Estudo das oscilações de um sistema massamola

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1 Prática 4 Estudo das oscilações de um sistema massamola 4.1 Objetivo Explorar as principais grandezas físicas de um sistema massa-mola sem amortecimento e no regime subamortecido. 4.2 Introdução Um exemplo frequente de oscilador harmônico simples (OHS) é o sistema massa mola. Usando uma mola no regime linear, onde vale a lei de Hooke, e evitando perdas de energia temos uma excelente realização prática desse movimento tão importante. Aqui vamos estudar também o comportamento desse sistema quando submetido a pequenas perdas de energia, usando o modelo do oscilador harmônico amortecido (OHA). No OHS vamos verificar o comportamento do período em função massa do oscilador e no OHA vamos estudar o decaimento da amplitude em função do tempo no caso do amortecimento subcrítico. Detalhes sobre os dois modelos podem ser encontrados em [1], aqui vamos nos ater ao essencial para os experimentos. 4.3 Modelo Vamos começar com as oscilações não amortecidas de um corpo de massa M suspenso verticalmente por uma mola de massa desprezível, como mostrado na figura 4.1(a). A posição de equilíbrio y e, depende da constante elástica k da mola e da massa M do corpo. Se deslocado com relação a essa posição, o corpo oscilará com amplitude constante, A, cujo valor depende da quantidade de energia entregue inicialmente ao oscilador. A posição vertical da massa M neste caso é onde y = y e + Asen(ω 0 t + φ) (4.1) ω 0 = k M é a frequência angular do movimento. A constante de fase φ pode ser determinada pelas condições iniciais e não tem importância nesta Prática. Chamando de T 0 o período do movimento não amortecido, temos que T 0 = 2π M = 2π ω 0 k. (4.2) O movimento do OHS está representado na figura 4.2. Para levar em conta a perda de energia 23

2 4.3 Modelo 24 k k m k y=0 v=0 y=y v=v M V M y=-l (a) (b) (c) Figura 4.1: (a) Esquema de montagem do sistema massa-mola. (b) Para gerar um amortecimento mensurável, um disco fino é colado no fundo do porta massas. (c) Detalhe do cálculo da contribuição da massa da mola. y y e t Figura 4.2: Gráficos da posição em função do tempo para o movimento não amortecido. introduzimos no modelo do OHS uma força dissipativa do tipo F = β v. (4.3) Esta é a forma mais simples de amortecimento. O coeficiente β leva em conta diversos aspectos do oscilador e dificilmente pode ser calculado. Entretanto, ele pode ser determinado indiretamente, a partir da grandeza γ definida como γ = β 2M. (4.4) Quando γ < 2ω 0 dizemos que o movimento é subamortecido ou que o amortecimento é subcrítico. A figura 4.1(b) mostra o esquema do oscilador amortecido. Um disco fino colado na parte inferior deixa o sistema no regime de amortercimento desejado. Neste caso o sistema oscila com uma amplitude que vai diminuindo com o tempo, como mostrado na figura 4.3. Para uma força dissipativa do tipo (4.3) podemos descrever o movimento da massa M de forma semelhante a do movimento não amortecido: y = y e + A(t)sen(ωt + φ) (4.5)

3 4.3 Modelo 25 e onde Neste caso o período é dado por A(t) = A 0 exp( γt) (4.6) ω = ω 2 0 γ2 4. (4.7) T = 2π 1. (4.8) ω0 2 γ2 4 A figura 4.3 mostra o gráfico de y(t) para o oscilador amortecido. O tempo de relaxação τ r do oscilador é, por definição, o tempo necessário para que a amplitude caia a e 1 do valor inicial, ou seja, A(t + τ r ) = e 1 A(t) 0,37A(t). Observando a equação (4.6) temos A(t + τ r ) = A 0 e γ(t+τr) = A(t)e γτr γτ r = 1 τ r = γ 1 (4.9) Com a definição do tempo de relaxação podemos mais facilmente estimar o decaimento da oscilação. Outros tempos característicos também são usados com o mesmo propósito. Por exemplo a meia vida, τ 1/2, definida como A(t + τ 1/2 ) = 0,5A(t), ou seja, A(t + τ 1/2 ) = A 0 e γ(t+τ 1/2) = A(t)e γτ 1/2 e γτ 1/2 = 0,5 τ 1/2 = ln 2 γ (4.10) Temos também a vida média, τ m, definida como τ m = 0 ta(t)dt 0 A(t)dt. (4.11) No caso do amortecimento que estamos considerando, A 0 e - t Figura 4.3: Gráfico da posição em função do tempo para o movimento amortecido. As linhas pontilhadas em vermelho correspondem a ±A 0 exp( γt) e definem a modulação da função oscilatória.

4 4.4 Descrição da experiência Contribuição da massa da mola Um ponto importante dos dois modelos é a hipótese de que a massa da mola seja desprezível. Caso não seja, como incluir essa contribuição? Para tal vamos calcular a energia cinética E do sistema através de um modelo bem simplificado. A energia cinética do sistema tem dois termos, um referente à massa presa à mola, E M, e outra da própria mola, E k. Chamando de V a velocidade da massa M, temos E M = 1 2 MV 2. Para o calcular E k temos que considerar que cada parte da mola tem uma velocidade diferente. A ponta que está presa à M oscila com velocidade V também. Já a ponta que está fixa ao suporte tem velocidade nula. Como a velocidade varia ao longo da mola? Vamos supor a variação mais simples possível, a linear: v(y) = ay. Para determinar a, sendo L o comprimento da mola, usamos as condições de contorno: v( L) = al = V v(y ) = ay = V L y. Precisamos de mais uma hipótese para finalizar o cálculo, a de que a mola tem densidade linear constante: µ = m k /L. Com isso temos que cada porção de comprimento dy tem massa dm = (m k /L)dy e energia cinética Integrando para toda a mola, E k = L 0 de k = 1 m k V 2 L y 2 dy = 1 m k 2 L V 2 Com esse resultado, a energia cinética total pode ser escrita como E = 1 ( M + m ) k V 2, (4.12) 2 3 ou seja, é como se tivéssemos uma massa adicional igual a m k /3. suficientemente leve esta contribuição será desprezível. Se usarmos uma mola 4.4 Descrição da experiência Esta experiência tem duas partes, que serão denominadas pelo modelo correspondente, OHS e OHA. A novidade é o uso de uma webcam para o registro do movimento. A figura 4.4 mostra como será a montagem da experiência. No Apêndice E você encontra explicações de como registrar o movimento com esta técnica. Material Mola; Porta massas simples e com disco acoplado; Massas calibradas; Webcam e programa de aquisição e processamento de imagem; Computador com programa gráfico para análise dos dados.

5 4.5 Procedimentos experimentais 27 Figura 4.4: Esquema da montagem experimental para a utilização da webcam. 4.5 Procedimentos experimentais Planejamento Verifique que valores de massa serão usados. Isso vai depender da dureza da mola escolhida. Nosso modelo prevê que a mola esteja num regime linear, uma distensão grande demais pode levar a uma região de resposta não linear e até mesmo deformar a mola permanentemente. Realize algumas medidas de ensaio. Note que a elasticidade da mola vem da sua forma, além de não poder ser muito distendida, ela também não pode ser comprimida demais. Se uma espira toca na outra, mesmo que seja em uma região apenas, a elasticidade já estará comprometida. O ideal é começar o movimento provocando uma pequena compressão, para cima, na mola. O modelo descreve um movimento unidimensional, você deve evitar qualquer outro tipo de movimento da massa. Quanto menor for a amplitude, desde que permita a medição do período, mais controlado será o movimento. Verifique o alinhamento e a posição da webcam e proceda como explicado no Apêndice E Realização da experiência OHS O objetivo aqui é medir o período para diversos valores de massa calibrada. Coloque a massa para oscilar e registre o movimento com a webcam. Se tudo correu bem, ao final, você teve ter um arquivo.dat com a forma: Time (s) X (pixels) Y (pixels) X (calibrado) Y (calibrado) 0, , , , , , , , , , , , , , ,

6 4.6 Análise dos dados 28 Estamos interessados na primeira coluna (tempo) e na terceira (y em pixels) ou última que tem o registro de y em centímetros, caso a calibração pixel-cm explicada no Apêndice E tenha sido feito. No caso desta experiência não é necessário fazer a calibração, vamos trabalhar sempre com os valores em pixels. Para obter o período será necessário importar esses arquivo para o QtiPlot e realizar um ajuste. Esta parte está explicada mais à frente. Repita o procedimento para pelo menos 8 valores de massa. Meça a massa m k da mola e massa m s do suporte. OHA Nesta parte da experiência queremos obter valores de amplitude para diversos instantes de tempo. Coloque o sistema para oscilar e acione a webcam. Neste caso você precisa apenas de um arquivo de dados, para um dado valor de massa. 4.6 Análise dos dados OHS O primeiro passo é a importação dos dados. Entre no QtiPlot e clique no botão de importação no menu da barra superior, ou escolha File-Import-ASCII, e selecione o arquivo que deseja analisar. O resultado será uma tabela como a mostrada na figura 4.5. As colunas Xpixel, Xcalibrado não serão utilizadas e podem ser eliminadas. Agora analise os dados fazendo um Figura 4.5: Tabela do QtiPlot com dados importados do programa de aquisição. gráfico com linha e pontos, como o mostrado na figura 4.6. A função que será usada no ajuste tem a forma [ ( )] x xc y = y 0 + A sin 2π, (4.13) T onde x é o tempo, y 0, a posição de equilíbrio, A, a amplitude do movimento, T, o período e x c um parâmetro que define a fase inicial do movimento. A incerteza de y pode ser estimada como sendo 1 pixel, ou o equivalente em centímetros caso a calibração tenha sido feita. Para realizar o ajuste será necessário fazer estimativas de y 0, A e T, como indicado na figura 4.6. Para obter o valor de período, use a ferramenta Data-Screen Reader para ler o valor de x (que é o tempo) em dois picos. Os valores iniciais de A e y 0 podem ser lidos estimados diretamente do gráfico. Feito isso, proceda para o ajuste com a função escolhida. Este procedimento deve ser repetido com cada arquivo do OHS. De posse dos valores de período para cada massa utilizada, preencha a tabela do relatório:

7 Análise dos dados 29 A T y 0 Figura 4.6: Representação gráfica de parte dos dados da tabela mostrada na figura 4.5. sistema não amortecido m suporte = m k = m ( ) σ m ( ) T ( ) σ T ( ) 1 10 Finalmente você deve realizar um ajuste com os dados da tabela para obter a relação T (m), equação (4.2) Vamos associar a variável x a m e y a T. A função de ajuste terá a forma y = 2π a + x b. (4.14) Comparando as expressões (4.2) e (4.14), vemos que o parâmetro a será m extra M m, ou seja toda a massa que permanece constante. Neste caso m extra inclui a massa do suporte mais uma eventual contribuição da massa da mola. b é a constante elástica da mola. Como explicado no Apêndice C, a escolha inicial dos dos valores de a e b é fundamental para o sucesso do ajuste. Neste caso tome cuidado especial com o valor inicial de b se trabalhar no sistema CGS. OHA Assim como no OHS, a primeira coisa a fazer é importar os dados para o QtiPlot e examinar o gráfico relativo à tabela usando linha+pontos. Novamente só estamos interessados nas colunas Times e Ypixels. Neste caso a função de ajuste será y = y 0 + A exp( bx) sin [ ] 2π(x xc) T (4.15)

8 BIBLIOGRAFIA 30 Assim como no OHS, os valores iniciais de y 0, A e T podem ser estimados pelo gráfico, como indicado na figura 4.7. O valor inicial de b pode ser 0,1. O ajuste não é muito sensível a esse parâmetro. A y 0 T Figura 4.7: Representação gráfica de parte dos dados de um oscilador amortecido. Bibliografia [1] H. Moysés Nussenzveig. Curso de Física Básica 2 - Fluídos, Oscilações, Ondas e Calor. Edgard Blücher, 2002.