Grafos - O que é um grafo? Algoritmos e Estruturas de Dados MEEC 2012/13. Objecto abstracto Dois tipos de entidades. Vértices representam

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1 Algoritmos e Estruturas de Dados MEEC 01/1 Teoria de Grafos e Algoritmos em Grafos 1ª Parte Grafos - O que é um grafo? Objecto abstracto Dois tipos de entidades Nós ou Vértices Ramos ou Arestas Vértices representam Cidades, pessoas, máquinas, números, etc Arestas representam Existência de ligações entre nós, valor da ligação entre nós, distância entre nós, etc

2 Grafos - Motivação Mapas caminhos mais curtos; caminhos mais baratos. Circuitos Eléctricos existência de curto-circuitos; existência de cruzamento entre ligações. Sequenciamento tarefas a executar por um conjunto de recursos sujeitas a restrições de carácter tecnológico. Emparelhamento processamento de imagem estéreo; atribuição de pessoas a lugares. Redes de dados computadores ligados entre si, enviando e recebendo mensagens; existência de ligação entre quaisquer nós; redundância. Estrutura de Programas grafos gerados por compiladores representando a estrutura de chamadas; Grafos Definições (1) Definição Um grafo é um conjunto de vértices e um conjunto de arestas que ligam pares de vértices distintos (com nunca mais que uma aresta a ligar qualquer par de vértices). Definição Dois vértices ligados por uma aresta dizem-se adjacentes. Definição Uma aresta que ligue dois vértices diz-se incidente de cada um dos vértices.

3 Grafos Definições () Definição O número de arestas incidentes num vértice dizse o grau desse vértice. Definição O subconjunto de arestas e vértices a elas associados diz-se um sub-grafo do grafo original. Definição Uma sequência de vértices na qual os vértices sucessivos estão ligados por arestas do grafo diz-se um caminho. 5 Grafos Definições () Definição Num caminho simples os vértices e arestas são distintos. Definição Um caminho em que todos os vértices e arestas são distintos, excepto para o primeiro e último que são iguais, diz-se um ciclo. Definição Dois caminhos simples dizem-se disjuntos se não possuírem vértices comuns, excepto possivelmente para os vértices extremos.

4 Grafos Definições () Definição Um grafo diz-se ligado se existir um caminho de cada vértice para todos os outros vértices do grafo. Definição Um grafo que não seja ligado é constituído por componentes ligadas, que se dizem sub-grafos ligados máximos. Definição Um grafo ligado acíclico, i.e. sem ciclos, diz-se uma árvore. 7 Grafos Definições (5) Definição Um conjunto de árvores diz-se uma floresta. Definição A árvore de suporte de um grafo ligado é um subgrafo que contém todos os vértices e é uma árvore. Definição A floresta de suporte de um grafo é um sub-grafo que contém todos os seus vértices e é uma floresta. 8

5 Grafos Propriedades em árvores Um grafo G de V vértices é uma árvore se e só se satisfizer qualquer das seguintes condições: G tem V-1 arestas e nenhum ciclo. G tem V-1 arestas e é ligado. Existe apenas um caminho simples a unir quaisquer dois vértices. G é ligado mas retirando uma só aresta faz com que deixe de o ser. 9 Grafos Exemplos (1) G Os vértices e 7 são adjacentes. Os vértices e não são adjacentes. O vértice 7 tem grau quatro. 10

6 Grafos Exemplos () G G é um sub-grafo de G, gerado a partir das arestas a cheio. O vértice 5 não pertence a G. G é um grafo ligado; G não é. O sub-grafo G é constituído por um grafo completo com três vértices e por uma árvore com quatro vértices 11 Grafos Exemplos () G G Caminho: Ciclo:

7 Grafos Exemplos () G G : árvore de suporte de G. 1 Grafos - Definições e Propriedades (1) Definição Um grafo diz-se completo quando existe uma aresta ligando qualquer par de vértices. Propriedade Um grafo com V vértices possui, no máximo, V(V-1)/ arestas. Definição Um grafo G diz-se complemento do grafo G quando se obtém a partir de um grafo completo com o mesmo número de vértices de G, retirando-lhe todas as arestas de G. 1

8 Grafos - Definições e Propriedades () Definição Um grafo que possua um número de arestas próximo do número máximo diz-se denso. Definição Um grafo cujo complemento seja denso diz-se esparso. Definição Densidade de um grafo: E/V, em que E é o número de arestas e V o de vértices. Definição A um sub-grafo completo dá-se o nome de clique. 15 Grafos - Definições e Propriedades () Definição Um grafo que possua a propriedade de ser possível dividir os vértices em dois conjuntos tais que todas as arestas apenas ligam vértices de um conjunto a vértices do outro conjunto diz-se bipartido. Definição Quando existe um sentido atribuído às arestas, os grafos dizem-se direccionados, dirigidos ou digrafos. Definição O primeiro vértice de uma aresta direccionada diz-se fonte e o segundo diz-se destino. 1

9 Grafos - Definições e Propriedades () Propriedade Apenas os vértices destino são adjacentes dos vértices fonte. Definição Um ciclo direccionado num digrafo é um ciclo em que todos os pares de vértices adjacentes surgem pela ordem especificada pelas arestas. Definição Um digrafo sem ciclos direccionados diz-se grafo direccionado acíclico, ou DAG (Directed Acyclic Graph). 17 Grafos - Definições e Propriedades (5) Definição Quando se atribuem pesos às arestas, representando custo, distância, etc., diz-se que o grafo é ponderado. Também é possível atribuir pesos aos próprios vértices, ou a pares vértice/aresta. Definição Grafos ponderados direccionados, dizem-se redes. 18

10 Grafos - Interface ADT para Grafos (1) Os algoritmos para processamento de grafos serão desenvolvidos no contexto de uma ADT que define as tarefas de interesse. A nossa primeira interface elementar é tal que: O número de vértices e arestas são especificados por inteiros; Uma aresta é definida por um par de inteiros, designando os vértices que une; O número de vértices é limitado superiormente. Esta interface irá sendo alargada à medida das necessidades. 19 Grafos - Interface ADT para Grafos () typedef struct edge Edge; Edge *EDGE(int, int); typedef struct graph Graph; Graph *GRAPHinit(int); void GRAPHinsertE(Graph *G, Edge*); void GRAPHremoveE(Graph *G, Edge*); int GRAPHedges(Edge a[], Graph *G); Graph *GRAPHcopy(Graph G*); void GRAPHdestroy(Graph G*); Graphinit cria grafo com o número final de vértices, sem arestas. GraphinsertE insere uma aresta, caso não exista. GraphremoveE retira uma aresta, caso exista. Graphedges conta o número de arestas. Graphcopy cria uma segunda cópia do grafo. Graphdestroy faz o inverso de Graphinit. 0

11 Grafos - Matriz de Adjacências (1) Matriz de Adjacências Matriz (VxV) de valores booleanos; A entrada correspondente à linha v e coluna w é 1 se existir uma aresta ligando estes dois vértices; A mesma entrada vale 0 caso contrário; A matriz é simétrica, excepto para digrafos, em que poderá não sê-lo. Grafos - Matriz de Adjacências () Grafo Matriz G Matriz V V simétrica

12 Grafos - Implementação de ADT (1) #include <stdlib.h> #include GRAPH.h struct graph {int V; int E; int **adj;}; struct edge {int v; int w;}; Graph *GRAPHinit(int V) { Graph *G = (Graph*) malloc(sizeof(struct graph)); G->V = V; G->E = 0; G->adj = MATRIXint(V, V, 0); return G; } void GRAPHinsertE(Graph *G, Edge *e){ int v = e->v, w = e->w; if (G->adj[v][w] == 0) G->E++; G->adj[v][w] = 1; G->adj[w][v] = 1; } Grafos - Implementação de ADT () void GRAPHremoveE(Graph *G, Edge *e) { int v = e->v, w = e->w; if (G->adj[v][w] == 1) G->E--; G->adj[v][w] = 0; G->adj[w][v] = 0; } int GRAPHedges(Edge a[], Graph G*) { int v, w, E = 0; } for (v = 0; v < G->V; v++) for (w = v+1; w < G->V; w++) if (G->adj[v][w] == 1) a[e++] = EDGE(v, w); return E; 5

13 Grafos Síntese da Aula 1 Introdução Definição de grafo Motivação aplicacional Definições e notação Propriedades elementares em grafos Exemplos Definições e propriedades Grafos completos, complemento de um grafo, densidade, cliques, grafos bipartidos, grafos direccionados, ciclos em grafos direccionados, grafos ponderados, redes. Estrutura abstracta de dados para grafos Interface elementar Representação de um grafo Matriz de adjacências Grafos - Listas de Adjacências (1) Listas de Adjacências Cada vértice possui uma lista ligada; Os elementos constituintes da lista de um vértice são os seus vértices adjacentes; Em grafos simples, se os vértices v e w são adjacentes, então w pertence à lista de v e v pertence à lista de w. 7

14 Grafos - Lista de Adjacências () Grafo Lista de Adjacências G * V ponteiros para lista 8 Tabela com V listas* de arestas Grafos - Implementação de ADT (1) #include <stdlib.h> #include GRAPH.h typedef struct node link; struct node {int v; link *next;}; struct graph{int V; int E; link **adj;}; link NEW(int v, link *next) { link *x = (link *) malloc(sizeof(struct node)); x->v = v; x->next = next; return x; } 9

15 Grafos - Implementação de ADT () Graph GRAPHinit(int V) { int v; Graph *G = (Graph*) malloc(sizeof(struct graph)); G->V = V; G->E = 0; G->adj = (link **) malloc(v * sizeof(link*)); for (v = 0; v < V; v++) G->adj[v] = NULL; return G; } void GRAPHinsertE(Graph *G, Edge *e) { int v = e->v, w = e->w; G->adj[v] = NEW(w, G->adj[v]); G->adj[w] = NEW(v, G->adj[w]); G->E++; } 0 Grafos - Implementação de ADT () void GRAPHremoveE(Graph *G, Edge *e) { /* Fica como exercício */ } int GRAPHedges(Edge a[], Graph *G) { int v, E = 0; link t; } for (v = 0; v < G->V; v++) for (t = G->adj[v]; t!= NULL; t = t->next) if (v < t->v ) a[e++] = EDGE(v, t->v); return E; 1

16 Grafos - Vantagens das M. de Adj. Representação de eleição quando há espaço disponível; os grafos são densos; os algoritmos requerem mais que V operações. Adição e remoção de arestas é feita de forma eficiente; É fácil evitar a existência de arestas paralelas; É fácil determinar se dois vértices estão ou não ligados. Grafos - Inconvenientes das M. de Adj. Grafos esparsos de grande dimensão requerem espaço de memória proporcional a V ; Neste casos, a simples inicialização do grafo (proporcional a V ) pode ser dominante na execução global do algoritmo; Pode nem sequer existir memória suficiente para armazenar a matriz.

17 Grafos - Vantagens das L. de Adj. Inicialização é proporcional a V. Utiliza sempre espaço proporcional a V+E adequado para grafos esparsos. algoritmos que assentem na análise de arestas em grafos esparsos. Adição de arestas é feita de forma eficiente. Grafos - Inconvenientes das L. de Adj. Arestas paralelas e adjacência entre vértices requer que se pesquise as listas de adjacências, o que pode levar um tempo proporcional a V. Remoção de arestas pode levar um tempo proporcional a V (este problema pode ser contornado). Não aconselhável para grafos de grande dimensão que não podem ter arestas paralelas; grande utilização de remoção de arestas. 5

18 Grafos - Variantes e Extensões (1) Outros tipos de grafos Digrafos ambas facilmente extensíveis; arestas representadas só uma vez; Grafos ponderados e redes M. de Adj. preenchida com pesos; L. De Adj. com campos extra para representação dos pesos. Grafos - Variantes e Extensões () Alteração da estrutura de dados Tipo EDGE contendo informação adicional, para além dos vértices que liga. Vectores indexados pelos vértices Manutenção da informação do grau do vértice. Vector de arestas Forma alternativa de representação de grafos. 7

19 Grafos - Representações alternativas Três mecanismos básicos de representação de grafos Vector de arestas; Matriz de adjacências; Listas de adjacências. Produzem diferentes desempenhos ao nível das operações de manipulação. Escolha deverá depender do problema a resolver. 8 Grafos Desempenho Relativo V. de Arestas M. de Adj. L. de Adj. Espaço E V V+E Inicialização 1 V V Cópia E V E Destruição 1 V E Inserir aresta Encontrar aresta E 1 V Remover aresta E 1 V Vértice isolado? E V 1 Caminho de u a v? Elg*V V V+E 9

20 Grafos - Encontrar e remover arestas (1) Eficientes em representações por matriz de adjacências. Como torná-las eficientes para as outras representações? Atribuir um símbolo inteiro a cada aresta Aresta v-w fica com o símbolo v*v+w. Por exemplo, fazer uso de tabelas de dispersão ( hash-tables ) Quando uma aresta é inserida, é fácil testar se o símbolo já foi usado. 0 Grafos - Encontrar e remover arestas () Remoção em digrafos ponteiro na tabela de dispersão para a sua representação na lista de adjacências; requer listas duplamente ligadas. Remoção em grafos simples colocação de ambos os ponteiros na tabela de dispersão; ou ponteiro entre os vértices. 1

21 Grafos Procura (1) Algumas propriedades simples em grafos são fáceis de determinar, independentemente da ordem pela qual se examinam as arestas. Ex: grau de todos os vértices. Outras propriedades estão associadas a caminhos, pelo que se torna necessário identificá-las através de pesquisa feita de vértice em vértice ao longo das arestas. A maioria dos algoritmos em grafos que consideraremos usam este modelo abstracto básico. Torna-se então necessário analisar o essencial dos algoritmos de procura em grafos e suas propriedades estruturais. Grafos Procura () Procurar em grafos é equivalente a percorrer labirintos Necessário marcar pontos já visitados Ser-se capaz de recuar, num caminho efectuado, até ao ponto de partida. Os vários algoritmos de procura em grafos mais não fazem que executar uma determinada estratégia de procura em labirintos. Procura em profundidade primeiro (DFS Depth-first-search ). Admite duas implementações: recursiva e com uso de pilha explícita. Substituindo a pilha por uma fila FIFO, transforma-se em procura em largura primeiro (BFS Breadth-first-search ).

22 Grafos Exploração de labirintos (1) Teseu, Ariadne e o seu pequeno problema com o Minotauro Desenrolar um rolo de fio para poder voltar ao princípio Marcar os lugares já visitados para evitar repetição. Nós e os grafos Existem lâmpadas, inicialmente apagadas, em cada encruzilhada vértice. Cada corredor aresta possui um par de portas, inicialmente fechadas, no início e no fim deste. As portas têm janelas que nos permitem ver se a porta do lado oposto está ou não fechada e se a luz da encruzilhada correspondente está ou não acesa. O objectivo é regressar à encruzilhada inicial tendo aberto todas as portas e acendido todas as luzes. Necessitamos um conjunto de regras que garanta que tal acontece. 5 Grafos Exploração de labirintos () Estratégia Exploração de Tremaux 1. Abrir uma qualquer porta que esteja fechada e dê acesso a uma saída da presente encruzilhada (deixá-la aberta). Se todas as portas estiverem abertas, saltar para.. Se a partir da porta que foi aberta for visível que a encruzilhada em que o corredor termina foi acesa, abrir outra porta (passo 1). Caso contrário (a encruzilhada está às escuras), seguir o corredor, desenrolando o fio, até essa encruzilhada, acender a luz e voltar ao passo 1.. Se todas as portas estão abertas na presente encruzilhada, verificar se é a primeira visitada. Se sim, parar. Se não, usar o fio para recuar até à última encruzilhada visitada e voltar ao passo 1.

23 Grafos Exemplo de execução (DFS) 8 Grafos Exemplo de execução (DFS) 0 Acende a luz no primeiro vértice e abre a primeira porta (do vértice 0 para o vértice ) e segue em frente abrindo sempre a única porta existente (até ao vértice ). 9

24 Grafos Exemplo de execução (DFS) 0 Escolhe uma das portas e continua seguindo em frente enquanto não houver escolha. 50 Grafos Exemplo de execução (DFS) 0 No vértice 5 todas as portas conduzem a corredores que dão acesso a vértices de luz acesa. 5 51

25 Grafos Exemplo de execução (DFS) 0 Recua até ao último vértice que ainda possui portas por abrir. 5 5 Grafos Exemplo de execução (DFS) 0 Neste vértice (), a única porta que dá acesso a pontos não visitados levanos para o vértice

26 Grafos Exemplo de execução (DFS) 0 Chegados ao vértice 1, não há mais portas por abrir, pelo que inicia o processo de recuo Grafos Exemplo de execução (DFS) 0 No vértice já estão todas as portas abertas, pelo que tem que continuar a recuar

27 Grafos Exemplo de execução (DFS) 0 No vértice 0 ainda há portas por abrir Grafos Exemplo de execução (DFS) 0 No vértice 0 já não há portas por abrir

28 Grafos Estratégia de Tremaux Propriedade Quando se usa a estratégia de exploração de labirintos de Tremaux abrem-se todas as portas, acendem-se todas as luzes e termina-se no local de partida. Demonstração (esboço): Prova-se por indução, mostrando primeiro ser verdade para um labirinto com apenas uma encruzilhada e nenhum corredor basta acender a única luz. Para um labirinto com mais que uma encruzilhada assume-se ser verdade para todos os labirintos menores com menos encruzilhadas. Bastará mostrar que se visitam todas as intersecções, dado que se abrem todas as portas de cada uma delas. Considere-se o primeiro corredor tomado. O grafo fica dividido em dois sub-grafos: as intersecções que se visitam sem regressar à origem; e as que só são visitáveis regressando ao ponto de partida. 58 Grafos DFS Notar que a estratégia de procura de Tremaux, mais não é que procura em profundidade primeiro. O algoritmo procede sempre abrindo uma porta e afastandose da origem, até que chega a um ponto em que não pode abrir mais portas, tendo então que recuar até ao último ponto onde deixou, pelo menos, uma porta por abrir. Se ao recuar nunca encontrar portas por abrir, acabará regressando ao ponto de partida, dado que o fio que desenrolou no caminho descendente, lhe permite esse regresso. 59

29 Grafos Síntese da Aula Representação de um grafo Listas de adjacência; Implementações da estrutura abstracta de dados Comparação das representações alternativas Vantagens e inconvenientes das matrizes de adjacência; Vantagens e inconvenientes das listas de adjacência Variantes e extensões Grafos direccionados, ponderados e redes; Outras representações Comparação das representações alternativas Memória e tempo de execução Procura em grafos Analogia com a exploração de labirintos; Estratégia de Tremaux Procura em profundidade - DFS Exemplo de execução 0