10 - SUPERCONDUTIVIDADE

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1 10 - SUPERCONDUTIVIDADE PROF. CÉSAR AUGUSTO DARTORA - UFPR CURITIBA-PR

2 Roteiro do Capítulo: Propriedades gerais de supercondutores Equações de London e Efeito Meissner Teoria Microscópica: Modelo BCS Fenomenologia: Teoria de Ginzburg-Landau Supercondutores Não-Convencionais: High-Tc 10 - Supercondutividade 2/32

3 Propriedades gerais de supercondutores A SC foi descoberta por Heike Kammerlingh Onnes em (Onnes ganhou o prêmio Nobel de Física em 1913 por suas descobertas em fenômenos de baixas temperaturas, que levou à produção do hélio ĺıquido.) São características gerais dos supercondutores: Abaixo de uma temperatura crítica T c a resistência cai abruptamente para zero. Há a expulsão total do campo magnético do interior do material supercondutor, conhecido como Efeito Meissner. Existência de correntes persistentes, ou supercorrentes, que não sofrem dissipação Supercondutividade 3/32

4 Comportamento da resistência elétrica com a temperatura para um condutor normal e um supercondutor: Para um SC a resistência cai abruptamente para zero abaixo de T c enquanto para um condutor normal ela nunca se anula Supercondutividade 4/32

5 Efeito Meissner 10 - Supercondutividade 5/32

6 Elementos Supercondutores 10 - Supercondutividade 6/32

7 Equações de London Obtidas pelos irmãos London com base nas eqs. de Maxwell macroscópicas, para permitir explicar a supercondutividade e o efeito Meissner. Consideremos a equação de movimento para uma carga q de massa m na presença do campo elétrico E, sem dissipação: dv dt = q m E. (1) A dens. de corrente é definida como J = nqv onde n é a densidade volumétrica de cargas q. Supondo por simplicidade que n seja constante no tempo, podemos multiplicar toda a equação acima por nq para obter: J t = nq2 m E. (2) 10 - Supercondutividade 7/32

8 Considerando as equações de Maxwell macroscópicas: D = ρ, (3) B = 0, (4) E = B t H = J + D t, (5), (6) podemos calcular o rotacional de (2) para relacionar esta com a lei de Faraday (5): ( ) J = t nq2 J = t m E = B nq2 m t. (7) 10 - Supercondutividade 8/32

9 Eliminando a derivada temporal ficamos com: J = nq2 m B. (8) Lembrando que B = A, onde A é o vetor potencial magnético, podemos obter a relação de London entre a corrente e o potencial: J = nq2 m A. (9) Esta última equação quebra a simetria de gauge eletromagnético, uma vez que para o regime invariante no tempo J = 0 A = 0! 10 - Supercondutividade 9/32

10 Levando em conta agora a Lei de Ampère H = J temos da eq. (8): J = H = nq2 m B e utilizando H = ( H) 2 H, B = µ 0 H finalmente obtemos: onde 2 B = k 2 B, (10) k 2 = µ 0nq 2 m Supercondutividade 10/32

11 Para um campo magnético aplicado tangencial à superfície de um supercondutor: condições de contorno implicam a continuidade de B na superfície devendo B satisfazer à equação (10). Supondo o eixo z perpendicular à superfície do supercondutor, considerado semi-infinito na região z 0 e B = B 0ˆx para z < 0, temos no interior do supercondutor: cuja solução é da forma: d 2 B x (z) dz 2 = k 2 B x, B x (0) = B 0. (11) B x (z) = B 0 e kz, (12) Efeito Meissner: o campo magnético se extingue exponencialmente para o interior do SC, as linhas de fluxo são expulsas do SC Supercondutividade 11/32

12 A distância z = 1/k é o comprimento de penetração de London λ L : λ L = m µ 0 nq. (13) 2 Tipicament q = 2e e m = 2m e levando à idéia de que os elétrons formam pares. No interior do supercondutor J = k 2 A, já que para campos estáticos e uniformes A = B r/2. O campo magnético externo deve ser exatamente compensado no interior do supercondutor, para que B x (z >> λ L ) = 0. Lembrando que B = µ 0 (H + M), verificamos que M = H, o que dá uma susceptibilidade diamagnética ideal χ m = 1! 10 - Supercondutividade 12/32

13 Variação do Campo Magnético no Interior de um Supercondutor: Efeito Meissner 10 - Supercondutividade 13/32

14 Teoria Microscópica: O Modelo BCS Descrita por Bardeen, Cooper e Schrieffer em 1957: prêmio Nobel de Física por essa teoria. Os ingredientes essenciais são os seguintes: Existência de uma interação atrativa entre elétrons devido à interação elétron-fônon. A interação promove a formação de pares de Cooper (estados de dois elétrons ligados ) que é energeticamente favorável em relação aos elétrons não correlacionados. Prevê a existência do gap supercondutor, permite inferir a temperatura crítica abaixo da qual o material se torna supercondutor, o campo magnético crítico que destrói a supercondutividade e o comportamento do calor específico Supercondutividade 14/32

15 Representação diagramática da interações elétron-fônon: 10 - Supercondutividade 15/32

16 O modelo BCS mais simples negligencia interação coulombiana elétron-elétron. Nos metais considera um gás de elétrons representados por ondas planas uniformes, interagindo com o gás de fônons da rede cristalina: Ĥ = kσ ε kσ ĉ kσĉkσ+ q hω q â qâ + q (D q ĉ k qσĉkσa q+d qĉ k+qσĉkσa q ). kqσ (14) onde ĉ kσ (ĉ kσ ) são operadores fermiônicos que aniquilam(criam) elétrons de momento hk e spin σ = (, ), â q (â q) são operadores bosônicos que aniquilam(criam) fônons de momento hq. Por simplicidade pode-se assumir que na ausência de campos magnéticos ε kσ = h 2 k 2 /(2m) e na presença do campo um termo de Zeeman da forma σµ B B 0 deve ser acrescentado Supercondutividade 16/32

17 O termo H e = kσ é a energia do gás de elétrons; ε kσ ĉ kσĉkσ O termo seguinte no hamiltoniano, H ph = q hω q â qâ q representa o gás de fônons; Já o último termo é o de interação elétron-fônon: Ĥ el ph = (D q ĉ k qσĉkσa q + D qĉ k+qσĉkσa q ) representa troca de energia e momento entre elétrons e fônons, com emissão e absorção de fônons Supercondutividade 17/32

18 Aplicando uma transformação de similaridade descrita em: C. Kittel, The Quantum Theory of Solids. eliminam-se as variáveis de fônons em baixas temperaturas, deixando o Hamiltoniano apenas com termos eletrônicos. Restam a energia dos elétrons livres e a interação e-e mediada por troca de fônons virtuais: Ĥ = kσ ε kσ ĉ kσĉkσ V ĉ k qσĉkσĉ k +qσ ĉ k σ. (15) kk qσσ onde assume-se que V > 0, dando origem a uma interação atrativa elétron-elétron. O modelo BCS assume a existência de médias não nulas para operadores da forma: ĉ k ĉ k e ĉ k ĉ k Supercondutividade 18/32

19 Uma nova simplificação coloca o hamiltoniano de BCS na forma a seguir: Ĥ = k ε k (ĉ k ĉk + ĉ k ĉ k ) V kk ĉ k ĉ k ĉ k ĉ k. (16) Admite-se uma teoria do campo médio definido: resultando em: = V k ĉ k ĉ k. Ĥ = k ε k (ĉ k ĉk + ĉ k ĉ k ) ( ĉ k ĉ k + ĉ k ĉ k ). (17) k Deve-se diagonalizar o Hamiltoniano acima através das transf. de Bogoliubov. O parâmetro resulta ser a energia de ligação do par de Cooper, formado por um elétron k e outro k Supercondutividade 19/32

20 Da análise deduz-se que: e ainda próximo de T c (0) = 1.76k B T c, ( (T ) (0) = T ) 1/2, (18) T c e ainda existe um campo crítico cuja energia de Zeeman associada promove a quebra do par de Cooper, cujo comportamento é dado por: ( ) 2 H c (T ) T H c (0) 1. T c O modelo BCS prevê o efeito isotópico verificado experimentalmente, onde a temperatura crítica varia com a massa do isótopo Supercondutividade 20/32

21 Comportamento da energia do gap supercondutor E g em função da temperatura: 10 - Supercondutividade 21/32

22 Fenomenologia de Ginzburg-Landau Proposta por Vitaly Ginzburg e Lev Landau nos anos 1950, para explicar a supercondutividade no espírito da teoria de transições de fase de Landau. Supõe-se a existência de um parâmetro de ordem ψ, que deve representar o condensado macroscópico de pares de Cooper. A Hamiltoniana desse sistema é dada por: H = 1 2m ( i h 2eA)ψ 2 + α ψ 2 + β 2 ψ 4 + H n + B2 2µ 0, (19) onde H n é o hamiltoniano da fase normal Supercondutividade 22/32

23 A densidade de corrente é dada por: J = ie m (ψ ψ ψ ψ) 4e2 m ψ 2 A. (20) O parâmetro ψ 2 descreve a densidade de pares de Cooper no estado supercondutor. Considerando a energia potencial do estado supercondutor, na ausência de campos eletromagnéticos, temos: U = α ψ 2 + β 2 ψ 4. Minimizando esta energia temos: du d ψ = ψ (α + β ψ 2 ) = Supercondutividade 23/32

24 As soluções que minimizam U são: ψ = 0 será um mínimo local se α > 0 e β >. Nesse caso o estado normal é favorecido. ψ = α/β se α/β > 0. Nesse caso o estado supercondutor é favorecido. Pode-se supor a expansão do parâmetro de ordem em torno da temperatura crítica T c, que em primeira ordem resulta em: ψ 2 = α/β = ψ 0 (T T c ) 10 - Supercondutividade 24/32

25 A teoria de G-L descreve satisfatoriamente a SC do tipo I (transição abrupta entre estado normal e SC) e do tipo II (permite existência de linhas de fluxo quantizada e vórtices) Supercondutividade 25/32

26 10 - Supercondutividade 26/32

27 Elementos Supercondutores e suas temperaturas críticas: 10 - Supercondutividade 27/32

28 Supercondutores Não-Convencionais e High-Tc A Teoria BCS é também denominada convencional e prevê: a existência de pares de Cooper mediada por fônons os pares estão no estado singleto de spin é incompatível com ordem magnética e idealmente apresentam diamagnetismo perfeito. prevê como máxima temperatura crítica admissível T c 35K. Os supercondutores que não se encaixam nas definições da teoria BCS são ditos Não-Convencionais, dentre os quais existem os de High-Tc Supercondutividade 28/32

29 Principais Tipos de Supercondutividade Não-Convencional Supercondutores de Altas Temperaturas, ou High-Tc: os pares de Cooper não podem ser formados através de interação por fônons virtuais, que limita T c a aproximadamente 35K. Todos os supercondutores de T c > 35K são denominados High-Tc. Os High-Tc foram descobertos por Bednorz e Müller, que ganharam o prêmio Nobel de Física em 1987 pela descoberta. São exemplos de High-Tc materiais cerâmicos chamados cupratos: HgBa 2 Ca 2 Cu 3 O x tem a mais alta temperatura até agora com 135K. Além disso os supercondutores que envolvem ordem magnética, estado tripleto e pareamento por outros mecanismos que não sejam fônons. Exemplos são os supercondutores Iron-based. Podem ser ou não de high-tc Supercondutividade 29/32

30 Evolução da descoberta de Supercondutores High-Tc 10 - Supercondutividade 30/32

31 Temperaturas críticas para alguns supercondutores 10 - Supercondutividade 31/32

32 Referências deste Capítulo [1] Ashcroft/Mermin, Solid State Physics [2] C. Kittel, Introduction to Solid State Theory. [3] C. Kittel, The Quantum Theory of Solids. [4] O. Madelung, Introduction to Solid State Theory Supercondutividade 32/32