PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA HIDROLOGIA APLICADA. Estatística aplicada a hidrologia. Prof.

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1 PONTIFICIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS ESCOLA DE ENGENHARIA HIDROLOGIA APLICADA Estatística aplicada a hidrologia Prof. Felipe Corrêa

2 Considerações Iniciais As variáveis hidrológicas são aleatórias pois não seguem uma lei de certeza; Assim sendo, uma variável hidrológica qualquer tem uma certa freqüência ou probabilidade de ocorrência que está associada a um tempo médio; O tempo médio em que a variável pode ocorrer é denominado tempo de retorno.

3 Variáveis hidrológicas As variáveis hidrológicas são oriundas dos processos do ciclo hidrológico: Precipitação; Intercepção; Evapotranspiração; Infiltração; Escoamento.

4 Aplicação da estatística na hidrologia A estatística é baseada na análise da série de dados observados ao longo do tempo; Os estudos estatísticos dessas séries tem aplicações das mais diversas, tais como: O comportamento climático e hidrológico regionais (série de valores médios); Projetos agrícolas (séries de valores mínimos); Projetos de obras hidráulicas (série de vazões máximas).

5 Amostra e Universo Universo Amostra Será que a amostra é representativa do universo? Pergunta: Exemplo: X 0 Para responder, deve-se verificar as características amostrais e compará-las com as características universais.

6 Amostra e Universo Características Amostrais Universais Média x µ Moda X mo mo Variância S² ² Desvio Padrão S Assimetria a A Curtose c C Distribuição de frequência F(x) P(x)

7 Características das Séries Hidrológicas As séries de dados utilizados na análise de probabilidade devem possuir as seguintes características: Séries de valores independentes entre si; A série deve ser homogênea e consistente; A série deve ser uma amostra representativa do universo.

8 Características das Séries Hidrológicas Para o estudo de frequência de vazão extremas, por exemplo, podem ser usadas séries parciais ou séries anuais de vazões. As séries anuais são formadas pelos maiores valores (ou menores no caso de valores mínimos) de cada ano, formando n valores da variável em n anos; As séries parciais possuem, em média, m valores por ano e não apenas um valor, resultando em m.n valores.

9 objetivo da estatística na hidrologia Tem por objetivo principal, analisar as características da série quanto: parâmetros estatísticos; análise de freqüência; distribuição de probabilidade.

10 Parâmetros estatísticos: A) Medidas de tendência central Média Aritmética Média Geométrica Média Harmônica Mediana Moda

11 Parâmetros estatísticos: A) Medidas de tendência central F(X) F(X) mediana X média = mediana = moda moda média X

12 Parâmetros estatísticos: Medidas de Dispersão Desvio médio dx 1 n n i 1 x i x Variância e Desvio Padrão S 2 1 n n x i x i 1 2 Dp S Amplitude A x max x min Coef. de variação Cv S x

13 Parâmetros estatísticos: Exemplo: Determinar os parâmetros estatísticos da série hidrológica abaixo: Ano P (mm) ,

14 Análise de Freqüência A) Fundamentos Os processos hidrológicos são aleatórios, logo, podem serem inferidos por uma lei de probabilidade. As leis de probabilidade são funções contínuas usadas para a estimativa de um dado evento hidrológico e precisam ser previamente ajustadas. O ajustamento consiste na verificação da representatividade da lei da probabilidade em relação as freqüências de ocorrência do processo hidrológico.

15 Análise de Frequência Fundamentos A frequência é o número de vezes em que um evento pode acontecer Em hidrologia a frequência de um evento está associada a magnitude do evento. F X x F X x 1 Onde: X x Freq de não excedência X x Freq de excedência F. F. P X x P X x 1 Onde: X x Prob de não excedência P. X x Prob de excedência P.

16 Análise de Frequência Fundamentos A hipótese nula (Ho) tem por base a diferença entre as características amostrais e populacionais. Assim: D Máx F ( X x) P( X x) D, n Se esta diferença estiver dentro de níveis de significância aceitáveis, então a hipótese nula é aceita e a distribuição de probabilidade passa no teste sendo, portanto, representativa das frequências amostrais observada.

17 Análise de Frequência Distribuição de Frequência acumulada Método Califórnia: F X m n Método de Kimball: F X m n 1 Onde: m = ordem do evento; n = n de dados.

18 Análise de Frequência Rol decrescente Rol crescente Ano P (mm) F(X >= x) ordem P(mm) ordem P(mm) F(X <= x) 1910 P (1910) 1 P máx 1/(n+1) 1 P mín. 1/(n+1) 1911 P (1911) 2. 2/(n+1) 2. 2/(n+1) 1912 P (1912) 3. 3/(n+1) 3. 3/(n+1) n P (n) n P mín. n/(n+1) n P máx n/(n+1)

19 Análise de Frequência Agrupamento em classes de frequência Definir o n de classes (N) N n Definir a amplitude de cada classe (a c ) a c amplitude global n de classes A N G

20 Análise de Frequência Agrupamento em classes de frequência Calcular o ponto médio de cada classe Frequência absoluta Frequência relativa Frequência relativa acumulada

21 Análise de Frequência Período de retorno e risco de falhas O período de retorno, ou tempo de recorrência, é o inverso da probabilidade excedente: T P( X O risco de uma obra falhar uma ou mais vezes ao longo de sua vida útil é igual a: n R Onde: T Período de Retorno (em anos); n É a vida útil da obra (em anos); R É o risco permissível. 1 x) T

22 Geoestatística: Noções básicas

23 SUMÁRIO Motivação Definições Hipótese intrínseca Semivariogramas: cálculos e modelagem Validação dos modelos Métodos de estimativa espacial para confecção de mapas

24 Métodos de estimativa espacial para confecção de mapas RETICULAÇÃO TRIANGULAÇÃO INVERSO PONDERADO DA DISTANCIA MINIMA CURVATURA SUPERFICIE DE TENDENCIA KRIGAGEM COMPARAÇÕES

25 Analise tradicional A B n média 100,0 100,0 desvio padrão 20,0 20,0 mediana 100,35 100,92 Percentil 10 73,89 73,95 Percentil ,61 124,72

26 De acordo com estas evidências os dois conjuntos da dados são quase semelhantes

27 Comparação de seus respectivos gráficos de contornos. O conjunto A é mais acidentado que o conjunto de dados B. Não se pode afirmar que o conjunto de dados A é mais variável do que o conjunto B, haja visto que os desvios padrões dos dois conjuntos de dados foram iguais. O conjunto A muda mais rapidamente no espaço do o conjunto B

28 O que é a geoestatística? Geoestatística: estudos de fenômenos que variam no espaço e/ou no tempo (DEUTCH, 2002) Geoestatística pode ser considerada como uma coleção de técnicas numéricas, que lidam com a caracterização de atributos espaciais, empregando primeiramente modelos aleatórios de forma similar como as análises de séries temporais que caracterizam os dados no tempo. (OLEA, 1999) Geoestatística permite a descrição da continuidade espacial de fenômenos naturais e fornece adaptações das técnicas da regressão para o entendimento desta continuidade. (ISAAKS AND SRIVASTAVA, 1989)

29 Definições Geoestatística sub-área da Estatística espacial Geoestatística é um conjunto de métodos úteis para a compreensão e modelagem da variabilidade espacial inerente em um processo de interesse. Embora ela tenha sua origem na mineração, a geoestatística é uma parte básica de muitas disciplinas científicas incluindo as ciências do solo, hidrologia e engenharia ambiental. A parte central da geoestatística é a idéia de que medidas mais próximas tendem a serem mais parecidas do que valores observados em locais distantes. A geoestatística fornece métodos para quantificar esta correlação espacial e incorporá-la na estimação e na inferência (GOTWAY, C.A.; HARTFORD, A.H Geostatistical methods for incorporating auxiliary information in the prediction of spatial variables. J. Agric., Biol. Environ. Statis., 1: ).

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32 AMOSTRAGEM Grade quadrada Grade quadrada com ilhas Em círculos concêntricos Grade trapezoidal Ao acaso

33 Direção, Y 130 Quadrada Direção, X AMOSTRAGEM EM GRID QUADRADO 5m

34 Distância Y, metros Quadrada com ilhas Distância X, metros

35 Grade trapezoidal Esquema - PVa - abrupto 393 amostras

36 Círculos concêntricos

37 Ao acaso

38 GEOESTÁTISTICA HIPOTESE BASICA Dados vizinhos são mais parecidos que dados distantes. SEMIVARIOGRAMA medidor do grau de semelhança entre vizinhos

39 Amostras são: Pontos de uma função contínua Relacionadas com seus vizinhos Semelhança entre vizinhos diminui com a separação Depende da escala

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43 Semivariânciaic Distância Dados Modelo CARACTERÍSTICAS DO SEMIVARIOGRAMA Distância Dados Modelo Modelos ajustados ao semivariograma, usam C 0, C 1 e a como parâmetros.

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47 Principais modelos de semivarigrama Esférico Exponencial Gaussiano

48 Principais modelos de semivarigrama

49 Isotropia e Anisotropia

50 ANISOTROPIA O que é? Variabilidade diferente em direções diferentes. O contrário seria isotropia. Como se analisa? Calcula-se semivariogramas direcionais para 0, 45, -45 e 90 graus. Examina-se o gráfico destes semivariogramas todos juntos.

51 ANISOTROPIA Resultado pode contribuir para julgamento de jack knifing. Anisotropia pode revelar: Efeito pepita diferentes; Alcances diferentes; Patamares diferentes;

52 Semivariância Semivariancia dos resíduos Distância, metros

53 Dados com Tendência Topografia (cm) Wang

54 Semivariânciaa Semivariânc Topografia Wang Ottawa, Canada Cotas_Original Estimado Cotas_Resíduos Distância, m Elevation Sph(1,39,16) a Distance, meters

55 Topografia (cm) Wang Topografia (Resíduos) Wang, Ottawa

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57 Validação do modelo Para se saber se as hipóteses de estacionaridade estão corretas, se o modelo ajustado está bom, e qual a vizinhança ideal para fazer uma estimativa deve-se usar o jack knifing. Para tanto, elimina-se cada um dos valores medidos sussessivamente estimando-o usando o semivariograma ajustado e uma vizinhança (número de vizinhos) escolhida.

58 No final deste processo, tem-se um conjunto de N valores medidos, Z(x i ), N valores estimados, Z * (x i ), e N variâncias da estimativa, 2 (x i ). Com estes números, pode-se fazer um estudo de erros os quais TEM QUE NECESSARIAMENTE estar dentro de alguns padrões estatísticos

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61 3. IJK Indice de jack knifing IJK=3-(b+r 2 +média+variância) Valor ideal = 0 (zero) 4. RMSE (Raiz Quadrada do Erro Médio): RMSE= 1/NS*RAIZ{SOMA[Z(x i )-Z * (x i )] 2 } onde NS é o número de semivariâncias calculadas. Valor ideal = 0 (zero)

62 IJK RME Média dos erros Variância dos erros Coef. Linear coeficiente angular correlação 0.00E E E E E-02 Exponencial Gaussiano Esferico Exponencial Gaussiano Esferico Exponencial Gaussiano Esferico -2.50E E E E E E E E E-03 Exponencial Gaussiano Esferico Exponencial Gaussiano Esferico -6.00E E E Exponencial Gaussiano Esferico Exponencial Gaussiano Esferico

63 Métodos de estimativa espacial para confecção de mapas Topografia (Resíduos) Wang, Ottawa

64 Reticulação

65 Triangulação Conecta os pontos amostrados através de triângulos e interpola os valores entre eles

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67 Inverso da ponderada da distancia

68 Mínima curvatura

69 Superfície de tendência

70 Krigagem

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81 Mas qual seria o mais indicado afinal?

82 A idéia marcante da geoestatística é bem simples. Ela consiste nos seguintes passos: 1º Passo - defina uma área/local A, considerada homogênea o suficiente para a garantir a interpolação dentro dela, ou seja, Área A Z(x) Z( x h) E Z( x) E Z( x h) x A

83 2º Passo - examine todos os dados medidos dentro de A para calcular as características-h da variabilidade espacial, isto é, calcule os valores do variograma experimental. ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ˆ h N 1 i 2 i i A h x Z x Z h x z x z h 2N 1 h i i

84 3º Passo - Modele o semivariograma experimental com uma função avaliável para todos os vetores de distância h.

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86 Semivariância Resumidamente: Passos da modelagem da variabilidade espacial Malha amostral georeferênciada Modelagem do semivariograma Cr ˆ( h) 1 2N( h) N ( h) Z ( xi ) Z( xi h) i Distância de Separação (m) Mapa de isolinhas 5500 Estimação nos pontos não amostrados

87 GRATO PELA ATENÇÃO Felipe Corrêa