O PENSAMENTO MATEMÁTICO DE ALUNOS: UM ESTUDO

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1 O PENSAMENTO MATEMÁTICO DE ALUNOS: UM ESTUDO Bárbara Nivalda Palharini Universidade Estadual de Londrina Lourdes Maria Werle de Almeida Universidade Estadual de Londrina Resumo: Neste trabalho apresentamos parte de um estudo que visa entrelaçar a teoria do pensamento matemático com a Modelagem Matemática. O estudo foi elaborado com base na teoria do pensamento matemático enquanto pensamento matemático elementar e pensamento matemático avançado, bem como na Modelagem Matemática enquanto alternativa pedagógica. Apresentamos aqui parte de uma atividade desenvolvida por um grupo de alunos e analisada à luz da teoria do pensamento matemático. A análise apresentada descreve procedimentos e processos utilizados pelos alunos. Concluímos que alunos envolvidos em atividades de Modelagem Matemática vem a desenvolver processos associados ao pensamento matemático elementar e, avançado. Palavras-chave: Educação Matemática; Modelagem Matemática; Pensamento Matemático. Introdução Muitas das dificuldades ao trabalhar os conteúdos matemáticos com os alunos estão relacionadas à maneira como eles lidam com a Matemática. Essas dificuldades associadas à aprendizagem da Matemática são constantemente apresentadas por professores, pais e alunos. Explicar o porquê do sucesso ou do insucesso em Matemática é um dos grandes mistérios da Educação Matemática. Pesquisadores como Sfard (1991), Tall (2002) e Dreyfus (1991) direcionam seus estudos para essas questões, tendo como foco o estudo do pensamento matemático de alunos. Assim, com base nos processos utilizados pelos alunos e associados ao pensamento matemático tais autores procuram esclarecer o porquê das dificuldades e incertezas na aprendizagem da Matemática. Uma das grandes preocupações da Educação Matemática acerca das dificuldades dos alunos é de como ocorre a construção do conhecimento matemático na formação dos

2 mesmos. Neste contexto, pensamos na Modelagem Matemática como um dos caminhos que pode estimular os alunos e proporcionar a aprendizagem dos conteúdos matemáticos. Assim, apresentamos uma atividade de Modelagem Matemática desenvolvida por alunos e sua análise com base nas características e processos revelados por eles e associados ao pensamento matemático. Os processos do pensamento matemático A teoria do pensamento matemático é revelada em estudos cognitivos associados à aprendizagem da Matemática. Autores com cujo foco de estudo é o pensamento matemático o associam a pensamento matemático elementar e pensamento matemático avançado (Tall, 2002). O pensamento é entendido neste discurso como uma atividade interna e racional que envolve a reflexão sobre uma ação, sobre aquilo que vemos e pensamos acerca do que nos cerca. Tall (2002) aborda o pensamento matemático enquanto pensamento matemático elementar e pensamento matemático avançado. Sendo que ao pensar matematicamente os alunos utilizam tanto pensamentos elementares quanto pensamentos avançados. A passagem do pensamento matemático elementar para o pensamento matemático avançado envolve o desenvolvimento, que vai da descrição à definição, do convencimento à prova de uma maneira lógica baseada em definições. (...) Este desenvolvimento se dá da coerência da elementar para a consequência da avançada de uma maneira baseada em entidades abstratas as quais devem ser construídas por meio de deduções de definições formais. (Tradução nossa: Tall, 2002, p. 20) No trânsito entre pensamento matemático elementar e pensamento matemático avançado os alunos refinam seus conhecimentos e constroem conhecimentos. Neste contexto os alunos utilizam de processos que dão origem ao conhecimento matemático, estes processos são caracterizados por Dreyfus (1991) como os processos de representação e de abstração. O processo de representação está ligado às representações que utilizamos dos objetos matemáticos e às representações que fazemos dos mesmos em nossa mente, ou

3 seja, existem representações simbólicas e representações mentais e, tais representações são utilizadas no contexto matemático. Segundo Dreyfus (1991), associado ao processo de representação está à visualização, a tradução e mudança de representações e a modelagem. Sendo a modelagem considerada neste contexto como envolvendo um sistema físico, ou seja, na modelagem a situação ou o sistema é físico e o modelo é matemático; na representação o objeto a ser representado é a estrutura, e o modelo é uma estrutura mental. Assim, a representação mental está relacionada ao modelo matemático como o modelo matemático está relacionado ao sistema físico. Cada um deles é uma interpretação parcial do outro. Cada um deles reflete algumas (mas não todas) as propriedades do outro. E cada um deles manifesta sua capacidade de manipular mentalmente o sistema em consideração. (Tradução nossa: Dreyfus, 1991, p. 34). O processo de abstração envolve outros dois processos relacionados em Dreyfus (1991) como os processos de generalização e de síntese. O processo de generalização é considerado como um dos processos mais importantes quando nos referimos à aprendizagem dos conceitos matemáticos. O processo de generalização, segundo Dreyfus (1991), envolve o ato de generalizar e é caracterizado como derivar ou induzir algo a partir de particularidades, a fim de identificar aspectos comuns e expandir domínios de validade. A generalização pode estabelecer um resultado grande para uma classe de resultados ou estabelecer a formulação de um conceito matemático e, estas são as grandes importâncias deste processo na Matemática. A síntese é um processo igualmente importante que envolve sintetizar, compor diversas partes em um todo, uma entidade. Os processos associados à representação e à abstração podem ser expressos no trabalho dos alunos com os objetos matemáticos, ou seja, na ação e reflexão dos alunos sobre os objetos matemáticos. Segundo Tall (1995), é na ação e reflexão sobre estes objetos que ocorre o trânsito entre pensamento matemático elementar e pensamento matemático avançado. Dessa maneira, considerando os processos associados ao pensamento matemático e às ações dos alunos sobre os objetos matemáticos abordamos a Modelagem Matemática na

4 Educação Matemática, pois consideramos que esta proporciona aos alunos o contato com objetos matemáticos e suas múltiplas representações. A Modelagem Matemática como alternativa para o desenvolvimento de processos de pensamento A Modelagem Matemática na Educação Matemática, de modo geral, envolve a observação de um fenômeno, a elaboração de representações s, e a obtenção de um modelo matemático para o fenômeno estudado, bem como a reinterpretação do modelo obtido em relação ao fenômeno. Como mencionado ao tratar dos processos associados ao pensamento matemático, Dreyfus (1991), refere-se ao termo Modelagem, como um processo de pensamento que consiste na obtenção de uma representação para um objeto ou um processo não matemático. Entendemos a Modelagem Matemática na Educação Matemática como uma alternativa pedagógica na qual fazemos uma abordagem, por meio da Matemática, de uma situação não essencialmente (Almeida e Brito, 2005). Segundo Barbosa (2001), Modelagem pode ser entendida em termos mais específicos. Do nosso ponto de vista, trata-se de um ponto de vista, trata-se de uma oportunidade para os alunos indagarem situações por meio de sem procedimentos fixados previamente e com possibilidades diversas de encaminhamento. Os conceitos e idéias s exploradas dependem do encaminhamento que só se sabe à medida que os alunos desenvolvem a atividade. (p.5). É neste contato com a Matemática que encaramos a Modelagem Matemática como associada à diversos processos do pensamento matemático. É neste sentido, que ao se envolver com as diversas ações que compreendem uma atividade de Modelagem Matemática os alunos podem vir a desenvolver os processos associados ao pensamento matemático elementar e ao pensamento matemático avançado. Essas ações compreendidas na Modelagem Matemática são citadas por Almeida e Ferruzzi (2009) como: o entendimento de um problema, a simplificação ou estruturação do

5 mesmo, um processo de matematização, o trabalho com a envolvida no problema, a interpretação, validação e apresentação dos resultados obtidos. Envolvidos nessas ações um grupo de alunos desenvolveu uma atividade de Modelagem Matemática no âmbito de uma disciplina de Modelagem Matemática e, é por meio dos registros desta atividade que analisamos os processos e as relações efetuadas pelos alunos no desenvolvimento da atividade. Metodologia utilizada: contexto e procedimento Os alunos envolvidos neste estudo desenvolveram a atividade ao final de uma disciplina sobre Modelagem Matemática na Educação Matemática. A atividade foi denominada por eles como análise quantitativa da nicotina e do cádmio acumulados no organismo do fumante. Neste texto apresentamos parte desta atividade, considerando a análise da nicotina no organismo do fumante. A metodologia utilizada para analisar o comportamento dos alunos, foi a abordagem qualitativa. Utilizamos esta abordagem, pois por meio dela é possível analisar o ambiente da sala de aula, tendo como base o pesquisador e os alunos investigados; considerar os dados como predominantemente descritivos, já que se trata do desenvolvimento dos alunos na respectiva atividade; se preocupar mais com o processo do que com o produto final; buscar para análise o significado que os alunos dão para a atividade; analisar os dados de maneira indutiva (Ludke e André, 1986). A atividade especificada neste trabalho foi desenvolvida em grupo e exigiu dos alunos a escolha do tema, do problema a ser resolvido, bem como sua resolução, concluindo com uma apresentação sob a forma de seminário para todos os alunos da disciplina. Os dados para análise foram coletados por meio de observação direta dos alunos, aplicação de questionário, anotações em diário de campo, gravações de áudio e vídeo e os registros escritos dos alunos. Assim, buscamos por meio da análise dos alunos na atividade que segue compreender o pensamento matemático utilizado por eles, considerando os processos associados ao pensamento matemático e demonstrados pelos mesmos. Tal compreensão

6 pode ser obtida, considerando os processos expressos pelos alunos e identificando as ações dos alunos na atividade de Modelagem Matemática. Uma atividade de Modelagem Matemática: análise quantitativa da nicotina no organismo do fumante O cigarro é um dos produtos mais consumidos no mundo. No mundo, existem atualmente, 1,3 bilhões de fumantes que consomem cerca de 7,3 trilhões de cigarros. No Brasil, o número de fumantes gira em torno de 25 milhões de pessoas. Na composição do cigarro existe cerca de 4700 substâncias químicas nocivas a saúde, porém nem todas são detectadas. O uso do cigarro pode levar a alterações genéticas que levam ao câncer e que são irreversíveis. O cigarro é a causa de 90% dos casos de câncer no pulmão, e também a 40% dos casos de doenças no coração. A nicotina é um alcalóide psicoativo que age diretamente no sistema nervoso central. O seu tempo de permanência no corpo humano não é muito prolongado devido a sua meia-vida ser bem pequena, o que aumenta seu potencial vicioso. A nicotinodependência foi definida nas conclusões do relatório do Surgeon General, do Departamento de Saúde e Serviços Humanos dos Estados Unidos: A nicotina é droga que causa dependência, é psicoativa; é reforçadora da motivação de fumar; com a repetição do uso desenvolve-se tolerância, exigindo doses progressivamente maiores para desencadear o mesmo efeito. A nicotina liga-se a receptores específicos do sistema nervoso: no cérebro interage com todos os centros alterando o metabolismo energético cerebral; As interações incluem ativação elétrica, relaxação muscular e efeitos sobre o sistema cardiovascular e endocrínico. O processo farmacológico determinador da dependência é similar aos desenvolvidos em outras drogas, como cocaína e heroína. A supressão do uso da nicotina acompanha-se de corte de sintomas desagradáveis, quase sempre insuportáveis, que desaparecem prontamente com nova dose de nicotina. Para estudar a concentração de nicotina no corpo humano quando absorvidos do cigarro, os alunos utilizaram a Modelagem Matemática para desenvolver um modelo que

7 representa o acúmulo dessa substância no corpo humano em relação ao tempo de uso do tabaco. Os dados para a obtenção dos modelos foram recolhidos da Organização Mundial da Saúde, dissertações de mestrado, artigos da Internet e do livro Nicotina Droga Universal de José Rosemberg, médico e presidente do comitê coordenador do controle do tabagismo no Brasil. Problema Formulado: Sabe-se que o consumo do cigarro gera a dependência, e este por sua vez traz incontáveis prejuízos à saúde de seu consumidor. Para um fumante que consome aproximadamente um maço de cigarros por dia, qual será o acúmulo de nicotina em seu organismo no decorrer do tempo, sabendo que a meia-vida da nicotina é de 2 horas? Hipóteses: A pessoa fuma apenas um cigarro; A nicotina presente em um cigarro corresponde a 1 mg; Considerando que a pessoa trague o cigarro e absorva em média 80% da quantidade total de nicotina presente no mesmo; Variáveis: de tempo; A meia-vida da nicotina é de 2 horas. t - tempo em horas; n variável auxiliar representando n unidades de tempo; C(n) concentração de nicotina em miligramas no organismo depois de n unidades C(t) concentração de nicotina em miligramas no organismo depois de t horas. Com base no problema apresentado e considerando as variáveis e hipóteses definidas os alunos construíram a tabela e o gráfico que representa a concentração de nicotina no organismo após fumar um cigarro.

8 Figura 1 Tabela e gráfico da concentração de nicotina no organismo no decorrer do tempo - Registro dos alunos. Na interpretação do gráfico os alunos colocam que: por meio do gráfico observamos que os pontos obtidos se comportam semelhantemente ao gráfico de uma função exponencial decrescente (Registro dos alunos durante a apresentação da atividade). Na resolução da atividade os alunos utilizam recursos matemáticos, como, equações diferenciais ordinárias e o método dos mínimos quadrados, a fim de determinar uma função que melhor se ajuste aos pontos do gráfico expresso. Na utilização do conceito de equações diferenciais ordinárias eles utilizam a tabela 2 a fim de deduzir o modelo matemático. Figura 2 Registro dos alunos para desenvolvimento do modelo para uma pessoa que fuma um cigarro A partir dessa tabela os alunos obtiveram o modelo matemático:

9 A fim de determinar os valores de e foi utilizado o método dos mínimos quadrados para o ajuste de uma reta por meio da linearização da expressão. Concluindo: Após a obtenção do modelo os alunos fizeram a validação do mesmo que foi encontrado com base nos dados da tabela 1 (Figura 1). O entendimento de que o modelo matemático foi satisfatório pode é evidenciado nas falas dos alunos: Aluna D2: deu bem próximo Aluno D1: o modelo encontrado ficou muito bom Em seguida, foi observado pelos alunos o gráfico do comportamento da concentração de nicotina no organismo. Figura 3 Tabela e Gráfico representando a validação do modelo obtido - Registro dos alunos (sic). Para concluírem esta parte da apresentação os alunos colocaram que: Daí quando nós obtivemos o modelo, nós levantamos uma nova questão: em quanto tempo a nicotina absorvida de um cigarro será eliminada do organismo? Usando o nosso modelo, que encontramos para a concentração de apenas um cigarro, nós não poderíamos igualar a zero, então nós igualamos a um valor bastante pequeno, para ver quanto tempo essa nicotina permaneceria no organismo, resolvendo esses cálculos nós encontramos que o tempo em dias será 2 dias 17 horas 47 minutos e 41 segundos para que depois que você fumar um cigarro essa nicotina seja eliminada do organismo. (Registros dos alunos durante a apresentação). No desenvolvimento da atividade foi abordado que a situação estudada é atípica para um fumante, pois em um intervalo de tempo uma pessoa consome vários cigarros e não apenas um, conforme foi deduzido. Assim, os alunos investigaram a situação que

10 responde: qual o acúmulo de nicotina no organismo, de uma pessoa que fuma aproximadamente um maço de cigarros diariamente, no decorrer do tempo? Variáveis: Foram definidas novas variáveis para o estudo da situação mencionada: t - tempo em horas; C(t) concentração de nicotina em miligramas no organismo depois de t horas. Após estas definições os alunos apresentaram um quadro contendo a generalização de um modelo para um fumante que fuma n cigarros por dia. Figura 4 Concentração de nicotina no organismo - Registro dos alunos. Utilizando o conceito de soma de uma progressão geométrica finita os alunos concluíram que a concentração de nicotina no organismo no decorrer do tempo é: Sobre o modelo encontrado os alunos apontaram que: mesmo que uma pessoa fumasse infinitos cigarros, a tendência do teor de nicotina no organismo é se estabilizar devido ao seu decaimento exponencial (Registro dos alunos durante a apresentação da atividade).

11 A partir desta consideração os alunos analisaram o limite da concentração de nicotina no organismo, obtendo. Utilizaram então este limitante para construir o gráfico da função que determina a concentração de nicotina no organismo do fumante considerando a situação estudada e o limite de. Figura 5 Gráfico que representa o modelo para quem fuma n cigarros por dia - Registro dos alunos (sic). Após a construção do gráfico, os alunos apresentaram as conclusões: Podemos perceber que a concentração da nicotina no decorrer do tempo no organismo de um tabagista que fuma regularmente um cigarro a cada hora, tende a se estabilizar não ultrapassando a marca de mg. Conforme os modelos elaborados, fica claro que a nicotina se esvai do organismo em um tempo que pode ser considerado curto e, também é notável que, aí se encontra o motivo da mesma causar dependência. Em função desta dependência, o fumante consome diversos cigarros por dia, só que para sustentar o vício pela nicotina, acaba absorvendo diversas outras substâncias nocivas à saúde, sendo que diversas delas são altamente cancerígenas, como é o caso do cádmio, cuja concentração é muito menor do que a concentração da nicotina por cigarro, em contrapartida, sua meia-vida é maior. (Registro dos alunos durante a apresentação da atividade).

12 Considerações sobre a Modelagem Matemática e o pensamento matemático na atividade Para análise, consideramos um aluno em particular. Este aluno participou efetivamente de todos os encontros em que a atividade foi desenvolvida, tanto em sala de aula quanto nas reuniões em outros horários. Ele considerou seu envolvimento na atividade muito bom e em entrevista informal argumentou que: Nosso trabalho foi ótimo, modéstia à parte, tivemos uma excelente experiência em grupo. Todos contribuíram com o desenvolvimento do trabalho. Quando alguém não se lembrava de algum conceito usado, outro recordava e explicava para o restante do grupo. Foi uma grande experiência [...] dava até uma empolgação de colocar em prática os conceitos aprendidos no curso. É disso que precisa ver aplicação dos conceitos. Às vezes pensamos que é difícil aplicar, pois necessita de conceitos muito sofisticados, mas na realidade pode-se fazer um trabalho muito bom com o pouco que sabemos. (Fala do aluno) Os conceitos utilizados na atividade, segundo o aluno, já lhe eram conhecidos. Ele não atribuiu dificuldade ao desenvolver a atividade e isso denota compreensão do problema desenvolvido. O que pode ser percebido em sua fala: quanto mais próximo da realidade, precisamos de ideias s mais elaboradas (Fala do aluno) O desenvolvimento da atividade foi descrito pelo aluno por meio de certas etapas. Em entrevista informal ele cita tais etapas como: A 1.ª é a escolha do tema. Essa etapa é a mais difícil e uma das mais importantes, nessa etapa, não sabemos que rumo pode tomar todo o trabalho, pode não chegar a nada, ou precisar de conhecimentos muito mais avançados do que aqueles disponíveis em nosso curso. A 2.ª etapa é pesquisar tudo a respeito do tema todas as informações possíveis, de fontes confiáveis, é claro. Nessa etapa, corre-se o risco de não se encontrar muitas informações a respeito do tema. Deve-se nessa etapa, esgotar todas as informações possíveis. A 3.ª etapa é o desenvolvimento do problema e essa etapa depende muito das informações e da disponível em nossa bagagem. A 4.ª etapa é a resolução do problema. Pelo menos espera-se resolver. Nessa etapa juntamos as informações pesquisadas com os conceitos matemáticos disponíveis em nosso arsenal. A 5.ª etapa é a validação dos resultados obtidos, nessa etapa verificamos se conseguimos atingir nosso objetivo, ao menos se aproximar. Na 6.ª etapa é a conclusão. (Fala do aluno)

13 Para o desenvolvimento do modelo da nicotina podemos observar o processo de mudança de representações ou tradução - da representação tabular para a representação gráfica - conforme sinaliza o esquema que segue. Figura 6 Tabela e gráfico da concentração de nicotina no organismo no decorrer do tempo - Registro dos alunos. A partir da utilização do gráfico que representa a concentração de nicotina no organismo faz-se uma análise da quinta coluna da tabela 2 a fim de deduzir o modelo matemático que representa C(t). Figura 7 Registro dos alunos para desenvolvimento do modelo para uma pessoa que fuma um cigarro A análise da coluna remete ao uso do conceito de equações diferenciais ordinárias, e a partir disso o aluno conclui que: Para a obtenção deste modelo o aluno coloca que:

14 a gente linearizou aquela equação que a gente tinha para poder utilizar o método dos mínimos quadrados, para poder encontrar a reta que se ajusta aqueles pontos lá né, e... depois de ter linearizado, então a gente utilizou o método dos mínimos quadrados para encontrar os valores de a e b. Então a gente usou o método dos mínimos quadrados aqui, encontrou a reta, fez os cálculos e depois voltamos lá onde linearizamos e construímos aquela tabela ali que tem a concentração de nicotina. Daí a gente fez o que, colocou numa tabela e fez a comparação com aqueles valores que a gente tinha anteriores né, daí deu bem próximo, né os valores que a gente encontrou com essa função ai. Aqui o gráfico desse decaimento, da função que a gente encontrou pelo método dos mínimos quadrados. (Fala do aluno) A partir das observações do aluno, da utilização de objetos como gráficos e tabelas conjecturamos que o aluno utiliza o processo cognitivo caracterizado por Dreyfus (1991) como o processo de representar-visualizar. O processo de generalização é revelado pelos alunos ao apresentar a expressão que representa o consumo de cigarros durante o dia, com intervalos de uma hora. Figura 8 Concentração de nicotina no organismo - Registro dos alunos. O processo de generalização é descrito em Dreyfus (1991) como compondo o processo de abstração. Segundo Dreyfus (1991) o processo de abstração aliado ao processo de representação remete à ocorrência do pensamento matemático avançado. O processo de representação foi utilizado durante a atividade por meio de: visualizações, da utilização de representações simbólicas, da utilização de gráficos e tabelas, e por meio da mudança de representações ou tradução.

15 Com relação aos processos e objetos utilizados pelo aluno, podemos inferir que são utilizados: objetos como gráficos e tabelas; ocorrem mudanças de representações, ora da representação tabular para a representação gráfica, ora da representação gráfica para a representação algébrica; representações simbólicas são utilizadas a fim de explicar a formalização dos objetos matemáticos. O uso de diferentes representações e a generalização (associado ao processo de abstração) revela aspectos relacionados ao pensamento matemático avançado. Considerando ações associadas à Modelagem Matemática, pode-se observar nos procedimentos dos alunos que foi efetuado o entendimento de uma situação problema, envolvendo uma pergunta a ser estudada, a seleção de variáveis e a escolha de hipóteses para trabalhar a situação. Em seguida os alunos partiram em busca de uma representação para o problema proposto, o que acarretou na obtenção de um modelo matemático. O modelo obtido foi validado por meio do uso de representações tabulares e gráficas do objeto matemático e, em seguida, foi comunicado à turma em forma de seminário. A comunicação do modelo matemático se deu em forma de representação simbólica e gráfica. Dessa maneira, os alunos utilizaram diversas representações do objeto matemático e diversos processos associados ao processo de representação citado em Dreyfus (1991). Assim, envolvido na atividade de Modelagem Matemática o aluno utiliza diversas representações (mentais e simbólicas) da situação-problema e/ou dos resultados matemáticos para a busca de uma representação que melhor se adapta ao problema. Processos matemáticos como a abstração e a generalização são utilizados pelo aluno durante sua manipulação com os conteúdos matemáticos. O aluno utiliza de processos de representação e abstração que, segundo Dreyfus (1991), são importantes para as interações entre pensamento matemático elementar e pensamento matemático avançado. Ao formular o modelo matemático a busca por uma representação que satisfaça as condições dispostas para o problema faz com que o aluno utilize de outros processos como o processo de representação, visualização, tradução entre representações e

16 generalização. A interação destes vários processos, segundo Dreyfus (1991), proporciona o desenvolvimento do pensamento matemático avançado. Ainda, nesta etapa, são utilizadas ainda representações gráficas que remetem à compreensão que o aluno tem do objeto matemático e denotam a utilização do processo de representar-visualizar, enfatizando relações do pensamento matemático elementar, considerando, neste caso, a necessidade da justificativa visual, da necessidade de perceber o objeto matemático. Conjecturamos que a articulação dos processos utilizados foi fundamental para a compreensão e o desenvolvimento da atividade de Modelagem Matemática. Neste sentido, considerando o quadro teórico estabelecido, de que a interação entre os processos associados ao pensamento matemático possibilita o desenvolvimento do pensamento matemático avançado (Dreyfus, 1991), podemos considerar que o aluno, ao desenvolver a atividade conduziu seu desenvolvimento no sentido do pensamento matemático avançado. Considerações finais A Modelagem Matemática foi utilizada como alternativa pedagógica. Nesse sentido, analisamos os processos associados ao pensamento matemático na medida em que os alunos exploravam a situação-problema da nicotina no organismo, o que nos possibilitou inferir sobre o modo como o pensamento matemático do aluno envolvido ocorreu durante o desenvolvimento da atividade. Temos que, a atividade de Modelagem Matemática possibilitou o desenvolvimento de processos cognitivos associados ao pensamento matemático avançado, como os processos de representação, de abstração e de generalização. Assim, a partir da análise colocada, inferimos que atividades de Modelagem Matemática têm potencial para que os alunos desenvolvam seus processos de pensamento.

17 Referências ALMEIDA, L. M. W. ; BRITO, D. S.. Atividades de Modelagem Matemática: que sentido os alunos podem lhe atribuir?. Ciência e Educação (UNESP), v. 11, p. 1-16, ALMEIDA, L. M. W. ; FERRUZZI, E. Uma aproximação socioepistemologica para a Modelagem Matemática. Alexandria Revista de Educação em Ciência e Tecnologia, v.2, n. 2, p , jul BARBOSA, Jonei C. Modelagem na Educação Matemática: contribuições para o debate teórico. In: REUNIÃO ANUAL DA ANPED, Caxambu. Anais eletrônicos do ANPED. Caxambu, 2001, 1 CD. DREYFUS, T. Advanced mathematical thinking processes. In David Tall (Org.), Advanced mathematical thinking (pp ). Dordrecht: Kluwer, E tem gente que diz que cigarro não é droga. Disponível em: < Acesso em: 07/09/2010. LÜDKE, M; ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em Educação: Abordagens Qualitativas. São Paulo: EPU, ROSEMBERG, J. Nicotina droga universal. São Paulo: Secretaria da Saúde do Estado de São Paulo, SFARD, A. On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics, 22, 1-36, TALL, D. Advanced Mathematical Thinking. Mathematics Education Library. Kluwer Academic Publishers. A. J. Bishop, Cambridge, U. K, Cognitive growth in elementary and advanced mathematical thinking. In Proceedings of 19th International Conference for the Psychology of Mathematics Education, (Vol. 1, pp ). Recife, Brasil