UM MÉTODO DE DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE REDES PRESSURIZADAS MALHADAS VIA PROGRAMAÇÕES NÃO LINEAR E LINEAR.

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1 UM MÉTODO DE DIMENSIONAMENTO ÓTIMO DE REDES PRESSURIZADAS MALHADAS VIA PROGRAMAÇÕES NÃO LINEAR E LINEAR. Wilson Fadlo Curi 1 e Mosefran Barbosa Macedo Firmino Resumo: Neste artigo é apresentado um método de dimensionamento econômico de redes hidráulicas malhadas e pressurizadas, cua solução é obtida em duas etapas. Na primeira etapa, utiliza-se de programação não linear para a resolução do problema onde as variáveis de decisão são as vazões e os diâmetros da tubulação. As restrições envolvem as velocidades máximas e mínimas admissíveis, conservação da massa nos nós e energia no circuito e requerimentos de pressão mínima nos pontos de tomada d água. Na segunda etapa, são escolhidos, para cada trecho, dois diâmetros nominais, sendo um superior e outro inferior ao resultado obtido na etapa 1. A programação linear é, então, utilizada para se determinar o comprimento de cada um dos dois tubos para cada trecho, considerando as vazões constantes e mantendo-se as perdas de carga por trecho iguais àquelas obtidas na primeira etapa. Este método foi aplicado a um exemplo que foi utilizado por vários autores na literatura. Apesar do método apresentar um custo 1,48% mais caro que o melhor resultado obtido na literatura, atenção deve ser dispensada à satisfação dos requerimentos de velocidade máxima. Abstract: This work presents a method for optimal economic design of looped water distribution network, whose solution is achieved in two steps. At the first step, nonlinear programming technique is applied to solve the problem, in which the decision variables are the pipes segment flows and diameters. The maximum and minimum velocities, energy and mass conservation and the minimum head requirement at each node are the constraints for the problem. At a second step, two diameters, which are upper and lower nominal diameters of the results attained at the first step, are chosen for each pipe segment. Then a linear programming technique is applied to attain the length of each pipe segment while keeping the flows and headlosses constant for each segment. This method was applied to an example used by several authors in the literature. This method presented a result which is 1,48% more expensive than the best result found in the literature. Attention should be paid at the satisfaction of the maximum velocity requirement Palavras-chave: Redes malhadas, Dimensionamento, Otimização 1 Professor do Depto. Física da Universidade Federal da Paraíba, CCT, Campus II, Rua Aprígio Veloso, 88, Bodocongó, Campina Grande, PB, wcuri@df.ufpb.br, fone: (83) , fax: (83) Aluno de Iniciação Científica do Curso de Física da UFPB, CCT, Campus II, 1

2 INTRODUÇÃO Para o abastecimento de água, o dimensionamento das redes de distribuição é, sem dúvida, um processo complexo e que pode resultar em ineficiências do atendimento das demandas ou preuízos econômicos quando mal dimensionados. Estas redes são, na sua maioria, do tipo malhada. Várias técnicas para dimensionamento de redes de distribuição d água têm sido utilizadas ao longo dos anos. Alguns métodos tentam apenas dimensionar as redes baseadas nos requerimentos mínimos de vazão e pressões para cada anel. A metodologia mais tradicional é a da tentativa e erro para obter a solução do problema, dos quais o mais empregado é o Hardy-Cross, e fazem tão somente o balanceamento da rede, deixando a cargo da experiência do proetista a busca de um dimensionamento mais econômico. Para se levar em consideração os preços das tubulações em função do seu diâmetro e classe a fim de se estabelecer um custo mínimo para a rede, faz-se necessário o uso de técnicas de otimização. A aplicação de técnicas de programação linear ao problema de redes de distribuição pressurizadas foi introduzida por Karmeli et al (1968) e o seu emprego vem sendo aperfeiçoado e utilizado por muitos especialistas às vezes para resolver uma das duas etapas de resolução do problema (Alperovitz e Shamir, 1977, Quindry et al., 1979, Fuiwara et al., 1987, Kessler e Shamir, 1989), sendo que a escolha de diâmetros nominais é usualmente determinada considerando as vazões fixas. A grande limitação em seu uso esta na linearização de todas funções das variáveis de decisão do problema. Convém ainda salientar que esta mesma linearização pode fazer com que a própria formulação do problema fique complexa. Entretanto, têm-se soluções ótimas globais, ou sea, um dos vértices de um politopo delimitado por restrições lineares, com um intervalo de processamento computacional mais rápido quando comparado com funções não lineares. O método para dimensionamento econômico de redes pressurizadas através de programação não-linear permite descrever com mais propriedade as características físicas do problema, mas requer um maior tempo computacional dependendo dos valores iniciais atribuídos às variáveis de decisão. Além disso, a solução pode não ser um ótimo global como na programação linear. Vários autores têm feito uso da programação não linear para o dimensionamento de redes pressurizadas (El Baharawy e Smith, 1985 e 1987, Su et al., 1987, Lancey e Mays, 1989, Lancey et al, 1989, Duan, 1990). Formiga (1999) aplicou o método de programação não linear em duas etapas para se obter uma solução ótima. Na primeira etapa as variáveis de decisão são as vazões e os diâmetros dos trechos. Na segunda etapa as variáveis de decisão são as vazões e comprimentos de tubos onde, para cada trecho foram selecionados dois diâmetros comerciais, um inferior e outro superior ao obtido na primeira etapa. A função obetivo é determinada pela variação do preço das tubulações em função do diâmetro e da classe de pressão, para suas variáveis de decisão. O método de programação dinâmica consiste em dividir o processo em pequenas etapas para simplificar a resolução. Parte-se do princípio que a otimização de uma etapa é muito mais simples que a otimização de todo o processo, ou sea, é mais fácil resolver repetidas vezes um problema relativamente simples, que resolver um problema complexo (VENTSEL, 1983). O problema em seu uso é a praga da dimensionalidade, que aumenta o tempo de processamento a ponto de inviabilizar a busca de uma solução. Outros métodos, tais como algoritmo genético (Simpson et al., 1994, Savic e Walters, 1997), de enumeração exaustiva (Gessler, 1985, Simpson et al, 1994) e heurísticos (Granados, 1990), têm aparecido na literatura. O Método de Granados (1990) é um algoritmo iterativo, que fornece o menor custo de uma rede, através da redução dos excessos de pressão existentes na rede. No processo de otimização considera-se a variação do preço das tubulações em função se seus tipos, diâmetros e classes (LEAL, 1995). Neste artigo são apresentados e desenvolvidos métodos que utilizam, de forma conunta, uma combinação de técnicas de programação linear e não linear para dimensionamento econômico de redes malhadas. Esses métodos são compostos de duas etapas. Na primeira etapa as vazões e os diâmetros são considerados como variáveis de decisão sueitas a restrições de igualdade e desigualdade, em geral de natureza não linear, que caracterizam o comportamento físico e

3 operacional do sistema, cua solução é obtida via o uso de programação não-linear. Na segunda etapa, para fins de comparação, são utilizadas a programação não linear (PNLP), desenvolvido por Formiga (1999), onde as variáveis de decisão são as vazões e os comprimentos dos segmentos dos sub-trechos, com diâmetros comerciais constantes, e programação linear (PNLL), onde as variáveis de decisão são os comprimentos dos sub-trechos, com diâmetros e vazões constantes. Essas metodologias foram aplicadas a uma rede encontrada na literatura, esta rede foi proposta por Alperovits e Shamir (1977) e utilizada posteriormente por Quidry et al. (1979), Gouter et al. (1986), Kessler e Shamir (1989), Eiger et al (1994), Savic e Walters (1997) e Formiga (1999), para a comparação de suas metodologias. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA O obeto de aplicação de uma combinação de técnicas de programação não-linear e linear ao dimensionamento ótimo de redes malhadas pressurizadas é a rede de distribuição é mostrada na Figura 1. Figura 1: Esquema da rede Tabela 1-Dados relativos aos nós da rede Nó Demanda (m 3 /h) Elevação Pressão mínima (mca) 1 (reservatório) Tabela Dados relativos aos trechos da rede Trecho Nó origem Nó destino Comprimento Diâmetro mínimo (pol) Diâmetro máximo (pol)

4 Esta é formada por oito trechos, distribuídos em dois anéis. Ela é abastecida por gravidade a partir de um reservatório que possui carga constante, a uma cota de 10m. Cada nó deve ter uma pressão mínima requerida igual a 30m, sendo que todos os trechos possuem um comprimento igual a 1.000m. Os dados relacionados com as características da rede, demandas e cotas de cada nó estão sintetizados na Tabela 1 e. Os dados referentes aos custos dos tubos são dados em unidades monetárias por metro (umt/m). A equação utilizada para o cálculo das perdas de cargas nos trechos foi a de Hazen- Williams. O coeficiente de perda de Hazen-Williams adotado é igual a 130. Vários coeficientes ω diferentes são recomendados por vários autores, para a seguinte equação 1,85 1 Q J = ω L 4,87 (1) D C onde J é a perda no trecho em mca, D é o diâmetro do tubo no trecho em m, Q é a vazão no trecho em m 3 /s, C é o coeficiente de Hazen-Willians e L é o comprimento do trecho. Sendo assim, optou-se utilizar o recomendado por Fuiwara e Khang (1990) igual a 10,5088, que é o que produzem as menores perdas de cargas. Os preços dos tubos por unidade de comprimento, para diâmetros comerciais, são apresentados na Tabela 3. Pode-se obter um auste de curvas que relaciona o preço da tubulação em função do seu diâmetro (Formiga, 1999), sendo expressa da seguinte forma: () Preço (D)=,4x10-13 D 6 3,7x10-10 D 5 + 1,81x10-7 D 4 4,61x10-5 D 3 + 5,53x10-3 D 3 1,71x10-1 D + 3,81 Tabela 3- Preço e velocidade máxima na tubulação segundo seus diâmetros Diâmetro (pol) Custo (umt/m) Velocidade (m/s) Diâmetro (pol) Custo (umt/m) Velocidade (m/s) , , , , , , ,7 METODOLOGIA Os dois métodos de dimensionamento ótimo utilizados neste trabalho consistem de duas etapas. Na primeira etapa as restrições do problema apresentam características não lineares visando descrever o comportamento físico do sistema. Nesta etapa as variáveis de decisão são as vazões e os diâmetros, não nominais, da tubulação para cada trecho da rede. As restrições físicas são baseadas nas leis de conservação da massa (continuidade) e da energia. Os aspectos operacionais, 4

5 tais como os requerimentos mínimos de pressão nos nós, diâmetros máximos e mínimos, velocidades máximas admissíveis e não negatividade das variáveis, são também levados em consideração nas restrições. A função obetivo é a minimização dos custos envolvidos na seleção dos diâmetros das tubulações. A segunda etapa do processo de otimização tem a finalidade de buscar uma solução que apresente como solução os comprimentos da tubulação de dois diâmetros comerciais por trecho. Para isso, escolhe-se, para cada trecho, os diâmetros comerciais imediatamente superior e inferior àquele obtido como resultado na primeira etapa, tendo como base os dados apresentados na Tabela 3. A seguir, para o dimensionamento ótimo é utilizada a programação não linear (Formiga, 1999) quando se considera as vazões como variáveis de decisão e programação linear quando se considera as vazões constantes e iguais àquelas obtidas na primeira etapa do dimensionamento. Na programação não linear procura-se minimizar os custos, decidindo sobre comprimentos de tubulações com diâmetros comerciais enquanto se permite a escolha de novas vazões e perdas de carga para cada trecho. Na programação linear, procura-se minimizar o custo da rede mantendo-se as vazões e perdas de carga similares àqueles obtidos na primeira etapa do dimensionamento. A seguir são detalhadas as equações da primeira (não linear) e segundas etapas (linear e não linear) dos métodos. 1º Etapa Na primeira etapa montaremos, de forma não linear, as equações necessárias para realizar o balanceamento hidráulico, com as variáveis de decisão sendo as vazões e os diâmetros. De posse da expressão que relaciona o diâmetro da tubulação com o preço, tem-se por função obetivo: C(D, Q )= (L x P(D )) para =1,...,8 (3) Onde P(D ) é o preço por unidade de comprimento da tubulação de diâmetro D no trecho e C(D,Q ) é o custo de instalação da rede. Essa função estará sueita às seguintes restrições: 1. Pressão mínima nos Nós A diferença entre a pressão da cota de cabeceira da rede e a soma das perdas de carga nos trechos pertencentes ao percurso compreendido entre a cabeceira e cada nó tem que ser superior a cota do terreno no nó mais a pressão mínima requerida naquele nó. As restrições de conservação da energia garantem que, independente do caminho escolhido entre os trechos, a queda de pressão entre dois nós será sempre a mesma. Ao todo, serão seis equações de restrição de requerimentos mínimos de pressão, uma para cada nó, excetuando-se o nó 1. Para o nó 4, por exemplo, poder-se-ia escolher qualquer caminho que partisse do nó 1 (reservatório), que tem nível da água na cota 10, até aquele nó que está à cota 155. Entretanto, o caminho escolhido deve, de preferência, ser o mais curto, de modo a diminuir o tamanho da equação de restrição. Assim, as equações serão: Nó : J 1 < (h 1 h ) - pm (4) Nó 3 : J 1 + J < (h 1 h 3 ) - pm 3 (5) Nó 4 : J 1 + J 3 < (h 1 h 4 ) pm 4 (6) Nó 5 : J 1 + J 3 +J 5 < (h 1 h 6 ) - pm 5 (7) Nó 6 : J 1 + J 3 + J 5 + J 6 < (h 1 h 7 ) - pm 6 (8) Nó 7 : J 1 + J 3 +J 4 < (h 1 h 5 ) - pm 7 (9) Onde h i é a cota do terreno no nó i e pm i é a pressão mínima requerida no nó i.. Conservação da Energia nos Anéis 5

6 Como não existem estações de bombeamento dentro da rede, essa restrição deve garantir que a soma algébrica das perdas de carga dos trechos de um anel sea nula. A rede deste exemplo é composta por três anéis, que proporcionarão apenas duas equações de restrição linearmente independentes. Considera-se como positivas as perdas cuo sentido da vazão sea o mesmo que o sentido arbitrado para percurso no anel (no caso contrário às perdas serão negativas). Os sentidos das vazões são àqueles apontados na Tabela, via definições de nós de origem e destino, e o percurso no anel será realizado no sentido horário. Dessa forma, tem-se: Anel 1 : J 3 +J 4 -J -J 7 =0 (10) Anel : J 5 +J 6 +J 8 -J 4 =0 (11) 3. Diâmetros máximos e mínimos Todos os diâmetros (D 1, D,..., D 8 ) devem ser maiores do que 1 polegada e menores do que 4 polegadas. Sendo 8 o número de trechos na rede, e havendo inequações para cada trecho, o número de restrições, quanto ao diâmetro, será igual a 16. Ou sea: 1 D 4 para =1,..., 8 (1) 4. Continuidade nos nós A soma algébrica das vazões em cada nó deve ser igual a zero, ou sea, as vazões que entram devem ser iguais às que saem em cada nó. Como a rede tem seis nós, tem-se, também, seis equações de restrições: sendo ki qi Qentra Qsai d i = i i = 1 = 1 Q entra é a vazão do trecho que chega ao nó i; i saii (13) Q é a vazão do trecho que deixa o nó i; d i é a demanda concentrada nesse no nó i; k i o número de trechos com vazões que chegam ao nó i e q i é o número de trechos com vazões que saem do nó i; 5. Velocidade Máxima Admissível Empregando-se a fórmula que relaciona as velocidades nos trechos, V, para diâmetros superiores a 1000 mm como +D (Granados, 1990), teremos 8 restrições de velocidade, sendo uma para cada trecho. Estas restrições, dada pela Equação (14), adotadas nesta fase, servem para se determinar uma faixa dos diâmetros e vazões que serão adotadas para os trechos, não incorrendo assim um erro de proeto. 4 Q V = + D para = 1,...,8 (14) π D 6. Não negatividade das variáveis As variáveis de decisão, diâmetro D e vazão Q para cada trecho, =1,...,8, deverão ser positivas. º Etapa 6

7 Obtidos os resultados para os diâmetros (não comerciais) e vazões na primeira etapa do dimensionamento, executa-se um novo processo de otimização onde, para cada trecho, serão adotados dois diâmetros comerciais, um imediatamente superior e outro imediatamente inferior ao obtido na etapa anterior. Para a programação linear teremos como variável de decisão os comprimentos de cada um dos dois tipos de diâmetro por trecho, sendo as vazões valores fixos determinados na etapa anterior. Para programação não-linear considera-se como variáveis de decisão são as vazões e os comprimentos dos sub-trechos. Método via programação não linear A função obetivo pode ser dada por ( l P( diâmetroinf ) l P( diâmetrosup) C( L, Q ) =, inf +, sup (15) diametro diametro onde l,diâmetro inf e P(diâmetro inf) são, respectivamente, o comprimento do trecho com diâmetro comercial imediatamente inferior ao diâmetro obtido na primeira etapa e o preço por unidade de comprimento desta tubulação, l,diâmetro sup e P(diâmetro sup) são, respectivamente, o comprimento do trecho com diâmetro comercial imediatamente superior ao diâmetro obtido na primeira etapa e o preço por unidade de comprimento desta tubulação. Utilizando os diâmetros comerciais descritos na Tabela 4, resultado do processo de otimização na primeira etapa, temos a seguinte função obetivo: (16) C(l k,q )={[ l 1,18 P(18) + l 1,0 P(0)] +[ l,10 P(10) + l,1 P(1)] +[ l 3,14 P(14) + l 3,16 P(16)] + [ l 4,1 P(1) + l 4, P()] +[ l 5,14 P(14) + l 5,16 P(16)] +[ l 6,8 P(8) + l 6,10 P(10)] +[ l 7,10 P(10) + l 7,1 P(1)] +[ l 8,1 P(1) + l 8, P()]} Tabela 4 Diâmetros comerciais utilizados na segunda etapa Trecho Diâmetro Calculado (pol) Diâmetros Adotados (pol) Diâmetros Adotados (mm) 1 19, , 0 508,0 11, , ,8 3 15, , ,4 4 1,00 1 5,4 50,8 5 14, , ,4 6 9, , 10 54,0 7 10, , ,8 8 1,00 1 5,4 50,8 As restrições relativas a este problema são: 1. Pressão mínima nos nós: Dada pelo conunto de equações de 4 a 9 7

8 . Conservação de energia nos anéis: Dada pelas equações 10 e Continuidade nos nós: Dada pela equação Velocidade máxima admissível Como nesta etapa os diâmetros utilizados são os comercialmente disponíveis, portanto previamente conhecidos para cada trecho, pode-se utilizar os valores de velocidade máxima admissível recomendados por Granados (1990), que se encontram na Tabela 3. Para cada trecho existirão duas restrições de velocidade nesta etapa. 4 Q1 4 Q1 Trecho 1:, 4 e π D1,18 π D1,0, 5 ; (17) e (18) 4 Q 4 Q Trecho : e π D,10 π D,1, 1; (19) e (0) 4 Q3 4 Q3 Trecho 3:, e π D3,14 π D3,16, 3 ; (1) e () 4 Q4 4 Q4 Trecho 4: e π D4,1 π D4, ; (3) e (4) 4 Q5 4 Q5 Trecho 5:, e π D5,14 π D5,16, 3 ; (5) e (6) 4 Q6 4 Q6 Trecho 6: e π D6,8 π D6,10 ; (7) e (8) 4 Q7 4 Q7 Trecho 7: e π D7,10 π D7,1, 1; (9) e (30) 4 Q8 4 Q8 Trecho 8: e π D π D. (31) e (3) 8,1 onde D,i é o diâmetro comercial de comprimento i do trecho da rede. 5. Comprimento dos trechos 8, Cada trecho possui tubulações com dois diâmetros diferentes, cuo comprimento é variável de decisão do problema, portanto a soma destes comprimentos por trecho, deve ser igual ao comprimento do trecho, ou sea: l, diametroinf + l, diametrosup = L (33) 6. Não negatividade das variáveis As variáveis de decisão, comprimentos l,diâmetro inf e l,diâmetro sup e vazão Q para cada trecho, =1,...,8, deverão ser positivas. Método via programação linear A função obetivo para a aplicação da programação linear ao problema proposto são àquelas definidas pelas equações 15 e 16. Neste caso, as variáveis de decisão são, também, comprimentos de dois diâmetros de tubos para cada trecho e as vazões nos trechos da rede são consideradas 8

9 constantes e iguais àquelas obtidas na primeira etapa. Conseqüentemente, as restrições de diâmetros máximos e mínimos, velocidade máxima permitida e continuidade nos nós são eliminadas do problema. As restrições que são, então, aplicadas ao problema são a de pressão mínima nos nós (equações 4 a 9), conservação de energia nos anéis (equações 10 e 11), comprimento dos trechos (equação 33) e não negatividade das variáveis de decisão. Processado a elaboração das equações, faz-se à otimização do problema, com as matrizes A, B, Aeq e Beq. Sendo A. X < B e Aeq. X = Beq, onde X é a matriz coluna de comprimentos de sub-trechos. Figura - Matriz A de inequações Figura 3- Matriz B de inequação RESULTADOS Para se resolver o problema proposto, foi utilizado o software MATLAB. A função obetivo e as restrições de igualdade e desigualdade foram colocadas no formato requerido para a execução 9

10 dos M-files do toolbox de otimização. Foram utilizados M-files de programação linear (via método simplex) e programação não linear. Primeira Etapa: Programação Não Linear O resultado do processo de otimização dessa etapa é mostrado nas Tabelas 5a e 5b. Tabela 5a- Resultados da otimização da 1º etapa Trecho Vazão (m 3 /s) Diâmetro (pol) Perda de Carga (mca) Velocidade (m/s) 1 0, ,46 4,5469 1,610 0,106 11,65 7,0943 1, , , 5,5009 1, ,000 1,00 9,7476 0, ,147 14,39 4,9471 1, ,0555 9,91 4,997 1, , ,04 8,164 1, ,0001 1,00 0,1869 0,0446 Custo Total (umt) ,00 Tabela 5b- Resultados da otimização da 1º etapa Nó Altura Piezométrica Cota Pressão Disponível (mca) 1 10, , , , , , , , , , , , ,046 Pode ser verificado, nesta etapa de otimização, que os resultados apresentam diâmetros não comerciais, mas que servem para estabelecer, para a próxima etapa, os diâmetros comerciais superiores e inferiores para cada trecho. Tabela 6a Resultados da otimização da segunda etapa Trecho Vazão (m 3 /s) Diâmetro (pol) Comprimento Perda de Carga (mca) Velocidade (m/s) 1 0, ,0 6,6501 1, , , ,5 13,3499, ,5 1, , ,0 4, ,0 1, , ,6 17,1373 1,69 9,4 0, , ,5 3,9957 1, ,5 1, , ,1 5,0000 1, ,9 1,

11 7 0, ,0 8,1416 1, , , ,0 8,1416 0,344 0, Custo Total (umt) ,00 Tabela 6b Resultados da otimização da segunda etapa Nó Altura Piezométrica Cota Pressão Disponível (mca) 1 10, , , , , , , , , , , , ,8584 Segunda Etapa: Programação Não Linear Os resultados da otimização são mostrados nas Tabelas 6a e 6b. Observamos que a otimização foi bem sucedida e a principal restrição que dificultou o processo de otimização na segunda etapa, quando as vazões são consideradas constantes, foi à restrição de velocidade máxima, para tal dificuldade utilizamos apenas 65% da velocidade máxima utilizada no primeiro processo, assim temos mais flexibilidade de otimização na segunda etapa. Segunda Etapa: Programação Linear Os resultados da otimização são mostrados nas Tabelas 7a e 7b. Observamos que a otimização foi bem sucedida. Como a vazão, neste processo é considerada fixa, atenção tem que ser dispensada aos requerimentos de velocidade máxima admissível. Isto dificultou o processo de otimização e, para contorna-lo, utilizou-se, como valor máximo, apenas 65% do valor nominal para a velocidade máxima durante a primeira etapa, dando, assim, mais flexibilidade ao processo de otimização na segunda etapa. Tabela 7a Resultados da otimização da segunda etapa Trecho Vazão (m 3 /s) Diâmetro (pol) Comprimento Perda de Carga (mca) Velocidade (m/s) 1 0, ,4 6,1093 1, ,6 1,5350 0, ,0 6, ,0 1, , ,0 4, ,0 1, , ,0 9,7619 0,3776 0, , , 4,5747 1, ,8 1, ,0557 8,6 5,0000 1, ,4 1, , ,9 7,9360 1, ,1 1,056 11

12 8 0, ,0 0,187 0,0446 0, Custo Total (umt) ,00 Tabela 7b Resultados da otimização da segunda etapa Nó Altura Piezométrica Cota Pressão Disponível (mca) 1 10, , , , , , , , , , , , ,0000 Uma avaliação da velocidade para cada trecho, dada na Tabela 7 a, verificou-se que estão abaixo das velocidades máximas permitidas. Pode-se, portanto, dizer que utilizando-se 65% da velocidade máxima nominal para cada o resultado final de otimização do processo de otimização satisfaz todas as restrições impostas ao problema. Outros métodos As Tabelas 8 e 9 apresentam resultados, para o mesmo problema, obtidos por outros autores que aplicaram diferentes metodologias. Tabela 8: Resultados obtidos por outros autores para o mesmo problema Trecho Alperovits e Shamir (1977) ω=10,7109 Gouter et al. (1986) ω=10,6658 Kessler e Shamir (1989) ω =10,679 L D(pol) L D(pol) L D(pol) 1 56, , , , , , , ,00 1 3, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,93 6 0,00 90,00 3 9, , ,00 Custo(umt) , , ,00 Fonte: Savic e Walters (1997) 1

13 Pode-se observar que o método de programação não linear proposto por Formiga (1999) apresenta um resultado 0,39% mais caro que o melhor resultado (Eiger at al.,1994). Por outro lado, quando se aplica a programação linear na solução do problema, na segunda etapa, tem-se um custo adicional de 1,48% com relação ao melhor resultado. Num processo decisório, tais incrementos de custos são, relativamente, insignificantes. Tabela 9: Resultados obtidos por outros autores para o mesmo problema Trecho Eiger at al. (1994) Savic e Walters ω=10,5088 Formiga(1999) ω =10,5088 L D(pol) L D(pol) L D(pol) , , , , , , , , , , , , , , ,00 4 5, , , , , , , , , ,0 8 10, , , , ,0 8 78, , , ,00 1 5, ,80 Custo(umt) 40.35, , ,00 Fonte: Savic e Walters (1997) e Formiga (1999) CONCLUSÃO Neste artigo foi proposto um novo método de dimensionamento ótimo de redes malhadas, tendo como base o trabalho de Formiga, A primeira etapa do processo considera, como variáveis de decisão os diâmetros e vazões na tubulação para cada trecho. E aplicado um algoritmo de programação não linear onde a função obetivo é o custo de implantação da rede e as restrições são relativas as leis de conservação de energia e massa, além, de operacionais como: vazões máximas admissíveis, diâmetros máximos e mínimos, pressões mínimas nos nós e não negatividade das variáveis. Numa segunda etapa, onde as vazões e as perdas de carga foram consideradas constantes para cada trecho, foram selecionados dois diâmetros nominais, cuos comprimentos são variáveis de decisão. A função obetivo visa a minimização dos custos, agora levando em consideração, como restrições, os requerimentos mínimos de pressão, os comprimentos dos trechos e a não negatividade das variáveis. Atenção deve ser posta no estabelecimento de velocidades máximas admissíveis na primeira etapa, que devem ser menores que as nominais, no caso igual a 65%. A formulação do problema não-linear apresenta maior complexidade para solução, com 55 equações de restrições, e requer maior intervalo de processamento pelo software utilizado, em quanto que a formulação do problema linear utiliza-se de um menor intervalo de processamento 13

14 pelo software utilizado e apenas 3 equações de restrições. Bem temos soluções compatíveis para ambos os métodos dentro das restrições do problema e valores ótimos relativamente próximos. Convém ainda notar que o uso de softwares do MATLAB simplificou bastante o proeto de sistemas desta categoria. Mostramos que a aplicação da programação linear na segunda etapa do dimensionamento ótimo de redes malhadas apresenta soluções que geram um custo adicional de 1,48% que um dos melhores resultado encontrado na literatura. Por outro lado, o método desenvolvido por Formiga (1999) apresentou um custo adicional de 0,39%. Tais acréscimos, num processo decisório, são relativamente insignificantes. BIBLIOGRAFIA ALPEROVITZ, E. e SHAMIR, U., Design of optimal water distribution systems, Water Resources Research, Ago, Vol. 13, No. 6, p , 1977 AZEVEDO NETO, J. M. & ALVAREZ, G. A. Manual de Hidráulica. Editora Edgard Blucher, São Paulo, v. I, 6ª ed., 1973, 333p. DUAN, N.; MAYS, L. W. e LANSEY,K.E. Optimal Reliability-Based Design of Pumping and Distribution Systems, Journal of Water Resources Planning and Management, ASCE, Vol. 116, No., p , 1990 EIGER, G.; SHAMIR, U. e BEM-TAL, A. Optimal Design of Water Distribution Systems, Water Resources Research, AGO, Vol. 30, No. 9, p , 1994 EL-BAHARAWY, A. e SMITH, A. A. Application of MINUS to Water Collection and Distribution Network, Civil Enginnering Systems, Vol., p , 1985 FLANNERY, B. P.; PRESS, WILIAM H.; TEUKOLSKY, S. A. & VETTERLING, W. T. Numerical Recipes the art of Scientific Computing; Cambridge university press, New York, 1986, 818p. FORMIGA, K. T. M.; Metodologia de Otimização de Redes Malhadas Através da Programação Não Linear, Dissertação de Mestrado; UFPB, CCT, Departamento de Engenharia Civil, Campina Grande-PB; p. FUJIWARA, O.; JENCHAIMAHAKOON, B.; EDIRISINGHE, N. C. P. A Modified Linear Programming Gradient Meted for Optimal Design of Looped Water Distribution Networks, Water Resources Research, AGO, Vol. 3, No. 6, p , 1987 FUJIWARA, O. e KANG, D.B. A Two-fase Decomposition Method for Optimal Design of Looped Water Distribution Networks, Water Resources Research, AGO, Vol. 6, No. 4, p GESSLER, J. Pipe Network Optimization by Enumeration, Proc. Computer Application on Water Resources, ASCE, N.Y, 1985 GOUTER, I.C.; LUSSIER, B.M. e MORGAN, D.R. Implications of Head Loss Path Choice in Optimization of Water Distribution Networks, Water Resources Research, AGO, Vol. 1, No. 5, p , 1986 GRANADOS, A. Infraentructuras de Regadios Redes Colectivas de Riego a Presión, Servicio de Publicación de E.T.S.I. de Caminos de la Universidad Politécnica de Madrid, Espanha, 1990 KARMELLI, D.; GADISH, Y. e MEYERS, S. Design of Optimal Water Distribution Networks, Journal of Pipeline Division, ASCE, Vol. 94, No. 10, p. 1-10, 1968 KESSLER, A. e SHAMIR, U. Analysis of Linear Programming Gradient Method for Optimal Design of Water Supply Networks, Water Resources Research, AGO, Vol. 5, No. 7, 1989 LANCEY, K. E. e MAYS, L. W. Optimization Model for Water Distribution System Design, Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, Vol. 115, No. 10, p , 1989 LANCEY, K.E.; DUAN, N.; MAYS, L.W. e TUNG, Y.K. Water Distribution System Under Uncertainties, Journal of Water Resources Planning and Management, ASCE, Vol. 115, No. 5, p ,

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