X/pai(pai(joão))} {X/pai(pai(pai(joão)))} Pela instanciação universal obtem-se: rei(joão) ganancioso(joão) -> perverso(joão) rei(ricardo) ganancioso(ricardo) -> perverso(ricardo) rei(pai(joão) ganancioso(pai(joão)) -> perverso(pai(joão)) Exercício: demonstrar que pode-se fazer infinitas substituições se retirarmos a sentença ganancioso(joão) e quisermos demonstrar que há um rei perverso.

25 DECIDIBILIDADE Resoluções geradas pela instanciação universal e existencial são completas. i.e. toda sentença que é consequência lógica da KB pode ser demonstrada. Algum ramo de derivação conterá a cláusula [ ], mesmo que existam outros ramos infinitos. Por isto, deve-se fazer busca breadth-first. Porém, se a sentença não é satisfazível, a prova pode prosseguir indefinidamente pelo aninhamento de funções nas substituições Nesta situação, não é possível saber se não se pode deduzir a sentença ou se ainda não se chegou a dedução!!! Alguns autores dizem que o cálculo da consequência lógica em LPO é semi-decídivel por este motivo.

26 Melhorias na resolução Face as constatações de que não há garantia de terminação da resolução e não maneira de garantir eficiência, há algo a ser feito? Sim É possível reduzir redundâncias nas buscas, fazendo substituições mas genéricas possíveis > most general unifiers Escolhas arbitrárias nas substituições podem impedir que um caminho atinja a cláusula []. Não é preciso atribuir um valor específico a uma variável, pode-se deixar este comprometimento para mais tarde

27 Resolução é difícil Resolução em LPO não tem garantias de terminar Na lógica proposicional: Haken demonstrou em 1995 que sabendo-se que há cláusulas não satisfazíveis {c1,, cn} na KB, a derivação mais curta para a cláusula [] é da ordem de 2 n cláusulas. Portanto, mesmo se as vezes a cláusula [] pode ser encontrada imediatamente, em alguns problemas a busca pode requerer tempo exponencial.

28 Implicações para KR Problema: como gerar consequências lógicas em tempo razoável para realizar ações imediatas Provadores de teoremas completos podem não ser úteis para KR Outras opções: Dar maior controle ao usuário Linguagens menos expressivas (ex. cláusulas de Horn) Em algumas aplicações, é razoável esperar bastante tempo: provar um teorema matemático pode levar meses! Em geral, a melhor alternativa é a utilização do most general unifier para evitar buscas redundantes Mas há outras estratégias eliminação de cláusulas: ex. que contêm um literal que não aparece em outras cláusulas Ordenação da resolução: ex. primeiro cláusulas unitárias Utilizar lógica tipificada (sorted logic): unificar cláusulas somente qdo os tipos forem compatíveis

29 Referências Robinson J. A. "A Machine-Oriented Logic Based on the Resolution Principle." J. Assoc. Comput. Mach. 12, 23-41, 1965.