ESTUDO DOS FATORES DE REDUÇÃO DE RIGIDEZ DA NBR 6118:2014 PARA ANÁLISE APROXIMADA DA NÃO LINEARIDADE FÍSICA. Bárbara Cardoso Gomes

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1 ESTUDO DOS FATORES DE REDUÇÃO DE RIGIDEZ DA NBR 6118:2014 PARA ANÁLISE APROXIMADA DA NÃO LINEARIDADE FÍSICA Bárbara Cardoso Gomes Projeto de Graduação apresentado ao Curso de Engenharia Civil da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro. Orientadores: Sergio Hampshire de Carvalho Santos Henrique Innecco Longo Rio de Janeiro Março de 2017

2 ESTUDO DOS FATORES DE REDUÇÃO DE RIGIDEZ DA NBR 6118:2014 PARA ANÁLISE APROXIMADA DA NÃO LINEARIDADE FÍSICA PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO CIVIL. Examinado por: Prof. Sergio Hampshire de Carvalho Santos, D. Sc., EP/UFRJ Prof. Silvio de Souza Lima, D. Sc., EP/UFRJ Prof. Bruno Martins Jacovazzo, D. Sc., EP/UFRJ RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL MARÇO DE 2017 ii

3 Gomes, Bárbara Cardoso Estudo dos fatores de redução de rigidez da NBR 6118:2014 para análise aproximada da não linearidade física /Bárbara Cardoso Gomes Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, XI, 114 p.: il.; 29,7 cm. Orientadores: Sérgio Hampshire de Carvalho Santos, D.Sc; Henrique Innecco Longo, D.Sc. Projeto de Graduação UFRJ / Escola Politécnica /Curso de Engenharia Civil, Referências Bibliográficas: p Efeitos de segunda ordem. 2. NBR Análises Comparativas. I. Santos, Sergio Hampshire de Carvalho. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Civil. iii

4 Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Civil. ESTUDO DOS FATORES DE REDUÇÃO DE RIGIDEZ DA NBR 6118:2014 PARA ANÁLISE APROXIMADA DA NÃO LINEARIDADE FÍSICA Bárbara Cardoso Gomes Março/2017 Orientadores: Sérgio Hampshire de Carvalho Santos e Henrique Innecco Longo Curso: Engenharia Civil Este trabalho analisa os fatores de redução da rigidez das seções de pilares em concreto armado definidos pela NBR 6118:2014 nas considerações de efeitos de segunda ordem global em edifícios. Para as considerações aproximadas da não linearidade física, a Norma define a redução da rigidez na seção de pilares com um fator de 0,8. Esta consideração aproximada é aqui analisada, sendo utilizado para isso um edifício típico de doze pavimentos. Para isso, são desenvolvidos três modelos: o primeiro para o pré-dimensionamento da estrutura, o segundo que considera o fator de redução sugerido pela Norma e no terceiro, é aplicado o Método P- Delta, considerando a redução real de rigidez da estrutura, através da construção de gráficos de interação entre momentos e curvaturas. O edifício é modelado com o programa SAP2000, que para os casos de análise de segunda ordem global, tem disponível o Método P-Delta. A análise considera os carregamentos de vento, carga acidental e peso próprio. Para conclusões sobre a influência destes fatores de redução são feitas comparações entre deslocamentos e esforços obtidos nas várias análises. Palavras-chave: efeitos de segunda ordem, análise não linear, NBR iv

5 Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Civil Engineer. ESTUDO DOS FATORES DE REDUÇÃO DE RIGIDEZ DA NBR 6118:2014 PARA ANÁLISE APROXIMADA DA NÃO LINEARIDADE FÍSICA Bárbara Cardoso Gomes March/2017 Advisors: Sérgio Hampshire de Carvalho Santos and Henrique Innecco Longo Course: Civil Engineering The stiffness reduction factors defined in the Standard NBR 6118:2014 in the sections of reinforced concrete columns, for the consideration of global second order effects, are analyzed in this work. For the approximate considerations of physical non-linearity, the Standard defines the reduction in the stiffness in the sections of the columns with a factor of 0.8. This approximate consideration is herein analyzed. For this, a typical twelve-floor building is used. For this, three models are developed: the first one for a pre-design of the structure; the second one considers the stiffness reduction factors suggested by the Standard; in the third one, the P-Delta Method is applied, for considering the actual stiffness reduction of the structure, through the construction of interaction diagrams relating bending moments and curvatures. The building is modelled using the programa SAP2000, in which the P-Delta Method is available for the analysis of global second order effects. The basic loadings considered as applied in the building are wind forces, live loads and permanent loads. For concluding on the influence of these reduction factors, comparisons are made between displacements and forces obtained in the several analyses. Key-words: second order effects, nonlinear analysis, NBR v

6 SUMÁRIO 1 Introdução Estruturas de Nós Fixos e de Nós Móveis Parâmetro de Instabilidade α Critério do coeficiente γz O Método P-Delta Análise da Estrutura Definição dos Materiais Pré-Dimensionamento Definição dos Carregamentos Cargas Permanentes Cargas Variáveis Combinações de Cargas Estado Limite Último Estado Limite de Serviço Considerações de Modelagem Análise do Modelo Estrutural ª Análise Modelo Inicial - Fatores da NBR 6118: Análise dos Esforços nos Pilares Dimensionamento dos Pilares Dimensionamento P4 - Nível 0, Dimensionamento Demais Pilares ª Análise Modelo Dimensionado Fatores da NBR 6118: Análise do Coeficiente γz Análise Comparativa de Deslocamentos Excentricidade Média do Edifício Análise Comparativa de Momentos Dimensionamento P4 Nível 0, Dimensionamento dos Demais Pilares Análise da Rigidez da Seção Análise da Rigidez P4 - Nível 0, Análise da Rigidez Demais Pilares vi

7 8 3ª Análise Fatores de Redução da Rigidez Encontrados Modelo Final Análise Comparativa de Deslocamentos Excentricidade Média do Edifício Análise Comparativa de Momentos Conclusões Referências Bibliográficas A Anexo A Esforços Atuantes nos Pilares do Modelo Inicial B Anexo B Ábacos do Dimensionamento dos Pilares do Modelo Inicial C Anexo C Esforços Atuantes nos Pilares do Modelo da 2ª Análise D Anexo D Ábacos do Dimensionamento dos Pilares do Modelo da 2ª Análise E Anexo E Curvas de Interação entre Momento e Curvatura dos Pilares do Modelo da 2ª Análise vii

8 LISTA DE FIGURAS Figura 1 - Haste engastada separada em trechos bi-rotulados Figura 2 - Deformada de uma haste engastada na base e livre na ponta Figura 3 - Níveis dos pavimentos de dimensionamento Figura 4 - Planta inicial Figura 5 - Propriedades do material concreto Figura 6 - Área de Influência do Pilar P Figura 7 - NBR 6123: Parâmetros da edificação Figura 8- Elementos de barra para vigas e pilares Figura 9- Elementos de placa para lajes Figura 10 - Convenção de esforços do programa SAP Figura 11- Convenção de esforços do programa SAP Figura 12- Convenção de esforços do programa SAP Figura 13 - Esforços nos pilares do último pavimento Figura 14 - Seção Típica do Pilar do Modelo Figura 15 - DMF - Combinação de carga acidental P4 Nível 0, Figura 16 - DMF - Combinação de carga de vento - P4 Nível 0, Figura 17 - DN - Combinação de carga acidental - P4 Nível 0, Figura 18 - DN - Combinação de carga de vento - P4 Nível 0, Figura 19 - Ábaco de Interação - P4 20x40 Nível 0,00 - Modelo Inicial Figura 20 - Momentos atuantes no pilar Figura 21 - DMF - Combinação de carga de vento com efeito P-Delta P4 Nível 0, Figura 22 DMF Combinação de carga acidental com efeito P-Delta P4 Nível 0, Figura 23 - DN - Combinação de carga de vento com efeito P-Delta P4 Nível 0, Figura 24 - DN Combinação de carga acidental com efeito P-Delta P4 Nível 0, Figura 25 - Ábaco de Interação - P4 20x40 Nível 0,00 - Modelo Dimensionado Figura 26 - Momentos atuantes no pilar Figura 27 - Análise Rigidez - P4 - Nível 0, Figura 28 Ábaco de interação - P4 Nível 0,00-1ª Análise Figura 29 Ábaco de interação - P4 Nível 12,00-1ª Análise Figura 30 - Ábaco de interação - P4 Nível 24,00-1ª Análise Figura 31- Ábaco de interação P2 Nível 0,00-1ª Análise Figura 32- Ábaco de interação P2 Nível 12,00-1ª Análise viii

9 Figura 33- Ábaco de interação P2 Nível 24,00-1ª Análise Figura 34 - Ábaco de interação P8 Nível 0,00-1ª Análise Figura 35 - Ábaco de interação P8 Nível 12,00-1ª Análise Figura 36 - Ábaco de interação P8 Nível 24,00-1ª Análise Figura 37- Ábaco de interação P6 Nível 0,00-1ª Análise Figura 38 - Ábaco de interação P6 Nível 12,00-1ª Análise Figura 39 - Ábaco de interação P6 Nível 24,00-1ª Análise Figura 40- Ábaco de interação P4 Nível 0,00-2ª Análise Figura 41 - Ábaco de interação P4 Nível 12,00-2ª Análise Figura 42 - Ábaco de interação P4 Nível 24,00-2ª Análise Figura 43 - Ábaco de interação P2 Nível 0,00-2ª Análise Figura 44 - Ábaco de interação P2 Nível 12,00-2ª Análise Figura 45 - Ábaco de interação P2 Nível 24,00-2ª Análise Figura 46 - Ábaco de interação P8 Nível 0,00-2ª Análise Figura 47 - Ábaco de interação P8 Nível 12,00-2ª Análise Figura 48 - Ábaco de interação P8 Nível 24,00-2ª Análise Figura 49 - Ábaco de interação P6 Nível 0,00-2ª Análise Figura 50 - Ábaco de interação P6 Nível 12,00-2ª Análise Figura 51 - Ábaco de interação P6 Nível 24,00-2ª Análise Figura 52 - Diagrama de Momento x Curvatura - P4 Nível 0,00-2ª Análise Figura 53 - Diagrama de Momento x Curvatura - P4 Nível 12,00-2ª Análise Figura 54 - Diagrama de Momento x Curvatura - P4 Nível 24,00-2ª Análise Figura 55 - Diagrama de Momento x Curvatura P2 Nível 0,00-2ª Análise Figura 56 - Diagrama de Momento x Curvatura P2 Nível 12,00-2ª Análise Figura 57 - Diagrama de Momento x Curvatura P2 Nível 24,00-2ª Análise Figura 58 - Diagrama de Momento x Curvatura P8 Nível 0,00-2ª Análise Figura 59 - Diagrama de Momento x Curvatura P8 Nível 12,00-2ª Análise Figura 60 - Diagrama de Momento x Curvatura P8 Nível 24,00-2ª Análise Figura 61 - Diagrama de Momento x Curvatura P6 Nível 0,00-2ª Análise Figura 62 - Diagrama de Momento x Curvatura P6 Nível 12,00-2ª Análise Figura 63 - Diagrama de Momento x Curvatura P6 Nível 24,00-2ª Análise ix

10 LISTA DE TABELAS Tabela 1 - Tabela 1 da NBR 6123: Parâmetros Meteorológicos Tabela 2 - Tabela 3 da NBR 6123: Valores Mínimos para o Fator Estatístico Tabela 3 - Tabela 4 da NBR 6123: Coeficientes de pressão externa Tabela 4 - Tabela 11.1 da NBR 6118:2014 Coeficientes γf1e γf Tabela 5 - Tabela 11.2 da NBR 6118:2014 Coeficientes γf Tabela 6 - Esforços P4 - Nível 0,00 - Modelo Inicial Tabela 7 - Entrada no ábaco- P4 20x40 Nível 0,00 Modelo Inicial Tabela 8 - Dimensionamento dos Pilares - Modelo Inicial Tabela 9 - Momento mínimo de primeira ordem - Modelo Inicial Tabela 10 - Efeito de 2ª ordem - Momento Atuante - Modelo Inicial Tabela 11 Efeito de 2ª ordem Momento Mínimo de 1ª Ordem Modelo Inicial Tabela 12 Momento Crítico Modelo Inicial Tabela 13 - Somatório de forças totais do modelo - Modelo Dimensionado Tabela 14 - Somatório de momentos totais do modelo - Modelo Dimensionado Tabela 15 Momento de tombamento - Combinação de vento Modelo Dimensionado Tabela 16 Momento de tombamento - Combinação de carga acidental Modelo Dimensionado Tabela 17 - Deslocamentos para combinações de vento - Modelo Dimensionado Tabela 18 - Deslocamentos para combinações de carga acidental - Modelo Dimensionado Tabela 19 - M2 combinação carga de vento - P4 - Modelo Dimensionado Tabela 20 - M2 combinação carga acidental - P4 - Modelo Dimensionado Tabela 21 - Esforços P4 - Nível 0,00 - Modelo Dimensionado Tabela 22 - Entrada no ábaco - P4 20x40 Nível 0,00 Modelo Dimensionado Tabela 23 - Dimensionamento dos Pilares - Modelo Dimensionado Tabela 24 - Momento mínimo de primeira ordem - Modelo Dimensionado Tabela 25 - Efeito de 2ª ordem - Momento Atuante - Modelo Dimensionado Tabela 26 Efeito de 2ª ordem Momento Mínimo de 1ª Ordem Modelo Dimensionado. 64 Tabela 27 Momento Crítico Modelo Inicial Tabela 28- Área de aço - Modelo Dimensionado Tabela 29 - Análise Rigidez - P4 - Nível 0, Tabela 30 - Análise de rigidez de todos os pilares - Modelo Dimensionado Tabela 31 - Valores dos fatores de redução da rigidez adotados - Modelo Final x

11 Tabela 32 - Comparação de deslocamentos entre 1ª e 2ª análise Tabela 33 - Somatório de forças totais do modelo - Modelo Final Tabela 34- Somatório de momentos totais do modelo - Modelo Final Tabela 35 - Comparação da excentricidade média no edifício Tabela 36 - Momentos da combinação de vento com efeito de 2ª ordem Tabela 37 - Esforços atuantes - P4 - Modelo Inicial Tabela 38 - Esforços atuantes - P2 - Modelo Inicial Tabela 39 - Esforços atuantes - P8 - Modelo Inicial Tabela 40 - Esforços atuantes - P6 - Modelo Inicial Tabela 41 - Esforços atuantes - P4 - Modelo Dimensionado Tabela 42 - Esforços atuantes - P4 - Modelo Dimensionado Tabela 43 Esforços atuantes P8 - Modelo Dimensionado Tabela 44 - Esforços atuantes P6 - Modelo Dimensionado xi

12 1 INTRODUÇÃO Com o crescente número de edifícios de grande altura e esbeltos, o estudo dos efeitos de 2ª ordem nos elementos estruturais torna-se cada vez mais necessário. Edifícios submetidos a carregamentos horizontais sofrem deslocamentos horizontais, que conforme aumenta a altura do prédio, tendem a ser cada vez maiores, devido às ações levadas em consideração no dimensionamento. A principal carga horizontal considerada no dimensionamento de edifícios é a carga de vento, que segundo a NBR 6123:1988 está relacionada, entre outros fatores, com a altura do edifício. As cargas horizontais geram momentos de 1ª ordem, porém com os deslocamentos horizontais da estrutura consequentes das cargas horizontais e verticais, as forças verticais atuantes geram momentos de 2ª ordem na estrutura (efeitos globais de 2ª ordem). A NBR 6118:2014, no seu item , define dois parâmetros para definir quais estruturas podem ser consideradas como de nós fixos e quais devem ser consideradas com nós móveis, sendo que nas primeiras podem ser ignorados os efeitos de 2ª ordem global. Para os casos em que os nós sejam considerados móveis, a NBR 6118:2014, no seu item 15.7, define que é obrigatória a consideração dos efeitos da não linearidade geométrica e da não linearidade física na análise da estrutura, e para o dimensionamento fica obrigatória a verificação dos efeitos globais e locais de 2ª ordem. O item da NBR 6118:2014 com título Consideração aproximada da não linearidade física define parâmetros para a consideração aproximada destes efeitos. Estes parâmetros devem ser aplicados na rigidez dos elementos de laje, viga e pilar. Este presente trabalho busca analisar este item da NBR 6118:2014, para melhor utilização acadêmica e profissional desta simplificação.

13 2 ESTRUTURAS DE NÓS FIXOS E DE NÓS MÓVEIS A NBR 6118:2014, no seu item , define que as estruturas podem ser consideradas como de nós fixos quando os deslocamentos horizontais são pequenos, podendo se desprezar os efeitos globais de 2ª ordem gerados quando estes são da ordem de até 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem. Portanto, para as estruturas de nós fixos, basta-se considerar os efeitos locais de 2ª ordem. O mesmo item define que as estruturas de nós móveis são aquelas em que os deslocamentos horizontais não são pequenos e, portanto, os efeitos globais de 2ª ordem são importantes. Ao contrário da situação anterior, são superiores a 10% dos efeitos dos respectivos efeitos de 1ª ordem. Portanto, além dos efeitos locais, devem ser considerados os efeitos globais de 2ª ordem. Para definir se uma estrutura pode ser considerada de nós fixos e dispensar a análise de efeitos globais de 2ª ordem, a NBR 6118:2014 fornece dois métodos, que serão descritos nos itens subsequentes. 2.1 Parâmetro de Instabilidade α Uma estrutura reticulada simétrica pode ser considerada como de nós fixos, se seu parâmetro α de instabilidade for menor ou igual ao valor de referência α 1, conforme o procedimento a seguir. O parâmetro de instabilidade é definido por: E o valor de referência α 1 é dado por: α 1 = 0,2 + 0,1n, se n 3 α 1 = 0,6, se n 4 Sendo: α = H tot N k (2.1) (Ecs I c ) n: o número de andares acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; H tot : a altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; N k : o somatório da todas as cargas verticais atuantes na estrutura, a partir da altura considerada para o cálculo de H tot, com seu valor característico; 2

14 I c : inércia de um pilar equivalente, com seção constante, engastado na base e livre no topo, com comprimento igual à H tot, que quando submetido à combinação de cargas preponderante para o projeto da estrutura, forneça o mesmo deslocamento horizontal no topo; E cs : módulo de elasticidade secante do concreto. 2.2 Critério do coeficiente γ z Este é o segundo critério da Norma para a definição se a estrutura é de nós móveis. Define-se o coeficiente γ z de importância dos esforços globais de 2ª ordem, que pode ser aplicado a estruturas reticuladas de no mínimo quatro andares. Ele pode ser determinado a partir da análise linear de 1ª ordem para os carregamentos atuantes. Nesta análise, devem ser considerados os parâmetros de redução de rigidez do item da NBR 6118:2014: abaixo: - Laje: (EI) sec = 0,3 E c I c ; - Viga: (EI) sec = 0,4 E c I c, considerando o caso mais geral com A s A s ; - Pilar: (EI) sec = 0,8 E c I c. Para cada combinação de carregamento, deve-se calcular o parâmetro γ z, conforme Com: γ z = 1 1 M tot,d M 1,tot,d (2.2) M 1,tot,d : Momento de tombamento, a soma dos momentos de todas as forças horizontais da combinação considerada, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura; M tot,d : Acréscimo de 2ª ordem no momento de tombamento, soma dos momentos gerados pelas forças verticais, com seus valores de projeto pelos respectivos deslocamentos horizontais dos seus pontos de aplicação, obtidos na análise linear de 1ª ordem. Considera-se que a estrutura é de nós fixos, caso o coeficiente de importância dos esforços de 2ª ordem for menor que 1,1, ou seja: γ z 1,1. Caso tenha-se 1,1 γ z 1,3, a Norma permite a consideração de forma aproximada dos efeitos globais de segunda ordem, através da multiplicação equivalente das cargas horizontais pelo fator 0,95.γ z. 3

15 3 O MÉTODO P-DELTA Para a análise dos efeitos globais de 2ª ordem do modelo de uma forma mais consistente, é possível se proceder a uma análise com o Método P-Delta. Este é um método aproximado iterativo para a determinação dos efeitos de segunda ordem globais. O método cria forças horizontais fictícias que são equivalentes aos momentos de segunda ordem. Estas forças são calculadas até que a posição final de equilíbrio seja atingida. Neste método, a análise não linear é substituída por várias análises lineares. Em cada etapa as características mecânicas são mantidas constantes. Em cada etapa, os resultados da etapa anterior são alterados e processo iterativo termina quando houver uma convergência entre os valores de duas etapas consecutivas, considerando-se uma determinada tolerância. De maneira ilustrativa, considere-se uma haste engastada com a outra extremidade livre, conforme a seguir: Figura 1 - Haste engastada separada em trechos bi-rotulados. As forças fictícias H i são obtidas da seguinte forma: Seção S 2 : N 1 (a 1 a 2 ) = H 1 h 1 Logo, H 1 = N 1 a 1 /h 1 Isso significa que dado o deslocamento a 1 no nó 1 da seção 1, a força N 1 gera um momento em relação ao nó 2 da seção 2. O momento é calculado considerando-se a distância horizontal relativa entre os dois nós, em função dos deslocamentos relativos entre os dois pontos a 1 = (a 1 a 2 ), Este deve ser igual ao momento gerado pela força fictícia H 1 no nó 2 da seção 2. Portanto, igualam-se as duas equações e encontra-se o valor para a fictícia H 1. O mesmo é feito consecutivamente demais nós: Seção S 3 : (N 1 + N 2 )(a 2 a 3 ) = H 2 h 2 4

16 Logo, H 2 = (N 1 + N 2 ) a 2 /h 2 Seção S 4 : (N 1 + N 2 + N 3 )(a 3 a 4 ) = H 3 h 3 Logo, H 3 = (N 1 + N 2 + N 3 ) a 3 /h 3 Com os valores das forças horizontais fictícias, estas são aplicadas à estrutura, que já tem suas deformações (a 1, a 2, a 3 ) geradas pelos demais carregamentos atuantes. Com a aplicação das forças horizontais fictícias (H 1, H 2, H 3 ) haverá uma alteração nos deslocamentos dos nós, que serão maiores, conforme na figura abaixo chamados de a 1, a 2 e a 3. Figura 2 - Deformada de uma haste engastada na base e livre na ponta. Desta forma, começa o processo iterativo, em que se deve encontrar um novo valor para a força horizontal fictícia que seja equivalente aos momentos gerado pelos deslocamentos a 1, a 2 e a 3. Quando os valores de deslocamento dos nós de duas iterações seguidas convergirem dentro de uma tolerância, o processo iterativo está terminado. Assim, o Método P-Delta determina os efeitos de 2ª ordem global gerados pelos deslocamentos dos nós. 5

17 4 ANÁLISE DA ESTRUTURA Para desenvolvimento deste trabalho será construído um modelo estrutural de um edifício típico no programa SAP2000. A estrutura estudada é um edifício com 12 pavimentos iguais, com pé-direito de 3,0 metros, com o total de 36,0 metros de altura, 30,0 metros de comprimento e 16,0 metros de largura. Com um modelo inicial será feito um pré-dimensionamento, a princípio considerando seções únicas para todos os pilares, uma para as vigas e uma para as lajes. Porém, para melhor representatividade do modelo com relação a um prédio real, após uma primeira análise dos esforços gerados pelos carregamentos aplicados à estrutura inicial, será feito o dimensionamento em três trechos contendo quatro pavimentos cada. Portanto, serão três seções ao longo dos pilares, sendo os níveis de referência para o dimensionamento os níveis mais baixos em cada grupo. Isto significa que serão referência os níveis 0,00; 12,00 e 24,00, conforme a figura abaixo: Figura 3 - Níveis dos pavimentos de dimensionamento. 6

18 Com a análise dos esforços atuantes em cada direção do modelo, serão definidas as seções de concreto para os pilares de acordo com a necessidade de resistência em relação aos eixos mais solicitados. Com os resultados da segunda análise, já com todos os carregamentos atuantes e com as seções de concreto definidas, será analisada a rigidez secante das seções, representada pela relação entre momentos atuantes e curvaturas. Para uma terceira e final análise serão aplicadas às seções de pilares os fatores da relação entre a rigidez encontrada e a rigidez secante das seções, a fim de compará-las com os fatores fornecidos pela norma no item da NBR 6118:2014: - Laje: (EI) sec = 0,3 E c I c ; - Viga: (EI) sec = 0,4 E c I c, considerando o caso mais geral com A s A s ; - Pilar: (EI) sec = 0,8 E c I c. A planta de formas básica considerada é mostrada na Figura 4. 7

19 Figura 4 - Planta inicial. 8

20 4.1 Definição dos Materiais 35MPa. A estrutura será modelada em concreto com resistência característica à compressão de f ck = 35MPa Segundo a NBR 6118:2014, o módulo de deformação secante pode ser obtido pela seguinte expressão, para concretos com resistência característica entre 20 MPa e 50 MPa: E cs = α i E ci (4.1) O módulo de deformação tangente inicial do concreto E ci será: E ci = α E 5600 f ck (4.2) Considerando como agregado graúdo granito ou gnaisse: Logo, α E = 1,0 Seja, E ci = 1, = 33130,047 MPa α i = (0,8 + 0,2 f ck 80 ) (4.3) Para o concreto de resistência à compressão característica de 35 MPa: α i = (0,8 + 0, ) = 0,89 Portanto o módulo de deformação secante será igual à: E cs = 0, ,05 = 29485,74 MPa Segundo recomendação da NBR 6118:2014, nas análises de estabilidade global, que trata a estrutura como um todo, o valor do módulo de deformação secante pode ser majorado em 10%: E cs = 29485,74 1,10 = 32434,32 MPa Coeficiente de dilatação térmica do concreto: 9

21 α = Coeficiente de Poisson: Peso específico do concreto: υ = 0,2 γ = 25 kn/m³ Definição das propriedades do concreto utilizado no SAP2000: Figura 5 - Propriedades do material concreto. 10

22 Numa primeira análise de esforços globais de 2ª ordem, serão considerados os fatores recomendados pela Norma para a consideração aproximada da não linearidade física, conforme definido anteriormente, para os elementos de laje, viga e pilar. 4.2 Pré-Dimensionamento O modelo estrutural será montado com elementos de barra, representando os pilares e as vigas, e elementos de placa para as lajes. Para a largura das vigas será definido o valor de 15 cm. Por simplificação do pré-dimensionamento, a altura das vigas será definida em função de seus respectivos vãos. Considerando o dimensionamento de vigas tabelado com o coeficiente k md, para que não haja necessidade de armadura de compressão, o k md deve ser limitado a 0,251. Com isso, para o pré-dimensionamento, será considerada uma carga atuante na viga de 25 kn/m. Considerando a princípio as vigas como biapoiadas, o momento máximo será dado por: Portanto, para o carregamento citado: M máx = ql² 8 Seja a fórmula do coeficiente k md : M máx = ql2 8 = 25 l² 8 = 3,125l² (4.4) k md = 1,4 M d b d² f cd (4.5) Para limitação de seu valor à 0,251 com o valor do carregamento: E para o cálculo da altura útil: k md = 1,4 M máx b d² f cd = 0,251 d = 1,4 M máx 1,4 3,125l² = 0,251 b f cd 0,251 0, ,4 Portanto a relação entre a altura útil da viga e o vão será de aproximadamente: d l 13 (4.6) 11

23 Considerando que a carga pode ser um pouco maior ou menor que a estipulada, considera-se que a razão pode variar de 12 a 15: d l 12 a 15 Na planta de formas do projeto, o maior vão das vigas é de 6m, portanto, por simplificação todas as vigas terão altura útil de: d = Logo, a altura total da viga será de: 600 cm 15 h = 45 cm = 40 cm (4.7) Pode-se estimar a altura total da laje em: h l 40 (4.8) Por simplificação, todas as lajes terão a mesma altura, portanto considerando o maior dos menores vãos: h 600 cm 40 = 15 cm Para estimativa da área de concreto dos pilares, será feita uma estimativa das cargas atuantes nos mesmos. Considera-se de uma área de influência delimitada em 60% do vão para pilares extremos e 50% do vão para pilares internos. Para a planta de forma apresentada, a maior área de influencia é a do pilar P6, conforme a Figura 6, que apresenta a configuração original que deu origem ao estudo. As dimensões das vigas e pilares foram posteriormente modificadas. 12

24 Figura 6 - Área de Influência do Pilar P6. O pilar P6 recebe os carregamentos provenientes das lajes L01, L02, L04 e L05. Será feita uma estimativa dos carregamentos atuantes em cada uma destas lajes. Considera-se que o carregamento atuante em cada uma destas lajes é igual, pois todo o prédio será utilizado como salas de escritórios. Sendo assim, as cargas atuantes a serem consideradas são: Cargas Permanentes: Peso próprio: g 1 = 0,15[m] 25,00[kN/m³] = 3,75kN/m² Revestimento: g 2 = 0,50 kn/m² Carga Acidental: Uso de Escritório: q = 2,00 kn/m² A carga distribuída total atuante nas lajes é de: f = g 1 + g 2 + q (4.9) f = 3,75 + 0,50 + 2,00 = 6,25 kn/m² Sendo a área de influência do pilar P6 igual a: 13

25 A P6 = (3,6 + 2,0) (3,0 + 3,6) = 36,96 m² A carga no pilar P6 em cada pavimento é estimada em: N pav = 6,25 36,96 = 231,00 kn Considerando os 12 pavimentos, todos com o mesmo carregamento, e adicionando 5% da carga para considerar o peso próprio, no nível da fundação a carga total atuante no pilar P6 será de: N fund = 1,05 12 N pav (4.10) N fund = 1, ,0 = 2910,60 kn Pode-se estimar a área da seção de concreto com a relação: A c = N fund A c = 2910,60 = 0,194 m² (4.11) A consideração acima corresponde a adotar η ( N d b h fcd ) = 0,84. Valor considerado usual no dimensionamento de pilares. Assim, adotou-se a seção inicial dos pilares com largura de 40cm e altura de 50cm. A c = 0,40 0,50 = 0,200 m² 4.3 Definição dos Carregamentos Para análise da estrutura serão considerados carregamentos permanentes e variáveis. Os carregamentos permanentes são referentes ao peso próprio da estrutura, que inclui os pilares, vigas, lajes, alvenarias e revestimento de piso. Os carregamentos variáveis a serem considerados são referentes à ação do vento e à carga de ocupação para uso Cargas Permanentes A maioria dos carregamentos permanentes de peso próprio já é considerada pelo programa SAP2000, denominados como DeadLoad, em função das definições de material e 14

26 seção dos elementos em concreto. Portanto, o peso próprio de vigas, lajes e pilares já estarão definidos e incorporados ao modelo. Deve-se adicionar o carregamento permanente de revestimento do piso e de alvenaria. Para revestimento do piso será adotado o valor de 0,50 kn/m². g 2 = 0,50 kn/m² Para o peso próprio da alvenaria será considerada uma parede de alvenaria cruzando o vão da laje de 6,00 m, o que corresponde a uma carga distribuída na área de: g 3 = 1,17 kn/m² Cargas Variáveis Para carregamentos variáveis serão consideradas as cargas de vento e acidental. A carga acidental considerada é referente ao uso do edifício como escritório. Segundo a NBR 6120:1980, a carga acidental adotada deve ser de: q 1 = 2,00 kn/m² O segundo carregamento variável a ser considerado, de vento, é estimado segundo a NBR 6123:1990. Deve-se determinar a velocidade básica do vento na região onde será construída a edificação. Segundo o gráfico das isopletas da NBR 6123:1990, a velocidade básica do vento na cidade do Rio de Janeiro pode ser definida como: V 0 = 35 m/s Com a velocidade básica definida, deve-se determinar a velocidade característica do vento (V k ) como: V k = V 0 S 1 S 2 S 3 (4.12) O fator S 1 é o fator topográfico que leva em consideração as variações do relevo do terreno. Considerando que o edifício está em uma região plana, então S 1 = 1,0. O fator S 2 é o fator que considera a rugosidade do terreno, as dimensões da edificação e a altura sobre o terreno. Relativamente à rugosidade, o terreno é classificado como de 15

27 Categoria V por estar em um grande centro urbano coberto por obstáculos numerosos, grandes, altos e pouco espaçados. Com relação às dimensões da edificação, a edificação é classificada como de Classe B, já que sua altura total é de 36 m e as edificações consideradas na Classe B devem ter a maior dimensão horizontal ou vertical entre 20 e 50 m. O fator S 2 será definido pela seguinte expressão: S 2 = b F r (z 10) p (4.13) Onde z é a altura da edificação. Seguindo a tabela 1 da NBR 6123, são fornecidos os parâmetros para cálculo de S 2. Tabela 1 - Tabela 1 da NBR 6123: Parâmetros Meteorológicos. O fator de rajada (F r ) é sempre referente à categoria II, portanto será igual a 0,98; b será igual à 0,73; e p será igual à 0,16. Para cálculo da força de arrasto de vento, o edifício será dividido em 3 regiões iguais de 12 m de altura contendo 3 pavimentos. Um fator S 2 será calculado para cada região: Do 1 ao 4 pavimento, altura z de 12 m: 16

28 S 2,12 = 0,73 0,98 (12,00 10) 0,16 = 0,74 Do 5 ao 8 pavimento, altura z de 24 m: S 2,24 = 0,73 0,98 (24,00 10) 0,16 = 0,82 Do 9 ao 12 pavimento, altura z de 36 m: S 2,36 = 0,73 0,98 (36,00 10) 0,16 = 0,88 O fator S 3 é o fator estatístico, que considera o grau de segurança requerido na vida útil da edificação. Tabela 2 - Tabela 3 da NBR 6123: Valores Mínimos para o Fator Estatístico. Para a edificação analisada será definido como sendo do Grupo 2, com alto fator de ocupação. Assim S 3 = 1,00. Com isso, define-se a velocidade característica: Do 1 ao 4 pavimento, altura z de 12 m: V k,12 = 35 1,0 0,74 1,00 = 25,90 m/s Do 5 ao 8 pavimento, altura z de 24 m: V k,24 = 35 1,0 0,82 1,00 = 28,70 m/s Do 9 ao 12 pavimento, altura z de 36 m: V k,36 = 35 1,0 0,88 1,00 = 30,80 m/s Com a velocidade característica pode-se definir a pressão dinâmica: Do 1 ao 4 pavimento: q 12 = 0,613 V 2 k,12 = 411,21 N/m² 17

29 Do 5 ao 8 pavimento: q 24 = 0,613 V k,24 2 = 504,92 N/m² Do 9 ao 12 pavimento: q 36 = 0,613 V k,36 2 = 581,52 N/m² Para se determinar o sentido e valor da aplicação das cargas de vento, é necessário analisar os coeficientes de pressão e de forma internos e externos. O coeficiente de pressão externa para paredes para edificações de planta retangular são calculados segundo a tabela 4 da NBR 6123, para duas situações: o vento incidindo a 0 e o vento incidindo a 90. Para usar a tabela 4, é necessário definir as relações: h b = = 2,25 a b = = 1,875 Figura 7 - NBR 6123: Parâmetros da edificação. 18

30 Devem-se utilizar os valores destacados da tabela 4 na terceira e última situação: Tabela 3 - Tabela 4 da NBR 6123: Coeficientes de pressão externa. Note-se que a relação a b do edifício estudado não está dentro dos limites da tabela 4, portanto, segundo a orientação da Norma devem-se interpolar os valores da tabela. Considerando a incidência do vento à 90, não há necessidade de interpolação, pois os coeficientes são iguais nos dois limites: c pea = +0,8 19

31 c peb = 0,6 c pec1 = 1,0 c pec2 = 0,6 c ped1 = 1,0 c ped2 = 0,6 Considerando o edifício efetivamente estanque, considera-se o coeficiente de pressão interna: c pi = 0,2 A pressão efetiva do vento será calculada para os lados de barlavento e sotavento, lados A e B respectivamente. Lado de barlavento, A: Δp A = (c pea c pi )q (4.14) Δp A = (0,8 + 0,2)q Δp A = 1,0 q Do 1 ao 4 pavimento: Δp A,12 = 1,0 q 12 = 1,0 411,21 = 411,21 N/m² Do 5 ao 8 pavimento: Δp A,24 = 1,0 q 24 = 1,0 504,92 = 504,92 N/m² Do 9 ao 12 pavimento: Δp A,36 = 1,0 q 36 = 1,0 581,52 = 581,52 N/m² Lado de sotavento, B: Δp B = (c peb c pi )q (4.15) Δp B = ( 0,6 + 0,2)q Δp B = 0,4 q Do 1 ao 4 pavimento: Δp B,12 = 0,4 q 12 = 0,4 411,21 = 164,48 N/m² Do 5 ao 8 pavimento: Δp B,24 = 0,4 q 24 = 0,4 504,92 = 201,97 N/m² Do 9 ao 12 pavimento: 20

32 Δp B,36 = 0,4 q 36 = 0,4 581,52 = 232,61 N/m² Considerando o pé direito de 3,0 m, pode-se calcular a força de arrasto linearmente distribuída a ser aplicada nas vigas: Lado de barlavento, A: No Térreo: q A,T = 1,5 Δp A,12 = 1,5 411,21 = 616,82 N/m Do 1 ao 4 pavimento: q A,12 = 3,0 Δp A,12 = 3,0 411,21 = 1233,63 N/m Do 5 ao 8 pavimento: q A,24 = 3,0 Δp A,24 = 3,0 504,92 = 1514,76 N/m Do 9 ao 11 pavimento: q A,36 = 3,0 Δp A,36 = 3,0 581,52 = 1744,56 N/m No 12 pavimento: q A,36 = 1,5 Δp A,36 = 1,5 581,52 = 872,28 N/m Lado de sotavento, B: No Térreo: q B,T = 1,5 Δp B,12 = 1,5 ( 164,48) = 246,72 N/m Do 1 ao 4 pavimento: q B,12 = 3,0 Δp B,12 = 3,0 ( 164,48) = 493,44 N/m Do 5 ao 8 pavimento: q B,24 = 3,0 Δp B,24 = 3,0 ( 201,97) = 605,91 N/m Do 9 ao 11 pavimento: q B,36 = 3,0 Δp B,36 = 3,0 ( 232,61) = N/m No 12 pavimento: q B,36 = 1,5 Δp B,36 = 1,5 ( 232,61) = 348,92 N/m 21

33 4.4 Combinações de Cargas Para a análise das ações na estrutura, devem-se considerar os coeficientes de ponderação das ações, que são definidos na NBR 6118:2014. Os coeficientes aplicados nas cargas são o produto de três coeficientes: γ f = γ f1 γ f2 γ f3 (4.16) O coeficiente γ f1 considera a variabilidade das ações; o coeficiente γ f2 considera a simultaneidade de atuação das ações e o coeficiente γ f3 considera os possíveis desvios gerados nas construções e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações. Neste trabalho serão considerados os coeficientes de ponderação para o Estado Limite Último e para Estado Limite de Serviço, que serão obtidos a partir das tabelas 11.1 e 11.2 da NBR 6118:2014. Note-se que os coeficientes γ f1 e γ f3 são considerados na tabela 11.1 já como seu produto, e na tabela 11.2 está o coeficiente de simultaneidade γ f2. Tabela 4 - Tabela 11.1 da NBR 6118:2014 Coeficientes γ f1 e γ f3. 22

34 4.4.1 Estado Limite Último Tabela 5 - Tabela 11.2 da NBR 6118:2014 Coeficientes γ f2. Para o dimensionamento da estrutura são considerados os Estados Limites Últimos. Serão consideradas as combinações definidas como normais, a serem previstas como normalmente atuantes durante a vida útil da edificação. Nas combinações normais é necessário definir uma ação variável como ação principal, atuando com seu valor característico, sendo as demais consideradas como secundárias, atuando com um fator de redução devido à simultaneidade. Segundo a NBR 6118:2014, as combinações normais podem ser definidas pela expressão: F d = γ g F g,k + γ εg F εg,k + γ q (F q1,k + Σψ 0j F qj,k ) + γ εq ψ 0ε F εq,k (4.17) Não sendo consideradas ações indiretas permanentes ou variáveis, a expressão pode ser reescrita como: F d = γ g F g,k + γ q (F q1,k + Σψ 0j F qj,k ) (4.18) 23

35 Onde: F gk ações permanentes diretas com seus valores característicos; F q1k - ação variável direta principal com seu valor característico; F qjk - ações variáreis diretas secundárias com seus valores característicos; γ g e γ q - coeficientes de majoração das ações permanentes e variáveis, respectivamente, dados pela tabela 11.1 NBR 6118:2014, e na figura 7 deste trabalho; ψ 0j - fator de redução de combinação para as cargas variáveis secundárias dado pela tabela 11.2 NBR 6118:2014, e na figura 8 deste trabalho. Dada a expressão para as combinações, é necessário criar duas combinações, visto que existem duas cargas variáveis atuando no edifício. A primeira combinação seleciona a carga de vento como ação variável principal. Desta forma, com auxílio das tabelas da NBR 6118:2014, tem-se: f d,1 = 1,4 (g 1 + g 2 + g 3 ) + 1,4 (q v + 0,7 q 1 ) Onde, g 1 - carga permanente direta de peso próprio; g 2 - carga permanente direta de revestimento; g 3 - carga permanente direta de alvenaria; q v - carga variável direta de vento; q 1 - carga variável direta acidental (carregamento de escritório). A segunda combinação considera como carga variável principal a carga acidental: f d,2 = 1,4 (g 1 + g 2 + g 3 ) + 1,4 (q 1 + 0,6 q v ) Estado Limite de Serviço O Estado Limite de Serviço não verifica o esgotamento da capacidade resistente dos elementos, mas o bom funcionamento e conforto da estrutura ao usuário. Assim, são consideradas verificações dos Estados Limites de Serviço de deformações excessivas, vibrações excessivas e de abertura de fissuras. Para isto, são definidos dois tipos de combinação para o ELS, a combinação frequente e a rara. As combinações frequentes 24

36 representam as cargas que frequentemente atuam na estrutura; já as combinações raras representam situações de cargas que ocorrem algumas vezes ao longo da vida da estrutura. Na combinação frequente de Estado Limite de Serviço, as cargas permanentes são combinadas em seu valor característico, já as ações variáveis têm uma ação principal com seu valor frequente e as demais são definidas como secundárias com seus valores quase permanentes. Na combinação rara, as cargas permanentes têm seu valor característico, uma carga variável escolhida como principal tem seu valor característico e todas as demais cargas variáveis são tidas como secundárias e utilizam seu valor frequente. Os fatores de minoração são adotados segundo a tabela 11.2 da NBR 6118:2014, e a figura 8 deste trabalho. A expressão para determinação das combinações frequentes para Estado Limite de Serviço é dada por: F d,freq,ser = ΣF gi,k + ψ 1 F q1,k + Σψ 2j F qj,k (4.19) Onde: F gi,k - ações permanentes diretas com seus valores característicos; F q1,k - ação variável direta principal com seu valor característico; F qj,k - ações variáveis diretas secundárias com seus valores característicos; ψ 1 - fator de redução da combinação frequente para o Estado Limite de Serviço, dado pela tabela 11.2 NBR 6118:2014 e na figura 8 deste trabalho. ψ 2j - fator de redução de combinação quase permanente para o Estado Limite de Serviço, dado pela tabela 11.2 NBR 6118:2014 e na figura 8 deste trabalho. Definidas estas expressões, são definidas duas combinações de Estado Limite de Serviço. A primeira define como carga variável principal a carga de vento, considerando as variáveis já definidas anteriormente: f d,freq,ser,1 = (g 1 + g 2 + g 3 ) + 0,3 q v + 0,4 q 1 A segunda combinação define a carga acidental como carregamento variável principal: f d,freq,ser,2 = (g 1 + g 2 + g 3 ) + 0,6 q 1 + 0,0 q v A expressão para a combinação rara do ELS é dada por: F d,rara,ser = ΣF gi,k + F q1,k + Σψ 1j F qj,k (4.20) 25

37 por: Onde os termos são os mesmos já definidos anteriormente. Definem-se duas combinações raras. A primeira combinação, com carregamento variável principal sendo o vento, é definida f d,rara,ser,1 = (g 1 + g 2 + g 3 ) + q v + 0,6 q 1 Onde os termos são os mesmos já definidos anteriormente. A segunda combinação rara define como carregamento variável principal o carregamento acidental: 4.5 Considerações de Modelagem f d,rara,ser,1 = (g 1 + g 2 + g 3 ) + q 1 + 0,3 q v Para a consideração dos efeitos de 2ª ordem globais, na análise no SAP2000, foi considerado o Método P-Delta. Portanto, para efeito de comparação, todas as combinações de Estado Limite Último terão uma combinação considerando o efeito P-Delta e outra apenas os efeitos lineares de 1ª ordem. Os efeitos de 2ª ordem locais serão considerados no dimensionamento dos pilares, através do Método do Pilar-Padrão com curvatura aproximada, conforme definições da NBR 6118:

38 5 ANÁLISE DO MODELO ESTRUTURAL Para a análise da estrutura, opta-se pelo programa SAP2000, que é capaz de fazer a análise estrutural e também o dimensionamento. Para este estudo, o programa será usado apenas para a análise, sendo o dimensionamento feito separadamente. A vigas são modeladas com o tamanho dos vãos, portanto, há elementos de barra com comprimento de 4, 6 e 10 metros. Os pilares são modelados por pavimento, tendo cada elemento 3 m. As lajes são modeladas com elementos de placa com dimensões de 0,5x0,5m. Por pavimento, são 38 elementos de barra representando as vigas, 24 elementos de barra representando os pilares e 1920 elementos de placa representando a laje. O que dá um total de 806 elementos de barra, elementos de placa e nós. Figura 8- Elementos de barra para vigas e pilares. 27

39 Figura 9- Elementos de placa para lajes. A sequência de análises realizadas com o SAP2000 é a seguinte: -Pré-dimensionamento, com avaliação das dimensões dos pilares por áreas de influência; -1ª análise, no domínio linear, com a obtenção de forças para definição das dimensões dos pilares que serão consideradas em todo o estudo; -2ª análise, com o métodod P-Delta, dimensionamento das armaduras para definição das curvas momento-curvatura e definição da rigidez reduzida dos pilares. -3ª análise, final, com o método P-Delta, considerando a rigidez reduzida dos pilares. Após o pré-dimensionamento da estrutura, definição dos carregamentos e combinações, os modelos computacionais foram processados no SAP2000 e seus resultados são extraídos. Os elementos analisados são os pilares e as vigas, que foram modelados com elemento de barra. Segundo a convenção do programa, os esforços são extraídos conforme se segue. 28

40 Figura 10 - Convenção de esforços do programa SAP2000. P - a força axial, na direção 1; T - o momento torsor na direção 1; Figura 11- Convenção de esforços do programa SAP2000. V2 - a força cortante no plano 1-2, na direção 2; M3 - o momento fletor no plano 1-2, na direção 3; Figura 12- Convenção de esforços do programa SAP2000. V3 - a força cortante no plano 1-3, na direção 3; M2 - o momento fletor no plano 1-3, na direção 2. 29

41 6 1ª ANÁLISE MODELO INICIAL - FATORES DA NBR 6118: Análise dos Esforços nos Pilares Com a análise dos resultados, verificou-se que nenhum pilar apresentou normal de tração. Observou-se que o maior esforço normal de compressão nos pilares ocorre no pilar P6 para a combinação 2, que tem como carga variável principal a carga acidental. Analisando-se o momento fletor nos pilares, o que apresenta o maior momento fletor em módulo também é o P6, que ocorre na combinação 1, que tem como carga variável principal o vento. Ambos ocorrem na base do pilar P6. A partir dos resultados extraídos, observou-se que alguns pilares apresentam esforços semelhantes, com força de normal e momentos fletores de mesma ordem de grandeza. Reunindo-se os pilares com valores de esforços próximos, pode-se definir 4 grupos. O Grupo 1 engloba os pilares P1 e P4 e, por simetria, os pilares P21 e P24, que são os pilares de canto do edifício. Estes apresentam valores próximos para os momentos fletores em x e em y e esforço normal baixo. O Grupo 2 engloba os pilares P2 e P3, que por simetria também inclui os pilares P22 e P23. Estes pilares tem o momento fletor em x predominante em relação ao momento em y. O Grupo 3 representa os pilares das laterais, sendo eles: P5, P8, P9, P12, P13, P16, P17 e P20. Estes têm os maiores esforços de momento fletor em y e baixo momento fletor em x. O Grupo 4 é o grupo dos pilares centrais, que consequentemente tem os maiores esforços normais do edifício, momento fletor predominante em y e baixo em x. São os pilares: P6, P7, P10, P11, P14, P15, P18 e P19. Para este presente trabalho, a principal carga horizontal estudada é a de vento, com atua na direção x (crítica para o dimensionamento, dada a disposição dos pilares no sentido longitudinal do edifício) causando momento fletor em y. Portanto, o dimensionamento e as análises serão feitas considerando o momento fletor em y. A seguir é apresentada figura com a envoltória dos carregamentos atuantes nos pilares no nível 24 m. 30

42 Figura 13 - Esforços nos pilares do último pavimento. Dentro de cada grupo, para o dimensionamento, elege-se o pilar com maiores esforços para ser utilizado no dimensionamento. No Grupo 1 no nível 24, o pilar com maiores esforços é o P4, com momento fletor em y M dy = 51,29 kn. m e normal N d = 419,28 kn. No Grupo 2, o pilar com maiores esforços é o P2, com momento fletor em y M dy = 19,20 kn. m e normal N d = 707,38 kn. No Grupo 3, o pilar com maiores esforços é o P8, com momento fletor em y M dy = 100,31 kn. m e normal N d = 901,47 kn. No Grupo 4, o pilar com maiores esforços é o P6, com momento fletor em y M dy = 38,03 kn. m e normal N d = 1413,47 kn. Note-se que a nomenclatura do elemento de barra tem em seu nome o pilar ao qual pertence e a altura em metros do ponto inferior do elemento, portanto, os elementos P04-Z 33 e P04-Z -3 são, respectivamente, os elementos no topo e na base do prédio. Observe-se que o 31

43 prédio tem o topo no nível +36m e a base no nível -3m, e que os elementos de barra têm 3,0m. 6.2 Dimensionamento dos Pilares O pré-dimensionamento dos pilares considerou os carregamentos totais na fundação, o que significa um carregamento muito superior ao atuante nos demais pavimentos. Portanto, o dimensionamento final da geometria dos pilares será com base nos carregamentos referentes aos níveis 0,0; 12,0 e 24,0. Assim, neste item é escolhida uma nova seção de concreto, reduzida com relação à prédimensionada e será dimensionada a armadura. Para o dimensionamento nos níveis descritos anteriormente, haverá quatro condições estabelecidas: - Os pilares terão altura da seção igual à 20cm em relação ao eixo y, variando a largura da seção de acordo com a necessidade dos esforços atuantes; - A armadura dos pilares será igualmente distribuída nas faces variáveis; - Será calculada a seção de concreto considerando a taxa de armadura máxima de 4% para os pilares, portanto, uma camada de aço em cada face com 2% da área da seção de concreto; - A distância do centro da armadura até a face do pilar será tomada como 4cm (d = 4,0cm). A justificativa de se dimensionar os pilares com a taxa máxima de armadura de 4% é a de otimizar as seções dos pilares e aproximá-las da geometria de um prédio real, dado que com uma seção sendo mantida ao longo de três pavimentos, se a do nível inferior estiver com muita folga, o último pavimento, que será menos carregado, estará com ainda mais folga e precisará de menos aço. Com uma seção folgada ao extremo, pode não haver a necessidade de inserir aço pelos esforços, mas sim pela recomendação da NBR 6118 para área de aço mínima. Esta situação não é desejada neste trabalho, já que o objetivo é analisar o comportamento de pilares típicos de estruturas reais. Nota-se que o concreto escolhido para desenvolvimento deste trabalho é o concreto C35 f ck = 35 MPa e o aço CA-50 f y = 50 kn/cm². 32

44 Figura 14 - Seção Típica do Pilar do Modelo Dimensionamento P4 - Nível 0,0 Após ser o modelo analisado, são extraídos abaixo os diagramas de momentos fletores em y e normais no pilar P4 entre os níveis 0,0 e 12,0. Figura 15 - DMF - Combinação de carga acidental P4 Nível 0,00. 33

45 Figura 16 - DMF - Combinação de carga de vento - P4 Nível 0,00. Figura 17 - DN - Combinação de carga acidental - P4 Nível 0,00. 34

46 Figura 18 - DN - Combinação de carga de vento - P4 Nível 0,00. Os mesmos valores são também dados na tabela 6, também extraída do SAP2000: TABLE: Element Forces - Frames Frame Station OutputCase P M2 P04-Z 00 0,0 ELU_1_VENTO -1425,79 60,57 P04-Z 00 1,5 ELU_1_VENTO -1436,29-8,87 P04-Z 00 3,0 ELU_1_VENTO -1446,79-78,30 P04-Z 00 0,0 ELU_2_ACIDENTAL -1459,69 52,28 P04-Z 00 1,5 ELU_2_ACIDENTAL -1470,19-6,00 P04-Z 00 3,0 ELU_2_ACIDENTAL -1480,69-64,28 P04-Z 03 0,0 ELU_1_VENTO -1294,13 64,05 P04-Z 03 1,5 ELU_1_VENTO -1304,63 1,57 P04-Z 03 3,0 ELU_1_VENTO -1315,13-60,91 P04-Z 03 0,0 ELU_2_ACIDENTAL -1328,14 54,05 P04-Z 03 1,5 ELU_2_ACIDENTAL -1338,64 1,19 P04-Z 03 3,0 ELU_2_ACIDENTAL -1349,14-51,67 P04-Z 06 0,0 ELU_1_VENTO -1161,70 64,39 P04-Z 06 1,5 ELU_1_VENTO -1172,20 3,38 P04-Z 06 3,0 ELU_1_VENTO -1182,70-57,62 P04-Z 06 0,0 ELU_2_ACIDENTAL -1195,60 54,77 P04-Z 06 1,5 ELU_2_ACIDENTAL -1206,10 2,05 P04-Z 06 3,0 ELU_2_ACIDENTAL -1216,60-50,68 P04-Z 09 0,0 ELU_1_VENTO -1029,28 63,32 P04-Z 09 1,5 ELU_1_VENTO -1039,78 4,10 P04-Z 09 3,0 ELU_1_VENTO -1050,28-55,12 P04-Z 09 0,0 ELU_2_ACIDENTAL -1062,56 54,44 P04-Z 09 1,5 ELU_2_ACIDENTAL -1073,06 2,53 P04-Z 09 3,0 ELU_2_ACIDENTAL -1083,56-49,38 Tabela 6 - Esforços P4 - Nível 0,00 - Modelo Inicial. 35

47 Por convenção adotada no SAP2000 e neste modelo, o esforço P representa a força axial e o M2 representa o momento em relação ao eixo y. Pela envoltória dos carregamentos atuantes, considerando as duas combinações de Estado Limite Último, neste trecho entre os níveis 0,00 e 12,00 os esforços atuantes que serão utilizados no dimensionamento são: Normal: N d = 1480,69 kn Momento Fletor: M dy = 78,30 kn. m Para escolher a largura b do pilar, pode-se estimá-la através do esforço normal adimensionalizado: η = N d b h f cd (6.1) Dado que a única variável desconhecida é b e considerando-se que η = 1 é um valor adequado para estre dimensionamento pode-se definir b por: b = N d N d = η h f cd 1 0, = N d 5000 Desta forma, para o pilar P4 e todos os demais no grupo 1: b = 1480, = 0,30 m Utilizando os ábacos de dimensionamento, SANTOS (2016), e adotando-se a condição de taxa de armadura de 4%, observou-se a necessidade de aumentar a largura do pilar para 0,4m. Portanto, com 4% a área de aço total na seção: A s = 4% A c = = 32 cm² 100 Assim, serão duas camadas com 16 cm² de aço em cada uma. A ordenada das duas camadas serão 4cm e 16cm. Os dados de entrada no ábaco são: Disposição das Armaduras Camadas Asi (cm 2 ) ti (m) , ,16 Tabela 7 - Entrada no ábaco- P4 20x40 Nível 0,00 Modelo Inicial. A seguir o ábaco gerado. 36

48 Figura 19 - Ábaco de Interação - P4 20x40 Nível 0,00 - Modelo Inicial. Para verificação do momento mínimo de primeira ordem com os esforços atuantes e as dimensões escolhidas: M 1d,min,y = N d. (0, ,03. b) (6.2) M 1d,min,y = 1480,69. (0, ,03.0,20) = 31,09 kn. m Para a avaliação dos efeitos de segunda ordem, verifica-se o índice de esbeltez do pilar retangular dado por: λ = 12 l e h Para isso, deve-se calcular o comprimento equivalente l e, dado pelo menor valor entre os seguintes: Seja, (6.3) l e = l 0 + h pilar (6.4) l e = l 0 + h viga (6.5) l 0, a distância do topo da laje do pavimento até o fundo da viga do pavimento superior; h pilar, a altura da seção do pilar; 37

49 h viga, a altura da seção da viga. Considerando os valores do modelo: Logo,(l e ) y = 275 cm Desta forma, o índice de esbeltez será: l e = l 0 + h pilar = = 275 cm l e = l 0 + h viga = = 300 cm λ = l e i = 12 l e 275 = 12 h 20 = 47,63 Sendo o índice de esbeltez superior à 35, deve-se verificar o parâmetro λ 1, pois se o índice de esbeltez é superior à 35, porém inferior à λ 1, não há necessidade de considerar o efeito de 2ª ordem local. Caso contrário, é necessário adotar algum método para contabilizar o efeito de 2ª ordem local no dimensionamento. λ 1 = ,5 e 1 h α b (6.6) ordem: Considerando os esforços atuantes retirados do SAP2000, seja, e 1 a excentricidade de 1ª Portanto, e 1 = M dy N d (6.7) forma: e 1 = 78,30 = 0,053 m 1480,69 Sejam os pilares do edifício apoiados em duas vigas, o cálculo de α b é feito da seguinte 1,0 α b = 0,6 + 0,4 M A M B 0,4 (6.8) Seja, M A o maior momento em módulo atuante e M B o menor momento em módulo atuante. Conforme a figura abaixo: 38

50 Figura 20 - Momentos atuantes no pilar. Desta forma, em todos os trechos do pilar P4 tem-se α b = 0,4. Logo, λ 1 = ,5 0,053 0,20 0,4 = 70,78 Considerando os esforços atuantes, o pilar P4 é considerado curto, dado que 35 < λ < λ 1, desta forma pode-se desprezar os efeitos de 2ª ordem locais do pilar P4. Analisando a esbeltez do pilar P4 para os momentos mínimos de 1ª ordem, seja e 1,min a excentricidade de 1ª ordem para o momento mínimo Logo, e 1,min = M 1d,min,y N d e 1,min = 31,09 = 0,021 m 1480,69 Para dimensionamento com o momento mínimo, α b = 1,0, portanto o parâmetro λ 1,min, terá o valor de: λ 1,min = λ 1,min = ,5 e 1,min h 1, ,5 0,021 0,20 1,0 39 = 26,31 Dado que λ 1,min deve ter seu valor superior à 35 e inferior à 90: λ 1,min = 35

51 Portanto, para o momento mínimo, o pilar P4 é medianamente esbelto, dado que: λ 1 λ < 90 Desta forma, serão considerados os efeitos de 2ª ordem para verificação do momento mínimo, onde será aplicado o método do pilar-padrão com curvatura aproximada, a curvatura é dada por: 1 r = 0,005 h (η + 0,5) 0,005 h Onde η é o esforço normal adimensionalizado, calculado por (Nd em módulo): (6.9) Logo, η = Então, a curvatura é calculada por: η = N d b h f cd (6.10) 1480,69 0,4 0, = 0,74 1 r = 0,005 0,2 (0,74 + 0,5) 0,005 0,2 1 = 0,020 0,025 r O momento total é dado pela soma do momento de primeira ordem mais o momento de segunda ordem: M d,tot = α b M 1d,A + N d l e r (6.11) Considerando os efeitos mínimos de 1ª ordem para o pilar P4: Logo, M d,tot,min = 1,00 M 1d,min,y + N d l e 2 M d,tot,min = 1,00 31, ,69 2, r 0,020 = 53,66 Observa-se que o momento atuante, considerando apenas os efeitos de 1ª ordem, é superior ao momento mínimo ainda considerando o efeito local de 2ª ordem. Portanto, o dimensionamento da seção com o momento atuante ainda é válido. 40

52 6.2.2 Dimensionamento Demais Pilares O dimensionamento dos demais pilares não será explicitado no texto do trabalho, por ser um processo repetitivo e idêntico ao descrito no item anterior. Desta forma, em uma planilha no programa Excel, que será descrita neste item, foram calculados os esforços locais de primeira ordem, a esbeltez do pilar, a classificação, o momento total e o resumo dos esforços. Os esforços atuantes nos pilares foram retirados do modelo e estão todos no Anexo A desde documento. Para o começo da planilha, foram inseridos os esforços atuantes e as seções prédimensionadas. Grupo 1 - Pilar P4 Grupo 2 - Pilar P2 Grupo 3 - Pilar P8 Grupo 4 - Pilar P6 Modelo Inicial Nível h (m) b (m) Nd (kn) Md (kn.m) 0,0 0,20 0, ,69 78,30 12,0 0,20 0,30 950,29 63,65 24,0 0,20 0,20 419,28 51,29 0,0 0,20 0, ,76 95,09 12,0 0,20 0, ,29 67,15 24,0 0,20 0,20 707,38 20,48 0,0 0,20 0, ,66 132,22 12,0 0,20 0, ,08 126,02 24,0 0,20 0,40 901,47 100,31 0,0 0,20 0, ,38 136,73 12,0 0,20 0, ,97 97,20 24,0 0,20 0, ,48 43,52 Tabela 8 - Dimensionamento dos Pilares - Modelo Inicial. Nota-se que estas já são as dimensões finais dos pilares após o dimensionamento. Com as dimensões dos pilares e os esforços de normal é possível calcular o momento de primeira ordem, com a seguinte equação: M 1d,min,y = N d. (0, ,03. b) Grupo 1 - Pilar P4 Modelo Inicial 1ª ordem Nível h (m) Nd (kn) Md (kn.m) M1d (kn.m) 0,0 0, ,69 78,30 31,09 12,0 0,20 950,29 63,65 19,96 24,0 0,20 419,28 51,29 8,80 41

53 Grupo 2 - Pilar P2 Grupo 3 - Pilar P8 Grupo 4 - Pilar P6 0,0 0, ,76 95,09 46,89 12,0 0, ,29 67,15 31,19 24,0 0,20 707,38 20,48 14,85 0,0 0, ,66 132,22 59,63 12,0 0, ,08 126,02 39,12 24,0 0,20 901,47 100,31 18,93 0,0 0, ,38 136,73 88,63 12,0 0, ,97 97,20 58,93 24,0 0, ,48 43,52 29,68 Tabela 9 - Momento mínimo de primeira ordem - Modelo Inicial. Deve-se verificar a esbeltez dos pilares para as duas situações: momento atuante e momento mínimo de 1ª ordem Para a análise dos efeitos locais de segunda ordem nos demais pilares, será feita uma avaliação da esbeltez dos pilares. O índice de esbeltez dos pilares é dado por: λ = 12 l e b Seja l e o comprimento equivalente do pilar, este terá o mesmo valor para todos os pilares, pois é igual ao menor valor entre: l e = l 0 + h pilar l e = l 0 + h viga Dado que todos os pilares têm a mesma altura em relação ao eixo y de 20cm, que todas as vigas têm a mesma altura de 45cm e que todo o prédio tem o pé direito de 3m: l e = l 0 + h pilar = = 275 cm l e = l 0 + h viga = = 300 cm cm. Portanto, para todos os pilares do projeto, o comprimento equivalente será igual à 275 O índice de esbeltez também será igual para todos os pilares do prédio. Portanto, λ = = 47,63 42

54 Para avaliar a esbeltez é necessário calcular também o parâmetro λ 1, pois os pilares são classificados da seguinte forma: Se λ 35, o pilar é considerado muito curto e nenhuma verificação de efeito de segunda ordem precisa ser feita. Se 35 λ < λ 1, o pilar é considerado curto e também se pode desprezar os efeitos de segunda ordem lacais. Se λ 1 λ < 90, o pilar é considerado medianamente esbelto, devem ser considerados os efeitos de segunda ordem locais. Podem-se empregar os métodos aproximados baseados no pilar-padrão conforme o item da NBR 6118:2014. Para o cálculo do parâmetro λ 1 : λ 1 = ,5 e 1 h α b Onde e 1 é a excentricidade de primeira ordem, calculada pela razão entre o momento atuante e a força normal do pilar: e 1 = M dy N d A altura em relação ao eixo y é representada por h e o índice α b é igual à 0,4 para todos os pilares (momento aplicado) e igual a 1,0 (momento mínimo). esbeltez. Desta forma cada pilar terá um valor diferente para λ 1 e uma classificação quanto à Para os pilares considerados medianamente esbeltos, será aplicado o método do pilarpadrão com curvatura aproximada, onde a curvatura é dada por: 1 r = 0,005 h (η + 0,5) 0,005 h E η é o esforço normal adimensionalizado, calculado por (Nd em módulo): N d η = b h f cd O momento total é dado pela soma do momento de primeira ordem mais o momento de segunda ordem: M d,tot = α b M 1d,A + N d l e r 43

55 Considerando o momento atuante, abaixo o momento total de dimensionamento: Grupo 1 - Pilar P4 Grupo 2 - Pilar P2 Grupo 3 - Pilar P8 Grupo 4 - Pilar P6 Modelo Inicial 2ª ordem - Momentos Atuantes Nível h b Md Mdtot Nd (kn) e1 (m) λ λ1 Esbeltez η 1/r (m) (m) (kn.m) (kn.m) 0,0 0,20 0, ,69 78,30 0, ,63 70,76 CURTO 0,74 0,020 78,30 12,0 0,20 0,30 950,29 63,65 0, ,63 72,97 CURTO 0,63 0,022 63,65 24,0 0,20 0,20 419,28 51,29 0, ,63 81,61 CURTO 0,42 0,025 51,29 0,0 0,20 0, ,76 95,09 0, ,63 69,15 CURTO 0,74 0,020 95,09 12,0 0,20 0, ,29 67,15 0, ,63 69,56 CURTO 0,85 0,019 67,15 24,0 0,20 0,20 707,38 20,48 0, ,63 67,02 CURTO 0,71 0,021 20,48 0,0 0,20 0, ,66 132,22 0, ,63 69,78 CURTO 0,81 0, ,22 12,0 0,20 0, ,08 126,02 0, ,63 73,07 CURTO 0,62 0, ,02 24,0 0,20 0,40 901,47 100,31 0, ,63 79,89 CURTO 0,45 0, ,31 0,0 0,20 0, ,38 136,73 0, ,63 67,56 CURTO 0,94 0, ,73 12,0 0,20 0, ,97 97,20 0, ,63 67,91 CURTO 0,94 0,017 97,20 24,0 0,20 0, ,48 43,52 0, ,63 67,31 CURTO 0,94 0,017 43,52 Tabela 10 - Efeito de 2ª ordem - Momento Atuante - Modelo Inicial. Considerando os momentos mínimos de primeira ordem: Grupo 1 - Pilar P4 Grupo 2 - Pilar P2 Grupo 3 - Pilar P8 Grupo 4 - Pilar P6 Modelo Inicial 2ª ordem - Momento Mínimo de 1ª Ordem h b M1d.min Mdtot Nível Nd (kn) e1 (m) λ λ1 Esbeltez η 1/r (m) (m) (kn.m) (kn.m) 0,0 0,20 0, ,69 31,09 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,74 0,020 53,66 12,0 0,20 0,30 950,29 19,96 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,63 0,022 35,81 24,0 0,20 0,20 419,28 8,80 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,42 0,025 16,73 0,0 0,20 0, ,76 46,89 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,74 0,020 80,81 12,0 0,20 0, ,29 31,19 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,85 0,019 52,01 24,0 0,20 0,20 707,38 14,85 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,71 0,021 25,93 0,0 0,20 0, ,66 59,63 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,81 0, ,57 12,0 0,20 0, ,08 39,12 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,62 0,022 70,55 24,0 0,20 0,40 901,47 18,93 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,45 0,025 35,97 0,0 0,20 0, ,38 88,63 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,94 0, ,12 12,0 0,20 0, ,97 58,93 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,94 0,017 95,89 24,0 0,20 0, ,48 29,68 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,94 0,017 48,21 Tabela 11 Efeito de 2ª ordem Momento Mínimo de 1ª Ordem Modelo Inicial. Desta forma, para cada pilar é analisado o momento mais crítico comparando os momentos atuantes e os mínimos. Este será utilizado para o dimensionamento: 44

56 Grupo 1 - Pilar P4 Grupo 2 - Pilar P2 Grupo 3 - Pilar P8 Momentos Atuantes Momento Mínimo de 1ª Ordem Momento Crítico Mdtot (kn.m) Mdtot (kn.m) Md (kn.m) 78,30 53,66 78,30 63,65 35,81 63,65 51,29 16,73 51,29 95,09 80,81 95,09 67,15 52,01 67,15 20,48 25,93 25,93 132,22 100,57 132,22 126,02 70,55 126,02 100,31 35,97 100,31 136,73 144,12 144,12 Grupo 4-97,20 95,89 97,20 Pilar P6 43,52 48,21 48,21 Tabela 12 Momento Crítico Modelo Inicial. Conforme observado na tabela acima, em apenas três casos os momentos de 2ª ordem locais foram maiores que os atuantes. 45

57 7 2ª ANÁLISE MODELO DIMENSIONADO FATORES DA NBR 6118:2014 Nesta segunda análise do modelo, as seções dos pilares utilizadas serão as dimensionadas anteriormente no item 6.2 deste trabalho. Neste segundo item, será considerado o efeito P-Delta no modelo. 7.1 Análise do Coeficiente γ z Para este segundo modelo, será feita uma análise do coeficiente de importância dos efeitos de 2ª ordem, γ z para classificação da estrutura em nós fixos ou móveis, conforme definido no item 2 deste trabalho e no item da NBR 6118:2014. Com o modelo alterado para as seções encontradas e considerando os efeitos de 2ª ordem globais, será calculado o coeficiente γ z, conforme: γ z = 1 1 M tot,d M 1,tot,d Onde M 1,tot,d são os momentos totais de 1ª ordem de tombamento do prédio, obtidos pelo produto entre as forças horizontais atuantes pela distância relativa à base do prédio, e M tot,d são os momentos de tombamento gerados pelo efeito de 2ª ordem, dado pelo produto entre as forças verticais nos nós pelos deslocamento destes. No programa SAP2000 é possível retirar os esforços totais do modelo, assim, com as combinações 1 e 2 de ELU para as duas cargas de vento e acidental, respectivamente, é possível analisar os momentos que foram gerados pelas cargas horizontais, 1ª ordem, e as geradas pelas verticais, 2ª ordem, multiplicando-as pelos deslocamentos nos nós. TABLE: Base Reactions OutputCase CaseType StepType GlobalFX GlobalFY GlobalFZ Text Text Text KN KN KN ELU_VENTO_PDELTA NonStatic Max -1041,71 0, ,22 ELU_1_VENTO Combination -1041,72 0, ,22 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic Max -625,01 0, ,82 ELU_2_ACIDENTAL Combination -625,03 0, ,82 Tabela 13 - Somatório de forças totais do modelo - Modelo Dimensionado. 46

58 TABLE: Base Reactions OutputCase CaseType StepType GlobalMX GlobalMY GlobalMZ Text Text Text KN-m KN-m KN-m ELU_VENTO_PDELTA NonStatic Max 0, ,67 0,00 ELU_1_VENTO Combination 0, ,08 0,00 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic Max 0, ,53 0,00 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0, ,25 0,00 Tabela 14 - Somatório de momentos totais do modelo - Modelo Dimensionado. Observa-se que as combinações ELU_1_VENTO e ELU_2_ACIDENTAL são as combinações apenas com os efeitos de 1ª ordem, considerando apenas os momentos de tombamento gerados pelas cargas horizontais. Desta forma, para o cálculo do coeficiente γ z, M tot,d será o produto entre a carga vertical de cada pavimento pelo deslocamento deste. Para o cálculo da carga vertical de cada pavimento, a carga total retirada acima do SAP2000 será dividida pelo número total de pavimentos, que para este edifício são 12. O deslocamento a ser considerado será o deslocamento de cada pavimento em cada uma das combinações. A partir dos dados extraídos para a combinação ELU_1_VENTO, calculam-se as cargas verticais por pavimento: F z,pav,1 = F z,1 12 = 69758,22 = 5813,185 kn 12 A partir dos deslocamentos gerados pela combinação ELU_1_VENTO, abaixo os deslocamentos na coluna U1 em metros e o momento de tombamento, calculado pelo deslocamento do andar pela carga vertical do pavimento encontrada, neste caso 5813,185 kn: TABLE: Joint Displacements Joint OutputCase CaseType U1 Mtomb Text Text Text m kn.m P4-Z 3 ELU_1_VENTO Combination 0, ,64 P4-Z 6 ELU_1_VENTO Combination 0, ,21 P4-Z 9 ELU_1_VENTO Combination 0, ,78 P4-Z 12 ELU_1_VENTO Combination 0, ,54 P4-Z 15 ELU_1_VENTO Combination 0, ,11 P4-Z 18 ELU_1_VENTO Combination 0, ,05 P4-Z 21 ELU_1_VENTO Combination 0, ,19 P4-Z 24 ELU_1_VENTO Combination 0, ,51 P4-Z 27 ELU_1_VENTO Combination 0, ,64 47

59 P4-Z 30 ELU_1_VENTO Combination 0, ,33 P4-Z 33 ELU_1_VENTO Combination 0, ,58 P4-Z 36 ELU_1_VENTO Combination 0, ,21 Somatório 5545,78 Tabela 15 Momento de tombamento - Combinação de vento Modelo Dimensionado. Assim, para as combinações de carga de vento como principal: γ z = , ,08 = 1,378 A partir dos dados extraídos para a combinação ELU_2_ACIDENTAL, calculam-se as cargas verticais por pavimento: F z,pav,2 = F z,2 12 = 74999,82 = 6249,985 kn 12 A partir dos deslocamentos gerados pela combinação ELU_2_ACIDENTAL, abaixo os deslocamentos na coluna U1 em metros e o momento de tombamento, calculado pelo deslocamento do andar pela carga vertical do pavimento encontrada, neste caso 6249,985 kn: TABLE: Joint Displacements Joint OutputCase CaseType U1 Mtomb Text Text Text m kn.m P4-Z 3 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0,011 63,95 P4-Z 6 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0, ,45 P4-Z 9 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0, ,14 P4-Z 12 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0, ,84 P4-Z 15 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0, ,34 P4-Z 18 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0, ,03 P4-Z 21 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0, ,91 P4-Z 24 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0, ,98 P4-Z 27 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0, ,86 P4-Z 30 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0, ,11 P4-Z 33 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0, ,55 P4-Z 36 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0, ,36 Somatório 3313,52 Tabela 16 Momento de tombamento - Combinação de carga acidental Modelo Dimensionado. Assim, para as combinações de carga acidental como principal: 1 γ z = ,52 = 1, ,25 48

60 Assim, a estrutura é considerada como de nós móveis e os efeitos globais de 2ª ordem devem ser considerados. Observar que os valores estão acima do permitido pela NBR 6118:2014 para uma análise simplificada, o que já justifica uma análise P-Delta. Para o método aproximado sugerido pela NBR 6118:2014, onde se aplica o fator 0,95γ z aos efeitos de 1ª ordem para encontrar os efeitos de 2ª ordem, observa-se um valor muito próximo ao encontrado segundo a análise do P-Delta. Para a combinação 1, com carga variável principal a de vento: Valor encontrado no modelo com P-Delta: M y,1 = 27048,67 kn. m Valor aproximado por 0,95γ z : M y,1 = 0,95 1, ,08 = 26446,54 kn. m O valor aproximado é 2,23% menor que valor encontrado pelo método P-Delta. Para a combinação 2, com carga variável principal a acidental: Valor encontrado no modelo com P-Delta: M y,2 = 16662,53 kn. m Valor aproximado por 0,95γ z : M y,1 = 0,95 1, ,25 = 15844,90 kn. m O valor aproximado é 4,9% menor que o valor encontrado pelo método P-Delta. 7.2 Análise Comparativa de Deslocamentos Com os resultados das duas análises, considerando os efeitos globais de 2ª ordem e os de 1ª ordem, será feita uma análise comparativa dos deslocamentos. Considerando que pelo efeito de diafragma considerado nos pavimentos, as lajes se deslocam igualmente no plano xy em relação ao eixo z, para a comparação de deslocamentos, pode-se escolher qualquer pilar e analisar os deslocamentos ao longo da altura do prédio. Por convenção do SAP2000, o deslocamento analisado neste trabalho será o U1, que é referente ao eixo x, dado que o vento é aplicado na direção x. Escolhendo-se o P4, a seguir estão os valores de deslocamentos para cada uma das combinações. TABLE: Joint Displacements Joint OutputCase CaseType StepType U1 Text Text Text Text m P4-Z 0 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic Max 0,005 P4-Z 0 ELU_1_VENTO Combination 0,004 P4-Z 3 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic Max 0,024 P4-Z 3 ELU_1_VENTO Combination 0,018 49

61 P4-Z 6 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic Max 0,044 P4-Z 6 ELU_1_VENTO Combination 0,031 P4-Z 9 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic Max 0,061 P4-Z 9 ELU_1_VENTO Combination 0,044 P4-Z 12 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic Max 0,077 P4-Z 12 ELU_1_VENTO Combination 0,056 P4-Z 15 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic Max 0,095 P4-Z 15 ELU_1_VENTO Combination 0,069 P4-Z 18 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic Max 0,110 P4-Z 18 ELU_1_VENTO Combination 0,080 P4-Z 21 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic Max 0,123 P4-Z 21 ELU_1_VENTO Combination 0,090 P4-Z 24 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic Max 0,133 P4-Z 24 ELU_1_VENTO Combination 0,099 P4-Z 27 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic Max 0,146 P4-Z 27 ELU_1_VENTO Combination 0,109 P4-Z 30 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic Max 0,154 P4-Z 30 ELU_1_VENTO Combination 0,116 P4-Z 33 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic Max 0,159 P4-Z 33 ELU_1_VENTO Combination 0,120 P4-Z 36 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic Max 0,161 P4-Z 36 ELU_1_VENTO Combination 0,122 Tabela 17 - Deslocamentos para combinações de vento - Modelo Dimensionado. 50

62 TABLE: Joint Displacements Joint OutputCase CaseType StepType U1 Text Text Text Text m P4-Z 0 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic Max 0,003 P4-Z 0 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0,002 P4-Z 3 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic Max 0,015 P4-Z 3 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0,011 P4-Z 6 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic Max 0,027 P4-Z 6 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0,019 P4-Z 9 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic Max 0,038 P4-Z 9 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0,026 P4-Z 12 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic Max 0,048 P4-Z 12 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0,033 P4-Z 15 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic Max 0,059 P4-Z 15 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0,041 P4-Z 18 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic Max 0,068 P4-Z 18 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0,048 P4-Z 21 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic Max 0,076 P4-Z 21 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0,054 P4-Z 24 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic Max 0,082 P4-Z 24 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0,059 P4-Z 27 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic Max 0,090 P4-Z 27 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0,065 P4-Z 30 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic Max 0,095 P4-Z 30 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0,069 P4-Z 33 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic Max 0,098 P4-Z 33 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0,072 P4-Z 36 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic Max 0,099 P4-Z 36 ELU_2_ACIDENTAL Combination 0,073 Tabela 18 - Deslocamentos para combinações de carga acidental - Modelo Dimensionado. Com a razão entre os deslocamentos considerando os efeitos de 2ª ordem com os considerando apenas os efeitos de 1ª ordem, observa-se que em média o denominado fator de amplificação do deslocamento tem valor de 1,4 para ambas as combinações. 7.3 Excentricidade Média do Edifício A partir dos esforços extraídos considerando o efeito P-Delta, uma excentricidade média do prédio pode ser calculada pela razão entre os momentos atuantes de 2ª ordem e as forças verticais. 51

63 Conforme os esforços extraídos na Tabela13 e Tabela 14, para a combinação de carga variável principal o vento: M tot,d = 6846,59 kn. m F Z = 69758,22kN e m1 = 6846,59 = 0,098 m 69758,22 Com os esforços da combinação de carga variável principal a acidental: M tot,d = 4541,28 kn. m F Z = 74999,82 kn e m2 = 4541,28 = 0,061 m 74999, Análise Comparativa de Momentos Considerando-se os momentos principais em y, devido à ação do vento, conforme a convenção do SAP2000, estes são representados por M2. Analisando os momentos atuantes nos últimos quatro pavimentos do prédio no pilar P4, observa-se o acréscimo do momento em y nos pilares. TABLE: Element Forces - Frames Frame Station OutputCase CaseType M2 Text m Text Text KN-m P04-Z 24 0 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic 35,64 P04-Z 24 3 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic -34,24 P04-Z 24 0 ELU_1_VENTO Combination 32,34 P04-Z 24 3 ELU_1_VENTO Combination -30,94 P04-Z 27 0 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic 31,30 P04-Z 27 3 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic -30,18 P04-Z 27 0 ELU_1_VENTO Combination 29,56 P04-Z 27 3 ELU_1_VENTO Combination -28,65 P04-Z 30 0 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic 26,23 P04-Z 30 3 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic -25,43 P04-Z 30 0 ELU_1_VENTO Combination 25,57 P04-Z 30 3 ELU_1_VENTO Combination -24,90 P04-Z 33 0 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic 26,71 P04-Z 33 3 ELU_VENTO_PDELTA NonStatic -23,50 P04-Z 33 0 ELU_1_VENTO Combination 26,61 P04-Z 33 3 ELU_1_VENTO Combination -23,42 Tabela 19 - M2 combinação carga de vento - P4 - Modelo Dimensionado. 52

64 TABLE: Element Forces - Frames Frame Station OutputCase CaseType M2 Text m Text Text KN-m P04-Z 24 0 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic 30,38 P04-Z 24 3 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic -29,11 P04-Z 24 0 ELU_2_ACIDENTAL Combination 28,28 P04-Z 24 3 ELU_2_ACIDENTAL Combination -26,98 P04-Z 27 0 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic 28,24 P04-Z 27 3 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic -27,52 P04-Z 27 0 ELU_2_ACIDENTAL Combination 27,16 P04-Z 27 3 ELU_2_ACIDENTAL Combination -26,57 P04-Z 30 0 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic 25,06 P04-Z 30 3 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic -24,65 P04-Z 30 0 ELU_2_ACIDENTAL Combination 24,67 P04-Z 30 3 ELU_2_ACIDENTAL Combination -24,33 P04-Z 33 0 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic 27,75 P04-Z 33 3 ELU_ACIDENTAL_PDELTA NonStatic -24,60 P04-Z 33 0 ELU_2_ACIDENTAL Combination 27,72 P04-Z 33 3 ELU_2_ACIDENTAL Combination -24,55 Tabela 20 - M2 combinação carga acidental - P4 - Modelo Dimensionado. 7.5 Dimensionamento P4 Nível 0,0 Para a análise da rigidez secante dos pilares, é necessário dimensionar a área de aço dos pilares. Da mesma forma que no item anterior, os pilares terão sua armadura dimensionada por grupos, portanto, serão referência os níveis 0,00; 12,00 e 24,00. Para o dimensionamento serão utilizados os esforços considerando o efeito P-Delta. Para o pilar P4 no nível 0,00, mostram-se a seguir os diagramas de momentos fletores em y e os diagramas de força normal. 53

65 Figura 21 - DMF - Combinação de carga de vento com efeito P-Delta P4 Nível 0,00. Figura 22 DMF Combinação de carga acidental com efeito P-Delta P4 Nível 0,00. 54

66 Figura 23 - DN - Combinação de carga de vento com efeito P-Delta P4 Nível 0,00. Figura 24 - DN Combinação de carga acidental com efeito P-Delta P4 Nível 0,00. Os diagramas acima podem ser traduzidos nas tabelas extraídas do SAP2000, conforme a tabela a seguir. 55

67 TABLE: Element Forces - Frames Frame Station OutputCase P M2 Text m Text KN KN-m P04-Z 00 0 ELU_VENTO_PDELTA -1255,83 61,32 P04-Z 00 1,5 ELU_VENTO_PDELTA -1260,03-0,08 P04-Z 00 3 ELU_VENTO_PDELTA -1264,23-61,45 P04-Z 00 0 ELU_ACIDENTAL_PDELTA -1273,54 46,11 P04-Z 00 1,5 ELU_ACIDENTAL_PDELTA -1277,74 1,31 P04-Z 00 3 ELU_ACIDENTAL_PDELTA -1281,94-44,00 P04-Z 03 0 ELU_VENTO_PDELTA -1135,24 63,90 P04-Z 03 1,5 ELU_VENTO_PDELTA -1139,44 0,30 P04-Z 03 3 ELU_VENTO_PDELTA -1143,64-63,40 P04-Z 03 0 ELU_ACIDENTAL_PDELTA -1155,95 49,81 P04-Z 03 1,5 ELU_ACIDENTAL_PDELTA -1160,15 0,02 P04-Z 03 3 ELU_ACIDENTAL_PDELTA -1164,35-49,77 P04-Z 06 0 ELU_VENTO_PDELTA -1015,23 59,31 P04-Z 06 1,5 ELU_VENTO_PDELTA -1019,43 0,89 P04-Z 06 3 ELU_VENTO_PDELTA -1023,63-57,81 P04-Z 06 0 ELU_ACIDENTAL_PDELTA -1038,21 46,66 P04-Z 06 1,5 ELU_ACIDENTAL_PDELTA -1042,41 0,59 P04-Z 06 3 ELU_ACIDENTAL_PDELTA -1046,61-45,67 P04-Z 09 0 ELU_VENTO_PDELTA -897,01 55,78 P04-Z 09 1,5 ELU_VENTO_PDELTA -901,21 0,74 P04-Z 09 3 ELU_VENTO_PDELTA -905,41-54,51 P04-Z 09 0 ELU_ACIDENTAL_PDELTA -921,32 45,22 P04-Z 09 1,5 ELU_ACIDENTAL_PDELTA -925,52 0,67 P04-Z 09 3 ELU_ACIDENTAL_PDELTA -929,72-44,07 Tabela 21 - Esforços P4 - Nível 0,00 - Modelo Dimensionado. Da mesma forma que o dimensionamento apresentado anteriormente, serão consideradas apenas duas camadas de aço nos pilares, cada uma com metade da área de aço, com ordenadas 4,0cm e 16,0 cm, dado que o pilar tem 20 cm de altura e a distância da face do pilar até os centros das barras é de 4 cm. Pela envoltória dos carregamentos atuantes, considerando-se as duas combinações de Estado Limite Último, neste trecho entre os níveis 0,00 e 12,00 os esforços atuantes que serão utilizados no dimensionamento são: Normal: N d = 1281,94 kn Momento Fletor: M dy = 63,90 kn. m 56

68 Utilizando os ábacos de dimensionamento, SANTOS (2016), e adotando a condição de metade da área de aço para cada camada, encontra-se que 15,5cm² é a armadura para o pilar P4 no nível 0,00. Assim, serão duas camadas com 7,75cm² de aço em cada uma. A ordenada das duas únicas camadas serão 4cm e 16cm. Os dados de entrada no ábaco são: Disposição das Armaduras Camadas Asi (cm 2 ) ti (m) 1 7,75 0,05 2 7,75 0,15 Tabela 22 - Entrada no ábaco - P4 20x40 Nível 0,00 Modelo Dimensionado. Abaixo o ábaco gerado: Figura 25 - Ábaco de Interação - P4 20x40 Nível 0,00 - Modelo Dimensionado. Para verificação do momento mínimo de primeira ordem com os esforços atuantes e as dimensões escolhidas: M 1d,min,y = N d. (0, ,03. b) M 1d,min,y = 1281,94. (0, ,03.0,20) = 26,92 kn. m 57

69 Para a avaliação dos efeitos de segunda ordem, verifica-se o índice de esbeltez do pilar retangular dado por: λ = 12 l e h Para isso, deve-se calcular o comprimento equivalente l e, dado pelo menor valor entre os seguintes: Seja, (7.1) l e = l 0 + h pilar (7.2) l e = l 0 + h viga (7.3) l 0, a distância do topo da laje do pavimento até o fundo da viga do pavimento superior; h pilar, a altura da seção do pilar; h viga, a altura da seção da viga. Considerando os valores do modelo: Logo,(l e ) y = 275 cm Desta forma, o índice de esbeltez será: l e = l 0 + h pilar = = 275 cm l e = l 0 + h viga = = 300 cm λ = l e i = 12 l e 275 = 12 h 20 = 47,63 Sendo o índice de esbeltez superior à 35, deve-se verificar o parâmetro λ 1, pois se o índice de esbeltez é superior à 35, porém inferior à λ 1, não há necessidade de considerar o efeito de 2ª ordem local. Caso contrário, é necessário adotar algum método para contabilizar o efeito de 2ª ordem local no dimensionamento. λ 1 = ,5 e 1 h α b (7.4) ordem: Considerando os esforços atuantes retirados do SAP2000, seja, e 1 a excentricidade de 1ª Portanto, e 1 = M dy N d (7.5) e 1 = 63,90 = 0,0498 m 1281,94 58

70 forma: Sejam os pilares do edifício apoiados em duas vigas, o cálculo de α b é feito da seguinte 1,0 α b = 0,6 + 0,4 M A M B 0,4 (7.6) Seja, M A o maior momento em módulo atuante e M B o menor momento em módulo atuante. Conforme a figura abaixo: Figura 26 - Momentos atuantes no pilar. Desta forma, em todos os trechos do pilar P4 tem-se α b = 0,4. Logo, λ 1 = ,5 0,0498 0,20 0,4 = 70,29 Considerando os esforços atuantes, o pilar P4 é considerado curto, dado que 35 < λ < λ 1, desta forma pode-se desprezar os efeitos de 2ª ordem locais do pilar P4. Analisando a esbeltez do pilar P4 para os momentos mínimos de 1ª ordem, seja e 1,min a excentricidade de 1ª ordem para o momento mínimo Logo, e 1,min = M 1d,min,y N d e 1,min = 26,92 = 0,021 m 1281,94 Para dimensionamento com o momento mínimo, α b = 1,0, portanto o parâmetro λ 1,min, terá o valor de: 59

71 λ 1,min = λ 1,min = ,5 e 1,min h 1, ,5 0,021 0,20 1,0 = 26,31 Dado que λ 1,min deve ter seu valor superior à 35 e inferior à 90: λ 1,min = 35 Portanto, para o momento mínimo, o pilar P4 é medianamente esbelto, dado que: λ 1 λ < 90 Desta forma, serão considerados os efeitos de 2ª ordem para verificação do momento mínimo, onde será aplicado o método do pilar-padrão com curvatura aproximada, a curvatura é dada por: 1 r = 0,005 h (η + 0,5) 0,005 h Onde η é o esforço normal adimensionalizado, calculado por (Nd em módulo): Logo, η = Então, a curvatura é calculada por: η = b h f cd 60 N d 1281,94 0,4 0, = 0,64 1 r = 0,005 0,2 (0,64 + 0,5) 0,005 0,2 1 = 0,022 0,025 r O momento total é dado pela soma do momento de primeira ordem mais o momento de segunda ordem: M d,tot = α b M 1d,A + N d l e r Considerando os efeitos mínimos de 1ª ordem para o pilar P4: Logo, M d,tot,min = 1,00 M 1d,min,y + N d l e 2 M d,tot,min = 1,00 26, ,94 2, r 0,022 = 48,16 kn. m

72 Observa-se que o momento atuante, considerando apenas os efeitos de 1ª ordem, é superior ao momento mínimo ainda considerando o efeito local de 2ª ordem. Portanto, o dimensionamento da seção com o momento atuante ainda é válido. 7.6 Dimensionamento dos Demais Pilares O dimensionamento dos demais pilares, assim como no modelo inicial, não será demonstrado neste trabalho, por ser um processo repetitivo e idêntico ao descrito no item anterior. Desta forma, em uma planilha no programa Excel, que será apresentada neste item, foram calculados os esforços locais de primeira ordem, a esbeltez do pilar, a classificação, o momento total e o resumo dos esforços. Os esforços atuantes nos pilares foram retirados do modelo e estão todos no Anexo C desde documento. Para o começo da planilha, foram inseridos os esforços atuantes e as seções prédimensionadas. Grupo 1 - Pilar P4 Grupo 2 - Pilar P2 Grupo 3 - Pilar P8 Grupo 4 - Pilar P6 Modelo Dimensionado Nível h (m) b (m) Nd (kn) Md (kn.m) 0,0 0,20 0, ,94 63,90 12,0 0,20 0,30 814,82 52,52 24,0 0,20 0,20 381,89 35,64 0,0 0,20 0, ,59 94,12 12,0 0,20 0, ,64 59,85 24,0 0,20 0,20 660,96 28,69 0,0 0,20 0, ,64 117,99 12,0 0,20 0, ,14 107,42 24,0 0,20 0,40 902,49 76,96 0,0 0,20 0, ,78 145,90 12,0 0,20 0, ,26 101,48 24,0 0,20 0, ,73 43,21 Tabela 23 - Dimensionamento dos Pilares - Modelo Dimensionado. Nota-se que estas já são as dimensões finais dos pilares após o dimensionamento. Com as dimensões dos pilares e os esforços de normal é possível calcular o momento de primeira ordem, com a seguinte equação: M 1d,min,y = N d. (0, ,03. b) 61

73 Grupo 1 - Pilar P4 Grupo 2 - Pilar P2 Grupo 3 - Pilar P8 Grupo 4 - Pilar P6 Modelo Dimensionado Momento Mínimo de1ª ordem Nível h (m) b (m) Nd (kn) Md (kn.m) M1d.min (kn.m) 0,0 0,20 0, ,94 63,90 26,92 12,0 0,20 0,30 814,82 52,52 17,11 24,0 0,20 0,20 381,89 35,64 8,02 0,0 0,20 0, ,59 94,12 43,97 12,0 0,20 0, ,64 59,85 28,74 24,0 0,20 0,20 660,96 28,69 13,88 0,0 0,20 0, ,64 117,99 58,69 12,0 0,20 0, ,14 107,42 38,60 24,0 0,20 0,40 902,49 76,96 18,95 0,0 0,20 0, ,78 145,90 92,02 12,0 0,20 0, ,26 101,48 61,70 24,0 0,20 0, ,73 43,21 31,24 Tabela 24 - Momento mínimo de primeira ordem - Modelo Dimensionado. Deve-se verificar a esbeltez dos pilares para as duas situações: momento atuante e momento mínimo de 1ª ordem Para a análise dos efeitos locais de segunda ordem nos demais pilares, será feita uma avaliação da esbeltez dos pilares. O índice de esbeltez dos pilares é dado por: λ = 12 l e b Seja l e o comprimento equivalente do pilar, este terá o mesmo valor para todos os pilares, pois é igual ao menor valor entre: l e = l 0 + h pilar l e = l 0 + h viga Dado que todos os pilares têm a mesma altura em relação ao eixo y de 20cm, que todas as vigas têm a mesma altura de 45cm e que todo o prédio tem o pé direito de 3m: l e = l 0 + h pilar = = 275 cm l e = l 0 + h viga = = 300 cm cm. Portanto, para todos os pilares do projeto, o comprimento equivalente será igual à 275 O índice de esbeltez também será igual para todos os pilares do prédio. 62

74 Portanto, λ = = 47,63 Para avaliar a esbeltez é necessário calcular também o parâmetro λ 1, pois os pilares são classificados da seguinte forma: Se λ 35, o pilar é considerado muito curto e nenhuma verificação de efeito de segunda ordem precisa ser feita. Se 35 λ < λ 1, o pilar é considerado curto e também se pode desprezar os efeitos de segunda ordem lacais. Se λ 1 λ < 90, o pilar é considerado medianamente esbelto, devem ser considerados os efeitos de segunda ordem locais. Podem-se empregar os métodos aproximados baseados no pilar-padrão conforme o item da NBR 6118:2014. Para o cálculo do parâmetro λ 1 : λ 1 = ,5 e 1 h α b Onde e 1 é a excentricidade de primeira ordem, calculada pela razão entre o momento atuante e a força normal do pilar: e 1 = M dy N d A altura em relação ao eixo y é representada por h e o índice α b é igual à 0,4 para todos os pilares (momento aplicado) e igual a 1,0 (momento mínimo). esbeltez. Desta forma cada pilar terá um valor diferente para λ 1 e uma classificação quanto à Para os pilares considerados medianamente esbeltos, será aplicado o método do pilarpadrão com curvatura aproximada, onde a curvatura é dada por: 1 r = 0,005 h (η + 0,5) 0,005 h E η é o esforço normal adimensionalizado, calculado por (Nd em módulo): N d η = b h f cd 63

75 O momento total é dado pela soma do momento de primeira ordem mais o momento de segunda ordem: M d,tot = α b M 1d,A + N d l e r Considerando o momento atuante, abaixo o momento total de dimensionamento: Grupo 1 - Pilar P4 Grupo 2 - Pilar P2 Grupo 3 - Pilar P8 Grupo 4 - Pilar P6 Modelo Dimensionado 2ª ordem - Momentos Atuantes h b Md Nível Nd (kn) (m) (m) (kn.m) e1 (m) λ λ1 Esbeltez η 1/r Mdtot (kn.m) 0,0 0,20 0, ,94 63,90 0, ,63 70,29 CURTO 0,64 0,022 63,90 12,0 0,20 0,30 814,82 52,52 0, ,63 72,57 CURTO 0,54 0,024 52,52 24,0 0,20 0,20 381,89 35,64 0, ,63 77,08 CURTO 0,38 0,025 35,64 0,0 0,20 0, ,59 94,12 0, ,63 69,52 CURTO 0,70 0,021 94,12 12,0 0,20 0, ,64 59,85 0, ,63 69,33 CURTO 0,78 0,019 59,85 24,0 0,20 0,20 660,96 28,69 0, ,63 69,28 CURTO 0,66 0,022 28,69 0,0 0,20 0, ,64 117,99 0, ,63 69,10 CURTO 0,80 0, ,99 12,0 0,20 0, ,14 107,42 0, ,63 71,63 CURTO 0,61 0, ,42 24,0 0,20 0,40 902,49 76,96 0, ,63 75,82 CURTO 0,45 0,025 76,96 0,0 0,20 0, ,78 145,90 0, ,63 67,70 CURTO 0,97 0, ,90 12,0 0,20 0, ,26 101,48 0, ,63 67,90 CURTO 0,98 0, ,48 24,0 0,20 0, ,73 43,21 0, ,63 67,04 CURTO 0,99 0,017 43,21 Tabela 25 - Efeito de 2ª ordem - Momento Atuante - Modelo Dimensionado. Grupo 1 - Pilar P4 Grupo 2 - Pilar P2 Grupo 3 - Pilar P8 Grupo 4 - Pilar P6 Considerando os momentos mínimos de primeira ordem: Modelo 1ª ordem 2ª ordem - Momento Mínimo de 1ª Ordem Nível h b Nd (kn) M1d.min (m) (m) (kn.m) e1 (m) λ Mdtot λ1 Esbeltez η 1/r (kn.m) 0,0 0,20 0, ,94 26,92 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,64 0,022 48,16 12,0 0,20 0,30 814,82 17,11 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,54 0,024 31,88 24,0 0,20 0,20 381,89 8,02 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,38 0,025 15,24 0,0 0,20 0, ,59 43,97 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,70 0,021 77,01 12,0 0,20 0, ,64 28,74 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,78 0,019 48,92 24,0 0,20 0,20 660,96 13,88 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,66 0,022 24,64 0,0 0,20 0, ,64 58,69 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,80 0,019 99,38 12,0 0,20 0, ,14 38,60 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,61 0,022 69,83 24,0 0,20 0,40 902,49 18,95 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,45 0,025 36,02 0,0 0,20 0, ,78 92,02 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,97 0, ,23 12,0 0,20 0, ,26 61,70 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,98 0,017 99,25 24,0 0,20 0, ,73 31,24 0, ,63 35,00 MED ESBELTO 0,99 0,017 50,10 Tabela 26 Efeito de 2ª ordem Momento Mínimo de 1ª Ordem Modelo Dimensionado. 64

76 Desta forma, para cada pilar é analisado o momento mais crítico comparando os momentos atuantes e os mínimos. Este será utilizado para o dimensionamento: Grupo 1 - Pilar P4 Grupo 2 - Pilar P2 Grupo 3 - Pilar P8 Momentos Atuantes Momento Mínimo de 1ª Ordem Momento Crítico Mdtot (kn.m) Mdtot (kn.m) Md (kn.m) 63,90 48,16 63,90 52,52 31,88 52,52 35,64 15,24 35,64 94,12 77,01 94,12 59,85 48,92 59,85 28,69 24,64 28,69 117,99 99,38 117,99 107,42 69,83 107,42 76,96 36,02 76,96 145,90 148,23 148,23 Grupo 4 101,48 99,25 101,48 - Pilar P6 43,21 50,10 50,10 Tabela 27 Momento Crítico Modelo Inicial. Conforme observado na tabela acima, em apenas dois casos os momentos de 2ª ordem locais foram maiores que os atuantes. Assim, com os ábacos de interação dos pilares, inseridos no Anexo D, definem-se as armaduras das seções, conforme a tabela a seguir. Grupo 1 - Pilar P4 Grupo 2 - Pilar P2 Grupo 3 - Pilar P8 Grupo 4 - Pilar P6 Nível h b Md As Nd (kn) (m) (m) (kn.m) (cm²) As/camada(cm²) 0,0 0,20 0, ,94 63,90 15,50 7,75 12,0 0,20 0,30 814,82 52,52 11,50 5,75 24,0 0,20 0,20 381,89 35,64 6,20 3,10 0,0 0,20 0, ,59 94,12 25,00 12,50 12,0 0,20 0, ,64 59,85 19,50 9,75 24,0 0,20 0,20 660,96 28,69 6,50 3,25 0,0 0,20 0, ,64 117,99 40,00 20,00 12,0 0,20 0, ,14 107,42 27,00 13,50 24,0 0,20 0,40 902,49 76,96 16,00 8,00 0,0 0,20 0, ,78 148,23 64,00 32,00 12,0 0,20 0, ,26 101,48 45,00 22,50 24,0 0,20 0, ,73 50,10 23,00 11,50 Tabela 28- Área de aço - Modelo Dimensionado. 65

77 7.7 Análise da Rigidez da Seção Com o dimensionamento dos pilares, é feita uma análise da relação momento-curvatura dos elementos de pilar do edifício. Com auxílio do programa CAPIBA, desenvolvido por SOUZA (2012), que faz a análise não-linear física das seções em concreto armado, são extraídos o gráficos de 1/r x M, que representa a relação entre as curvaturas e os momentos atuantes. A inclinação esta curva representa a rigidez secante dos elementos: (EI) sec. Para a entrada no programa, deve-se fornecer: a geometria da seção; a força normal de cálculo atuante no pilar N d ; a resistência característica à compressão f ck ; a tensão de escoamento característica do aço f yk ; o coeficiente de ponderação do concreto γ c ; o coeficiente de ponderação do aço γ s e a disposição das armaduras Análise da Rigidez P4 - Nível 0,0 Para análise do pilar P4, inserem-se os dados necessários e processa-se o programa: Figura 27 - Análise Rigidez - P4 - Nível 0,0. 66