TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO MOODLE E GEOGEBRA NO ENSINO FUNDAMENTAL

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO MOODLE E GEOGEBRA NO ENSINO FUNDAMENTAL Rodrigo Rosalis da Silva Orientador: Prof. Paulo Antonio Silvani Caetano Í=± Ý ± ô îððè

2 Rodrigo Rosalis da Silva MOODLE E GEOGEBRA NO ENSINO FUNDAMENTAL Trabalho de Conclusão de Curso apresentado no curso de graduação em Matemática como exigência parcial para a obtenção do grau de Licenciatura em Matemática Orientador: Prof. Paulo Antonio Silvani Caetano Í=± Ý ± ô îððè

3 Ao Prof. Paulo Antonio Silvani Caetano, incentivador, guia e mestre sempre atento e aplicado na minha formação profissional e amigo sincero em todos os momentos. Ao Prof. Artur Darezzo e Profa. Margarete Tereza Zanon Baptist, pelo estímulo e importantes sugestões. A Faculdade pela ajuda na realização deste trabalho

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5 Termo de Aprovação Este trabalho de conclusão de curso foi julgado adequado como parte dos requisitos para obtenção do título acadêmico em Área de Graduação em Licenciatura em Matemática Universidade Federal de São Carlos. São Carlos 22 de novembro de Prof. Dr. Paulo Antonio Silvani Caetano Universidade Federal de São Carlos Prof. Dr. Artur Darezzo Universidade Federal de São Carlos Profa. Dra. Margarete Tereza Zanon Baptist Universidade Federal de São Carlos

6 Trabalho de Conclusão de Curso Parte A Introdução... 4 A escola... 5 Os alunos... 6 A preparação das aulas Desenvolvimento das atividades Conclusão Bibliografia Anexos Trabalho de Conclusão de Curso Parte B Introdução IX EPEM de Bauru A Construção do Ambiente Virtual Problemas Passo a Passo Repercussão do projeto Conclusão Bibliografia... 94

7 Trabalho de Conclusão de Curso A Primeira parte do Trabalho de Conclusão de Curso em Licenciatura Plena em Matemática pelo departamento de Matemática da Universidade Federal de São Carlos.

8 ï Resumo Neste relatório, será exposto a experiência onde foi utilizado novas tecnologias para o ensino da matemática através do uma melhor visualização da matemática., que proporcionou aos alunos Neste software é possível relacionar a álgebra com a geometria, onde o aluno entende de forma mais dinâmica os teoremas e as demonstrações, construindo e visualizando, assim proporcionando um melhor entendimento, o fato de o aluno realizar este processo ajuda-o a guardar para toda a vida. No o aluno pode mover pontos, retas, construções geométricas e funções, trabalhando suas diversas possibilidades e resultados analisando e tirando suas conclusões. Além da apresentação do software, também foi proposto atividades e desafios que envolvem geometria e funções, exercícios da Olimpíada Brasileira de Matemática e de suas próprias atividades escolares. Palavra Chave: GeoGebra, tecnologia, ensino, matemática Abstract I²» ± ô ¾»» ±»¼ ±»»»²½»»» ¼ ²»»½ ²± ±¹ ±»» ½ ²¹ ±º ³»³ ½ ²» ±º» Ù»±Ù»¾ ô ½ ¹ ª» «¼»² ¾»» ª» ±º ³»³ ½ ò Ì ±º» ± ¾» ± ±½»» ¹»¾ ¹»±³» ô»»» «¼»² º»» ³±» ¼ ² ³ ½»»±»³ ²¼ ¼»³±² ±² ô ¾«¼ ²¹ ²¼ ª» ²¹ô «±ª ¼ ²¹ ¾»» «²¼» ²¼ ²¹ô» º ½» «¼»² ½ ±«±½»» ±«ª» º±» ±» º»ò ² Ù»±Ù»¾» «¼»² ½ ² ³±ª» ± ² ô ¹ ô ¹»±³» ½ ½±² «½ ±² ²¼ º«²½ ±² ô ± µ ²¹ ª ±«± ¾» ²¼ ² ²¹» «ô ¼ ²¹ ½±²½ «±² ò Þ» ¼»»»² ²¹» ±º» ± ± ±»¼ ½ ª» ²¼ ½»²¹» ²ª± ª ²¹ ¹»±³» ²¼ º«²½ ±² ô»» ½»» Þ ² Ñ ³ ¼ ² Ó»³ ½ ²¼» ½ ±± ½ ª» ò Palavra chave: GeoGebra, technology, mathematics.

9 î Lista de Figuras Figura 1 imagem de um mosaico construído por um aluno no GeoGebra. (pg. 12) Figura 2 primeiro passo para a resolução do problema. (pg. 14) Lista de Quadros Quadro 1 lista de problemas a serem desenvolvidos no GeoGebra. (pg. 27). Quadro 2 Segunda Lista distribuída aos alunos (pg.48) Figura 3 primeiro resultado dos alunos sobre o exercício. (pg. 15) Figura 4 construção da definição de um triângulo no plano. (pg. 16) Figura 5 - O K no lugar correto. (pg. 17) Figura 6 A bissetriz e o ponto M. (pg. 18) Figura 7 - O ângulo externo encontrado pelos alunos. (pg. 19) Figura 8 Explorando a propriedade do ângulo externo. (pg. 20) Figura 9 Esclarecimento do ângulo externo, pelos alunos. (pg. 21) Figura 10 A bissetriz do ângulo externo. (pg. 22) Figura 11 O ponto K em seu lugar correto. (pg. 24) Figura 12 - A solução do problema. (pg. 25) Figura 13 - Os pontos A e B representando as árvores na ilha (pg. 29) Figura 14 O ponto C marcado pela maioria dos alunos. (pg. 31). Figura 15 - Os alunos interagindo com o Software GeoGebra. (pg. 32) Figura 16 Solução inesperada pelo professor, mas correta. (pg. 33) Figura 17 Solução diferenciada encontrada por outro aluno. (pg. 35) Figura 18 A solução do professor (pg. 37) Figura 19 Segunda parte da solução (pg. 38) Figura 20 Resultado do problema. (pg. 39) Figura 21 Movendo o ponto C para outra área qualquer do GeoGebra. (pg. 40) Figura 22 Triângulo retângulo inscrito na circunferência. (pg. 41) Figura 23 Solução da atividade 3 da lista do Quadro 1. (pg. 42) Figura 24 Desenho feito pelos alunos. (pg. 43) Figura 25 Os alunos interagindo com o GeoGebra Experiência de aplicação (pg. 45) Figura 26 Tentativa dos Alunos (pg. 46) Figura 27 um tetraedro regular. (pg. 47) Figura 28 - Analisando uma função (pg. 50)

10 í Sumário. Introdução... 4 A escola...5 Os alunos... 6 A preparação das aulas Desenvolvimento das atividades Conclusão Bibliografia Anexos...54

11 ì Introdução. Esta experiência de apresentação do Software é um estudo da reação e comportamento dos alunos ao terem um contato com o programa. O foco é apresentar o programa matemático aos alunos, suas ferramentas, como manuseá-lo em seus aspectos básicos, capacitando os alunos para explorarem o futuramente para resolução dos problemas matemáticos com que se depararem. Através de curso elaborado por mim com duração de doze horas, contendo duas horas relacionadas com a apresentação e conhecimento das ferramentas. Às quatro horas seguintes dedicadas a desafios envolvendo geometria e trigonometria, mais quatro horas voltadas a funções de primeiro, segundo grau, envolvendo matemática aplicada e problemas investigativos. As ultimas duas horas, demonstrativo de outras funções do GeoGebra, alguns aplicativos avançados, curiosidades, linhas de estudo e análise do aprendizado dos alunos e seu envolvimento com o curso. Neste relatório serão expostos os detalhes de algumas destas aulas, o comportamento dos alunos, as dificuldades, questões e desempenho. Como a matemática é vista pelos alunos, as mudanças que a informática pode causar em benefício do ensino também é explorada nesta experiência. A experiência busca mostrar além da aplicação do para a resolução de problemas matemáticos escolares, fazer uma ponte destes problemas com as vivências do dia a dia e também a matemática aplicada em diferentes profissões, nas quais o GeoGebra pode ser utilizado como uma excelente ferramenta de apoio aos diversos profissionais de diferentes áreas.

12 ë A escola. Este curso foi ministrado por mim em uma escola técnica pública na primeira série do ensino médio. Os alunos freqüentam esta escola após prestar uma espécie de, uma prova seletiva aplicada a todos os alunos concluintes do ensino fundamental, que desejam freqüentar esta escola. Este recurso é adotado por causa da alta procura por vagas na escola, que possui um excelente nível de ensino diante das demais escolas do estado. Este alto nível acontece justamente por conta desta seleção, onde apenas a das escolas de ensino fundamental, teoricamente, ingressa no ensino médio desta escola. Como o aluno vem de várias instituições de ensino em sua maioria pública, e algumas em melhor situação que outras, existem um desnível na sala de aula, em especial nas turmas dos primeiros anos do ensino médio. O ambiente escolar é agradável, uma boa estrutura, organizada e sem sinais de vandalismo como na maioria das escolas públicas. Em geral os alunos também demonstram um interesse maior pelas atividades, são participativos e questionam bastante em sala. A escola possui laboratórios de informática, pois no período diurno funciona o ensino médio e no período noturno há os cursos técnicos. Portanto estes laboratórios estão em constante uso e bem atualizados. A situação propícia favorece o curso proposto, esta experiência também deve ser levada e diagnosticada em escolas públicas com uma estrutura menos favorável, como o caso das escolas de periferia, assim analisando os fatos ocorridos e melhorando sua aplicação. Neste caso entramos na discussão da implantação dos laboratórios de informática nas escolas, o número de computadores em relação ao número de alunos e a liberdade que os professores possuem para utilizá-lo. Este curso oferecido nesta escola, também foi oferecido em outras instituições de ensino público, mas estas escolas barraram o uso dos computadores sem supervisão adequada, pois ficariam nas mãos de um estudante universitário que teria a tarefa de

13 ê aplicar o curso e supervisionar os alunos e a preservação dos computadores, outras escolas não permitiam o curso em horário de aula dos alunos ou em período oposto apenas em final de semana. Com todas estas barreiras, fica complicado o avanço do uso da tecnologia no ensino. Encontrada a escola técnica a qual é personagem deste relatório, os alunos de ensino médio terão atividades no compatíveis com o conteúdo da oitava série do ensino fundamental, tema do Trabalho de Conclusão de Curso em Licenciatura em Matemática de Rodrigo Rosalis, autor deste relato. Este aluno irá se deparar com suas dificuldades em diversos problemas de conteúdos de oitava série. Os alunos. Os alunos envolvidos com este projeto freqüentam o primeiro ano do ensino médio. Foi selecionado uma das turmas da escola para esta experiência. De acordo com os professores de matemática desta escola, os alunos possuem muita dificuldade com a matéria, obrigando a escola a passar parte do primeiro ano do ensino médio revisando conceitos e conteúdos que deveriam já estar sanados através da passagem pelo ensino fundamental. Estas situações também mostram os desníveis em sala de aula, onde alguns alunos apenas esqueceram certos conceitos e outros praticamente não viram ou não aprenderam. Em acordo com a teoria cognitiva de Piaget, é possível ver em cada aluno, falha em sua última fase de desenvolvimento, pois esta não é de certa forma estimulada pelo ensino de matemática ao longo da vida escolar do aluno. A falta de interesse pela matemática que se cria no início da vida escolar destes alunos e os acompanha, em nenhum momento é quebrada e se mostra forte também neste curso em certos aspectos.

14 é Na primeira aula foi apresentado o e suas ferramentas, portanto uma aula ainda um pouco distante da matemática, também exposto um problema sobre triângulo, este foi apenas explorado deixando sua solução para a aula seguinte. Na segunda aula baseado em trabalhos e experimentos de professores de psicologia como o experimento apresentado na palestra do professor João do Carmo do Departamento de Psicologia da Universidade Federal de São Carlos. Foi dado aos alunos uma folha em branco, no centro desta folha os alunos deveriam escrever o que seria posto na lousa, seria apenas uma palavra, e imediatamente, em volta desta palavra, deveriam escrever tudo o que viria em suas mentes. Em anexo a este relatório estão as folhas de cada aluno. Abaixo uma tabela com algumas expressões que apareceram entre os alunos. Horror Odeio Raiva Não gosto Chato Coisa de louco Difícil Estudar Maluca Desespero Medo! Angústia Complicação Nota ruim Estudo Louco Raciocínio Complicado Vida Dificuldade Universo Está em tudo Entediante Lógica Exige muita atenção Desafiadora Complexa Interessante Inteligente Força de vontade Regras Adição Subtração Divisão Multiplicação Prova amanhã Exatas Administrar empresas Fórmulas Desenvolvimento tecnológico Chatice Números Bagunça Óculos Letras Soma Intervalos Pitágoras Trigonometria Não entendo Função D.P. Fração Resultado cálculos

15 è Podemos notar por este quadro, uma visão que os alunos têm da matemática, que em sua maior parte se resume em dificuldade de aprendizado desta língua tão mal compreendida, onde em muitos casos a metodologia utilizada pelos professores para ensinar a matemática deixa a desejar. A edição de fevereiro do ano de dois mil e sete da revista Escola da editora abril trata apenas sobre a matemática, em uma entrevista da pesquisadora argentina Patricia Sadovsky responde: Continuando a entrevista, questionada sobre o saber dos professores nos dias atuais a pesquisadora ressalta: A metodologia arcaica encontrada na escola reflete a falta de preparo e formação dos professores para o uso das novas tecnologias como os computadores e programas computacionais que auxiliam no ensino da matemática, estes conhecimentos requerem uma sólida bagagem conceitual que proporciona segurança na utilização destes novos caminhos. O professor não possui incentivo para se atualizar e procurar se incluir nesses novos caminhos, possuindo uma jornada de trabalho longa, dificulta sua atualização. Sendo assim, manter o método tecnicista, onde o professor é quem possui o conhecimento e o aluno mero receptor é imposto como forma de manter o controle por parte de muitos professores. O raciocínio valorizado, as novas metodologias exploradas e tecnologias como o que estimula o raciocínio e diferentes visões, são ausências que prejudicam a evolução da matemática.

16 ç Dar ao aluno a chance de explorar um problema, descobrir a beleza da matemática e assim desempacotar sua complexidade, revelando-se de forma simples é um caminho que o ajuda a traçar. Como diz Fiorentini, é necessário saber desempacotar a matemática para gerar uma discussão sadia, e compartilhar conhecimentos entre professor e aluno. Dario ressalta os olhares para os resultados atingidos pelo aluno, o aluno quando é ouvido e entendido, sente que possui espaço na discussão matemática, sente que seu raciocínio foi valorizado tornando a matemática mais agradável a seus olhos. Como reverter esta visão e este conceito dos alunos é um dos propósitos de implantar as novas tecnologias a favor da educação e do ensino de matemática. Mostrar aos alunos que a matemática pode ser visualizada de forma diferente e melhor compreendida. Este quadro não mostra apenas o rancor e desgosto dos alunos pela matemática, mas mostra também que a definição de matemática que possui é apenas um mundo de número, fórmulas e cálculos sem propósito, pois esta vem sendo a definição de matemática criada desde os primeiros anos de ensino. A matemática cada vez mais é dominada por poucos alunos, e estes tem o status de melhores da classe por se darem bem na matemática, esta atitude de classificação também é um fator que desmotiva os demais alunos, afastando-os ainda mais da matéria. O laboratório de Informática da escola possui ao todo quinze computadores, portanto, seria feito uma seleção entre os alunos da classe escolhida para este projeto experimental. Ao chegar à sala, comunicamos o curso, explicando o que seria passado e ensinado através do computador e o. Os alunos ficaram empolgados, vinte e cinco alunos demonstraram interesse em participar do curso, o restante em sua maioria não podia por freqüentar outros cursos no período da tarde.

17 ïð Destes vinte e cinco alunos, foram sorteados os que não participariam no curso, e assim feito uma lista com os interessados e os que iriam participar. O curso foi marcado para se iniciar na semana seguinte com duas horas de duração cada aula, sendo uma aula por semana, em um total de seis aulas. Na primeira aula todos os alunos compareceram curiosos para ver o que seria este curso. A matemática sempre será matemática, não podemos mudar isto, ao utilizar o software matemático, não falaríamos de fadas e duendes, mas sim sobre teorias matemáticas, de modo investigativo, análises e atividades dinâmicas, mas seria matemática. A preparação das aulas. O mais complicado é a preparação das atividades, como atrair a atenção do aluno para a trigonometria, funções, circunferências. De certo modo seria a mesma teoria o qual presenciou na sala de aula, o qual provocou o seu ódio pela matemática. Mesmo com um em mãos podemos transformar a informática no vilão da história caso não sejamos cuidadosos com a preparação das atividades e sua aplicação. Os alunos podem ter o programa de computador a sua frente, mas continuar vendo o monstro da matemática difamado de geração em geração. Os problemas seriam os mesmo, apenas teriam evoluído com a tecnologia. Com isto as atividades deveriam incentivar o raciocínio do aluno, onde pudesse utilizar o software como ferramenta para construir estes desafios mediados pelo professor. Problemas das Olimpíadas Brasileiras de Matemática, outros desafios e enigmas matemáticos além de exercícios dos próprios livros didáticos destes alunos foram utilizados para formular o conteúdo das aulas. O aluno deveria ler o problema e transportar para o as informações contidas, descobrir as informações ocultas. A teoria seria citada pelo professor no decorrer do processo, para que o aluno lembre do assunto e tente aplicá-lo ao problema.

18 ïï Exemplo um problema que envolva ângulos retos e diâmetro de circunferências, o professor diria aos alunos para pensarem sobre as relações entre o triângulo retângulo e a circunferência, para assim raciocinando e discutindo em grupo, chegarem à solução do problema. Embora o possua ferramentas avançadas, no curso apenas o suficiente ao nosso propósito seria passado aos alunos, deixando sempre claro os extremos que o programa pode alcançar em suas diversas linhas. Desenvolvimento das atividades. Na primeira aula, foi apresentado o, um pouco de sua história, e suas funções. Foram apresentadas as ferramentas, proporcionando um primeiro contato dos alunos com o programa, o que faz cada botão e cada opção no menu do. Foi passado como construir polígonos no GeoGebra, como medir seus ângulo, e mudar suas configurações. Após esta etapa, foram apresentados alguns mosaicos aos alunos que utiliza polígonos. Abaixo um mosaico construído por uma aluna, que descreve a facilidade que estes alunos tiveram em dominar algumas ferramentas do GeoGebra.

19 ïî Figura 1 imagem de um mosaico construído por um aluno no GeoGebra. Este mosaico da Figura 1 foi construído pelo aluno utilizando de hexágonos, o resultado demonstrou um bom domínio inicial do, as ferramentas de construção de polígonos, e configurações da propriedades dos objetos, como exibição de rótulos e objetos e modificação das cores. Este resultado alcançado na primeira aula do curso foi considerado muito satisfatório, em vista que todos conseguiram bons resultados como o apresentado na Figura 1. Faltando meia hora para o término da primeira aula, foi exposto um problema envolvendo triângulo, este problema foi explicado, e os alunos permaneceram durante estes minutos finais tentando resolve-lo no GeoGebra. O problema era o seguinte: GeoGebra. Este problema encerrou a aula, e seria tema do início da próxima aula sobre o

20 ïí O problema acima é de segunda fase de Olimpíada de Matemática para oitavas séries. Este também, na mesma semana, foi aplicado a alunos do ultimo ano de graduação em Licenciatura Matemática. Na aula seguinte do curso, voltamos a expor o problema do triângulo citado acima neste texto. Para desenvolvê-lo era necessário desenvolve-lo no software. Foram destacados entre os alunos do curso, graves problemas de interpretação do problema e também, problemas com as definições matemáticas. Por exemplo, os alunos tiveram dificuldade para encontrar o que seria o prolongamento do lado AB, quando o problema se referia ao ângulo ABC, não sabiam que o ângulo era o interno correspondente ao vértice B, isto é um padrão matemático. Também havia dificuldade em lembrar o que seria a bissetriz de um ângulo e não sabiam de maneira alguma o que seria o ângulo externo de um ângulo no triângulo, muito menos o que seria a bissetriz externa de um ângulo. Estes problemas praticamente inviabilizam a resolução do exercício. Então entra o papel do professor em guiar o raciocínio dos alunos, primeiramente todos desenharam um triângulo qualquer no o qual um dos ângulos media cento e vinte graus. Esta medida os alunos ajustaram manualmente movendo os pontos, verificando através da ferramenta do que exibe o valor do ângulo. O primeiro passo sem problemas foi alcançado como a figura abaixo.

21 ïì Figura 2 primeiro passo para a resolução do problema. Após a construção de um triangulo qualquer com um ângulo de 120 graus os alunos encontraram dificuldade em encontrar o ponto K, onde seria o prolongamento do lado AB, resultando na Figura 3 que esta abaixo.

22 ïë Figura 3 Primeiro resultado dos alunos sobre o exercício. Note que o ponto K foi posto sobre o lado AB, o aluno possuía dificuldade em enxergar extensões na figura além da existente. Com o auxilio do professor, perguntado aos alunos qual seria a definição de triângulo. A maioria respondeu que é um polígono de três lados. Conversando com os alunos construímos juntos a definição de um triângulo utilizando o, através da ferramenta reta definida por dois pontos do, os alunos construíram com o auxilio do professor, as retas que passam pelos lados AB, BC e AC do triângulo.

23 ïê Figura 4 - Construção da definição de um triângulo no plano Após esta construção os alunos puderam ver que existem retas que passam pelos lados do triângulo, e três retas que se interseccionam duas a duas, em três pontos A, B e C, o espaço no interior destas intersecções forma o polígono que é denominado triângulo, por possuir três ângulos. Com isto os alunos enxergaram o prolongamento dos lados do triângulo e deduziu por si só que o ponto K não esta sobre o lado AB.

24 ïé Figura 5 O K no lugar correto. Depois de solucionado o problema com o prolongamento e onde está o ponto K, foi solucionado a questão sobre a definição, o professor interviu, para explicar aos alunos que quando um problema diz ângulo ABC, esta se referindo ao ângulo interno formado pelas retas do vértice B do triângulo. Também o conceito de bissetriz de um ângulo estava esquecido por alguns alunos que somente lembraram discutindo a definição desta com os companheiros de turma. Esta interação na sala de aula foi muito positiva, os alunos levantavam e olhando para o computador no triângulo do os alunos que lembravam o conceito de bissetriz explicavam aos amigos que estavam com dificuldade.

25 ïè Após um tempo, com todos chegando em suas conclusões, o professor confirma a frente da sala de aula, que realmente bissetriz de um ângulo, é a reta que o divide em duas partes iguais, ou seja, em dois ângulos iguais. Com este consentimento entre os alunos, através de uma ferramenta do, foi traçado a bissetriz do ângulo ABC conforme pedido no exercício, encontrando o ponto M no lado AC do triângulo. Figura 6 A bissetriz e o ponto M Após esta etapa ocorreu a maior dificuldade dos alunos, o que seria o ângulo externo de um ângulo. Embora compreendido que este ângulo se refere ao vértice C do triângulo, o ângulo externo encontrado por todos os alunos é o ilustrado no resultado da Figura 7.

26 ïç Figura 7 O ângulo externo encontrado pelos alunos. Podemos verificar o problema com a definição de ângulo externo de um ângulo, onde é adotada toda a volta externa ao ângulo C. Existe então um problema com as propriedades do ângulo externo de um triângulo, onde todo o ângulo externo de um triângulo é igual à soma das amplitudes dos outros dois ângulos internos não adjacentes a este ângulo. O problema da construção da definição de triângulo e este problema de ângulo externo de um triângulo também aconteceram nos formandos do curso de Licenciatura em Matemática, onde esta mesma atividade foi aplicada. Através deste problema pela primeira vez a aula teve que ser parada para a explicação detalhada do professor sobre esta propriedade e os alunos puderam verificar no próprio computador o fato de ser verdade.

27 îð Figura 8 Explorando a propriedade do ângulo externo Na Figura 8, os alunos fixaram um ponto qualquer no prolongamento do lado AC e encontraram o ângulo externo DCB, também foi encontrado o ângulo interno CAB. Com isto os alunos visualizaram a propriedade do ângulo externo, onde será igual à soma dos ângulos internos não adjacentes a este ângulo. Também conseguiram visualizar através de um ponto qualquer sobre o prolongamento do lado BC, que o ângulo ACE é igual ao ângulo DCB, por Tales, podemos conferir no que é verdade.

28 îï Figura 9 Esclarecimento do ângulo externo, pelos alunos. Com isto pudemos notar o quanto foi satisfatórias aos alunos estas informações, muitas vezes esquecidas e outros alunos demonstravam grande satisfação, pois não haviam aprendido tal propriedade de forma clara e eficaz antes, trazendo um grande incentivo ao professor que visa aplicar as novas tecnologias ao ensino. Sobre os estudos da, onde podemos realmente concluir que materiais concretos, visuais, que podem ser manipulados pelos alunos trazem um resultado mais significativo a sua aprendizagem. Segundo D. Ausubel em sua Teoria da Inclusão, onde se preocupa com a aprendizagem dentro da sala de aula.

29 îî " Ausubel (1978,p.41) Utilizando a investigação, questionamentos do professor sobre o conteúdo lecionado, o aluno deve ser guiado a suas conclusões, materiais concretos e visuais podem complementar informações que o aluno já possuía, tapando assim as lacunas que se formaram e permaneceram em seu aprendizado. Trabalhando esta relação da tecnologia com o saber adquirido, é possível solucionar as deficiências passadas, e formar os novos conhecimentos. Continuando a solução do problema no laboratório de Informática, os alunos conseguiram então facilmente traçar a bissetriz do ângulo externo, utilizando das ferramentas do.

30 îí Figura 10 A bissetriz do ângulo externo. Os alunos continuaram lendo o problema, que dizia MK, um segmento, corta BC em um ponto P. Ao observar a construção no software, notaram que o ponto K estava sobre o prolongamento de BA e não sobre o prolongamento de AB, pois o segmento MK não cortaria o lado BC do triângulo. Com a ajuda do professor, foi constatado que ao traçar a bissetriz externa, a reta cortou o prolongamento de AB em um ponto. Conforme o problema CK é a bissetriz externa, portanto o ponto K é exatamente esta intersecção.

31 îì Figura 11- O ponto K em seu lugar correto. Conforme a Figura 11, com a constatação da posição do ponto K, os alunos puderam verificar que MK, é um segmento que corta BC em um ponto P, traçando uma reta que passa por M e K e marcando o ponto P. Nos alunos formandos do curso de Licenciatura Matemática, após a solução do problema na definição de ângulo externo, conseguiram desenvolver o restante do problema facilmente. Os alunos do primeiro ano do ensino médio, após mais de quarenta minutos de discussão sobre o problema, chegaram ao seu final, onde o que se pedia é mostrar que o ângulo APM é igual a 30º. Traçando um polígono em APM, para uma melhor visualização os alunos encontraram o seu ângulo e realmente constataram ser 30º.

32 îë Mas nas atividades dos alunos, este ângulo deu sempre aproximadamente 30 e não o valor exato. Isto gerou duvida entre os alunos, então coube a intervenção do professor em solucionar esta dúvida. Figura 12 a solução do problema Note na Figura 12 que o problema foi solucionado, mas o ângulo não deu exatamente 30º em nenhuma das soluções. Coube ao professor explicar, que o é um software que trabalha com uma grande precisão em seus cálculos e construções como a maioria dos softwares, portanto é natura que o resultado não seja exatamente 30 como em uma solução na lousa com giz. O resultado seria exato se cada ponto de intersecção construído estivesse exatamente nesta intersecção, mas se ampliado estes pontos, poderemos notar que não

33 îê estão exatamente nas intersecções, e o diferenças em consideração nos cálculos. então leva todas estas minúsculas A explicação cuidadosa e paciente do professor para os alunos atentos, foi bem aceita, pois foi explicado que esta precisão é para o bem da resolução dos problemas, onde muitos na matemática aplicada exigem a maior precisão possível. Um não seja preciso, não é de confiança principalmente para os ramos de pesquisa. que Mas todos os alunos concordaram que resolver este problema de Olimpíada de matemática no computador foi muito mais válido e interessante, do que no papel ou em uma aula tradicional. O uso do foi válido e eficaz, mas agora entra uma parte importante, o conhecimento não pode ficar disperso, a atividade não pode se encerrar sem que seus conceitos e os porquês envolvidos sejam esclarecidos e formalizados matematicamente. Esta claro que o problema quis exigir do aluno, vários conhecimentos, como prolongamento de lados do triângulo, propriedade do ângulo externo, Tales, bissetriz. Neste ponto como encerramento da atividade o professor deve abordar estes conceitos com o aluno, ilustrando matematicamente os pontos da solução. Estas atividades descritas até agora foram abordadas nas quatro primeiras horas de curso em um total de doze horas. Lembrando que este curso é experimental, para levantar análises e assim servir como base para a formulação de novas experiências no uso do e linhas de pesquisa na implantação deste programa matemático de computador na educação brasileira. Esperamos que a leitura deste documento, que relata esta experiência e o ambiente virtual construído para o Trabalho de Conclusão de Curso em Licenciatura Matemática de título o qual esta aberto a visitações no ambiente do Departamento de Matemática da UFSCar, trabalho do autor deste material possa ser de grande valia para evoluções futuras no tema. Seguindo o curso com os alunos do primeiro ano do ensino médio, na aula seguinte foi distribuída uma lista com problemas investigativos que esta no Quadro 1 abaixo.

34 îé Quadro 1 lista de problemas a serem desenvolvidos no GeoGebra. Ý«±»»² ²¼± ± ͱº» Ù»±Ù»¾ Š ±¾»³ ³»³? ½± Ì»½²± ±¹ «²¼± ² ½±³»»² =± ¼» ±¾»³ ò ò¼³ò«º ½ ò¾ λ ±²?ª» æ α¼ ¹± α ¼ Í ª ¼ ¹±Á ± à ±±ò½±³ò¾ 1-) A medida do ângulo de um triângulo é 120. Sejam um ponto sobre o lado AC e um ponto sobre o prolongamento do lado, tais que é a bissetriz interna do ângulo Ð e é a bissetriz externa correspondente ao ângulo Ð. O segmento intersecta no ponto. Prove que Ð = 30. 2) Recentemente foi descoberto um manuscrito do famoso pirata Barba Negra descrevendo a localização de um rico tesouro enterrado numa certa ilha do Caribe. O manuscrito dá as seguintes instruções. Quando você chegou na ilha para procurar o Tesouro avistou as duas arvores, as coordenadas das palmeiras, ou seja os pontos A e B você verificou que são A=(1,4) e B=(9,7). Mas a pequena palmeira (ponto C) da ilha sumiu após uma tempestade, mas ainda é possível encontrar o tesouro. Em que ponto ele esta? 3-) Um polígono com 20 lados é chamado. Unindo-se três dos vértices de um icoságono regular obtemos triângulos. Quantos são triângulos retângulos? 4-) Caminhando ao redor do Equador Suponha que você faça uma viagem ao redor do mundo, caminhando a pé, ao longo da linha do Equador.

35 îè Considerando que sua altura seja igual a 1,7 metros, quantos metros a sua cabeça viaja a mais que seus pés? Este resultado seria diferente se você caminhasse sobre o Equador da Lua? 5-).Como construir quatro triângulos eqüiláteros iguais com apenas seis segmentos iguais (utilize palitos de fósforo para ajudar depois reproduza a solução no GeoGebra, sem quebrar ou deixar de usar nenhum palito? No Quadro 1, esta a lista de problemas que seria resolvida com o auxilio do, note que o primeiro problema já foi solucionado na aula anterior. A maior dificuldade encontrada pelo professor, é como instigar os alunos a refletirem sobre um dado problema, neste caso esta lista esta prevista para sua resolução em quatro horas de curso, ou seja, duas aulas. Os alunos não têm paciência, e querem de todas as formas terminar a lista o mais rápido possível, quer as soluções que são curiosas e intrigantes sem pensar nos problemas. O professor deve se manter firme e atuar apenas como mediador da construção do conhecimento, instigar debates sobre o problema, questionamentos e utilização do programa para encontrar a solução, depois discutir o porquê de tal solução. No primeiro problemas este objetivo foi plenamente atingido. Vamos analisar agora as dificuldades encontradas nos demais problemas, os questionamentos e as soluções. Se reparar a lista, o problema número cinco foi colocado de propósito para uma reflexão diferente pelos alunos, será analisada mais adiante. O segundo problema da lista do Quadro1 agradou muito os alunos, primeiramente pela forma a qual foi escrito, encontrar um tesouro de pirata. Ao ler o problema muitos expressaram estranheza demonstrando que nunca houvera contato com tal forma de se problematizar a matemática.

36 îç O problema trouxe as coordenadas exatas dos pontos A e B, propositalmente este fato foi acrescentado pelo professor para que todos os alunos encontrassem o tesouro exatamente no mesmo ponto, não importando da forma da qual partisse a solução. Esta primeira etapa em fixar os pontos A e B no plano do feita pelos alunos. foi facilmente Figura 13 os pontos A e B representando as árvores na ilha. Após esta etapa, os alunos não conseguiram mais avançar no problema por causa da falta do ponto C, que no caso era a palmeira que foi arrancada com a tempestade. É

37 íð importante que o professor não ceda aos apelos dos alunos que questionam onde se encontra o ponto. O professor deve observar as discussões dos grupos e verificar as evoluções e idéias de cada um, sempre rebatendo as questões com outras questões. É comum um aluno fazer algo as pressas sem pensar um minuto sequer apenas para chamar o professor questioná-lo sobre sua solução errônea e assim tentar conseguir o caminho correto sem esforço. O professor deve estar atento a todas estas estratégias dos alunos, pois apenas dar a ele o caminho sem que este tenha refletido sobre a solução é prejudicar o aprendizado. Após cerca de cinco minutos de tentativas em vão dos alunos em adquirir a resposta correta, eles viram que o professor não cederia e então debruçaram sobre o problema e começaram finalmente a discutir possíveis soluções. Dez minutos depois o professor já via vários alunos no caminho correto para iniciar a solução do problema. Também é importante a exploração do problema pelos alunos não se estender muito, pois torna o exercício cansativo e os alunos podem desistir de alcançar a solução. O professor fez a intervenção utilizando de palavras dos próprios alunos: Pessoal, porque cada um não fixa um ponto C no local que quiser no GeoGebra para tentar iniciar esta solução?. Vendo a expressão do professor os alunos viram que este seria realmente o caminho correto, e então voltaram suas reflexões para esta hipótese. A maioria fixou o ponto C em algum lugar entre os pontos A e B.

38 Figura 14 o ponto C marcado pela maioria dos alunos. íï

39 íî Figura 15 Os alunos interagindo com o Software GeoGebra Após encontrar o ponto C, os alunos começaram a tentar solucionar o restante do problema, os passos do pirata para encontrar o tesouro. Mesmo assim, as tentativas e erros estavam muito distante do esperado, para novamente entrar no caminho desejado pelo professor, veio a intervenção na solução, onde o professor diz: Pessoal, quando caminhamos a mesma distância, podemos pensar em raio de uma circunferência, onde o centro pode ser uma das árvores. Com esta frase todos suspiraram aliviados e começaram a pensar na possibilidade. Foi quando surgiu a primeira solução, inesperada pelo professor, conforme a Figura 16.

40 íí Figura 16 Solução inesperada pelo professor, mas correta. O local do tesouro é o ponto F=(6,5, 1,5) veja que a solução do aluno esta correta, o ponto F deu as coordenadas F=(6,52, 1,52), pois pela construção do aluno fica difícil precisar os pontos, e como dito anteriormente, o GeoGebra trabalha com uma boa precisão em suas construções. O aluno foi parabenizado por sua solução, e elogiado, isto é bom, pois refletiu de forma positiva ao aluno. O professor disse: Puxa, esta solução eu não esperava, esta correta, muito boa, diga como você pensou. O aluno satisfeito, iniciou o processo de seu raciocínio para o professor, que embora já tinha enxergado como o aluno fizera, ouviu atentamente o aluno orgulhoso com seu resultado e o professor demonstrando satisfação por isto.

41 íì Note que a construção do aluno já mostra que ele dominou as ferramentas básicas do pois sozinho fez todas estas construções, isto mostra que o é uma excelente ferramenta para o ensino de matemática, pois sua linguagem simples e fácil manipulação faz com que os alunos rapidamente dominem o. Ao ouvir as informações do professor, de que poderia utilizar de circunferência, raio, e que este raio seria a distância, o aluno traçou a circunferência de centro em A e com raio AB. Traçou então uma reta passando por A e B, depois uma perpendicular a esta reta passando por A, cortando a circunferência em um ponto, este ponto foi chamado de C, já que o C poderia estar em qualquer lugar. Sendo assim o aluno lendo a segunda parte do problema, caminhou de C para B, e virando a direita caminhou a mesma distância, através de uma perpendicular a CB passando por B. Esta perpendicular corta a circunferência no ponto D, o aluno formou um triângulo isósceles confirmando que o triângulo ABD é igual ao triângulo ABC, portanto BC = BD. Um dos pontos marcados coincidiu com o ponto B, assim, o tesouro esta entre B e D, traçando a mediatriz deste segmento, o aluno encontrou o ponto F, este é o ponto do tesouro. A solução inesperada, foi muito boa, o que vale também como experiência ao professor nas próximas vezes em que aplicar esta atividade. Outro aluno também chegou a solução minutos mais tarde, também através do método descrito acima. Em outro momento outra solução surgiu, mais uma solução diferente inesperada pelo professor, isto que torna estas atividades tão intrigantes e maravilhosas, o alunos explorar o variadas. e suas ferramentas, o raciocínio livre levando a conclusões corretas e

42 íë Figura 17 Solução diferenciada encontrada por outro aluno. Na solução da Figura 17, o aluno utilizou da ferramenta do que calcula as distâncias dos segmentos, com isto, tendo o ponto A e B ele colocou o ponto C em um local qualquer, traçou o segmento CA, calculou esta distância, traço a perpendicular a CA passando por A, marcou um ponto D nesta perpendicular de forma que AD fosse igual a CA, ajustou isto movendo o ponto D pela perpendicular até a distância ser a mesma. Na segunda parte do problema, prosseguiu de mesma forma, traçou CB, calculou a distância deste segmento depois traçou a perpendicular a CB passando por B, colocou um ponto E nesta perpendicular, traçando o segmento EB, arrastou o ponto E pela perpendicular até esta distancia ser igual a CB. Por fim traçou ED, encontrou a mediatriz deste segmento e encontrou o ponto F referente ao local do tesouro. Note que também o

43 íê ponto do tesouro não deu exato se analisado as coordenadas de F, pois as distâncias não foram todas ajustadas de forma exata. Esta solução também esta correta, o raciocínio do aluno explorando a ferramenta que tem em mão foi muito bom, e parabenizado pelo professor. Vendo estas diferentes soluções o professor pede para que estes alunos que encontraram estas soluções compartilhem com os demais companheiros seu raciocínio. Estes alunos levantam demonstrando grande contentamento e circulam pela sala, juntamente com o professor para compartilhar com os amigos os resultados e todos buscam entender as soluções. Depois de todas estas discussões já havia se passado mais de quarenta minutos de aula, quando o professor tomou a frente da aula e resolveu discutir outra solução possível com a sala de aula.

44 íé Figura 18 A solução do professor. Após escolher um ponto C qualquer, conforme a Figura 18 é traçado a circunferência de centro em A e raio AC. Traça-se então a perpendicular ao segmento CA passando por A. Esta perpendicular corta a circunferência no ponto D, e AC=AD. Depois conforme a Figura 19 é traçado a circunferência de centro em B e raio BC, da mesma forma como anteriormente, traça-se a perpendicular a BC passando por B, esta irá cortar a circunferência em um ponto E, tal que BC=BE.

45 íè Figura 19 Segunda parte da solução. Após este passo, na Figura 20, mostra a solução, onde o tesouro esta entre os pontos E e D, traçando este segmento ED e encontrando a mediatriz deste segmento temos o ponto F, este que é o ponto médio de EE, ou seja é onde se encontra o tesouro. Veja que a coordenada com esta construção deu exatamente F=(6,5, 1,5), que seria o resultado correto.

46 íç Figura 20 resultado do problema. E para surpreender os alunos após esta construção, o professor pede para que movam o ponto C para onde quiserem em toda a área de trabalho do, e notaram que o ponto do tesouro continuava sendo o mesmo. Todos ficaram surpresos.

47 ìð Figura 21 Movendo o ponto C para outra área qualquer do GeoGebra Por que isto acontece? Esta pergunta não pode ficar no ar. Neste momento o professor deve fechar a aula explicando as propriedades matemáticas envolvidas no problema, notamos que o interesse dos alunos é bem maior após a construção e análise da forma que foi feito. Devem ser abordadas as propriedades da circunferência, trigonometria e triângulos envolvidas, questionamentos como, o que aconteceria se o ponto C coincidisse com o ponto do tesouro?. Em uma próxima aula foram discutidos os demais problemas da lista. No terceiro problema, o aluno através da ferramenta do construiu o polígono regular de

48 ìï vinte lados facilmente, a maior dificuldade era encontrar o número máximo de triângulos retângulos inscritos, pos muitos alunos tinham dificuldade em entender o que seria inscrever um triângulo retângulo dentro do polígono. Esta propriedade cai nas propriedades de circunferência, onde tendo o diâmetro da circunferência como hipotenusa do triângulo retângulo, e seu vértice do ângulo reto em um ponto no contorno desta circunferência, temos que este triângulo sempre será retângulo conforme corrermos este ponto pela circunferência. Os alunos construíram com a ajuda do professor, a circunferência e o triângulo retângulo inscrito nela. Movendo o ponto D pela circunferência, notaram que este triângulo sempre seria retângulo. Figura 22 Triângulo retângulo inscrito na circunferência.

49 ìî Através da visualização desta propriedade, os alunos conseguirão compreender melhor a atividade 3 do Quadro 1 e encontraram todos os triângulos retângulos possíveis em um total de 18 triângulos retângulos, isto fixando um diâmetro, já girando este diâmetro, podemos notar diversas outras possibilidades de diferentes triângulos. Figura 23 Solução da atividade 3 da lista do Quadro 1. A atividade número 4 do Quadro 1, houve também uma dificuldade em entender a lógica do problema, uma dificuldade em interpretar, já que o texto possui uma forma mais descontraída e diferente de se dirigir ao aluno.

50 ìí Todos ficaram curiosos e intrigados com tal problema, após uma discussão entre os amigos, o professor ajuda explicando na lousa através de desenhos, qual seria a idéia do problema. Um grupo de alunos surpreende esboçando no programa uma solução que representa o rabisco feito pelo professor na lousa. Figura 24 Desenho feito pelos alunos. A Familiaridade com o surpreende, e a construção deixa o professor surpreso. O que mais surpreende é o ajuste da altura da pessoa para 1.7, o que representaria exatamente o que o problema quer. Outro ponto, foi a iniciativa de se desenhar duas circunferências de tamanhos diferentes para comprovar a veracidade do problema.

51 ìì É relembrado a fórmula para o calculo do comprimento da circunferência, î ò ò. Neste momento o professor aproveita para explicar de onde vem o número. Os alunos então calculam o comprimento das duas circunferências internas a maior possui um comprimento de 21,352, e a menor possui um comprimento de 7,536, com isto temos o quanto os pés, ou seja, ponto C e G andaram pelas circunferências de diferentes diâmetros. Encontrando agora o quanto a cabeça andou nas duas circunferências, encontramos em îò( + )ò, nisto foi entendido que o raio seria acrescido da altura da pessoa. Então o comprimento da circunferência externa da maior ficou 32,028, e na menor o comprimento da externa ficou 18,212. Fazendo a diferença nos dois casos, temos que no planeta maior sua cabeça andaria 32,028-21,352=10,676 a mais que seus pés, e no menor teremos, 18,212-7,536=10,676. Para a surpresa de todos quaisquer que seja o diâmetro ou comprimento do planeta em que estivermos nossa cabeça andará o mesmo tanto a mais que nossos pés. E também a cabeça anda mais, pois ela segue uma circunferência maior que a circunferência que segue nossos pés. Nesta etapa o professor deve novamente abordar as propriedades de circunferência, comprimento, raio, diâmetro. Nesta atividade os alunos demonstraram grande domínio das ferramentas do programa, mas tiveram algumas dificuldades em lembrar como se calcula o comprimento da circunferência, e que a externa seria o raio da interna acrescido da altura.

52 ìë Figura 25 Os alunos interagindo com o software em aula. experiência de aplicação do O último problema da lista é um desafio colocado de propósito pelo professor (autor deste relato), pois os alunos não conseguiriam encontrar a solução utilizando do computador, mesmo que tal solução seja de certa forma possível no em construções muito mais complicadas. entraria Os alunos então começaram a quebrar a cabeça com o exercício, nisto já estávamos na metade no nosso curso. No programa desenhavam vários segmentos iguais e tentavam girá-los e juntá-los de forma a resultar em quatro triângulos eqüiláteros iguais utilizando apenas seis segmentos iguais, sem sobrar partes destes segmentos.

53 ìê Figura 26 Tentativa dos alunos. Muitos tentavam o mostrado na Figura 26, arrumando os seguimentos para que dessem o mesmo tamanho, mas esta solução não dá certa e não é válida, pois sobraria parte dos seguimentos para fora. O professor então distribui palitos de fósforo a todos os alunos, sendo seis palitos para cada um, para tentarem com um material concreto, mas a solução não aparece. Após vinte minutos de tentativa o professor diz: pensem no espaço, não no plano. Mesmo assim a solução não surge entre os alunos, então o professor com os palitos em mão constrói a solução, levantando três dos palitos para o espaço construindo

54 ìé assim um tetraedro regular com os palitos, formando então quatro triângulos eqüiláteros. Figura 27 um tetraedro regular, solução do problema Com isto os alunos ficaram extremamente surpresos, pois teriam que sair do plano e ir para o espaço para poder chegar a solução. Este problema mostrou aos alunos que o raciocínio não deve respeitar barreiras e sim procurar explorar ao máximo as possibilidades. É difícil alguém pensar em sair das duas dimensões para resolver este problema ainda mais quando vinham trabalhando com um de duas dimensões que é o caso do Este problema fechou bem à lista de atividades, muito satisfatória a aplicação e os aprendizados adquiridos tanto por parte dos alunos quanto por parte do professor, que nesta experiência de aplicação desta ferramenta para auxiliar no ensino da matemática ainda há bastante o que evoluir, mas nada que a prática e aplicação não ajudem a romper as dificuldades e a melhorar o sistema de aplicação do. Em outra aula, já depois de oito horas de curso, uma nova lista de atividades foi distribuída aos alunos, esta continha atividades voltadas a funções de primeiro e segundo grau, pois os alunos estavam tendo provas sobre este assunto, a lista abrange até mesmo exercícios que caíram na prova destes alunos, mas com um enunciado voltado para sua construção no, conforme mostra o Quadro 2.

55 ìè Quadro 2 Segunda lista distribuída aos alunos. Ý«±»»² ²¼± ± ͱº» Ù»±Ù»¾ Š ±¾»³ ³»³? ½± Ì»½²± ±¹ «²¼± ² ½±³»»² =± ¼» ±¾»³ ò ò¼³ò«º ½ ò¾ λ ±²?ª» æ α¼ ¹± α ¼ Í ª ¼ ¹±Á ± à ±±ò½±³ò¾ Explorando funções no GeoGebra. 1-) No GeoGebra, com o eixo e a malha habilitados, insira dois seletores, o seletor a, e o seletor b. No Campo de Entrada, digite o seguinte: f(x)= a*x + b Com isto surgirá uma reta na tela. O que é esta reta? Marque um ponto A, exatamente na intersecção desta reta com o eixo x. Agora, mova os pontos em cada seletor, e observe o que acontece. Coloque um ponto B sobre o eixo x, trace uma perpendicular ao eixo x, passando por B, marque o ponto C na reta da função, onde é cortada pela perpendicular, trace a perpendicular de C em relação ao eixo y, marque o ponto no lugar em que esta reta corta o eixo y. Agora veja o problema. Um salão de cabeleireiro cobra R$10,00 pelo corte para clientes com hora marcada e R$12,00 sem hora marcada. Ele atende por dia um número fixo de 6 pessoas com hora marcada e um número variável x de pessoas sem hora marcada. a) Quantos clientes foram atendidos em um dia em que se arrecadou R$144,00? Utilize sua construção no GeoGebra para descobrir. 2-) Em um campeonato de futebol, cada clube vai jogar duas vezes com o outro, em turno e returno. Assim, o número f de partidas do campeonato é dado em função do número x de clubes participante. Reflita um pouco com seus colegas e descubra qual é a função que nos dará o número de partidas, seja qual for o número de times. Se tivermos neste campeonato 25 times, quantas partidas haverá no campeonato?

56 ìç 3) Uma função do segundo grau é do formato f(x)= a*x^2 + b*x + c com a,b e c pertencentes aos reais.. Analise no GeoGebra, o que acontece na função quando alteramos os valores de a, b e c. Por que a não pode ser igual a zero? Qual o grau desta função? Por quê? 4) Como seria uma função de terceiro grau? Esta lista mostra novas ferramentas do auxiliam os alunos na compreensão da matemática., novas funções e atividades que Diferente da anterior esta lista aborda o aluno de forma diferente, mostra alguns passos para a construção, o raciocínio também exige o saber matemático e a lista busca questionar isto no aluno. Esta lista também possui um grau de dificuldade voltado para as oitavas séries, lembrando que estes alunos estão em época de revisão dos conteúdos da oitava série, pois acabaram de ingressar no primeiro ano do ensino médio nesta escola, e pelas diversidades já mencionadas possuem muita dificuldade em alguns pontos. Alista se inicia com uma função simples de primeiro grau, digitada no campo de entrada do, os alunos após verem a função, marcam os pontos, onde se localiza a raiz, depois traçam uma perpendicular ao eixo x, marcando com um ponto o local onde esta perpendicular corta o eixo x e onde corta a reta da função. Depois os alunos tração outra reta perpendicular, mas desta vez ao eixo y, passando pelo ponto marcado na função. No segundo problema, os alunos deveriam raciocinar para descobrir qual a função envolvida e assim reproduzi-la no, esta função através de movimentos de um ponto sobre o eixo x, poderia verificar-se a solução, ou seja, sua coordenada em y. Os outros dois problemas, também são para explorar o comportamento de diferentes funções no, os alunos ficaram surpresos com o resultado, ao moverem os seletores com os valores dos coeficientes das funções, viam o movimento da função no plano cartesiano.