Um Novo Malhador para o MEF aplicado a Microondas e Optoeletrônica

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1 Um Novo Malhador para o MEF aplicado a Microondas e Optoeletrônica M.Ribeiro Filho e J.T.Pinho GEDAE/DEEC/UFPA V.F.Rodríguez-Esquerre, K.Z.Nobrega e H.E.Hernández-Figueroa DMO/FEEC/UNICAMP Resumo Neste trabalho é apresentado um novo malhador para o MEF (Método de Elementos Finitos), chamado MeM (Malhador eletromagnético). O MeM tem como objetivo gerar malhas para análise de problemas que utilizam o MEF, dentre os quais os de aplicações de microondas e optoeletrônica, que têm como característica uma grande diferença na dimensão do domínio exterior em relação às dos domínios interiores. O malhador é automático e adaptativo e possui uma interface amigável para o usuário. São apresentadas estatísticas da qualidade das malhas e resultados de aplicações em optoeletrônica. secundário. A ordem de entrada dos diversos subdomínios e buracos é importante. Inicialmente entra-se com as dimensões do domínio exterior e, em seguida, dos subdomínios, sendo que, quando um subdomínio é definido sobre um que entrou anteriormente, o que entrou por último prevalece. No exemplo da Fig. 1, onde existem três tipos de materiais e, por ordem, o usuário entrou com as dimensões do retângulo, da elipse e do círculo. Palavras-chaves Geração de malhas, MEF, Malhas Adaptativas. I. INTRODUÇÃO A construção de malhas finas com boa qualidade é o primeiro passo na resolução de problemas que usam MEF [1]-[3]. Geralmente, isso envolve a geração de uma malha inicial, a qual é refinada para garantir soluções de elementos finitos de alta exatidão [1]-[3] Essa é a metodologia aqui utilizada, onde o algoritmo que gera a malha inicial baseia-se no Algoritmo de Ajuste de Contorno [4]. Em [2] é afirmado que pouco tem sido feito na produção de malhadores para MEF voltados para problemas eletromagnéticos de alta frequência. O presente algoritmo de geração automática da malha inicial, foi projetado levando em consideração características dos domínios de problemas eletromagnéticos em altas frequências. Para refinar a malha é usado o algoritmo de refinamento h descrito em [4]. O MeM é um pacote que une ambas as fases de geração da malha através de uma interface gráfica amigável. II. DESCRIÇÃO DO DOMÍNIO A descrição precisa da geometria do domínio do problema é um pré-requesito para geradores de malhas de qualidade [1],[5],[6]. São usadas três entidades básicas. Para a primeira, chamada de polígono, definida por uma coleção de semiretas, o usuário entra com os valores das extremidades desses segmentos em sentido anti-horário. A segunda é o circulo; neste caso o usuário entra com o centro e o raio. Na última, a elipse, o usuário entra com centro e os semi-eixos principal e M.RibeiroFilho,mrf@ufpa.br,J.T.Pinho,jtpinho@ufpa.br,V.F.Rodriguez_Esq uerre,vitaly@dmo.fee.unicamp.br,k.z.nóbrega,bzuza@dmo.fee.unicamp.br, H.E. Hernández_Figueroa,hugo@dmo.fee.unicamp.br Fig. 1. Domínio com três materiais III. A MALHA INICIAL Apresenta-se a seguir o algoritmo da malha inicial, que a partir da geometria do domínio gera automaticamente uma malha triangular de boa qualidade. ALGORITMO DA MALHA INICIAL Ler nsd {número de subdomínios} Ler Γ 1 e Chamar "Algoritmo de Contorno Exterior" Calcular C i 2 Repetir Ler Γ i Calcular di Se (Γ i for polígono ou elipse e di > C) ou (Γ i for circulo e di > 0.37C) { é porque é macro} Então Chamar "Algor. de Ajuste de Contorno Interior" Se não { é porque é micro } Então Chamar "Algoritmo Refina Fonte" Chamar "Algoritmo de Ajuste de Contorno Interior" i i + 1 Se (i==nsd) Então interromper Fim Repetir Fim ALGORITMO DA MALHA INICIAL

2 Esse algoritmo é muito simples e compacto. Inicialmente, ele lê o número de subdominios, depois Γ 1, o domínio exterior e chama o "Algoritmo de Contorno Exterior", que é bem definido em [4]. Esse algoritmo cria uma grade de triângulos equiláteros, com lados de tamanho C, maior do que Γ 1. Em seguida, essa grade é superposta ao domínio exterior; os triângulos que estiverem fora do domínio são removidos e os triângulos que interceptam a fronteira do domínio são ajustados, como mostra a Fig. 2. Esse algoritmo gera excelentes triângulos interiores e de fronteira de bom aspecto, que é um problema para esse tipo de gerador de malhas[1]. (a) (b) Fig. 2. (a) Domínio Circular. (b) Domínio em L Se Γ for polígono Para cada um dos vértices do polígono determinar entre todos os nós da malha o mais próximo do vértice, e em seguida projetar o nó para sobre esse vértice (Fig. 3). Repetir Todos os triângulos que interceptam a fronteira são modificados da seguinte maneira: os nós desses triângulos que estão próximos da fronteira interior são projetados para sobre essa fronteira. Usa-se como parâmetro o valor C/2, ou seja, os nós que estiverem a uma distância menor do que C/2 serão projetados. Fim Repetir Se Γ for buraco Todos os triângulos e nós que estão dentro do domínio interior são retirados da malha. Trocar diagonais de Delaunay[2] para todos os triângulos de fronteira com seus triângulos vizinhos. Fim ALGORITMO DE AJUSTE DE CONTORNO INTERIOR As figuras 3, 4 e 5 mostram exemplos de malhas que possuem domínios macro. De posse do valor de C, o algoritmo entra em um laço onde lê um subdomínio por vez, na ordem em que eles foram definidos pelo usuário, até que todos os subdomínios tenham sido considerados. Dentro do laço existe um "Se". Se o domínio for macro, ou seja, o lado do triângulo equilátero for menor que as dimensões do subdomínio, o algoritmo "Ajuste de Contorno Interior" é chamado. Quando o triângulo equilátero for maior do que o subdomínio, tem-se o caso do subdomínio micro e, antes do algoritmo citado anteriormente ser chamado, é utilizado o algoritmo "Refina Fonte". A variável di, que é comparada com C no algoritmo, depende do tipo de entidade; se for um polígono, é o seu menor lado; se for um círculo, o raio, e se for uma elipse, o menor dos seus semi-eixos. Para um círculo, o domínio é micro se sua área for menor do que a área do triângulo equilátero; daí chega-se a di < 0,37C para ser micro. Para o polígono e a elipse, escolhe-se o pior caso, ou seja, sua menor dimensão. Fig. 3. Malha coaxial tipo retângulo Fig. 4. Malha com um círculo e um buraco circular A. Subdomínios Macro O resultado do algoritmo de contorno exterior é uma triangulação T. A seguir descreve-se o algoritmo de "Ajuste de Contorno Interior". ALGORITMO DE AJUSTE DE CONTORNO INTERIOR Ler Γ i, que é o contorno interior, e a triangulação T Repetir Separar os triângulos de T dentre os que estão dentro do domínio interior, os que estão fora e os que interceptam a fronteira desse subdomínio. Os que interceptam a fronteira serão modificados. Fim Repetir Fig. 5. Malha gerada a partir do domínio mostrado na Fig.1 B. Subdomínios Micro Para se caracterizar os problemas de geração de malhas que possuem domínios micro, parte-se da fórmula usada para determinar o tamanho do lado de um triângulo equilátero da grade inicial, que é:

3 C = mdx/const (1) Onde C é diretamente proporcional a mdx, que é a menor dimensão do domínio exterior, e const é uma constante que por padrão é 10, mas que pode ser definida pelo usuário. Portanto, se a menor dimensão do domínio interior di for muito menor do que mdx, como é o caso dos domínios micro, C será maior do que di e os triângulos equiláteros serão maiores do que o domínio interior, o que não pode acontecer quando se chama o "Algoritmo de Ajuste de Contorno Interior". Uma solução simples é aumentar o valor de const até que C fique menor do que di. O problema é que, para domínios micro, o valor de const teria de ser de tal ordem que C seria muito pequeno em toda a extensão da malha, o que geraria um número muito grande de triângulos. Além disso, esses pequenos triângulos se estendendo de maneira uniforme por toda a malha resultaria em uma característica contrária a uma das vantagens das malhas do MEF, que é a de ter triângulos de tamanhos diferentes, com os triângulos menores restritos às áreas de maior variação de campo. A proposta aqui apresentada é que, após a aplicação do "Algoritmo da Malha Inicial", seja detetada a presença de domínios micro, antes de se chamar o "Algoritmo de Ajuste de Contorno Interior", e fazer um refinamento h [1]-[4] para os triângulos dentro do domínio micro, até que eles se tornem menores que di. Esse refinamento é feito de maneira muito simples usando-se o conceito de fontes pontos, também chamado de função de espaçamento de nós [1],[5] que determina o tamanho mínimo dos triângulos de uma região. O "Algoritmo Refina Fonte" chamado pelo "Algoritmo da Malha Inicial", é o de refinamento h, que é definido em [4], e usa uma função de espaçamento de nós, juntamente com a técnica baricêntrica, seguida da troca de diagonal de Delaunay[2] e, para suavizar a malha, usa relaxação da malha[7] e suavização laplaciana[8]. Para mostrar a validade do malhador na presença de domínios micro, usa-se como exemplo a microfita, que possui uma variação muito grande entre o domínio exterior e o interior. A Fig. 6 mostra a malha após o "Algoritmo de Contorno Exterior", onde pode se comparar a microfita com os triângulos equiláteros. A Fig. 7 mostra uma ampliação na região da microfita após aplicação do "Algoritmo da Malha Inicial". Fig. 6. A microfita comparada com os triângulos equiláteros Fig. 7. Ampliação na região da microfita IV. A INTERFACE DO USUÁRIO A interface do usuário permite uma entrada amigável dos dados do domínio e o controle sobre os processos de criação da malha inicial e de refinamento. A Fig. 8 mostra o menu principal, composto por "novo domínio", "malha inicial", "refinamento" e "sair" (em inglês). A Fig. 9 mostra o momento da entrada do círculo para o domínio da Fig. 1. Fig. 8. Menu principal Fig. 9. Entrando com dados do domínio da Fig. 1 Observa-se que o círculo é o terceiro domínio cheio (não é buraco), e que aparecem na tela o retângulo e a elipse, que já haviam sido introduzidos anteriormente. Após a entrada de todos os subdomínios, aparece uma janela chamada "salvar domínio", onde o usuário digita o nome do domínio que, em seguida, aparece na tela (nesse exemplo é a Fig. 1). Quando o usuário escolhe a opção "malha inicial", aparece uma janela onde ele entra com o nome do domínio e outra onde é dado o valor de const (equação 1). Após isso, aparece outra janela, onde ele entra com o nome da malha inicial e, finalmente, aparece na tela a malha inicial, como mostrada nas figuras 2, 3, 4 e 5. O usuário pode visualizar uma ampliação da malha,

4 como na Fig. 7, acionando duas vezes o botão direito do "mouse" sobre a região escolhida. Quando o usuário escolhe a opção "refinamento", aparece na tela uma janela onde ele entra com o nome do domínio, da malha inicial e de um arquivo com os dados da função de espaçamento dos nós. Depois, aparece uma janela onde ele entra com o nome da malha final e, finalmente, aparece a malha refinada, como mostrado nos exemplos da próxima seção. V. VALIDAÇÃO DOS ALGORITMOS PROPOSTOS Uma etapa importante na construção dos geradores de malha é a validação do processo[1]. Uma forma de validação é a utilização do mesmo tipo de malha, gerada com um malhador já reconhecido como confiável e a comparação dos resultados com os do malhador proposto, em uma configuração de complexidade similar, com as mesmas condições para execução e usando o mesmo programa MEF ("solver"). Esta seção apresenta essa comparação, além de estatísticas da qualidade da malha. O malhador confiável usado é o GiD[9]. A. Análise de uma Grade Dielétrica Na grade dielétrica[10] mostrada na Fig. 10, o pulso de entrada e o refletido são monitorados no ponto indicado. Calcula-se as características de reflexão a partir das características do pulso refletido em função do de entrada. A Fig. 12 mostra a distribuição do fator de qualidade da malha em relação ao número normalizado de triângulos[2],[3]. Uma análise visual na ampliação da Fig. 11 mostra que não existem triângulos de má qualidade, o que é comprovado pelo gráfico do fator de qualidade, onde cerca de cinqüenta por cento dos triângulos têm fator de qualidade próximos a um (valor máximo) e existem poucos triângulos com fator de qualidade abaixo de 0,8. Nr. Elementos Qualidade Fig. 12. Qualidade versus número de triângulos normalizados A seguir comparam-se os resultados encontrados com a formulação MEF da referência [10], usando uma malha construída com o GiD, que possui nós e triângulos. A Fig. 13 mostra as amplitudes do pulso de entrada e do refletido para o campo elétrico no modo TE. 11 µm Pulso de Entrada 16 µm 24 µm Ponto de Monitoração n = 1,00 n = 1,55 n = 1,45 0,3276 µm 0,3103 µm 47 µm Fig. 10. Grade dielétrica 0,3 µm As malhas construídas são triangulares quadráticas. A construída com o malhador proposto possui nós e triângulos. A Fig. 11 mostra uma ampliação na região da grade. amplitude do campo (unidades arbitrárias) tempo (fs) Proposto GID Fig. 13. Pulsos de entrada e refletido O primeiro pulso é o de entrada e o segundo o refletido. A Fig. 14 mostra as características de reflexão do campo elétrico no modo TE. Os gráficos das figuras 13 e 14 mostram que os resultados MEF usando-se a malha gerada pelo GiD e pelo malhador proposto são idênticos. Esses resultados são também idênticos aos encontrados em [11]. Fig. 11. Ampliação na região da grade

5 0,6 proposto gid ,4 0.7 reflexão 0,2 Nr. triângulos , ,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 comprimento de onda (µm) Fig. 14. Coeficiente de reflexão como função do comprimento de onda para o modo TE B. Análise de um Cristal Fotônico Um cristal fotônico é uma estrutura composta por diversas células, como mostra a Fig. 15. Assumindo que a estrutura contém um número muito grande de células, praticamente infinito, e distribuídas de forma periódica, basta fazer os cálculos para uma das células Qualidade Fig. 17. Qualidade versus número de triângulos normalizados ωa/2πc 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 TE TM 0,0 Χ Γ Κ Χ Fig. 18. Gráfico obtido a partir de malha gerada pelo MeM Fig. 15. Cristal Fotônico A Fig. 16 mostra a malha gerada pelo MeM, do tipo triangular linear, que possui nós e triângulos. VI. CONCLUSÃO Apresentou-se um novo malhador para MEF a ser usado em problemas eletromagnéticos de alta freqüência. O MeM é totalmente automático, possui uma interface amigável e, como foi demonstrado, gera malhas de qualidade e produz excelentes resultados MEF aplicados a problemas de microondas e optoeletrônica. Para o refinamento da malha pode-se facilmente incorporar outras técnicas, como a bissecção de elementos[2]. REFERÊNCIAS Fig. 16. Malha gerada pelo MeM A Fig. 17 mostra que mais de noventa por cento dos triângulos têm fatores de qualidade próximos de um. Os resultados MEF produzem um gráfico da freqüência normalizada ao longo do contorno da zona irredutível de Brillouin, onde ε =4 para os círculos do cristal fotônico e o fator de preenchimento, relação entre a região do dielétrico e do ar, vale 0,431. O gráfico da Fig. 18 foi gerado usando-se as malhas do gerador proposto. Resultados idênticos foram obtidos usando-se malhas geradas pelo GiD, que também são idênticos aos obtidos por [12]. [1] J.F.Thompson, B. K. Soni e N. P. Weatherill, Handbook of Grid Generation, CRC Press, 1999 [2] E. Baude, Refinamento Adaptativo de Malhas 2D e 3D para a Solução Numérica de Problemas de Propagação Eletromagnética, Tese de Doutorado UNICAMP 2000 [3] H.E. Hernandez-Figueroa e E. Baude, Refinamento Adaptativo Eficiente para Malhas de Elementos Finitos Triangulares 2-D,anais do ENSM`97-SBMO,pp , [4] M.Ribeiro Filho e J.T.Pinho, Äutomatic and Adaptive Mesh Generation FEM with Applications in Microwave, anais do IMOC 2001, pp.17-20, [5] C. K. Lee e R. E. Hobbs, Automatic and Adaptive Mesh Generation over Arbitrary two-dimensional Domain using Advacing Front Technique, Computers & Structures. Vol. 71, pp. 9-34, 1999 [6] M. Salazar-Palma, T. K. Sarkar, L.-E. Garcia-Castilho, T. Roy e A. Djordjevic, Interative and Self-Adaptive Finite Element in Electromagnetic Modeling, Artech House, Inc, 1998 [7] W.H.Frey e D.A.Field, Mesh Relaxation : A New Technique for Improving Triangulations, International Journal for Numerical Methods in Engineering,Vol.31, pp , 1991 [8] D.A.Field, Laplacian Smoothing and Delaunay Triangulations, Communications in Applied Numerical Methods, Vol. 4, pp ,1988

6 [9] Geometry and Data (GiD) International Center for Numerical Methods in Engineering, Universitat Politécnica de Catalunya, Barcelona, Espanha, [10] V. F. Rodríguez-Esquerre e H.E. Hernández-Figueroa, Novel Time- Domain Step-by-Step for Integrated Optical Applications, IEEE Photonics Technology Letters, Vol. 13, Nº 4, 2001 [11] M. Koshiba e Y. Tsuji, Time-Domain Beam Propagation Method and Its Application to Photonic Crystal Circuits, Journal of Lightwave Technology, Vol. 18, nº1, 2000 [12] W. Axmann e P. Kuchment, An Efficiente Finite Element Method for Computing Spectra of Photonics and Acoustic Band-Gap Materials, Journal of Computing Physics, Vol. 150, pp , 1999