O Significado do Sinal de Igualdade na Jornada pelos Três Mundos da Matemática

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1 O Significado do Sinal de Igualdade na Jornada pelos Três Mundos da Matemática Josias Nogueira Badaró 1 Rosana Nogueira de Lima 2 Programa de Estudos Pós- Graduados em Educação Matemática Universidade Bandeirante de São Paulo- UNIBAN Considerações Preliminares O projeto aqui apresentado é o início de uma pesquisa para a elaboração de uma dissertação que visa obter o grau de mestre em Educação Matemática no Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da Universidade Bandeirante de São Paulo UNIBAN. Este trabalho ainda se encontra em fase inicial de elaboração e pretende pesquisar o significado do sinal de igualdade na resolução de equações à luz do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática. Serão feitos um levantamento de pesquisas que estudaram o significado que os alunos dão ao sinal de igualdade na resolução de equações, e uma pesquisa com alunos do ensino médio, procurando identificar se esses e outros significados que forem encontrados podem ser interpretados com os mesmos teores com o quadro teórico dos Três mundos da Matemática. Esta proposta deve ser vista como um subprojeto, dentro da linha de pesquisa Ensino e aprendizagem de Matemática e suas inovações, fazendo parte do projeto O conceito de 1 Mestrando em Educação Matemática na Universidade Bandeirante de São Paulo UNIBAN, autor. 2 Professora Doutora do Programa de Estudos Pós Graduados em Educação Matemática na Universidade Bandeirante de São Paulo UNIBAN, orientadora.

2 equação: uma análise com os Três Mundos da Matemática, que está sendo coordenado pela Prof. Dra. Rosana Nogueira de Lima. Introdução Não é recente a preocupação com os resultados obtidos no ensino da Álgebra. Um olhar para essas avaliações parece mostrar que os alunos utilizam apenas fórmulas mecanizadas na solução dos problemas, pois não demonstram conhecer os conceitos matemáticos necessários para resolvê-las. Como observa PASQUITA (2007) o uso da linguagem matemática mecanizada é uma questão que deve ser repensada, visto que as propriedades, os procedimentos e as estruturas algébricas são estudados antes de os alunos se terem apropriado do conceito transformando-se em dificuldade e até num obstáculo para a aprendizagem (apud Segelin, T., & Grando, N. (2006), p.156). Desde as séries iniciais resolvemos, com freqüência, problemas usando equações e, quando olhamos a maneira como os símbolos algébricos são tratados, verificamos que interpretações incorretas sobre os significados desses símbolos têm contribuído de maneira decisiva para o insucesso na solução dessas equações. A resolução de equações é um assunto que permeia o ensino da matemática, desde o ensino fundamental, até o ensino superior, mas, mesmo com todo esse tempo de estudo, as dificuldades apresentadas pelos alunos na hora de resolvê-las são perceptíveis. O ponto de partida dessa investigação, por enquanto, serão os trabalhos de USISKIN (1995), que apresenta concepções para o ensino da Álgebra, de BOOTH (1984) que pesquisou as dificuldades encontradas pelos alunos no estudo da Álgebra, e o de KIERAN (1981) que apresentou alguns significados que os alunos apresentam quando se defrontam com o sinal de igualdade, tal como tratar esse sinal apenas como um operador, que indica a necessidade de colocar depois desse sinal o resultado da conta apresentada antes dele.

3 Também serão considerados outros trabalhos que forem sendo necessários ou complementares na medida da evolução da pesquisa. Justificativa Por ser um quadro teórico novo e ainda em desenvolvimento, existem poucas pesquisas realizadas com base nos Três Mundos da Matemática, apresentado em TALL (2004) e LIMA (2007). A minha pesquisa faz parte de um projeto maior que trabalha no desenvolvimento dessa teoria, e a contribuição que espero trazer será através do estudo que buscará entender o significado que os alunos têm do sinal da igualdade na resolução de equações a luz do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática. Procedimentos Metodológicos Inicialmente, será feito um levantamento junto a bancos de teses e dissertações, procurando alcançar as pesquisas nacionais e internacionais que utilizaram o quadro teórico dos Três mundos da Matemática. Tal levantamento, além de consolidar a bibliografia existente, poderá colaborar com o meu entendimento do próprio quadro teórico e de como os dados da minha pesquisa poderão influenciá-lo. Já foram realizadas pesquisas que apontaram vários significados para o sinal de igualdade, como KIERAM (1981), e essas significações serão consideradas inicialmente na pesquisa que será realizada. Com base nos Três Mundos da Matemática e nas significações já conhecidas do sinal de igualdade, serão elaborados um questionário e um roteiro de entrevistas.

4 Os questionários e entrevistas serão aplicados numa turma de alunos do 3º ano do Ensino Médio, pois nesse final de ciclo, os alunos já foram apresentados a diversos tipos de equações. Esse trabalho deverá contar com a colaboração do professor de Matemática da própria turma e de pesquisadores auxiliares. Serão feitos registros fotográficos do trabalho e sonoro das entrevistas. A aplicação dos instrumentos de coleta de dados será precedida de uma dinâmica que preparará os alunos para um trabalho em grupo, e, em seguida, como primeira atividade da pesquisa, será elaborado um mapa conceitual, a partir da palavra igualdade. No questionário, serão apresentadas questões utilizando-se o sinal de igualdade e será solicitado que o aluno responda perguntas que procurarão obter qual foi o significado que o aluno adotou em cada uma das situações. De posse das respostas, alguns alunos serão entrevistados com a intenção de permitir ao pesquisador entender como os alunos elaboraram as respostas do questionário. Com esse material, esperamos encontrar o significado que esses alunos adotam para o sinal de igualdade na resolução de equações algébricas, e classificar tais significados à luz do quadro teórico dos Três mundos da Matemática. Fundamentação Teórica Os três mundos da Matemática Visando explicar como ocorre o aprendizado de Matemática, o quadro teórico Os Três Mundos da Matemática foi desenvolvido a partir de críticas às teorias de cogniçãocorporificada (Lakoff e Núñez, 2000) e de processo-objeto (Dubinski, 1991; Sfard, 1991; Gray e Tall, 1994) afirmando que são necessárias categorias que englobem diferentes tipos de pensamento matemático contrapondo as teorias anteriores que fazem uso de apenas uma categoria.

5 O quadro teórico dos Três Mundos da Matemática considera pelo menos três diferentes tipos de conceitos em Matemática, agrupados em três mundos: MUNDO CONCEITUAL CORPORIFICADO MUNDO PROCEITUAL SIMBÓLICO MUNDO FORMAL AXIOMÁTICO O mundo conceitual corporificado não trata apenas da manipulação física de objetos, mas também de imagens de situações concretas, de situações mentais construídas pela percepção e observações que efetuamos. Tais situações possibilitam perceber propriedades matemáticas nesses objetos e agirmos sobre eles para entender o que significam (LIMA, 2007). Proceito surge da aglutinação dos vocábulos processo e conceito. No segundo mundo, o proceitual-simbólico, ampliam-se os significados dados no mundo corporificado aos conceitos matemáticos, e, para que algo seja aceito como verdade, são necessários cálculos e manipulação dos símbolos que habitam esse mundo. Os símbolos representam o significado dado tanto aos conceitos pensáveis quanto às ações que são efetuadas (processos + conceitos 3 = proceito). (LIMA, 2007). Por sua vez, o mundo formal axiomático caracteriza-se pela utilização da linguagem formal e das definições formais para os conceitos a partir dos quais são feitas deduções e demonstrações. A presença desse mundo está ligada ao desenvolvimento cognitivo e nível de escolaridade dos alunos. O quadro abaixo apresenta como ocorre o crescimento cognitivo através dos Três Mundos da Matemática : 3...chamamos de conceitos pensáveis, termo usado... para nos referirmos a algum fenômeno que foi nomeado de forma que podemos falar e pensar sobre ele. (GRAY e TALL (2007), apud LIMA (2007)

6 Fonte: Tall (2007) O quadro teórico dos Três Mundos da Matemática utiliza os conceitos de Jáencontrados e A-encontrar como parte da sua formulação. As pessoas, ao longo da vida, vão construindo o seu conhecimento de forma individual. Dessa forma o conceito de Já-encontrado (Met-before) é definido como toda e qualquer experiência anterior a um certo aprendizado, considerada como construto mental, presente na imagem de conceito do aluno, que possa interferir no aprendizado e o conceito de Aencontrar (Met-after) deve ser entendido como as experiências atuais de aprendizagem que interfiram em aprendizado anterior, que podem não ser ainda parte da imagem de conceito do aluno, mas podem tanto modificá-la quanto vir fazer parte dela. Nesse caso, acabam tornandose já-encontrados. Referências Bibliográficas BOOTH, L. R. Dificuldades das crianças que se iniciam em álgebra. In: COXFORD, A.F.; SHULTE. A. P. (Orgs). As idéias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1995, p Tradução: Hygino H. Domingues. DUBINSKY, E. Reflective abstraction in advanced mathematical thinking. In: TALL, D. (Ed) Advanced Mathematical Thinking. Dordrecht: Kluwer Academic, p

7 GRAY, E.; TALL, D. O. Duality, Ambiguity and Flexibility: A Proceptual View of Simple Arithmetic, The Journal for Research in Mathematics Education, NCTM, v. 26, n. 2, p , KIERAN, C. Concepts associated with the equality symbol, Educational Studies in Mathematics, Dordercht, v.12 p , LAKOFF, G.; NUNEZ, R. Where Mathematics Comes From. New York: Basic Books, LIMA, R. N. de. Equações Algébricas no Ensino Médio: uma Jornada por diferentes Mundos da Matemática Tese (Doutorado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, TALL, D. O. Thinking through three worlds of mathematics. In: INTERNATIONAL CONFERENCE FOR THE PSYCHOLOGY OF MATHEMATICS EDUCATION, 28., 2004, Bergen, Norway. Proceedings Bergen, v. 4, p , TALL, D. O. Embodiment, Symbolism and Formalism in Undergraduate Mathematics Education, PASQUITA, I. M. P. Álgebra e o Pensamento Algébrico de Alunos do 8.º ano Dissertação (Mestrado em Educação) Universidade de Lisboa, Lisboa Portugal, SFARD, A. On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics. The Netherlands: Kluwer Academic Publishers, v. 22, p. 1 36, USISKIN, Z. Concepções sobre a álgebra da escola média e utilizações das variáveis. In: COXFORD, A.F.; SHULTE. A. P. (Orgs). As idéias da Álgebra. São Paulo: Atual, 1995, p Tradução: Hygino H. Domingues.