ÉLIA YATHIE MATSUMOTO (180720)

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1 Trabalho apresentado como parte da avaliação da disciplina Econometria das Séries de Tempo, ministrada pelo Prof. Paulo Picchetti no 3 trimestre de 2007 para o curso MPFE-FGV. Uma abordagem econométrica para responder a questão: Como avaliar as afirmações baseadas em estimativas, previsões e inferências que recebemos todos os dias? ÉLIA YATHIE MATSUMOTO (180720) Resumo: Este trabalho propõe ilustrar, com um exemplo extremamente simples, como a econometria pode ajudar a avaliar afirmações publicadas. Neste texto, examinamos a informação divulgada, recentemente, de que uma das causas do aumento de venda de automóveis é o aumento da disponibilidade de crédito. Apesar de, intuitivamente, a afirmação parecer verdadeira, o estudo verificou sua aceitabilidade do ponto de vista econométrico. A avaliação foi realizada por meio da análise de dados mensais de duas séries de tempo de junho/2000 a julho/2007: venda de automóveis e operações de crédito no sistema financeiro. O tipo de modelo aplicado foi escolhido com base nas características das séries que foram confrontadas com alguns modelos econométricos clássicos cujas premissas e requisitos estão descritos neste artigo. O resultado da estimativa da série de tempo de venda de automóvel, como era esperado, indica que a venda de automóvel é afetada pela disponibilidade de crédito. Além disso, como informação adicional, o modelo indica que o efeito da disponibilidade de crédito leva 12 períodos para afetar a venda de automóvel.

2 1. Introdução: Este trabalho propõe ilustrar, com um exemplo prático, como a econometria pode ajudar a avaliar afirmações sobre estimativas, previsões, insights sobre relação causa/efeito publicadas nos meios de comunicação, nas mais variadas áreas, desde previsão do tempo, análise do mercado financeiro, até conclusões apocalípticas sobre o aquecimento global e o futuro do planeta. Neste texto, examinamos a informação divulgada 1, recentemente, de que uma das causas do aumento de venda de automóveis é o aumento da disponibilidade de crédito. Apesar de, intuitivamente, a afirmação parecer verdadeira, o estudo teve como objetivo verificar sua aceitabilidade do ponto de vista econométrico. O tipo de modelo aplicado foi escolhido com base nas características das séries de tempo estudadas, confrontando-as com alguns modelos econométricos clássicos cujas premissas e requisitos estão descritas no item 2. A avaliação foi realizada por meio da análise de dados mensais de duas séries de tempo de junho/2000 a julho/2007, venda de automóveis e operações de crédito no sistema financeiro, cujo tratamento está descrito no item 3. O item 4 descreve o processo de escolha do modelo para estimar a série de tempo de venda de automóvel. O item 5 contém a conclusão do estudo. 1 DA FOLHA ON LINE Ainda embaladas pela explosão do financiamento de veículos no Brasil, as montadoras voltaram a bater, em julho, recordes de produção e vendas de carros. 2

3 2. Breve Resumo Teórico [1] A teoria de Econometria das Séries de Tempo tem como principal objetivo ajudar a prever, interpretar e estruturar inferências a respeito de fenômenos (em particular, econômicos e financeiros) por meio do desenvolvimento de modelos estatísticos capazes de estimar o comportamento dos dados relacionados aos fenômenos observados, acumulados ao longo do tempo. A estratégia básica utilizada pela teoria econométrica é modelar comportamentos de séries de tempo utilizando conjuntos de seus valores passados, estruturados na forma de equações em diferenças desses valores. Este tipo de tratamento é conhecido como análise auto-regressiva e é a base da estratégia implementada pela família de modelos econométricos AR(n). Em econometria, como em outros métodos de estimação, choques e incertezas são modelados como componentes estocásticos. Alguns desses modelos utilizam média móvel dos choques para que choques recentes tenham efeitos mais fortes que choques antigos. Estes modelos são conhecidos como MA(p) (moving average): A combinação dos modelos AR e MA gera a família dos modelos ARMA(p,q): 3

4 Este modelo permite que modelos de variáveis exógenas à série estimada sejam incorporadas para melhor o modelo principal: X(t) variável exógena Neste ponto, antes de prosseguirmos com as descrições, vale parar para apresentar conceitos, definições, premissas e requisitos necessários para a utilização dos modelos econométricos. Nem todas as séries de tempo podem ser modeladas. Se a série for estocástica (séries onde o valor atual não tem nada haver com os valores passados), a equação em diferenças resulta em uma série cuja definição é conhecida como ruído branco (E(Ɛt) choque puro) que não pode ser modelada por ser completamente aleatória. As propriedades de um ruído branco são: 1. Média igual à zero; 2. Variância constante; 3. Covariância entre todos os resíduos igual à zero. Para verificar se uma série é estocástica devemos examinar a função de Autocorrelação (Autocorrelation Function ACF) da série que informa a correlação entre os valores da série. Se estes valores forem estatisticamente iguais à zero, a série é estocástica. Ruídos brancos não podem ser modelados, porém suas propriedades são fundamentais para a análise econométrica, pois fornecem informações importantes que auxiliam: 1. A identificação de sistemas ARMA pelo método Box-Jekins por meio da análise do correlograma parcial dos resíduos. 2. A avaliação da qualidade de estimação de um modelo. Se a estimação y1(t) gerada por um modelo de estimação da variável y(t) for perfeita, isto significa que y1(t) contém toda a parte determinista de y(t), consequentemente, a série composta pela diferença [y(t)-y1(t)] (resíduo ou erro da estimação) deverá conter apenas os choques, ou seja, deverá ser um ruído branco. Desta forma, um modelo é considerado aceitável se a série de seus 4

5 resíduos for um ruído branco (tiver média zero, variância constante e auto-correlação zero). Isto pode ser avaliado analisando-se função de autocorrelação parcial dos resíduos (Parcial Autocorrelation function - PACF) que exibe as autocorrelações parciais entre os resíduos do modelo. OBS: para comparar a qualidade entre modelos (com mesma distribuição de probabilidade) utilizam-se os critérios de Akaike ou Schwarz. Nem todas as séries podem ser modeladas em nível. Para garantir que equações em diferenças tenham solução (existência de convergência), é necessário definir restrições sobre o comportamento das séries. Formalmente, diz-se que a série deve ser estacionária, isto é, que tenha: 1. Média constante; 2. Variância constante (série homocedástica); 3. Covariância entre todas as observações constante. Ou, que a série não tenha uma raiz unitária. Se uma série for estacionária ela é chamada de I(0), caso contrário I(n), com n>0 (onde n indica a ordem da tendência da série). No caso das áreas de economia e finanças, o tipo de série não estacionária mais comum é a I(1) (tendência linear). Séries I(1) caracterizam-se pelo fato de que nelas choques têm efeito permanente, ao contrário, do que ocorre com séries I(0) nas quais os efeitos dos choques têm efeito temporário. O teste estatístico Dickey-Fuller Aumentado (ADF - Augmented Dickey-Fuller) verifica se uma série é estacionária. O teste consiste em verificar a rejeição ou não da hipótese nula H0: a série tem raiz unitária. Se a hipótese nula não puder ser rejeitada, a hipótese de que a série não é estacionária é aceita. No caso de uma série ser I(1), para que ela possa ser modelada, é necessário transformá-la em I(0), ou seja, eliminar sua tendência que faz com que sua média não seja constante. Se a 5

6 tendência for estocástica (aleatória), basta tirar a 1ª diferença, caso contrário, é necessário subtrair a tendência determinista. Em geral, softwares provêm o teste Dickey-Fuller aumentado com a incorporação de tendência e constante para facilitar a identificação dessa característica da série e, posteriormente, a sua transformação em I(0). Desta forma, torna-se possível modelar séries cujas médias não são constantes. Denomina-se ARIMA(p,r,q) a família de modelos nos quais é necessário retirar r-diferenças das série para transforma-la em I(0) e modelá-la como ARMA(p,q). Por exemplo: no modelo ARIMA(p,1,q), a 1ª diferença transforma a série em I(0) que pode ser modelada por ARMA(p,q). Os modelos ARMA pressupõem que a volatilidade da série constante, portanto não são bons modelos para prever séries cuja volatilidade não é constante (séries heterocedásticas). Porém, como conseqüência desta aparente deficiência, o erro de previsão resultante da estimação de uma série heterocedástica por um modelo ARMA pode ser utilizado para modelar a variação da volatilidade da série. Esta idéia é a base para a definição dos modelos das famílias ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity) / GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), muito utilizados para modelar volatilidade de ativos e opções. AR refere-se à utilização de termos autoregressivos, C refere-se ao fato de o modelo basear-se nas informações condicionais ao passado da variável (conseqüência do uso do modelo ARMA) e H refere-se à característica heterocedástica da série. Os modelos da família ARCH(r) utilizam informações passada do quadrado dos erros de previsão: (Proposto por Robert Engle 1982) 6

7 Os modelos da família GARCH(p,q) acrescentam componentes auto-regressivos da própria volatilidade. O G refere-se a esta generalização com relação à definição inicial. Além disso, se (p+q) < r existe um ganho de eficiência no modelo GARCH. onde Anteriormente, mencionamos que um modelo pode ser melhorado com a incorporação de variáveis exógenas, porém como saber se uma variável é exógena ao modelo? E se for endógena, como tratá-la? Existem duas definições de enxogeneidade pertinentes ao contexto que estamos abordando: 1. Enxogeneidade fraca : a série {Zt} é fracamente exógena a {Yt} se o resíduo do modelo (por exemplo, ARMA de Yt) e a série {Zt} é zero. Isto pode ser avaliado analisando-se função de correlação cruzada (Cross-correlation function) que exibe a correlação entre o resíduo do modelo {Et} e a série {Zt}. 2. Endogeneidade forte : a série {Zt} é fortemente exógena se ela é fracamente exógena e o {Zt} não granger causa {Yt}, ou se o passado de {Zt} não afeta contemporaneamente {Yt}. Causalidade de Granger: por definição, diz-se que uma série {Zt} não granger -causa a série {Yt} se E[Yt Yt-1,Zt-1] = E[Yt Yt-1]. O estudo da incorporação de variáveis exógenas a um modelo é chamado de análise de intervenção. A base desta estratégia é tentar medir os impactos nos valores da série exógena sobre a trajetória da variável principal. O modelo ARMA ajustado para a variável exógena recebe o nome de função de transferência. No caso de variáveis endógenas, a estruturação do problema no formato proposto pelos modelos ARMA, ARCH/GARCH gera equações nas quais informações contemporâneas das variáveis 7

8 aparecem dos dois lados da equação que devem ser tratados conjuntamente. Este tipo de especificação é denominado VAR (Vetores Autoregressivos). Por exemplo, este sistema de equações na forma estrutural: Para resolver as equações, podemos manipulá-las algebricamente para obter, por exemplo, este sistema de equações na forma reduzida: A transformação do sistema da forma estrutural para a forma reduzida resolve o problema de resolução do sistema de equações. O próximo passo é recuperar os coeficientes da forma estrutural para podermos efetuar analise de efeitos dos choques sobre as séries. Porém, como os erros na forma reduzida são, por construção, co-relacionados, os sistema de equações obtido é um sistema sub-identificado. Os métodos desenvolvidos para resolver este problema são genericamente denominados restrições de identificação e possuem ao menos dois pontos em comum: 1. Pressupõe que todas as séries são estacionárias; 2. Arbitram alguma condição de restrição sobre o sistema. Dentre eles, podemos citar: Decomposição de Cholesky (ou método de ordenação): a ordenação das séries no vetor autoregressivo estabelece uma ordem de efeito temporal, por exemplo: a primeira série não tem efeito contemporâneo sobre a segunda, que não tem sobre a terceira, e assim por diante. É um modelo de resolução simples, porém só faz sentido se as variáveis realmente se comportarem desta forma. Além disso, o resultado é extremamente sensível à escolha da ordem. 8

9 Sims / Bernanke: o método VAR foi transportado da área de controle de sistemas da engenharia para a área de finanças. Na teoria de controle, sistemas sub-identificados são definidos por meio da definição de condições de contorno, em geral, impostas pelo mundo real (por exemplo, aceleração da gravidade = 9.8 m/s 2 ). Analogamente, o artigo publicado por Sims/Bernanke (1986) propõe fazer restrições baseadas em teoria econômica: restrições sobre coeficientes, sobre a matriz de covariância, restrições de simetria. Blanchard & Quah: este método também propõe que as restrições sejam baseadas em teoria econômica. A idéia é de que a dinâmica entre as variáveis possa ser decomposta em dois componentes: transitório (efeito de curto prazo) e permanente (efeito de longo prazo). Para que seja possível existir um componente de efeito de longo prazo, pelo menos uma das séries deve ser I(1), pois, como já mencionado, para elas, o efeito dos choques é permanente. Intuitivamente, a proposta deste método supõe que um dos choques estruturais tem efeito de longo prazo igual à zero sobre uma das variáveis. A restrição imposta para que esta condição seja válida é utilizada para definir o sistema de equações. Vetor de Cointegração e Modelo de Correção de Erro: como já foi dito, o VAR exige que todas as variáveis sejam I(0). Este método, por sua vez, pressupõe que todas as variáveis sejam I(1). Da mesma forma que no método Blanchard & Quah, este método procura identificar relações de equilíbrio de longo e curto prazo entre as variáveis, porém, ao invés de basear-se em teoria econômica, o Modelo de Correção de Erro (ECM Error Correction Model) tenta obter essas informações a partir do histórico das séries I(1), e utilizar essas condições de equilíbrio para identificar o sistema definido pelas equações na forma reduzida gerada pelas séries transformadas em I(0). Essas relações de equilíbrio são chamadas de vetor de cointegração. Este método também foi transportado da área de controle de sistemas da engenharia para a área de finanças. 9

10 Por exemplo: um problema típico tratado pela teoria de controle de sistema é calcular a resposta do sistema massa-mola-amortecedor, ou seja, dados os valores das massas M, dos coeficientes de elasticidade K e os coeficientes de amortecimento C, obter deslocamento dos três objetos: Dados: M1 = 0.5 Kg M2 = 1.0 Kg M3 = 1.5 Kg K11 = 3500 N/m 2 K12 = -2000N/m 2 K13 = 0 C11 = 35 N.s/m 2 C12 = -20 N.s/m 2 C13 = 0 K21 = N/m 2 K22 = 4500 N/m 2 K23 = N/m 2 C21 = -20 N.s/m 2 C22 = 45 N.s/m 2 C23 = 25 N.s/m 2 K31 = 0 N/m 2 K32 = N/m 2 K33 = 2500 N/m 2 C31 = 0 C32 = 25 N.s/m 2 C33 = 25 N.s/m 2 Assim, a equação para um impulso de freqüência de 3500 rpm e tempo variando de t = 0 a 0.5 segundos do problema será: x x x x 25 x 25 x x 2500 x 2500 x sen(3500t) A solução do sistema matricial de equações diferenciais variando no tempo gera o seguinte gráfico de deslocamento dos objetos: 3.5 x 10-6 Deslocamento 3 M1 M2 M

11 Usando uma analogia informal, em finanças, o Modelo de Correção de Erro procura fazer o caminho inverso : a partir de medidas de deslocamento observadas, ou seja, das séries de tempo das variáveis, o modelo tenta verificar se existe cointegração entre as variáveis (no caso do sistema massa-mola-amortecedor, são as relações de forças de equilíbrio entre as massas), e, a partir daí, estimar os coeficientes das matrizes (no sistema massa-mola-amortecedor, os coeficientes são dados do problema). Ou seja, a partir do gráfico abaixo, estimar os coeficientes das matrizes acima: 3.5 x Serie1 Serie2 Serie Neste item, apresentamos uma breve descrição de alguns dos modelos econométricos considerados clássicos pela literatura técnica. Nos próximos capítulos, descreveremos os experimentos realizados nesta pesquisa. 11

12 3. Descrição dos Dados: Para a elaboração deste trabalho, escolhemos duas séries de tempo mensais disponíveis na base de dados do IPEA ( no período de Junho de 2000 a Julho de 2007, totalizando 331 observações. VENDAS_AUTOMOVEL (06/2000 a 07/2007) Vendas - automóveis - nacionais - Unidade - Anfavea - ANFAVE12_VPASSA VENDA_AUTOMOVEIS CREDITO_FINANCEIRO (06/2000 A 07/2007) Operações de crédito do sistema financeiro - total - (% PIB) - BCB Boletim/Moeda - BM12_SFTOTY CREDIT O_FINANCEI 12

13 4. Desenvolvimento do Modelo Inicialmente, aplicamos o teste ADF nas séries em nível (com intercepto, sem tendência, com 12 defasagens), e verificamos a presença de raiz unitária nas duas séries (Apêndice 1), o que as classificou como séries I(1) com tendência estocástica. Antes de tirar a 1ª diferença das séries para transformá-las em I(0), realizamos o teste de Johansen, e verificamos que não existência de um vetor de cointegração (Apêndice 2). Desta forma, iniciamos a escolha de um modelo para a estimação da 1ª diferença da variável VENDA_AUTOMOVEIS Modelo de estimação da 1ª diferença da variável VENDA_AUTOMOVEIS (DVA) Com base na análise do correlograma na variável DVA (Apêndice 3), escolhemos MA(1) como primeira tentativa. Apesar de o coeficiente ser significante, o correlograma dos resíduos do modelo indicou a presença de correlação entre os erros na 2ª defasagem. Além desta, mais quatro especificações foram avaliadas: MA(2), AR(2), ARMA(1,1), ARMA(1,2), ARMA(2,2). Em nenhum dos casos o modelo se mostrou aceitável. Ou os coeficientes não foram significantes, ou o correlograma dos resíduos indicou autocorrelação (Apêndice 3). 13

14 4.2. Modelo de estimação com a introdução da 1ª diferença da variável CREDITO_FINANCEIRO (DCF) Como, logo no início do desenvolvimento do modelo, verificamos a não existência de cointegração entre as variáveis DVA (Vendas de automóvel) e DCF (Crédito Financeiro), o objetivo do próximo passo foi identificar se e como a variável DCF afeta DVA. Isto foi feito com a incorporação da variável DCF ao modelo para tentar melhorar a especificação definida no item 4.1. Pelo fato de a forma de incorporação depender da relação entre as variáveis DCF e DVA, isto é, variáveis exógenas devem ser incorporadas como função de transferência, e variáveis exógenas, como VAR, para verificar exogeneidade, analisamos o resultado da função de correlação cruzada entre o resíduo do modelo e a variável DCF, e realizamos o teste de causalidade de Granger. Os dois testes indicaram exogeneidade da variável DCF (Crédito Financeiro), sendo assim, a variável foi incorporada ao modelo como função de transferência. O modelo que apresentou melhor resultado foi o que incorporou a função de transferência da variável DCF especificada como AR(12,0). Dependent Variable: DVA Method: Least Squares Included observations: 73 after adjusting endpoints Convergence achieved after 31 iterations White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance Backcast: 2000:06 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. DCF(12) MA(1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 8.07E+09 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

15 Além de os coeficientes resultarem significantes, o correlograma dos resíduos mostrou que as autocorrelações foram eliminadas. Desta forma, a partir desses resultados, podemos concluir que venda de carros é afetada por crédito financeiro. O fator de o coeficiente associado ao termo DCF(12) ser positivo permitiu aceitar a afirmação de que uma das causas do aumento de venda de automóveis é o aumento da disponibilidade de crédito. Além disso, obtivemos a informação adicional de que o efeito do aumento de disponibilidade de crédito leva um ano (12 meses) para ser refletido no aumento de vendas de automóvel. 15

16 5. Conclusão Neste trabalho, ilustramos como avaliar se a afirmação, uma das causas do aumento de venda de automóveis é o aumento da disponibilidade de crédito, é aceitável do ponto de vista econométrico ou não. Além de concluirmos que sim, o modelo desenvolvido forneceu a informação adicional de que aumentos na disponibilidade de crédito levam um ano para se refletirem no aumento das vendas de automóvel. Como dissemos, pretendemos, com este exemplo simples e prático, mostrar como a econometria pode ser usada para avaliar afirmações sobre estimativas, previsões, insights sobre relação causa/efeito de um modo geral, desde que os dados sejam corretamente tratados, as hipóteses e premissas respeitadas e os modelos adequadamente calibrados. Para tanto, é necessário conhecer tanto as características do fenômeno analisado, quanto o instrumental de modelagem disponível na teoria de econometria. No item 2, deste texto, listamos apenas algumas famílias de modelos econométricos. Além dos citados, existem muitos outros modelos e testes para tratamento específicos de séries de tempo como, por exemplo, sazonalidade e quebra estrutural. Bibliografia: [1] Applied EconometricTime Series (Second Edition), W. Enders, Wiley. 16

17 APÊNDICE 1. Testes ADF ADF Test Statistic % Critical Value* % Critical Value % Critical Value *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(CREDITO_FINANCEI) Method: Least Squares Date: 09/18/07 Time: 11:41 Sample(adjusted): 2001: :07 Included observations: 73 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. CREDITO_FINANCEI(-1) D(CREDITO_FINANCEI(-12)) C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) ADF Test Statistic % Critical Value* % Critical Value % Critical Value *MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(VENDA_AUTOMOVEIS) Method: Least Squares Date: 09/18/07 Time: 11:44 Sample(adjusted): 2001: :07 Included observations: 73 after adjusting endpoints Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. VENDA_AUTOMOVEIS(-1) D(VENDA_AUTOMOVEIS(-12)) C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 7.31E+09 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

18 2. Teste de Co-integração (Johansen) VAR Congruente: Date: 09/16/07 Time: 23:31 Sample(adjusted): 2000: :07 Included observations: 85 after adjusting endpoints Standard errors & t-statistics in parentheses CREDITO_FINANCEI VENDA_AUTOMOVEIS CREDITO_FINANCEI(-1) ( ) ( ) ( ) ( ) VENDA_AUTOMOVEIS(-1) 1.79E (5.0E-06) ( ) ( ) ( ) C ( ) ( ) ( ) ( ) R-squared Adj. R-squared Sum sq. resids E+10 S.E. equation F-statistic Log likelihood Akaike AIC Schwarz SC Mean dependent S.D. dependent Determinant Residual Covariance Log Likelihood Akaike Information Criteria Schwarz Criteria Date: 09/16/07 Time: 23:34 Sample: 2000: :07 Included observations: 84 Series: CREDITO_FINANCEI VENDA_AUTOMOVEIS Lags interval: 1 to 1 Data Trend: None None Linear Linear Quadratic Rank or No Intercept Intercept Intercept Intercept Intercept No. of CEs No Trend No Trend No Trend Trend Trend Resultado: não existe co-integração 18

19 MA(1) 3. Resultados das estimativas modelos do item 4.1 Dependent Variable: DVA Method: Least Squares Date: 09/18/07 Time: 12:12 Sample(adjusted): 2000: :07 Included observations: 85 after adjusting endpoints Convergence achieved after 9 iterations White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance Backcast: 2000:06 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. MA(1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 1.19E+10 Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat Inverted MA Roots.57 19

20 MA(2) Dependent Variable: DVA Method: Least Squares Date: 09/18/07 Time: 12:14 Sample(adjusted): 2000: :07 Included observations: 85 after adjusting endpoints Convergence achieved after 5 iterations White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance Backcast: 2000: :06 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. MA(2) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 1.38E+10 Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat Inverted MA Roots

21 AR(2) Dependent Variable: DVA Method: Least Squares Date: 09/18/07 Time: 12:16 Sample(adjusted): 2000: :07 Included observations: 83 after adjusting endpoints Convergence achieved after 2 iterations White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. AR(2) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 1.37E+10 Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat

22 ARMA(1,1) Dependent Variable: DVA Method: Least Squares Date: 09/18/07 Time: 12:18 Sample(adjusted): 2000: :07 Included observations: 84 after adjusting endpoints Convergence achieved after 15 iterations White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance Backcast: 2000:07 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. AR(1) MA(1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 1.14E+10 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Inverted AR Roots.30 Inverted MA Roots.78 22

23 ARMA(1,2) Dependent Variable: DVA Method: Least Squares Date: 09/18/07 Time: 12:22 Sample(adjusted): 2000: :07 Included observations: 84 after adjusting endpoints Convergence achieved after 6 iterations White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance Backcast: 2000: :07 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. AR(1) MA(2) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 1.15E+10 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Inverted AR Roots -.47 Inverted MA Roots

24 AR(2,2) Dependent Variable: DVA Method: Least Squares Date: 09/18/07 Time: 12:23 Sample(adjusted): 2000: :07 Included observations: 83 after adjusting endpoints Convergence achieved after 7 iterations White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance Backcast: 2000: :08 Variable Coefficient Std. Error t-statistic Prob. AR(2) MA(2) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 1.37E+10 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Inverted AR Roots Inverted MA Roots

25 4. Teste de Causalidade (Granger) Pairwise Granger Causality Tests Date: 09/18/07 Time: 12:50 Sample: 2000: :07 Lags: 12 Null Hypothesis: Obs F-Statistic Probability DVA does not Granger Cause DCF DCF does not Granger Cause DVA Resultado: nenhuma variável granger-causa a outra 5. Função de correlação cruzada Tabela da função de correlação cruzada entre o resíduo do modelo MA(1) e a série DCF com 12 defasagem. 25