CINTHIA ANDREIA GARCIA SOUSA UM ESTUDO SOBRE MÉTODOS DE CONTINUAÇÃO PARA ANÁLISE DE ESTRUTURAS NÃO LINEARES

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1 CINTHIA ANDREIA GARCIA SOUSA UM ESTUDO SOBRE MÉTODOS DE CONTINUAÇÃO PARA ANÁLISE DE ESTRUTURAS NÃO LINEARES São Paulo 2012

2 CINTHIA ANDREIA GARCIA SOUSA UM ESTUDO SOBRE MÉTODOS DE CONTINUAÇÃO PARA ANÁLISE DE ESTRUTURAS NÃO LINEARES Dissertação de Mestrado apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para obtenção de título de mestre. Área de Concentração: Engenharia de Estruturas Orientador: Prof. Dr. Paulo de Mattos Pimenta São Paulo 2012

3 À minha mãe, meu irmão e ao meu noivo, Rodrigo. ii

4 Agradecimentos Ao orientador, Prof. Dr. Paulo de Mattos Pimenta, pelo apoio, incentivo, orientação e sobretudo pela amizade e confiança em mim depositadas. Ao Prof. Gabriel, por ter me apresentado a essa área fascinante, que é a Engenharia de Estruturas. Agradeço imensamente por ter me apoiado e inspirado nas minhas decisões profissionais. À minha querida mãe, Maria das Graças, por ser meu grande exemplo de vida, amor, força, esperança e fé. Ao meu irmão Demis, pela amizade e companheirismo. Agradeço ainda por sempre acreditarem na minha capacidade e me darem suporte para superar todas as etapas e dificuldades durante todo esse período. Ao Rodrigo Rocha, meu grande amor e inspiração, por toda dedicação incondicional, amor e carinho. Agradeço por sempre estar disposto a me ajudar e por tudo que eu aprendi com ele até hoje. Obrigada por me dar o privilégio de viver ao seu lado. A todos os colegas do JAC/LMC/AADP pela amizade. Em especial, ao Fernando Gonçalves, Leonardo Lago, Marcelo Teixeira, Jorge Costa, Henrique Campelo, Paulo Nigro e a Gabriela Lins, pelo apoio, incentivo e companheirismo. Às minhas grandes amigas Ludmila Figueiredo e Flávia Evangelista, por sempre estarem ao meu lado, pelo amor fraterno e amizade eterna. Ao meu grande amigo Ronaldo, por sempre estar disposto a me ajudar e pela ótima companhia. À FAPESP pelo apoio financeiro.

5 "O inimigo mais perigoso que você poderá encontrar será sempre você mesmo." Friedrich Nietzsche. iv

6 Resumo Nas últimas décadas, considerável evidência tem sido direcionada no desenvolvimento de métodos computacionais que analisam os comportamentos não lineares das estruturas. O método da corda é considerado o tipo de método de seguimento de trajetórias que possui a técnica mais comum e versátil para analisar tais comportamentos não lineares. No entanto, testes realizados pelos autores concluem que tais métodos ainda apresentam algumas dificuldades quando as estruturas possuem formas complexas e comportamentos fortemente não lineares. Devido a isso, o objetivo do trabalho em questão é acrescentar duas modificações ao método da corda, a fim de desenvolver um modelo mais seguro e estável. A esses métodos, inclui-se (i) uma equação alternativa para o passo previsor, que tornará o método mais estável ao ultrapassar pontos críticos; e (ii) um parâmetro de controle, que através do conceito de soma dos comprimentos de corda, é chamado de método da corda acumulado. Ao final, por consequência destas alterações, um procedimento mais robusto para o método da corda é obtido. Sua validação é apresentada, pelos autores, através de exemplos utilizando estruturas treliçadas (bidimensionais e tridimensionais) em um programa de simulação numérica desenvolvida. Palavras-chave: Métodos de Continuação, Análise Não Linear de Estruturas, Algoritmo(Otimização).

7 Abstract In the last decades, a considerable effort has been directed to develop of computational methods to analyze the nonlinear behavior of structures. The arc-length method is considered the type of path following method which have the most common and versatile techniques for analyzing such nonlinear behaviors. Nevertheless, tests performed by the authors conclude that such methods present some difficulties when the structures possess complex shapes and strongly nonlinear behaviors. Due to this, the purpose of the present work is to add two amendments to the arc-length method, in order to develop a model safer and more stable. In such methods, it is included (i) an alternative equation for the predictor step, that will make the method most stable to overcoming critical points, and (ii) a control parameter, through the concept of sum of the arc length up to now, referred to as accumulated arc-length method. By the end, as a result of these modifications, a more robust procedure for the method of the string is obtained. And its validation is presented by the authors through examples using truss structures in a two-dimensional and three-dimensional numerical simulation program developed. Keywords: Arc-Length Method, Nonlinear Structural Analysis, Algorithm (Optimization).

8 Sumário Lista de Figuras ix Nomenclatura xiii 1 Introdução 1 2 Teoria Geometricamente Exata para Treliças Considerações Sobre Tensões e Deformações Equações Constitutivas Equações de Equilíbrio Métodos de Continuação Formulação Inicial para os Métodos de Continuação Métodos Corretores Método da Corda Esférico Método da Corda Cilíndrico Método da Corda de Schweizerhof-Wriggers Métodos Previsores Sinal do Determinante da Matriz de Rigidez

9 3.4 Comprimento de Corda Incremental Otimização do Método da Corda Método da Corda Acumulado O Comprimento da Corda Acumulado Aproximação Quadrática Aproximação Linear Aproximação Quadrática Alternativa Parâmetros de Controle Novo Método Previsor Critério do Produto Interno Simulação Numérica Métodos Previsores Treliça de duas barras geometricamente simétricas Domo em forma de estrela Métodos Corretores Domo em forma de estrela Arco Circular bidimensional Método Acumulado Conclusões Finais 82 Referências 84

10 Lista de Figuras 2.1 Descrição da deformação de uma barra Diagrama carga-deformação Trajetórias primária e secundária Comportamento de carga limite (snap-through) Comportamento de deslocamento limite (snap-back) Método de Controle de Carga Método de Controle de Deslocamento Método da Corda proposto por Riks (1979) Método da Corda proposto por Crisfield (1991) Método da Corda de Schweizerhof-Wriggers (SCHWEIZERHOF; WRIG- GERS, 1986) Treliça com duas barras simétricas e carga aplicada Diagrama de carga-deformação da treliça utilizando o previsor det(k t ) Diagrama de carga-deformação da treliça utilizando o Critério do Produto Interno Comparação dos Diagramas carga-deformação da treliça utilizando os dois métodos Domo tridimensional em forma de estrela Diagrama de carga-deformação do Domo utilizando o previsor det(k t ). 57

11 5.7 Diagrama de carga-deformação utilizando o Critério do Produto Interno Trajetória de equilíbrio com pontos convergidos do Domo utilizando o Método da Corda Cilíndrico Diagrama de convergência do Domo no Método da Corda Cilíndrico Trajetória de equilíbrio com pontos convergidos do Domo utilizando o Método de Schweizerhof-Wriggers Diagrama de convergência do Domo no Método de Schweizerhof-Wriggers Trajetória de equilíbrio do domo com pontos de deformação Estado deformado do domo no ponto A Estado deformado do domo no ponto B Estado deformado do domo no ponto C Estado deformado do domo no ponto D Estado deformado do domo no final da trajetória de equilíbrio Arco circular treliçado Trajetória de equilíbrio do Arco utilizando o Método da Corda Cilíndrico Trajetória de equilíbrio do Arco, com pontos convergidos, utilizando o Método da Corda Cilíndrico Diagrama de convergência do Arco no Método da Corda Cilíndrico Diagrama de carga-deformação do Arco utilizando o Método de Schweizerhof- Wriggers Diagrama de carga-deformação do Arco, com pontos convergidos, utilizando o Método de Schweizerhof-Wriggers Diagrama de convergência do Arco no Método de Schweizerhof-Wriggers Trajetória de equilíbrio do Arco com pontos de deformação

12 5.26 Estado deformado do arco no ponto A Estado deformado do arco no ponto B Estado deformado do arco no ponto C Estado deformado do arco no ponto D Estado deformado do arco no ponto E Estado deformado do arco no ponto F Estado deformado do arco no final do processo Propriedades geométricas do cilindro (CAMPELLO, 2005) Barras de treliça do cilindro Diagrama de carga-deformação do cilindro utilizando o Método da Corda Cilíndrico Diagrama de carga-deformação do cilindro utilizando o Método da Corda Acumulado (λ d = 0) Diagrama de comparação de convergência Diagrama de carga-deformação do cilindro para λ d = Configuração deformada do cilindro em λ d = Diagrama de carga-deformação do cilindro para λ d = Configuração deformada do cilindro em λ d = Diagrama de carga-deformação do cilindro para λ d = Configuração deformada do cilindro em λ d = Diagrama de carga-deformação do cilindro para λ d = Configuração deformada do cilindro em λ d = Configuração atual e deformada do cilindro

13 5.47 Configuração deformada do cilindro, visto pelo ângulo Configuração deformada do cilindro, visto pelo ângulo Configuração deformada do cilindro, visto pelo ângulo

14 Nomenclatura Letras Latinas x u l r l N A r E U V r D L p l r I l P k t k e k g R int Vetor posição de um ponto no espaço em relação à sua origem Vetor deslocamento do ponto no espaço Comprimento da barra de treliça na configuração de referência é Comprimento da barra de treliça na configuração deformada Força normal Área da seção transversal na configuração de referência Módulo de Elasticidade Energia de deformação da barras de treliça Volume da barra na configuração de referência Módulo tangente de rigidez elástica Matriz composta por matrizes identidade Vetor de deslocamentos nodais Vetor de comprimento da barra na configuração de referência Matriz identidade Vetor de comprimento da barra na configuração deformada Vetor dos esforços nodais internos Matriz de rigidez tangente de uma barra Matriz de rigidez elástica da barra de treliça Matriz de rigidez geométrica da barra de treliça Vetor dos esforços internos da estrutura

15 K t A r g p q ef q i s D I 0 I d L i L d Matriz de rigidez tangente da estrutura Matriz de conectividade do elemento de barra e Vetor dos deslocamentos nodais da estrutura no sistema global Vetor de forças residuais Vetor de deslocamento nodal Vetor de força externa aplicada Vetor de forças internas Comprimento de corda Matriz diagonal Número de iterações requeridas Número de iterações desejadas Comprimento do arco acumulado Comprimento de corda acumulado desejado

16 Letras Gregas ρ ε σ σ 0 ϕ ξ δ δε λ ψ l p λ δp δλ δ p δp t q ef λ d l d γ Estiramento Deformação linear Tensão nominal Tensão inicial Energia de deformação específica por unidade de volume Vetor de coordenadas nodais Representa as grandezas virtuais Deformação virtual Fator de carregamento Parâmetro de dimensionamento Comprimento de corda incremental Vetor de deslocamento incremental Fator de carregamento incremental Vetor de deslocamento iterativo Fator de carregamento iterativo Vetor de deslocamento que se origina do método de Newton-Raphson Vetor de deslocamento tangencial Vetor forças externas incremental Fator de carregamento predefinido Comprimento de corda incremental desejado Parâmetro de comprimento acumulado

17 1 1 Introdução Com o crescente avanço tecnológico e a consolidação do Método dos Elementos Finitos, houve uma grande necessidade de analisar estruturas com características complexas, levando em consideração as não linearidades geométricas e materiais. Desse modo, o desenvolvimento e a aplicação de procedimentos numéricos para seguir trajetórias de solução em problemas estruturais não lineares têm recebido uma atenção significativa nas últimas décadas. As análises do comportamento de sistemas estruturais requerem a solução das equações de equilíbrio mediante a variação de parâmetros do sistema, tais como: intensidade de carga, amplitudes de deslocamento, variáveis de projeto, entre outros. Estas análises são de considerável interesse para a localização e caracterização dos pontos críticos (pontos limites e de bifurcação) nestes conjuntos de soluções (RIKS, 1984). Um método de análise estrutural ideal deve ser capaz de traçar inteiramente a trajetória de equilíbrio de uma estrutura, podendo apresentar um comportamento suave quanto um fortemente não linear, mesmo com a presença de pontos limites de carga e de deslocamento e, possivelmente, pontos de bifurcação. Isto é possível através da utilização de procedimentos incrementais-iterativos como o de Método de Newton-Raphson. Para tanto, foram desenvolvidas várias técnicas de solução para obter a trajetória de equilíbrio. O Método de de Newton-Raphson com controle de Carga foi o primeiro método desenvolvido com este propósito, mas ele falha na vizinhança do ponto limite. Para superar as dificuldades em ultrapassar os pontos limites, foram introduzidas as técnicas de controle de deslocamento (BATOZ; DHATT, 1979). No entanto, para sistemas

18 1 Introdução 2 estruturais que exibem comportamento de snap-through ou snap-back, estas técnicas conduzem ao erro. Como alternativa, ou era necessário alternar entre os controles de carga e de deslocamento (SABIR; LOCK, 1972) utilizando as molas artificiais de Wrigth e Gaylord (1968), ou lançar mão de técnicas que optam por abandonar as iterações de equilíbrio nas imediações do ponto limite (BERGAN; SOREIDE, 1978; BERGAN et al., 1978). Contudo, estas técnicas são desenvolvidas especificamente para uma determinada estrutura. A motivação dos Métodos de Continuação consistia em encontrar respostas para perguntas sobre o comportamento de uma estrutura como as citadas por Crisfield (1991) (com tradução nossa): Realmente era um ponto limite ou foi o procedimento de solução iterativa que entrou em colapso? Isso foi apenas um máximo local e a estrutura ainda pode ser carregado, estando longe de sofrer um colapso? Como é o processo de colapso, dúctil ou frágil? Os Métodos de Continuação são, basicamente, métodos previsores-corretores. Um número considerável de diferentes Métodos de Continuação são propostos na literatura, entre os quais, o mais popular é o método chamado de Método da Corda originalmente desenvolvido por Riks (1972, 1979) e Wempner (1971). O Método da Corda é composto pelo seguintes procedimentos de solução: formulação inicial, onde uma equação de restrição é formulada, método previsor, método corretor e controle do comprimento de corda. Além disso, os Métodos da Corda diferenciamse uns dos outros através das variações de ao menos um destes procedimentos. Diferentes versões do Métodos da Corda desenvolvido por Riks (1972, 1979) e Wempner (1971) foram propostas por Ramm (1981), Crisfield (1981, 1991), Riks (1984), Forde e Stieme (1987), Al-Rasby (1991), Fafard e Massicotte (1991), Wagner (1991), Wriggers P. e Miehe (1987) com o propósito de aprimorar o método original modifi-

19 1 Introdução 3 cando a equação de restrição ou algum outro conceito pertencente ao passo corretor. Do mesmo modo, Crisfield (1991), Feng et al. (1996), Neto e Feng (1999), Bergan e Soreide (1978), Bergan et al. (1978) propuseram diferentes métodos para aprimorar a determinação do sinal correto para o carregamento incremental inicial, pertencente ao passo previsor. Além disso, Teng e Lou (1997), Teng e Luo (1998) propuseram a adição um parâmetro de comprimento de corda acumulado ao Método da Corda desenvolvido por Crisfield (1991), com o objetivo de obter um comprimento de corda melhor dimensionado. Este método ainda proporciona a possibilidade de convergência em carregamentos predefinidos pelo usuário. Devido ao grande volume de publicações que propõem diferentes técnicas e procedimentos para aprimorar algum ponto do Método da Corda, foi percebida a necessidade de verificar e testar estas modificações e, reunir as que apresentarem um melhor desempenho, desenvolvendo, deste modo, um Método da Corda mais robusto. Com isso, a motivação principal que levou a realização deste trabalho consiste em contribuir, consistentemente, para o aprimoramento do Método da Corda. O objetivo principal deste trabalho é testar e propor um procedimento mais eficiente para o Método da Corda por meio da análise de alguns Métodos da Corda distintos, tornando-o mais robusto. Primeiramente, será considerado o Método da Corda Cilíndrico, desenvolvido por Crisfield (1991), que utiliza uma equação de restrição quadrática. Este método fornecerá duas raízes possíveis, havendo possibilidade de ocorrerem raízes complexas. Com isso, uma versão linearizada deste método foram propostas por Schweizerhof e Wriggers (1986), na qual apenas uma raiz apropriada para o passo corretor é encontrada. Esta versão também será considerada neste trabalho para fins comparativos. Além disso, métodos previsores mais eficientes também serão analisados, levando em consideração os trabalhos desenvolvidos por Crisfield (1991, 1997) e Feng et al. (1995, 1996). A fim de aumentar a eficiência do Método da Corda, evitando que a

20 1 Introdução 4 trajetória de equilíbrio siga pela direção errada, ocorrendo o problema de doubling back e, consequentemente a a falência do método. Com o intuito de obter um maior controle sobre a execução do Método da Corda, este será modificado através da introdução de um novo parâmetro fundamentado no conceito do comprimento de corda acumulado. Contudo, este novo método é nomeado por Método da Corda Acumulado e foi proposto por Teng e Lou (1997), Teng e Luo (1998). Através desta modificação, serão acrescentados ao Método da Corda dois parâmetros de controle. O primeiro diz respeito à convergência do método em uma carga definida no início do processo. Este controle se faz necessário para analisar o comportamento das estruturas para determinados níveis de carga. O segundo parâmetro refere-se ao controle do comprimento da corda, este controle é essencial para que seja obtido uma trajetória de equilíbrio de um modo eficiente através da escolha apropriada do comprimento de corda. Assim, o problema de retorno da trajetória para passos já convergidos (doubling back) é totalmente resolvido. Os procedimentos estudados serão testados através de simulações numéricas utilizando estruturas treliçadas. As simulações serão desenvolvidas computacionalmente utilizando o programa Matlab. Dentro de todo esse contexto, o conteúdo dessa dissertação de mestrado foi dividido em seis capítulos. O Capítulo 2 apresenta a formulação da Teoria Geometricamente Exata utilizada para estruturas em forma de treliças. O Capítulo 3 refere-se aos Métodos de Continuação. Neste capítulo serão descritos os Métodos da Corda considerados para este trabalho, apresentando suas respectivas formulações. No Capítulo 4, serão apresentadas as formulações referentes aos métodos propostos para otimização do Método da Corda. Este capítulo diz respeito à implementação do Método da Corda Acumulado e do Método previsor baseado no critério do produto

21 1 Introdução 5 interno. No Capítulo 5, toda a teoria desenvolvida nos capítulos anteriores serão aplicadas a diferentes estruturas treliçadas para testar o desempenho e a eficiência dos Métodos descritos. Finalmente, o Capítulo 6 apresenta as conclusões e ponderações referente aos métodos testados no capítulo anterior.

22 6 2 Teoria Geometricamente Exata para Treliças O objetivo deste capítulo é apresentar a formulação da teoria estrutural geometricamente exata para a análise não linear de treliças espaciais. As formulações apresentadas foram propostas por Pimenta (1986, 1996) e serão restritas apenas aos materiais elásticos. Para tanto, supor-se-á que as barras das treliças sejam prismáticas na qual sua seção transversal é considerada constante ao longo do eixo e que o carregamento externo seja aplicado nos nós da estrutura. 2.1 Considerações Sobre Tensões e Deformações O sistema de coordenadas globais que será considerado para as estruturas aqui estudadas encontra-se representado pela Figura 2.1, na qual são apresentadas as configurações de referência e deformada (atual) de uma barra de treliça através do espaço. e 3 x Conf. de referência a r a r l r x a b r r a r b a l b Conf. atual e1 e 2 Figura 2.1: Descrição da deformação de uma barra.

23 2.1 Considerações Sobre Tensões e Deformações 7 Neste sistema, o vetor x é denominado de vetor posição de um ponto no espaço em relação à sua origem e o vetor u é chamado de vetor deslocamento do ponto no espaço. O comprimento da barra de treliça na configuração de referência é representado por l r e na configuração deformada por l. Define-se como medida de deformação qualquer grandeza que compare os comprimentos da barra de treliça nas configurações de referência e atual. Uma medida básica de deformação é o estiramento, representado pela letra grega ρ, e é dado por ρ = l l r (2.1) A família de medidas de deformação é definida através da seguinte relação ε = { (ρ m 1)/m, m 0 lnρ, m = 0 (2.2) No entanto, neste trabalho, será considerada apenas a medida de deformação linear, definida na Equação 2.3, como medida de deformação da barra de treliça. ε = ρ 1 (2.3) Ao examinar a Figura 2.1 que apresenta as configurações de referência e deformada de uma barra de treliça, nota-se que atua sobre a barra na configuração deformada uma força normal denominada por N. A tensão nominal (σ) atuante na barra na configuração deformada é dada por σ = N A r (2.4) onde A r é a área da seção transversal na configuração de referência. Sendo assim, a partir da Equação 2.4 observa-se que

24 2.2 Equações Constitutivas 8 N = σa r (2.5) 2.2 Equações Constitutivas Nesta seção, tratar-se-á, de forma concisa, as relações constitutivas elásticas para as barras de treliças. Uma barra está em regime elástico se existir uma relação em que cada deformação associa a uma só tensão. A equação constitutiva elástica pode ser expressa pela função σ = σ (ε) (2.6) A Equação 2.7 se refere à equação constitutiva linear dada pela lei de Hooke e trata-se de um caso particular da Equação 2.6. σ = Eε + σ 0 (2.7) onde E é o módulo de Elasticidade e σ 0 é a tensão inicial. A seguir, pode-se definir que ϕ (ε) = ε 0 σ (η)dη (2.8) onde ϕ é a energia de deformação específica por unidade de volume da configuração de referência. Com isso, a energia de deformação (U) da barras de treliça é dada por U = A r l r ϕ (2.9)

25 2.3 Equações de Equilíbrio 9 onde o volume da barra na configuração de referência é dado por V r = A r l r. Para a lei de Hooke definida pela Equação 2.7, tem-se ϕ = 1 2 Eε2 + σ 0 ε (2.10) Considerando a definição da Equação 2.8, conclui-se que σ = dϕ dε (2.11) onde, observa-se que, ϕ pode ser utilizado como potencial para as tensões. O módulo tangente de rigidez elástica, representado pela letra D, é definido por ou D = dσ dε (2.12) D = d2 σ dε 2 (2.13) Em geral, pode-se dizer que D = D(ε) (2.14) Contudo, para a lei de Hooke, D é considerada uma constante dada por D = E (2.15) 2.3 Equações de Equilíbrio Considerando novamente a Figura 2.1, nota-se que a e b correspondem às extremidades de uma barra de treliça na configuração deformada. Com isso, é possível deter-

26 2.3 Equações de Equilíbrio 10 minar os vetores x e u destas extremidades e assim obter os vetores de coordenadas (ξ ) e deslocamentos (p) nodais da barra representados, respectivamente, por [ xa ] e ξ = x b [ ua ] 6x1 (2.16) p = u b 6x1 (2.17) O vetor de comprimento da barra na configuração de referência (l r ) é dado pelo vetor que une a extremidade a com a extremidade b. Considera-se a sua origem na extremidade a, da seguinte forma l r = L ξ (2.18) considerando que L é uma matriz composta por matrizes identidade (I), como [ L = I 3 I3 ] (2.19) Da mesma forma, o vetor de comprimento da barra na configuração deformada (l) é definido por l = L(ξ + p) (2.20) Os comprimentos da barra nas configurações de referência e deformada são calculados, respectivamente, do seguinte modo l r = l rt l r (2.21) e l = l T l (2.22)

27 2.3 Equações de Equilíbrio 11 Por conseguinte, pode-se definir a deformação linear ε em função dos deslocamentos nodais como se observa na Equação 2.23 ε = ε (p) (2.23) ou, explicitamente, ε = (ξ + p) T L T L(ξ + p) l r 1 (2.24) Através do Princípio dos Trabalhos Virtuais, torna-se possível obter o vetor dos esforços nodais internos, representado pela letra P, para a barra de treliça da seguinte forma P T δp = A r l r σδp (2.25) onde δ representa as grandezas virtuais. No entanto, é preciso lembrar que a deformação virtual (δε) é definida como δε = Para tanto, define-se o novo vetor ( ) ε T δp (2.26) p b = ε p (2.27) Ao passo que a Equação 2.26 torna-se δε = b T δp (2.28) Introduzindo a expressão acima na Equação 2.25, obtém-se

28 2.3 Equações de Equilíbrio 12 P = A r l r σb (2.29) Ao aplicar as técnicas de diferenciação para a Equação 2.24, considerando a definição dada pela Equação 2.27, obtém-se a seguinte expressão para o vetor b b = 1 l r l LT l (2.30) Substituindo o vetor b (Equação 2.30) na Equação 2.29, obtém-se que o vetor de forças nodais internas da barra é dado por P = N 1 l LT l (2.31) Do mesmo modo, a matriz de rigidez tangente (k t ) de uma barra é definida por k t = P p (2.32) a qual, por diferenciação da Equação 2.29, é possível obter sua definição da seguinte forma ( ) σ T ( ) b k t = A r l r b + A r l r σ p p (2.33) que Para resolver a expressão acima, deve-se considerar, utilizando a regra da cadeia, σ p = dσ ε dε p (2.34) Nota-se que, ao considerar as Equações 2.12 e 2.15 fornecidas na seção anterior e as Equações 2.28 e 2.30, obtém-se

29 2.3 Equações de Equilíbrio 13 σ p = Db = D l r l LT l (2.35) Além disso, também por diferenciação da Equação 2.30, tem-se b p = 1 l r l LT L 1 l r l 3 LT l l T L (2.36) Finalmente, a matriz de rigidez tangente da barra é obtida introduzindo as Equações 2.35 e 2.36 na Equação 2.33 ( k t = DAr 1 l r L )L T l 2 l lt + Nl (I3 LT 1l ) 2 l lt L (2.37) A matriz de rigidez apresentada acima pode ser dividida do seguinte modo k t = k e + k g (2.38) As parcelas da Equação 2.38 são apresentadas a seguir pelas Equações 2.39 e ( ) k e = DAr 1 l r L T l 2 l lt L (2.39) k g = N l LT ( I3 1 l 2 l lt )L (2.40) onde k e é a matriz de rigidez elástica e k g a matriz de rigidez geométrica da barra de treliça. A partir de então, é possível calcular o vetor dos esforços internos (R int ) e a matriz de rigidez tangente (K t ) de uma dada estrutura através de P e k t para todas as barras desta estrutura, como se observa nas Equações 2.41 e 2.42.

30 2.3 Equações de Equilíbrio 14 R int = A T e P (2.41) e K t = A T e k t A e (2.42) e onde A é a matriz de conectividade do elemento de barra e definida por p = A r (2.43) O vetor r, definido pela Equação 2.43, consiste no vetor dos deslocamentos nodais da estrutura no sistema global.

31 15 3 Métodos de Continuação A análise não linear de estabilidade estrutural considera os comportamentos não lineares tanto geométricos quanto materiais de uma dada estrutura. Quando há uma maior complexidade estrutural, os sistemas de equações não lineares que regem seu comportamento necessitam de técnicas que descrevam por completo suas trajetórias de equilíbrio. Consequentemente, os métodos de seguimento de trajetórias foram desenvolvidos, como o próprio nome diz, para traçar as trajetórias de soluções não lineares arbitrárias, identificando os pontos críticos e comportamentos de equilíbrio dessas estruturas. O produto final de um dado sistema de equações não lineares de uma estrutura é transferido para um sistema de coordenadas retangulares, como o apresentado pela Figura 3.1, cujos eixos representam o fator de carga e o deslocamento de um dado grau de liberdade e recebe o nome de diagrama de carga-deslocamento. A trajetória adquirida neste diagrama representa, ponto a ponto, o estado de equilíbrio da estrutura e, dessa forma, é conhecida como trajetória de equilíbrio da estrutura. Convém observar que, quando o estado de equilíbrio inicial de uma estrutura é considerado com deformações e tensões iniciais nulas (como adotado no presente trabalho), sua trajetória de equilíbrio terá como ponto de partida a origem do diagrama de cargadeslocamento, apresentado na Figura 3.1. Os diagramas de carga-deslocamento são compostos por trajetórias de equilíbrio e pontos críticos que representam o comportamento de uma estrutura. Geralmente, são encontradas mais de uma trajetória de equilíbrio para uma determinada estrutura, como mostra a Figura 3.2. A trajetória que cruza o estado inicial é designada por trajetó-

32 3 Métodos de Continuação 16 Figura 3.1: Diagrama carga-deformação. ria fundamental ou primária e as demais são chamadas de trajetórias secundárias e terciárias. Figura 3.2: Trajetórias primária e secundária. Por sua vez, os pontos críticos são divididos em pontos limites e pontos de bifurcação. Estes últimos caracterizam-se por localizar o cruzamento (intersecção) entre duas ou mais trajetórias de equilíbrio. Os pontos limites encontram-se localizados tangen-

33 3 Métodos de Continuação 17 cialmente à trajetória de equilíbrio, isto é, são paralelos ou ao eixo dos deslocamentos (pontos limite de deslocamento) ou ao eixo do fator de carga (pontos limite de carga). Caso, durante o processo do Método de Continuação, estes pontos forem ultrapassados ou por um incremento de carga ou por um deslocamento adicional, o equilíbrio estático da estrutura é perdido e esta passará dinamicamente para a próxima posição de equilíbrio pós-crítico. Estes comportamentos dinâmicos são, respectivamente, chamados de snap-through, como se vê na Figura 3.3, e de snap-back, apresentado na Figura 3.4. Figura 3.3: Comportamento de carga limite (snap-through). Figura 3.4: Comportamento de deslocamento limite (snap-back). As várias técnicas de seguimento de trajetórias diferenciam-se umas das outras pelas condições de restrição adotadas para a resolução do sistema de equações não lineares. Portanto, nos próximos parágrafos, os métodos que representam maior relevância para este trabalho serão sucintamente apresentados. O Método de Controle de Carga caracteriza-se por apresentar uma equação de restrição fundamentada na equação de equilíbrio da estrutura, definida como a diferença entre as forças internas e o carregamento externo prescrito. Esta condição de restrição resulta exatamente no método de Newton-Raphson padrão e, consequentemente, apresenta comportamento instável ao ultrapassar os pontos de carga limites, como re-

34 3 Métodos de Continuação 18 presenta a Figura 3.5. Dessa forma, torna-se incapaz de traçar por completo a trajetória de equilíbrio de uma estrutura com comportamento não linear. Figura 3.5: Carga. Método de Controle de Figura 3.6: Método de Controle de Deslocamento. O Método de Controle de Deslocamento difere-se do Método de Controle de Carga por ser capaz de ultrapassar os pontos limites de carga. Sua equação de restrição é uma função dependente dos incrementos dos deslocamentos e pode ser formulada para um único componente do campo de deslocamentos que seja decisivo para o processo. Este método mostra-se sensível na presença dos pontos limites de deslocamento, tornando-se instável ao ultrapassá-los, como ilustra a Figura 3.6. Consequentemente, a análise não é completada. O Método da Corda é, portanto, o único tipo de Método de Seguimento de Trajetórias capaz de obter uma trajetória de equilíbrio completa, ultrapassando os pontos limites e de bifurcação e ainda descrevendo os comportamentos de snap-through e snapback de uma estrutura. Como já mencionado, Riks (1972, 1979) e Wempner (1971) foram os pioneiros no desenvolvimento do Método da Corda, cuja característica principal consiste em encontrar a intersecção entre a equação de equilíbrio da estrutura e um dado comprimento de corda.

35 3 Métodos de Continuação 19 Para tanto, estes autores propuseram uma equação de restrição linear em relação ao fator de carga e ao campo de deslocamentos que fosse capaz de descrever um plano normal tangente à curva calculada para o último passo convergido (Figura 3.7). Figura 3.7: Método da Corda proposto por Riks (1979). Poucos anos depois, Crisfield (1981) propôs que o Método da Corda fosse utilizado com uma equação de restrição não linear capaz de descrever uma superfície esférica em torno do último passo convergido, denominado de Método da Corda Esférico. Em um trabalho posterior, Crisfield (1991) propôs que os termos de carga da equação de restrição não linear fossem desprezados com o objetivo de tornar o método mais estável. Com isso, a superfície descrita por esta equação passou a ser cilíndrica ao invés de esférica. Este método foi chamado de Método da Corda Cilíndrico e é ilustrado pela Figura 3.8. Posteriormente, uma linearização de forma consistente para o Método de Newton- Raphson da equação de restrição quadrática (CRISFIELD, 1991) foi desenvolvida por Schweizerhof e Wriggers (1986), como mostra a Figura 3.9. O propósito desta versão linearizada do Método da Corda Cilíndrico é obter apenas uma raiz como solução para o método, eliminando o surgimento de raízes complexas. Consequentemente, este método necessita de um menor esforço computacional para ser

36 3 Métodos de Continuação 20 Figura 3.8: Método da Corda proposto por Crisfield (1991). executado, convergindo de forma mais rápida e eficiente. No presente trabalho, este método será denominado por Método da Corda de Schweizerhof-Wriggers. Figura 3.9: Método da Corda de Schweizerhof-Wriggers (SCHWEIZERHOF; WRIGGERS, 1986). O Método de Continuação é composto por 4 procedimentos de solução: (1) Formulação inicial, onde uma equação de restrição é formulada 1 ; (2) Corretor; (3) Previsor; 1 Esta etapa é comumente chamada de Estratégia de Parametrização.

37 3.1 Formulação Inicial para os Métodos de Continuação 21 e (4) Controle do comprimento de corda. Estes procedimentos serão apresentados a seguir. 3.1 Formulação Inicial para os Métodos de Continuação A formulação que será apresentada abaixo, desenvolvida por Riks (1972, 1979) e Wempner (1971), trata-se da formulação geral para o desenvolvimento de todos os tipos de Método da Corda existentes. O objetivo do Método de Continuação é encontrar a intersecção entre o sistema de equações não lineares de uma dada estrutura e um dado comprimento de corda através de uma equação de restrição. Para que isso se torne possível, é preciso criar um conjunto de equações envolvendo a equação de equilíbrio da estrutura e a equação de restrição escolhida. Inicialmente, considera-se que o sistema de equações não lineares da estrutura seja apresentado na forma da seguinte equação de equilíbrio g(p,λ) = q i (p) λq ef = 0 (3.1) no qual g é o vetor de forças residuais, p é o vetor de deslocamento nodal, λ é um escalar que representa o fator de carregamento, q ef é o vetor de força externa aplicada e q i é o vetor de forças internas. Para completar este conjunto de equações, adiciona-se uma equação de restrição através do conceito do comprimento de corda, representado pela letra s e definido pela Equação 3.2. s = ds (3.2)

38 3.1 Formulação Inicial para os Métodos de Continuação 22 O termo diferencial ds é dado pela Equação 3.3. ds = dp T dp + dλ 2 ψ 2 q ef 2 q ef (3.3) onde ψ é um parâmetro de dimensionamento e sua função é determinar a influência dos termos de carga da equação no comportamento do Método da Corda. A interseção entre o comprimento de corda s, representado pela Equação de restrição 3.2, e a Equação de equilíbrio 3.1 só será possível se a equação de equilíbrio se tornar uma função de s, como mostrado na Equação 3.4. g(s) = q i (p(s)) λ (s)q ef = 0 (3.4) Contudo, ao adotar esta aproximação, torna-se muito difícil limitar com êxito a tendência ao equilíbrio e, neste caso, utiliza-se Métodos Previsores-Corretores 2 para solucionar a Equação 3.4. Dessa forma, modifica-se a forma diferencial da Equação 3.3 por sua forma incremental correspondente, que resulta em a = ( p T p + λ 2 ψ 2 q ef T q ef ) l 2 = 0 (3.5) onde a é a forma geral da equação de restrição que é escrita em termos do vetor de deslocamento e do fator de carga, ambos desconhecidos. Ainda na Equação 3.5, define-se que o l é o comprimento de corda incremental e representa o raio fixo para a interseção desejada com a trajetória de equilíbrio. O vetor de deslocamento p e o fator de carregamento λ são incrementais e relativos ao último estado convergido da equação. No Método da Corda, o fator de carregamento (λ) é considerado uma variável desconhecida. Dessa forma, o número de variáveis a serem determinadas será n + 1, onde n é o número de variáveis desconhecidas do vetor de deslocamento (p) e 1 é a variável 2 Original do inglês: Predictor-Corrector Method.

39 3.1 Formulação Inicial para os Métodos de Continuação 23 que corresponde ao fator de carregamento (λ). As variáveis mencionadas acima são determinadas através da aplicação do método iterativo de Newton-Raphson para as Equações 3.1 e 3.5. Com isso, são obtidas as mudanças iterativas referentes ao vetor de deslocamentos e ao fator de carga. Quando isso se faz necessário, o Método de Newton-Raphson é melhor introduzido através da linearização das Equações 3.1 e 3.5. Essa linearização é obtida através da Série de Taylor truncada, conforme as Equações 3.6 e 3.7. g i+1 = g i + g p δpi + g λ δλi = g i + K t δp i q ef δλ i = 0 (3.6) a i+1 = a i + a p δpi + a λ δλi = a i + 2 ( p i) T δp i + 2 λ i δλ i ψ 2 q ef T q ef = 0 (3.7) Nota-se que os índices sobrescritos i + 1 representam o novo passo iterativo e i o passo iterativo imediatamente anterior a este 3. Ainda nas Equações 3.6 e 3.7, K t é a matriz de rigidez tangente da estrutura e δp i e δλ i são, respectivamente, o vetor de deslocamento iterativo e o fator de carregamento iterativo. Primeiramente, combinam-se as Equações 3.6 e 3.7 e, num segundo momento, considera-se g i+1 = a i+1 = 0 para calcular δp i e δλ i na forma de um sistema de matrizes, conforme a Equação 3.8. ( δp i δλ i ) = [ K t 2 ( p i) T q ef 2 λ i ψ 2 q ef T q ef ] 1 ( g i a i ) (3.8) É importante observar que a matriz estendida (Equação 3.8) não é simétrica para valores incrementais desconhecidos do vetor de deslocamento e do fator de carga. Esta matriz não se torna singular nos pontos limites, embora a matriz de rigidez tangente 3 A partir daqui, estes índices sobrescritos serão frequentes nas equações. Portanto, considera-se sempre que i refere-se ao passo iterativo atual e (i + 1) ao passo iterativo sucessor.

40 3.2 Métodos Corretores 24 (K t ), que a compõe, seja singular nestes pontos. Porém, nos pontos de bifurcação esta matriz se torna singular. O sistema de equações não-simétricas supracitado é normalmente resolvido através de técnicas de particionamento capazes de utilizar a estrutura simétrica da matriz de rigidez K t e, com isso, se torna um algoritmo eficiente. No entanto, a propriedade de não singularidade nos pontos limites é perdida (WRIGGERS, 2008). A partir deste ponto, existem várias maneiras diferentes de se obter a solução do sistema apresentado na Equação 3.8. Porém, neste trabalho, serão abordados apenas dois métodos formulados nas seções a seguir. 3.2 Métodos Corretores Nesta fase de solução do Método da Corda, são aplicados os procedimentos para resolução do sistema de equações estendido. São desenvolvidas as diferentes equações de restrição que define o definirá o tipo de Método da Corda. Neste seção são apresentados dois tipos de Métodos Corretores, um com equação de restrição quadrática e o outro com equação de restrição linearizada Método da Corda Esférico Nesta seção, será apresentada a formulação desenvolvida por Crisfield (1981, 1991) através das equações gerais apresentadas anteriormente. Ao invés de solucionar o sistema definido pela Equação 3.8, Crisfield (1981) propôs a resolução direta da equação de restrição (Equação 3.6), levando em consideração o procedimento desenvolvido por Batoz e Dhatt (1979) para o Método de Controle de Deslocamento 4. O diferencial deste método advém da divisão do vetor de deslocamento iterativo, δp, em duas partes. 4 Original do inglês: Displacement Control Method.

41 3.2 Métodos Corretores 25 Para tanto, o Método de Newton-Raphson é alterado ao se consider um novo fator de carregamento incremental desconhecido (λ i+1 = λ i + δλ i ). Com isso, o vetor de deslocamento iterativo (δp) se torna δp i = (K t ) 1 g ( p i,λ ) = (K t ) 1 g i + δλ i (K t ) 1 q ef (3.9) Considerando a última forma apresentada na Equação 3.9, a subdivisão de δp pode ser expressa como δp i = δ p i + δλ i δp t i (3.10) As duas parcelas que compõem a Equação 3.10 são dadas por δ p i = (K t ) 1 g i (3.11) δp t i = (K t ) 1 q ef (3.12) onde δ p i é a mudança iterativa que se origina do método de Newton-Raphson para o carregamento controlado (com fator de carga fixo λ i ) e δp i t é o vetor de deslocamento iterativo correspondente ao vetor de força externa q ef. Ao aplicar as mudanças acima mencionadas, o novo vetor de deslocamento incremental é dado pela Equação p i+1 = p i + δp i+1 = p i + δ p i + δλ i δp t i (3.13) onde δλ i é a única variável desconhecida. Por consequência, a equação de restrição (Equação 3.5) é reescrita como

42 3.2 Métodos Corretores 26 ( ( p i ) T p i + ( λ i) ) ( 2 ( p ψ 2 q T i+1 ef q ef = ) T p i+1 + ( λ i+1) ) 2 ψ 2 q T ef q ef = l 2 (3.14) O valor de a i foi considerado como igual a 0 pelo simples fato de que o raio da interseção desejada é sempre mantido constante durante o processo iterativo. A substituição de p i+1 (Equação 3.13) na Equação 3.14 resulta em uma equação quadrática, como mostra a Equação a 1 δλ 2 + a 2 δλ + a 3 = 0 (3.15) Percebe-se que os coeficientes desta equação quadrática são iguais a a 1 = ( δp t i ) T δpt i + ψ 2 q ef T q ef (3.16) a 2 = 2δp t i ( p i + δ p i) + 2 λ i ψ 2 q ef T q ef (3.17) a 3 = ( p i + δ p i) T ( p i + δ p i) l 2 + ( λ i) 2 ψ 2 q ef T q ef (3.18) A Equação 3.15 é nomeada de equação de restrição esférica, pois uma esfera é introduzida próxima ao último passo convergido e, consequentemente, este Método da Corda ficou conhecido como Método da Corda Esférico 5. No presente trabalho, será considerado o Método da Corda Cilíndrico, que será discorrido a seguir Método da Corda Cilíndrico O Método da Corda Cilíndrico é uma variação do Método da Corda Esférico, onde o parâmetro de dimensionamento de carga (ψ) presente na equação de restrição esférica é desconsiderado. Sua equação de restrição é chamada de equação de restrição cilíndrica. 5 Original do inglês: Spherical Arc-length Method.

43 3.2 Métodos Corretores 27 O parâmetro de dimensionamento ψ determina a influência do controle de carga e de deslocamentos no comportamento do método da corda. Quando este é desconsiderado, os termos referentes ao controle de carga da equação de restrição (Equação 3.15) são desprezados e, com isso, o Método da Corda torna-se mais eficiente em ultrapassar os pontos limites e os de bifurcação (AL-RASBY, 1991). Isto se deve ao fato de que se o parâmetro de dimensionamento tender a um (ψ 1), o termo da equação de restrição (Equação 3.5), que contém forças externas e carregamentos, tenderá ao infinito. Por consequência, o Método da Corda se comportará de forma similar ao Método de Controle de Carga e perderá a sua característica de ultrapassar os pontos críticos. Não obstante, se o parâmetro de dimensionamento tende a se tornar igual a zero (ψ 0), o termo que contém cargas e forças externas da Equação 3.15 também tenderá a zero. Assim, sua capacidade de ultrapassar os pontos limites e os de bifurcação continuará vigente. Portanto, ao se considerar ψ = 0, a Equação 3.15 se torna igual a ( p i ) T p i = l 2 (3.19) Como consequência da Equação 3.15, a equação quadrática Equação 3.15 é apresentada como mostra a Equação 3.20 a 1 δλ 2 + a 2 δλ + a 3 = 0 (3.20) os coeficientes da Equação 3.20 são dados pelas Equações 3.21, 3.22 e a 1 = ( δp t i ) T δpt i (3.21) a 2 = 2 ( δp t i ) T ( p i + δ p i) (3.22) a 3 = ( p i + δ p i) T ( p i + δ p i) l 2 (3.23)

44 3.2 Métodos Corretores 28 No Método da Corda desenvolvido por Crisfield (1991), por haver uma equação de restrição quadrática, três situações distintas podem ocorrer na sua resolução. Essa característica é muito importante neste método, pois o êxito do seu desenvolvimento depende da escolha apropriada do fator incremental de carga δλ. Dentre as possíveis situações para a escolha da raiz apropriada na Equação 3.20, estão: 1. Duas raízes reais δλ 1 e δλ 2 : Apenas uma delas será a raiz que levará a trajetória pela direção correta. A outra raiz, provavelmente, terá o sentido contrário. A escolha da raiz que levará à direção correta é feita através da comparação entre as duas soluções encontradas para o vetor de deslocamento incremental atualizado p i+1. Isto quer dizer que serão encontrados p 1 i+1 e p 2 i+1, ambos referentes às raízes δλ 1 e δλ 2, respectivamente. A raiz apropriada será aquela que possuir a direção mais próxima do vetor de deslocamento incremental anterior p i, considerando o menor ângulo entre este e p i+1. Isso é obtido ao analisar o maior cosseno do ângulo, através da seguinte equação cosθ = ( p i ) T ( p i+1 p i ) T ( p i + δ p i) ( l 2 = l 2 + δλi δpt i ) T δpt i l 2 (3.24) De um modo mais simplificado, considera-se que Os coeficiente da Equação 3.25 são dados por cosθ = a 4 + a 5 δλ l 2 (3.25) a 4 = ( p i + δ p i) + ( p i) T p i a 5 = ( p i) T δpt i (3.26) (3.27)

45 3.2 Métodos Corretores Apenas uma raiz real δλ lin : Haverá apenas uma raiz real se o valor de a 1 da Equação 3.21 for menor ou igual a zero (a 1 0). Neste caso, a Equação 3.20 se tornará linear. Com isso, δλ é dado por δλ lin = a 3 a 2 (3.28) Os coeficientes a 2 e a 3 são expressos nas Equações 3.22 e Raízes não reais (raízes complexas): A presença de raízes complexas podem ocorrer na vizinhança de pontos de bifurcação quando o comprimento de corda incremental ( l) atual é razoavelmente grande. Quando isso ocorre, o processo iterativo é cessado imediatamente e o comprimento de corda incremental ( l) é recalculado para o início do novo passo incremental. Encontrar raízes complexas é uma das maiores dificuldades deste método e não há, na literatura, registro de um método que resolva, por definitivo, este problema. Ao final de todo esse processo δp i e δλ i são calculados, atualizando o vetor de deslocamento incremental p i+1 e fator incremental de carga λ i+1, conforme as Equações 3.52 e p i+1 = p i + δp i (3.29) λ i+1 = λ i + δλ i (3.30) O fato de se trabalhar com três possibilidades de escolha das raízes torna o Método da Corda Cilíndrico desvantajoso, pois um esforço computacional extra é necessário para o cálculo e escolha das raízes apropriadas.

46 3.2 Métodos Corretores Método da Corda de Schweizerhof-Wriggers Nesta seção, será apresentada uma equação de restrição para o Método da Corda proposto por Schweizerhof e Wriggers (1986), derivado de um processo de linearização consistente. Para o desenvolvimento deste método, Schweizerhof e Wriggers (1986) utilizam com base os Métodos da Corda propostos por Crisfield (1981) e Ramm (1981). Quanto ao método desenvolvido por Ramm (1981), os autores retiram a ideia de utilizar uma equação de restrição linear. Devido ao fato de que a equação de restrição linear, por possuir apenas uma raiz, torna-se exatamente satisfeita em toda iteração, além do beneficio de não ser preciso escolher a raiz correta. Do mesmo modo, consideram o método desenvolvido por Crisfield (1981) por possui a característica de ser mais estável perante fortes não linearidades. Devido ao fato deste método utilizar uma equação de restrição quadrática, o que a torna apenas iterativamente satisfeita. Deste modo, Schweizerhof e Wriggers (1986) sugerem a utilização de uma equação de restrição linearizada de uma maneira consistente utilizando um método do tipo Newton 6 para que os problemas mencionados acima sejam o resolvidos. Para isso, ao invés de resolver diretamente a Equação 3.8, opta-se por resolver as Equações 3.6 e 3.7, considerando g i+1 = a i+1 = 0, como mostram as Equações 3.31 e g i = K t δp i q ef δλ i (3.31) a i = 2 ( p i) T δp i + 2 λ i δλ i ψ 2 q T ef q ef (3.32) O vetor de deslocamento iterativo δp i é isolado na Equação 3.31, do seguinte modo 6 A Newton-type scheme. δp i = (K t ) 1 g i + δλ i (K t ) 1 q ef (3.33)

47 3.2 Métodos Corretores 31 Nota-se que a Equação 3.33 é idêntica à Equação 3.9 proposta por Batoz e Dhatt (1979), no qual o vetor de deslocamento incremental é dividido em dois termos, conforme a Equação δp i = δ p i + δλ i i δp t (3.34) Os dois termos do vetor de deslocamento são dados pelas Equação 3.35 e δ p i = (K t ) 1 g i (3.35) δp i t = (K t ) 1 q ef (3.36) Ao introduzir diretamente a Equação 3.34 na Equação 3.32, obtém-se ( p i ) T ( δ p i + δλ i i δp ) a t + λ i δλ i ψ 2 q T i ) ef q ef = ( 2 (3.37) onde, a é dado pela Equação 3.5 e representa a forma geral da equação de restrição escrita em termos do vetor de deslocamentos e do fator de carga. A Equação 3.37 é satisfeita para a quando a convergência é atingida. Esta equação de restrição não precisa ser satisfeita em todo o conjunto de iterações O fator de carga é obtido isolando δλ na Equação 3.37, como mostra a Equação δλ i = ( a i/ 2 ) ( p i) T δ p i ( p i ) T (3.38) δp i t + λ i ψ 2 q T ef q ef A equação acima é chamada de equação de restrição do Método de Schweizerhof e de Wriggers. Os termos de carga da equação de restrição (Equação 3.38) podem ser negligenciados, como já proposto anteriormente na Seção 3.2.2, ao se considerar ψ = 0. Deste modo, a Equação 3.38 vai influenciar apenas os termos de deslocamentos, de acordo com a Equação δλ i = ( a i/ 2 ) ( p i) T δ p i ( p i ) T δp t i (3.39)

48 3.3 Métodos Previsores 32 Como já mencionado, em comparação com o Método da Corda criado por Crisfield (1981), este método possui duas vantagens: a equação de restrição não é apenas iterativamente satisfeita; e sua forma linear apresenta apenas uma única raiz à ser determinada e, devido a esse fato apresenta uma maior eficiência computacional ao elimina o problema de cálculo e escolha das raízes apropriadas e de ocorrência de raízes complexas. Deste modo, Schweizerhof e Wriggers (1986) sugerem que a versão consistentemente linearizada seja utilizada sempre que as raízes do Método de Crisfield se tornarem complexas. Após calcular o vetor de deslocamento iterativo, δp, e o fator de carga iterativo, δλ, o novo vetor de deslocamento e o fator de carga incremental são atualizados mediante as Equação 4.1 e 4.2. p i+1 = p i + δp i (3.40) λ i+1 = λ i + δλ i (3.41) 3.3 Métodos Previsores Os Métodos de Continuação são compostos de duas fases: uma previsora e a outra corretora, descrita na Seção XXX. Esta seção será dedicada à apresentação do Passo Previsor 7, cuj objetivo é indicar a direção que será tomada pelo passo iterativo inicial do Método da Corda. A fase previsora é de grande importância para todo o processo iterativo, pois é através desta fase que se constrói um valor de partida adequado para a fase de correção, utilizando a informação pertencente ao último ponto calculado. Caso a escolha do passo previsor não seja apropriada, o corretor poderá convergir para um ponto indesejado, por conta do problema de não linearidade em questão. Desse modo, o conjunto de pontos de solução encontrado não seguirá uma sequência correta e, consequentemente, poderá ser encontrada uma trajetória de solução inadequada. 7 Tradução livre do termo em inglês Predictor Step.

49 3.3 Métodos Previsores 33 Quando este fenômeno indesejável ocorre, os métodos de continuação podem convergir em pontos previamente calculados, fazendo com que a trajetória de equilíbrio retorne a estes pontos. Este comportamento é comumente conhecido por double back ou track back, e caracteriza uma falha na execução do método, pois o comportamento da estrutura não será conhecido. A expressão para o previsor origina-se da equação de estimativa desenvolvida por Crisfield (1981). Nesta equação é adotado o Método Explícito de Euler 8 para previsores tangenciais 9, que são obtidos apenas com base na última solução calculada. Para tanto, considera-se a Equação 3.42 para o vetor de deslocamento incremental. p 1 = K 1 t q ef (3.42) onde K t é a matriz de rigidez tangente no início do incremento e q ef o vetor incremental de forças externas. É importante salientar que o número sobreposto ao vetor de deslocamento incremental, p, representa o número de iterações do passo previsor, que sempre tem o incremento i igual a 1. Isto significa que o passo previsor será calculado apenas para a primeira iteração. O vetor incremental de forças externas dado pela Equação 3.42 pode ser definido como q ef = λ 1 q ef (3.43) no qual λ 1 é o carregamento incremental na primeira iteração e q ef o vetor de forças externas da estrutura. Substituindo a Equação 3.43 na Equação 3.42, obtém-se p 1 = λ 1 K 1 t q ef (3.44) Considerando a definição do vetor δp t dada pela Equação?? e substituindo-a na 8 Na nomenclatura inglesa: forward-euler Scheme. 9 Original do inglês: Tangencial predictor.

50 3.3 Métodos Previsores 34 Equação 3.44, tem-se que p 1 = λ 1 δp t 0 (3.45) Neste caso, δp 0 t é o vetor iterativo de deslocamento tangencial no início do processo incremental. A Equação 3.45 tem que ser restringida pelo comprimento de corda incremental l. Para tanto, deve-se substitui-la na Equação 3.19, resultando a Equação λ 1 l l = ± = s (δp 0 t ) T δp 0 t (δp 0 t ) T δp 0 t (3.46) onde, s representa o sinal (+ ou ) que acompanhará a equação. É importante observar na Equação 3.46 a possibilidade de se terum sinal positivo ou negativo. Isto significa que existem duas soluções que possuem o mesmo valor, porém as suas direções são opostas. Apenas uma dessas soluções seguirá a trajetória de equilíbrio correta. A outra solução levará à falência do método. Desta forma, é extremamente importante escolher corretamente o sinal desta equação Sinal do Determinante da Matriz de Rigidez Diferentes critérios são encontrados na literatura para determinar a direção correta da trajetória de equilíbrio. O método de escolha do sinal apropriado mais utilizado foi originalmente introduzido por Crisfield (1981). Neste método, a escolha do sinal s para a Equação 3.46 é fundamentada na definição da matriz de rigidez tangente, do seguinte modo s( λ 1 ) = s(det(k t )) (3.47) onde K t é a matriz de rigidez tangente da estrutura no início do incremento, quando λ 1 é calculado.

51 3.4 Comprimento de Corda Incremental 35 A Equação 3.47 determina que o sinal de λ 1 será sempre positivo quando o determinante de K t for positivo, o que significa que a matriz de rigidez é positiva definida (estrutura está em equilíbrio estável). Do mesmo modo, quando o determinante de K t for negativo (estrutura está em equilíbrio instável) o sinal de λ 1 será negativo. Além do mais, neste critério, o sinal do determinante poderá ser facilmente calculado através da análise do sinal dos termos da matriz diagonal D, originada do processo de fatorização LDL T da matriz de rigidez K t. Esta analise é feita do seguinte modo { todos D > 0 s = +1 (3.48) ao menos um D < 0 s = 1 Este método responde bem na presença de pontos limites. No entanto, na presença de pontos de bifurcação o sinal geralmente fica oscilando entre positivo e negativo em sua vizinhança. 3.4 Comprimento de Corda Incremental A determinação do tamanho apropriado para o comprimento de corda incremental l ainda é um procedimento subjetivo. Por conta disso, seu tamanho ideal depende de alguns fatores do comportamento da trajetória de equilíbrio, tais como o grau de não linearidade da curvatura da trajetória de equilíbrio e a posição dos pontos limites e de bifurcação. Como ainda não existe uma regra geral para definir comprimento de corda ideal, a primeira estimativa depende de um processo de tentativa e erro. O comprimento de corda pode ser considerado fixo, onde o valor é constante ao longo de todo o processo do Método da Corda, ou variável, no qual seu valor varia durante o processo incremental. A magnitude do primeiro comprimento de corda incremental ( l) pode ser um valor arbitrado pelo analista antes do início do processo ou esta magnitude apropriada pode

52 3.4 Comprimento de Corda Incremental 36 ser calculada no início do processo de acordo com a Equação l = (δp 0 t ) T δp 0 t (3.49) onde δp 0 t é o vetor de deslocamento iterativo calculado no início do processo do Método da Corda, o que justifica o índice sobreposto 0. Para os demais passos incrementais o comprimento de corda l, caso seja variável, pode ser determinado de forma automática durante o processo incremental através do procedimento chamado de passo de dimensionamento automático 10. Este procedimento tem como finalidade mensurar o grau de não linearidade da trajetória de equilíbrio. Esta técnica leva ao fornecimento de pequenos incrementos quando a resposta é mais não-linear e de grandes incrementos quando a resposta é mais linear. O algoritmo deste procedimento ajusta o tamanho do próximo incremento através de uma relação entre o comprimento de corda incremental no passo atual e número de iterações necessários para alcançar a convergência. Esta técnica foi desenvolvida por Crisfield (1981) e é dada pela Equação ( ) n ( Id Id l i = l 0 = l 0 I 0 I 0 ) 1 /2 (3.50) onde l i é o novo comprimento de corda incremental, l 0 é o comprimento de corda incremental no passo atual, I 0 é número de iterações requeridas e I d o número de iterações desejadas. Nota-se que estas duas últimas variáveis são definidas pelo usuário no início do processo. Ainda na Equação 3.50, observa-se que o parâmetro n foi considerado como 0,5 por Ramm (1981), com o intuito de evitar que ocorram rápidas oscilações no comprimento de corda incremental l. Caso raízes complexas sejam encontradas o comprimento de corda deve ser reduzido e o processo do Método da Corda reiniciado. O procedimento utilizado para reduzir este comprimento de corda é chamado de corte automático de incremento 11, e é dado 10 Termo traduzido livremente do original em inglês: Automatic step sizing. 11 Traduzido livremente do inglês: automatic increment cutting.

53 3.4 Comprimento de Corda Incremental 37 pela Equação l i+1 = β l i (3.51) onde, β é um escalar com valor definido entre 0,1 β 0,5 (3.52) O corte automático de incremento também é utilizado quando o sistema não alcança a convergência após atingir o número máximo de iterações permitidas, cujo valor é adotado no início do processo.

54 38 4 Otimização do Método da Corda Nos Capítulos anteriores foram descritas e formuladas todas as etapas referentes ao Método da Corda. Foi visto que existem alguns pontos que podem dificultar o bom funcionamento deste método. Por conta disso, e o objetivo deste Capítulo consiste sistematicamente em apresentar soluções para tais imperfeições. Como já foi supracitado na Seção 3.4, ainda não existe na literatura um método específico com a finalidade de determinar e controlar o tamanho apropriado para o comprimento de corda ao longo do passo incremental no Método da Corda. Este é um critério muito importante para o desenvolvimento dos métodos de continuação, pois o tamanho do comprimento de corda irá afetar todos os passos necessários para circunscrever a trajetória de solução considerada. Além disso, a cada passo incremental, este também afetará o número de iterações de equilíbrio requeridas para alcançar convergência no passo corretor e, ainda, poderá afetar o custo total para traçar toda a trajetória. As técnicas apresentadas na Seção 3.4 para determinar e controlar o tamanho do comprimento de corda levam a procedimentos que trabalham razoavelmente bem para problemas com suaves não linearidades. Todavia, apresentam algumas dificuldades em estruturas que possuem mudanças repentinas e fortes não linearidades em suas trajetórias de equilíbrio. Também é importante ressaltar que, caso o comprimento de corda seja mal dimensionado, há possibilidade de raízes complexas aparecerem. Um dos pontos chave em um algoritmo de Método da Corda diz respeito à escolha correta do sinal do parâmetro de carregamento incremental na primeira iteração em

55 4 Otimização do Método da Corda 39 cada passo incremental-iterativo. Entretanto, conforme a Seção 3.3, existem vários critérios propostos na literatura para tal determinação, porém nenhum com desempenho satisfatório. A escolha incorreta deste sinal inevitavelmente levará a uma resposta indesejada e, consequentemente, causará a falência do método ou por divergência no passo corretor ou pelo retorno da trajetória (doubling back) em pontos previamente calculados. Isto normalmente acontece na presença de pontos limites e de bifurcação, principalmente quando as estruturas possuem comportamentos fortemente não lineares. Finalmente, quanto aos problemas de retorno da trajetória (doubling back) em pontos já convergidos, estes podem ocorrer em qualquer estágio de um método de continuação e caracterizam-se como o "fenômeno"mais indesejável que pode ocorrer em um método de continuação. Este fenômeno ocorre quando, por alguma razão, uma solução atual (representada por esta letra k), converge para uma solução já calculada anteriormente (k 1), ao invés de convergir para a próxima solução desejada (k +1). Quando isto ocorre não é possível traçar a trajetória de equilíbrio completa da estrutura em questão. Em geral, o doubling back pode ocorrer apenas se uma estimativa inicial ruim é construída no estágio previsor do método, onde o critério para a escolha do incremento de carregamento inicial correto não funciona apropriadamente. Dessa forma, o doubling back pode ser evitado se um critério correto for válido. Na realidade, a ocorrência dos doubling backs se dão através da deficiência entre o parâmetro de trajetória usado e o verdadeiro comprimento de corda, o qual aumenta quando as características não lineares se tornam mais intensas. A única maneira para diminuir esta deficiência é adaptar uma estratégia própria de controle do comprimento de corda, tal que a mudança entre quaisquer duas soluções adjacentes não sejam muito acentuadas. A escolha de um preditor tangente próximo à solução desejada garantirá encontrar um corretor adequado. Para que os problemas descritos acima sejam resolvidos, serão propostos, nas pró-

56 4.1 Método da Corda Acumulado 40 ximas seções, dois métodos que serão acrescentados ao Método da Corda. Um método define um comprimento de corda incremental e o outro propõe um novo critério de determinação do sinal do previsor. Primeiramente, será proposto o Método da Corda Acumulado, desenvolvido por Teng e Luo (1998). Este método possui parâmetros de controle do comprimento de corda e é muito estável, mesmo em estruturas com comportamentos estruturais fortemente não lineares. O segundo método foi desenvolvido por Feng et al. (1995) e diferencia-se dos demais por determinar o sinal apropriado (positivo ou negativo), levando em consideração o histórico do comportamento da trajetória de equilíbrio em questão. Ao modificar o Método da Corda utilizando estes dois métodos, os problemas acima citados serão resolvidos. Este novo método possui maior estabilidade de execução e garante que a trajetória de equilíbrio de uma estrutura seja sempre obtida, não importando qual o seu grau de não linearidade. 4.1 Método da Corda Acumulado O Método da Corda Acumulado é uma forma melhorada do método da Corda, de forma que ele possa alcançar a convergência para fatores de carga predefinidos, pontos de bifurcação previstos ou valores predefinidos de qualquer outros parâmetros que estejam em função do carregamento. Com o objetivo de aumentar o controle do usuário sobre o Método da Corda, Teng e Lou (1997) propuseram que um novo parâmetro fosse acrescentado ao método da corda convencional. Este novo parâmetro foi chamado de comprimento de corda acumulado 1. Ao agregar este parâmetro ao Método da Corda, este passou a se denominar Método da Corda Acumulado 2. 1 Na nomenclatura inglesa, diz-se accumulated arc length. 2 Na nomenclatura inglesa: Accumulated Arc-Length Method.

57 4.1 Método da Corda Acumulado 41 A teoria utilizada por Teng e Lou (1997) foi primeiramente proposta por Riks (1984) para o cálculo de pontos críticos em uma trajetória de equilíbrio. A principal motivação para utilizar o comprimento de corda acumulado neste trabalho, se baseia no ganho de eficiência para a convergência em pontos críticos. Além disso, com o advento deste parâmetro, é eliminada a possibilidade de retorno da trajetória em pontos que já foram convergidos anteriormente. Quando não existe a necessidade de monitorar o comportamento de uma determinada estrutura para um determinado fator de carga, seja para ter acesso às características de uma estrutura para um determinado nível de carga ou para que o Método da Corda Acumulado inicie desde o primeiro passo iterativo, o valor para o fator de carregamento predefinido pode ser considerado nulo O Comprimento da Corda Acumulado A idéia essencial do Método da Corda Acumulado é, inicialmente, utilizar o Método da Corda Convencional para traçar a trajetória de equilíbrio de uma determinada estrutura. Durante esta execução, um monitoramento contínuo do processo é realizado para observar o fator de carga convergido. Este monitoramento é uma poderosa ferramenta de controle do usuário ao processo. Quando este fator convergido se aproximar do fator de carga predefinido, o Método da Corda Acumulado é imediatamente acionado. Para incluir este processo no método da corda convencional, ele deve ser modificado. Isso se torna possível através do conceito do comprimento de corda acumulado. O comprimento da corda acumulado é definido como a soma de todos os incrementos de comprimento do corda l calculados até o momento presente, incluindo o fator de carga atual. Sua representação é ilustrada pela Equação 4.1. L i = i l k (4.1) k=1 O parâmetro L i é o comprimento do arco acumulado no passo de carga atual i e l k

58 4.1 Método da Corda Acumulado 42 é o comprimento da corda incremental do método da corda convencional no passo de carga k. O parâmetro L representa o estado atual da estrutura e depende não apenas das características da estrutura e seus carregamentos, mas também do processo incremental de carga durante a análise. Para que seja possível modificar o método da corda convencional, um novo parâmetro γ é definido como γ(l i ) = λ i λ d (4.2) onde λ i é o fator de carregamento convergido (no método da corda convencional) no passo de carregamento incremental i e λ d é o fator de carregamento predefinido 3 que será introduzido pelo analista no início do processo. Nota-se que, por simplicidade de representação na formulação do Método da Corda Acumulado proposto por Teng e Luo (1998), a convergência é requerida apenas para um fator de carga predefinido. Em uma única análise, vários fatores de carga poderão ser predefinidos. O processo relativo ao Método da Corda Acumulado é iniciado quando, através da escolha de um critério de aproximação racional, o fator de carregamento convergido (λ i ) aproxima-se do fator de carregamento predefinido (λ d ). Contudo, neste trabalho, pode se assumir que o valor para o fator de carregamento predefinido seja negligenciado (λ d = 0), fazendo com que o Método Acumulado se inicie junto com o Método da Corda Convencional. Para que o Método da Corda convencional seja modificado, calcula-se um comprimento da corda desejado, representado por l d, para o passo de carga incremental seguinte (i+1). Para isso, o comprimento de corda acumulado desejado, L d, deve satisfazer a Equação 4.3. γ(l d ) = 0 (4.3) 3 O índice d deriva-se da palavra inglesa "desired", porém aqui será utilizado como predefinido.

59 4.1 Método da Corda Acumulado 43 A Equação 4.4 define o comprimento de corda acumulado desejado. L d = L i+1 = L i + l i+1 = L i + l d (4.4) onde, l d representa o comprimento de corda desejado para o próximo passo incremental. Utilizando a expressão de expansão da Série de Taylor de forma truncada para a Equação 4.3, temos γ(l d ) = γ(l i + l d ) = γ(l i ) + dγ(l i) dl l d + 1 d 2 γ(l i ) 2 dl 2 l 2 d +... = 0 (4.5) A Equação 4.5 permite encontrar uma aproximação para o comprimento do corda incremental desejado ( l d ). Neste trabalho serão apresentadas três formas distintas de aproximação para este comprimento, todas estas foram também propostas por Teng e Lou (1997) Aproximação Quadrática Nesta aproximação, apenas os termos truncados até a segunda ordem da Equação 4.5 são considerados, sendo que os termos de terceira ordem e superiores são omitidos. Portanto, a equação quadrática é, deste modo, ilustrada pela Equação 4.6. γ(l i ) + dγ(l i) dl l d + 1 d 2 γ(l i ) 2 dl 2 l 2 d = 0 (4.6) As derivadas de γ em relação à L, da Equação 4.6, são obtidas utilizando aproximação por diferenças finitas regressivas. dγ(l i ) dl = γ (L i) γ (L i 1 ) L i L i 1 (4.7)

60 4.1 Método da Corda Acumulado 44 d 2 γ(l i ) dl 2 = dγ(l / i) dl dγ(li 1 ) / dl (4.8) L i L i 1 dγ(l i 1 ) dl = γ (L i 1) γ (L i 2 ) L i 1 L i 2 (4.9) As derivadas referem-se ao passo de carregamento incremental atual (i) e ao passo de carga incremental anterior a este (i 1). A substituição de 4.2 em 4.7 e 4.9, respectivamente, leva às Equações 4.10 e dγ(l i ) dl = λ i λ i 1 L i L i 1 (4.10) dγ(l i 1 ) dl = λ i 1 λ i 2 L i 1 L i 2 (4.11) Para o desenvolvimento da Equação 4.8, considera-se os resultados das derivadas de primeira ordem obtidos pelas Equações 4.10 e 4.11, que são substituídas na Equação 4.8, resultando na Equação d 2 γ(l i ) dl 2 = λ i λ i 1 (L i L i 1 ) 2 λ i 1 λ i 2 (L i 1 L i 2 )(L i L i 1 ) (4.12) A expressão final da aproximação quadrática é obtida introduzindo os resultados das derivadas de primeira e segunda ordem dadas pelas Equações 4.10, 4.11 e 4.12, respectivamente, na Equação 4.6. Com isso, b 1 l 2 d + b 2 l d + b 3 = 0 (4.13) Os coeficientes b 1, b 2 e b 3 são definidos pelas Equações 4.14, 4.15 e 4.16, respectiviamente. ( ) b 1 = 1 λ i λ i 1 2 (L i L i 1 ) 2 λ i 1 λ i 2 (L i 1 L i 2 )(L i L i 1 ) (4.14)

61 4.1 Método da Corda Acumulado 45 ( ) λi λ i 1 b 2 = L i L i 1 (4.15) b 3 = (λ i λ d ) (4.16) A Equação 4.13 permite encontrar o novo comprimento de corda incremental do passo (i + 1) para alcançar o nível de carga predefinido. Contudo, por ser uma equação quadrática, existem duas raízes possíveis para l d. A raiz apropriada é aquela que mais se aproxima da solução linear. Para tanto, comparam-se as duas raízes, em termos de valores absolutos, e a raiz apropriada é, em geral, muito menor do que a outra raiz. Observa-se que os valores absolutos são utilizados, pois o sinal de l d pode ser positivo ou negativo dependendo da localização do ponto desejado. Raízes imaginárias (ou complexas), teoricamente, podem ser obtidas em alguns casos especiais, quando o valor de dγ(l i ) / dl se aproxima de zero. Não obstante, conforme os autores Teng e Luo (1998), esta possibilidade raramente ocorre em cálculos numéricos. Em suas simulações numéricas este tipo de problema nunca ocorreu Aproximação Linear A aproximação linear do comprimento do arco incremental desejado, l d, é encontrada de forma análoga à aproximação quadrática (Seção 4.1.2). No entanto, consideramse apenas os termos lineares da Equação 4.5. Com isso, tem-se que Substituindo as Equações 4.10 e 4.2 na Equação 4.17, obtém-se a seguinte expressão γ(l i ) + dγ(l i) dl l d = 0 (4.17) ( ) λi λ i 1 (λ i λ d ) + l d = 0 (4.18) L i L i 1

62 4.1 Método da Corda Acumulado 46 Afim de simplificar a Equação, isola-se o l d na Equação 4.18, resultando em l d = λ d λ i λ i λ i 1 (L i L i 1 ) = λ d λ i λ i λ i 1 l i (4.19) Finalmente, a Equação 4.19 ilustra é a forma final da equação de aproximação linear de l d. Em consequência de sua linearidade, apenas um valor para l d será encontrado. A aproximação linear é uma opção vantajosa, devido à sua maior estabilidade por determinar apenas uma raiz. Com isso, menos esforço computacional será demandado. A aproximação linear tem como principal vantagem a não geração de raízes complexas na solução do problema Aproximação Quadrática Alternativa Teng e Luo (1998) propuseram uma formulação alternativa à aproximação quadrática desenvolvida na Seção 4.1.2, considerando-a mais vantajosa, pois há escolha da raiz apropriada e não há possibilidade de gerar raízes complexas. Nesta formulação, o comprimento de corda acumulado (L) é definido em função do fator de carga, como mostra a Equação L = L(λ) (4.20) Após a convergência do fator de carga λ i, no final do passo de carregamento i, o comprimento de corda acumulado é igual a L i. Adicionalmente, expande-se o comprimento de corda acumulado desejado (L d ) em função do comprimento de corda atual (L i ) através da expressão de expansão da Série de Taylor de forma truncada. L d = L(λ d ) = L(λ i + λ d ) = L i + dl i dλ λ d + 1 d 2 L i 2 dλ 2 λ d (4.21) onde λ d = λ d + λ i (4.22)

63 4.1 Método da Corda Acumulado 47 Considerando apenas os termos de primeira e segunda ordem da Equação 4.21, a expressão para o comprimento da corda incremental desejado ( λ d ) é dada pela Equação l d = L d L i = dl i dλ λ d + 1 d 2 L i 2 dλ 2 λ d 2 (4.23) Novamente, para resolver as derivadas de L com relação a λ, utiliza-se a expressão de diferenças finitas regressivas. dl i dλ = L i L i 1 λ i λ i 1 (4.24) d 2 L i dλ 2 = dl / / i dλ dli 1 dλ (4.25) λ i λ i 1 dl i 1 dλ = L i 1 L i 2 λ i 1 λ i 2 (4.26) No entanto, substituindo as Equações 4.24 e 4.26 na Equação 4.25, tem-se d 2 L i dλ 2 = L i L i 1 (λ i λ i 1 ) 2 L i 1 L i 2 (λ i λ i 1 )(λ i 1 λ i 2 ) (4.27) Finalmente, a Equação para a aproximação alternativa é obtida substituindo as Equações 4.24 e 4.27 na Equação ( l d = L i L i 1 λ i λ i 1 λ d L i L i 1 (λ i λ i 1 ) 2 L i 1 L i 2 (λ i λ i 1 )(λ i 1 λ i 2 ) ) λ d 2 (4.28) Com isso, conclui-se que, ao utilizar o comprimento da corda acumulado (L) em função do fator de carga (λ), a equação final não se torna quadrática, pois o valor do fator de carga (λ d ) é conhecido. Nota-se que, se apenas os termos lineares da Equação 4.23 forem considerados, encontra-se uma aproximação linear para o comprimento do corda incremental idêntica à Equação 4.19 da Seção

64 4.1 Método da Corda Acumulado Parâmetros de Controle O Método da Corda Acumulado completa-se com a adição de dois novos parâmetros que controlam o seu funcionamento. Estes, que são nomeados de parâmetros de controle, são de essencial importância para o método e desempenham as seguintes funções: controlar o comprimento da corda incremental e controlar o fator de carga convergido. Como já mencionado anteriormente, o Método da Corda Acumulado só é acionado através da análise da magnitude entre o fator de carga convergido e o fator de carga predefinido. Para tanto, adiciona-se um critério de aproximação (α) entre estes fatores, critério este que deve ser imposto pelo usuário no início do método. O parâmetro de controle de carregamento determina quando o Método da Corda Acumulado será ativado, através do monitoramento, a cada passo incremental, do fator de carga convergido. λ d λ i α (4.29) A análise da diferença entre o fator de carga convergido (λ i ) e o fator de carga predefinido (λ d ) impõe que, quando esta diferença for menor ou igual ao critério de aproximação α, o Método da Corda Acumulado deve ser acionado. Quando este for acionado, será calculado o comprimento de corda desejado através de uma das aproximações mencionadas nas seções anteriores. Consequentemente, haverá dois comprimentos de corda diferentes, um dado pelo método convencional ( l) e o outro pelo método acumulado ( l d ). Portanto, faz-se necessário adicionar outro parâmetro de controle ao processo para determinar qual o comprimento de corda mais apropriado para ser utilizado na continuação do método. E este é designado por parâmetro de controle de comprimento de corda, que por sua vez, analisa a magnitude de l d e l e determina qual o comprimento de corda que

65 4.2 Novo Método Previsor 49 será utilizado para o próximo passo, do seguinte modo, l < l d l ou l > l d l d (4.30) O comprimento de corda ideal será, sempre, o de menor magnitude entre os dois comprimentos encontrados. Isso se deve ao fato de que grandes comprimentos de corda podem levar o método mais facilmente à divergência. A cada passo incremental, o parâmetro de controle de carga será acionado e, caso o Método da Corda Acumulado seja solicitado, o parâmetro de controle de comprimento de corda também será utilizado. Deste modo, observa-se que os parâmetros de controle são essenciais para o funcionamento do Método da Corda Acumulado. O Método da Corda Acumulado também pode ser utilizado para alcançar convergência de valores predefinidos de outros parâmetros, como por exemplo, deslocamentos ou tensões. Logo, troca-se apenas as variáveis de carregamento (λ) pelas variáveis correspondentes ao parâmetro que será analisado. 4.2 Novo Método Previsor Nesta seção, será apresentado o critério proposto por Feng et al. (1995) para determinar o sinal correto para o fator de carregamento incremental. Este critério produz uma previsão muito confiável para a próxima direção que a trajetória de equilíbrio deverá seguir. Apenas por conveniência, a Equação 3.46, que calcula o incremento de carga para o próximo passo, será reescrita aqui. λ 1 l = s (δp 0 t ) t δp 0 t (4.31) A letra s representa o sinal (+ ou ) que acompanhará a equação. Portanto, esta equação terá duas soluções possíveis que, por sua vez, definem duas direções tangentes

66 4.2 Novo Método Previsor 50 e opostas uma à outra e, com uma delas, o procedimento retornará à solução anterior. Como já mencionado, o critério mais utilizado para determinar o sinal do fator de carga é dado pelo determinante da matriz de rigidez da estrutura. s( λ 1 ) = s(det(k t )) (4.32) Contudo, o método proposto pela Equação 4.32 só funciona adequadamente no Método da Corda a partir do início do seu processamento até o instante em que o ponto de bifurcação é encontrado. Por conta disso, um novo critério foi desenvolvido por Feng et al. (1995, 1996), para a escolha do sinal adequando para o fator de carga incremental Critério do Produto Interno Segundo Neto e Feng (1999), a maioria dos critérios desenvolvidos para determinar o sinal do fator de carga incremental dependem exclusivamente de informações relativas ao ponto de equilíbrio atual (no início do incremento). Consequentemente, a escolha do sinal é feita sem considerar o histórico da trajetória de equilíbrio atual. Em situações nas quais as estruturas possuem comportamentos fortemente não lineares, a escolha de tais critérios resultam na predição errada da direção das trajetórias de equilíbrio para o primeiro passo incremental. Diante disso, Feng et al. (1995, 1996) propuseram um critério diferente para a determinação do sinal de λ ao considerar a história da trajetória de equilíbrio atual da estrutura, evitando o erro de predição na direção das trajetórias de equilíbrio. Neste critério, o sinal do fator de carga previsto deve coincidir com o sinal do produto interno 4 entre o vetor de deslocamento incremental convergido no passo anterior, p, e o vetor de deslocamento tangencial iterativo do passo atual, δp t, como mostra a 4 Produto Interno é uma operação algébrica entre dois vetores.

67 4.2 Novo Método Previsor 51 Equação sinal( λ 1 ) = sinal( p T δp t ) (4.33) Desta forma, este método foi nomeado de critério do produto interno. O ponto fundamental relativo a este critério se deve ao fato de que o p carrega consigo informações sobre a história da trajetória de equilíbrio atual. A fim de continuar traçando a trajetória atual sem retornar aos pontos previamente convergidos, a ideia básica deste critério requer que o vetor de deslocamento do incremento inicial esteja sempre em direção crescente na trajetória, obedecendo a condição mostrada pela Equação λ p T δp t > 0 (4.34) Além disso, o produto positivo entre p T e δp t indica que o fator de carga está, a cada nova iteração, aumentando de valor, de forma que o sinal positivo deva ser escolhido para o previsor λ 1 continuar seguindo a trajetória de equilíbrio atual. Similarmente, caso o produto entre p T e δp t for negativo, o valor do fator de carga irá decrescer e, assim, o sinal negativo deve ser escolhido para λ 1. A importância de se considerar o histórico da trajetória de equilíbrio pode ser provada através de argumentos geométricos. Para tanto, sabe-se que o vetor de deslocamento tangente δp t já definido pela Equação??b, será repetido aqui, é dado pela Equação δp t = (K t ) 1 q ef (4.35) O vetor δp t é um vetor tangente à trajetória de equilíbrio no eixo dos deslocamentos. Este vetor aponta para a direção do gradiente positivo de λ, fornecendo a informação da direção ao longo da qual o fator de carga aumenta. Isso mostra que esta direção está associada com a escolha positiva de λ. Desta forma, o vetor δp t indica a nova direção da trajetória de equilíbrio atual. Por outro lado, o vetor de deslocamento incremental p é um vetor secante à trajetória de equilíbrio e, quando suficientemente pequeno, dá uma aproximação satisfatória

68 4.2 Novo Método Previsor 52 da curva de solução dentro do intervalo. O valor de p, deste modo, se aproxima da história da trajetória de equilíbrio dentro de um dado intervalo. O vetor δp t precisa ser suficientemente pequeno para determinar precisamente a próxima direção da trajetória, esta necessidade sempre será mantida, pois uma limitação para o tamanho máximo deste vetor é imposta pelo comprimento de corda incremental. Além do mais, observa-se que critério desenvolvido por Feng torna-se insensível à presença de pontos de bifurcação e de pontos limites, assim como as dificuldades associadas ao critério baseado no sinal do determinante de Kt e as trajetórias com acentuados snap-backs.

69 53 5 Simulação Numérica Neste capítulo, serão apresentadas simulações numéricas computacionais necessárias para validar os métodos propostos e formulados neste trabalho. Para tais simulações utilizam-se estruturas em formato de treliça discretizadas através da Teoria Geometricamente Exata, proposta no Capítulo 2. As estruturas aqui utilizadas foram desenhadas utilizando um programa de pré e pós processamento em elementos finitos chamado GID. Este programa é ideal para gerar toda a informação requerida através de uma análise numérica estrutural porém, neste trabalho, utiliza-se apenas as ferramentas de geração de malha para variadas estruturas. Em seguida, foi criada uma interface para a transferência de dados entre o GID e o programa do Método da Corda desenvolvido em ambiente Matlab, utilizando um problem type chamado MAT-fem. 5.1 Métodos Previsores O desempenho dos métodos previsores serão provados por meio de uma análise comparativa dos seus comportamentos utilizando o Método da Corda Cilíndrico Treliça de duas barras geometricamente simétricas A primeira estrutura utilizada é a treliça simples de duas barras geometricamente simétricas, como mostra a Figura 5.1. Esta treliça foi discretizada em dois elementos

70 5.1 Métodos Previsores 54 de barra e possui material de comportamento elástico linear, cujo o Módulo de Elasticidade é igual a A seção transversal da barra é igual a 20 e as demais características geométricas são mostradas na Figura 5.1. Esta estrutura também possui uma carga unitária, aplicada ao seu quarto grau de liberdade global, que será aumentada incrementalmente. Figura 5.1: Treliça com duas barras simétricas e carga aplicada Na primeira simulação realizada, utilizou-se o método previsor baseado no sinal do determinante da matriz de rigidez da estrutura K t (Seção 3.3.1). A trajetória de equilíbrio desta estrutura encontra-se na Figura 5.2. Figura 5.2: Diagrama de carga-deformação da treliça utilizando o previsor det(k t ).

71 5.1 Métodos Previsores 55 Nesta figura, também foi plotado o determinante de K t para uma avaliação do seu comportamento ao longo do processo. Em seguida, utilizou-se o método previsor chamado de Critério do Produto Interno, apresentado na Seção 4.2. A Figura 5.3 ilustra o diagrama de carga-deformação utilizando este previsor e também o determinante de K t. Figura 5.3: Diagrama de carga-deformação da treliça utilizando o Critério do Produto Interno. Observa-se na Figura 5.4, que a estrutura comportou-se de forma muito uniforme ao utilizar os dois métodos, de modo que a trajetória de equilíbrio convergiu exatamente nos mesmos pontos. Deste modo, pode-se concluir que este exemplo não é indicado para a avaliação de desempenho dos Métodos Previsores por não apresentar situações fortemente não lineares.

72 5.1 Métodos Previsores 56 Figura 5.4: Comparação dos Diagramas carga-deformação da treliça utilizando os dois métodos Domo em forma de estrela A segunda estrutura se refere a um domo em treliça espacial com o formato de uma estrela, como mostra a Figura 5.5. Este domo já foi proposto na literatura por Crisfield (1997) e Wriggers (2008) e possui, como característica, um comportamento fortemente não linear. Este domo possui material elástico não linear de St. Venant com Módulo de Young igual a Quanto a sua geometria, os nós externos do domo estão localizados em um círculo de raio igual a 50 e os nós internos em um círculo de raio igual a 25. Os nós internos estão localizados a uma altura de 6.216, enquanto os nós do centro do domo estão a uma altura de Nesta estrutura, os nós externos estão simplesmente apoiados e o ponto de carga unitária aplicada situa-se no topo do Domo, conforme a Figura (5.5). Assim como no exemplo anterior, foi aplicado, primeiramente, o Método da Corda

73 5.1 Métodos Previsores 57 Figura 5.5: Domo tridimensional em forma de estrela. Cilíndrico, utilizando o previsor baseado no sinal do determinante de K t. O comportamento desta estrutura encontra-se na Figura 5.6. Figura 5.6: Diagrama de carga-deformação do Domo utilizando o previsor det(k t ). Observa-se que, circunstancialmente, não foi possível completar a trajetória de equilíbrio completa desta estrutura. Após o incremento de número 83 o Método da Corda retorna ao passo incremental anterior e fica oscilando entre os passos 82 e 83 até o término do Método.

74 5.2 Métodos Corretores 58 Em seguida, foi aplicado o Método da Corda Cilíndrico utilizando o Critério do Produto Interno proposto por Feng et al. (1995). A trajetória de equilíbrio desta estrutura é mostrada pela Figura 5.7. Figura 5.7: Diagrama de carga-deformação utilizando o Critério do Produto Interno. Desta vez, a trajetória de equilíbrio foi completamente traçada, utilizando para isso um total de 315 passos incrementais. A Figura 5.7 também mostra a trajetória de comportamento do determinante de K t. Nota-se que a trajetória de equilíbrio do domo possui um comportamento fortemente não linear com vários snap-through e snap-backs. Devido a este fato, o método previsor que utiliza o sinal o determinante de K t não consegue traçar completamente a trajetória. 5.2 Métodos Corretores Nesta seção, os Métodos Corretores descritos na Seção 3.2 terão seus desempenhos testados e comparados. Duas estruturas com comportamentos diferentes serão utilizadas. Uma delas diz respeito a um Domo, em formato de estrela (já apresentado na Seção 5.2.1), e a outra corresponde a um arco circular bidimensional.

75 5.2 Métodos Corretores Domo em forma de estrela As propriedades materiais e geométricas do domo espacial, em formato de estrela (Figura 5.5), foram apresentadas na Seção Primeiramente, foi aplicado a esta estrutura o Método da Corda com equação de restrição cilíndrica desenvolvido por Crisfield (1981). O diagrama de carga-deformação encontra-se na Figura 5.8. Figura 5.8: Trajetória de equilíbrio com pontos convergidos do Domo utilizando o Método da Corda Cilíndrico. Ao utilizar esta equação de restrição cilíndrica, a trajetória de equilíbrio da estrutura é traçada utilizando 315 passos incrementais. A cada passo incremental, são necessários, em média, 2 passos iterativos para alcançar a convergência. Esta relação de incrementos-iterações é ilustrada pela Figura 5.9. Do mesmo modo, aplicou-se nesta estrutura o Método Corretor desenvolvido por Schweizerhof e Wriggers (1986). A trajetória de equilíbrio do domo é mostrada através do diagrama de carga-deformação da Figura 5.10.

76 5.2 Métodos Corretores 60 Figura 5.9: Diagrama de convergência do Domo no Método da Corda Cilíndrico. Figura 5.10: Trajetória de equilíbrio com pontos convergidos do Domo utilizando o Método de Schweizerhof-Wriggers. Quanto ao desempenho, para se obter a mesma trajetória de equilíbrio do Método Cilíndrico, foram necessários 465 passos incrementais. A taxa de convergência por passo incremental ficou com uma média de 3 passos iterativos, como ilustra a Figura 5.11.

77 5.2 Métodos Corretores 61 Figura 5.11: Wriggers. Diagrama de convergência do Domo no Método de Schweizerhof- Na Figura 5.12, são assinalados alguns pontos convergidos da trajetória de equilíbrio. As configurações deformadas do domo, referente a esses pontos, são apresentadas em vermelho nas Figuras de 5.13 a Figura 5.12: Trajetória de equilíbrio do domo com pontos de deformação.

78 5.2 Métodos Corretores 62 Figura 5.13: Estado deformado do domo no ponto A. Figura 5.14: Estado deformado do domo no ponto B. Figura 5.15: Estado deformado do domo no ponto C.

79 5.2 Métodos Corretores 63 Figura 5.16: Estado deformado do domo no ponto D. Figura 5.17: Estado deformado do domo no final da trajetória de equilíbrio Arco Circular bidimensional A segunda análise retrata uma estrutura de arco circular bidimensional em treliça (Figura 5.18), já proposto na literatura por Crisfield (1997). Este arco possui 101 barras, totalizando 42 nós. O Módulo de Young considerado é igual a Quanto às características geométricas, as barras externas estão localizadas em um raio com valor igual a 50 e as barras internas em um raio igual a 48. Este arco está engastado em suas duas extremidades e o ponto de carga unitária aplicada

80 5.2 Métodos Corretores 64 situa-se no centro do arco, conforme a Figura R=48 Figura 5.18: Arco circular treliçado. Do mesmo modo, aplicou-se a esta estrutura o Método da Corda com equação de restrição cilíndrica. Consequentemente, foi obtido o diagrama de carga-deformação, como ilustra a Figura Figura 5.19: Trajetória de equilíbrio do Arco utilizando o Método da Corda Cilíndrico. Para traçar completamente a trajetória de equilíbrio da estrutura, foram necessários 670 passos incrementais. O diagrama carga-deformação com os pontos convergidos é

81 5.2 Métodos Corretores 65 mostrado na Figura Além disso, foram utilizados, em média, 3 passos iterativos para alcançar a convergência em cada incremento, como ilustra a Figura Figura 5.20: Trajetória de equilíbrio do Arco, com pontos convergidos, utilizando o Método da Corda Cilíndrico. Figura 5.21: Diagrama de convergência do Arco no Método da Corda Cilíndrico. Ao se utilizar o Método Corretor através da equação de restrição de Schweizerhof- Wriggers, a trajetória de equilíbrio do arco é mostrada pela Figura 5.22.

82 5.2 Métodos Corretores 66 Figura 5.22: Diagrama de carga-deformação do Arco utilizando o Método de Schweizerhof-Wriggers. Quanto ao desempenho, foram necessários 692 passos incrementais para traçar totalmente a trajetória de equilíbrio, conforme a Figura Figura 5.23: Diagrama de carga-deformação do Arco, com pontos convergidos, utilizando o Método de Schweizerhof-Wriggers.

83 5.2 Métodos Corretores 67 A Figura 5.24 apresenta um diagrama com a relação entre os incrementos e as iterações convergidas. Foram necessários uma média de 4 passos iterativos para alcançar a convergência em cada passo incremental. Figura 5.24: Diagrama de convergência do Arco no Método de Schweizerhof-Wriggers. Novamente, a configuração deformada da estrutura em alguns pontos convergidos da trajetória de equilíbrio (Figura 5.25), são apresentadas pelas Figuras de 5.26 a Figura 5.25: Trajetória de equilíbrio do Arco com pontos de deformação.

84 5.2 Métodos Corretores 68 Figura 5.26: Estado deformado do arco no ponto A. Figura 5.27: Estado deformado do arco no ponto B.

85 5.2 Métodos Corretores 69 Figura 5.28: Estado deformado do arco no ponto C. Figura 5.29: Estado deformado do arco no ponto D.

86 5.2 Métodos Corretores 70 Figura 5.30: Estado deformado do arco no ponto E. Figura 5.31: Estado deformado do arco no ponto F.

87 5.3 Método Acumulado 71 Figura 5.32: Estado deformado do arco no final do processo. 5.3 Método Acumulado Nesta seção, será implementado o Método da Corda Acumulado descrito na Seção 4.1. Para tanto, é utilizada uma estrutura em treliça no formato de um cilindro. Esta estrutura será pressionada por duas forças concentradas, de forma que esteja em condições que simulam o amassamento de uma lata de cerveja pelos dedos de uma pessoa (Figura 5.33). Este tipo de estrutura já foi utilizado por Campello (2005) e por Tiago (2007), com a ressalva de ter sido empregado elementos de casca na modelagem. Este exemplo é conhecido na literatura como pinched cylinder. Não obstante, foi levado ao contexto de uma lata de cerveja por Campello (2005). As propriedades geométricas do cilindro são apresentadas na Figura A seção transversal considerada é igual a 1 e o Módulo de Young adotado é igual a Foram aplicadas duas forças opostas e concentradas no meio do cilindro e os graus de liberdade das extremidades são restringidos. Além disso, o cilindro foi discretizado em

88 5.3 Método Acumulado 72 Figura 5.33: Propriedades geométricas do cilindro (CAMPELLO, 2005). 596 barras de treliça e possui 152 nós, como ilustra a Figura Figura 5.34: Barras de treliça do cilindro. Em primeiro lugar, será comparado o desempenho do Método da Corda Acumulado em relação ao Método da Corda Cilíndrico. Para tanto, a estrutura cilíndrica foi submetida à análise pelo Método da Corda Cilíndrico, cujo diagrama de carga-deformação é mostrado pela Figura Do mesmo modo, a estrutura foi submetida à análise pelo Método da Corda Acumulado sem se considerar um carregamento predefinido, ou seja, foi adotado como λ d = 0. Com isso, o Método Acumulado se inicia logo no primeiro incremento. A Figura 5.36

89 5.3 Método Acumulado 73 Figura 5.35: Diagrama de carga-deformação do cilindro utilizando o Método da Corda Cilíndrico. ilustra a trajetória de equilíbrio da estrutura utilizando este método. Quanto à análise de desempenho, o Método Cilíndrico necessita de menos passos incrementais para traçar a trajetória de equilíbrio completa, totalizando 113 passos incrementais. Fazendo uma comparação, o Método Acumulado necessita de 125 passos incrementais para traçar a trajetória até o mesmo ponto. Este último método necessita de alguns passos incrementais a mais pelo fato do comprimento de corda l calculado ser ligeiramente menor do que o comprimento de corda calculado no Método Cilindrico. Em contrapartida, o Método Acumulado possui uma taxa de convergência mais eficiente do que o Método Cilíndrico, por necessitar de menos passos iterativos para alcançar a convergência. Esta comparação pode ser vista através da Figura Deste modo, mesmo utilizando mais passos incrementais, o Método da Corda Acumulado continua sendo uma boa opção para aprimorar o Método da Corda Cilíndrico, uma vez que, a diferença de incrementos não é expressiva para comprometer o desempenho do Método da Corda. Mesmo assim, proporciona uma maior estabilidade ao

90 5.3 Método Acumulado 74 Figura 5.36: Diagrama de carga-deformação do cilindro utilizando o Método da Corda Acumulado (λ d = 0). Figura 5.37: Diagrama de comparação de convergência.

91 5.3 Método Acumulado 75 Método, melhorando a sua taxa de conversão. A partir de então, será empregado apenas o Método da Corda Acumulado, pois será testada a sua capacidade de convergir para um determinado carregamento predefinido. Serão considerados 4 valores diferentes de carregamento desejado λ d. Estes valores são: 100, 1000, 5000 e O critério de aproximação adotado é igual a α = As trajetórias de equilíbrio da estrutura com convergência em cada um dos carregamentos predefinidos λ d são apresentadas pelos diagramas de carga-deformação dados pelas Figuras de 5.38 a 5.44, respectivamente. As configurações deformadas da estrutura são apresentadas concomitantemente em relação aos seus diagramas de carga-deformação correspondentes. Figura 5.38: Diagrama de carga-deformação do cilindro para λ d = 100.

92 5.3 Método Acumulado 76 Figura 5.39: Configuração deformada do cilindro em λ d = 100. Figura 5.40: Diagrama de carga-deformação do cilindro para λ d = 1000.

93 5.3 Método Acumulado 77 Figura 5.41: Configuração deformada do cilindro em λ d = Figura 5.42: Diagrama de carga-deformação do cilindro para λ d = 5000.

94 5.3 Método Acumulado 78 Figura 5.43: Configuração deformada do cilindro em λ d = Figura 5.44: Diagrama de carga-deformação do cilindro para λ d =

95 5.3 Método Acumulado 79 Figura 5.45: Configuração deformada do cilindro em λ d = Observa-se que independente do tamanho do carregamento predefinido, esse método sempre irá alcançar a convergência neste. Quanto aos diferentes métodos de aproximação desenvolvidos, diferentemente do que Teng e Lou (1997) relataram, não apresentaram nenhuma diferença no desempenho do Método Acumulado. Deste modo, recomenda-se que o método de aproximação linear seja utilizado ao invés dos demais para evitar a possibilidade de ocorrência de futuros problemas na escolha das raízes. A configuração deformada do cilindro é mostrada, por vários ângulos, através das Figuras de 5.46 a Essa configuração deformada ocorre tanto no final do processo do Método da Corda Cilíndrico quanto do Acumulado.

96 5.3 Método Acumulado 80 Figura 5.46: Configuração atual e deformada do cilindro. Figura 5.47: Configuração deformada do cilindro, visto pelo ângulo 1.