ESTATÍSTICA MULTIVARIADA 2º SEMESTRE 2010 / 11. EXERCÍCIOS PRÁTICOS - CADERNO 3 Distribuição Normal Multivariada

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1 ESTATÍSTICA MULTIVARIADA 2º SEMESTRE 2010 / 11 EXERCÍCIOS PRÁTICOS - CADERO 3 Distribuição ormal Multivariada

2 3.1. Considere três variáveis bidimensionais (X 1, X 2 ) com distribuição normal e parâmetros A. A 0 0 A B. B 0 0 B C. C 0 0 C e três conjuntos de contours I II III a) Diga, justificando, qual a correspondência entre os parâmetros A, B e C e os contours I, II e III. (ote que só a justificação é pontuável, mas não desperdice nela o tempo que lhe pode fazer falta. Seja conciso.) b) Vai agora desenhar o contour correspondente a f(x 1, X 2 ) = 0.02 para cada uma das três distribuições Considere a variável bidimensional (X 1, X 2 ) com distribuição ormal. Desenhe o contour correspondente a f(x 1, X 2 ) = 0.06 quando: a) 1 = 2 = 0 ; 1 2 = 1 ; 2 2 = 1; = 0; b) 1 = 2 = 0 ; 1 2 = 1 ; 2 2 = 4; = 0; c) 1 = 2 = 0 ; 1 2 = 1 ; 2 2 = 1; = 0.2; d) 1 = 2 = 0 ; 1 2 = 1 ; 2 2 = 4; = 0.2;

3 3.3. Admita uma amostra de 50 PME s para as quais se mediram, em milhares de contos: X 1 (resultados em 98) e X 2 (resultados em 99). A partir desta amostra calcularam-se: 0.3 X e S Será de aceitar a possibilidade de serem zero os resultados das empresas nestes dois anos? 3.4. Uma empresa procurou avaliar (numa escala de 0 a 10) o grau de satisfação dos seus clientes com dois produtos (P 1 e P 2 ), e em duas cidades A e B. Foram inquiridos 15 clientes na cidade A e 11 clientes na cidade B aos quais se pediram: X 1 (satisfação com P 1 ) e X 2 (satisfação com P 2 ). A partir destas amostras calcularam-se: X A 3 6 e S A e X B 2 9 e S B Será de aceitar a possibilidade de serem iguais as médias das distribuições dos níveis de satisfação nas duas cidades?

4 3.5. (do teste de Estatística Multivariada de 2.Maio.2000) Considere um banco que está a caracterizar a sua rede de balcões nas áreas da Grande Lisboa e do Grande Porto. Para tentar comparar os balcões nas duas zonas recolheu informação sobre o número de clientes (C) e volume de depósitos (D) que se apresentam no Anexo I, com os quais foram calculadas as médias e variâncias e covariâncias, também apresentadas no mesmo Anexo. Pode assumir-se que o centro da distribuição da dimensão dos balcões caracterizada por estas duas variáveis é o mesmo para as duas regiões? Justifique. Anexo I Balcão Grande Lisboa Clientes (milhares) Depósitos (milhões de contos) Balcão Grande Porto Clientes (milhares) Depósitos (milhões de contos) Médias Variâncias Covariâncias

5 3.6. (do teste de Estatística Multivariada de 25.Outubro.2004) Uma empresa tem o seu mercado dividido em dezassete regiões, nas quais utiliza canais de distribuição muito diferentes e políticas de preço também muito diferentes. Com o intuito de perceber o impacto da política de preços nas suas vendas, construiu para cada uma das regiões um índice de preços (tendo em conta as diferenças de poder de compra) e um índice de vendas (tendo em conta diferentes indicadores de penetração de mercado). Os resultados apresentam-se no Quadro 1, onde X 1 é o índice de preços praticado; X 2 é índice de vendas. Região X 1 X Quadro 1 A partir do quadro podemos calcular: X X X X X X com os quais se obteve: X S S

6 a) Com os agregados apresentados, complete a matriz de variâncias-covariâncias. (Está fora de questão ir inverter a matriz frente.) 1 S. Esta só é apresentada para que não a tenha de calcular mais à b) Vai testar, em separado, a possibilidade da média do índice de preços ser 85 (H 0 : X1 = 85) e a possibilidade da média do índice de vendas ser 140 (H 0 : X2 = 140). Para este segundo teste apoiese no seguinte output do SPSS que deverá completar, justificando o cálculo de A a E: One-Sample Test Test Value = % Confidence Interval of the Difference t df Sig. (2-tailed) Difference Lower Upper X 2 - Indice Vendas A B,084 C D E c) Teste a hipótese nula H : Como compara o resultado do teste agora efectuado com os testes anteriores? Parece-lhe haver contradição? Justifique. d) Se assumir , apresente a região centrada na média a que pode associar uma probabilidade de 95%. [ ota: Para facilitar os cálculos que tem de fazer, saiba que um dos valores próprios de S é ]

7 3.7. (do teste de Estatística Multivariada de 23.Março.2009) Um consultor de investimentos está a ponderar publicar uma ota de Research sobre a evolução do preço de quatro metais a partir de índices construídos nos respectivos três mercados de referência: X 1 índice para o preço do cobre X 2 índice para o preço do alumínio X 3 índice para o preço da prata X 4 índice para o preço do ouro Para tal reuniu os respectivos valores nos últimos 30 trimestres. Parte da amostra recolhida está apresentada no quadro que se segue: X 1 X 2 X 3 X 4 108,77 107,00 81,61 92,08 109,23 107,60 89,27 102,82 110,18 108,40 88,62 104,52 115,03 114,10 80,06 111,78 115,52 114,70 87,61 123,84 116,22 115,10 87,30 125,05 Tendo em consideração os cálculos efectuados pelo consultor que entretanto foram recuperados: (X 1 - X 2 ) 2 X 3 2 X 3 X 4 (X 4 - X 4 ) 2 X 3. X 4 (X 3 - X 4 ) 2 3,15 81, ,83 92,08 2, ,04 109,55 2,66 89, ,98 102,82 150, ,57 183,58 3,18 88, ,77 104,52 194, ,73 252,80 0,86 80, ,06 111,78 449, , ,81 0,68 87, ,24 123, , , ,51 1,26 87, ,99 125, , , ,49 30, , , , , , ,82 Correlation Matrix X1 X2 X3 X4 Descriptive Statistics Std. Dev iation *** A *** B X1 X2 X3 X4 Correlation X1 1,000,995 -,320,497 X2,995 1,000 -,340,490 X3 -,320 -,340 1,000 X4,497,490 C 1,000 Sig. (1-tailed) X1,000,042,003 X2,000,033,003 X3,042,033,000 X4,003,003,000 a) Complete o output, calculando os valores de A a C, justificando sempre com os cálculos que tiver que efectuar

8 O consultor, baseando-se na sua experiência, desconfia que o valor médio do índice do cobre é de 110 enquanto que o do alumínio se terá ficado pelos 106. Assim, foi testar, em separado, essas duas hipóteses. Parte do output do SPSS foi recuperado e está apresentado de seguida: One-Sample Test X2 Test Value = % Confidence Interv al of the Dif f erence t df Sig. (2-tailed) Dif f erence Lower Upper ? b) A que conclusão terá chegado o consultor? Sem efectuar cálculos, qual a sua estimativa para o p- value associado ao segundo teste? Justifique. c) Teste a seguinte hipótese nula: H : Comente o resultado obtido. Quer agora explorar mais a relação entre os preços destes quatro metais. d) Foi representar as distribuições conjuntas de (X 1, X 2 ) e (X 3, X 4 ) tendo obtido o gráficos A e B (não necessariamente pela ordem correspondente às variáveis). A B a. Estes contours terão sido obtidos a partir das variáveis originais ou padronizadas? Justifique. b. Qual a correspondência entre os dois gráficos e as variáveis? Justifique, não só fazendo corresponder os pares a cada gráfico, mais ainda os eixos às variáveis. e) Volte a olhar para a matriz de correlações apresentada acima. Um dos níveis de significância que lá consta é de 3.3%. Qual a hipótese nula do respectivo teste e como interpreta este valor? ota: o teste tinha ainda uma alínea adicional de Análise Factorial, capítulo que verá mais tarde, que aqui não faz sentido, mas que sugerimos que veja mais tarde

9 3.8. (do teste de Estatística Multivariada de 4.Abril.2010) Um colega seu pretende aproveitar a recente polémica em torno da designação PIIGS 1 para fazer um estudo sobre a situação económica de 10 países europeus. País PIIGS Inflação Produção Industrial Desemprego Bélgica *** França *** 9.6 Alemanha *** Holanda *** 3.6 Reino Unido Grécia Irlanda 1 *** Itália Portugal 1 *** Espanha Fonte: Joint IMF-OECD Statistics, 2010 ote que todas as variáveis estão expressas em percentagem e se referem à evolução verificada no terceiro trimestre de 2009, à excepção da variável categórica PIIGS que assume o valor 1, caso o país pertença a esse grupo. Como informação adicional, foram-lhe facultados os seguintes resultados: Correlations Desemprego 20,00 15,00 Irlanda -4,00-2,00 Inflação 0,00 2,00 Holanda Espanha Portugal França 10,00 Grécia Alemanha Itália Bélgica Reino Unido 5,00-6,00-5,00-10,00-15,00 Produção Industrial PIIGS Inflação Produção Industrial Desemprego Pearson Correlation Sig. (2-tailed) Sum of Squares and Cross-products Cov ariance Pearson Correlation Sig. (2-tailed) Sum of Squares and Cross-products Cov ariance Pearson Correlation Sig. (2-tailed) Sum of Squares and Cross-products Cov ariance Produção Inflação Industrial Desemprego *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** Report PIIGS Total Std. Dev iation Std. Error of Median Std. Dev iation Std. Error of Median Std. Dev iation Std. Error of Median Produção Inflação Industrial Desemprego *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** S S PIIGS ÃOPIIGS Conjunto de países formado por Portugal, Itália, Irlanda, Grécia e Espanha

10 a) Considera a inflação um problema significativo na Europa? Realize o teste apropriado, explicitando a hipótese nula e apresentado o respectivo intervalo de confiança. De seguida, irá encontrar um conjunto de testes que o seu colega realizou com a ajuda do SPSS. Independent Samples Test Inflação Produção Industrial Desemprego assumed not assumed assumed not assumed assumed not assumed Lev ene's Test for Equality of Variances F Sig. t df t-test f or Equality of s Sig. (2-tailed) Dif f erence 95% Conf idence Interv al of the Std. Error Dif f erence Dif f erence Lower Upper *** ***.257 *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** *** b) Qual terá sido a intenção do seu colega ao fazer estes testes? c) A que conclusão terá chegado o seu colega? Justifique cuidadosamente com todos os cálculos que tiver que efectuar. d) Caso tivesse considerado a correlação entre as variáveis, teria o seu colega chegado a uma conclusão distinta? e) Apresente um intervalo de confiança a 95% para o centro da distribuição conjunta da produção industrial e do desemprego nos países do grupo PIIGS