Matematika III-Drejtimi i Kompjuterikes, Pr. Qefsere Doko Gjonbalaj

Transcrição

1 Matematka III-Drejtm Kompjuterkes, r. Qefsere Doko Gjonbalaj

2 Matematka III-Drejtm Kompjuterkes, r. Qefsere Doko Gjonbalaj 9.3 Ndryshoret e rastt dhe shpërndarja e tyre Ndryshoret e rastt Der tan kem shqyrtuar ngjarjet e rastt dhe veprmet që kryhen me to. or në teornë e probabltetett dhe në statstkën matematke shpeshherë ngjarjet e ndryshme të rastt shoqërohen me numra real dhe bëhen veprme me këta numra. randaj, ndodh që në praktkë në dsa raste, më shumë të na nteresojnë vlerat e ndonjë funkson të rezultateve të ekspermentt se sa vetë rezultat ekspermentt. Kështu për shembull na ntereson: 1. Shuma e pkave të rëna në hedhjen e njëkohshme të dy zareve. 2. Hedhm dsa herë monedhën. Më shpesh na ntereson numr rëneve të stemës (numrt) se sa vetë rezultat ekspermentt. 3. Zgjedhm dhjetë bta rastëssht. Ndoshta duam të dmë probabltetn që të ftohen nëntë bta, të gjtha njëshe (1). ër të studuar problemet e kësaj forme, çdo rezultat të një eksperment do t shoqërojmë një numër edhe atëherë kur karakterstkat e vërejtura të ngjarjeve nuk janë esencalsht numerke. Këtu kem të bëjmë me një rregull, spas së clës, çdo ngjarjeje të ekspermentt shoqërojmë një numër real. ra kem të bëjmë me një funkson. S rezultat lnd një koncept r madhësa e rastt e cla quhet gjthashtu edhe ndryshore e rastt. ërkufzm 9.12 Ndryshore e rastt quhet funkson X domen të clës është hapësra e ngjarjeve Ω dhe vlerat e të clt janë numra real. Smbolksht X : Ω R. Vërejtje: Ndryshorja e rastt është funkson me anën e të clt çdo ngjarjeje numër real X (e). e Ω shoqërohet një Nga përkufzm rrjedh se për çdo bashkës 1 { e Ω : te tlla qe X ( e ) I}. Është e qartë se X ( I) Ω. I R me shënmn X ( A) I kuptojmë bashkësnë Ndryshorja e rastt karakterzon të gjtha rezultatet e mundshme të ekspermentt nga ana sasore. Ndryshoret e rastt shënojmë me shkronja të mëdha X, Y, Z,... ose X 1, X 2, X 3,... ndërsa vlerat e ndryshoreve të rastt me,,... etj. 1, 2 3 Gjatë studmt të një ndryshoreje të rastt problem më rëndësshëm është gjetja e probablteteteve të vlerave të ndryshme të saj. Ky problem është mundur të zgjdhet sepse vlerat e ndryshores së rastt përcaktohen nga rezultatet e ekspermentt, ku kem të përcaktuar një probabltet, pra është dhënë model probabltar ( Ω, ).

3 Matematka III-Drejtm Kompjuterkes, r. Qefsere Doko Gjonbalaj Le të jetë X një ndryshore e rastt e përcaktuar në hapësrën Ω, ku është përcaktuar probabltet. Shënojmë me S = { 1, 2, 3,..., n}, bashkësnë e vlerave të mundshme të ngjarjes së rastt X dhe me p ( ) = ( X = ) probabltetn e ngjarjes X =. robabltet përcaktuar në këtë mënyrë gëzon vettë: 1. p( ) 0 per S 2. n = 1 p( ) = 1. ërkufzm 9.13 Çft ( S, ) quhet lgj probabltar ndryshores së rastt X. Shembull 9.41 Supozojmë se monedha është hedhur tr herë me radhë. Le të jetë X(t) ngjarja e rastt e cla është e barabartë me numrn e rënes së numrt (N-t) kur t është ngjarja. Atëherë X(t) merr vlerat: X ( NNN ) = 3 X ( NNS ) = X ( NSN) = X ( SNN) = 2 X ( SSN ) = X ( SNS) = X ( NSS) = 1 X ( SSS ) = 0 Vërejmë se: ( X = 3) = { ( NNN )} = 1 8 ( X = 2) = { ( NNS ), ( NSN),( SNN) } ( X = 1) = { ( NSS), ( SSN ),( SNS) } = ( X = 0) = { ( SSS )} = 1 8 = = 1 p( ) = ( X = 3) + ( X = 2) + ( X = 1) + ( X = 0) = 1. Shembull 9.42 Hdhen njëkohëssht dy zare të lojës. Hapësra Ω është = { e1, e2, e3,..., e36} = (,1), e = ( 1,2),..., e ( 6,6) Ω ku e =, pra hapësra Ω ka 36 ngjarje elementare e, njëlloj të mundshme me ( e 1 ) = Shënojmë X = ma(, j), pra ndryshoren e rastt të përcaktuar në Ω. Vlerat e mundshme të ndryshores së rastt X janë 1,2,3,4,5,6 sepse: X ( e1 ) = 1 = 1, X ( e2) = X ( e7 ) = X ( e8 ) = 2 = 2,... Lgj probabltett për këtë ngjarje të rastt X është: X = ) ( 4 = 1 ( X = ) = 1

4 Matematka III-Drejtm Kompjuterkes, r. Qefsere Doko Gjonbalaj Vërejtje: Mb të njëjtën hapësrë Ω mund të përcaktohen ndryshore rast të ndryshme, për shembull Y = mn(, j), Z = + j, etj. ërkufzm 9.14 ( ) ër ndryshoren e rastt thuhet se është ndryshore dskrete e rastt në qoftë se rangu saj është bashkës dskrete (e fundme ose pafundme, por e numërueshme). ër ndryshoren e rastt thuhet se është ndryshore e vazhdueshme (kontnuale) e rastt në qoftë se rangu saj është një nterval ( kufzuar ose pakufzuar) numrave real. o paraqesm dsa shembuj të ndryshoreve dskrete të rastt: a) me numër të fundmë vlerash: 1. numr pkave që be në faqen e spërme të zart të lojës: 1,2,3,4,5,6 2. numr udhëtarëve në autobus 3. nur detaleve me defekt gjatë prodhmt të pesë detaleve nga një maknë: 0, 1, 2, 3, 4, 5. b) me numër të pafundmë vlerash: Nga një kut ku ndodhen dy sfera të bardha dhe një e kuqe nrret me kthm një sferë. rovat vazhdojnë der sa të kem tërhequr një sferë të kuqe. Atëherë numr provave të kryera do të jetë një ndryshore (madhës) e rastt. Ajo mund të marrë vlera: 1, 2, 3,..., e kështu der në pambarm. ërkufzm 9.15 Shpërndarje (dstrbum) e ndryshores së rastt X në hapësrën e realzmeve Ω është bashkësa e çfteve ( r, ( X = r ) për çdo r X ( e), ku ( X = r) është probabltet X për vlerën r. Shpërndarja zakonsht X r r X e. përshkruhet duke specfkuar ( = ) për çdo vlerë të ( ) Shembull 9.43 as që, gjatë hedhjes së monedhës tr herë me radhë, secl nga tetë realzmet e mundshme ka probabltetn 1 8, shpërndarja e ndryshores së rastt X ( t) në shembulln 9.41 është dhënë me X = 3 =1, ( X = 2 ) = 3 8, ( X = 1 ) = 3 8, ( X = 0 ) =1 8. ( ) Shpërndarja probabltare Të sjellurt e ndryshores së rastt karakterzohet me shpërndarjen probabltetare të saj, që do të thotë, nga mënyra e shpërndarjes së probabltett në vlerat përkatëse. Funkson shpërndarjes probabltetare dhe funkson masës së probabltett janë dy mënyra të clat karakterzojnë shpërndarjen për ndryshoret dskrete të rastt. Funksonet korresponduese për ndryshoret e vazhdueshme të rastt janë funkson shpërndarjes probabltetare, përkufzuar në mënyrë të ngjashme s në rastn e ndryshoreve dskrete, dhe funkson denstett probabltar. Shpërndarja probabltare e ndryshores së rastt X është përshkrm probablteteve të ftuara nga vlerat e mundshme të X. ër ndryshoret dskrete të rastt, shpërndarja shpesh herë

5 Matematka III-Drejtm Kompjuterkes, r. Qefsere Doko Gjonbalaj përcaktohet vetëm me anë të shënmt të vlerave të mundshme në tabelë dhe probabltetn përkatës të seclës vlerë. Në dsa raste, është e përshtatshme që probabltet të shprehet me anë të formulës. Shembull 9.44 Ekzston mundësa që një bt transmetuar nëpërmjet të një kanal dgjtal të transmetmt është marrë me gabm. Le të jetë X barabartë me numrn e btave me gabm në transmetmn e katër 0,1,2,3,4. Supozojmë se probabltetet janë btave në vazhdm. Vlerat e mundshme për X janë { } ( X = 0 ) = ( X =1 ) = ( X = 2 ) = ( X = 3 ) = ( X = 4 ) = Shpërndarja probabltare e X është përcaktuar me anë të vlerave të mundshme së bashku me probabltetn e seclës vlerë. ërshkrm grafk shpërndarjes probabltare është paraqtur në fgurën p() Fg. Error! No tet of specfed style n document.17 Shpërndarja probabltare për btat me gabm Shembull 9.45 Në shembulln 9.44, mund të na nteresojë probabltet tre ose më pak btave të marra me X 3. gabm. Ky problem mund të shprehet s ( ) Ngjarja { X 3} është unon ngjarjeve { X = 0}, { X = 1}, { = 2} se këto ngjarje janë dsjunkte mes vet. randaj, ( X 3) = ( X = 0) + ( X = 1) + ( X = 2) + ( X = 3) = = Ky përafrm gjthashtu mund të përdoret për të përcaktuar ( X = 3 ) = ( X 3) ( X 2) = X dhe { X = 3}. Është e qartë

6 Matematka III-Drejtm Kompjuterkes, r. Qefsere Doko Gjonbalaj Shembull 9.45 tregon se në dsa raste është e nevojshme që të jem në gjendje të përcaktojmë edhe probabltetn rrtës (kumulatv) s ( X ) dhe se probabltetet e tlla mund të përdoren për gjetjen e funksont të masës së probabltett të ndryshores së rastt Funkson shpërndarjes probabltare Në përgjthës, për çfarëdo ndryshore dskrete të rastt me varablat e mundshme 1, 2,... n, ngjarjet { X = 1 }{, X = 2},...{ X = n } janë të pavarura (dsjunkte). randaj, ( X ) = p( ), ku ( X < ) -probabltet që ndryshorja e rastt X të marrë vlera më të vogla se numr. ërkufzm 9.16 Funkson shpërndarjes probabltare ose funkson shpërndarjes ndryshores së rastt X, të cln do ta, është F shënojmë me ( ) F ( ) ( X ) = p( ) =. (14) Me anën e funksont të shpërndarjes është e mundur që të gjenerohet probabltet për çdo numër të famljeve F ( R) të nënbashkësve të drejtëzës reale R. Funkson shpërndarjes një ndryshoreje të rastt me rrtjen e bën grumbullmn e probablteteteve. ër funkson e shpërndarjes gjthashtu përdoret edhe emërtm funkson dstrbumt kumulatv. Gjeometrksht funkson shpërndarjes nterpretohet në këtë mënyrë: ( ) F është probabltet që ndryshorja e rastt X të merr vlera të clat paraqesn në boshtn numerk pka të clat ndodhen në të majtë të pkës. Të gjtha vlerat e funksont të shpërndarjes përkasn segmentt [ 0,1] d.m.th. 0 ( ) 1. jobarazm rrjedh nga përkufzm ( ) ndërmjet 0 dhe 1). F F Ky dhe vett e probabltett (probabltet ngjarjes ndodhet Në qoftë se të gjtha vlerat e mundshme të ndryshores së rastt X ndodhen në ntervaln ( a,b), atëherë: = 0 per a, F = 1 per b Me që F ( ) ( ). X < ngjarje e pamundur, ndërsa X < +, e sgurt, atëherë F ( ) = 0 dhe F ( + ) = 1 as që ( X < ) = ( X < ) + ( X < ), ngjarjet ( X ) ( < X < ) < 1 dhe 1 2 janë të pavarura, atëherë në bazë të vetsë mb shumën e ngjarjeve të pavarura, kem: ( X < ) = ( X < ) + ( X ) <

7 Matematka III-Drejtm Kompjuterkes, r. Qefsere Doko Gjonbalaj ( X < ) = ( X < ) ( X ). < Në bazë të përkufzmt 9.16, barazmn e fundt do ta shkruajmë në formën: ( X < ) = F ( ) F ( ) (15) Rrjedhmsht, probabltet tllë që ndryshorja e rastt X merr vlera nga gjysmë nterval [ ) 1, 2 është barabartë me dferencën e vlerave të funksont të shpërndarjes në skajet e këtj nterval. as që, X X nga rrjedh relacon: < dhe janë ngjarje të kundërta atëherë shuma ( X < ) + ( X ) = 1, ( X ) = 1 ( X < ) ose ( X ) = 1 F ( ). Funkson shpërndarjes F ( ) ka këto vet: 1. F ( ) është jozvoglues në (, ). Nëse lm F ( ) = F ( ) = 0 dhe lm F ( ) = F ( ) = F ( ), lm 0 majta d.m.th. në pkën 0 < atëherë F ( ) F ( ). funkson ( ) F prej 1 < 2 është vazhdueshëm nga e Duke u bazuar në vettë e funksont të shpërndarjes mund të konstatojmë karaktern e këtj funkson. ër ndryshoren dskrete të rastt duhet të dhen probabltetet p( ) merr vlerat e saj, d.m.th. duhet të jenë të njohura probabltetet: Shembull 9.46 ( X ), ( = 1,2,3,...) ku p( ) = 1. = që ndryshorja e rastt X të Le të jetë X ndryshore dskrete e rastt e cla merr vlerat -1, 1, 2, dhe 3, me probabltetet 1 3 1,, dhe. Atëherë kem per < per 1 < 1 F ( ) = 3 8 per1 < per 2 < 3 1 per 3 Ky funkson është paraqtur në fgurën 9.18 dhe është një shembull funksont të shpërndarjes në ldhje me ndryshoret dskrete të rastt, dhe rrtës nga 0 në 1 në formën e shkallëzuar.

8 Matematka III-Drejtm Kompjuterkes, r. Qefsere Doko Gjonbalaj Fg Funkson shpërndarjes probabltare X, F () Ndryshorja e rastt X quhet e vazhdueshme, nëse ekzston funkson jonegatv ( ) çdo : F ( ) = ( X < ) = p( ) d. p tllë që për Sç na është e njohur, ntegral caktuar me kufrn e spërm varabël një funkson të F është funkson vazhdueshëm. vazhdueshëm, është funkson vazhdueshëm që d.m.th. se ( ) Ndryshoret e vazhdueshme të rastt marrn një numër të panumërueshëm vlerash në boshtn real. Një shembull funksont të shpërndarjes për ndryshoret e vazhdueshme të rastt është paraqtur në fgurën A nuk ka kërcme dhe pka të këputjes s në rastn e ndryshoreve dskrete të rastt. robabltet X që merr vlerat në një nterval të dhënë gjendet me anë të ekuacont (15), dhe kjo ka kuptm vetëm për probabltetn e ndryshoreve të vazhdueshme të rastt. ër shembull, në fgurën < X 1 = F 1 F 1 = = 0.4 Është e qartë se ( X = a) = 0 ( ) ( ) ( ). për çfardo a. Fg Funkson shpërndarjes probabltare ndryshores së vazhdueshme të rastt X, F ()

9 Matematka III-Drejtm Kompjuterkes, r. Qefsere Doko Gjonbalaj Funkson masës së probabltett për ndryshoret dskrete të rastt Funkson shpërndarjes mund të zbatohet për të klasfkuar ndryshoret e rastt në ato dskrete dhe në ato të vazhdueshme. ër një ndryshore të rastt thuhet se është dskrete, nëse funkson saj shpërndarjes ( ) paraqet shumën e funksoneve shkallë të varablave të tyre. Vlerat që funkson arrn në çdo është e barabartë me madhësnë për të clën F ( ) kërcen në atë pkë. randaj mund të përkufzojmë një funkson të r p ( ) = ( X = ) cl quhet funkson masës së probabltett të ndryshores së rastt. Le të jetë X ndryshore dskrete e rastt e cla merr më së shumt një numër të fundmë dhe të numërueshëm të vlerave 1, 2,... me probabltete jo zero. Në qoftë se shënojmë ( X = ) = p( ), = 1,2,..., atëherë, është e qartë se 0 p ( ) 1 për çdo dhe se p =. ( ) 1 ërkufzm 9.17 Funkson masës së probabltett ndryshores dskrete të rastt X me vlerat e mundshme 1, 2,..., n p = X = ashtu që është funkson ( ) ( ) 1. p ( ) 0 n 2. p ( ) = 1 = 1 3. p ( ) ( X = ) = (16). F Në shembulln 9.44, p(0) = ,! p(1) = ,! p(2) = , p(3) = dhe p(4) = Të provohet se shuma e probablteteve në këtë shembull është 1. ër ndryshoren e rastt të përkufzuar në shembulln 9.46, funkson masës së probabltett është zero për çdo vlerë përveç për, = 1,1,2, 3 dhe është paraqtur në fgurën 9.20

10 Matematka III-Drejtm Kompjuterkes, r. Qefsere Doko Gjonbalaj Fg Funkson masës së probabltett ndryshores të rastt X, p () Fgura 9.20 paraqet një formë të zakonshme të funksont të masës së probabltett për një ndryshore dskrete të rastt, pas që për çfarëdo ndryshore të vazhdueshme të rastt ( X = ) = 0, funkson masës së probabltett nuk ekzston në rastn e këtyre ndryshoreve. Gjthashtu mund të vërejmë se, s F ( ), edhe p ( ) plotëssht karakterzon ndryshoren e rastt X; për më shumë, këto dy funksone janë thjeshtë të ldhur me: ( ) F ( ) F ( ) p (17) F = 1 ( ) p ( ) = (për <...) (18) 1 2 < Kufr poshtëm shumës në barazmn (18) do të thotë se shuma është marrë për të gjtha të clat plotësojnë. randaj, vërejmë se funkson shpërndarjes dhe funkson masës së probabltett ndryshoreve dskrete të rastt përmbajnë nformata të njëjta; secla plotësojnë njëra tjetrën. Gjthashtu mund të jepet një nterpretm vlefshëm fzk këtyre dy funksoneve. Në kuptmn e shpërndarjes së njëssë të masës në boshtn real < <, funkson shpërndarjes ndryshores së rastt në, F ( ), mund të nterpretohet s masa totale në ldhje me pkën dhe të gjtha pkat që shtrhen në të majtë të. Funkson masës së probabltett, për dallm, tregon shpërndarjen e kësaj njëse të masës përgjatë boshtt real (boshtt Oy); ajo është e shpërndarë në p në, =1,2, pkat dskrete me sas të masës të barabartë me ( ) Shembull 9.47 Supozojmë se prodhm dtor 850 pjesëve të prodhuara përmban 50 pjesë të clat nuk plotësojnë kërkesat e konsumatorëve. Janë zgjedhur dy pjesë rastëssht, pa zëvendësm, nga bashkësa bazë. Le të jetë ndryshorja e rastt X e barabartë me numrn e pjesëve që nuk plotësojnë kërkesat e konsumatorëve. Cl është funkson shpërndarjes X? Zgjdhje Që t përgjgjem kësaj pyetje, së par do të gjejmë funksonn e masës së probabltett të X.

11 Matematka III-Drejtm Kompjuterkes, r. Qefsere Doko Gjonbalaj randaj, F F F ( X = 0 ) = = ( X = 1 ) = 2 = ( X = 2 ) = = ( 0 ) = ( X 0) = ( 1 ) = ( X 1) = = ( 2 ) = ( X 2) = = 1 Funkson shpërndarjes probabltare për këtë shembull është paraqtur grafksht në fgurën Të përkujtojmë se F ( ) është përkufzuar për të gjtha, < < dhe jo vetëm për 0,1 dhe 2. Fg Funkson shpërndarjes probabltare Shembull 9.48 ërcakton funksonn e masës së probabltett të X nga funkson shpërndarjes në vazhdm: Zgjdhje F ( ) = per < 2 per 2 < 0 per 0 < 2 per 2 Fg Funkson shpërndarjes probabltare

12 Matematka III-Drejtm Kompjuterkes, r. Qefsere Doko Gjonbalaj ( ). Nga grafku, pkat e vetme që kanë Fgura 9.22 paraqet grafkun e funksont F probabltetn e ndryshëm nga zero janë -2, 0, dhe 2. Funkson masës së probabltett në seclën pkë është sa ndryshm funksont të shpërndarjes në atë pkë. randaj, p 2 = = 0. p p ( ) 2 ( 0 ) = = 0. 5 ( 2 ) = = Shpërndarja bnomale për ndryshoret dskrete o e shqyrtojmë një eksperment të rastt cl mund të përsërtet në mënyrë arbtrare dhe cl ka vetëm dy ngjarje të mundshme, të pavarura njëra nga tjetra. I tllë është për shembull eksperment hedhjes së monedhës metalke. Çdo eksperment të veçantë në vargun e ekspermenteve të tllë e quajmë provë. Kështu, në ekspermentn e hedhjes së monedhës metalke, çdo hedhje është një provë. Vërejmë se në këtë eksperment, provat nuk varen njëra nga tjetra. rovat e pavarura, të përsërtura, të një eksperment, në të cln çdo provë ka dy ngjarje të mundshme, quhen provat e Bernoull-t, spas James Bernoull, cl ka kontrbuar shumë në teornë e probabltett. Njërën prej ngjarjeve të këtyre ekspermenteve do ta quajmë sukses ndërsa ngjarjen tjetër dështm. Në qoftë se p është probabltet suksest dhe q probabltet dështmt, rrjedhë se p + q = 1. Shumë probleme mund të zgjdhen me përcaktmn e probabltett të k sukseseve kur eksperment përbëhet nga n prova të pavarura të Bernoull-t. Në qoftë se jem të nteresuar vetëm për numrn e sukseseve, e jo për rendtjen spas të clës ndodhn ato, atëherë vlen: Teoremë 9.3 robabltet saktëssht k sukseseve në n provat e pavarura të Bernoull-t, me probabltet p të sukseseve dhe probabltetn e dështmeve q =1 p, është p n = k (19) k n k ( k) ( X = k) = p q ku ndryshorja e rastt X tregon numrn e sukseseve në n prova, k=0,1,2,,n. Vërtetm Kur ndodhn n prova të Bernoull-t, ngjarja është n-she e rendtur ( t t,..., ) t = (për 1, 2 t n, ku S sukses) dhe t = D (për dështm) për =1,2,...,n. as që n provat janë të pavarura, probabltet çdo ngjarjeje n provave që përmbajnë k suksese dhe n-k dështme (në çfarëdo rendtje) është k k q n n p. as që këtu kem n-she të rendtura të S-ave dhe D-ve të clat përmbajnë k S-a, k probabltet k sukseseve është

13 Matematka III-Drejtm Kompjuterkes, r. Qefsere Doko Gjonbalaj ku koefcent bnomal n k n p k është përkufzuar me k k q n, n = k k! n! ( n k)!. Do të shënojmë me b ( k n, p) ; probabltetn të k sukseseve në n provat e pavarura të Bernoull-t me probabltetn e suksest p dhe probabltetn e dështmt q = 1 p. Duke konsderuar s funkson të k, këtë funkson do ta quajmë shpërndarje bnomale. Në bazë të teoremës 9.3 b n k k n k k n k ( k; n, p) = C( n, k) p q = p q Vërejmë se shuma e probablteteve në n prova të pavarura të Bernoull-t me k suksese, për k = 1,2,..., n, është e barabartë me n n k n k n p q = ( p + q) = 1. k = 0 k Funkson shpërndarjes probabltare, F ( ), për shpërndarjen bnomale është dhënë me m n k n k F ( ) = p q k = k (20) 0 ku m është numr plotë poztv më vogël ose barabartë me. Shembull 9.49 Në fgurën 9.23 janë paraqtur funkson masës së probabltett dhe funkson shpërndarjes probabltare, për ndryshoren dskrete të rastt X, ku n = 10 dhe p = Fg (a) Funkson masës së probabltett, p () dhe (b) Funkson shpërndarjes probabltare, F () Shembull 9.50 Sa është probabltet që të paraqten saktëssht tetë 0-bta në paraqtjen e dhjetë btave, në qoftë se probabltet që të paraqten 0-btat është 0.9 dhe probabltet që të paraqten 1-btat është 0.1, dhe btat paraqten në mënyrë të pavarur?

14 Matematka III-Drejtm Kompjuterkes, r. Qefsere Doko Gjonbalaj Zgjdhje Në bazë të teoremës 9.3, probabltet që të paraqten saktëssht tetë 0-bta është b ( 8;10, 0.9) = p ( 8) = ( 0.9) ( 0.1) = Shembull 9.51 Zar hdhet shtatë herë. Të caktohet probabltet që të merren saktëssht 3 gjashtëshe. Zgjdhje ( ) = 1 6 ; p ( 6 ) = 6 p 6 5 Atëherë b ( 3; 7,1 6) p ( ) = = = 3 4 Shembull 9.52 robabltet që një person e përkrah vztën në teatër është 0.6. Të caktohet probabltet që nga tetë persona të zgjedhur rastëssht të jenë: a) saktëssht 3 persona që përkrahn vztën në teatër b) më shumë se 5 persona që përkrahn vztën në teatër. Zgjdhje Le të konsderojmë s ngjarje të suksesshme përkrahet vzta në teatër. Atëherë në bazë të kushteve të detyrës kem p = 0. 6 dhe q = 1 p = Le të jetë X-numr përkrahësve të vztës në teatër. Atëherë: a) b ( 3;8, 0.6) = ( X = 3) = ( 0.6) ( 0.4) = b) Kërkohet ( X > 5). ra 3 ( X > 5) = ( X = 6) + ( X = 7) + ( X = 8)! = # " 8 6 $ & 0.6 % ( ) 6 '( 0.4) 8(6 + # 8 7! " $ & 0.6 % ( ) 7 '( 0.4) 8(7 + # 8 3! " $ & 0.6 % ( ) 8 '( 0.4) 8(8 = Shembull Çdo mostër e ujt ka mundësnë prej 10% të përmbajë një ndotës të caktuar organk. Supozojmë se mostrat janë të pavarura në ldhje me prannë e ndotësve. (a) (b) Gjen probabltetn se në 18 mostrat, saktëssht 2 mostra përmbajnë ndotës Gjen probabltetn se së paku 4 mostra përmbajnë ndotëst. (c) ërcakton probabltetn ashtu që 3 X < 7.

15 Matematka III-Drejtm Kompjuterkes, r. Qefsere Doko Gjonbalaj Zgjdhje Le të jetë X numr mostrave në 18 mostrat e analzuara të clat përmbajnë ndotës. Atëherë X është ndryshore bnomale e rastt me p = 0. 1 dhe n =18. (a) Atëherë b (b) robablte kërkuar është ( 2;18, 0.1) = ( X = 2) = ( 0.1) ( 0.9) = 153( 0.1) ( 0.9) = k 18 k ( X 4 ) = ( 0.1) ( 0.9) k= 4 18 k Megjthatë, është më lehtë të përdoret ngjarja komplementare, (" =1! * $ )* # 18 0 k 18 k ( X 4 ) = 1 ( X < 4) = 1 ( 0.1) ( 0.9) % ' 0.1 & ( ) 0 ( 0.9) 18 + $ 18 1 " # % ' 0.1 & 3 k = 0 18 k ( ) 1 ( 0.9) 17 + $ 18 2 =1! [ ] = (c) Në qoftë se 3 X < 7, atëherë probabltet 6 18 k " # % ' 0.1 & ( ) 2 ( 0.9) 16 + $ 18 3 " # % ' 0.1 & k 18 k ( 3 X < 7) = ( 0.1) ( 0.9) = = Shembull 9.54 k= 3 ( ) 3 ( 0.9) 15 ronar shtëpsë ka nstaluar 20 llamba në shtëpnë e re. Supozojmë se secla llambë ka probabltetn 0.2 që të funksonojë më shumë se tre muaj. Sa është probabltet që së paku pesë nga këto llamba të funksonojnë më shumë se tre muaj? Zgjdhje Është e qartë se llambat funksonojnë në mënyrë të pavarur. Në qoftë se X është numr llambave të clat funksonojnë më shumë se tre muaj (të suksesshme), atëherë kem shpërndarjen bnomale me p = 0.2 dhe n = 20. Atëherë, 20 k= 5 p Shembull 9.55 k ( k) = 1 p( k) = 1 ( 0.2) ( 0.9) = 1 4 k= 0 4 k= 0 20 k 20 k [ ] = Supozojmë se tre përdorues të telefont përdorn të njëjtn numër dhe se, mesatarsht, përdorues telefont është në telefon 5 mnuta gjatë një ore. Të caktohet probabltett që më shumë se një përdorues do të përdor atë numër në të njejtën kohë. + -,-

16 Matematka III-Drejtm Kompjuterkes, r. Qefsere Doko Gjonbalaj Zgjdhje Nëse kem parasysh pavarësnë e ldhjeve telefonke, probabltet saktëssht k personave që kërkojnë përdormn e telefont në të njëjtën kohë është dhënë me anë të funksont të masës k p ( ) në ldhje me shpërndarjen bnomale. Vlerësm p është 5 1 p = = Atëherë, zgjdhja e kët problem jepet me p ( 2) + p ( 3) = = =