Roteiro para o Primeiro Laboratório de Cálculo Numérico

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1 Roteiro para o Primeiro Laboratório de Cálculo Numérico Prof. Dr. Waldeck Schützer April 7, 2008 Nesta aula de laboratório, vamos ter o nosso primeiro contato com um programa de computador dedicado ao Cálculo Numérico. Ele se chama Octave e é um irmão gêmeo do MatLab. Na sua área de trabalho, localize o ícone do Octave e clique sobre ele com o mouse para abrir o programa. Ao fazer isso, você provavelmente verá a seguinte janela de texto: GNU Octave, version (i486-pc-linux-gnu). Copyright (C) 2006 John W. Eaton. This is free software; see the source code for copying conditions. There is ABSOLUTELY NO WARRANTY; not even for MERCHANTIBILITY or FITNESS FOR A PARTICULAR PURPOSE. For details, type warranty. Additional information about Octave is available at Please contribute if you find this software useful. For more information, visit Report bugs to (but first, please read to learn how to write a helpful report). octave:1> A última linha exibindo octave:1> informa que o programa está pronto para receber comandos. Chamamos essa sentença de prompt, em referência ao estado de prontidão do programa. Nesse momento, podemos digitar uma expressão matemática como 1+1 ou 2*7 (note que a multiplicação é indicada pelo asterísco). Experimente fazer isso agora: octave:1> 2*7 ans = 14 octave:2> Observe que a linha abaixo do prompt informa ans = 14, ou seja a resposta (ANSwer) do comando que você digitou é igual a 14. O Octave seria de muito pouca utilidade se não fosse capaz de recordar o resultado de cálculos feitos previamente. Para isso dispõe do recurso de guardar valores calculados em variávieis. Observe que a palavra ans é o nome de uma variável que contém sempre o resultado do último comando executado. Você pode indicar um outro nome de varável, por exemplo: octave:2> raiz=sqrt(2) raiz = octave:3> A variavel raiz contém agora o valor , ou aproximadamente raiz quadrada de 2. A propósito, a esta altura você já notou que o Octave está contando os comandos, certo? Em um comando subsequente, você pode utilizar o valor armazenado previamente em uma variável. Por exemplo: octave:3> x=(1+raiz)/2 x = Aqui fizemos o cálculo x = cujo resultado aproximado é foi guardado na variável x. Você já deve ter reparado que as respostas numéricas do Octave são sempre com 5 dígitos significativos. Dizemos que esse é o format short do Octave. Para respostas com mais dígitos, podemos usar o seguinte comando: 1

2 octave:4> format long octave:5> raiz raiz = Perceberam como agora o valor aproximado de 2 que estava guardado na variável raiz parece estar mais preciso? De fato, esse valor já havia sido calculado com mais precisão e apenas uns poucos dígitos estavam sendo exibidos. Vamos agora determinar o maior e o menor número positivo no Octave: octave:6> realmax realmax = e+308 octave:7> realmin realmin = e-308 Entendeu? Isso foi bastante intuitivo e parece sugerir que o sistema do octave é equivalente a F(10,15,308,308). Agora talvez seja boa idéia voltarmos ao formato short: octave:8> format short Sempre podemos pedir o formato long quando desejarmos e sabemos que há mais dígitos à nossa disposição do que os que estão sendo exibidos. Neste curso estamos interessados em encontrar zeros de funções. Vamos ver agora como fazer para definir uma função. Considere o polinômio y = f(x) = x 3 6x + 2. Na linguagem do Octave, o escreveríamos como: octave:9> function y=f(x) > y=x.^3-6*x+2; > endfunction Note que o símbolo para potenciação é.ˆ (ponto-chapéu). Daí podemos calcular valores desse polinômio para valores particulares de x usando a sintaxe familiar: octave:10> f(0) ans = 2 octave:11> f(-1) ans = 7 octave:12> f(2) ans = -2 Para calcular o valor do polinômio em vários pontos consecutivos, por exemplo os inteiros entre -4 e 4, podemos usar os seguintes comandos: octave:13> x=-4:4 x = octave:14> y=f(x) y = Note que o primeiro comando criou um vetor x cujos elementos são os inteiros consecutivos desde -5 até 5. O segundo comando criou um outro vetor, y, contendo os respectivos valores do polinômio f calculados nesses inteiros. Podemos obter um gráfico desse polinômio usando usando estes valores calculados através do seguinte comando: octave:15> grid on octave:16> plot(x,y) O resultado desse comando pode ser visto na seguinte janela: 2

3 O comando grid on faz exibir a malha pontilhada e vemos o gráfico (aproximado) do polinômio em vermelho. Para obtermos um traçado mais suave, precisamos calcular o valor do polinômio em mais pontos intermediários. Para introduzir mais três pontos intermediários entre cada inteiro, podemos usar espaçamento (ou incremento) igual a Vamos fazer isso agora: octave:11> x=-4:0.25:4; octave:12> Note que estamos usando ; no final do comando para omitir a exibição do (longo) resultado. Antes de plotar o gráfico precisamos recalcular os valores de f: octave:12> y=f(x); plot(x,y) O resultado pode ser visto abaixo: Note como agora o traçado parece ser mais suave. Esse gráfico sugere ainda que esse polinômio apresenta três raízes reais distintas nos respectivos intervalos [-3,-2], [0,1] e [2,3]. De fato vemos, por exemplo, que: octave:13> f(0) ans = 2 octave:14> f(1) ans = -3 ou seja, f(x) muda de sinal no intervalo [0,1]. Vamos agora encontrar uma aproximação para a raiz positiva em [0,1] usando bisecção. octave:15> a0=0; b0=1; c0=(a0+b0)/2; y0=f(c0) y0 =

4 Vemos que o valor de f(x) no ponto médio do intervalo é aproximadamente Como f(a 0 )f(c 0 ) < 0, vemos que a raiz está no intervalo [a 0, c 0 ] = [0, 0.5]. Agora fazemos: octave:16> a1=a0; b1=c0; c1=(a1+b1)/2; y1=f(c1) y1 = Agora f(c 1 )f(b 1 ) < 0, logo a raiz está em [c 1, b 1 ] = [0.25, 0.5]. Poderíamos continuar com esses cálculos indefinidamente, mas é possível automatizar o processo usando laços e execução condicional. Laços permitem executar repetidamente um bloco de comandos e a execução condicional, como o nome já diz, permite executar um bloco de comandos apenas se uma determinada condição estiver satisfeita. Para o método da bissecção, devemos obeservar uma condição de parada e impor uma limitação no número de iterações. Assumindo que o intervalo inicial contendo a raiz seja dado pelas variáveis a e b, a precisão desejada ε esteja guardada na variável eps e que o número máximo de iterações seja N, então o seguinte bloco de comandos realiza a aproximação por bissecção: octave:17> a=0; b=1; eps=0.5e-3; N=20; i=0; octave:18> while (b-a)/2 > eps & i<n > c=(a+b)/2; > if f(a)*f(c)<0; b=c else a=c endif; > i=i+1; > endwhile b = a = b = a = b = a = a = a = b = b = Neste bloco o comando while (b-a)/2 > eps & i<n > c=(a+b)/2; pede a execução iterada do bloco de comandos subsequente até o comando endwhile enquanto as condições (b-a)/2 > eps e i<n forem verdadeiras, ou seja b a 2 e i < N. Aqui a variável i é usada para contar o número de iterações. Isso não é estritamente necessário para a bissecção, pois sabemos de antemão quantas iterações serão realizadas, mais é uma boa prática de programação. Os valores finais de a e b indicam um intervalo menor contendo a raiz: octave:19> a a = octave:20> b b = ou seja a raiz está no intervalo [ , ]. Podemos tomar o ponto médio desse intervalo como uma aproximação para a raiz: octave:21> x=(a+b)/2 x = Para chegar a esse resultado foram feitas 10 iterações e o erro absoluto é inferior a = , ou seja, devemos ter (pelo menos) duas casas decimais corretas. Vamos agora aplicar o Método de Newton a esse polinômio no intevalo [a, b] = [0, 1]. Para isso vamos precisar de f (x) = 3x 2 6. Chamando f de df na linguagem do Octave, escrevemos: octave:22> function y=df(x); y=3*x.^2-6; endfunction Devemos definir também a função de iteração ϕ(x) = x f(x) f (x) octave:23> function y=phi(x); y=x-f(x)/df(x); endfunction do médoto de Newton: Antes, porém, é bom nos certificarmos de que o Método irá convergir. Para isso vamos checar as condições do Newton. Para isso, vamos precisar também de f (x) = 6x, ou em Octave: octave:24> function y=ddf(x); y=6*x; endfunction 4

5 Tomando, por exemplo, x 0 = 0.5, temos f(x 0 )f (x 0 ) = < 0, logo essa não parece ser uma boa escolha, pois precisamos de f(x 0 )f (x 0 ) > 0. Por outro lado, se tomarmos x 0 = 0.1, temos f(x 0 )f (x 0 ) = > 0. Além disso, devemos nos certificar de que f (x) e f (x) conservam sinal no intervalo [a, b]. Como as raízes de f (x) são 2 e 2, e sabemos que f conserva sinal entre elas por ser função contínua, então em particular vemos que f conserva sinal em [0, 1]. É muito óbvio que o mesmo se pode dizer de f (x), logo todas as condições estão satisfeias e a convergência está garantida. Resta-nos agora fazer as iterações. Para isso vamos escrever um laço de programa como fizemos acima. Novamente eps será a precisão desejada, N será o número máximo de iterações, i será o contador de iterações e x=0.1 será a aproximação inicial. octave:25> i=1; eps=0.5e-3; N=20; x=0.1; x1=phi(x); octave:26> while i<n & abs(x1-x)/abs(x1)>eps; > x=x1; > i=i+1; > x1=phi(x); > endwhile Após executar esses comandos, temos os seguintes resultados: octave:27> x1 x1 = octave:28> i i = 3 ou seja, após 3 iterações atingimos a precisão desejada ε = Se mais tarde desejarmos repetir os calculos teremos que repetir os comandos acima. Por que não criarmos uma função para fazer exatamente isso? octave:28> function [y,i,er]=newton(x,eps,n); > i=1; > y=phi(x); > er = abs(y-x)/abs(y); > while i<n & er>eps; > x=y; > i=i+1; > y=phi(x); > er=abs(y-x)/abs(y); > endwhile; > endfunction Agora podemos chamar essa função para fazer as iterações a partir de um valor inicial x, uma precisão desejada eps e até um número máximo de iterações N. Note que o resultado será um vetor [y,i,er], onde y é a aproximação obtida para a raiz, i é o número de iterações realizadas e er é o erro relativo calculado. Por exemplo: octave:29> [y,i,er]=newton(0.1,0.5e-3,20) y = i = 3 er = e-05 ou seja, para x 0 = 0.1, ε = e N = 20, o resultado é y = , i = 3 e E r = Vamos mudar para a exibição longa e executar novamente o Newton para x 0 = 0.1, ε = e N = 20: octave:30> format long octave:31> [y,i,er]=newton(0.1,0.5e-10,20) y = i = 4 er = e-11 Este exemplo ilustra bem o poder do Método de Newton. Com apenas mais uma iteração em relação ao exemplo anterior, atingimos a precisão de 10 casas decimais exatas! Um aperfeiçoamento do que fizemos até aqui seria usarmos uma função para calcular o valor de f e de f usando o Briot-Ruffini: 5

6 octave:32> function [y,dy]=briot(p,x); > n=size(p)(2); > y=p(1); > dy=p(1); > for i=2:n; > y=y*x+p(i); > if i<n; dy=dy*x+y; endif; > endfor; > endfunction Aqui estamos supondo que os coeficientes do polinômio estejam guardados em um vetor p. Estude cuidadosamente o laço apresentado acima para certificar-se de que ele implementa corretamente o Briot-Ruffini para f e f. O comando n=size(p)(2) obtém o comprimento do vetor p. O sufixo (2) é usado pois a resposta de size são dois índices: [colunas,linhas], e queremos apenas as linhas. Para o exemplo do polinômio f(x) = x 3 6x + 2, esse vetor seria p = [1, 0, 6, 2]. Usando a linguagem do Octave escreveríamos: octave:33> p=[ ]; size(p) ans = 1 4 Agora vamos testar o Briot: octave:34> [y,z]=briot(p,0) y = 2 z = -6 octave:35> f(0) ans = 2 octave:36> df(0) ans = -6 Onde vemos que nossa função retornos os valores corretos para f(0)e f (0). Experimente modificar a função ϕ (ou phi na linguagem do Octave) para utilizar a função briot ao invés de f e df. Agora que você já entendeu o básico sobre o Octave, este é um bom momento para experimentar com os outros métodos com Secantes, Posição Falsa, e MIL. Isso fica como exercício! Procure ter à mão um bom manual do Octave, como o que está disponível no site: Boa sorte! 6

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