Ciências Exatas e da Natureza"! IMPUREZAS MAGNÉTICAS ACOPLADAS EM FILMES ULTRA FINOS FERROMAGNÉTICOS

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1 Ciências Exatas e da Natureza" IMPUREZAS MAGNÉTICAS ACOPLADAS EM FILMES ULTRA FINOS FERROMAGNÉTICOS Raimundo Valmir Leite Filho 1 Raimundo Nogueira da Costa Filho 2 RESUMO O formalismo de funções de Green é usado para calcular o espectro de excitações associados a impurezas magnéticas em um filme ferromagnético descrito pelo modelo de Ising com campo transverso. Através do método da equação de movimento, expressões explícitas para as Funções de Green são determinadas para um ferromagneto sem impurezas. A função de Green para um filme ferromagnético contendo impurezas é obtida através da equação de Dyson. O espectro de ondas de spin relativo às impurezas é obtido para frequências abaixo do limite inferior da banda de volume obtida para um material puro. Com o objetivo de avaliar a influência da posição de uma dada impureza, em diferentes camadas no filme, no espectro de excitações, consideramos dois casos: (1) com essa impureza na superfície do filme, e (2) com essa impureza na segunda camada do filme. Obtemos resultados para a frequência dos modos localizados como função do parâmetro de troca entre as impurezas e seus vizinhos e do parâmetro de campo efetivo nas impurezas. Palavras-chave: Impurezas Magnéticas, Funções de Green, Hamiltoniano de Ising 1 Prof. Adjunto do Curso de Física da UVA. valmir.leite@uvanet.br 2 Prof. Titular do Depto. de Física da UFC. rai@fisica.ufc.br

2 1. INTRODUÇÃO Por que é importante estudar o efeito de impurezas em sólidos? Basicamente por que a presença de impurezas, ou outros defeitos, em sólidos pode modificar as interações microscópicas no material. Também a baixa dimensionalidade do sistema, como no caso de filmes finos, juntamente com a presença de impurezas localizadas ou arranjos delas, atuam provocando uma quebra da simetria translacional do sistema. Isto causa significativas modificações na propagação das excitações que ocorrem no meio provocando o aparecimento de modos de excitações localizadas (COSTA FILHO, COSTA, & COTTAM, 2000; KITTEL, 1996). No caso de materiais magnéticos, as propriedades de ondas de spin localizadas associadas a superfícies, a camadas de impurezas ou a impurezas simples tem recebido muita atenção, tanto teórica como experimentalmente (LEITE, MORAES, PEREIRA JR., & COSTA FILHO, 2004). Muitos modelos têm sido propostos com o objetivo de elucidar a dinâmica desses modos. Teorias de Funções de Green (F.G.) têm sido empregadas por muitos autores para descrever modos localizados no contexto do modelo de Ising (LEITE, PEREIRA JR., & COSTA FILHO, Localized magnetic excitations of coupled impurities in a transverse Ising ferromagnet, 2005) e do modelo de Heisenberg (LEITE, OLIVEIRA FILHO, PEREIRA JR., COTTAM, & COSTA FILHO, 2009), dentre outros. Em particular, o modelo de Ising com campo transverso tem levado a uma boa descrição teórica de materiais reais com troca anisotrópica, como no CoCs 3 Cl 5 e no DyPO 4. O modelo de Ising com campo transverso tem sido aplicado em ferromagnetos para obter o espectro de ondas de spin de um meio semi-infinito (LEITE, PEREIRA JR., & COSTA FILHO, Localized magnetic excitations of coupled impurities in a transverse Ising ferromagnet, 2005) e filmes (LEITE, OLIVEIRA FILHO, PEREIRA JR., COTTAM, & COSTA FILHO, 2009). O espectro de frequências associado à presença de uma camada de impurezas em um meio homogêneo semi-infinito também tem atraído muita atenção. Em ambos os casos as impurezas atuam quebrando a simetria translacional ao longo da direção perpendicular à superfície do meio, aqui considerada como sendo uniformemente distribuída ao longo do plano formado pelas camadas do filme. A proposta deste artigo é investigar o espectro de ondas de spin associado a quatro impurezas, acopladas no plano xz, implantadas em um filme ferromagnético com n camadas. Para isso, usamos o hamiltoniano de Ising com campo transverso. Os resultados Essentia, Sobral, v. 16, p ,

3 confirmam a presença de modos localizados, os quais são apresentados para impurezas (1) na camada de superfície do filme, e (2) na camada vizinha à superfície. Obtemos resultados que mostram a frequência desses modos em função da interação de troca entre uma determinada impureza e seus vizinhos no material puro, bem como a dependência da frequência dessas ondas de spin em relação ao campo efetivo atuante nos sítios com impureza. Este artigo está estruturado da seguinte forma: na Seção 2, introduzimos o modelo e o formalismo de F.G; na Seção 3, apresentamos o tratamento matricial para essas funções; na Seção 4, obtemos os modos de impurezas; na Seção 5, apresentamos e discutimos alguns resultados numéricos, e, por fim, na Seção 6, fazemos as conclusões. 2. MODELO E FORMALISMO DE FUNÇÕES DE GREEN Considere um filme ferromagnético com um par de superfícies paralelas na direção (0,0,1) e estrutura cúbica simples (constante de rede &), como na Figura 1, abaixo. Figura 1: Esquema de interações para um filme ferromagnético puro com campo transverso na direção x. Qualquer sítio da rede tem vetor posição dado por Essentia, Sobral, v. 16, p ,

4 ' = ), *, + =,& -,., /,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2.1) com os inteiros -,. e / nos intervalos < -,. < + e 1 / 7 1, respectivamente, onde / = 1 e / = 7 1 denotam as duas camadas de superfície e N é um inteiro positivo. O ferromagneto será representado pelo hamiltoniano de Ising com campo transverso,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,8 = 1 2,, 9 = :,;< : < =? ;, h : < :,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2.2) :,; : onde <? e são as componentes ) e + do operador de spin no sítio i. < = 1 2 em todos os sítios. O duplo somatório é feito sobre os pares de primeiros vizinhos e é a energia de troca entre eles, onde consideramos os valores =, 9 B, se ambos os vizinhos estiverem na camada de superfície e =,9, no volume. O segundo termo na Eq. (2.2) descreve a interação do campo magnético transverso com os operadores de spin no sítio i, com valores =, h B, para sítios na camada de superfície e = h, para sítios no volume. Por conveniência nós ré-expressamos o hamiltoniano da Eq. (2.2) como 8 = 8 C, + 8 D, onde 8 C, é o hamiltoniano relativo a um ferromagneto puro e 8 D corresponde à perturbação causada pelas impurezas, e 8 D = 8 E,F + 8 E,EG,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2.3) onde os termos 8 E,F, descrevem o acoplamento de troca entre uma impureza em um dado sítio o e seus vizinhos no material puro. Estes termos podem ser escritos como =,8 E,F =, (9 E 9) < F < =? E h E h < E E F,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2.4) 8 E,EG =, 9 D 9 E,E J < = E < = E J,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2.5) onde o índice d se refere aos sítios sem impurezas vizinhos à impureza o. O acoplamento de troca assume os valores 9 E =,9, para a interação entre uma impureza e seus vizinhos no material puro e,9 E =, 9 B, se a impureza e seus vizinhos estão na superfície. O termo 8 E,EG na Eq. (2.5) expressa a interação de troca entre as duas impurezas vizinhas. A contribuição Zeeman na Eq. (2.4) descreve o efeito do campo magnético transverso h E sobre as impurezas e pode assumir os valores h B ou h se os sítio forem localizados na superfície ou no volume do material, respectivamente. Neste artigo, consideramos apenas Essentia, Sobral, v. 16, p ,

5 interações entre os primeiros vizinhos. Nosso sistema será composto por quatro impurezas acopladas no plano )+. Na Figura 2 temos a representação esquemática. Para se obter o espectro de excitação para esse sistema, nós estendemos o formalismo para o caso de uma impureza simples encontrado em (COSTA FILHO R. N., 1998). Então, iniciamos definindo a F.G. < M N :, < ; ω, onde O e P são componentes dos operadores de spin, em coordenadas retangulares, e Q é a frequência. Neste artigo, usamos a F.G. R :,; S, Q,=, < : =, < ; = bidimensional paralelo ω, onde S = (T?, T U ) é um vetor de onda Figura 2: Representação do esquema de interações para quatro impurezas vizinhas no plano xz de um filme ferromagnético. As impurezas (círculos pretos) estão acopladas entre si e com seus primeiros vizinhos no material puro. à superfície do filme. Esta função satisfaz a equação de movimento para os operadores de spin (ZUBAREV, 1960),,Q, < : =, < ; = = 1 2V < : =, < ; = + < : =, 8 ; < ; =,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2.6) onde, a partir daqui, omitiremos o índice Q para os termos que representam F.G. Essentia, Sobral, v. 16, p ,

6 A F.G. para um sistema puro pode ser obtida resolvendo-se a equação acima substituindo-se 8 por 8 C. Desacoplando os termos que envolvem F.G. de alta ordem usando a Aproximação de Fases Aleatórias, pode-se chegar à solução bastante conhecida na literatura < = = :, < ; = 1 Y R C Z,ZG S S, Q exp[_s,. ('`, ' a )],,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2.7) onde M é o número de sítios numa camada paralela à superfície e os vetores '`, e,' a C indicam as posições dos sítios l e m. As amplitudes de Fourier R Z,ZG,para essa função podem ser encontradas resolvendo-se a equação,,,, Qd h d + 4he? 9f S he? 9 C R Z,Z J S, Q = 1 2V9,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(2.8) onde, da teoria do campo médio, nós obtemos a média dos spins dos sítios no volume e na superfície como sendo e? = 0.5,tanh,(h/m n, T) e e? B = 0.5,tanh,(h B /m n, T), respectivamente. O termo f S = 0.5 cos T? & + cos,(t U &) é o fator de estrutura apropriado para a rede escolhida. 3. TRATAMENTO MATRICIAL PARA AS F.G. Para obtermos as soluções explícitas da Eq. (2.8) para um filme com 7 camadas, é conveniente expressá-la na forma matricial,,,,[s] (t) [u C ] (t) = v(t) 2V9,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(3.1) onde [s] (w), [u C ] (w) são matrizes de ordem 7, v (t) é uma matriz identidade de ordem 7, e x x x x x x +.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(3.2) Na equação acima introduzimos as definições Essentia, Sobral, v. 16, p ,

7 x = Qd h d + 4he? 9f S he? 9 = Qd h B e B? he? hh B (h B e B? he? ) hh B e B? e? 9,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(3.3) 4f S 9 } 9 1,,,,,,,(3.4) Estes parâmetros x e contém as informações sobre o volume e a superfície, respectivamente. Utilizando resultados obtidos anteriormente para um ferromagneto de Heisenberg com geometria para materiais semi-infinitos (citar) e para filmes (citar), nós escrevemos a matriz s (w) como uma soma de duas matrizes s C (w) e (w). Esta decomposição é importante pois permite obtermos a inversa de s (w) como tendo os elementos t = )ZZG ) ZÄZJ + ) dåä ZZJ dåä ZÄZJ ) 1 ) då ) ) ÄÇ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 3.5 B Z,ZG onde É = 7 + 1, e ) é um parâmetro complexo definido de tal forma que ) + ) ÄÇ = x,e ) 1. A solução formal da Eq. (3.1) pode ser escrita como,,,,u C = 1 2V9 (v + Ö )ÄÇ Ö,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(3.6) onde omitimos o índice 7. O procedimento para a inversão da (v + Ö ) pode ser encontrado na íntegra em (LEITE, OLIVEIRA FILHO, PEREIRA JR., COTTAM, & COSTA FILHO, 2009), onde LEITE et al obtêm expressões explícitas para a F.G. não perturbada, caso no qual o sistema se encontra a altas temperaturas (Ü, >, Ü à ), em termos do parâmetro de troca, da variável ) (a qual é uma função da frequência Q) e de (que contem as propriedades das superfícies). 4. MODOS DE IMPUREZAS A presença de impurezas localizadas quebra a simetria da invariância translacional do sistema no plano )*. Consequentemente, os cálculos devem ser realizados no espaço real. As F.G. para o filme ferromagnético com impurezas podem ser obtidas da Eq. (2.6) usando-se a hamiltoniana 8 = 8 C, + 8 D. As novas F.G. satisfazem as equações onde os termos â :,A R :,; Q = ä :,A 2V e :? ã :,A å :,A å :,A R :,; Q,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(4.1) Essentia, Sobral, v. 16, p ,

8 â :,A = Qd [h + E (h E h) ä :,E ] d ä :,A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(4.1a) 2h + E (h E h) ä :,E ã :,A =, Å 9 :,A e :? ä :,A,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(4.1b) å :,A = E,F (,9 E 9)e? : (ä :,E ä F,; + ä :,F ä :,E ),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(4.1c) contêm a interação entre uma impureza no sítio é e seus vizinhos do material puro localizados no sítio x, enquanto å :,A = (,9 D 9)e? : (ä :,EG ä A,E + ä :,E ä A,EG ),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(4.1d) E,EG contém a interação entre as impurezas localizadas nos sítios é,e é. Reescrevendo a Eq. (4.1) na forma matricial, obtemos a equação de Dyson [(u C (Q)) ÄÇ ê(q)u(q)] = ë,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(4.2) onde u C (Q) e u(q) denotam matrizes cujos elementos são (2V/e? : )R C :,; (Q) e (2V/e? : )R :,; (Q), respectivamente, com R C :,; (Q) obtido da Eq. (3.6). O termo ê(q) é um potencial efetivo que depende de 8 D, com elementos í :,; Q = Qd h d ä h :,A â :,A ã :,A å :,A å :,A.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(4.3) A equação de Dyson relaciona a matriz de F.G. u Q, para o sistema com impurezas, à correspondente F.G. u C Q para o sistema contendo impurezas. O espectro de frequências contendo os modos localizados pode ser obtido numericamente encontrando-se as frequências que satisfazem à condição determinantal det,[v u C (Q)ê(Q)] = 0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,(4.4) as quais representam os polos de u Q para o sistema contendo impurezas. A seguir, apresentamos alguns resultados numéricos obtidos através desse modelo. 5. RESULTADOS NUMÉRICOS Nas fases de altas temperaturas < ì = = 0 em todos os sítios, e a orientação média dos spins está ao longo da direção ). O valor médio de <? é obtido da teoria do campo médio onde, para um sistema com spin 1/2, < ì = = e ì? tanh,(h ì /2m n Ü à ), onde h ì = Essentia, Sobral, v. 16, p ,

9 h B para sítios na superfície, h ì = h para sítios no volume, e h ì = h para sítios com impurezas localizadas. Para um ferromagneto puro, a temperatura crítica é dada por tanh,(h/2m n Ü à ) = h/39. Especificamente, nós consideramos a razão 9/h = 1.0 e a temperatura correspondente m n Ü/h =2.5, já que m n Ü à /h Os modos de impurezas podem ser classificados como ressonantes, se as frequências ocorrem dentro da banda de volume obtida para um material puro, e modos de defeitos ou de impurezas, que ocorrem fora da banda de volume. Aqui, em todos os casos mostramos apenas os modos de defeitos com frequências abaixo do limite inferior da banda de volume obtido para um material puro, ω/9 0.63, o qual é indicado nos gráficos pela linha horizontal ponto-tracejada. Em todas as figuras tomamos como parâmetros básicos os valores: 9 B = 1.09 e h B = 1.0h para o acoplamento de troca e o campo na superfície do material puro, respectivamente, 9 B = 1.59 e 9 = 2.59 para o acoplamento de troca entre uma impureza e seus vizinhos na superfície e no volume, respectivamente. 9 D = para o acoplamento de troca entre duas impurezas. 9 e h são os parâmetros de troca e campo no volume do material puro. Para o campo efetivo atuando em todos os sítios que contém impurezas fizemos h = 0.65h. Na Figura 2, vimos o esquema de interação para um conjunto de quatro impurezas vizinhas no plano )+ de um filme ferromagnético. A descrição do sistema é feita através do modelo de Ising com campo transverso, aplicado na direção ). As impurezas (círculos pretos) estão acopladas somente com seus primeiros vizinhos; os sítios vizinhos no material puro estão indiciados de 5 a 20. Neste artigo, estamos interessados em estudar a influência da posição das impurezas no espectro de excitações devido a mudanças no número de coordenação. Duas situações básicas são consideradas: (1) quando as impurezas localizadas nos sítios 1 e 2 estão na superfície do filme; nesse caso não se incluem os sítios 17 e 18, e (2) quando as impurezas 1 e 2 estão na segunda camada. Obtemos resultados numéricos para as frequências de ondas de spin calculadas como função do parâmetro de troca (9 ) entre as impurezas e seus vizinhos no material puro e do campo efetivo (h ) que atua sobre uma dada impureza. A Figura 3 mostra o comportamento dos modos localizados como função do parâmetro de troca entre a impureza localizada no sítio é = 1 e seus vizinhos puros em um filme ferromagnético com seis camadas. Os dois conjuntos de modos correspondem aos Essentia, Sobral, v. 16, p ,

10 casos: impurezas 1 e 2 na superfície do filme (linha sólida) e impurezas 1 e 2 na segunda camada do filme (linha tracejada). Como em (citar), verificamos o efeito de repulsão entre os modos gerado pelo acoplamento de troca. A magnitude desse efeito depende da intensidade do acoplamento de troca entre as impurezas e seus vizinhos. Quando as impurezas 1 e 2 estão na superfície, não há a presença dos vizinhos 17 e 18, ou seja, ocorre uma di- Figura 3: Frequências de ondas de spin localizadas em função do parâmetro de troca 9 Ç,entre a impureza 1 e seus vizinhos puros para o caso no qual tem-se quatro impurezas em um filme ferromagnético com 6 camadas. Os parâmetros de troca entre as demais impurezas e seus vizinhos, bem como entre as impurezas foram mantidos constantes. Parâmetros no texto. Essentia, Sobral, v. 16, p ,

11 Figura 4: Frequências de ondas de spin localizadas em função do parâmetro de campo local h Ç,percebido pela impureza 1 para o caso no qual tem-se quatro impurezas em um filme ferromagnético com 6 camadas. Os parâmetros de troca entre as impurezas e seus vizinhos, entre as impurezas, bem como o campo efetivo sobre as impurezas foram mantidos constantes. minuição no número de coordenação; isso provoca uma maior separação entre os modos em comparação com a configuração na qual as impurezas 1 e 2 estão na segunda camada. Nesse caso verifica-se a aproximação de dois modos para 9 D = nos dois casos. Quando as impurezas 1 e 2 estão na superfície a frequência correspondente é de aproximadamente Se elas estão na segunda camada, esse valor cai para Na Figura 4, analisamos a influência do campo magnético local no espectro de frequências de ondas de spin para modos de impurezas, onde mostramos o comportamento desses modos como função do parâmetro de campo efetivo sobre a impureza 1. Como na Figura anterior, os dois conjuntos de modos correspondem aos casos: impurezas 1 e 2 na superfície do filme (linha sólida) e impurezas 1 e 2 na segunda camada do filme (linha tracejada). Verificamos novamente que o acoplamento de troca gera um modo de repulsão entre os modos. A magnitude desse efeito depende da intensidade do acoplamento de troca entre as impurezas e seus vizinhos. Quando as impurezas 1 e 2 estão na superfície, não há a presença dos vizinhos 17 e 18, ou seja, ocorre uma diminuição no número de coordenação; isso provoca uma maior separação entre os modos em comparação com a configuração na qual as impurezas 1 e 2 estão na segunda camada. Nesse caso Essentia, Sobral, v. 16, p ,

12 verifica-se a aproximação de dois modos para h Ç 0.65h, onde na ampliação verificamos que não ocorre cruzamento dos modos. Novamente verifica-se que quando as impurezas 1 e 2 estão na superfície a frequência correspondente é de aproximadamente Se elas estão na segunda camada, esse valor passa cai para CONCLUSÕES Neste trabalho estudamos o espectro de ondas de spin relativas a impurezas magnéticas acopladas em um filme ferromagnético. Determinamos a equação de movimento para as funções de Green onde os operadores de spin são descritos pelo hamiltoniano de Ising com campo transverso aplicado na direção ). Consideramos o caso no qual temo quatro impurezas acopladas no plano )+. Apresentamos resultados para as frequências dos modos de impurezas como função do parâmetro de troca entre as impurezas e seus vizinhos e do parâmetro de campo efetivo nas impurezas. Observamos que esses acoplamentos modificam o espectro em relação aos resultados obtidos para uma impureza simples (COSTA FILHO R. N., 1998), especialmente quando o parâmetro de acoplamento entre as impurezas e seus vizinhos no material puro são da mesma magnitude. Em ligas ferromagnéticas, excitações relativas a impurezas têm sido observadas através de espalhamento de nêutrons Tb-10%-Ho. Estas medidas na presença de modos ressonantes indicam uma aparente anomalia na dispersão de ondas de spin em Tb puro. A presença de anomalias em espalhamentos de alta resolução pode, portanto, conter informações sobre a distribuição, acoplamento e orientação de impurezas magnéticas em ferromagnetos. Baseado nos resultados aqui apresentados, temos como perspectivas para novos trabalhos a extensão desses estudos. Seria interessante um estudo mostrando a dependência da temperatura crítica nesses sistemas em relação ao número de impurezas inseridas no material puro. Outro estudo também a ser feito é o da densidade de estados de impurezas de ondas de spin. Uma análise mais detalhada da simetria para esses sistemas físicos pode ser obtida usando-se o Hamiltoniano de Heisenberg. É importante observar que a técnica usada neste artigo permite inserir impurezas nas mais variadas geometrias e sistemas físicos de interesse. Um fator limitante, entretanto, seria o tempo dispendido nos cálculos computacionais. Essentia, Sobral, v. 16, p ,

13 MAGNETIC COUPLED IMPURITIES IN ULTRA THIN ABSTRACT FILMS A Green function formalism is used to calculate the spectrum of excitations associated with magnetic impurities implanted in a ferromagnetic thin film described by the transverse Ising model. Using the equations of motion method, explicit expressions for the Green function are determined for a ferromagnetic without impurities. The Green s functions for a ferromagnetic film containing impurities are obtained through Dyson equation. We consider only the defect modes that appear below the bulk band of the pure material. In order to assess the influence of the position of the impurities in different layers, on the excitations spectra, we consider two cases: (1) with two coupled impurities at the surface, and (2) with two coupled impurities at the second layer of the film. We obtain results for the frequencies localized modes as a function of the exchange parameter between the impurities and its neighboring, and the effective field parameter at the impurities. Keywords: Magnetic impurities, Green s Function, Ising hamiltonian 6. REFERÊNCIAS COSTA FILHO, R. N. (1998). Localised magnetic impurity states in a transverse Ising ferromagnet: bulk and surface effects. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 189, pp COSTA FILHO, R. N., COSTA, U. M., & COTTAM, M. G. (2000). Green function theory for a magnetic impurity layer in a semi-infinite transverse Ising model. Journal of Magnetism and Magnetic Material, 213, pp KITTEL, C. (1996). Introduction to Solid State Physics (7a. ed.). New York: John Wiley & Songs. LEITE, R. V., MORAES, B. T., PEREIRA JR., J. M., & COSTA FILHO, R. N. (2004). Green's function theory for a magnetic impurity layer in a ferromagnetic Ising film with transverse field. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 283, pp Essentia, Sobral, v. 16, p ,

14 LEITE, R. V., PEREIRA JR., J. M., & COSTA FILHO, R. N. (2005). Localized magnetic excitations of coupled impurities in a transverse Ising ferromagnet. Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 295, pp LEITE, R. V., OLIVEIRA FILHO, L. O., PEREIRA JR., J. M., COTTAM, M. G., & COSTA FILHO, R. N. (2009). Localized magnetic excitations for a line of magnetic impurities in a transverse Ising thin film ferromagnet. Physics Letters A, 373, pp ZUBAREV, D. N. (1960). Double time Green functions in statistical physics. Soviet Physic Uspekhi, 3 (3), pp Essentia, Sobral, v. 16, p ,