ESTIMAÇÃO PELO MÉTODO ORDINÁRIO DE MÍNIMOS QUADRADOS (OLS)

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1 ESTIMAÇÃO PELO MÉTODO ORDINÁRIO DE MÍNIMOS QUADRADOS (OLS) 1 No quadro abaixo, reproduzem-se os resultados de uma estimação realizada com o programa informático EViews. Alguma da informação fornecida pelo programa foi suprimida; reconstitua-a, apresentando os cálculos. Sample: 1 3 Included observations: 3 C ?? X ?? R-squared? Mean dependent var Adjusted R-squared? S.E. of regression? Sum squared resid F-statistic? Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)? E, relativamente ao exemplo do quadro seguinte, conseguiria também reconstituir a informação ocultada? Justifique. Sample: 1 8 Included observations: 8 C ?? X ?? X ?? R-squared? Mean dependent var Adjusted R-squared? S.E. of regression? Sum squared resid F-statistic? Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)? Suponha ter dois estimadores independentes e cêntricos, ˆ 1 e ˆ, de um certo parâmetro,, com variâncias diferentes, v 1 e v. Qual dos estimadores ˆ definidos pela combinação linear ˆ = c 1 ˆ 1 + c ˆ

2 é o estimador cêntrico de variância mínima de? (Greene (003), exercício 1, p.6) 3 Considere o modelo de regressão linear Y i = β 1 + β X i + u i, em que as perturbações u i têm função densidade de probabilidade f(u i ) = 1 ui e, u i 0, > 0. Note-se que se assume serem não negativas todas as perturbações e que é E(u i ) = e Var(u i ) = ; supõe-se também independência entre X i e u i. Prove que o estimador OLS de β é cêntrico e que o estimador OLS de β 1 é excêntrico. (Greene (003), exercício 4, p.63) 4 Considere o modelo de regressão linear Y i = β 1 + β X i + u i sob as hipóteses clássicas e a amostra {(X i, Y i ), i = 1,,..., n}. Verifique se são cêntricos os estimadores de β definidos nas alíneas seguintes: a) ~ Yi Yj =, quaisquer que sejam i e j, i j, e X i X j ; X X i j ~ 1 n Yi Yi 1 b) =, se X i X i-1, para todo i =, 3,..., n; n 1 X X i= i i 1 ~ 1 n Yi c) =, supondo X i 0, qualquer que seja i; n X i= 1 i d) ~ = n x i= 1 n x i= 1 i y 3 i i, em que x i = X i X, y i = Y i Y e x 0. n i= 1 3 i

3 ESTIMAÇÃO PELO MÉTODO GENERALIZADO DE MÍNIMOS QUADRADOS (GLS) 1 No modelo de regressão linear Y = X + u, as hipóteses clássicas requerem que seja nulo o coeficiente de correlação linear entre duas quaisquer componentes do vector de perturbações, u. No modelo de regressão linear generalizado, as hipóteses permitem afrouxar essa restrição. Mostre como. Nos quadros seguintes, apresentam-se resultados de uma estimação com o programa EViews: Sample: 1 33 Included observations: 33 C X X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) White Heteroskedasticity Test: F-statistic Probability Obs*R-squared Probability Test Equation: Dependent Variable: RESID^ Sample: 1 33 Included observations: 33 C X X^ X*X X X3^ R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 8.06E+08 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

4 Sample: 1 33 Included observations: 33 White Heteroskedasticity-Consistent Standard Errors & Covariance C X X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Comente os resultados, designadamente quanto aos aspectos seguintes: i) possível razão de ser da análise no segundo quadro; ii) conclusões que dessa análise se retiram; iii) possível razão de ser da regressão no terceiro quadro; iv) metodologia seguida na obtenção dos resultados desse quadro; v) justificação dessa metodologia. 3 Reproduz-se abaixo um pequeno programa escrito para EViews e, de seguida, os resultados das duas estimações pedidas no programa. Descreva o procedimento seguido, explique os seus objectivos e indique que conclusões retira dos resultados obtidos. workfile exemplo u 1 8 sort x smpl 1 11 equation eq01.ls y c x x3 smpl 18 8 equation eq0.ls y c x x3 Sample: 1 11 Included observations: 11 C X X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

5 Sample: 18 8 Included observations: 11 C X X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid 4.73 Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Os Quadros I a VI apresentam vários resultados obtidos na estimação do modelo Y t = β 1 + β X t + u t com base numa amostra de observações trimestrais. Quadro I: Sample: 1991:1 1995:4 Included observations: 0 C X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) a) O Quadro I mostra os resultados da estimação do modelo por OLS e o Quadro II o correlograma dos resíduos dessa regressão. Que conclui dessas peças quanto à eventual existência e padrão de autocorrelação das perturbações do modelo? b) Relativamente aos quadros restantes, explique o propósito de cada uma das regressões, justifique os procedimentos usados e exponha as conclusões relevantes que retira da análise. (A variável dependente RESIDEQ01 refere-se aos resíduos de estimação da equação no Quadro I.)

6 Quadro II: Sample: 1991:1 1995:4 Included observations: 0 Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob *****. ***** *****. ** ***.. * *. **** **. *** * **. *** **.. * **.. * *** **.. * **..** Quadro III: Sample(adjusted): 1991: 1995:4 Included observations: 19 after adjusting endpoints C Y(-1) X X(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Quadro IV: Dependent Variable: RESIDEQ01 Sample(adjusted): 1991: 1995:4 Included observations: 19 after adjusting endpoints RESIDEQ01(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression 61.7 Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat

7 Quadro V: *Y(-1) Sample(adjusted): 1991: 1995:4 Included observations: 19 after adjusting endpoints C X *X(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Quadro VI: *Y(-1) Sample(adjusted): 1991: 1995:4 Included observations: 19 after adjusting endpoints C X *X(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Considere o modelo Y i = X i + u i, em que Y i é uma variável binária codificada com os valores 1 ou 0 e u i é um erro aleatório com média nula. a) Mostre por que é esse modelo chamado um modelo linear de probabilidade. b) Que problemas suscita a estimação do modelo por OLS? c) Descreva com pormenor o procedimento que seguiria para estimar o modelo pelo método GLS exequível.

8 d) Se, em vez do par (0,1), tivesse sido usado outro par qualquer, (a,b), para codificar os dois valores possíveis da variável Y, seria ainda apropriada a qualificação do modelo em causa como um modelo linear de probabilidade? Justifique.

9 ESTIMAÇÃO PELO MÉTODO NÃO LINEAR DE MÍNIMOS QUADRADOS (NLS) 1 Considere a equação de regressão Y t = β 1 + β (X t β 3 X 3t ) + β 4 (X 4t β 3 X 5t ) + u t e admita que a perturbação u t verifica as hipóteses clássicas. a) Determine a expressão da equação de regressão linearizada obtida por uma aproximação de 1.ª ordem em série de Taylor da função f(β 1, β, β 3, β 4, X t, X 3t, X 4t, X 5t ) = β 1 + β (X t β 3 X 3t ) + β 4 (X 4t β 3 X 5t ). b) Descreva o processo de estimação por NLS dos coeficientes β 1, β, β 3 e β 4. c) Em alternativa ao procedimento que detalhou na questão anterior, suponha que é estimado por OLS o modelo Y t = δ 1 + δ X t + δ 3 X 3t + δ 4 X 4t + δ 5 X 5t + u t e testada a hipótese 3 5 =. Explique qual o interesse dessa hipótese. 4 Seja o modelo Y i = α + β X i + β X 3i + u i, para estimação do qual se dispõe de uma amostra de 1000 observações. a) Numa primeira abordagem, começou-se por estimar, em vez do modelo do enunciado, o modelo Y i = α + β X i + δ X 3i + v i, tendo-se obtido os resultados do Quadro I. Com eles, planeava-se testar a hipótese Comente. H 0 : δ = β. b) Mostre que, na regressão linearizada, é irrelevante a estimativa inicial de α.

10 Quadro I: Sample: Included observations: 1000 C X X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) c) Partindo de estimativas iniciais ˆ = ˆ = 0, procedeu~se à estimação do modelo pelo método da regressão linearizada. Os resultados das três primeiras iterações constam dos Quadros II, III e IV. Comente os aspectos que considere relevantes nesses resultados. Quadro II: Quadro III: 0_1 Sample: Included observations: 1000 C Z0_ R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat.1094 Prob(F-statistic) _ Sample: Included observations: 1000 C Z0_ R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

11 Quadro IV: 0_3 Sample: Included observations: 1000 C Z0_ R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) d) Por último, procedeu-se à estimação do modelo do enunciado por NLS; os resultados figuram no quadro abaixo. Comente-os. Quadro V: Sample: Included observations: 1000 Convergence achieved after 3 iterations Y=C(1)+C()*X+(C()^)*X3 Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C(1) C() R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat No exercício 4 da secção sobre estimação por GLS citam-se vários resultados da estimação do modelo Y t = β 1 + β X t + u t com uma amostra de observações trimestrais; o quadro da página seguinte exibe resultados adicionais da análise, desta vez obtidos por recurso a estimadores NLS. a) Justifique o procedimento adoptado na regressão a que se refere esse quadro e interprete a informação obtida.

12 b) Confronte a metodologia seguida nessa regressão com a que resultaria do primeiro passo do método de Durbin para estimação de modelos com autocorrelação. Sample(adjusted): 1991: 1995:4 Included observations: 19 after adjusting endpoints Convergence achieved after 1 iterations Y=C(3)*Y(-1)+C(1)*(1-C(3))+C()*(X-C(3)*X(-1)) Coefficient Std. Error t-statistic Prob. C(3) C(1) C() R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Durbin-Watson stat

13 ESTIMAÇÃO PELO MÉTODO DA MÁXIMA VEROSIMILHANÇA (ML) 1 Suponha que Y é uma variável aleatória com função densidade de probabilidade f(y) = 1, 0 y. Com base numa amostra aleatória {Y 1, Y,..., Y n }, consegue determinar o estimador ML do parâmetro? Discuta a questão. Seja {Y 1, Y,..., Y n } uma amostra aleatória de uma variável Y i) com distribuição de Bernoulli e função de probabilidade f(y; ) = y 1 y (1 ), 0 1, y = 0 ou y = 1; ii) com distribuição de Poisson e função de probabilidade f(y; ) = y e y!, 0, y = 0, 1,,...; iii) com distribuição exponencial e função densidade de probabilidade f(y; ) = e -y, > 0, y > 0. Determine o estimador ML de em cada um desses casos. 3 Considere o modelo de regressão linear Y = X + u sob a hipótese u ~ N(0, I n ). a) Deduza a função logarítmica de verosimilhança, ln L(, ). b) Mostre que é ln L E ln L = 0.

14 c) Determine os estimadores ML de e de. d) Usando o resultado ln L Var ln L ln L ' = E ' ln L ln L, ln L ( ) determine a matriz de variâncias do estimador ML de e a variância do estimador ML de. 4 Considere o modelo * Y i = X i + u i, Y i = * 1, se Yi > 0, 0, em caso contrário u i ~ N(0, 1). e admita disponível uma amostra de n observações (X i, Y i ). a) Deduza a função logarítmica de verosimilhança, ln L(). b) Para o caso particular X i =, qualquer que seja i, deduza o estimador ML de. c) Sendo n 0 e n 1, respectivamente, o número de observações na amostra em que Y i = 0 e o número de observações com Y i = 1, mostre, para o caso particular analisado em b), que o valor máximo de ln L() pode ser determinado apenas pelo conhecimento de n 0 e n 1. 5 Considere o modelo * Y i = X i + u i,

15 * 1, se Yi > 0 Y i =, 0, em caso contrário e admita que u i é uma variável aleatória com função de distribuição F(u i ) = 1 1+ e ui. a) Prove que é Pr ob(yi ln Pr ob(yi = 1 Xi ) = 0 Xi ) = X i. Qual o interesse desse resultado? b) Para o caso particular X i =, qualquer que seja i, deduza o estimador ML de. c) No caso particular citado na alínea anterior, poderia usar o valor máximo da função logarítmica de verosimilhança para decidir qual das especificações probit ou logit seria mais adequada para uma dada amostra? Justifique. 6 Na estimação do modelo Y t = β 1 + β X t + u t, t = 1,,..., n, em que u t = u t-1, + t, sendo 1 < < 1 e { t } uma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com média 0 e variância, é frequentemente um problema a questão do tratamento a dar à primeira observação, (X 1, Y 1 ). a) Na transformação do modelo de forma a repor as hipóteses clássicas, uma proposta (devida a Prais e Winsten) é a de que a variável dependente do modelo * transformado, Y t, seja definida por * Y t = 1 Y 1, Yt Yt 1, para t = 1 para t =, 3,..., n * e analogamente para X t. Mostre que, de facto, a transformação de Prais-Winsten permite preservar a homoscedasticidade no modelo.

16 b) Mostre que, sob a hipótese adicional de normalidade de, são diferentes as funções de verosimilhança para estimação dos parâmetros β 1, β e no modelo do enunciado e no modelo com t =, 3,..., n. Y t Y t-1 = β 1 (1 ) + β (X t X t-1 ) + t, 7 Relativamente a cada uma de um grupo de 100 mulheres casadas, dispõe-se de informação quanto às variáveis seguintes: NC: número de filhos; HW: salário do marido; ED: número de anos de educação completados; OW: salário da mulher. A variável OW foi codificada com o valor 0 se a mulher não tinha emprego remunerado. Admite-se que a decisão de participação da mulher no mercado de trabalho depende do número de filhos e do salário do marido, mas não do nível de escolaridade completado pela mulher, enquanto o salário auferido por trabalho no mercado depende apenas desse nível de habilitações (mas não do número de filhos ou do salário do cônjuge). Os quadros seguintes apresentam um conjunto de resultados obtidos na análise dessa amostra. Quadro I: Dependent Variable: OW Sample(adjusted): IF OW>0 Included observations: 61 after adjusting endpoints C ED R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) a) Que objecções lhe suscitam os resultados apresentados nos Quadros I e II?

17 Quadro II: Dependent Variable: OW Sample: Included observations: 100 C ED R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) b) O Quadro III refere-se a um modelo probit em que a variável dependente, PART, é uma variável binária que assume o valor 1 se a mulher tem trabalho no mercado ou o valor 0 em caso contrário. Para uma mulher cujo marido tem um salário de 0, havendo um filho do casal, que influência estima venha a ter o nascimento do segundo filho sobre a participação no mercado de trabalho? E que influência estima se desse parto resultar um par de gémeos? Quadro III: Dependent Variable: PART Method: ML - Binary Probit Sample: Included observations: 100 Convergence achieved after 5 iterations Covariance matrix computed using second derivatives Variable Coefficient Std. Error z-statistic Prob. C NC HW Mean dependent var S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter Restr. log likelihood Avg. log likelihood LR statistic ( df) McFadden R-squared Probability(LR stat) 6.33E-15 c) O Quadro IV, por sua vez, apresenta resultados da estimação de um modelo tobit para os salários. Especifique completamente o modelo e escreva a função de verosimilhança em que se baseou a estimação. d) O Quadro V contém resultados da estimação do modelo pelo método de Heckman em dois passos. Descreva o procedimento seguido. Que vantagens terá esse método sobre as alternativas?

18 Quadro IV: Dependent Variable: OW Method: ML - Censored Normal (TOBIT) Sample: Included observations: 100 Left censoring (value) at zero Convergence achieved after 6 iterations Covariance matrix computed using second derivatives Coefficient Std. Error z-statistic Prob. C ED Error Distribution SCALE:C(3) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter Avg. log likelihood Left censored obs 39 Right censored obs 0 Uncensored obs 61 Total obs 100 Quadro V: Dependent Variable: OW Sample(adjusted): IF OW>0 Included observations: 61 after adjusting endpoints C ED LAMBDA R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)

19 ESTIMAÇÃO PELO MÉTODO DAS VARIÁVEIS INSTRUMENTAIS (IV) 1 Considere o modelo Y t = β 1 + β Y t-1 + u t. a) Prove que, se Y for uma variável estacionária (no sentido de fracamente estacionária), terá de ser < 1. b) Indique as propriedades do estimador OLS de β (i) caso u t seja uma variável aleatória de espectro branco e (ii) caso u t siga um processso auto-regressivo estacionário de 1ª ordem com média nula. c) Se houvesse razões para considerar insatisfatório o uso do método OLS na estimação do modelo, parece-lhe que o método das variáveis instrumentais constituirira uma boa alternativa? Discuta a questão. Dispõe-se de uma amostra de observações trimestrais das variáveis X t e Y t para o período 1981:1 a 1996:4, com as quais pretende estimar-se o modelo. Y t = β 1 + β Y t-1 + β 3 X t + u t. Alguns resultados da análise aparecem nos quadros seguintes: Quadro I: Sample(adjusted): 1981: 1996:4 Included observations: 63 after adjusting endpoints C Y(-1) X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) a) A avaliar pelo valor da estatística de Durbin-Watson no Quadro I, há autocorrelação das perturbações. Concorda? Se, de facto, existir autocorrelação, que críticas lhe merece a estimação?

20 Quadro II: Method: Two-Stage Least Squares Sample(adjusted): 198:1 1996:4 Included observations: 60 after adjusting endpoints Instrument list: C X X(-1) X(-) X(-3) X(-4) C Y(-1) X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Sum squared resid F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) b) O Quadro II exibe resultados da estimação do modelo pelo método IV. Parecelhe adequada a escolha das variáveis instrumentais usadas? Justifique. c) Descreva, com rigor, o processo de estimação pelo método bietápico de mínimos quadrados que lhe permitiria obter as mesmas estimativas dos coeficientes β 1, β e β 3 que no Quadro II.

21 ESTIMAÇÃO PELO MÉTODO DOS MOMENTOS GENERALIZADO (GMM) 1 Retome o exemplo da questão na secção sobre a estimação IV. Os Quadros I e II fornecem resultados complementares. Quadro I: Quadro II: Method: Generalized Method of Moments Sample(adjusted): 198:1 1996:4 Included observations: 60 after adjusting endpoints No prewhitening Bandwidth: Fixed (3) Kernel: Bartlett Convergence achieved after: 7 weight matricies, 8 total coef iterations Instrument list: C X X(-1) X(-) X(-3) X(-4) C Y(-1) X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Sum squared resid Durbin-Watson stat J-statistic Method: Generalized Method of Moments Sample(adjusted): 1981: 1996:4 Included observations: 63 after adjusting endpoints No prewhitening Bandwidth: Fixed (3) Kernel: Bartlett Convergence achieved after: 1 weight matrix, total coef iterations Instrument list: C X X(-1) C Y(-1) X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Sum squared resid Durbin-Watson stat J-statistic 3.30E-7 a) As estimativas obtidas pelo método IV (ver Quadro II na questão supracitada da secção sobre esse método) e pelo método GMM (Quadro I desta questão) são diferentes. Explique porquê.

22 b) A avaliar pela estatística J (Quadro I), parecem~lhe adequadas as restrições de sobre-identificação impostas na estimação? Justifique. c) No Quadro II, são apresentados resultados da estimação GMM do modelo com um conjunto diferente de variáveis instrumentais. Discuta a estatística J fornecida nesse quadro. No modelo probit, sabe-se que é E(Y i X i ) = (X i ), em que, por (.), se designou a função cumulativa de distribuição normal reduzida. Poderia, então, usar a condição de ortogonalidade E[Y i (X i )] = 0 como base para a estimação GMM dos coeficientes do modelo? Discuta a questão. 3 Seja Y uma variável com distribuição do qui-quadrado com p graus de liberdade. a) Sabe-se que é E(Y) = p. Qual seria o estimador de p pelo método dos momentos? b) Também é Var(Y) = p. Se usasse esta condição, qual seria o estimador de p pelo método dos momentos? c) Escreva as condições de ortogonalidade e os momentos amostrais correspondentes às condições E(Y) = p e Var(Y) = p. 4 Seja {Y 1, Y,..., Y n } uma amostra aleatória de uma variável Y com distribuição t de Student com p graus de liberdade. 1 a) Planeia-se usar Y = Yi como estimador do parâmetro p. Que pensa disso? n b) Sugira um método alternativo para estimação de p. Justifique-o.

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24 Soluções: Date: 1/0/04 Time: 17:15 Sample: 1 3 Included observations: 3 C X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic) Date: 1/0/04 Time: 17:18 Sample: 1 8 Included observations: 8 C X X R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood F-statistic Durbin-Watson stat Prob(F-statistic)