Amostragem de Vectores e Matrizes

Transcrição

1 Exercício Resolvido 1 Amostragem de Vectores e Matrizes Para a construção de uma nova estação de caminhos-de-ferro que vem substituir a antiga numa dada cidade é necessário definir a dimensão de vários espaços que a constituem. Um desses espaços é a sala de espera cujo dimensionamento deve ser feito de forma a que as pessoas que utilizam a estação se possam sentar enquanto esperam pelo comboio. Esse dimensionamento é efectuado tendo em consideração o número máximo de pessoas que na hora mais carregada estão à espera de Comboio. Para determinar esse número procedeu-se a um inquérito à porta da antiga estação perguntando qual o comboio em que iriam embarcar permitindo a dedução do tempo de espera pelo comboio. Esta estação presta serviço apenas a comboios Regionais e Inter- Cidades. a) Pretende-se determinar quantos clientes do serviço Regional e do serviço Inter-Cidades devem ser inquiridos. Considere as seguintes categorias de tempos de chegada antes do Comboio partir: 10 min 20 min 30 min 40 min Considere também que as categorias de tempos de espera dos passageiros para o serviço Inter-Cidades tem uma distribuição uniforme, e que as categorias de tempos de espera dos passageiros para os serviços Regionais estão mais concentradas na categoria dos 20 minutos antes de partir o Comboio. b) Considere agora que foi efectuado o inquérito de acordo com o dimensionamento que efectuou na alínea a) e que os resultados correspondem às seguintes distribuições: 40 min 30 min 20 min 10 min Regional Inter-Cidades

2 Tendo em conta que na hora de maior procura saem da estação os seguintes comboios: Hora 7:10 7:30 7:50 8:10 Tipo Inter-cidades Regional Inter-cidades Regional Capacidade Taxa de Ocupação 80% 50% 75% 40% Determine qual o número de lugares sentados necessários na estação, considerando que dos passageiros presentes no cais cerca de 50 % preferem esperar sentados pelo Comboio (independentemente do tempo de espera). Admita que o primeiro comboio a partir da estação é o Inter-Cidades das 7:10. Nota: A utilização de um diagrama de carga (passageiros em espera em cada intervalo de 10 minutos) facilita a determinação do intervalo mais carregado. c) Compare o valor obtido na alínea b) com o que obteria se, actuando conservativamente, considerar nos seus cálculos o erro absoluto em que incorre em cada probabilidade estimada, majorando estes valores utilizando a SLIC. 2

3 Resolução: Fórmulas relevantes (1) SLIC 2 Z p.(1 p) Z. / 2 (1 p) n. 2 / 2 (2) p n SLIC p a) As seguintes distribuições de probabilidade respeitam as indicações dadas no enunciado: sum Regional Inter-Cidades Considerou-se uma concentração de 40% da probabilidade na categoria dos 20 minutos para o serviço regional. Há duas abordagens para este problema: considerar que as distribuições correspondem a dois vectores separados ou então numa matriz total. A diferença tem a ver com o processo de inquérito, se for possível inquirir separadamente clientes do serviço regional e do serviço Inter-cidades (por exemplo se existiram entradas separadas) faz sentido considerar dois vectores: Como temos apenas 4 categorias escolhe-se como p crítico o menor valor para cada um dos vectores. Para um erro relativo de SLIC/p=0.5 e para um nível de significância de 95%, as dimensões da amostra para cada um dos grupos de passageiros são as seguintes: Regional nível de significância de 95% 1.96 p crítico 0.1 SLIC/p 0.5 n Regional Inter-Cidades nível de significância de 95% 1.96 p crítico 0.25 SLIC/p 0.5 n Inter-Cidades

4 n Regional = 139 n Inter-Cidades = 47 Se não existir separação física de uns e outros, faz sentido fazer apenas um inquérito onde nos pode aparecer clientes do Inter-cidades ou do Regional: sum Regional Inter-Cidades A célula crítica agora será: 0.05 nivel de significancia de 95% 1.96 pcrítico 0.05 SLIC/p 0.5 n SLIC para o pcrítico Dá um número superior de inquéritos 4

5 b) Distribuição das probabilidades dada no enunciado: 40 min 30 min 20 min 10 min Regional Inter-Cidades Cálculo do número de passageiros em cada comboio: Hora 7:10 7:30 7:50 8:10 Tipo Intercidades Regional Inter-cidades Regional Capacidade Taxa de ocupação 80% 50% 75% 40% Número de passageiros Tendo em conta a distribuição percentual de tempos de espera dada no enunciado, e tendo em consideração que só 50% dessas pessoas é que desejam sentar-se para esperar pelo comboio pode construir-se um diagrama de carga dos passageiros presentes na estação em cada intervalo de 10 minutos: Passageiros acumulados em cada hora 53 6:30-6: :40-6:50 5

6 Pax presentes Instituto Superior Técnico 200 6:50-7: :00-7: :10-7: : :30-7: :40-7: :50-8: :00-8:10 Diagrama de carga: :30-6:40 6:40-6:50 6:50-7:00 7:00-7:10 7:10-7:20 7: :30-7:40 7:40-7:50 7:50-8:00 8:00-8:10 Intervalo de tempo Deverão ser necessários cerca de 310 lugares sentados para servir os passageiros da estação. 6

7 c) Calculam-se os valores da SLIC para cada uma das probabilidades da matriz da alínea b) tendo em consideração a dimensão amostral calculada na alínea a): 40 min 30 min 20 min 10 min Regional SLIC 0,02 0,04 0,05 0,03 Inter- Cidades SLIC 0,04 0,04 0,04 0,04 Somando as SLIC aos valores das probabilidades, podem calcular-se novos valores dos passageiros em cada intervalo de tempo: Passageiros acumulados em cada hora 55 6:30-6: :40-6: :50-7: :00-7: :10-7: : :30-7: :40-7: :50-8: :00-8:10 7

8 Pax Presentes Instituto Superior Técnico Novo diagrama de carga: :30-6:40 6:40-6:50 6:50-7:00 7:00-7:10 7:10-7:20 7: :30-7:40 7:40-7:50 7:50-8:00 8:00-8:10 Intervalo de tempo Deverão ser necessários cerca de 322 lugares sentados para servir os passageiros da estação. 8