Matemática ISABEL FERREIRA DO NASCIMENTO WANDANDA MBANZA JOÃO. Colaboração e Revisão CUNGATIQUILO CANO

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1 Matemática 6 ạ Classe ISABEL FERREIRA DO NASCIMENTO WANDANDA MBANZA JOÃO Colaboração e Revisão CUNGATIQUILO CANO

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3 Ficha Técnica TÍTULO: Matemática 6ª Classe AUTORES: Isabel Ferreira do Nascimento, Wandanda Mbanza João COLABORAÇÃO E REVISÃO: Cungatiquilo Cano EDITORA: Árvore do Saber, S.A IMPRESSÃO: Imprensa Nacional S.A TIRAGEM: exemplares Luanda,.ª EDIÇÃO, Agosto 0 Registado na Biblioteca Nacional de Angola sob o n.º 997/0 c 0 Árvore do Saber Reservados todos os direitos. É proibida a reprodução desta obra por qualquer meio ( fotocópias, offset, fotografias, etc) sem o consentimento escrito da Editora, abrangente esta proibição o texto, a ilustração e o arranjo gráfico. A violação destas regras será passível de procedimentos judicial.

4 INTRODUÇÃO Os conteúdos seleccionados para esta classe visam adaptar o aluno ao desenvolvimento e progresso com diferentes motivações, interesses, capacidades e conhecimentos; criando condições para a sua inserção num mundo em mudança. Para melhor compreensão, iremos tratar os seguintes conteúdos: Números e operações Multiplicação de números inteiros e números decimais; decomposição de números naturais em factores primos na forma potencial; critérios de divisibilidade por 0, e ; cálculo de m.m.c. e de m.d.c. de dois ou mais números naturais; números racionais, adição e subtracção de fracções; divisão de números em forma de fracções; expressões numéricas e respectivas propriedades. Geometria Paralelogramo; triângulo; eixo de simetria; bissectriz de um ângulo; área de círculo; medição de volumes cilíndricos; área do triângulo; área do paralelogramo. Proporcionalidade Proporções, percentagens, gráficos circulares, escala. Esclarece-se que, nesta classe, a ordem de apresentação dos conteúdos é linear; isto quer dizer que os conteúdos se encontram em «blocos» e essa é a ordem lógica por que devem ser tratados. 4 Estatística Noções elementares de estatística: a moda, a média aritmética, a mediana, tabelas e gráficos.

5 ÍNDICE Tema Números e operações Multiplicação de números inteiros e de números decimais... 8 Multiplicar um número inteiro por um número decimal... 8 Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtracção... Números primos e números compostos... 4 Decomposição de números inteiros em factores primos sob a forma de potência... 4 Critérios de divisibilidade por... Critério de divisibilidade por 0 e... 6 Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum... 7 Ampliação de fracções... 9 Simplificação de fracções... 0 Uso do máximo divisor comum para a simplificação de fracções... Operações com números racionais... Adição e subtracção de fracções... Fracções com denominadores diferentes... Adição e subtracção de fracções representadas sob a forma mista... 7 Propriedades da adição de números fraccionários... 8 Propriedade associativa... 8 Propriedade comutativa... 9 Existência de elemento neutro... 9 Operações com números decimais envolvendo as fracções decimais... 0 Adição de fracções decimais... 0 Adição escrita dos números decimais... Subtracção de fracções decimais... Multiplicação de números fraccionários... Multiplicação de uma fracção por um número inteiro... Inverso de um número... 9 Divisão de números fraccionários Multiplicação de números decimais... 4 Divisão de números fraccionários representados por números decimais Tema Geometria Triângulos Construção de triângulos Construção de triângulos segundo os lados Construção de triângulos segundo os ângulos e lados... Quadriláteros... 8 Propriedades dos quadriláteros... 8

6 ÍNDICE Propriedades dos paralelogramos Eixo de simetria e bissectriz de um triângulo... 6 Eixo de simetria... 6 Bissectriz de um ângulo Área do paralelogramo Área do triângulo Área do círculo Cálculo da medida da área do círculo O volume do prisma... 7 Prisma cuja base é um paralelogramo... 7 Volume dos prismas triangulares rectos... 7 Volume de prismas rectos não triangulares... 7 Volume do cilindro... 7 Tema Proporcionalidade Sucessões numéricas Sucessões numéricas proporcionais Proporcionalidade directa Sistema de coordenadas rectangulares Gráficos cartesianos duma proporcionalidade directa Proporções... 8 Noção de proporções... 8 Designação dos termos de uma proporção... 8 Propriedade fundamental das proporções... 8 Percentagens Percentagens e cálculo mental Conversões de fracções ordinárias em percentagens... 8 Gráficos circulares Percentagens Escala Tema 4 Estatística Noções elementares de estatística... 9 Medidas de tendência central... 9 A moda... 9 A média aritmética... 9 Mediana

7 Multiplicação de números inteiros e números decimais Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtracção Números primos e números compostos Decomposição de números inteiros em factores primos sob a forma de potência Critérios de divisibilidade por Critérios de divisibilidade por 0 e por Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum Ampliação de fracções Simplificação de fracções Uso do máximo divisor comum para a simplificação de fracções Cálculo com números racionais Adição e subtracção de fracções representadas sob a forma mista Propriedade de adição de números racionais Cálculo com números decimais envolvendo as fracções decimais

8 Números e operações TEMA

9 TEMA Multiplicação de números inteiros e de números decimais Observa a conversa entre amigos. Mário, sabes calcular 4 0,? Oh! João, é muito simples. Repara: 4 0, = 0, + 0, + 0, + 0, Se 0, + 0, + 0, + 0, =, então, 4 0, =,. E se fosse 4, = 4, + 4, + 4, 4, + 4, + 4, =, então, 4, =,. Multiplicar um número inteiro por um número decimal Multiplicam-se os números como se fossem inteiros. O produto tem tantas casas decimais como o número decimal.. Quantos metros de tecido terá de comprar a Dona Anita para fazer vestidos, se cada vestido levar, m? R.: 8

10 NÚMEROS E OPERAÇÕES. Calcula mentalmente. 6, =,8 0 =, = 9 0, =, 4 = 0, =. A Dona Maria colocou uma renda à volta de uma toalha com a configuração da figura abaixo apresentada.,0 m,0 m Quanto gastou ela, se cada metro de renda custou 000 kz? R.: Observa os produtos. 0,6 =,8, 8 = 4,6 0,6 =,8 8, = 4,6 Certamente observaste que o produto não se altera se trocarmos a ordem dos factores. A isto chama-se Propriedade Comutativa da Multiplicação.. Resolve. 4, 6 = 8, = 6 4, = 7,9 = 8, = 7,9 =. Completa utilizando a propriedade comutativa da multiplicação. 6,6 4 = 4, =,, =, 9,6 = 7 9

11 TEMA Já conheces também outra propriedade: a Propriedade Associativa. Observa: (,6 8) = (8 4) (, ) =, (0 ) O cálculo de produto torna-se mais simples se utilizarmos a propriedade associativa da multiplicação Observa e completa, como nos exemplos.,, 4 = = (, ) (, 4) = 4,8 = 4,4, 0, = (, ) (0, ) = 9, = 9, = (8 ) ( ) = = = ( ) ( ) = = 0

12 NÚMEROS E OPERAÇÕES Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e à subtracção. A Mónica tem irmãos. Deu a cada um deles rebuçados e 4 pastilhas. Ao todo, quantas guloseimas deu a Mónica?. Procedimento Observa como é fácil calcular. Número total de guloseimas + 4 = ( + 4) = =. Procedimento Número total de guloseimas para os dois irmãos = Número total de pastilhas para os dois irmãos 4 = Número total de guloseimas e de pastilhas para os dois irmãos Concluímos então que: + 4 = + ( + 4) = + 4 A Mariana comprou bananas e maçãs para levar para o hospital. Cada fruta custou 00 kwanzas. Quanto pagou a Mariana pelas frutas?. Procedimento O número total de frutas Quantia a pagar + = ( + ) 00 =

13 TEMA Quantia total a pagar pelas bananas 00 = Quantia total a pagar pelas maçãs: 00 = Quantia total a pagar pelas frutas: = + = Concluímos então que: ( + ) 00 = Esta propriedade chama-se Propriedade Distributiva da Multiplicação em Relação à Adição. Será que a multiplicação também é distributiva em relação à subtracção? Observa A Nanda comprou 4 cadeiras no Super África, cujo preço era de 000 kz cada. No entanto, foi feito um desconto de 00 kz por cada cadeira. Quanto pagou a Nanda? «Contas» feitas pela Nanda. Quantia a pagar por cada cadeira: 000 kz 00 kz Quantia a pagar pelas 4 cadeiras: 4 cadeiras = 4 ( ) = = Super África Preços das cadeiras sem descontos: = Total dos descontos: 4 00 = Total a pagar: = = Conclusão 4 ( ) =

14 NÚMEROS E OPERAÇÕES Concluímos que a multiplicação também é distributiva em relação à subtracção. Calcula como no exemplo: 6 (9 ) = = 4 0 = 4 6 (0 7) = ( ) ( ) = =, (6 + 4) = ( ) + ( ) = + =,7 ( 0) = ( ) ( ) = = 6,7 (9 + 7) = ( ) + ( ) = + = Completa usando a propriedade distributiva: ( + 6) = + 6 Verificas que há um factor comum aos dois produtos. Este factor é o. Então, também podemos escrever: + 6 = ( + 6) Põe em evidência o factor comum , 6, 4 +, , , + 0, ,8 + 4,8 4 0,,

15 TEMA Números primos e números compostos Estudámos o conjunto de divisores de alguns números naturais. Divisores de = {; } Divisores de = {; ; ; 4; 6; } Divisores de 7 = {; 7} Divisores de 9 = {; ; 9} Divisores de 8 = {; ; 4; 8} Um número chama-se primo se admitir dois e só dois divisores, o número e o próprio número. Verificamos que os números e 7 só têm dois divisores, o número e o próprio número. Esses números chamam-se números primos. Os restantes números chamam-se compostos porque admitem mais de dois divisores. O número nem é primo nem é composto porque admite apenas um divisor: ele próprio. Indica todos os números primos compreendidos entre os seguintes números: a) 0 e 0 b) 0 e 60 c) 0 e 40 d) 0 e 0 e) 40 e 0 f) 70 e 80 Qual é o maior número primo inferior a 0? Diz o maior número primo compreendido entre e 7. Decomposição de números inteiros em factores primos sob a forma de potência Decomposição em factores primos Repara: 0 = ou 0 8 = 4 ou = 8 = 7 4

16 NÚMEROS E OPERAÇÕES O que verificaste? Ao fazermos a decomposição de um número inteiro em factores de maneira que todos os factores sejam números primos, efectuamos uma decomposição em factores primos. Decompõe como no exemplo: 08 = 4 = 7 = 9 = 08 = 8 = 0 = 6 = Decomposição sob a forma de potência Observa o exemplo anterior. 08 = Nesta decomposição em factores primos, aparecem repetidos factores comuns que podemos escrever sob a forma potencial. = (lê-se dois ao quadrado) = (lê-se três ao cubo) Esta forma de escrever chama-se potência. Numa potência «a n» em que «a» é a base e «n» é o expoente, o expoente indica o número de factores iguais à base. Escreve os números dos exercícios anteriores sob a forma de potência. Critérios de divisibilidade por Observa o quadro seguinte e completa. Número Resto da divisão por 0

17 TEMA Diz quais são os números que, ao serem divididos por, dão resto zero. Certamente verificas que dão resto zero os números que terminem em 0,, 4, 6 e 8. Um número é divisível por quando o algarismo das unidades é 0,, 4, 6 e 8, se o número for par. Os outros números não são divisíveis por. Critério de divisibilidade por 0 e Observa e completa o quadro seguinte. Número Resto da divisão por Diz quais os números que, ao dividirmos por 0, dão resto zero. Certamente verificas que dão resto zero os números que terminem em zero. Um número é divisível por 0 quando o algarismo das unidades for 0. Tal como na divisão por 0, 0, 660 e 80, os números também dão resto zero. Realizamos o mesmo raciocínio para encontramos um critério para a divisibilidade por. Um número é divisível por quando o algarismo das unidades for 0 ou. Utilizando os critérios de divisibilidade, escreve quais dos seguintes números são divisíveis por, por ou por 0. Número

18 NÚMEROS E OPERAÇÕES Máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum Para conhecermos o m.d.c. e o m.m.c., podemos começar a organizar conjuntos de divisores. Observa: Escreve o conjunto de divisores comuns de 9 e. D 9 = {; ; 9} D = {; ; ; } {divisores comuns de 9 e } = {; } Certamente irás perguntar qual será o m.d.c. Formamos, para cada um dos números dados, o conjunto dos respectivos divisores e, com base neste, determina-se o conjunto dos divisores comuns, sendo o seu elemento máximo o m.d.c. No exemplo precedente, é o m.d.c. de 9 e. Mas como calcular o máximo divisor comum? Consideremos os números 8, 48 e 7.. Decompor em factores primos. Escrever os produtos sob a forma potencial. Seleccionar os factores primos comuns (de menor expoente) 8 = 48 = 7 = 8 = 48 = 4 7 = e 4. Formar o produto das potências seleccionadas = 6 m.d.c. (8, 48, 7) = 6 7

19 TEMA O máximo divisor comum (m.d.c.) de dois ou mais números é igual ao produto de factores comuns de menor expoente. Consideremos agora os múltiplos comuns de e. Múltiplos de = {; 6; 9; ; ; 8; ; 0; } Múltiplos de = {; 0; ; 0; ; 0; } Consideremos agora os múltiplos comuns dos números e = {; 0; 4; } Entre todos os múltiplos de e, existe o menor múltiplo comum, que é. Assim, m.m.c. (; ) = Como calcular o mínimo múltiplo comum? Consideremos os números 7 e 40.. Decompor em factores primos. Escrever os produtos sob a forma potencial. Seleccionar os factores primos comuns (de maior expoente) e não comuns 4. Formar o produto das potências seleccionadas 7 = 40 = 7 = 40 = 4 ; e = 080 m.d.c. (7, 40) = 080 O mínimo múltiplo comum (m.m.c.) de dois ou mais números é o produto de factores comuns e não comuns de maior expoente. Exercícios. Determina o m.d.c. dos seguintes números: a) 4; 9; 4 b) 6; 4;. Determina por meio de decomposição em factores primos o m.m.c. dos seguintes números: a) 8; 0; b) 44; 78; 4 c) ; 8; 4 8

20 NÚMEROS E OPERAÇÕES Ampliação de fracções Observa as seguintes fracções: 6 ; 4 ; 8 e = 4 = = As fracções = = resultam da ampliação da fracção Essas fracções chamam-se fracções equivalentes. Amplia as seguintes fracções por, e 4: a) b) c) 6 Se multiplicarmos os dois termos da fracção pelo mesmo número, obteremos uma fracção ampliada. 6 4 Vamos representar as fracções seguintes na semi-recta numérica: ; ; e ; 4 4 ; 8 ; 6 Neste caso, constata-se que várias fracções podem corresponder ao mesmo ponto da semi-recta numérica. 9

21 TEMA Exercícios. Amplia a fracção sucessivamente pelos números seguintes. 4 a) 4 b) c) d) 7. Representa as fracções na semi-recta numérica ; ;, ; e 6 Simplificação de fracções Observa as seguintes fracções: 4 6 ; ; ; = 6 8 = 4 = 6 4 As fracções ; ; resultam da simplificação da fracção por Simplifica as seguintes fracções: 6 a) b) c) d) e) f) Se se efectuar a simplificação sucessiva às fracções fracção. 4 ; ; por, obteremos a 0

22 NÚMEROS E OPERAÇÕES A fracção não pode mais ser simplificada, pois é uma fracção irredutível. Uma fracção chama-se irredutível se os seus termos forem primos entre si. 4 ; ; ; As fracções ; ; representam o mesmo número, portanto, são chamadas fracções equivalentes. Vamos representar as fracções 4 6 ; ; ; na semi-recta numérica ; ; ; Neste caso, constata-se que várias fracções podem corresponder ao mesmo ponto da semi-recta numérica Representa as fracções ; ; e na semi-recta numérica Escreve algumas fracções equivalentes a: 4 a) b) c) d) e) f) g) h) i) 9 4

23 TEMA. Demonstra por meio do desenho que: 4 a) = b) = c) 9 0 = 4 4. Completa as equivalências. 8 a) = b) = c) = d) 4 40 = 6 8 e) = f) = g) = 4 8. Simplifica. 6 a) b) c) d) = 48 = 7 = 6 8 = e) f) g) h) 8 = 96 = 60 = = 7 6. Determina as fracções equivalentes a cujos numeradores estão compreendidos entre 4 e 9 9. Uso do máximo divisor comum para a simplificação de fracções A simplificação de fracções cujos termos são muito grandes torna a divisão sucessiva dos termos mais fastidiosa. Vamos usar o máximo divisor comum para simplificar as fracções. Exemplo: para simplificar a fracção = = 7 = 7 40 = 4 0 = 7 = 7 m.d.c. (0; 40) = 7 =, decompomos em factores primos: = 7 40 = 7

24 NÚMEROS E OPERAÇÕES Dividimos os termos da fracção pelo m.d.c. (0; 40 = ) 0 40 = 4 Simplifica as seguintes fracções (usando o m.d.c.): a) b) c) d) Operações com números racionais Adição e subtracção de fracções Fracções com o mesmo denominador A Isabel comprou uma tablete de chocolate que dividiu em partes iguais. No primeiro dia comeu e no segundo dia. Qual é a parte de chocolate que a Isabel comeu nos dois dias? Para resolver este problema, vamos adicionar as duas fracções. Conhecendo a parte de chocolate que a Isabel comeu, podemos calcular a parte que ficou. Já se sabe que o chocolate foi dividido em partes iguais ou. 4 A parte de chocolate que ficou é igual a =. Para adicionar fracções de igual denominador, somam-se os numeradores, mantendo-se o denominador comum = + 7 = Para subtrair fracções de igual denominador, subtraem-se os numeradores, mantendo-se o denominador comum = = + = + = = = = = 6 6 8

25 TEMA Exercícios. Calcula as somas ou diferenças das fracções seguintes. A B a) g) 4 4 a) b) h) 9 0 b) c) + i) 0 c) d) + j) c) e) + l) d) f) + + m) Completa com a fracção que falta a) + = b) = + c) = d) = e) = f) = g) h) + + = = i) + = 9 9 4

26 NÚMEROS E OPERAÇÕES Fracções com denominadores diferentes Como adicionar ou subtrair fracções com denominadores diferentes. Exemplo: = ; 0 = Já aprendeste a transformar as fracções noutras equivalentes. Vamos transformar essas fracções em fracções equivalentes, ampliando-as, de modo a obter fracções com denominadores iguais = = = = = = = 0 4 As fracções e 4 são equivalentes. 0 0 De modo igual, é equivalente a ; e têm o mesmo denominador Assim, + = + = De modo igual, = = = Para adicionar fracções com denominadores diferentes, deve-se: reduzir as fracções ao mesmo denominador; calcular a soma dos numeradores, mantendo o denominador comum. De igual modo, para subtrair fracções com denominadores diferentes, deve-se: reduzir as fracções ao mesmo denominador; calcular a diferença dos numeradores, mantendo o denominador comum.

27 TEMA Exercícios. Calcula. 8 a) + = b) + = c) = d) = e) + + = f) = g) = h) = 7 i) = j) = 9 Calcula a soma das seguintes fracções: 6 + = Se os denominadores tiverem grandes números, temos de achar o m.m.c. dos denominadores. m.m.c. (, ) = 0 Assim: = e = 0 0 ( ) ( ) = = 0 De modo igual, para calcular 6, procedemos como no caso anterior. m.m.c. (, ) = 0, logo: = e = 0 0 ( ) ( ) = 0 0 =

28 NÚMEROS E OPERAÇÕES Exercícios Utilizando o m.m.c., calcula a soma ou a diferença dos dois números seguintes. a) + b) c) d) 8 e) f) g) h) i) Adição e subtracção de fracções representadas sob a forma mista Exemplo: a) + b) 0 = ( + 0)+ + mmc...(, )= = + + = 6 4 = ( ) ( ) = ( 7+ ) = + 0 = 0 = 0 c) = ( 9 ) ou = = = = 6 8 = 6 7

29 TEMA Exercícios. Calcula. a) b) c) d) e) f) 9 6 g) 4 7 h) i) + j) Propriedades da adição de números fraccionários Propriedade associativa A soma pode calcular-se da seguinte forma: + + = = 8 + = + 0 = = = 60 ou = = + 4 = = = 60 8

30 NÚMEROS E OPERAÇÕES Logo, = Esta igualdade traduz a propriedade associativa de adição dos números racionais. a c De modo geral, se ; b d e e f com b 0, d 0 ef 0 são números fraccionários, temos: a c e a c e + b d + = + + f b d f Então, diz-se que a adição dos números fraccionários é associativa. Propriedade comutativa + = + Esta igualdade traduz a propriedade comutativa da adição dos números fraccionários. a De modo geral, se com b 0 ed 0 são números fraccionários, temos: b e c d a b + c c d = d + Então, diz-se que a adição dos números fraccionários é comutativa. a b Existência de elemento neutro = = é o elemento neutro da adição dos números fraccionários. Em geral, sendo a b um número fraccionário qualquer, tem-se: a b + a 0 = 0 + b = a b 9

31 TEMA Problemas. O tio André comprou um terreno a prestações. Na primeira prestação, pagou a quantia correspondente à metade do terreno. Na segunda prestação. Que parte do terreno falta pagar?. Um bolo foi dividido em partes iguais. O pai comeu de bolo, a mãe 4 comeu. Que parte de bolo ficou?. O senhor Dias resolveu de exercícios de matemática de manhã. No período da tarde, resolveu. Que parte de exercícios fez no total? Que parte de exercícios ficou por fazer? 4. Um auditório com 40 cadeiras está lotado com homens, mulheres e crianças. O número de mulheres é igual ao de crianças e o número de homens é do número de mulheres. Quantas crianças estão no auditório?. As turmas A e B da 6. a 4 classe têm no total 0 alunos. A turma A tem do número de alunos da 6. a 7 B. Quantos alunos tem cada turma? Operações com números decimais envolvendo as fracções decimais Adição de fracções decimais José e Isabel estavam a pintar o pavimento da sala, que se apresenta da seguinte forma: No fim o pavimento ficou com este aspecto. J J I I J I I O José assinalou com J os quadrados que por ele foram pintados e com I os que foram pintados pela Isabel. Determina a parte pintada pelos dois. 0

32 NÚMEROS E OPERAÇÕES O José pintou 0, ou /0 do pavimento e a Isabel pintou 0,4 ou 4/0. Os dois pintaram: 0, + 0,4 = /0 + 4/0 Outro exemplo de adição: = = 0 = 07,, 00 +, , 008 +, = = = 000 = 7, 98 Adição escrita dos números decimais Com o mesmo número de casas decimais, pode ser efectuada a adição escrita dos números naturais. Colocam-se unidades por baixo de unidades, décimas por baixo de décimas, centésimas por baixo de centésimas de forma que as vírgulas fiquem no mesmo alinhamento. 0,,00 + 0,4,46 0,7 0,008 +,9 7,98 Subtracção de fracções decimais No exemplo precedente sobre o pavimento, pode calcular-se a parte da sala que não foi pintada. 7 Já sabemos que a parte pintada representa os de pavimento. 0 Que fracção representa a restante parte? Sabemos que a sala foi dividida em 0 partes. 0 As 0 partes são representadas pela fracção foram pintadas. É claro que podemos calcular a parte que resta.

33 TEMA Assim, teremos: = 0 = 0 Outro exemplo de subtracção: 69 08, 69 0, 8 = = = 000 = 4, 884 A subtracção escrita dos números decimais com o mesmo número de casas decimais pode ser efectuada do mesmo modo que a adição escrita dos números naturais, respeitando as condições dadas na adição escrita.,0,69 0,7 0,8 0, 4,884 Exercícios e Problemas. Calcula sob a forma fraccionária.. a), +,8 +,009 e) 0,7 + 0, + 4,008 +,7 b),9 + 4, f), + 6,0 + 0,8 c) 6, ,8 g) 0, ,04 +,006 d) +,06 + 0,004 h) 6,4 +, + 0,4 +,4. a),,06 e) 0,0 b) 9,86,998 f),4 0,76 c) 0,8 0,67 g),4,67 d),,89 h) 0,76 0,97

34 NÚMEROS E OPERAÇÕES Exercícios e Problemas. Calcula sob a forma de números decimais.. a),7 +9,09 + 0, e) 8, 7,6 b),4 +, f) 0,09 c), +,6 + 0,004 g) 0,00 d) 6,06,4 h) 7, 68,4. Um motorista percorreu no. dia km, no segundo dia 9 km e 7 m e no terceiro km e 8 m. Calcula a distância percorrida pelo motorista durante os três dias. 4. A Ana preparou um bolo que comeu da seguinte forma: No primeiro dia comeu do bolo, no segundo dia comeu e no terceiro dia 0 0 comeu. Qual foi a parte do bolo que sobrou? 0. Quanto tenho de juntar a,7 para obter 0,? 6. O José comprou,0 m de tecido para fazer duas calças, uma com, m e outra com,7 m. Quantos metros de tecido sobraram? Multiplicação de números fraccionários A Cecília cultivou de da área do seu quintal. Qual é a área total destinada à 6 plantação? Para responder, precisamos de calcular de, ou seja,. 6 6 Considera o rectângulo seguinte, que representa a área total do quintal da Cecília dividida em partes iguais.

35 TEMA Considera o mesmo rectângulo, dividido em 6 partes iguais. 6 Sobrepõe os dois rectângulos: obténs um rectângulo dividido em 8 partes iguais Assim, = ou = = 8 Calcula: = = 6 Para multiplicar dois números representados por fracções, multiplicam-se os numeradores e os denominadores entre si. 4

36 NÚMEROS E OPERAÇÕES Multiplicação de uma fracção por um número inteiro Exemplo : 8 = Já sabes que todo o número inteiro pode escrever-se sob a forma de uma fracção com denominador. Assim: =, logo, 8 = ou = = 6 Para multiplicar uma fracção por um número inteiro, multiplica-se o número pelo numerador, mantendo o denominador. Exemplo :, = Usando a regra:, = = = = Podes também calcular deste modo: , =,, =, ou = = Exercícios. Calcula. 6 4 a) b) c) d) e) 9 f) 0, g) h) 8 4, 0, 6 6

37 TEMA Exercícios. Faz os cálculos indicados e simplifica os resultados obtidos para expressões simples (fracções irredutíveis). 4 7 a) b) c) d) e) f) 4 g) h) 0. Calcula. 4 4 a) b) 8 c) d) e) f) g) h) Calcula. a), 4,8, b) 4,0,4 6 c),8, 4,7 d),,,9 e),0,, f),6 4,,07 Propriedades da multiplicação de números fraccionários Completa a tabela seguinte. 0, Com base nos resultados obtidos na tabela, completa e tira uma conclusão., 4 = e 4, =,

38 NÚMEROS E OPERAÇÕES A multiplicação dos números fraccionários é comutativa. Se a e b são números fraccionários, temos a b = b a = e 0 = é o elemento absorvente da multiplicação dos números fraccionários. Se a é um número fraccionário, temos: a 0 = 0 a = 0. é o elemento neutro da multiplicação dos números frac- = e = cionários. Se a é um número fraccionário, temos: a = a = a. Considera a seguinte expressão: Calcula este produto. É óbvio que obténs ou. Calculamos esta expressão 40 4 da seguinte forma: 7 4 ou = = = 40 Podes concluir que: 7 4 = 7 7 Já conheces esta propriedade: Propriedade Associativa. Se a, b e c são números fraccionários, temos: 4 a (b c) = (a b) c 7

39 TEMA O Pedro e o André estiveram a fazer o seguinte cálculo: Vejamos como os dois procederam: Pedro = = 0 6 = 0 78 = = 0 André = + 6 = + 0 = = = + 0 = 0 Finalmente, os dois chegaram ao mesmo resultado. O André utilizou um procedimento. Como se chama esta propriedade? Logo, a propriedade que o André utilizou é a propriedade distributiva. Tu também vais utilizar os dois procedimentos, procurando chegar ao mesmo resultado. 4 = 8 4 Com certeza que nos dois procedimentos chegaste ao mesmo resultado: ou. 0 Podes concluir o seguinte: A multiplicação dos números fraccionários é distributiva em relação à adição e à subtracção. Se a (b ± c) = a b ± a c 8

40 NÚMEROS E OPERAÇÕES Inverso de um número A São e a Laura estavam a fazer perguntas em Matemática. A Laura perguntou à São: Qual é o número que, multiplicado pelo número dado, dá? Exemplo: 7? = A São responde o seguinte: É, pois 7 =. 7 7 A São, por sua vez, fez a pergunta à Laura. Se o número for a fracção : 7 = A Laura respondeu que este número é, pois =. 7 7 Assim, os números e são chamados inversos de 7 e. 7 7 O inverso de um número fraccionário é o número cujo produto com este é igual a ou o inverso de um número fraccionário é a fracção obtida, permutando os seus termos. a O recíproco de. b é b a Se a b é um número fraccionário diferente de zero, então temos: a b b = a 0; b 0 a ( ). Todo o número tem inverso, excepto o 0. Exercícios. Calcula, aplicando a propriedade distributiva. a) + b) + c) d) e) f)

41 TEMA Exercícios. Calcula, aplicando a propriedade comutativa. a) 7 9 = b) = 4 7 c) d) 6 = e) = 8 f) 4 6 = 9 =. Completa. a) 6 = b) 9 = c) d) = e) 4 = f) 9 = 6 = 0 4. Aplica a propriedade associativa. a) 6 b) c) d) 4 8 e) 9 7 f),, 4 Divisão de números fraccionários Determinação do quociente de dois números fraccionários Divisão de um número natural por uma fracção O Diogo comprou 7 laranjas e quer dividir cada uma em três partes. Quantos terços terá o Diogo? O problema consiste em dividir as 7 laranjas em três partes iguais. 7 Seja 7 = ou =. 40

42 NÚMEROS E OPERAÇÕES Divisão de uma fracção por um número natural Se dividirmos um terço da laranja por dois alunos, cada um receberá: = ou 6 = 6 (um sexto da laranja) Divisão de dois números fraccionários A divisão de por é: = = Para dividir dois números fraccionários diferentes de zero, multiplica-se o dividendo pelo inverso do divisor. 9 6 = = ou 9 4 Cálculo mental da divisão de números fraccionários O quociente de dois número fraccionários iguais, diferentes de zero, é. = Sabes que 7 =. Qual é o valor de? = Qualquer número dividido por dá um resultado igual ao próprio número. 4

43 TEMA Exercícios. Calcula. a) b) c) 4 7 d) e) f) 4 4. Faz o cálculo indicado e verifica o resultado. 0 a) b) c) d) e) f) g) h) Calcula mentalmente. a) b) c) d) 6 4 e) 7 6 f) g) h)

44 NÚMEROS E OPERAÇÕES Multiplicação de números decimais Multiplicação de um número natural por um número decimal Já aprendeste a multiplicar um número inteiro por uma fracção e também a transformar números decimais em fracções decimais. Utiliza esta transformação para multiplicar o que se segue., = = 0 = 0 =, Mais simplificado:, = 0 = 0 =, Multiplicação de números naturais reduzidos a fracções decimais Exemplo a) , 7, = = =, Exemplo b) , 7, = = =,

45 TEMA Exercícios. Escreve os seguintes produtos em fracções decimais e calcula. a) 0, b) 0, 8 c), 0,07 d) 0,4 0, e) 0,0084,7 f) 0, 0,4 0, g), 0,07 h) 8,4 0,6 0, i) 0,0 0,0 0,0. Sabendo que 7 = 600, escreve o valor dos seguintes produtos, sem efectuares cálculos. a) 0,7, b),7 0, c),7, d) 7,, e) 7, 0, f) 0,7 0,. Ordena os produtos seguintes do menor para o maior, sem efectuares os cálculos. a),,6 b),6 c) 0, 0,6 d),,6 e) 0,0 0,6 f) 6 Divisão de números fraccionários representados por números decimais Divisão de fracção decimal por um número natural A Mimi comprou, m de tecido, com os quais quer fazer saias iguais para vender. Quantos metros utilizou a Mimi para cada saia? Para saber quantos metros a Mimi utilizou, dividimos, por. Transformamos, em fracção decimal., = 00 = = 00 4 = 00 =, 4 44

46 NÚMEROS E OPERAÇÕES Divisão de dois números decimais Exemplo :, 4, 9 Transformamos os dois números decimais em fracções decimais. 49, 4, 9 = = 0 49 = 49 = Exemplo :,, = 00 0 Transformamos os dois números decimais em fracções decimais = 0 = 0 =, Exercícios. Efectua as seguintes divisões, transformando os números decimais em fracções decimais. a),0 : 6 b) : 0, c), :,7 d),09 : 0, e) 0, : 0,00 f) 0,7 :,9 g) 98,6 : 0,6 h), :,. A mãe da Amélia comprou uma caixa de morangos de 0 kg. A caixa contém caixinhas de 0, kg. Quantas caixinhas contém a caixa?. Com kg de ouro, quantos anéis de 0,0 kg se podem fabricar? 4. Quantas tabletes de chocolate de 0,00 kg se podem fabricar com 0 kg de chocolate? 4

47 Triângulos Construção de triângulos particulares. Construção de triângulos segundo os ângulos e os lados Quadriláteros Propriedade dos quadriláteros Propriedade dos paralelogramos Eixo de simetria e bissectriz de um triângulo Área do paralelogramo Área do triângulo Volume do prisma Volume do cilindro Volume do prisma e volume do cone

48 Geometria TEMA

49 TEMA Triângulos Construção de triângulos Ó Bela, na.ª classe, aprendemos a classificar os triângulos quanto aos ângulos e quanto aos lados. Agora, vamos aprender a construção dos triângulos. Sim! É mais fácil! Construção de triângulos segundo os lados. caso: Construção de um triângulo equilátero dado o comprimento de um lado. Vamos construir o triângulo [ABC], conhecendo a medida do lado AB. Dado: AB = cm Construção. Com auxílio de uma régua, traça um segmento de recta AB de comprimento cm. A B. Com o compasso, transporta a medida do segmento (AB = cm). A B 48

50 GEOMETRIA. Com o bico do compasso no ponto A do segmento de recta AB, traça o arco da circunferência de raio cm. A B 4. Faz o mesmo na outra extremidade B. Assinala o ponto de intersecção C. C A B. Une os pontos A, B e C e obténs o triângulo [ABC]. C A B. caso: Construção de um triângulo isósceles dado o comprimento de dois lados iguais. Vamos construir o triângulo [QRP], conhecendo as medidas dos lados PQ, PR e QR. Dados: PQ = 4 cm; PR = 4 cm; QR = cm. Construção. Com auxílio de uma régua, traça um segmento de recta QR de comprimento cm. Q R 49

51 TEMA. Com o compasso, mede o segmento traçado (QR = cm). Q R. Com o bico do compasso no ponto Q do segmento de recta QR, traça o arco da circunferência de raio 4 cm. Q R P 4. Faz o mesmo na outra extremidade R. Assinala o ponto de intersecção P. Q R P. Une os pontos Q, R e P e obténs o triângulo [QRP]. Q R. caso: Construção de um triângulo escaleno, dado o comprimento de três lados. Vamos construir o triângulo [MRA], conhecendo as medidas dos lados MR, RA e MA. Dados: MR = 4 cm; RA = 6 cm; MA = 8 cm. 0

52 GEOMETRIA Construção. Começa por traçar o segmento de recta MR com 4 cm. M R. Com o compasso, transporta a medida do segmento RA = 6 cm. R A M R. Com o bico do compasso no ponto R do segmento de recta MR, traça o arco da circunferência de raio 6 cm. M R 4. Faz o mesmo colocando o bico do compasso no ponto M. Traça o arco da circunferência de raio 8 cm e assinala o ponto de intersecção por A. A M R

53 TEMA. Une os pontos A, M e R e obténs o triângulo [MRA]. A M R Exercícios. Completa, indicando o nome dos triângulos com as seguintes medidas. a b c Nome do triângulo cm cm cm 4 cm 4 cm 4 cm cm cm cm cm cm cm. Com o auxílio da régua, mede, em centímetros, o comprimento dos lados do triângulo [ABC] e completa. AB = A BC = AC = B C O triângulo [ABC] é um triângulo.

54 GEOMETRIA Construção de triângulo segundo os ângulos e lados. caso: Construção de um triângulo acutângulo com os comprimentos de dois lados e a amplitude do ângulo por eles formados. Vamos construir um triângulo [ABC], conhecendo as medidas dos lados AB = = 4 cm, AC ^ =, cm e a amplitude do ângulo BAC = 60. Construção. Traça o lado AB = 4 cm. A B. Com o auxílio do transferidor, marca o ângulo de 60 com vértice em A. A 60 B. Marca o ponto C, medindo o comprimento AC com a régua, AC =, cm. C A 60 B 4. Une os pontos A, B e C e obténs o triângulo [ABC]. C A 60 B

55 TEMA. caso: Construção de um triângulo obtusângulo [MRA], conhecendo a medida de um lado e a amplitude dos ângulos adjacentes a esse lado MR = 4 cm. ^ ^ RMA = 4 e MRA = 0 Construção. Traça o segmento de recta MR = 4 cm. M R ^ ^. Com a ajuda do transferidor, marca o ângulo RMA de modo que RMA = 4. M 4 R ^ ^. Com a ajuda do transferidor, marca o ângulo MRA de modo que MRA = 0. M 4 0 R 4. Prolonga as semi-rectas, com origens em M e R, até que se encontrem. No ponto de intersecção, escreve A. A M 4 0 R 4

56 GEOMETRIA. Une os pontos M, R e A e obténs o triângulo [MRA]. A M 4 0 R. caso: Construção de um triângulo rectângulo [JKL], conhecendo a medida de JK ^ = cm e a amplitude do ângulo LJK =. Vamos construir um triângulo rectângulo [JKL], conhecendo a medida do lado JK ^ = cm e a amplitude do ângulo LJK =. Construção. Marca o segmento de recta KJ = cm. K J 90. Com a ajuda do transferidor, ou com um ^ esquadro, marca o ângulo JKL de modo ^ que JKL = 90. K J. A partir do ponto J, marca o ângulo ^ KJL =. K 90 J

57 TEMA 4. Marca o ponto L, intersecção de KL e JL. L K 90 J. O triângulo [JKL] é o triângulo procurado. L K 90 J Exercícios. Completa e indica o nome dos triângulos formados. Tipo de ângulos Ângulo recto Ângulo obtuso Ângulo agudo Nome do triângulo 6

58 GEOMETRIA Exercícios ^ ^. Sendo o ângulo CAB = 40 e CBA = 0, com ajuda da régua e do transferidor, constrói e classifica o triângulo [ABC], sendo AB = 4 cm.. Sendo um dos ângulos de um triângulo igual a 90 de amplitude: a) Que tipo de triângulo se poderá construir? b) Constrói-o. 4. Dado o comprimento do lado EF = 6 cm, constrói o triângulo [EFG] tal que os ^ ^ ângulos EFG e GEF meçam, respectivamente, 0 e 40. Classifica-o. ^. Constrói e classifica o triângulo [MNP]. MN =, cm; MP = 4 cm; PMN = Constrói e classifica quanto aos lados os seguintes triângulos. a) O triângulo [ABC] AB = 4 cm ^ BAC = 0 ^ ABC = 0 b) O triângulo [MNP] MN = 4, cm MP = cm ^ PMN = 90 c) O triângulo [RST] RT = cm ^ SRT = 4 ^ ATR = 4 d) O triângulo [XOP] XP = cm XO = cm ^ OXP = 4 7

59 TEMA Quadriláteros Na.ª classe aprendemos o que eram linhas paralelas e linhas perpendiculares. Agora vamos estudar a classificação dos quadriláteros. E agora? Propriedades dos quadriláteros Observa as figuras. A B C D E F G Quantos lados têm as figuras A, B, C, D, E, F e G? As figuras A, B, C, D, E, F e G têm 4 lados: são quadriláteros. No conjunto dos quadriláteros, há diferenças. Poderás «arrumar» os quadriláteros tendo em conta algumas características comuns. 8

60 GEOMETRIA Observaste certamente que há quadriláteros que têm, pelo menos, dois lados paralelos. São trapézios. B C Mas também há quadriláteros que têm dois pares de lados paralelos. São paralelogramos. D E F G No conjunto de paralelogramos, também há diferença. Quais são os que não têm os ângulos rectos? São os paralelogramos não rectângulos. D F O paralelogramo F tem os seus lados geometricamente iguais, então, é um losango. Os paralelogramos E e G têm os quatro ângulos rectos, são paralelogramos rectângulos. E G No conjunto dos paralelogramos rectângulos, também há diferença. Uns têm os quatro lados geometricamente iguais: são quadrados. É o caso do paralelogramo G. Outros têm os seus lados paralelos geometricamente iguais, dois a dois: são rectângulos. É o caso do paralelogramo F. 9

61 TEMA Propriedades dos paralelogramos Paralelogramo obliquângulo Rectângulo não quadrado Losango não quadrado Quadrado lados opostos paralelos dois a dois lados opostos iguais dois a dois ângulos opostos iguais dois a dois lados opostos paralelos dois a dois lados opostos iguais dois a dois quatro ângulos rectos lados opostos paralelos dois a dois lados opostos iguais dois a dois ângulos opostos iguais dois a dois lados opostos paralelos dois a dois quatro lados iguais quatro ângulos rectos 60

62 GEOMETRIA Exercícios. Completa o quadro, escrevendo o nome de cada paralelogramo na primeira coluna e «sim» ou «não» nas outras colunas, atendendo às propriedades. Paralelogramos 4 lados par de lados paralelos par de lados paralelos 4 ângulos 4 lados iguais 6

63 TEMA Exercícios. Observa os polígonos. A B C D E F Indica: a) Os quadriláteros. b) Os trapézios. c) Os rectângulos. d) Os paralelogramos rectângulos. e) Os paralelogramos não rectângulos. f) Os quadrados.. Diz se são verdadeiras ou falsas as seguintes proposições: a) Os losangos têm lados iguais. b) Os losangos são quadrados. c) Os quadrados são rectângulos. d) Todos os quadriláteros são trapézios. e) Todos os trapézios são quadriláteros. f) Todos os paralelogramos são quadriláteros. g) Todos os quadriláteros são paralelogramos. h) Os rectângulos são paralelos. i) Os trapézios são paralelogramos. j) Os rectângulos não são quadrados. 4. Com ajuda da régua e, esquadro, desenha: a) Um paralelogramo. b) Um quadrado. c) Um rectângulo. 6

64 GEOMETRIA Eixo de simetria e bissectriz de um triângulo Eixo de simetria Despeja uma porção de tinta numa folha de papel. Dobra a folha de modo que a tinta se espalhe do outro lado do vinco da dobra, como mostra a imagem. As duas figuras obtidas são iguais. O vinco da dobra representa o eixo de simetria. Exercícios Reproduz as figuras simétricas, dando o eixo de simetria. 6

65 TEMA Bissectriz de ângulo Representa um ângulo numa folha de papel. Mede a sua amplitude e regista-a. A O B Dobra a folha de papel, sobrepondo os lados de um ângulo, e assinala o eixo de simetria. A C O B Com um transferidor, mede a amplitude de dois ângulos. ^ Com certeza constataste que o ângulo AOB ficou dividido em dois ângulos com a mesma amplitude; a semi-recta OC é o eixo de simetria. O eixo de simetria de um ângulo chama-se bissectriz. A bissectriz divide o ângulo em duas partes iguais. Usa o transferidor para representar o eixo de simetria dos seguintes ângulos: a) b) 64

66 GEOMETRIA c) d) Bissectrizes de um ângulo Sabes que o triângulo tem três ângulos. Podes traçar a bissectriz de cada ângulo. Verificaste que as bissectrizes se intersectam num ponto. Este ponto chama-se unicentro. 6

67 TEMA Exercícios. Traça a bissectriz de cada ângulo dos triângulos seguintes.. Traça o eixo de simetria das figuras seguintes. Recorda: Os pontos e figuras do plano que coincidem quando se dobram pela recta de dobragem estão situados simetricamente em relação a essa recta. 66

68 GEOMETRIA Área do paralelogramo Nas classes anteriores, já aprendeste a calcular a área do rectângulo. Recordas também que as figuras equivalentes são as que têm a mesma área, embora tenham formas diferentes. Vamos calcular a medida da área do paralelogramo, usando papel ponteado. Constrói um rectângulo equivalente. Cortamos o triângulo à direita e juntamos à esquerda, obtendo um rectângulo equivalente. O rectângulo obtido e o paralelogramo têm a mesma base (b) e a mesma medida da altura (h). base base altura altura base Como sabes, a medida da área do rectângulo é b a. Portanto, a medida da área do paralelogramo será também A=b a. A área do paralelogramo é igual ao produto da base pela altura. Exercícios. Calcula a área dos paralelogramos seguintes. cm, cm 0 cm cm. Se a área de um paralelogramo é igual a 7,68 cm e se a medida da altura é,4 cm, determina a medida da base do paralelogramo.. Traça a altura dos paralelogramos apresentados à direita. 67

69 TEMA Área do triângulo Vais agora aprender como se obtém a área de um triângulo. Conta o número de quadrículas do rectângulo. Quantas quadrículas tem o triângulo colorido? Observaste que há 80 quadrículas no rectângulo e 90 no triângulo. Como a área do rectângulo é igual a b a (b é a base e a é a altura), logo, a área do triângulo é igual a A = a b ou A = b h (h é a altura). Exercícios. Calcula a área de cada uma das superfícies coloridas. cm 7 cm 8 cm 9 cm cm, cm. Desenha no teu caderno vários triângulos de diferentes dimensões. Tira as dimensões e calcula a área de cada um. 68

70 GEOMETRIA Área do círculo Cálculo da medida da área do círculo Traça um círculo numa cartolina e divide-o em sectores idênticos. Recorta esses sectores e coloca-os, como se vê na figura à direita, de modo a obteres aproximadamente um paralelogramo. Raio Metade da circunferência Podes concluir que: o comprimento da figura é aproximadamente metade do perímetro do círculo; a sua altura é aproximadamente idêntica ao raio do círculo; a área da figura é aproximadamente idêntica à área do círculo. A área do círculo = metade do perímetro raio Área do círculo = P r Πr = r = Π r r = Πr A = r Π 69

71 TEMA Exercícios. Calcula a área de um círculo cujo diâmetro mede cm.. Completa a tabela seguinte. Raio em cm Diâmetro em cm Área em cm Perímetro 87, Calcula a área da superfície colorida cujas circunferências que a limitam têm como medida de raio 6 cm e 46 cm, respectivamente. 4. De uma tábua de madeira com cm de largura e m de comprimento, foram recortados discos com 6 cm de raio. a) Qual é o número máximo de discos que foram recortados? b) Qual é a área da tábua de madeira que foi desperdiçada?. Determina a área da superfície colorida. cm 8 cm 4 cm 70

72 GEOMETRIA O volume do prisma Prisma cuja base é um paralelogramo Sabes que um paralelepípedo rectângulo é um prisma rectangular. Sabes também calcular o volume de um paralelepípedo rectangular e de um cubo. Podes aplicar a mesma fórmula para calcular o volume do prisma recto cuja base é um paralelogramo. a c a a a b V = a a a V = a b c área da base altura área da base altura O volume do prisma (cuja base é um paralelogramo) calcula-se multiplicando a medida da área da base pela altura. Volume dos prismas triangulares rectos A figura mostra um paralelepípedo rectangular (prisma quadrangular recto) decomposto em dois prismas triangulares iguais. Ora, o volume do paralelepípedo = a b c. a b c Assim, o volume de cada prisma triangular é a medida de a b c, ou seja, a b V = a b c e, como é a medida da área da base (triângulo) do prisma triangular, podemos escrever: Volume do prisma triangular:! V = Ab h 7

73 TEMA Volume de prismas rectos não triangulares Qualquer prisma recto pode ser considerado uma composição aditiva de prismas triangulares rectos que têm a mesma altura que o prisma inicial e as bases cujas áreas somam a área da base do mesmo prisma. O volume de qualquer prisma recto calcula-se multiplicando a medida de área de base pela altura. Exercícios. Calcula o volume de um prisma recto cujas bases são triângulos rectângulos e cujos catetos medem, respectivamente, 4, cm e,8 cm. A altura do prisma é de cm.. Calcula o volume de um prisma quadrangular cuja área da base mede cm e a sua altura 8 cm. Volume do cilindro base altura base 7

74 GEOMETRIA Vamos inscrever prismas nesses cilindros. Observaste que, à medida que o número de lados do polígono da base aumenta, o prisma inscrito se aproxima cada vez mais do cilindro. Para calcular o volume do cilindro, aplica-se a fórmula do cálculo da medida do volume do prisma. Como as bases do cilindro são círculos, o cálculo da medida do volume do cilindro é dado por V = Π r c altura. A medida do volume de um cilindro é igual ao produto da medida da área da base pela medida da altura. V = Π c r h Exemplo: calcula o volume do cilindro seguinte. 6 cm V = A h c b A r b, 4, cm Π = = ( ) = 7, 06 cm = 0, 706 cm V = 0, 706 cm 6 m = c 4, 9 m cm Exercícios. Calcula o volume de um cilindro que tem 0 cm de diâmetro e 0 cm de altura.. Completa no quadro os dados em falta. Diâmetro cm Raio 6 cm Área 7,8 cm Altura, cm 4 cm, cm Volume 8,6 cm 44,6 cm 7

75 Sucessões numéricas Sucessões numéricas proporcionais Proporcionalidade directa Sistema de coordenadas rectangulares Proporções Noções de proporção Propriedade fundamental das proporções Percentagens Percentagens e cálculo mental Conversão de fracções ordinárias em percentagens Gráficos circulares Escala

76 Proporcionalidade TEMA

77 TEMA Sucessões numéricas Um camponês cultivou durante seis dias as seguintes áreas: No. dia cultivou, ha. No. dia cultivou ha. No. dia cultivou ha. No 4. dia cultivou ha. No. dia cultivou, ha. No 6. dia cultivou ha. Representamos numa tábua os dias e as áreas cultivadas. Dias 4 6,; ; ; ;,; é uma sucessão. Cada número natural,,, 4,, 6 corresponde a um só número da sucessão. Cada número da sucessão chama-se termo. é o quarto termo da sucessão. Indica o. e o. termos da seguinte sucessão: 4 6 ; ; ; ; ; ; 7 Completa as sucessões seguintes: a), 4, 6, 8,,, 4,,,, b) 0,, 0,,, Sucessões numéricas proporcionais Comparemos as seguintes sucessões: a). a Sucessão 4. a Sucessão b). a Sucessão 4. a Sucessão

78 PROPORCIONALIDADE Mediante comparação, verificamos: Nos dois exemplos, cada termo da segunda sucessão é maior do que o seu correspondente na primeira. No exemplo b), obtemos cada termo da segunda sucessão multiplicando por o termo correspondente da primeira ou, vice-versa, cada termo da primeira sucessão obtém-se multiplicando por o termo correspondente da segunda. Isto não se verifica nas sucessões do exemplo a). A relação que existe entre as duas sucessões do exemplo b) tem o nome de proporcionalidade. Definição: Duas sucessões numéricas são proporcionais, se cada termo de uma sucessão se obtiver multiplicando por um factor constante o termo correspondente da outra. Este factor denomina-se factor de proporcionalidade. Para investigar se duas sucessões numéricas são proporcionais, formamos os quocientes de cada dois termos correspondentes. Se todos estes quocientes são iguais, então as sucessões numéricas são proporcionais. Proporcionalidade directa Um automobilista percorre 0 km por dia. Quantos quilómetros percorre o automobilista em dois, quatro, cinco, oito e dez dias? Colocamos os resultados numa tabela. Dias Obtemos assim duas sucessões: a sucessão representada pelo número de dias e a distância correspondente percorrida. a) b)

79 TEMA Repara que em dois dias o automobilista percorreu 60 km: 0 km = 60 km. Em 4 dias, o automobilista percorreu 0 km: As duas sucessões são proporcionais. 4 0 = 0 km. Porque, para obter a sucessão b), terá de se multiplicar cada termo da primeira sucessão por uma constante (neste caso por 0) e, vice-versa, para obter a primeira sucessão, terá de se multiplicar cada termo da segunda sucessão por uma constante (neste caso por ). 0 As duas sucessões são chamadas proporcionalidades directas. Duas sucessões são ditas proporcionalidades directas se os quocientes entre os termos correspondentes dessas sucessões forem iguais. 60 = = 00 6 = 8 = 0 =0 Exercícios. Dos quadros seguintes, quais são proporcionalidades directas e porquê? A 4 B C D E 4 F G H

80 PROPORCIONALIDADE Sistema de coordenadas rectangulares Dois termos correspondentes de duas sucessões numéricas formam um par numérico. Sejam as duas sucessões numéricas proporcionais. x Se se determinar qual dos números de um par numérico se deve nomear primeiro, então o par denomina-se par numérico ordenado. Assim, os pares ordenados (x,y) são: (,); (,6); (,9); (4,); (,); (6,8); (7,); (8,4); (9,7). E os pares ordenados (y,x) serão: (,); (6,); (9,); (,4); (,); (8,6); (,7); (4,8); (7,9). Gráficos cartesianos duma proporcionalidade directa Sabes representar números fraccionários mediante pontos numa semi-recta numérica e podes representar graficamente pares numéricos ordenados numa parte de plano. Para os representar, y traçam-se duas semi-rectas 7 numéricas perpendiculares entre si e de origem 0. Estas duas semi-rectas numéricas formam o sistema 4 de coordenadas rectangulares (sistema cartesiano). 8 Cada uma delas chama-se eixo de coordenadas. Os eixos de coordenadas representam-se frequentemente por x e y. O eixo de coordenadas representado por x denomina-se eixo das abcissas; o eixo representado por y designa-se por eixo das ordenadas x 79

81 TEMA Representamos os pares ordenados das sucessões precedentes num sistema de coordenadas. Todos os pontos da representação gráfica desta proporcionalidade estão situados numa mesma recta, que passa pela origem 0. Se não existe proporcionalidade directa, então os pontos da representação gráfica não estarão situadas numa recta. Exemplo: o gráfico seguinte não representa o gráfico da proporcionalidade directa. y x Exercícios. A tabela seguinte refere-se a duas sucessões. Tempo (h), 6 9 Distância (km) a) Diz se nas duas sucessões há proporcionalidade directa. b) No caso de serem proporcionalidades directas, calcula a constante de proporcionalidade.. Nas duas sucessões numéricas dadas a seguir, indica os primeiros termos. a) A cada número natural faz-se corresponder o seu duplo. b) A cada número natural faz-se corresponder o número que se obtém ao multiplicá-lo por. c) A cada número natural faz-se corresponder o seu triplo, diminuído em,. d) A cada número natural faz-se corresponder o seu quadrado. 80

82 PROPORCIONALIDADE. Investiga as sucessões numéricas (I) e (II) e verifica se são proporcionais. Fundamenta as tuas afirmações. Indica em cada caso a constante de proporcionalidade. a) (I) ; ; ; 4; ; 6. (II) ; 6; ; ; 8. b) (I) ; 4; 6; 8; 0;. (II) ; ; 7; 9; ;. c) (I) 48; 4; 6; 0; 4; 8. (II) 4; ; 8; ; ; 9. d) (I) ; ; 7; 9; (II) ; 0 6 ; ; ; 4. Representa num sistema de coordenadas rectangulares a relação entre sucessões numéricas (I) e (II).. Determina o factor (constante) de proporcionalidade para as sucessões numéricas proporcionais. a) ; ; ; 4; ; 6 ; 6; 9; ; ; 8 b) ;,; ; 6,; 8 ;,; 7,; 9,7; c) ; 4; 6; 8; 0 8; 9; 6; 4,;,6 Exercícios Proporções Noção de proporções Numa turma da 6. a classe, há duas alunas para um total de 9 alunos, isto é, duas alunas para cada 9 alunos ou ainda para 9 ou : 9 ou ou ( : 9). Representa um 9 quociente que permita comparar dois números. O quociente indicado entre dois números a e b (em que b =/ 0) chama-se razão entre a eles, a : b ou. b Na razão, a é o antecedente e b é o consequente. 8

83 TEMA A Joana comprou 8 kg de carne a 80 kz num supermercado e a sua irmã comprou kg no talho e pagou 0 kz. Exprimimos esses dados sob a forma de quocientes e comparamos = 0 e =0 As fracções 80 8 e 0 são equivalentes porque as razões que apresentam são iguais Logo, podemos escrever = ou 80 : 8 = 0 :. 8 Esta igualdade lê-se: 80 está para 8 como 0 está para. Uma igualdade entre duas razões a : b = c : d ou a c = b d chama-se proporção. Designação dos termos de uma proporção Consideremos, por exemplo, a proporção. a b = c d ou a : b = c : d a, b, c e d são termos da proporção. O antecedente da primeira razão (a) e o consequente da segunda razão (d) são chamados extremos da proporção. O consequente da primeira razão (b) e o antecedente da segunda razão (c) são chamados meios da proporção. extremos a: b= c: d a c = b d ou a c = b d meios extremos meios Na proporção = 0 6, e 6 são extremos, e 0 são meios. Propriedade fundamental das proporções Seja a proporção =. 0 Multiplicamos os meios: = 60 Multiplicamos os extremos: 0 = 60 8

84 PROPORCIONALIDADE Assim, = 0 Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Isto verifica-se para todas as proporções. a c Se = (b, d =/ 0), então b c = a d. b d Exercícios. Forma duas razões iguais dos quatro números dados. a) 4, 6, 8, b) 4,, 6, 8 c), 4, 0, 8 d),,,. A partir da propriedade fundamental das proporções, resolve as seguintes equações. x 9 x 7 a) = b) = c) , = 08, x d) , e) = x f) x = = x 7. Comprova se as seguintes proporções são proposições verdadeiras. a) b) 4 = 4,, =, 4, c) 0, = d) = 0 4. Uma escola do ensino primário tem turmas da. a e 6. a classes. O número de alunos da. a classe é dois terços do número de alunos da 6. a classe. a) Escreve a razão entre os alunos da. a classe e os da 6. a classe. b) Como estão matriculados 60 alunos na 6. a classe, quantos alunos tem a escola? 8

85 TEMA Percentagens Já certamente ouviste falar muitas vezes em percentagens. Exemplos: Aumento do salário de 0%; o preço da gasolina aumentou %; durante o mês de Dezembro fizemos um desconto de 0% sobre os nossos preços. Mas o que é que significa tudo isto? 0% de aumento de salário significa que em cada 00 kz aumentam 0 kz. % de aumento do preço da gasolina significa que em cada 00 kz que se pagava devem aumentar kz. 0% de desconto significa que em cada 00 kz gastos há um desconto de 0 kz. Uma percentagem é uma razão expressa em centésimas, isto é, uma razão cujo consequente (denominador) é 00. Notação ou 0% = 0,0 (lê-se dez por cento). ou % = 0,0 Completa: a) 6% = b) 0% = 96 c) 9,6 = d),04 = = % Percentagens e cálculo mental Exemplo: Calcula % de 00. Tu já sabes: % = e de 00 é o mesmo que 00 = 4, ou seja, 0, 00 = 4. 84

86 PROPORCIONALIDADE Calcula: a) % de 0 b) % de 8 c) % de 40 d) 70% de 000 e) 8% de 0 Exercícios Conversões de fracções ordinárias em percentagens Exemplo: Converte em percentagem. Escreve a fracção em fracção decimal. Para termos 00 no denominador, temos de multiplicar os dois termos da fracção por Assim, = =, logo, = 40% Converte 8 em percentagem. Transformamos em número decimal = 0, Transformamos o número decimal em fracção decimal 0, 6 = Reduzimos a um denominador Assim, , = 00 ou 6, %. 8

87 TEMA Exercícios. Reduz as seguintes fracções ordinárias a percentagens. a) b) c) d) e) f) g) h) Numa turma de 0 alunos, 0% reprovaram em Matemática. Quantos alunos passaram?. Um livreiro comprou 0 cadernos a 7,00 kz. Se vendeu os 0 cadernos a 00,00 kz, calcula o lucro em percentagem. 4. A Deolinda obteve uma redução de 0% no custo de uma calça que custava 0,00 kz. Quanto custou a calça?. O Pedro obteve um desconto de % que corresponde a 0.000,00 kz na aquisição de sacos de açúcar. Quanto pagou afinal? Gráficos circulares Percentagens As percentagens podem ser representadas por gráficos circulares. 00 Um círculo corresponde a 00%, ou seja, = 00 Numa escola há 40% de alunos do sexo feminino. Representa num gráfico circular os alunos de ambos os sexos. 60% Meninos 40% Meninas Como se representa 40% num gráfico circular? Um círculo tem 60, tal como um ângulo giro. 86

88 PROPORCIONALIDADE Calcula-se 40% de 60 : = Traça um raio, por exemplo [OA], com vértice em 0 e com um lado sobre [OA]. desenha-se um ângulo de 44 de amplitude. Um inquérito efectuado a 60 pessoas indicou que: 49% são assalariados; % têm profissões liberais; % são agricultores; 0% são desempregados. a) Calcula o número de pessoas dentro de cada categoria. b) Constrói um gráfico circular referente às percentagens indicadas em. Escala Ó Mimi, podes desenhar a tua casa numa folha? Não posso, Sandra, pois as dimensões da minha casa são maiores do que as da minha folha. Podes sim, reduzindo as dimensões. Se a tua casa tem 9 m de comprimento e 7 de largura, podes representar essas dimensões no desenho da seguinte maneira: Dimensões reais Dimensões do desenho 9 m de comprimento 9 cm de comprimento 7 m de largura 7 cm de largura Assim, posso desenhar a minha casa numa folha. A Mimi desenhou a sua casa numa escala de, isto significa que, se no desenho ela tem 0 cm, na realidade tem 00 cm ou 00 m. Chama-se escala à razão entre as dimensões do desenho e as correspondentes dimensões reais. Escala = Dimensões no desenho Dimensão real 87

89 TEMA Exercícios. Um quarto tem as seguintes medidas: 6 m de comprimento e 4 m de largura. No desenho, estas medidas estão representadas por cm e cm. Calcula a escala em que foi feito o desenho.. Um mapa está feito à escala de A distância entre as duas cidades é de 60 km. Qual é a distância que separa as duas cidades no mapa?. Duas cidades estão distanciadas 0 km. Qual é a distância entre estas duas cidades em mapas cujas escalas são de e? Observa a planta da casa do senhor Dias. Quais as dimensões reais dos quartos, se foram feitos com a escala? 00 88

90 PROPORCIONALIDADE Exercícios. Que comprimentos têm na realidade os seguintes segmentos com a escala de, se no mapa têm: a) cm, 8 cm e 0 cm? b) mm, 4 mm e 8 mm? 6. Traça a planta duma sala de aula na escala. A sala tem forma rectangular, 00 com 9 m de comprimento e 6 m de largura. 7. Que comprimento devem ter os segmentos que representam na escala as distâncias km, km, 700 m, km e 00 m? Duas aldeias estão situadas a uma distância de 9 cm uma da outra num mapa de escala. Calcula a distância real entre as duas aldeias Calcula o comprimento num mapa de escala cuja distância real é de km. 0. Um terreno é representado numa planta com 0 cm de comprimento e 7 cm de largura. Sabendo que as dimensões reais são na ordem de 0 km e km, calcula a escala em que foi representado o terreno. 89

91 Noções elementares de estatística A moda A média aritmética A mediana

92 Estatística TEMA 4

93 TEMA 4 Noções elementares de estatística Medidas de tendência central Na. a classe, aprendeste algumas noções elementares de estatística. Já sabes organizar os dados numa tabela de frequências e também apresentar os resultados no gráfico de barras. Agora vais estudar a moda, a média e a mediana. A moda A Cátia estava a brincar no passeio da estrada Comandante Valódia. De repente, mudou de ideias e começou a contar as marcas das viaturas que passavam nesta rua. Como havia muitas marcas, conseguiu reter só as seguintes: Mazda, Hyundai, Toyota, Mercedes e Volkswagen. Escrevia-as numa folha de cada vez que elas apareciam. Mazda, Hyundai, Toyota, Toyota, Hyundai, Mercedes, Volkswagen, Toyota, Mercedes, Toyota, Toyota, Toyota, Hyundai, Mercedes, Volkswagen, Mazda, Toyota, Toyota, Hyundai, Hyundai, Mercedes, Mazda, Toyota, Toyota, Hyundai, Toyota, Mazda, Toyota, Hyundai, Toyota e Mazda. Ela queria saber qual é a marca da viatura que passou mais na rua. Organizou a contagem do seguinte modo: Mazda Hyundai Toyota Mercedes V. W. IIII IIII II IIII IIII III IIII II Ajuda a Cátia a completar a tabela. Marca Mazda Hyundai Toyota Mercedes V. W. Número de vezes que ela passou na rua 7 9