Introdução à linguagem Prolog

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1 Introdução à linguagem Prolog Lógica Computacional 2 o ano LCC 2011/ Preâmbulo Ao longo do semestre iremos na disciplina de Lógica Computacional fazer uso da linguagem Prolog. O interpretador adoptado será o SWI-Prolog que está disponível para para a generalidade das plataformas (MS-Windows, Linux, macosx). Alguns apontadores úteis: Página web do SWI-Prolog: Manual do SWI-Prolog: Ao longo desta ficha são apresentados os conceitos elementares da linguagem Prolog. São também apresentados alguns exercícios que se recomenda que realizem e testem com o auxílio do interpretador (na aula prática teremos oportunidade de voltar a alguns deles). 2 Apresentação da linguagem Prolog 2.1 Conceitos Preliminares Termos. O Prolog é uma linguagem simbólica que manipula termos que podem ser: Variáveis denotadas por identificadores começados por letras maiúsculas (e.g. X, Y, Xs,...); Constantes átomos (identificadores começados por letras minúsculas) ou valores de tipos pré-definidos como inteiros, reais, strings, etc. (e.g. abc, xyz, 32, ); Termos Compostos termos da forma f(t1,...,tn) onde f é designado por functor (nome da função) e t1...tn são termos (e.g. xyz(x,abc), abc(abc(abc,abc)), +(4,2)) Obs.: como iremos ver adiante, o Prolog permite a declaração de operadores infixos. Assim irá permitir escrever como alternativa ao termo +(4,2) (o mesmo se aplica a outros operadores infixos que serão apresentados adiante). 1

2 Substituições e Unificação. O que caracteriza as variáveis é o facto de elas poderem vir a ser substituidas por outros termos. Considere-se o termo t(x,y): se substituirmos X por abc(a,3) e Y por Z obtemos o termos t(abc(a,3),z). Uma operação fundamental no modelo de execução do Prolog é o que se designa por Unificação de dois termos. A ideia consiste em encontrar uma substituição que iguale (se possível) os termos dados. Vejamos alguns exemplos: 1. X=4, Y=3 é um unificador dos termos abc(3,x) e abc(y,4); 2. X=4, Y=4 é um unificador dos termos abc(x,x) e abc(y,4); 3. os termos abc(3,4) e abc(x,x) não dispõe de unificador. 4. X=g(Z), Y=y é um unificador dos termos f(x,y) e f(g(z), Y). 5. X=g(a), Y=y, Z=a é um unificador dos termos f(x,y) e f(g(z), Y). Uma característica partilhada pelos unificadores apresentados nos números (1), (2) e (4) é que se tratam dos unificadores mais gerais (qualquer outra substituição que unifique os termos pode ser expressa como um refinamento da substituição dada). Já no caso do unificador apresentado em (5) essa propriedade não se verifica: facilmente se verifica que a substituição pode ser obtida quando aplicamos a substituição [Z=a] ao unificador apresentado em (4). Adiante iremos ter oportunidade de aprofundar estes aspectos mais teóricos... Para já interessa reter que oprolog, quando unificar dois termos, determina sempre o unificador mais geral (i.e. a substituição mais simples que iguala os termos). Exercício 1 Determine o unificador mais geral para os seguintes pares de termos (se existir... naturalmente): 1. f(x, g(y )) e g(x, f(y )) 2. f(x, g(y )) e Z 3. f(x, g(y)) e f(g(y), X) 4. f(x) e X 5. f(x) e f(3 + 2) 6. f(3) e f(2 + 1) 7. f(3) e A(X) 2.2 Programas em Prolog Executar um programa em Prolog consiste em interrogar o interpretador sobre a validade de um dado predicado lógico. A resposta mais simples será então true ou fail (se o predicado for válido ou não, respectivamente). 2

3 Objectivo (Goal). Quando se invoca o SWI-Prolog, surge o prompt?- que assinala que o interpretador aguarda a introdução de um objectivo (também designado por query, ou goal). Calvin:~ jba$ /opt/local/bin/swipl Welcome to SWI-Prolog (Multi-threaded, 32 bits, Version ) Copyright (c) University of Amsterdam. SWI-Prolog comes with ABSOLUTELY NO WARRANTY. This is free software, and you are welcome to redistribute it under certain conditions. Please visit for details. For help, use?- help(topic). or?- apropos(word).?- Como referimos, o objectivo será um predicado lógico. Iremos ter oportunidade de definir novos predicados mas, para já, concentremo-nos na utilização do predicado prédefinido =/2 (o /2 significa que o predicado espera dois argumentos). Este predicado será válido precisamente quando os termos que forem passados como argumentos unificarem. Assim podemos introduzir:?- =(3,3). true.?- 3=3. true.?- 3=2.?- 3=X. X = 3.?- 3+2=X. X = 3+2.?- 3 + X = Y * 2.?- Os exemplos apresentados revelam-nos duas coisas: (1) podemos utilizar a notação infixa e, (2) quando no objectivo estão envolvidas variáveis o Prolog retorna uma substituição dessas variáveis que verifiquem o predicado (ou falha, se não existir nenhuma substituição nessas condições) podemos então dizer que, intuitivamente, as variáveis dos objectivos estão quantificadas existencialmente. Exercício 2 Interrogue o interpretador de Prolog por forma a ele retornar os unificadores mais gerais atrás solicitados. 3

4 2.3 Base de Conhecimento Referimos que executar um programa em Prolog consiste em interrogar o interpretador relativamente a um objectivo. Mas, em que é que consiste um programa Prolog?. Um programa em Prolog será a base de conhecimento que o interpretador utiliza para determinar a validade do objectivo pedido. Essa base de conhecimento será consituída por: Factos: que estabelecem a validade imediata (de instâncias) de predicados; Regras: que condicionam a validade de predicados à validade de sub-objectivos. Factos. Comecemos pelos primeiros. Como exemplos de factos podemos ter: pai(joao,manuel). pai(cristina, jose). pai(joaquim,manuel). pai(francisco,joao). pai(helena,joao) Com base nestes factos, diriamos que pai(joaquim,manuel) é válido mas pai(joaquim,jose) já não o é (porque nada estabelece a sua validade). Para verificar isso com o Prolog, necessitamos de carregar a base de conhecimento no interpretador. Para tal devemos: 1. gravar um ficheiro com os factos apresentados (normalmente dá-se a extensão.pl aos ficheiros Prolog, e.g. pai.pl ); 2. carregar o ficheiro no interpretador por intermédio do predicado pré-definido consult (e.g. consult(pai.pl) ). Exercício 3 Verifique a validade de alguns objectivos com a base de conhecimento apresentada. O que acontece quando se inclui variáveis? Por vezes, o interpretador retorna uma substituição de resultado sem voltar ao prompt inicial. Isso assinala que a solução apresentada é uma de várias possíveis, podendo o utilizador: digitar. (ponto) e retornar ao prompt inicial; digitar ; (ponto e vírgula) para solicitar outra solução. Exercício 4 Introduza um predicado na base de conhecimento que permita determinar todos os filhos de manuel. O que aconteceria se incluisse na base de conhecimento o facto pai(x,carlos)? Experimente... (verifique o impacto de o incluir no início e no fim da base de conhecimento). 4

5 O exercício anterior permite concluir que, nos factos, devemos entender as variáveis que ocorrem nos factos como quantificadas universalmente. Se as questões colocadas ao interpretador de Prolog são predicados lógicos, é natural perguntarmo-nos como construir predicados à custa de conectivas lógicas (como e, ou, etc.). O Prolog tem definido os operadores: conjunção: denotado por uma vírgula (,) disjunção: denotado por um ponto e vírgula (;) (As restantes conectivas lógicas proposicionais serão introduzidas mais tarde.) A título de exemplo, poderíamos interrogar o Prolog com o seguinte goal composto:?- pai(x,manuel), pai(x,manuel). X = joao ; X = joana.?- Regras. A expressividade do Prolog resulta do facto de permitir incluir, na base de conhecimento, regras que condicionam a validade de um predicado (colocado no lado esquerdo do operador :-, e designado por cabeça da regra) à validade de um conjunto de outros predicados (designados por corpo da regra). A título de exemplo, temos que a regra: avo(x,y) :- pai(x,z), pai(z,y). Esta regra diz-nos que o predicado avo(x,y) será válido quando for válido pai(x,z) e simultaneamente for também válido pai(z,y) (para quaisquer instâncias de X, Y, Z). Quando acrescentada à base de conhecimento apresentada acima, permite que o Prolog responda afirmativamente ao predicado avo(francisco,manuel) o interpretador de Prolog será capaz de encontrar instâncias que verificam o corpo da regra (no caso, pai(francisco,joao) e pai(joao,manuel)). Note que nas regras, as variáveis que ocorrem na cabeça da regra devem ser entendidas como quantificadas universalmente (como nos factos). Já as que só ocorrem no corpo da regra devem ser entendidas como quantificadas existencialmente (como nos objectivos). Exercício 5 Estenda a base de conhecimento para exprimir outros graus de parentesco, como irmão, tio, etc. 3 Manipulação de listas Um exemplo de um tipo estruturado muito utilizado em Prolog são as listas. A sintaxe pré-definida das listas é [] para denotar a lista vazia e [H T] que denotar a lista com cabeça H e cauda T. Como um exemplo de um predicado envolvendo listas, considere-se o predicado que verifique se um dado elemento é a cabeça de uma lista: 5

6 head(x,[x _]). Claro está que, tratando-se as listas de um tipo recursivo, a definição de predicados interessantes sobre listas passa por se definirem predicados recursivos. A título de exemplo, vamos considerar a definição do predicado member/2 que verifique se um dado elemento pertence a uma lista. member(x,[x _]). member(x,[_ T]) :- member(x,t). Este predicado foi definido de forma análoga à função recursiva elem do Haskell: um elemento pertence a uma lista se for a cabeça dessa lista, ou se pertencer à cauda. Um exemplo da utilização deste predicado seria:?- member(2,[1,2,3]). true.?- member(4,[1,2,3]). Mas em Prolog podemos também utiliza-lo com variáveis não instanciadas com o objectivo de determinar quais os elementos de uma lista:?- member(x,[1,2,3]). X = 1 ; X = 2 ; X = 3 ; Ou até para determinar soluções a questões mais complicadas, como quais os elementos pares de uma lista:?- member(x,[3,5,4,6,5,7]), X mod 2 =:= 0. X = 4 ; X = 6 ; Exercício 6 1. Defina o predicado concat/3 que verifique quando uma lista é a concatenação de outras duas. Verifique o resultado quando o invoca com diferentes listas instanciadas. 4 Operações aritméticas Já vimos que o Prolog aceita termos que representem expressões matemáticas, como 3+4*2. Mas quando manipulamos esses termos estamos normalmente interessados em avaliar essas expressões (i.e. calcular o seu resultado). O Prolog disponibiliza para o efeito o predicado is que avalia o segundo argumento e unifica o resultado com o primeiro. Alguns exemplos (onde se utiliza a notação infixa para o predicado): 6

7 ?- X is 3+2. X = 5.?- 3+2 is 2+3.?- 5 is 3+2. true.?- 5 is X+2. ERROR: is/2: Arguments are not sufficiently instantiated Um aspecto importante na utilização do predicado is é a assimetria induzida: o segundo argumento deve ser sempre uma expressão completamente instanciada. Assim, se definirmos o predicado: soma(x,y,z) :- X is Y + Z. devemos considerar o segundo e o terceiro argumentos como argumentos de entrada, que necessitam estar devidamente instanciados. Uma forma compacta de se exprimir esse facto (normalmente utilizada na documentação) é através da assinatura soma(-x,+y,+z) assim identifica-se o argumento Y e Z como de entrada e X como de saída. Esta mesma convenção é utilizada no manual do SWI-Prolog, como se pode confirmar invocando o predicato apropos(is) (ou, alternativamente, help(is)). Exercício 7 1. Defina o predicado fact(-r,+x) que suceda quando R for o factorial de X. 2. Uma forma alternativa de lidar com números naturais consiste em considerar termos zero, suc(zero), suc(suc(zero)), etc. (i.e. utilizar notação unária para os naturais). Defina o predicado nat2int/2 que sucede quando o primeiro argumento é a representação unária do segundo. 3. No predicado definido na alínea anterior, verifique: que argumentos tem de ser utilizados como entrada e como saída?; o que acontece quando solicita ao interpretador várias respostas? 4. Verifique, com o auxílio do mecanismo de help do SWI-Prolog (ou da documentação on-line, se preferir) qual a funcionalidade oferecida pelos operadores: =:=, =\=, <, =<, 5 Inferência do Prolog Um objectivo em Prolog consiste numa lista de predicados. O resultado da execução desse objectivo no interpretador consiste numa substituição que verifique esses predicados. O processo construção da substituição é normalmente designado por inferência, e pode ser justificado construindo uma árvore como se descreve: 7

8 Na raiz da árvore, coloca-se a lista de predicados. O Prolog irá processar cada predicado dessa lista por ordem. Para cada predicado, o Prolog irá procurar encontrar na base de conhecimento uma instância dum facto ou duma regra cuja cabeça unifique com esse predicado. Esta procura processa-se também pela ordem pela qual as definições ocorrem na base de conhecimento. Quando é encontrada uma regra nas condições referidas, cria-se um descendente na árvore contendo a lista já afectada pela substituição resultante da unificação (relembre que o resultada na unificação é uma substituição das variáveis) e onde o predicado em análise é substituído pelo lado direito da regra (ou simplesmente desaparece, no caso dos factos). É habitual anotarmos os arcos da árvore com as substituições resultantes das unificações. Quando existe mais do que uma possibilidade para a referida unificação (e.g. várias regras são aplicáveis), traduz-se por uma ramificação da árvore de inferência. Operacionalmente, o Prolog trata esta ramificação pelo mecanismo de backtracking (travessia depth-first da árvore). Quando a lista de predicados fica vazia, cria-se uma folha na árvore denotada como true representa um resultado apresentado ao utilizador (a substituição calculada ao longo do caminho). Quando não existe qualquer regra na base de conhecimento que unifique com o primeiro predicado da lista, cria-se uma folha denotada por A árvore de derivação para o objectivo member(x,[1,2]), X mod 2 =:= 0 será: member(x,[1,2]), X mod 2 =:= 0 X = 1 1 mod 2 =:= 0 member(x,[2]), X mod 2 =:= 0 fail X = 2 2 mod 2==0 member(x,[]), X mod 2 =:= 0 yes (X = 2) fail Exercício 8 Considere o predicato fact/2 definido no exercício Apresente a árvore de inferência para o objectivo fact(r,2). Exercício 9 Considere a seguinte definição para o predicado nat2int/2 (c.f. exercício 7). nat2int(zero,0). nat2int(suc(x),n) :- nat2int(x,n2), N is N Apresente a árvore de inferência para o objectivo nat2int(suc(suc(zero)),x). 2. Apresente a árvore de inferência para o objectivo nat2int(x,2). 3. Comente os resultados obtidos. Consegue propor alguma forma de ultrapassar os problemas detectados? 8