UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS-UNISINOS UNIDADE ACADÊMICA DE EDUCAÇÃO CONTINUADA CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA

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1 UNIVERSIDADE DO VALE DO RIO DOS SINOS-UNISINOS UNIDADE ACADÊMICA DE EDUCAÇÃO CONTINUADA CURSO DE ESPECIALIZAÇÃO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA GUILHERME FRANKLIN LAUXEN NETO O ENSINO DE PROGRESSÕES GEOMÉTRICAS E A MÚSICA SÃO LEOPOLDO 2014

2 Sumário INTRODUÇÃO... 3 CONCEITO FÍSICO... 4 FATOS HISTÓRICOS E CULTURA MUSICAL... 5 ESCALA TEMPERADA... 8 CONCLUSÃO REFERÊNCIAS... 14

3 INTRODUÇÃO Para que possamos compreender a relação intrínseca entre a matemática e a música, é preciso compreender a evolução histórica do conhecimento da música e as diferentes formas de se entender o que é música nas diferentes culturas e épocas. Ao contrário do que Galileu e alguns teóricos musicais defendiam no século 16, Vincenzo demonstrou que a música não poderia ser embasada nas ideias pitagóricas abstratas vigentes na época de razões de números inteiros, mas sim no fenômeno físico sonoro. (ALISSON) Portanto, partirei de uma concepção física e ao mesmo tempo histórica e cultural da evolução dos diferentes conceitos e formas de se entender a música e sua relação com a matemática.

4 CONCEITO FÍSICO O ser humano em busca de uma perfeição dos sons trouxe à pauta uma discussão quanto aos conceitos físicos relacionados com a música. E isso nos levou uma compreensão, mais ampla e rigorosa dos conceitos matemáticos envolvidos e já apresentados por Pitágoras a cerca de 500 anos antes de Cristo. Portanto, alguns estudos, nos levaram a um entendimento físico do que chamamos de som. Este é resultado de oscilações muito rápidas que acontecem no ar. Essas oscilações se dão na forma de compressão e rarefação do ar, ou seja, as moléculas do ar de comprimem e se rarefazem muita rapidamente, que pode ser interpretado com uma onda que vai se propagando no ar. As notas músicas são, por sua vez, variações da frequência de oscilação. Por natureza, os sons podem ser curtos ou longos, graves ou agudos, fortes ou fracos e podem ser facilmente reconhecidos pela sua fonte sonora. Um som carrega, dentro de si, todas essas informações simultaneamente. Estas informações contidas no som são fundamentais para o estudo das notas musicais. A física tem um papel fundamental na evolução da música como ciência. Pois, a partir do estudo de frequências podemos fundamentar teoricamente experiências e fatos até então concebidos por grandes estudiosos. Por exemplo, se alguém emitir um som que tem uma determinada frequência de vibração e se for emitido outro som que tem o dobro desta frequência, o ouvido humano interpreta estas frequências sonoras como equivalentes e passa a aceitá-las como sons idênticos. Desde a antiguidade, nas mais variadas épocas, os povos se utilizaram deste conhecimento para organizar as suas criações musicais. Desenvolveu-se o costume de utilizar os sons que os nossos ouvidos entendiam como equivalentes como uma espécie de espaço sonoro que poderia ser fracionado.

5 FATOS HISTÓRICOS E CULTURA MUSICAL O matemático e filósofo Pitágoras realizou a primeira experiência registrada na história da ciência. Pitágoras construiu um instrumento de uma corda distendida que poderia ser pressionada em diferentes pontos, produzindo sons que mantinham relações aritméticas. Foi com o monocórdio, que Pitágoras percebeu que o som produzido por uma corda esticada, e pela sua metade, era reconhecido pelos nossos ouvidos como sendo o mesmo som, mais agudo. E fazendo vibrar uma terça parte desta corda um novo som aparecia. Os três sons, quando tocados simultaneamente, produziam uma agradável combinação ao ser humano. Figura 1: Monocórdio feito e usado para demonstrações no Kings College London, no final do século 19. Imagem o Museu Whipple (Wh.4408). Dividindo simultaneamente essa corda em sua quarta parte, quinta parte, sexta parte e assim por diante, dando origem aos estudos das escalas musicais. Figura 2: Divisão sucessiva, faz-se a corda vibrar em relações fracionárias referentes ao seu comprimento original. Contudo, é fundamental perceber que existem diferentes formas de organizar e estudar a música e muitas vezes esta organização é intrínseca à cultura do povo que a estuda. Mas, muito provavelmente, foi de uma forma semelhante que surgiram as escalas musicais em outras culturas. Foi provavelmente desta maneira que um músico chinês, a partir das sucessivas divisões (a terça parte) do som original, começou a criar uma escala musical, até que ele se deparasse com a sexta nota desta escala musical.

6 Pela primeira vez, um som não combinava com o som original. Por sinal, eles até se pareciam excessivamente, contudo não produziam um som agradável. O que fez com que o chinês, desse por concluído o trabalho e criasse os cinco primeiros sons, uma escala pentatônica. Nesta escala todos os sons combinam entre si, para experimentar isso qualquer um de nós, pode se sentar à frente de um piano e tocar apenas as teclas Figura 4: A nota musical SI, obtida pelas sucessivas divisões na terça parte destonava da primeira nota, o DÓ. pretas, que formam uma destas escalas pentatônicas. Figura 3: Escala Pentatônica A escala pentatônica é a escala de música oriental, é uma escala onde todos os tons tem uma relação matemática idêntica entre si. E isso provoca um sentimento de harmonia e igualdade, que é um sentimento, também, da cultura e arte oriental, em especial chinesa, japonesa, hindu e também, do Blues americano. Aquele sexto som encontrado também trás uma relação matemática com o som original, uma vez que é quase o inteiro, ou seja, o som original. Pela extrema semelhança e pela complexidade existente, na relação destes sons, ele foi afastado do universo sonoro chinês. Uma maneira de se dividir este espaço entre dois sons equivalentes, por exemplo, entre dó e dó, é em sete partes, por gerar sete notas, criou-se a denominação oitava para este ciclo, já que o oitavo som passa a ser o primeiro do espaço equivalente, dando a impressão de voltar ao início, e,assim até o infinito, sendo esta uma das forma mais utilizadas no acidente. Figura 5: Representação de uma oitava. Por sua vez, podemos destacar outros povos e suas contribuições na música. Os árabes incluem na sua tradição até 24 divisões desiguais no interior da oitava, criando combinações que levam até 133 maneiras de agrupar os sons.

7 O sistema musical do norte da Índia tem 22 notas, em intervalos muito pequenos de som que são chamados quarto de tom e ao sul da Índia eles têm 28 intervalos. A música clássica indiana tem 10 escalas básicas que se subdividem em 64 e a partir de uma análise combinatória entre elas, pode-se realizar um mapeamento das diferentes combinações sonoras de forma ampla e matemática.

8 ESCALA TEMPERADA Esta escala consiste em dividir a oitava em doze porções de tamanho idêntico. Afinando os instrumentos desta maneira, qualquer melodia, poderia ser transposta para outros lugares do teclado, e a reconheceríamos como sendo a mesma música, mas em tons diferentes. Para compreender esta escala é necessário retornar um pouco ao estudo de Pitágoras. As divisões pitagóricas sugerem sons que mantinham relações aritméticas. As sequências, obtidas à maneira pitagórica, geradas por relações aritméticas, produzem a cada oitava, não as mesmas notas da primeira, mas outras sutilmente desiguais. Conforme ilustra a imagem a seguir. Figura 6: Na divisão de uma oitava em doze partes. Essa diferença faz com que a cada novo conjunto de notas, seja diferente do primeiro. Se pensarmos em um esquema para representar este fenômeno sonoro, as escalas pitagóricas geram, não um círculo, mas sim, uma espiral de notas. Figura 7: Espiral de notas nas divisões sem temperamento.

9 As músicas produzidas por Bach e outros músicos de sua época, por se utilizar dos acordes, que são notas tocadas simultaneamente, precisava de uma mesma afinação em todas as oitavas, para que a músicas não se tornasse desafinada. Para isso, optaram por dividir a escala não de maneira aritmética, mas sim, geométrica ou logarítmica. Na prática a escala divide a pequena diferença existente entre o dó de uma oitava e o dó de uma seguinte, entre todas as notas da escala. A escala temperada altera, assim, sutilmente todas as notas criando sons não naturais. Gerando, porém, uma escala circular, em que o fim de uma oitava coincide com o início de outra. Figura 8: Oitavas na escala temperada. Portanto, se a escala temperada se dá a partir de uma progressão geométrica é possível calcular o intervalo entre as notas e a razão entre notas consecutivas. Assim, vamos supor que a frequência da primeira nota, o Dó, é e a razão entre as frequências de duas notas consecutivas é. Desta maneira, poderemos construir a seguinte tabela. Tabela 1: Notas musicais e progressão geométrica.

10 Como cada nota corresponde a uma frequência do som. Nas frequências mais altas estão os sons mais agudos e nas frequências mais baixas os sons mais graves. Os físicos mostraram que a razão entre a frequência da primeira nota Dó mais aguda e da outra nota Dó mais grave é igual a 2, o mesmo acontece para as demais notas musicais, a razão é sempre 2. Portanto, sabemos que a frequência do segundo Dó é o dobro da frequência do primeiro Dó ( ), que por sua vez é igual a, ou seja como a frequência é não nula, temos que Essa nova maneira de afinar os instrumentos e organizar a escolha das notas, só se tornou possível, através de uma nova maneira de fazer cálculos, os logaritmos. Os logaritmos surgem para estabelecer uma relação em sequência aritmética e sequências geométricas. A sequência é uma sequência aritmética de razão 1, pois para gerar a sequência é somado um ao elemento anterior da sequência. Já a sequência é uma sequência geométrica, pois cada elemento é obtido multiplicando-se o elemento anterior por 2. Perceba que uma sequência numérica pode ser escrita da seguinte maneira.

11 Figura 9: Relação entre sequência aritmética e sequência geométrica. Percebe-se que a sequência geométrica é formada por uma base, neste caso o 2, e os expoentes formam uma sequência aritmética. Os logaritmos são uma maneira de associar essas duas sequências. Portanto podemos calcular uma aproximação da razão entre duas notas consecutivas utilizando logaritmos. Portanto, Utilizando a calculadora científica obtemos uma aproximação de. Aplicando o antilogaritmo, temos Para descobrir o valor de, ou seja, a frequência da nota Dó, utilizaremos a nota Lá, uma vez que ela é utilizada como parâmetro universal no cálculo da frequência das demais Figura 10: Diapasão é um instrumento metálico em forma de forquilha, que serve para afinar instrumentos e vozes através da vibração de um som musical. Foi inventado por John Shore ( ) em 1711.

12 notas e também porque é tida como base na afinação dos instrumentos musicais. Existe, inclusive, um instrumento chamado Diapasão que é afinado na frequência da nota Lá de 440 Hz. Como a nota Lá, na tabela, corresponde a, temos Como, obtermos, ( ), e assim Portanto, a frequência do Dó é aproximadamente 262 Hertz. Realizando uma breve pesquisa na internet verifica-se que o Dó é tem frequência de aproximadamente 264 Hertz. Este erro se dá devido às aproximações realizadas no cálculo apresentado anteriormente. Veja, a seguir um comparativo entre as frequências das notas em três escalas diferentes. Figura 11: Tabela de frequências em diferentes escala. Obs.: a escala justa não foi discutida neste trabalho. Nesta tabela, é possível verificar que as adaptações nas notas da escala pitagórica para a escala temperada não resultou em grandes mudanças nas frequências.

13 CONCLUSÃO A utilização dos conceitos da música para o ensino de progressões geométricas é, sem dúvida, uma boa maneira de mostrar ao aluno a aplicabilidade dos conceitos estudados. Contudo, requer, do professor, um planejamento detalhado e uma apropriação teórica sólida, uma vez que os conceitos nem sempre são triviais. Percebe-se neste trabalho que a música e a matemática são eternas companheiras. Por isso, existem estudiosos que não medem esforços para encontrar novas relações matemáticas na música, assim como, para divulgar esta magnífica relação entre arte e matemática. Na internet podem ser encontrados diversos vídeos educativos que exploram estes conhecimentos, cabe a nós uma busca mais detalhada e crítica destes materiais e de sua exploração em sala de aula.

14 REFERÊNCIAS ALISSON, Elton. Música como ciência. Acesso em: 02 de julho de Disponível em: < A origem das notas musicais. Disponível em: < Acesso em: 02 de julho de BRASIL. MEC. Arte e Matemática. [vídeo]. Brasília. TV Escola. Disponível em: < 816>. Acesso em: 02 de julho de Luthier de proporções. [vídeo]. Brasília. MAIA, Adolfo; MANZOLLI, Jonatas. Universidade Estadual de Campinas, Campinas. Disponível em: < Acesso em: 02 de julho de Monochord: an ancient musical and scientific instrument. Acesso em: 02 de julho de Disponível em: < O pato Donald no país da Matemágica. Produção de Walt Disney [vídeo]. Disponível em < >. Acesso em: Acesso em: 02 de julho de TEIXEIRA, António José. Isto é Matemática: A Escala Pitagórica (T05E02). [vídeo]. Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Lisboa, Lisboa. Disponível em: < Acesso em: 02 de julho de 2014.