MATEMÁTICA E MÚSICA: RELAÇÕES E SUAS IMPLICAÇÕES NO ENSINO DE MATEMÁTICA

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1 1 MATEMÁTICA E MÚSICA: RELAÇÕES E SUAS IMPLICAÇÕES NO ENSINO DE MATEMÁTICA Luciana Gastaldi Sardinha Souza 1 Dari Toginho 2 Fernando Hiroki Kozu Karina Tiemi de Melo 4 Thais Marcelle de Andrade 5 Daiane Gomes 6 Ercolle Martelli 7 Victor Martins Pedrassoni 8 Resumo Este trabalho visa divulgar modos como as relações entre a Matemática e a Música se mostram, com ênfase na produção do som, nas suas relações com as Funções Trigonométricas e na construção das escalas Pitagórica e Temperada. Palavras - chave: Matemática. Música. Som. Introdução e Justificativa Há muito tempo matemáticos se interessam por música e músicos se interessam por matemática. Pitágoras e Bach podem ser tomados como exemplo desse interesse: Pitágoras criou uma escala musical por meio de divisões sucessivas de uma corda; Bach escreveu obras repletas de simetria. Este mini-curso visa apontar novas práticas pedagógicas para auxiliar a exploração da música no processo de ensino-aprendizagem. 1 lucianagastaldi@sercomtel.com.br UEL 2 darit@uel.br UEL fkozu@hotmail.com UEL 4 kkk_gnr@yahoo.com.br UEL 5 thaisinha_ma@hotmail.com UEL 6 dai_llima@yahoo.com.br UEL 7 ercolemartelli@ibest.com.br UEL 8 epedrassoni@hotmail.com UEL

2 2 Gardner foi o primeiro pesquisador a propor uma visão pluralista da mente, pois defendia a idéia que as manifestações de inteligência compõem um amplo espectro de competências, incluindo, além das dimensões lingüística e lógico-matemática, a musical, a corporal-cinestésica, a espacial, a intrapessoal e a interpessoal. Com referência à relação música/matemática, Gardner (1994) coloca que esta esteve presente na época medieval e volta à tona no século XX: Na época medieval, o estudo cuidadoso da música partilhou muitas características com a prática da matemática, tais como um interesse em proporções, padrões recorrentes e outras séries detectáveis.... Novamente no século XX _ primeiramente na esteira da música dodecafônica, e mais recentemente, devido ao amplamente difundido uso de computadores _ o relacionamento entre as competências musical e matemática foi amplamente ponderado. A meu ver, há elementos claramente musicais, quando não de alta matemática na música: estes não deveriam ser minimizados. (GARDNER, p. 98) Machado (1995), complementa o espectro de competências de Gardner (1994) acrescentando uma oitava componente, a componente pictórica. Incluindo esta componente, a inteligência pictórica, Machado propôs um novo espectro de competências ampliado, o qual se encontra representado a seguir. tópicos: Figura 1 - Espectro de Competências Ampliado Machado (1995) Este minicurso abordará a ligação Musical-Lógico-Matemática enfatizando os seguintes A produção do som e sua relação com as funções trigonométricas; A construção das escalas Pitagórica e Temperada.

3 A produção do Som e as Funções Trigonométricas O som é o resultado de uma vibração, que se transmite ao meio de propagação, provocando zonas de maior compressão de partícula e zonas de menor compressão (zonas de rarefação) de partículas, originando uma onda sonora. Se quisermos ouvir o som de uma corda, deveremos pinçá-la para que esta saia de sua posição de equilíbrio e realize movimentos vibratórios, em um certo intervalo de tempo. Figura 2 - Corda Vibrante. A amplitude do deslocamento desta corda ao ser pinçada é comparável ao da ordenada de um ponto P ao percorrer uma circunferência no sentido anti-horário. Figura - Representação de um ponto P percorrendo uma circunferência. Este movimento é descrito pela função seno. sen rad x = ordenada de P Figura 4 - Função Seno.

4 4 No entanto, a função que buscamos deve representar uma relação entre o deslocamento e o tempo. Desse modo, se um ponto P percorrer uma circunferência f vezes em um segundo, teremos que a função y = sen x poderá ser representada por: y = sen2πft Como exemplo, vejamos o gráfico de um som de frequência 15hz: Figura 5 - Representação gráfica de y = sen0πt A construção das escalas Pitagórica e Temperada A escala Pitagórica tem esse nome por conta de seu criador, Pitágoras ( VI a. C.). Esta escala foi construída a partir da divisão de uma corda em duas, três e quatro partes iguais. Provavelmente a escolha destas divisões deve-se à influência dos números 1,2, e 4 (Tetractys), números estes que, de acordo com a crença dos Pitagóricos, poderiam construir o universo. Devido a essas divisões, os primeiros intervalos obtidos, a partir do som fundamental (consideremos o dó, por exemplo), foram, nesta ordem: a oitava (metade da corda), a quinta (dois terços da corda) e a quarta (três quartos da corda), que estão representadas a seguir pelas notas dó 4, sol e fá, respectivamente, na notação atual: As outras notas da escala podem ser obtidas a partir de uma progressão de quintas.

5 5 A freqüência do som produzido para cada nota é proporcional ao inverso do comprimento da corda, a partir da freqüência da nota fundamental. Para as notas obtidas anteriormente, e considerando a freqüência do som fundamental igual a 1, as freqüências serão: Se continuarmos com a progressão de quintas, obteremos a escala cromática Pitagórica, reduzindo-se sempre os intervalos compostos a intervalos simples. Um intervalo composto é aquele que ultrapassa o limite de uma oitava 9. DÓ f = 1; SOL f = 1 = ; 2 2 RÉ LÁ MI SI FÁ # Uma oitava é o intervalo entre oito notas sucessivas de uma escala.

6 6 DÓ # SOL # RÉ # LÁ # MI # SI # A freqüência de Si # deveria ser equivalente à de Dó 4, posto que existe meio tom entre a nota si e a nota dó, ou seja, si# deveria ser equivalente à dó. No entanto, Si # f = 2, Dó 4 f = 2 A diferença entre elas, que equivale à relação dá-se o nome de coma pitagórico. 2, = 1,0164, 2 Dessa forma, podemos concluir que a escala pitagórica, baseada nos intervalos de quintas e quartas, não "fecha" seus valores em algumas notas, como pode-se ver claramente no caso da oitava, onde o valor da freqüência do som está 1,6 % acima do valor desejado. Tal limitação foi percebida pelos músicos e estudiosos da antiguidade, e algumas alternativas foram propostas. Uma alternativa encontrada foi construir uma escala igualmente distribuída em 12 partes no intervalo de oitava, a qual foi denominada de escala temperada. Para obter as suas freqüências, foram inseridos 12 termos geométricos entre o som fundamental e a sua oitava, equivalentes às 12 notas da escala. Para obter a razão, toma-se as freqüências da primeira

7 7 (nota dó1, frequência=1) e da última nota da escala (nota dó2, freqüência=2). Pela fórmula do termo geral de uma PG, temos que: Para se obter a freqüência dos sons sucessivos da escala, portanto, multiplica-se a freqüência, a partir do som fundamental, por A tabela a seguir mostra a freqüência de algumas notas nas escalas pitagórica e temperada. Notas Pitagórica Temperada DÓ 1 1 RÉ 1,125 1,122 MI 1,265 1,259 FÁ 1, 1,4 SOL 1,5 1,489 LÁ 1,687 1,681 SI 1,898 1,887 DÓ 2 2 As músicas ocidentais são, em sua maioria, escritas na escala temperada. Esta utilização foi necessária para unificar a afinação dos instrumentos. Esperamos que este minicurso estimule os estudantes a buscarem uma maior compreensão das relações entre a matemática e a música. Referências Bibliográficas GARDNER, H. Estruturas da Mente: a Teoria das Inteligências Múltiplas. Trad.Sandra Costa. Porto Alegre: Artes Médicas Sul, MACHADO, N.J. Epistemologia e Didática: as concepções de conhecimento e inteligência e a prática docente Cortez Editora. São Paulo, 1995.