Sistemas Dedutivos. UTFPR/Curitiba Prof. Cesar A. Tacla 22/10/ :44

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1 Sistemas Dedutivos UTFPR/Curitiba Prof. Cesar A. Tacla 22/10/ :44

2 Fundamentos CONSEQUÊNCIA SEMÂNTICA c é uma consequência semântica das premissas, se toda interpretação que satisfaz todas as premissas satisfaz também a conclusão c. p 1, p 2,, p n c p i são premissas, c é a conclusão do argumento

3 Fundamentos Sobre o símbolo de consequência semântica Este símbolo é utilizado para se falar sobre argumentos válidos em lógicas, então diz-se que é um símbolo metalógico. No slide anterior, foi usado para falar sobre o que é um argumento válido em lógica clássica juntamente com símbolos não-lógicos (p1, p2, c) e linguagem natural. Observar que não foi feita nenhuma referência ao procedimento para se demonstrar que o argumento é válido.

4 Fundamentos SISTEMAS DEDUTIVOS ou SISTEMAS DE INFERÊNCIA ou MÉTODOS DE PROVA Procedimento para cálculo de consequência lógica pela aplicação de regras de inferência Idéia fundamental: raciocínio é manipulação de símbolos i.e. dada uma teoria Γ={p 1,, p n } um sistema dedutivo permite deduzir que uma fórmula A é consequência lógica de Γ por uma sequência de aplicações de regras de inferência.

5 Fundamentos Se há uma sequência de regras de inferência que permite concluir A de uma teoria Γ, então escreve-se Sequente Γ A (diz-se A é dedutível de Γ) antecedente ou hipótese TEORIA consequente ou conclusão TEOREMA Formulação genérica de sequente B 1,, B n A 1,, A n conjunção disjunção

6 Fundamentos MÉTODO CORRETO DE PROVA (CORRETUDE) diz-se que um método de prova é correto se somente produz conclusões que são consequências semânticas: p 1, p 2,, p n c sse p 1, p 2,, p n c

7 Fundamentos MÉTODO COMPLETO DE PROVA (COMPLETUDE) diz-se que um método de prova é completo se consegue encontrar uma sequência de aplicações de regras de inferência para toda conclusão válida p 1, p 2,, p n c sse p 1, p 2,, p n c

8 Fundamentos Métodos de prova corretos e completos (entre outros): Axiomático (ou de Frege ou de Hilbert): método que pelo uso de um conjunto de axiomas e de regras de inferência (Modus Ponens - MP, Modus Tolens - MT) alcança o teorema (a fórmula a ser demonstrada). Dedução Natural: conjunto de regras para lógica proposicional (inclusão e eliminação para cada conectivo lógico) Método de Tableaux. Por refutação, porém, analítico (em oposição aos de resolução). Lida diretamente com as fórmulas sem recorrer a formas normais. * Resolução: método por refutação (Robinson, 1965) -utilizado pelo PROLOG. Usa as formas normais. *Fonte: Guilherme Bittencourt,

9 AXIOMÁTICO

10 Axiomatização AXIOMATIZAÇÃO TEM 2 ELEMENTOS AXIOMAS: fórmulas com status de verdade básica (da onde vêm os axiomas? De verdades experimentais? São simples convenções?) REGRAS DE INFERÊNCIA: que permitem deduzir novas fórmulas a partir de outras já deduzidas.

11 Axiomatização Sistemas axiomáticos datam principalmente do fim do século XIX (Hilbert 1889 Fundamentos da Geometria) e início do XX (C.I. Lewis Lógicas de 1ª. ordem) Hilbert busca uma fundamentação para a geometria Euclidiana, i.e. axiomas completos (permitem a dedução de todas as proposições sobre objetos que denominou de pontos, retas e planos) que sejam o mais simples possível (conjunto mínimo de axiomas). Ex. de teorema: o centro da circunferência circunscrita a um triângulo é o ponto de intersecção das mediatrizes desse triângulo. Hilbert pretendia demonstrar que os axiomas escolhidos não são contraditórios (corretude) isto é, que não permitem demonstrar um teorema e a sua negação. Fonte: Gênios da Ciência: Matemáticos, Luiz Carlos P. Marin (ed)., 2ª ed., SP, Duetto Editorial, 2012

12 Axiomatização: o que são axiomas? Ernst Zermelo em 1908 fundou sua teoria de conjuntos sobre os axiomas abaixo De Extensionalidade: dois conjuntos são idênticos sse possuem os mesmos elementos Do Conjunto vazio: existe um conjunto que não contém nenhum elemento denominado de conjunto vazio e representado por Do par... Da união... De separação... Do conjunto infinito... Das partes... Da substituição... De fundação (acrescentado por J. Von Neumann em 1929): nenhum conjunto é um dos seus próprios elementos (nenhum conjunto contém a si próprio para evitar paradoxos autorreferenciais)

13 Axiomatização: ideia básica Na construção axiomática de uma lógica, o criador da lógica procura selecionar o mínimo de axiomas e de regras de inferência que reflitam suas ideias sobre que princípios de raciocínio devam ser incluídos na lógica. (Girle, R. Possible Worlds, 2003, pg. 31)

14 Axiomatização: ideia básica Exemplo: vamos supor que transitividade é um princípio importante para implicação lógica. Portanto, um argumento que apresenta a forma (estrutura) abaixo é válido na lógica do criador da lógica: P q q r Logo, p r Portanto, o tal criador coloca um axioma na lógica que reflete este princípio: (p q) (q r) (p r)

15 Axiomatização Instanciação de uma fórmula Exemplo: dado o axioma A = p (q p), a fórmula (r s) ((t v) (r s)) é uma instância do axioma A pela substituição dos átomos por fórmulas i) p por (r s) A[P:= (r s)] ii) q por (t v) A[P:= (t v)]

16 Axiomatização Alguns axiomas da lógica proposicional clássica ( 1 ) p (q p) ( 2 ) (p (q r)) ((p q) (p r)) ( 1 ) (p (q (p q)))... ( 2 ) p p Regra de inferência Modus Ponens A B, A B

17 Axiomatização: dedução Então, utilizamos os axiomas e as regras de inferência para fazer deduções. Um Sistema Dedutivo permite deduzir as consequências semânticas de uma teoria. Logo, uma fórmula A é dedutível de uma teoria Γ: se há uma sequência de fórmulas A 1,..., A n que produzem A, tal que, cada fórmula A i da dedução: 1. É uma fórmula A i de Γ ou 2. É uma instância de um axioma do sistema lógico ou 3. É obtida de fórmulas anteriores por Modus Ponens (regra de inferência)

18 Axiomatização: teorema Um teorema A é uma fórmula, tal que existe uma dedução A 1,..., A n que produz A. Representa-se um teorema por: A AX OU A Identifica o método de inferência

19 Axiomatização: teorema da dedução Γ, A B sse Γ A B A é uma fórmula da teoria e B a fórmula a ser demonstrada OU Γ A B sse Γ, A B No contexto do sistema dedutivo de axiomatização, o teorema fica: Γ A B sse Γ, A B

20 Axiomatização: exemplo de dedução Exemplo + exercício

21 Axiomatização na computação Em termos computacionais, o método da axiomatização é de pouca utilidade, pois é difícil construir um algoritmo que: Identifique qual axioma utilizar; Defina a ordem de utilização dos axiomas; faça as substituições mais adequadas que conduzam à prova do teorema/fórmula (substituir átomos por fórmulas)

22 DEDUÇÃO NATURAL

23 Dedução Natural Criada por Gentzen (1969) e refinada por Prawitz (1965). Gentzen notou que o pequeno número de axiomas do Sistema de Axiomatização e de regras de inferência (só uma de fato, a Modus Ponens) dificulta o uso deste sistema de prova na prática. Então, Gentzen propôs um método que se aproximasse mais da maneira como as pessoas raciocinam daí o nome, dedução natural permite introduzir/descartar hipóteses e há regras de inferência de introdução/eliminação para cada conectivo lógico.

24 Dedução Natural É um método formal de inferência baseado nos princípios: 1) Inferências são realizadas por regras de inferências em que hipóteses introduzidas na prova devem ser descartadas para a consolidação da prova; 2) Para cada conectivo lógico, há duas regras de inferência: uma para inserção do conectivo na prova e outra para a remoção do conectivo

25 Dedução Natural Regras + Exemplo + Exercício

26 TABLEAUX ANALÍTICOS

27 Tableaux Analíticos É um método de prova baseado em refutação. É correto, completo, decidível em LP* e não-determinístico. *Tableaux-analíticos não são decidíveis para LPO

28 Tableaux Analíticos DECIDÍVEL É um procedimento de decisão portanto decidível: capaz de demonstrar conclusões que são consequências lógicas de uma teoria e também aquelas que não são (assim como as tabelas-verdade são capazes). Dedução natural e axiomatização são completos (capazes de demonstrar todas as consequências lógicas de uma teoria), porém, não são decidíveis. *Tableaux analíticos não são decídiveis para LPO (porém, são decidíveis para LP)

29 Tableaux Analíticos Não-determinístico: o algoritmo possui (pelo menos) dois pontos onde deve haver uma escolha guiada por uma estratégia escolher qual regra (alfa ou beta) e em qual fórmula aplicá-la. As tabelas-verdade, em contraposição, são determinísticas. Não há pontos de escolhas heurísticas.

30 Tableaux Analíticos Prova por refutação Fórmulas marcadas Regras de expansão Provas por tableaux Correção, completude e decidibilidade Algoritmo

31 REQUISITO PARA RESOLUÇÃO FORMAS NORMAIS E CLÁUSULAS DE HORN

32 Formas Normais Diversos algoritmos assumem que as fórmulas estão na forma normal que pode ser conjuntiva (FNC) ou disjuntiva (FND) Ex. colocar as fórmulas na FNC é requisito para aplicar o método de prova por resolução usada por algoritmos SAT em geral SAT = satisfabilidade

33 Forma Normal Conjuntiva (FNC) FNC: transformar as fórmulas em uma conjunção de disjunções (q p r) (r s) Notação clausal ( q p r) (s r) { [ q, p, r], [s, r] } literal: p ou p cláusula cláusula cláusula: disjunção de literais fórmula unitária: um só literal vazia: sem literais, é igual a constante falsa

34 Forma Normal Conjuntiva forma geral m k=1 L 1 L 2... L n k ATENÇÃO: não confundir fórmula com uma cláusula vazia com fórmula sem cláusula. Uma fórmula com zero cláusula é igual a constante T por convenção (k=0) Uma cláusula vazia é igual a constante falsa

35 Forma Normal Conjuntiva Teorema: para toda fórmula B da lógica proposicional clássica, há uma fórmula A na FNC que é equivalente a B Algoritmo: ENT: uma fórmula B SAI: uma fórmula A na FNC tal que A B Para todas as subfórmulas de X,Y,Z de B faça Redefinir em termos de e Empurrar as negações para o interior por leis de Morgan Eliminar a dupla negação Aplicar a distributividade de sobre Fim para A fórmula A é obtida quando não mais substituições possíveis (Silva, Finger e Melo, 2006, pg. 79)

36 Forma Normal Conjuntiva Algumas equivalências notáveis

37 Cláusulas de Horn São cláusulas com no máximo um literal positivo (uso: PROLOG) Exemplo (2 cláusulas): ((p q) r) ((q s) t) LP Horn equivalente à (na FNC): ( p q r) ( q s t)

38 Cláusulas de Horn Fatos: são cláusulas unitárias em que há um único literal e este é positivo. Ex.: p T <cabeça> Regras: são cláusulas na forma <corpo da regra> <cabeça> Tipos de cláusulas ( p 1... p n q) equivalente à (p 1... p n q) Consultas ou restrições: são cláusulas de Horn sem átomo positivo ( p 1... p n ) <corpo>

39 Cláusulas de Horn Propriedades que tornam a manipulação das cláusulas de Horn mais simples do que cláusulas genéricas LEMA 1 Se C é um conjunto de cláusulas de Horn sem nenhum fato, então C é satisfazível. (considere a situação onde todos os átomos são F) LEMA 2 C é um conjunto de cláusulas de Horn que contém um fato p. C são cláusulas obtidas a partir de C removendo-se o literal p do corpo de todas as cláusulas e todas as cláusulas que contém o literal p (i.e. assume-se que p é true) Então C C.

40 Cláusulas de Horn Algoritmo de verificação de satisfabilidade em LP Algoritmo: HornSAT(C) ENT: conjunto de cláusulas C SAI: Verdadeiro se C é satisfazível, Falso, caso contrário. // Casos base 1. Se C retorne falso 2. Se C não contém fatos então retorne verdadeiro // Passos redutores levam aos casos base 3. Escolha um p C, sendo p um fato (assume-se que p é T) 4. C é obtida de C 4.1 removendo-se o literal p de suas cláusulas e 4.2 todas as cláusulas onde o literal p aparece 5. retorne HornSAT(C ) (Silva, Finger e Melo, 2006)

41 MÉTODO DE PROVA POR RESOLUÇÃO

42 Plano Resolução em lógica proposicional (LP) método de prova por refutação Resolução em lógica de primeira ordem (LPO) Reduzir a resolução em LPO à resolução em LP pela: Eliminação/instanciação do universal Eliminação do existencial (skolemização) Completude e decidibilidade

43 MÉTODO DA RESOLUÇÃO RESOLUÇÃO No nosso caso, interessa resolução para uma linguagem mais próxima possível da LPO completa (com quantificadores, negação, predicados n-ários, funções, ). Também nos interessa o método de resolução por redução ao absurdo ou por refutação. Γ sse Γ U { } não é satisfazível (prova por refutação)

44 RESOLUÇÃO EM LÓGICA PROPOSICIONAL Procedimento para lógica proposicional para verificar a se alga é consequência lógica da teoria (Γ ) 1. Colocar Γ U { } na forma normal conjuntiva (clausal) 2. Verificar se é possível derivar a cláusula aplicandose as regras de resolução 3. Caso seja possível, prova-se por refutação que Γ a teoria Γ aqui será umconjunto de cláusulas na FNC a ordem dos literais dentro das cláusulas não é importante a ordem das cláusulas também não é importante

45 Regras de Resolução Facilmente entendível pegando-se modus ponens (p q) (p) conclui-se q em FNC {[ p, q], [p]} pode ser resolvida/simplificada para {[q]} regra de RESOLUÇÃO {[ p, q], [p]} {[q]} resolventes: cláusulas de entrada resoluta: cláusula inferida pela regra

46 Regras de Resolução Utilizadas no método de prova por refutação {[w, q, r], [w, s, r]} resolventes: cláusulas de entrada regra de RESOLUÇÃO {[w, q, s]} {[r], [ r]} {[ ]} resoluta: cláusula inferida pela regra Importante: neste caso, a resoluta é igual [ ] ou, ou seja, as cláusulas resolventes são insatisfazíveis regra de CONTRAÇÃO {[w, w, r]} {[w, r]}

47 EXEMPLO Γ? sendo = menina Γ a. fund //está no ensino fund. b. fund criança c. criança masc menino d. jardim criança e. criança fem menina f. fem Γ U { } na FNC [fund] 1 [ fund, criança] [criança] 2 [ criança, fem menina] [ fem, menina] [menina] [ ] [fem] 6 [ menina] {[fund], 2. [ fund, criança], 3. [ criança, masc, menino], 4. [ jardim, criança] 5. [ criança, fem menina], 6. [fem], 7. [ menina]} a cláusula vazia foi derivada, então é deduzível da teoria Γ

48 RESOLUÇÃO EM LÓGICA PROPOSICIONAL Método utilizado pelo PROLOG e por provadores de teorema (ex. OTTER) pela simplicidade Desafios computacionais do método: 1. não-determinístico: é preciso escolher os resolventes a cada passo de resolução. Qual estratégia? sempre utilizar um resolvente unitário = resolução unitária 2. diminuição do espaço de busca: descartar fórmulas que subsumem outras (englobam). [a, b, c] [a, p] [b, p] [a, b] [a, b] está contida em [a,b,c] então [a,b,c] pode ser eliminada diminuindo o espaço de busca para {[a, p], [b, p], [a, b]}

49 COMPLETUDE O procedimento de resolução é completo e correto se restrito à refutação, i.e. a derivação da cláusula vazia [ ]. Não é completo em outros casos, pois é possível demonstrar que uma conclusão é consequência lógica de Γ embora não se consiga derivar a partir de Γ utilizando as regras de resolução.

50 COMPLETUDE Exemplo: p p q Não é possível aplicar a regra de resolução somente a cláusula [p], mas é trivial ver que [p, q] é consequência lógica de [p]. Sempre que v(p)=1, v(p v q) = 1. Daí, para fins de completude do método de resolução, a idéia de se fazer prova por refutação {[p], [ p], [ q]} [ ]

51 MÉTODO DE RESOLUÇÃO EM LPO

52 RESOLUÇÃO EM LPO Resolução com lógica proposicional está um pouco distante da LPO pois não considera os quantificadores universal e existencial, nem predicados e funções n-ários com n>0. Para fazer inferência com quantificadores, a idéia básica é reduzi-la à inferência da lógica proposicional BASTA ELIMINARMOS OS QUANTIFICADORES!!!

53 RESOLUÇÃO EM LPO 1. Colocar a Γ U { } na FNC 2. Eliminar os quantificadores universais * 3. Aplicar a regra de resolução *primeiramente, excluiremos somente o quantificador universal, depois veremos como excluir o existencial.

54 FNC em LPO Eliminar implicação lógica Mover negações para dentro para que precedam os átomos utilizando as equivalências x( ) substituir por x( ) x( ) substituir por x. Padronizar as variáveis: cada quantificador deve corresponder a uma variável x(p(x)) q(x) substituir por z.(p(z)) q(x) Eliminar todos os existenciais (será visto mais tarde) Mover universal para fora do escopo do e do utilizando as equivalências: ( x(β)) substituir por x( β) desde que x não seja var. livre em ( x(β)) substituir por x( β) desde que x não seja var. livre em Fazer conjunção de disjunções por meio da distributiva e das leis de Morgan Não colocar os quantificadores universais na FNC pois todas as fórmulas quantificadas serão universais (desprezar eliminar)

55 substituições ELIMINAÇÃO DO UNIVERSAL Pode-se eliminar o quantificador universal pela instanciação universal ou unificação, i.e. substituir as variáveis por valores concretos. X(rei(X) ganancioso(x) perverso(x)) joão constante que denota um objeto do domínio ricardo constante que denota um objeto do domínio pai(x) função que retorna o pai de X que é um objeto do domínio {X/joão} {X/ricardo} {X/pai(joão)} Pela instanciação universal obtém-se: rei(joão) ganancioso(joão) perverso(joão) rei(ricardo) ganancioso(ricardo) perverso(ricardo) rei(pai(joão) ganancioso(pai(joão)) perverso(pai(joão)) Termos básicos: não apresentam variáveis

56 EXEMPLO RESOLUÇÃO EM LPO Γ? sendo = brinca(maria) Γ 1. X (fund(x) criança(x)) 2. X (criança(x) brinca(x)) 3. fund(maria) Γ U { } na FNC 1. {[ fund (X), criança(x)], 2. [ criança (X), brinca(x)], 3. [fund(maria)], 4. [ brinca(maria)]} [ fund (X), criança(x)] X/maria X/maria criança(maria) [fund(maria)] [brinca(maria)] [ criança (X), brinca(x)] Logo, brinca(maria) é uma consequência lógica das fórmulas em Γ [ ] [ brinca(maria)]

57 EXEMPLO RESOLUÇÃO EM LPO (extraído de Brachman e Levesque, 2005)

58 PREDICADOS RESPOSTA Negação da query= x( Student(x) or Happy(x)) (extraído de Brachman e Levesque, 2005) Cada derivação produz uma só resposta. Se tivéssemos Happy(Sue) na KB terímos que fazer outra substituição {x/sue}. Porém, a resposta pode ser uma disjunção

59 PREDICADOS RESPOSTA A resposta é jane ou john. Não há certeza sobre qual deles está feliz.

60 ELIMINAÇÃO DO EXISTENCIAL Para completar a resolução em LPO, é preciso tratar fórmulas com o quantificador existencial Para tal, faz-se a instanciação do existencial ou skolemização (do autor, Skolem). A idéia básica é exemplificada: X(coroa(X) nacabeça(x, joão)) Se existe um objeto que é uma coroa e que está sobre a cabeça do João, então podemos supor que este objeto existe e nomêa-lo com um símbolo constante que não exista e nem venha a se repetir na KB. No exemplo, c1 é chamado de constante de skolem. coroa(c1) nacabeça(c1, joão)

61 SKOLEMIZAÇÃO Se existe um x, chame-o de a (constante) x mae(x, jose) mae(a, jose) Se para todo x existe um y, chame-o de f(x) x 1 yp(x 1,y) x 1 P(x 1,f(x 1 )) x 1 x 2 yp(x 1, x 2, y) x 1 x 2 P(x 1, x 2, f(x 1, x 2 )) x 1 x 2 x n yp(x 1, x 2,, x n, y) x 1 x 2 P(x 1, x 2,, x n, f(x 1,, x n )) Exemplo x 1 y(pessoa(x 1 ) mae(y, x 1 )) x 1 (pessoa(x 1 ) mae(f(x 1 ), x 1 )) f é um novo símbolo de função que não existe em nenhum outro lugar da KB

62 Exemplo de SKOLEMIZAÇÃO 1. X (homem(x) pessoa(x)) 2. X Y (pessoa(x) mae(y, X)]) % y é mãe de x 3. X, Y (mae(x, Y) ama(x, Y)) 4. homem(platao) Pergunta-se: Y ama(y, platao) % alguem ama a Platão? X/platao em 1: pessoa(platao) Y/f(X) em 2, skolemizacao: pessoa(platao) -> mae(f(platao), platao) mae(f(platao), platao) -> ama(f(platao), platao) Logo, a query pode ser satisfeita com as instanciações: X/platao Y/f(platao) Este exemplo foi implementado em ex skolemizacao.pl

63 IMPLICAÇÃO DA SKOLEMIZAÇÃO Quando fazemos instanciação dos existenciais numa KB, a nova KB não é logicamente equivalente à anterior pois x.p(x) P(a) é falso!!! Porém, a KB antiga e a nova (resultante da skolemização) apresentam equivalência inferencial, i.e. é satisfazível sse é satisfazível, sendo o resultado da skolemização. Preservar a equivalência inferencial ou a satisfabilidade é suficiente para resolução!

64 DEPENDÊNCIA DAS VARIÁVEIS A ordem de aparecimento dos quantificadores é importante na resolução em LPO. Esta ordem gera dependências entre as variáveis o que afeta a skolemização e a satisfabilidade! x y.r(x, y) y x.r(x, y) é satisfazível y x.r(x, y) x y.r(x, y) não é satisfazível

65 DEPENDÊNCIA DAS VARIÁVEIS satisfazível não é satisfazível x y.r(x, y) y x.r(x, y) y x.r(x, y) x y.r(x, y) 1. Mostrar que as cláusulas abaixo derivam [] 1. Mostrar que as cláusulas abaixo derivam [] 2. {x/a} 2. {x/f(y)} // x depende de y 3. Negação para dentro e {y/b} 3. Negação para dentro e {y/g(x)} 4. Unificar pela substituição {x/a, y/b} 4. Não há unificação

66 DECIDIBILIDADE A resolução por derivações não oferece solução geral para o cálculo da consequência lógica (nem com a instanciação dos quantificadores universais e existenciais) Há situações onde há infinitas substituições. Por exemplo, se há um símbolo de função, o número de substituições é infinito.

67 DECIDIBILIDADE KB: X rei(x) ganancioso(x) perverso(x) joão constante que denota um objeto do domínio ricardo constante que denota um objeto do domínio rei(joão) ganancioso(joão) pai(x) função que retorna o pai de X substituições {X/joão} {X/ricardo} {X/pai(joão)} {X/pai(pai(joão))} {X/pai(pai(pai(joão)))} Pela instanciação universal obtem-se: rei(joão) ganancioso(joão) -> perverso(joão) rei(ricardo) ganancioso(ricardo) -> perverso(ricardo) rei(pai(joão) ganancioso(pai(joão)) -> perverso(pai(joão)) Exercício: demonstrar que pode-se fazer infinitas substituições se retirarmos a sentença ganancioso(joão) e quisermos demonstrar que há um rei perverso.

68 DECIDIBILIDADE Resoluções geradas pela instanciação universal e existencial são completas. i.e. toda sentença que é consequência lógica da KB pode ser demonstrada. Algum ramo de derivação conterá a cláusula [ ], mesmo que existam outros ramos infinitos. Por isto, deve-se fazer busca breadth-first. Porém, se a sentença não é satisfazível, a prova pode prosseguir indefinidamente pelo aninhamento de funções nas substituições Nesta situação, não é possível saber se não se pode deduzir a sentença ou se ainda não se chegou a dedução!!! Alguns autores dizem que o cálculo da consequência lógica em LPO é semi-decídivel por este motivo.

69 Melhorias na resolução Face as constatações de que não há garantia de terminação da resolução e não maneira de garantir eficiência, há algo a ser feito? Sim É possível reduzir redundâncias nas buscas, fazendo substituições mas genéricas possíveis > most general unifiers Escolhas arbitrárias nas substituições podem impedir que um caminho atinja a cláusula []. Não é preciso atribuir um valor específico a uma variável, pode-se deixar este comprometimento para mais tarde

70 Resolução é difícil Resolução em LPO não tem garantias de término Na lógica proposicional: Haken demonstrou em 1995 que sabendo-se que há cláusulas não satisfazíveis {c1,, cn} na KB, a derivação mais curta para a cláusula [] é da ordem de 2 n cláusulas. Portanto, mesmo se as vezes a cláusula [] pode ser encontrada imediatamente, em alguns problemas a busca pode requerer tempo exponencial.

71 Resolvedores SAT São algoritmos utilizados para encontrar valorações para cláusulas que são satisfazíveis (para lógica proposicional)

72 Implicações para KR Problema: como gerar consequências lógicas em tempo razoável para realizar ações imediatas Provadores de teoremas completos podem não ser úteis para KR Outras opções: Dar maior controle ao usuário Linguagens menos expressivas (ex. cláusulas de Horn) Em algumas aplicações, é razoável esperar bastante tempo: provar um teorema matemático pode levar meses! Em geral, a melhor alternativa é a utilização do most general unifier para evitar buscas redundantes Mas há outras estratégias eliminação de cláusulas: ex. que contêm um literal que não aparece em outras cláusulas Ordenação da resolução: ex. primeiro cláusulas unitárias Utilizar lógica tipificada (sorted logic): unificar cláusulas somente qdo os tipos forem compatíveis

73 Referências Robinson J. A. "A Machine-Oriented Logic Based on the Resolution Principle." J. Assoc. Comput. Mach. 12, 23-41, 1965.