DIMENSIONAMENTO ECONÔMICO DE REDES MALHADAS DE SISTEMAS DE ABASTECIMENTO URBANO

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1 DIMENSIONAMENTO ECONÔMICO DE REDES MALHADAS DE SISTEMAS DE ABASTECIMENTO URBANO Heber Pimentel Gomes () Engenheiro Civil pela Universidade Federal da Paraíba - UFPB - Campina Grande (977). M.Sc em Hidrologia pela UFPB (980). Doutor em Hidráulica pela Universidad Politécnica de Madrid (993). Atualmente é Professor Adjunto do Centro de Ciências e Tecnologia da UFPB - Campina Grande. Klebber Teodomiro Martins Formiga Engenheiro Civil pela Universidade Federal da Paraíba - UFPB - Campina Grande em 997 e atualmente faz mestrado na Área de Recursos Hídricos da mesma Instituição. Endereço () : Universidade Federal da Paraíba - Campus II - Laboratório de Hidráulica Caixa Postal Campina Grande - PB - CEP: Brasil - Tel. (083) heber@equipenet.com.br RESUMO As redes de distribuição que fazem parte dos sistemas de distribuição de água, são em grande parte, redes malhadas, cuja complexidade no dimensionamento tem forçado os projetistas a utilizar metodologias tradicionais de tentativa e erro para obter a solução do problema. Esses métodos, do qual o mais empregado é o de Hardy-Cross, fazem tão somente o balanceamento da rede, deixando a cargo da experiência do projetista a busca de um dimensionamento mais econômico. Neste trabalho será apresentado um método que utiliza técnicas de programação nãolinear para o dimensionamento econômico de redes malhadas. Esse método é composto de duas etapas. Na primeira, as vazões e os diâmetros são considerados como variáveis de decisão, e na segunda etapa, as variáveis de decisão são os comprimentos dos segmentos dos trechos, com diâmetros constantes, e suas correspondentes vazões. Para a aplicação do método, foi utilizado o sistema de abastecimento do bairro do Bessa em João Pessoa (CAGEPA, 982), enquanto que o dimensionamento econômico foi feito utilizando o algoritmo GRG2, baseado na técnica dos Gradientes Reduzidos Generalizados. Os resultados desta metodologia apresentaram uma economia de 35 %, quando comparados com os valores obtidos no projeto da CAGEPA - onde o dimensionamento foi efetuado através do método de Hardy-Cross - e cerca de 7% se comparado a outros métodos de otimização já empregados - método WADISO (Gessler e Walski, 985) e Granados (Gomes, 997). PALAVRAS-CHAVE: Redes Malhadas, Otimização, Programação não-linear. 20 o Congresso Brasileiro de Engenharia Sanitária e Ambiental 605

2 INTRODUÇÃO Os sistemas de abastecimento de água compreendem o conjunto de obras e equipamentos destinados a suprir as necessidade de consumos doméstico, público e industrial de uma comunidade. Esses sistemas devem fornecer água, em qualidade e quantidade, indistintamente, às populações com o menor dispêndio possível. Os sistemas de abastecimento de água podem ser divididos em cinco partes distintas: captação, adução, tratamento, reservatório de distribuição e rede de distribuição. As redes de distribuição são os componentes responsáveis por levar a água ao usuário final nos sistemas de abastecimento de água de comunidades urbanas e rurais. Quanto à disposição dos tubos essas redes podem ser classificadas em: ramificadas, malhadas ou mistas. As redes ramificadas se caracterizam por apresentarem um único sentido para o escoamento e suas tubulações são distribuídas em forma de ramos. A principal vantagem desse tipo de rede é que o seu custo de implantação é mais barato do que o de uma rede malhada de mesmo porte (Gouter et al., 986). No entanto, as redes ramificadas apresentam inconvenientes na manutenção, visto que para se fazer um reparo em um trecho, todo o ramal à jusante ficará sem água. Dessa forma, o emprego das redes ramificadas tem sido descartado em locais onde o abastecimento d água é imprescindível, como nos centros urbanos de médio e grande porte. As redes malhadas apresentam os seus trechos interligados em forma de anéis, ou malhas, de forma que as vazões têm sentidos e valores variáveis, fazendo com que o dimensionamento das tubulações se torne mais complexo do que aqueles efetuados para redes ramificadas. As técnicas mais utilizadas no dimensionamento da maioria das redes implantadas no Brasil são baseadas em métodos de tentativa e erro (Azevedo Netto, 973). Esses tipos de metodologias fazem tão somente o balanceamento hidráulico do sistema, ficando a parte relativa a minimização dos custos a critério da experiência do projetista. Todavia, nos últimos anos, o crescente avanço da informática tornou possível o emprego de técnicas desenvolvidas nas décadas de 60 e 70 que exigiam grandes quantidades de cálculos que era impossível de serem feitas sem o auxílio de computadores avançados. Com isso, tem sido possível o emprego de técnicas de pesquisa operacional na resolução de problemas de dimensionamento de redes baseadas em critérios econômicos. As técnicas de otimização começaram a ser aplicadas para o cálculo de redes no final dos anos 60. Karmeli et al. (968) utilizou a programação linear para encontrar o menor custo de redes ramificadas. Alperovitz e Shamir (977), propuseram a utilização dessa técnica na minimização dos custos em redes malhadas. Gessler e Waski (985), desenvolveram o método WADISO, baseado na enumeração exaustiva das possíveis soluções. A metodologia GRANADOS, baseada em princípios de programação dinâmica (Gomes, 997), foi aplicada por Leal e Gomes (997) na otimização das redes malhadas. Além dessas técnicas, outra que tem tido destaque é o Algoritmo Genético, aplicado na resolução de diversos problemas relacionados a otimização dos custos de implantação e também de operação em redes malhadas (Savic e Walters, 997). 20 o Congresso Brasileiro de Engenharia Sanitária e Ambiental 606

3 METODOLOGIA Ao contrário da programação linear onde, para problemas de pequenos e médio porte (até variáveis), praticamente só se utiliza o método Simplex, na otimização de problemas na programação não-linear existem diferentes técnicas ou algoritmos que são adotados, dependendo de cada processo físico a ser resolvido. Para o dimensionamento econômico das redes malhadas foi utilizado neste trabalho o algoritmo GRG2, baseado no método do Gradiente Reduzido Generalizado. Esse algoritmo foi utilizado com sucesso por SU et al. (987), Lansey et al. (989) e Duan et al. (990), na otimização de redes de distribuição de água, considerando a confiabilidade do sistema. O método proposto neste artigo é composto de duas etapas. Na primeira, ocorre um prédimensionamento, no qual os diâmetros dos tubos são considerados como variáveis contínuas. Em seguida, com os resultados obtidos a partir do pré-dimensionamento, é feito o ajuste da solução inicialmente obtida. Nesta segunda etapa o diâmetro calculado inicialmente para um determinado trecho é desdobrado em dois diâmetros comerciais, um imediatamente superior e outro imediatamente inferior, considerando-se como variáveis de decisão os comprimentos de seus sub-trechos pertencentes ao trecho considerado. Esse artifício é usado para diminuir o número de variáveis de decisão do problema final, já que, se no cálculo de redes médias e grandes for considerado muitos diâmetros candidatos, o problema pode se tornar muito complexo, até mesmo para computadores potentes. Além dos diâmetros e dos comprimentos dos tubos, as vazões nos trechos também são consideradas como variáveis de decisão, tanto na primeira como na segunda etapa do método. PRÉ-DIMENSIONAMENTO Na primeira fase, a função objetivo a ser minimizada será: m C(D i, Q i ) = L P(D i= i i ) onde, C(D i, Q i ) é o custo da rede em função do diâmetro e das vazões nos seus trechos; L i é o comprimento do trecho i; P(D i ) é a função que relaciona o preço do tubo com o diâmetro; e m é o número de trechos da rede. A solução obtida deve satisfazer as seguintes restrições:. as pressões nos nós da rede não devem ser inferiores às requeridas para o bom funcionamento das mesmas: k Z - J c= c Ζ κ onde Z é a cota piezométrica da cabeceira da rede; Z k é a cota piezométrica requerida no nó k; e ΣJ c é a soma das perdas de carga nos trechos, pertencentes ao percurso compreendido desde a cabeceira até o nó k. 20 o Congresso Brasileiro de Engenharia Sanitária e Ambiental 607

4 2. Os diâmetros D i devem ser maiores que um diâmetro mínimo (D min ) adotado e menores que um diâmetro máximo estimado (D max ). D min D i D max 3. Conservação de energia no anel z i= J i Ep = 0 sendo J i a perda de carga no trecho i; z o número de trechos no anel em questão; e Ep a energia fornecida ao sistema através do bombeamento existente no interior da malha. 4. Continuidade nos nós Q entra Qsai = dn sendo: Q entra as vazões que chegam ao nó n; Q sai a vazão que deixa o nó n; e d n a demanda concentrada nesse nó. 5. Velocidade máxima admissível. A rede deve funcionar com velocidades de fluxo limitadas, de forma a se evitar a ocorrência de golpes de aríete, vibrações, como também um desgaste prematuro do sistema V i V max DIMENSIONAMENTO Com os resultados obtidos nesta etapa executa-se a segunda fase, na qual a função objetivo a ser minimizada será: C(l m 2 ij,qi ) = lijp(d j ) i i= j= em que: C(l ij, Q i ) é o custo total da rede de distribuição; l ij é o comprimento ocupado pelo diâmetro D j no trecho i considerado; P(D j ) i é o preço unitário do tubo de diâmetro D j ; e m é o número de trechos da rede. As restrições, 3, 4 e 5 do problema inicial também devem ser satisfeitas nesta fase. Além dessas, a solução encontrada deve satisfazer: 6. A soma dos comprimentos l ij, correspondentes aos distintos diâmetros D j, atribuídos a cada trecho i, deve ser igual ao comprimento do trecho: n j= l ij = L i 7. os comprimentos l ij devem ser maiores ou iguais a zero: l ij 0 20 o Congresso Brasileiro de Engenharia Sanitária e Ambiental 608

5 EXEMPLO DE APLICAÇÃO A metodologia da programação não-linear para redes malhadas foi aplicada no dimensionamento de um sistema real de abastecimento urbano de água. Esse sistema foi projetado pela CAGEPA (982) para abastecer o bairro do Bessa, na cidade de João Pessoa-PB, onde o suprimento de água é realizado a partir de um reservatório elevado (Reservatório R-9 situado no bairro de Tambaú). O sistema projetado compreende a linha tronco partindo do reservatório R-9, que atravessa a área de Tambaú, sem que haja derivação de água; o grande anel, envolvendo toda a área do bairro do Bessa, e anéis secundários de distribuição, cada um ligado em um ponto distinto do grande anel. Pretende-se dimensionar neste trabalho as tubulações do Grande Anel, incluindo a linha tronco (ver Figura ), e o Setor 3 (Figura 2). A Tabela mostra as demandas de água, as pressões requeridas, e a cota altimétrica do terreno nos nós dos anéis em questão, enquanto que a Tabela 2 mostra os dados referentes aos comprimentos dos trechos dos anéis. O material da tubulação usada no sistema é de ferro dúctil para tubos de diâmetros iguais ou superiores a 300 mm e de PVC para diâmetros situados entre 250 e 00 mm, que é o menor diâmetro usado para os anéis. Os coeficientes de Hazen-Williams adotados pela CAGEPA foram de 45 para o PVC e de 30 para o ferro dúctil. A Tabela 3 fornece os preços dos tubos (em unidades monetárias por metro) em função dos seus diâmetros. Como todos os diâmetros foram menores que.000 mm, adotou-se, de acordo com Gomes (997), a velocidade máxima admissível igual a 2 m/s Figura - Esquema do Grande Anel. 4 Setor 3 Grande setor Linha Tronco Setor 4 7 Reservatório Setor 5 20 o Congresso Brasileiro de Engenharia Sanitária e Ambiental 609

6 Figura 2 - Esquema do Setor D trecho 7 - nó Tabela - Pressão requerida demanda e cotas dos nós do Grande Anel e do Setor 3. Grande Anel Setor 3 Pressão Requerida = 25 mca Pressão Requerida = 5 mca Nó Vazão (l/s) Cota Vazão (l/s) Cota Nó Vazão (l/s) Cota - 5-4,5 2, ,44 5 7, , ,29 4 5,2 4,5 3 4, ,6 4,5 4, , ,78 4,5 4,2 3,5 5 2, ,32 4,5 7,4 3,5 6 5, ,5 3,5 7 6,9 3, , , , ,6 3, ,3 3,5 Tabela 2 - Comprimento dos trechos do Grande Anel e do Setor 3. Grande Anel Setor 3 Trecho Comprimento Comprimento Trecho Comprimento o Congresso Brasileiro de Engenharia Sanitária e Ambiental 60

7 Tabela 3 - Preço dos tubos em função dos diâmetros. Custo (umt/m) Custo (umt/m) A partir desses dados foi aplicada a metodologia da programação não-linear já descrita. Os resultados do pré-dimensionamento e do dimensionamento final são mostrados nas Tabelas 4 a 7. Uma comparação dos custos, obtidos pelo dimensionamento original da rede e por outras metodologias de otimização já empregadas, está apresentada na Tabela 8. Tabela 4 - Resultados do pré-dimensionamento para o Grande Anel. Velocidade Velocidade (l/s) (l/s) 420,43 556,8, , 333,8, ,32 474,, ,33 292,7, ,88 453,8,54 7 0,0 00,0 0, ,59 432,8, Tabela 5 - Resultados do pré-dimenionamento para o Setor 3. (l/s) Velocidade (l/s) Velocidade 208,5 433,42 3 3, 00 0, ,6 235,60 4 6,3 00 0,8 3 59, 233, ,9 230,30 4 5,7 29,38 6 5,3 226,28 5-6,4 00 0,82 7-7,0 00 0, ,9 383,20 8 3,5 48 0, ,4 9,02 9 9,3 37 0, ,2 7, , 00 0,65 9 9,0 62 0, ,5 250,62 0 3,0 39 0, ,6 250,46 02, 30, ,7 00 0, ,9 308, ,5 00 0,32 Tabela 6 - Resultados finais do dimensionamento para o Grande Anel. (m 3 /h) Comp. Veloc. (m 3 /h) Comp. Veloc. 420, , , , , , , ,64 292, ,49 80, , , ,57 7-0, , , , o Congresso Brasileiro de Engenharia Sanitária e Ambiental 6

8 Tabela 7 - Resultados finais do dimensionamento para o Setor 3. (m 3 /h) Comp. Veloc. (m 3 /h) Comp. Veloc. 208, ,66 4 3, , , , , , ,2 200, , ,02 55, ,2 7-8, , , ,52 8 3, ,77 5-8, ,3 9 9,4 00 7,9 6 42, ,4 9, , , , , , , , , ,4 9 2, , , ,49 0 5, ,89 73, ,03 03, , , , , , , ,33 3 0, , Tabela 8 - Comparação dos custos em unidades monetárias obtidos pelas diferentes metodologias já empregadas para o dimensionamento do Grande Anel e do Setor 3. Programação Não-Linear Granados (Leal, 995) WADISO (Leal, 995) CAGEPA (Leal, 995) Grande Anel , , , ,00 Setor , , , ,00 Total , , , ,00 Economia - 7% 8% 38% CONCLUSÕES A programação não-linear se mostrou inteiramente aplicável na otimização de redes malhadas, tanto em termos computacionais, como em termos físico-matemáticos. As equações utilizadas são simples de serem formuladas e refletem realisticamente o processo não-linear do cálculo desse tipo de rede. Apesar da programação não-linear necessitar de bons valores iniciais para se ter resultados satisfatórios na otimização, esta metodologia contorna este problema pela decomposição em duas partes. Na primeira etapa o número de variáveis de decisão é menor do que na segunda, fazendo com que a complexidade do problema diminua, ocasionando numa menor necessidade de bons valores iniciais. Como na segunda etapa já se dispõe de valores ótimos obtidos a partir do pré-dimensionamento efetuado, a convergência para um ótimo definitivo torna-se mais rápida. Em quase todos os exemplos de aplicação de otimização a redes malhadas verifica-se que em alguns trechos a vazão calculada tende a ser nula, o que implica numa transformação da rede malhada calculada em uma ramificada. Isto se justifica pelo fato de que, normalmente, uma rede ramificada é mais barata do que uma malhada de mesmo porte. Pode-se evitar esta situação através da introdução de uma restrição de vazão mínima para os trechos ou pela limitação dos diâmetros mínimos a serem utilizados. 20 o Congresso Brasileiro de Engenharia Sanitária e Ambiental 62

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