Método de Hardy-Cross Capitulo 11- Programação linear engenheiro Plínio Tomaz 18 dezembro de Programação linear 11-1

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1 1 Programação linear 11-1

2 2 Capítulo 11-Programação linear 11. Introdução Na resolução de um problema de redes de água é muito importante os cálculos hidráulicos, mas os custos também o são. Geralmente os programas de cálculos de redes em espinha de peixe ou malhadas não são feitas com o chamado critério de mínimo custo atendendo as restrições hidráulicas. O prof David Stephenson professor de Johanesburg na África do Sul em 1981 publicou um livro Pipeline design for water engineers, onde tratou da minimização de custo numa rede simples e salientando os problemas de uma rede malhada. Há tempos quando estava estudando programação linear perguntei a um proprietário de uma firma projetista porque não faziam o projeto com minimização de custos e ele me respondeu que geralmente os engenheiros das companhias estaduais não entendiam do assunto e não solicitavam. Daí faziam o tradicional. Cheguei a ver o estudo do uso de algoritmos genéticos para dimensionamento de redes de água onde entra a minimização dos custos, onde fizeram comparação de um projeto elaborado por um engenheiro experiente e foi concluído que o resultado era praticamente o mesmo. Walski, 1992 que é atualmente o maior calculista do mundo em redes hidráulicas de água diz que os cálculos de minimização de custos de uma rede só podem ser feitos se a mesma for ramificada, isto é, que não forme um sistema de malhas. Informa ainda que hoje no mundo os engenheiros possuem bastante liberdade para dimensionar uma rede de distribuição de água potável e que não existe sistema que não tenha falhas, pois o seu custo seria totalmente inviável. 1.2 Programação linear A programação linear (PL) é um procedimento matemático para designar ou distribuir uma quantidade fixa de recursos para uma determinada finalidade, de tal modo que alguma função ou objetivo seja otimizado conforme Shimizu, Um programa de programação linear consiste em minimizar (ou maximizar) uma função linear: Minimizar H= c1 x1 + c2 x Um importante teorema da programação linear estabelece que o mínimo (ou o máximo) ocorre num ponto admissível extremo. Para achar este ponto admissível extremo foi criado um algoritmo chamado método Simplex conforme Scheid, O método Simplex sistematiza o processo de obtenção dos vértices da região de restrição e procura a solução ótima conforme Shimizu, O método Simplex foi pela primeira vez publicado em 1948 por Dantzig, mas certas características do método somente foram justificadas em 1982 no trabalho de Stephen Smale, conforme Cambridge, Existem rotinas do Método Simplex em Fortran e linguagem C feitas pela Universidade de Cambridge. A programação linear para se obter o mínimo custo pode ser feita como Solver da planilha Excel. A programação é utilizada para otimizar (maximizar ou minimizar) 11-2

3 3 Para a resolução do problema foi desenvolvido o Método Simplex e existe uma infinidade de softwares para o método de otimização de custo (maximização ou minimização). A melhor maneira de entender o assunto é mostrar num problema exposto por Stephenson, Problema de Stephenson Temos um reservatório nível de água de 10m e uma rede tronco onde a 500m sai 26 L/s e a 900m da origem sai 14 L/s que deverá ter uma pressão mínima de 5,00m conforme Figura (11.1) A idéia da programação linear é usar diâmetros de 250mm e 200mm para os primeiros 500m e 200mm e 150mm para os últimos 400m. O objetivo é obter os comprimentos com o mínimo custo. Primeiramente vamos supor que os custos das tubulações são os da Tabela (11.1). Tabela Custos das tubulações por metro linear Diâmetro (m) Custo (R$/m) 0, , , Perda de carga unitária A perda de carga unitária pela equação de Darcy-Weisbach é: Admitimos f=0,02 hf/ L = f x (L/D) x V 2 /2g Q=A x V V= Q/A A= PI x D 2 /4 V 2 = 16 Q 2 /(D 4 x PI 2 ) Substituindo em: hf/ L = f x V 2 /(2gD) hf/ L = f x (1/2gD) x16 Q 2 /(D 4 x PI 2 ) Supondo que f=0,02 teremos: Para a vazão de 40L/s e tubo de D=0,25m hf/l= (0,02 x 0,040 2 x 8)/ (9,81 x 0,25 5 x 3, )= 0, Para a vazão de 40L/s e tubo de D=0,20m hf/l= (0,02 x 0,040 2 x 8)/ (9,81 x 0,20 5 x 3, )= 0, Para a vazão de 14L/s e tubo de D=0,20m hf/l= (0,02 x 0,014 2 x 8)/ (9,81 x 0,20 5 x 3, )= 0, Para a vazão de 14L/s e tubo de D=0,15m 11-3

4 4 hf/l= (0,02 x 0,014 2 x 8)/ (9,81 x 0,15 5 x 3, )= 0, Tabela 11.2 Perdas de cargas nas tubulações em m/m Diâmetro (m) Perda de carga para 0,040m 3 /s (m/m) 0,25 0, Perda de carga para 0,014m 3 /s (m/m) 0,20 0, , ,15 0, Figura Esquema do abastecimento de água Fonte: Stephenson, 1981 Vamos supor que no primeiro trecho dos 500m tenhamos dois comprimentos X1 e X2 cuja soma é 500m. X1 + X2= 500 No outro trecho de 400m temos: X3 + X4=400 As perdas de cargas serão: 10-5= 5 = 0,002707X1+ 0, X2 + 0,001012X2 +0,004265X4 A função objetivo que queremos é aquela com mínimo custo: 251X X X X4= mínimo (função objetivo que queremos minimizar) Temos portando 4 equações. X1 + X2+0X3+0X4= 500 0X1+0X2+X3 + X4=400 0, X1+ 0, X2 + 0, X2 +0,004265X4 =5 251X X X X4= mínimo A maneira mais prática de resolver é usando o Solver do Excel. O resultado será: X1= 0,0 250mm X2= 500,00m 200mm X3=257,43m 200mm 11-4

5 5 X4=142,57m 150mm Tabela Dados do problema no Excel A B C D E F G 1 a1 a2 a3 a4 total sinal 2 Equação = 3 Equação = 4 Equação 3 0, , , , = 5 Mínimo custo ,09 Solução 0,00 500,00 257,43 142,57 x1 x2 x3 x4 O mínimo custo é R$ ,09 conforme Tabela (11.3). Passos a serem dados no uso do Solver do Excel Primeiro temos que ver se temos a ferramenta Solver. Procure em Ferramentas e depois em suplemento e torne ativo o solver do Excel. Se não tiver vai ter que instalar o solver. Na célula F2,ponha a formula SOMARPRODUTO (B2:C2; $B$6:$C$6) e copia em F2, F3, F4 e F5; Ponha na célula F5 na minimização do custo que queremos Abra o solver Através do mouse coloque as variáveis e as restrições etc Entre no solver opções e ponha não negativo e modelo linear Não esquecer de colocar no solver que queremos a minimização dos custos Ponha resolver no solver e ache a solução de x1, x2, x3 e x3 11-5

6 Bibliografia -CAMBRIGE. Numerical Recipes in Fortran. Cambridge University, 1992, 2ª ed, 963 páginas. -LISBOA, ERICO. Programação Linear. -NOGUERIA, FERNANDO. Notas de aula sobre Programação Linear utilizando Excel. Pesquisa Operacional- Tutorial sobre softwares. -SCHEID, FRDANCIS. Análise numérica. 2ª edição. McGraw-Hill, Portugal, 1991 ISBN SHIMIZU, TAMIO. Pesquisa Operacional em engenharia, economia e administração.editora Guanabara dois, 1984, 360 páginas. -STEPHENSON, DAVID. Pipeline design for water engineers. 2a ed. Elsevier Scientific Publishing company, 1981, ISBN , printede en the Netherlands. -WALSKI, M. THOMAS. Analysis of water distribution systems. Florida, 1992, 275páginas. ISBN

7 7 Apêndice A Custos de tubulações Custos de tubulação considerando a média de que em cada 1000m temos uma válvula e uma curva para os materiais. A mão de obra é estimada em 40% do preço do material. Tabela Estimativa de preço de material e mão de obra para dezembro de 2007 sendo 1US$ =R$ 1,70 Custo/metro MO Diâmetros PVC 6,3 (40%) Mat+MO 50mm R$ 4,76 R$ 1,90 R$ 6,66 75mm R$ 10,06 R$ 4,02 R$ 14,08 100mm R$ 16,74 R$ 6,69 R$ 23,43 PVC mm R$ 24,75 R$ 9,90 R$ 34,65 200mm R$ 42,22 R$ 16,89 R$ 59,11 250mm R$ 62,44 R$ 24,98 R$ 87,42 300mm R$ 91,83 R$ 36,73 R$ 128,56 400mm R$ 197,21 R$ 78,88 R$ 276,09 Ferro Fundido 80mm R$ 81,43 R$ 32,57 R$ 114,00 100mm R$ 88,98 R$ 35,59 R$ 124,57 150mm R$ 105,85 R$ 42,34 R$ 148,19 200mm R$ 129,12 R$ 51,65 R$ 180,77 250mm R$ 179,14 R$ 71,66 R$ 250,80 300mm R$ 207,23 R$ 82,89 R$ 290,12 400mm R$ 251,21 R$ 100,48 R$ 351,69 500mm R$ 337,01 R$ 134,80 R$ 471,81 600mm R$ 456,02 R$ 182,41 R$ 638,43 700mm R$ 546,02 R$ 218,41 R$ 764,

8 8 Programação Linear- Uso do Solver em Excel Primeiramente fazer uma copia logo abaixo para segurança dos dados. 1; Na célula F2 colocar a fórmula: SOMARPRODUTO (B2:E2; $B$6: $E$6 Copiar para as células F3, F$ e F5 Ficando assim: SOMARPRODUTO(B2:E2;$B$6:$E$6) SOMARPRODUTO(B3:E3;$B$6:$E$6) SOMARPRODUTO(B4:E4;$B$6:$E$6) SOMARPRODUTO(B5:E5;$B$6:$E$6) 2. Por o cursor na celula F5 onde está o mínimo custo que é a função objetivo 3) Clicar em ferramentas e clicar em solver 4. Clicar em minimizar 5; Clicar em opções e clicar em: Presumir modelo linear Presumir não negativo Clicar em OK e volta ao programa principal do Solver 6; Clicar em adicionar Clicar em referencia de células e clicar com o mouse em F2 até F4 onde estao as formulas, mas tomar o cuidado para não chegar onde está o mínimo. Clicar em restrição e clicar em H2 a H4. Clicar no meio onde estão os sinais e escolher o sinal de =. Clicar OK e sair 7) Clicar na célula das variáveis e entrar o quadro das variáveis que vai de B2 a E5. 8) Clicar novamente no local das variáveis e colocar o destinoi B6:E6 sempre no local das variáveis. Cuidado não errar. 8) Clicar em resolver 9) Clicar em manter solução do solver. 10) O programa está resolvido e aparecerá na tela em solução o valor das variáveis x1 a x4 bem como o mínimo custo a1 a2 a3 a4 total sinal b restrição = 500 Restrição = 400 Restrição 3 0, , , , = 5 Mínimo custo ,09 solução 0,00 500,00 257,43 142,57 x1 x2 x3 x4 11-8