FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

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1 Méoo uméco m oblm Duão CÍLO FDMO MMÁICO. o ouó mo o ómo Mcâc o Fluo mão Clo ou M ão go mmcm o quçõ c à v c, qu um um cío covção gl. O ogm ul, CH-C, v co como um m cálculo gl, com qul é oívl olv oblm um v gm uçõ íc. Couo, o quõ bv oção cl cção, á qu o méoo vção quçõ lgébc qução cl g o co coução clo ão coá, um o m comlo o co o cção., co l om qução oo qução (.). D qulqu om, ó o uo co, um v qu o co ão co mbém l qução oo m om mlh, o luo vão u oho, o méoo ml, quçõ lgébc o co: ) uão m m mo m movmo qução cl g (.); b) como coáo, lm volvo m cou cção c ccul ou cgul qução cl g (.4); c) como ocol qução cl g (.5).. qução gl coução clo lcção l um coução clo og um qução cl mu ( l, já qu é um o v [],

2 Méoo uméco m oblm Duão é g émc (o v) qu u ob om clo guo qução cl, m u om mmác lc como vávl ), cuj vção m lh o co lu cl, como o mlo [] [6]. mo oóco hogéo, m coo c u mõ clíc méc (m om o m gom com m l), qu ão qul qu o ogm ul, cvm, qução (.) om om gu: ρ C Q (.) ρ C Q (.) quçõ o é mu o ml, ρ é m volúmc o ml, C o u clo cíco ão co, u coubl émc Q é um o ou oço g g g o u volum o o o ml. gu....b, m gom íc lh, m coo c clíc méc, cvm, qu om mol u mõ lo ogm CH-C. qução o clo om quçõ (.) (.) é, como o obv, um qução cl à v c ª om váv c ª om vávl mo. u gção v g o cmo um úmo mo co, qu êm clcul com cuo um úmo gul quçõ co, qu coum coçõ o lm. Io ão cou ov, m m qu, cm, c coçõ o lm u um co cohco: bução mu o o um ólo, lém o íc o óo ml, coçõ qu ujm u o (coçõ o), m co uão ão coá clo, mbém coção cl. m, m mo mmáco, cc comlm um oblm cul coução clo é cá gu omção ul: () vlo o o m, ρ, C ;

3 Méoo uméco m oblm Duão á omb o omío olução B H Fgu.. Gom íc um lh mul com o ogm CH-C, m coo c bmo. B 0 H Fgu..b Gom íc um lh mul com o ogm CH-C, m coo clíc méc.

4 Méoo uméco m oblm Duão (b) bução c o clo Q o omío olução, ou uçõ mmác qu o co o m o mo, oção o ço ou mu; (c) coção cl,.., o 0, bução cl mu m oo o mo ( coção ó é m cá m oblm o mo, bm qu, como vmo, o um oco vo olução qul qu o ogm u, o cógo qu m um bução cl mu); () cção o vlo mu (coção o o Dchl), o vlo o luo clo (coção o o um), ou o o mo m o o o m oo o o mo. coçõ o umm gu om gl: λ λ λ 0 (.) m qu é oml o à uíc qu o λ, λ, λ ão uçõ qu ccm coção o cul lc, l como o bl. o co m comu. bl. Dção λ, λ, λ qução (.) coçõ o m comu. u coção o λ λ λ Dchl: mu B mo 0 - B um: Fluo clo Q B moo 0 - Q B Coc mão clo o covcção h um luo o à mu F moo (oc clo o covcção com um luo) h - h F coção cl, o co olv um oblm ão coáo, olução v, como vu, bução mu o ml um o, qu covco chm cl ( 0). o omío íco m coo c o Ω, coção cl é o: 4

5 Méoo uméco m oblm Duão Ω ( 0,, ) (, ) (.4), 0 ão l qul g o cl é o co l o íco o mo volução mu o ml qu á u.. Dcção qução o clo lo méoo o volum coolo Quo olv umcm um qução cl um vávl, á cm ubu- omção coíu qu olução c ou líc qução blc, quo l olução, o um cojuo co vlo vávl um úmo o oo,.., mo c olução. um- qu m como olução um qução cl, vávl ϕ, o gu olómo, m qu 0,,, b, b c ão co cohc: ϕ b b c (.5) 0 m- qu mg um méoo uméco olv qução cl cuj olução líc é qução (.5). olução uméc Ψ κ qução cl o omío íco Ω o o um mlh ó (I ó cção J ó cção ) ão é m o qu o gu cojuo o, m qu olução c ϕ κ mo um o ε, com um om g O(ε): { ψ ψ ψ (, ),, Ω ψ ϕ (, ) () ε } Ψ κ om,, j j j O (.6) olução uméc um qução cl co, o, um cojuo co vlo vávl m oo cíco o omío olução (o co o ogm CH-C ão o chmo ó mlh), o qu bução qul vávl o couí. m, olução um méoo uméco, cóg ão cm o vlo qu vávl o om um úmo o oçõ o ço, omlm o o um mlh go o ó mlh, qu m o omío íco m uo. oo, o méoo uméco m cm qu co um lgomo obção o m quçõ lgébc qução cl g, cuj cóg ão o vlo 5

6 Méoo uméco m oblm Duão vávl um úmo o oo o ço, mulm, um lgomo mmáco comucol olução o m quçõ lgébc obo... mlh u oção m mlh comucol é um cojuo lh (oogo o co o ogm CH-C) qu cm m oo qu, como o, gm o ó. mlh v bg oo o omío íco olução o u ó ão o oo o vávl (mu o co coução clo) umá vlo-olução om c. gu.. m co íco mlh, cvm m coo c o co um cção cgul m coo clíc méc o co um cção volução m om. Domío Lh o c o volum coolo Volum coolo íco Mlh.B.: o íc o ólo cocm com o o volum coolo Fgu. m mlh íc m coo c (lh cho) o volum coolo (lh cjo) qu lh ão oco. gu. o u l cocío, o- qu mlh ão m cm qu um çmo uom. lo coáo, cocção ó mlh v m cu gõ m qu o g vávl é m lvo, om mm o o cção, como vá. gu. cm um mlh ão uom. C ó mlh o coculo como o oo vo o volum coolo (mbém go o célul) qu o o, cuj o ão l lh cjo gu.., o- como lh bc qu ão cul à lh mlh qu um o ó cocuvo. D om, o co mlh ão-uom, o ó mlh qu um m célul 6

7 Méoo uméco m oblm Duão ão loclá o co goméco célul, l como o obv gu.4, qu um ó mlh o ó,,, qu lh ão vho. gu é oívl vc oção u, omm o qu o oo o o volum coolo ou célul:,,. coo o ó mlh, coo l l, ão om cvm o. mõ o volum coolo ão cção l cção l. mõ gu, como o mlo ou ão uo-lcv. váv q, q, q q m o luo clo c o volum coolo. gu.4 um volum coolo m coo c m uo mlh, bo ubu o o. Domío Mlh Lh o c o volum coolo Volum coolo íco.b.: o íc o ólo cocm com o o volum coolo Fgu. m mlh íc m coo clíc méc (lh cho) o volum coolo (lh cjo) qu lh ão oco. Dv - m co qu om cou mlh om v qul qu o ogm CH-C ul. l como co m lh o [7], ác coução mlh o v qu u o CH-C,.., m v loclm c o volum coolo m âc o ó cocuvo, om locl- o ó o co goméco o o volum coolo. co, blcm- mo lh qu m o (ou c) o volum coolo, ó o m lh mlh, 7

8 Méoo uméco m oblm Duão gu loclção o ó oção,.., o co goméco o volum coolo. q q q q q q q q o m Fgu.4 Coo clíc méc: um cojuo íco ó um mlh. Quo mlh ão uom, u ác om lc coum o mmo ulo. ov, o çmo mlh ão o uom, o ulo ão ão o mmo. D co, ác u lo cógo CH-C, qu 8

9 Méoo uméco m oblm Duão coloc c o volum coolo m âc o ó cocuvo, m um cálculo m co o luo clo o. ccíc v o co o clv um ábol um oo C, loclo m âc o oo ququ B, cm gul o clv c qu u o oo B. m, u um l l mu o ó cocuvo, o ulo obo o bogm coom o uo um l bólco, ou j, um omção com um om uo àqul qu á lc. Obvm, v um ábol um oo qu ão j m âc o o mo ão é gul o clv c qu o u, co u cão cção quo u um mlh com o ó coloco o co goméco o volum coolo, o o luo clculo ão co um mo o. o ouo lo, o co o ó mlh ão o co goméco o volum coolo qu c g mbém um vgm: o vlo mu ó,, ão v co como o vlo qu mlho mu o volum coolo uo o cálculo o vlo o, coubl émc ou ou váv qu m mu. o ê-lo, com- um mcão. loclção c o ó ( o ó vho,,, ) m mlh ão uom, quo colocm c o volum coolo m âc o ó cocuvo, lv, mm om com- mcão c qu o luo clo c o volum coolo j o lo u vlo um oo qu ão á loclo o co c (v gu.4, oo,, c o volum coolo). o o, ác colocm c o volum coolo m âc o ó cocuvo, como o CH-C, b um vgm qu o o m cvo: o íc o oblm cocm cm com c o volum coolo o (vjm- gu..), o qu o cção coçõ o m quívl, o ão é cáo cu um cção cl quçõ mmác qu m coçõ o lm... Dvção qução o clo c Roo-o à gu.4 à u omclu, há um cojuo á uc, bm como o volum o volum coolo (mh- m m qu 9

10 Méoo uméco m oblm Duão blhmo u mõ, oo, l- g o u ou m coo c ou âgulo mul m coo clíc méc), qu vm cohco, o vão com ulo o oco vção qução clo c. o volum coolo o ó géco, mo o u volum V á uc c,,, om o: V (.7.) (.7.b) (.7.c) (.7.) (.7.) o omío olução o o o coo c, qul váv m- l gu quçõ (o- qu coo o vlo á o volum ão co ulm quçõ o o ): V (.8.) (.8.b) (.8.c) (.8.) (.8.) O vlo á uc o volum o co coo clíc méc ão omo,.., ão ão co, cm oqu o oo ão á o co o volum coolo. D co, o volum um clo oco lu o o o,, vl V π( ), qu é quvl cl V cl ( ) π. O, vmo qução o o π ommo m, obmo omção l qução (.7.). 0

11 Méoo uméco m oblm Duão D gu cu--á ução quçõ lgébc quçõ c g: quçõ (.) (.), cvm coo c clíc méc. O oo á ão o cojuo o gu g: 0 Q C ρ (.9.) 0 Q C ρ (.9.b) o- qu bogm é b o méoo uo ç, qu co m om v qução cl um é lo uc. D co, o co umol mlh uom, com çmo ó, o, o úmo ê ó cocuvo jc o φ um, cvm, o vlo φ, φ φ, bogm lo méoo ç, volvo é lo m oo o ó, blc: ( ) L φ φ φ φ (.0.) ( ) L φ φ φ φ (.0.b) uco é ó o mo m v ubo u quçõ o, já uc, obém- omção v m ç : φ φ φ (.) O g o, qu ulm o méoo o volum coolo,.., gção qução cl o volum coolo o mlh qu, como vu, m o méoo ç, om cv- gu om:

12 Méoo uméco m oblm Duão 0 I4 Q I I I C ρ (..) 0 J4 Q J J J C ρ (..b) gum, --ão m o c um o g quçõ (..) (..b). o mo ão coáo (g I J), umo qu o o ml qu cm gl ão co o mo ão vm com oção o ço, obém- ucvm: C C I ρ ρ (..) C C J ρ ρ (..b) ( ) C I ρ (.4.) ( ) C J ρ (.4.b) m qu, o íc uo - m o vlo o, cvm. O guo g, I ou I J ou J, om clm clculo gu om:

13 Méoo uméco m oblm Duão I I (.5.) J J (.5.b) lo go ç clcul o luo c o volum coolo (méoo lo qul ç m ão om, como vu, m ç ),.., umo vçõ l umo vávl clcul o luo clo c o volum coolo (v qução (.)), l como íulo mlcvo qução (.6) o luo c, (.6) o g o om- mlc: I I (.7.) J J (.7.b) Coloc- go quão gção mol quçõ (.7.) (.7.b). l, cu- um oção o vlo váv o (íc uo ) o (íc uo -), coo o co oção, cujo vlo vção é 0 :

14 Méoo uméco m oblm Duão 4 ) ( I ) ( I (.8.) ) ( J ) ( J (.8.b) Dv oo, o, qu o co gção vção cl coubl émc o ml. M cocm, o um um vção l, o o vlo c o volum coolo ão clculo vé mé o vlo ó vho c, qu lh ão qu. ác gu cou o luo clo c o volum coolo, vo m cão o lmo íco o ulo. Obvm qu qulqu ouo o vção ão l o m, culm b g c muo o. o qu o o gl o mo o, I4 ou J4, moolog u é gul à qu uou o g I, I, J J. o- qu, mbo o mo o o um êc cl com vá om lgébc,.g., olómo om vá m m, ou m, é m oívl m o ulo gção ob om um ução l mé mol mu o volum coolo, :

15 Méoo uméco m oblm Duão 5 ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( Q J4 ) ( Q I4 (.9) v--á m lh o ocmo o l cocm o mo o. Ruo go o mo oo u quçõ, um m coo c ou m coo clíc méc, obém-, cvm: ( ) ( ) ( ) 0 ) ( ) ( ) ( C ρ (.0.) ( ) ( ) ( ) 0 ) ( ) ( C ρ (.0.b)

16 Méoo uméco m oblm Duão 6 u quçõ o om c um om m comc, coqum, mo cl ogmção: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ) ( D,,,,,, (.) qução, o co coo c, coo à quçõ ( ) m- ccâc émc o volum coolo, D, o coc,,,,, qu ão o vo êc émc, mbém go o couâc émc o luo clo o volum coolo jc, gu quçõ: V C C D ρ ρ (..) (..b) (..c) (..) (..) qução (.), coo clíc méc, coo à quçõ ( ) m-, o mmo âmo: V C C D ρ ρ (..) (..b)

17 Méoo uméco m oblm Duão (..c) (..) (..).. ccção o co oção ução quçõ lgébc qução cl g, l cção o, ó cá coml quo o co oção gção mol. lu cl m ál uméc,.g., [8] [9], c qu êm o uo vo ocmo, c um bo vg vg. Há vlo cul qu omm qução c um qução o o bólco. 0, o qum cção é o qum líco qução (.) om om: D D (.4),,,,,, Com méoo o vlo mu m c,, o clculo lcm l qução (.4) m c ó mlh, m ução o vlo o váv o. gu.5 m-o um ção m c um o méoo, gu.5 mo- cção mol m ál. uumo qu o qu, clm, o qum líco co qu mu o,, vlc m oo o vlo mol gção, co o. O méoo líco m como cl vgm bl uméc. v há qu gu qu qução (.4) o vlo o coc j ão gvo om qu, uêc o, um umo um o ó vho (mo- co m qulqu o ouo ó vho) coo mbém um umo o ó, ou j, o vlo gção m um vlo mámo. Mmcm, gêc - l coção: 7

18 Méoo uméco m oblm Duão - qum líco C - colo qum mlíco? Fgu.5 Rção gác o qum cção mol: 0 - qum líco, 0,5 - C-colo, - qum mlíco. ρ C,,, (.5.) qu, uêc o, m oblm m com coubl émc,, co mlh uomm ç u cçõ o ço, com çmo, u : ρ C ρ C 4 m (.5.b) 4 volção coção cou ulo cm l. qução u, o, qu mão célul é âc mám qu mu u ogção o o o o ólo u o vlo mo, ção qu o o mo oo, comucolm, já qu mlh muo, o v qu o cálculo o õ cão, o vlo o obvm quo. o ão, o méoo líco ão á qu uo. O méoo C-colo, o qul coo 0,5, um um vção l mu o (v gu.5). o u uo, o qum mlíco, o qul coo mo, oul qu o o vlo 8

19 Méoo uméco m oblm Duão mu m, mo- com úlmo vlo m oo o vlo mol gção. À m v o c qu o méoo l, ou C-colo, m oo qu qulqu o ouo o o, cluvm, é omo o «qum cocolm ávl». m ulo mo oá, o, qu qul gção u êc oávl um olução cm l, qulqu qu j o vlo mo oo como o, o m qu, como moou mh [8], ão há çõ o o mol u quo 0,5,0. ulo cá, ão, uo, o - com oluçõ qu ão ocló, «bl cocol» guá qu oclçõ cbão o moc couo um olução l, m qu couo hj g qu olução j cm l. co o clm moo o Blg [0]. o co umol, m o m oço, o é ácl moo. 0,5, o coc qução (.) c: D ( ). ummo um mlh uom com çmo couv émc o ml co, o o coc vl: ρ C. l como o méoo líco, o vlo mo ão o ucm quo o méoo C-colo, qul coc um vlo gvo, o qu cou um ocl lvo obm ulo cm l. m, o m oávl l l gu.5 cou um bo ção vção mu com o mo vlo mo lvm quo. vlo mo covlm g, o cmo cm ocl mu um om um qu buc o mo, guo um m mu co, co gáco qu, coom o obv gu.5, om muo m o qum mlíco o qu o méoo C-colo., o qum cção é o qum mlíco qução (.) om om: D ( ) ( ) ( ) 0,,, (.6) 9

20 Méoo uméco m oblm Duão Com méoo, o vlo mu m c,, o clculo lcm l qução (.6) m c ó mlh, m ução o vlo vávl m oo o ó vho o mmo. É m vjoo cv qução (.6) m mo coc o o ó mlh m cu (,,,, ). l, cum- gu buçõ: (.7.),,, D (.7.b) D (.7.c) Com buçõ, qução (.6) um om mlc l qução (.8) qu, como o obv, é mm qu à ogmção m comuo. o õ mlc c mumo quçõ, o o qum mlíco qul qu o ogm CH-C u c o mo qução cl g o ómo coução clo, c--á o íc uo, o : ( ),,, (.8)..4 coçõ o É cucl gu qu o cío covção g, uo l qução cl g o ómo coução clo, j lco oo o omío olução Ω, cluo u o. Como o á, ác coução mlh o volum coolo o lo cógo CH-C coloc c qul m âc u lh cocuv mlh. D om, c o volum coolo cocm cm com o o omío olução, l como o v gu... lém o, o volum coolo ão obõm o u omóo é cm o omío olução Ω. o cou mlh guo o méoo uo lo cógo CH-C, qu o volum coolo m cm é à o o omío olução, é cáo c ó (, coqum, lh mlh) qu ão o o omío olução. É mo l qu o vlo qu vávl um o 0

21 Méoo uméco m oblm Duão ó o o omío olução, co mu, bm como o vlo coo váv qução (.8), ão êm qulqu gco íco. o ão - lvo qu um íco mmó comuo o cuo o méoo coução mlh. l - cm o coáo, o o o ó o couão o oo m qu cluão coçõ o, o mo qução (.8) qu lh coom ão qul qu ccão ubução moo coom- coçõ. ob o oo v comucol, m m cov cu ubução o mo qução (.8) o ó o (,,, ) é, m mo lug, uão o mo u o luo clo o ó o ó o jc, vé moção ulção o cvo coc,,,,. ulção o coc qu lg o ó o ó o jc quvl mo um luo clo ulo o, l como qução (.8), o qu ão é l quo o ão é bác. m, m guo lug, é cáo o o luo l coco o o l o ulo. oção o cu- vé cção um l o clo, com cuo o mo qução (.8). moolog é lu gu vé um mlo, cuj ção qumác gu.6, um co bmol coução clo. gu, o m cu, o o cujo oo o vo é o oo B, oc g com um luo à mu F com um coc mão clo o covcção, h, cohco. obvção qução (.8) m-o u qu, ão o um oo o o omío olução (.., o um ó mlh o), o luo clo c o o volum coolo o o: q ( ). o um ó o, como o gu.6, vlo o luo á obvm o, já qu, como om o, o vlo vávl o ó o o omío olução ão ovo gco íco. uão mo, ulo o luo clo o como cm o mcoo, obém- o 0. Do, mbém já cluão o vo vlo o luo o m cu, cuj ão é ob coo à qução (.) o ocmo qu u ç, o u, o o:

22 Méoo uméco m oblm Duão q ( F ) B ( ) h B (.9) m qu R [ B /( B ) / h] / (qu o lo ó ). é êc émc o ó o luo luo ( F, h) q B B o íc B ou B ólo volum coolo o Fgu.6 Volum coolo o o o oc clo o covcção com um luo à mu F com um coc mão clo h. Fl go o o luo coco o, vé cção um l o clo, qu á gu quçõ: B ( ) h B (.0.) B ( ) h B F (.0.b)

23 Méoo uméco m oblm Duão m, o ó cujo volum coolo m c o coc com o o omío olução, qução c umá gu om: B,, B ( ) h ( ) h B B F (.) bl. um quçõ o coc l o clo,, o coçõ o oív m oblm coução clo. m uo o l o clo,, o cou cuo quo o vlo mu - um ou m ququ ó mlh, o o o omío olução, como o mlo o co ó m à mu um luo co qu v o o um ólo. ccuâc, () ó m quão, vá -: γ (..) γ (..b) 0 o γ um vlo b lvo,.g. γ 0. bl. Dção coçõ o m comu. u coção o Dchl: mu B mo ( ) ( ) B B F B B um: Fluo clo q B moo Coc mão clo o covcção h um luo o à mu F moo (oc clo o covcção com um luo) q 0 B B ( ) h B F B ( ) h B Com ocmo, o vlo o ó cá com um mu mo gul, como o com l gu qução ob qução (.8), cuj olução é clco:

24 ( γ ) γ,,, Méoo uméco m oblm Duão (..),,, γ (..b) ( γ ) 4444 α γ 44 β 0 o- qu o mo mo α qução (..b) é cm ulo, o γ 0. 0 o ouo lo, o mo β é ávl c γ 0, lo qu mu o ó cá com o vlo o o,.., omm gul..4 Dlh ob qução o clo c l como o om, o méoo cção um qução cl qu g um mo ómo íco, como o co coução clo, v obc um é g bác qu gum, um mo, o lmo íco olução obêc o blço globl vávl qu á u, qu o co m ál é g ob om clo. g ão m úmo quo [7] ão lc cu gu. Rg : Coêc c o volum coolo. Quo um c é comum o volum coolo jc, o luo clo qu v c m qu o l mm ão mmác quçõ c o o volum coolo. Obvm, o luo clo qu bo um mo volum coolo vé um c m qu cm gul o luo clo qu l mm c o volum coolo qu lh é jc, ob volm o blço locl globl g l ão vc. um cío muo clo ácl ão, é cáo - muo o vm o ub comu qu om com como, o mlo, m- cção qu couu à quçõ (.7.) (.7.b) qu o luo clo c um volum coolo é go l couv émc o ó volum,. u ác, oo-o à c, g o, chgímo à gu coêc: o luo clo c clculo o volum 4

25 Méoo uméco m oblm Duão coolo o ó o o ( )/, quo qu o mmo luo clculo o volum coolo jc, coo o ó, o o ( ) /. v o, vm co- o oo loclo c como uóom, com vlo o váv o ó o volum coolo, l com cção qução o clo cu cção.. Rg : Coc ovo qução c. oo o coc,,,,, vm m ovo. qução c, ( ) Quo o vlo mu um ó qulqu mlh o um umo o u vlo, mo- láv coçõ, o vlo mu o ó vho jc v mbém um, uc mu. úlmo co m gco íco oco, gc qu hv um coêc o cálculo o coc, ou j, h- como um o. D co, qução (.8), ( ), o vlo um, qu gum um mbém o vlo, mo- co coçõ, é cáo qu jm cm o mmo l,.., mbo ovo ou mbo gvo, o coc ( ). lv oção colh uc, o- o g ov oo o coc. o- qu o oco cção cuo cção., ov oo o coc o ó vho o gu, como o v quçõ (..) (..) ou (..) (..). Quo o coc o ó, ( ), um v qu, como vá gu, v vc- lção,,,, o u vlo á cm ovo gu qu é m o ou gul o, gêc qu o lvm à u g gu. Rg : Fo l com clv gvo ou ulo. m qu o mo o é lo ob om, o coc m qu m mo ou gul o. m quão qu g coloc é lção o mo o. m muo co áco, o mo o é, como á o, ução ó mu locl, o cohcmo êc é cucl o oco 5

26 Méoo uméco m oblm Duão cção. Quo o é um ução ão l mu, v- oc à u lção, ob om, o qu gc qu o óo coc m., o mlo, o o l qução 4 5 o cu- u lção vá om (o íc uo - o vlo vávl qu, ção o): ) 4 5 0, qu é bogm mo coc, m m, qu ão uo omção oívl vção o mo o com. ) 4 5, qu, mbo co m coc qu, o, m cocção ão g o oo à cuv 4 5. ) 4 0, 5, qu, mbo co m coc, qu m, m mbém cocção ão g o oo à cuv 4 5. v) 4 0, 5, qu é omção coc, o, g o oo à cuv 4 5, m m qu,, ( ),.., ( ). ou quão qu coloc g é gv o clv qução c qu o l. D co, qumo Rg, qu o coc o ó, ( ), j ovo, já qu é gum ovo, é cáo gu qu é m,,, o ou gul o. À mlhç o qu cm, u- um mlo clco o ocmo o gu um clv gvo qução l o, ob om., o mlo, o o l qução 7, o cu- u lção vá om: ) 7, qu é bogm coc, m m qu ão gu qu o clv c j gvo. ) 7 0, qu é bogm m coc. 6

27 Méoo uméco m oblm Duão ) 9, qu, mbo co ão coc como o, o cou à lção covgêc o oco, o, l, á c- um clv gvo cl,, ouo ovo mbém cl, 9, mbo o clv l, qu o oco vo, lucm covgêc. Rg 4: Coc o ó como om o coc o ó vho. m qulqu ó o omío olução, g- qu (como já ou cm),,,, om gu qu qução cl g cou mmo qu co à olução um co C,.., C cou olução qução cl. Quo qução cl g o ómo m uo m mo v c vávl, ão, é olução qução cl, C, o C um co bá, v cou olução qução. o quçõ c m qu lc quçõ lgébc v qução cl,.., gu om qução (.8),,,, v m- vál mmo quo co C o vlo o ó vho,,,. gu quo, é cáo qu.,,, o-, o o, qu qução (.8) ão lc qul o quçõ c, um v qu um o qução, qu é ução mu, co, m m C ão olução qução cl. ão um volção Rg 4, m um co m qu l ão é lcávl. D qulqu om, gu qu o mém lcávl uêc o, g v m co o oco cção. lá, Rg 4 gu om, cb- c gu u vgêc o oco cção: uêc o, o vlo mu o ó vho, cocm,,,, om oo gu, ão mu o ó,, v o mmo vlo qu mu o ó vho. ó um oco coco cção ão lv à vão, ccuâc,. 7

28 Méoo uméco m oblm Duão 8.5 qução c ê mõ o ogm CH-C lcávl oblm u mõ [] [], u ão um cógo mol é b cívl, bm qu o um oco mooo qu qu b ção v o cução. O luo qu vlm mo êc blh v olução oblm Fómo êc om clm cov o cógo ê mõ. o m, bá qução o clo ê mõ, qu u om coo c é: Q C ρ (.4) guo um oco m uo êco o co bmol, go o u o oo c o volum coolo cção, cvm mo ju o ó, m- ucvm, om bv: 0 Q C u ρ (.5.) 0 L5 Q L4 L L L C u u u u u ρ (.5.b)

29 Méoo uméco m oblm Duão 9 L4 L L D D D u u (.6) ( ) u C L ρ (.7.) u u ) ( L (.7.b) u u ) ( L (.7.c) D D D D D D ) ( L4 (.7.) ( ) ( ) u ) ( Q L5 (.7.) quçõ o, u mão o volum coolo cção, o íc D m- o ó mlh vho cção, D à âc mmo ó o ó. Com ulção o méoo mlíco, chg- lm o cojuo quçõ: ( ),,,,,D (.8) u C D ρ (.9.)

30 Méoo uméco m oblm Duão D D u u u D u (.9.b) (.9.c) (.9.) (.9.) (.9.),,,,D, (.9.g) (.9.h) D (.9.) D (.9.j).6 Méoo olução quçõ lgébc: DM qução (.8) um blço g c volum coolo o omío olução, já qu l é c c um o ó mlh qu loclm o o o o omío. D om, como já o, cção qução cl g co um é ocmo líco qu covm qução cl um m quçõ lgébc, cujo úmo gul o úmo ó mlh o vávl é cohc. gu obção bução mu co, ão, m olv quçõ lgébc mulâ. Dv - m co qu o oco cção om cuo o oco olução quçõ lgébc, ul cção, ão ocmo o. m, colh moolog cção qução cl ão luc o lgomo olução quçõ lgébc ul. úlmo, lu um cojuo b vo méoo, coml 40

31 Méoo uméco m oblm Duão v, qu o co: o ml oco vo oo--oo é o comlo méoo vão mcl c (v,.g., [] [6]). o o méoo uo lo ogm CH-C, --á gu um bv í o méoo oul Gu-l, qu é o m ml oo o méoo vo. méoo coc olução um m quçõ clculo o vlo vávl m c oo mlh o um m om. o qução c gu: ( ) g o ó vho, ão o vlo é o o: b, m qu b b * ( ) (.40) m qu * é o vlo o ó vho clculo m cm, ou j, o vlo qu co mmó o comuo. vlo o o o vlo ção m cuo, um ó já vo lo ocmo vo, como o o vlo ção o, um ó o v ção m cuo. lu o méoo Gu-l, m- gu o mlo muo ml. XMLO : j o gu m quçõ: 0,4,0 0, olução uméc m, coo o méoo Gu-l é: Ição º , 0,68 0,87 0,949 0,980...,0 0,,68,87,949,980...,0 Como o obv, comço com mv cl (, ) ( 0,0) oívl cu çõ é lcç o ulo coco., o 4

32 Méoo uméco m oblm Duão XMLO : j o gu m quçõ:,5,0 0,5 O m m como ulo m quo çõ, uo o méoo Gu-l: Ição º ,0-4,0 -,5-0,5 0 -,0-0,5-9,5-76, Como o obv, comço com mv cl (, ) ( 0,0), ão o oívl cu çõ é lcç o ulo coco, o o méoo vgu, o coáo o co o m qu o méoo h covgo. o m cuoo é qu o guo m quçõ é cm o mmo m qu o o mlo, com jo o mo, qu h covgo. É óbvo qu, o mlo o, cocluão qu é qu m m o méoo Gu-l covg. l, um céo covgêc o méoo Gu-l, qu o omulo o cboough [7] qu blc gu coção ucêc covgêc o méoo: b, <, o quçõ lo mo um qução (.4) Objcvm, o céo cboough, qu é um coção uc m ão cá oo, oo, volo m m cujo oco vo covg olução, blc omâc gol cl m o coc quçõ. R- qu g bác uc cção.4 oçm céo: o o clv o (Rg ) m gvo ( < 0 ), o céo é m m o, culm oqu Rg 4 blc qu b Rg blc qu o coc b ão m ovo. mo vgm o méoo Gu-l é lv lão covgêc o oco vo, culm mlh com um lvo úmo, 4

33 Méoo uméco m oblm Duão ó, vo à cul qu o méoo m m m omção o, l coçõ o, o o o omío olução. o ão, o cógo CH-C ão u méoo vo. o-, o o, qu uu o ogm CH-C é mm vál, mo qulqu lgomo olução quçõ lgébc. vão o cógo qu ulá coém o lgomo hom ou DM (-Dgol M lgohm), qu é um ocmo qu olv mulm quçõ o logo um lh mlh, o co um colu Ico, uo o vlo m cm clculo colu jc àqul qu á lc o lgomo hom. D om, ocmo lh--lh é um ão o méoo vo oo--oo Gu-l (v,.g., [5]). lco ão o o ocmo um m colu Ico mlh, comço l colu m o,, cuo o vmo colu--colu o o -, qução (.8) c ó colu om om: * ( ) (.4.) * (.4.b) quçõ o, o mo o * é mo com o vlo qu ão oív o momo o cálculo,.., é o vlo qu cbou clculo ção m cuo colu mo é o vlo qu o clculo ção o colu ju, lco lo íc uo - qução (.4.b). gmo o Jco lh cul à colu qul á lc o lgomo hom (colu Ico), qução (.4.) o cv- om qução (.4), m qu o íc j m oção o oo colu: j j jj b jj c j (.4) m v qu, c colu, J v v J é J J-, o J o úmo ó cção, o m o é o l quçõ: 4

34 Méoo uméco m oblm Duão M 4 4 j j j j b c b j j b 4 j j c c c b 4 j j j c j (.44) o- qu b j- om lmo, já qu o u vlo é ulo m ulo o ocmo co ubcção..4 oução coçõ o, guo o qul ul o coc qu lg o ó juo à o o ó o jc ou ão coc o luo uvo vé o mo o. mo o, o m o, á cluío m c,, c j- j-. oguo com ução ómul coêc g l lcção o lgomo hom, o m quçõ (.44) é olvo vé um oco lmção ucv, guo um oco ubução qu lc m o vo, úlm m lh: ( / ) ( c / ) (.45.) * c * ubuo go o vlo qução o m quçõ (.44) obém-: * * * ( /( b )) (( c b c )/( b )) (.45.b) * c * oco ucvm mm om quçõ gu o m (.44), chg- o m: j j * * c 4 * j * j c c * * M (.46) j c * j 44

35 Méoo uméco m oblm Duão O m quçõ o o ão olvo o ubução v,.., o ubução úlm qução úlm, m ucvm é chg à ubução gu qução m. D co, úlm qução o m (.46) á cm o vlo j. vlo, quo ubuío úlm qução o o m, m ob cm o vlo j. oco ucvm quêc, obém- cm o vlo. m oblm qu o coloc é o colh cção guo qul v o vmo cálculo,.., colh coc quêc m qu lh um cção ão clcul. o mlo, o co o gu.7, m m cov olvm quçõ lgébc c, é cu o vmo qu lh Ico ( co), qu é cção cl o luo clo. o- qu o bác, o clo cbá o lu oo l à mu. Com ocmo, omção o mo, o o com um mu gul, á m clm m o o o omío olução. o o um coção luo ulo, o é bác, um vmo qu ão m o o o omío olução um omção ão úl como o co coção mu mo. ( > ) Dcção cl o luo clo DIBÁICO Fgu.7 mlo íco um co m qu há vgm cu o vmo cálculo qu, cção cl o luo clo. 45

36 Méoo uméco m oblm Duão Como já o om, m muo ouo méoo vo olução m quçõ l, qu ão ão qu co, m qu mcm qu vo à glção o u uo. É o co o méoo lh--lh go o DI (lv Dco Imlc), volvo o cm Rcho [8], o méoo IM (og Imlc Mho), volvo o o [9]..7 ocmo vo globl gu.8 qum o ocmo vo globl, o qul om obv o váo o volvo o cálculo volução ão coá mu, um oblm uão clo, comço- com um bução cl o cl 0. O ocmo ogu com o cálculo o coc quçõ lgébc c o 0, uo mu c. gu- o oco vo lh--lh o lo lgomo hom olv o m quçõ l, é ob um olução covg, guo um céo qu uméc o íuo globl, qu vá gu. o céo ão o o, çõ ogum, comço o cclo o cálculo o coc quçõ lgébc c. Quo o céo covgêc é o, o oco mmo ão mu clcul como mu o o, ogu o cálculo o, m ucvm é qu o mo ol blco h o cumo. m m ê oco vo, cooo o oco vo m o o lgomo hom. oco vo é, o u v, o c mo, v qu cá ob um cmo covgo,.., um cmo mu com um íuo ucm quo. cclo o ço vo o co muo o oblm olv ão m l, oo, hv c clcul o coc quçõ lgébc c ovo cmo mu obo. O cclo o, qu coo o oco ão coáo, cu o cclo om o é g o mo ol cálculo, qu é é-blco. v coá ocmo é qul qu cu um ção o mo com um o mol, co qu é guo l omulção mlíc, o qu é quvl qu ão o o cclo o. 46

37 Méoo uméco m oblm Duão IÍCIO cção o cmo cl mu o 0 Mmo mu o o vço o mo - Cálculo o coc (,,,, ),, c. Ição o cmo uo o oco vo lh--lh ão : O íuo globl é ucm quo? m : O mo ol blco já o cumo? ão m FIM Fgu.8 O luogm o oco vo globl. 47

38 Méoo uméco m oblm Duão.8 Covgêc, cão bl uméc m ou oçõ cálculo o o o ogm CH-C qu lcom com co mo o cálculo uméco quçõ c, qu bom gum. o - covgêc como o um oco vo qu gu volução uv o vlo clculo vávl, um cojuo vlo c mo é à olução l cávl quçõ lgébc, ob cção qução cl g. O céo go o cávl olução l vl- u om: ) vção o cmo mu ouo o u çõ cocuv é ucm quo, coo com um vlo co o; ) O íuo R quçõ c qução cl g, co qução gl o clo quçõ (.) (.), g um vlo ucm quo. O íuo R - lo gu blço g: R ( ),,, (.47) O úlmo céo é o m mo, ác, o ocmo uo lo ogm CH-C g qu om o vlo boluo o íuo oo o volum coolo (o qu é quvl om o vlo boluo oo o blço g loc m oo o omío olução) j o à cção muo qu é-blc λ um luo clo êc, como o mlo, o luo ol clo m jogo Q O,..: R, λ Q O (.48) o qu à cão o ulo uméco, u cl êc o o o gu co: ) Obção um olução cávl quçõ c; 48

39 Méoo uméco m oblm Duão ) blcmo mlu qu o o o mo,, o çmo mlh,.., âc ó cocuvo, qu vm ucm quo qu olução ob ão v com ução âmo. Rlvm o çmo mlh, é uul g- como olução mlh qul qu é ob com um mlh cujo mo l. Flm, l bl uméc o méoo. O oco vo o olução quçõ lgébc, qu lou om, ou o oco vo olução ão l ovlm m lgu oblm om omulo om gu, o quo oívl, covgêc o oco, omm vé g omâc gol cl m o coc quçõ c. quo, cuj omulção mmác o u l qução b, v vco oo o ó mlh, o qu, como vu l qução (.4), qução v vc, lo mo, um ó mlh. o- mo qu, uêc o clo qu umm com mu, céo é m obco qulqu qu j mão mlh o o o mo. o co hv o clo qu umm com mu, o céo o é obco qu ocum o çmo mlh o o o mo quo. o co oblm cum ão l, m qu o óo coc om ução vávl como, o mlo, o co m qu coubl émc é ução mu, o céo o o ão m válo, êc uméc mo qu é um coção quuc. Mmo m, o oblm cum ão-l é, o v, cáo lm vçõ vávl ( co, mu ) u çõ cocuv. Há u m oív cv umcm mocmo vção vávl : ) lo o o mo muo uo; ) Iouo um ub-lção à vávl, qu co oção o u vlo u çõ cocuv. ub-lção - mmcm, c ó, l qução mmác gu: 49

40 Méoo uméco m oblm Duão ( ) α α (.49) m qu ão, cvm, oluçõ çõ -, α é o co ub-lção, cuj gm vlo mív é 0 α. ubuo o vlo obo qução (.49), qução ( ) b qução lgébc l, ub-l, u lo cógo CH-C:,, obém- ( ) α ( ) ( α ) (.50) α b.9 o coo cuvlí oogo vçõ o m- coo c coo clíc méc. o o, m co áco m gh cuj gom ão ão áv m coo. m, olv oblm com gom cujo omío bm om gul é, o v, cov co coo cuvlí oogo como qu gu.9. q q q q Fgu.9 Volum coolo um mlh m coo cuvlí oogo. mlh, o cálculo vá âc, á c o óo volum o volum coolo ão oc om ão c como o co 50

41 Méoo uméco m oblm Duão coo c ou clíc méc. Couo, o moolog qu volv é lcávl m coo qu gu oogol lh qu m mlh. D co, om como o luo uvo é clculo c um volum coolo, m ução o vlo vávl o o ó qu lh ão jc, qu qu c j oml à lh mlh qu u o ó. ão, o o, ácl cução, gção mlh m coo cuvlí oogo. m váo méoo g mlh (v,.g., êc [0] []), m é um uo mo vço o objcvo o o,, como l, ão boá qu. o- qu ouo o mlh, g mlh ãouu, qu cção quçõ c m um ocmo cul, qu mbém o o âmbo ouóo o o. 5

42 5 Méoo uméco m oblm Duão