Antenas de Microfita Com Substrato Metamaterial. Manoel do Bonfim Lins de Aquino

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1 Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e Computação Antenas de Microfita Com Substrato Metamaterial Manoel do Bonfim Lins de Aquino Orientador: Prof. Dr. Humberto César Chaves Fernandes Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica e Computação da UFRN (Área de concentração: Engenharia Elétrica) como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências. Natal/RN - Brasil Novembro de 2008

2 Divisão de Serviços Técnicos Catalogação da publicação na fonte. UFRN / Biblioteca Central Zila Mamede Aquino, Manoel do Bonfim Lins de. Antenas de microfita com substrato metamaterial / Manoel do Bonfim Lins de Aquino - Natal, RN, f. Orientador: Dr. Humberto César Chaves Fernandes. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica. 1. Antenas de microfita - Dissertação. 2. Metamateriais - Dissertação. 3. Método da linha de transmissão transversa - Dissertação. 4. Miniaturização de antenas - Dissertação. I. Fernandes, Humberto César Chaves. II. Título. RN/UF/BCZM CDU (043.3)

3 Antenas de Microfita Com Substrato Metamaterial Manoel do Bonfim Lins de Aquino Dissertação de Mestrado aprovada em 19 de novembro de 2008 pela banca examinadora composta pelos seguintes membros: Prof. Dr. Humberto César Chaves Fernandes (orientador) DEE/UFRN Prof. Dr. Laércio Martins de Mendonça (examinador interno)... DEE/UFRN Prof. Dr. Sandro Gonçalves da Silva (examinador interno) DEE/UFRN Prof. Dr. Alfrêdo Gomes Neto (examinador externo)... CTEMA/CEFET-PB

4 Aos meus pais - Vilani e Cazuza, pela sabedoria e amor que me proporcionaram À minha esposa - Justina Laura

5 Agradecimentos Ao meu orientador e amigo, Dr. Professor Humberto César Chaves Fernandes. Aos colegas Davi Bibiano, Richardson, Roberto, Aline, Sousa, João Cléber, pela ajuda. Aos demais colegas de pós-graduação, pelo companheirismo, críticas e sugestões. À Indira e família pela convivência e amizade durante a graduação e mestrado. À minha família pelo apoio durante esta jornada, em especial aos irmãos Cleilson e Clevanir que sempre me incentivaram na vida acadêmica. À minha esposa Justina pelo amor e compreensão. À CAPES e CNPQ, pelo apoio financeiro.

6 Resumo Este trabalho apresenta a análise teórica e numérica dos parâmetros de uma antena de microfita tipo patch retangular sobre substrato metamaterial. Para isso, é aplicada a teoria de metamateriais - MTM, em conjunto com o método da Linha de Transmissão Transversa - LTT, para a caracterização das grandezas do substrato e obtenção das equações gerais dos campos eletromagnéticos. É realizado um estudo acerca da teoria de metamateriais com o intuito de obter seus parâmetros construtivos, os mesmos são caracterizados através de tensores permissividade e permeabilidade. Essa teoria é aplicada ao método da Linha de Transmissão Transversa chegando-se às equações gerais para os campos eletromagnéticos da antena. Em seguida são utilizados princípios da teoria eletromagnética para obter-se características como: freqüência de ressonância complexa, diagramas de radiação e largura de banda. São simulados diferentes configurações de metamateriais e antenas com o intuito de miniaturizar as dimensões físicas e aumentar a largura de banda das mesmas, os resultados são apresentados através de gráficos. A análise teórica computacional deste trabalho se mostra precisa, em comparação a outros, podendo ser empregado em dispositivos que utilizem metamateriais como substratos. Ao final são apresentadas conclusões e sugestões para trabalhos futuros. Palavras Chaves: Antenas de Microfita, Metamateriais, Método da Linha de Transmissão Transversa, Miniaturização de Antenas.

7 Abstract This paper presents a theoretical and numerical analysis of the parameters of a rectangular microstrip antenna with metamaterial substrate. The metamaterial (MTM) theory was applied along with Transverse Transmission Line (LTT) method to characterize substrate quantities and obtain the general equations of the electromagnetic fields. A study on metamaterial theory was conducted to obtain the constructive parameters, which were characterized through permittivity and permeability tensors to arrive at a set of electromagnetic equations. Electromagnetic principes are used to obtained parameters such as complex resonance frequency, bandwidth and radiation pattern were then obtained. Different metamaterial and antenna configurations were simulated to miniaturize them physically and increase their bandwidth, the results of which are shown through graphics. The theoretical computational analysis of this work proved to be accurate when compared to other studies, and may be used for other metamaterial devices. Conclusions and suggestions for future work are also proposed. Keywords: Microstrip Antennas, Metamaterials, Transverse Transmission Line, Antennas Miniaturization. Method.

8 Conteúdo Sumário p. iii Lista de Figuras p. vi Lista de Tabelas p. ix Lista de abreviaturas e siglas p. x Lista de símbolos p. xi 1 Introdução p. 1 2 Teoria de Antena p Introdução p Definição p Processo de Radiação na Antena p Campos no Espaço R p Regiões de Campos Próximos p Região de Campos Distantes - Região de Fraunhofer p Campos Distantes para um Dipolo Hertziano p Parâmetros de Antenas p Antenas de Microfita p Introdução p Aspectos Históricos p. 15

9 2.6.3 Linha de Microfita p Vantagens e Limitações das Antenas de Microfita p Técnicas de Alimentação p Métodos de Análise p Métodos de Onda Completa p Conclusões p Substrato Metamaterial p Definição de Metamateriais Esquerdinos p Superfície de Impedância Reativa p Metamaterial Planar com Uma Camada p Conclusões p Método da Linha de Transmissão Transversa - Aplicado a Metamateriais p Introdução p Desenvolvimento dos Campos Transversais p Conclusões p Campos Eletromagnéticos na Antena de Microfita Retangular Com Substrato Metamaterial p Introdução p Antena de Microfita Retangular com Substrato Metamaterial p Determinação das Equações dos Campos Eletromagnéticos p Aplicação Das Condições de Contorno e Determinação das Constantes Desconhecidas p Aplicação das Condições de Contorno Magnéticas e Determinação da Matriz Admitância p. 53 iv

10 5.6 Expansão das Densidades de Corrente em Termos de Funções de Base.. p Equação Característica e Cálculo da Freqüência de Ressonância Complexa p Conclusão p Diagrama de Radiação p Introdução p Campos Distantes p Princípio de Equivalência dos Campos p Campos Tangenciais à Fita p Campos Distantes para uma Antena Retangular de Microfita... p Conclusão p Resultados p Introdução p Resultados da Freqüência de Ressonância Complexa da antena de Microfita Retangular com Substrato Metamaterial p Redução das Dimensões Físicas de Antenas Usando Metamateriais p Análise da Largura de Banda Através dos Tensores Permissividade e Permeabilidade p Diagramas de Radiação para Antenas de Microfita com Substrato Metamaterial p Resultado Experimental p Conclusão p Conclusões p. 79 Bibliografia p. 81 Apêndice A -- Demonstração do Método da Linha de Transmissão Transversa - LTT p. 83 v

11 Lista de Figuras 2.1 Etapas da radiação em uma antena p Densidade superficial de fluxo de potência para as regiões definidas pelos raios: R cp = D 0,62 3 λ e R cd = 2D2 λ p Campos distantes no sistema de coordenadas esféricas para um dipolo Hertzano.... p Diagramas de irradiação, lóbulos principal e secundários. (a) Diagrama de irradiação linear; (b) diagrama de irradiação polar p Perda de retorno e largura de banda, para uma antena com freqüência central em 500 Hz p (a) Polarização elíptica. (b) Polarização linear horizontal, caso particular de (a). (c) Polarização linear vertical, também, caso particular de (a) p Antena de microfita convencional p Formas comuns de patchs p Alimentação via linha de microfita p Alimentação via conector coaxial p Alimentação via acoplamento por abertura p Alimentação via acoplamento por proximidade p Modelo da linha de transmissão: (a) efeito franja com um incremento l; (b) distribuição do campo elétrico ao longo da antena p Circuito equivalente para antena de microfita, pelo modelo da linha de transmissão.. p Diagrama de permissividade - permeabilidade e índice de refração (CALOZ; ITOH, 2000) p Diagrama mostrando os vetores de pointing, de onda elétrico e magnético em materiais comuns (a) e metamateriais left-handed (b) p. 26

12 3.3 Diagrama de raios mostrando a direção de propagação de onda (a) material natural, (b) metamaterial left-handed p Estrutura TW - Thin Wire, construído com fios finos de metal em (a); estrutura SRR - split ring resonator, construído com anéis circulares em (b) e (c) Metamaterial TW-SRR, formado pela junção das estruturas TW e SRR p Modelo de circuito equivalente do SRR, (a) SRR configuração dupla e (b) configuração simples p Resultados teóricos computacionais para uma estrutura TW-SRR, permeabilidade.. p Resultados teóricos computacionais para uma estrutura TW-SRR, permissividade p Metamateriais (p λ g ) construídos apenas com metais comuns e dielétricos, (a) ε- negativo/µ-positivo, (b) ε-positivo/µ-negativo e (c) estrutura SRR-TW (SHELBY et al., 2001) p Estrutura RIS p Metamaterial planar com uma camada, construído a partir de uma arranjo de estruturas TW e SRR p Fluxograma descritivo das etapas a serem realizadas nesse capítulo p Antena retangular de microfita com substrato metamaterial p Seção transversal de uma antena de microfita com patch de largura W p Vista superior de uma antena de microfita com patch de largura W e comprimento l.. p Seção transversal de uma antena retangular de microfita com patch de largura W... p Ressoador de aberura p Equivalência dos campos. No gráfico (a) E 1 e H 1 são os campos gerados pelas fontes e campos E e H na superfície S 1. Em (b) E s e H s são os campos gerados pelas densidades de corrente elétrica e magnética J s e M s, respectivamente p Campos distantes no sistema de coordenadas esféricas p Antena retangular de microfita com substrato metamaterial p Vista da seção transversal da antena retangular de microfita com substrato metamaterial. p. 71 vii

13 7.3 Metamaterial planar TW-SRR, construídos apenas com metais e dielétricos comuns, na face superior as células SRR e na inferior as estruturas TW p Freqüência de ressonância para antena de microfita p (a) permissividade para estrutura TW e (b) permeabilidade para estrutura SRR em função da freqüência p Freqüência de ressonância em função do comprimento l do patch para o dielétrico ε = 2,2 e os MTM s 1 e p Largura de banda em função da freqüência de ressonância, para o dielétrico com ε r = 2,2 e MTM ε x1 = ε y1 = ε z1 = 4,4; µ x1 = µ y1 = µ z1 = p (a) permissividade para estrutura TW e (b) permeabilidade para estrutura SRR em função da freqüência p Largura de banda em função da freqüência de ressonância (a) MTM 1 e 2 (b) MTM 3 e p Largura de banda em função da freqüência de ressonância (a) MTM 1 e 3 (b) MTM 2 e p (a) diagrama de radiação plano E(θ = 0 e 90 < φ < 90) e (b) diagrama de radiação plano H(φ = 0 e 0 < θ < 180) para a freqüência 1 GHz p (a) permeabilidade e (b) permissividade para o substrato TW-SRR construído em laboratório p Resultado experimental para antena supracitada - freqüência de ressonância 2,5 GHz. p. 78 viii

14 Lista de Tabelas 2.1 Tabela comparativa entre as diversas técnicas de alimentação p. 20

15 Lista de abreviaturas e siglas IEEE Institute of Electrical and Electronics Engineers, p. 4 MTM Metamaterial, p. 24 ME Materiais Esquerdinos - Left Handed, p. 25 MD Materiais Destros - Right Handed, p. 26 TW Fio Fino de Metal - Thin Wire, p. 28 SRR Ressoador de Anel Partido - Split Ring Ressonator, p. 28 TW-SRR Ressoador de Anel Partido e Fio Fino de Metal - Thin Wire p. 29 and Split Ring Ressonator, RIS Superfície de Impedância Reativa - Reactivate Impedance Surface, p. 31 PEC Condutor Elétrico Perfeito - Perfectly Electric Conductor, p. 31 PMC Condutor Magnético Perfeito - Perfectly Magnetic Conductor, p. 31 LTT Método da Linha de Transmissão Transversa, p. 34

16 Lista de símbolos η Impedância Intrínseca do Espaço Livre, p. 9 k Número de Onda, p. 9 r Raio para o Sistema de Coordenadas Esférica, p. 9 Vetor de Poynting Complexo, p. 10 P rad Potência Média Radiada pela Antena, p. 10 ds Vetor Diferencial de Superfície, p. 10 Re { } Densidade Superficial de Potência Irradiada, p. 10 U Intensidade de Radiação, p. 10 P(θ,φ) Padrão de Radiação, p. 10 F(θ,φ) db Padrão de Radiação em db, p. 11 P(θ,φ) Padrão de Potência, p. 11 F(θ,φ) db Padrão de Potência em db, p. 11 D Diretividade, p. 12 G Ganho de Potência, p. 12 Z a Impedância de Entrada, p. 12 ROE Relação de Onda Estacionária, p. 13 Γ Coeficiente de Reflexão, p. 13 PR Perda de Retorno, p. 13 LB Largura de Banda, p. 13 E Vetor Campo Elétrico, p. 35 j Número Imaginário Unitário, j = 1, p. 35 ω Freqüência Angular Complexa, p. 35 µ Permeabilidade Magnética, p. 35 H Vetor Campo Magnético, p. 35 ε Permissividade Elétrica, p. 35

17 t Operador Transversal, p. 35 µ xx Permeabilidade Magnética Relativa na Direção x, p. 36 µ yy Permeabilidade Magnética Relativa na Direção y, p. 36 µ zz Permeabilidade Magnética Relativa na Direção z, p. 36 µ 0 Permeabilidade Magnética no Espaço Livre, p. 36 ε xx Permissividade Elétrica Relativa na Direção x, p. 36 ε yy Permissividade Elétrica Relativa na Direção y, p. 36 ε zz Permissividade Elétrica Relativa na Direção z, p. 36 ε 0 Permissividade Elétrica no Espaço Livre, p. 36 ˆx Versor na Direção x, p. 36 ŷ Versor na Direção y, p. 36 ˆx Versor na Direção z, p. 36 k i Número de Onda da Enésima Região Dielétrica, p. 40 γ Constante de Propagação na Direção y, p. 44 α n Variável Espectral na Direção x, p. 44 β k Variável Espectral na Direção z, p. 44 t Operador Transversal, p. 90 α n Variável Espectral na Direção x, p. 96 xii

18 Capítulo 1 Introdução O eletromagnetismo vem recebendo grande atenção por grupos de pesquisa ao redor do mundo devido a demanda por novos dispositivos de telecomunicações que transmitam dados a velocidades cada vez mais altas, exigindo o desenvolvimento de novos circuitos integrados e materiais de alta eficiência. Em decorrência dessa demanda, novos materiais são desenvolvidos no sentido de possibilitar mecanismos de controle e propagação de ondas eletromagnéticas. Nesse contexto, as antenas de microfita são introduzidas como alternativa viável de transmissão e recepção de microondas, podendo ser utilizadas em conjunto com metamateriais para novos sistemas - Comunicação via satélite, telefonia móvel, redes Wireless. Avanços significativos vêm ocorrendo tanto na análise das antenas de microfita, como no desenvolvimento de novos materiais - PBG (Photonic Band Gap), ferritas, metamateriais. Essas antenas são estruturas que consistem em um patch condutor sobre um substrato dielétrico e um plano de terra na parte inferior, (BAHL; BHARTIA, 2001). O substrato tem papel importante no desempenho da estrutura, como o aumento da largura de banda e eficiência, pode-se utilizar materiais com e sem perdas - semicondutores, ferritas e mais recentemente metamateriais. Nessa dissertação metamateriais formados por dielétricos e condutores devidamente arranjados (estruturas periódicas) são utilizados como substratos com o objetivo de desenvolver antenas de alta eficiência e tamanhos reduzidos. Diversos métodos de análise são relatados na literatura, como o Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz, o Método da Linha de Transmissão Equivalente, o Método da Equação Integral, o Método de Cohn (BAHL; BHARTIA, 2001), o Método da Linha de Transmissão Transversa (FERNANDES, 1984), entre outros. Entretanto, recomenda-se para o estudo de estruturas em microfita uma análise por métodos rigorosos, pois produzem resultados mais exatos e eficazes.

19 Capítulo 1. Introdução 2 Nesse trabalho é utilizado o Método da Linha de Transmissão Transversa - LTT (FERNANDES, 1984) em conjunto com Garlekin, caso particular do método dos Momentos (SANTOS, 2005), que são métodos de análise rigorosa no domínio espectral. Aquele consiste em se obter os componentes dos campos elétrico e magnético em função dos componentes transversais no domínio da transformada de Fourier - DTF (BRACEWELL, 1965). O mesmo foi utilizado em vários trabalhos (SANTOS, 2005), (SILVA, 1999), e, em comparação com outros métodos dinâmicos apresenta alta eficiência, além de importantes simplificações algébricas das equações envolvidas no processo. O que gera redução de esforços computacionais. O trabalho está distribuído em oito capítulos, buscando-se abordar todo o referencial teórico para o estudo da estrutura e equacionamento matemático e, em seguida, apresentar uma análise dos resultados obtidos na caracterização da antena. A principal contribuição do trabalho é o desenvolvimento das equações gerais de campos para um ressoador de microfita com metamaterial. Constituindo-se um importante avanço nos estudos do eletromagnetismo, uma vez que, os estudos sobre MTM aplicado à antenas planares ainda são prematuros. Primeiramente, é apresentado no capítulo 2 a teoria de antenas, conceitos e grandezas essenciais para caracterização e estudo. Apresenta-se, também, o ressoador de microfita - situando-o no contexto histórico, aplicações, formas e principais métodos e modelos de alimentação e análises. No capítulo 3 descreve-se as estruturas metamateriais, apresenta-se o estudo geral do índice de refração, permeabilidade e permissividade. São definidos os principais tipos de metamateriais, descrevendo-se suas estruturas, equacionamentos e curvas características. Em seguida, no capítulo 4 é desenvolvido um equacionamento rigoroso para os ressoadores retangulares de microfita com substrato metamaterial, através do método da Linha de Transmissão Transversa e da teoria de metamateriais. Essas equações constituem-se na alma do trabalho, pois é o ponto de partida para todo o desenvolvimento analítico. No capítulo 5, a teoria desenvolvida nos capítulos anteriores é aplicada a uma antena de microfita retangular com substrato MTM com o objetivo de obter-se a freqüência de ressonância complexa e campos eletromagnéticos tangenciais à fita condutora. Para tanto, encontra-se a solução das equações de Helmohltz utilizando-se condições de contorno eletromagnéticas adequadas. Em seguida aplica-se o método dos momentos - as densidades de corrente são expandidas em termos de funções de bases e encontra-se a

20 Capítulo 1. Introdução 3 equação característica, cuja raiz é a freqüência de ressonância complexa. No capítulo 6, baseado no método LTT e na condição de fase estacionária, é desenvolvida a teoria de campos distantes para um ressoador de fenda e em seguida generalizado para antenas de microfita (OLIVEIRA, 1996). Os resultados numéricos para a antena de microfita com substrato metamaterial são apresentados no capítulo 7. Faz-se comparações com outros autores e análises dos resultados obtidos. Por fim são apresentadas as conclusões a que se chegou e sugestões para trabalhos posteriores.

21 Capítulo 2 Teoria de Antena 2.1 Introdução São apresentados neste capítulo conceitos e grandezas essenciais para caracterização e estudos de antenas. Em seguida é feita uma abordagem sobre antena de microfita - aspectos históricos, vantagens, limitações, principais aplicações. São apresentados também, os principais métodos de alimentação e análises de antenas de microfita. 2.2 Definição Antenas são estruturas metálicas projetadas para radiar e receber energia eletromagnética. Constituem-se em elementos essenciais para qualquer sistema de comunicação sem fios, realizando a interface entre o guia de onda e o espaço livre. Uma definição oficial do IEEE para antenas é dada em Strutzman and Thiele (STUTZMAN; THIELE, 1998), como segue: That part of a transmitting or receiving system that is designed to radiate or receive electromagnetic waves. Ou seja, é o dispositivo responsável por transmitir e receber ondas eletromagnéticas. 2.3 Processo de Radiação na Antena Para entender como ocorre a radiação na antena, primeiro precisa-se conhecer o fenômeno da radiação eletromagnética. E = ρ ε Lei de Gaus, (2.1)

22 Capítulo 2. Teoria de Antena 5 E = µ t H Lei de Faraday, (2.2) H = J + J D Lei de Ampére. (2.3) Partindo-se das equações de Maxwell 2.1 a 2.3. Considere uma estrutura geométrica irradiante δ eletricamente condutora excitada por uma fonte de tensão senoidal V (t) = V 0 sen(2π f ). O processo de irradiação para δ, pode ser resumido em 4 etapas: (I) Em conseqüência de V (t), surgem correntes da forma I(t) = I 0 sen(2π f +φ) que fluem pela estrutura com densidade superficial J(x,y,z,t)[ A m 2 ], tal fluxo implica na ocorrência de cargas elétricas em movimento no interior da estrutura δ, com densidade ] volumétrica ρ(x,y,z,t)[ C ; m 3 (II) Em conseqüência de 2.1 é gerado um campo elétrico E ρ (x,y,z,t) devido à densidade volumétrica de cargas ρ(x,y,z,t)[ C. Por sua vez, de 2.3 um campo magnético H J (x,y,z,t) é estabelecido devido à densidade superficial de corrente J(x,y,z,t); m 3 ] (III) De 2.2, é originado E H (x,y,z,t) devido a variação de H J (x,y,z,t) no tempo. Assim, somando-se as contribuições dos campos elétricos E H e E ρ, chega-se a E(x,y,z,t), que por seu turno, dá origem à densidade superficial de corrente de deslocamento J D (x,y,z,t) = ε t E(x,y,z,t); (IV) A partir de2.3, H D (x,y,z,t) é estabelecido em decorrência de J D (x,y,z,t). As etapas (III) e (IV) repetem-se recursivamente, de sorte que, para cada recursão existe uma correspondência unívoca entre o instante t e as coordenadas espaciais (x, y, z). Observa-se ainda que, o campo E H (x,y,z,t) é continuamente regenerado por H D (x,y,z,t), diferentemente de E ρ (x,y,z,t), pois esse apresenta valores significativos apenas nas proximidades do irradiador (região de campos próximos) (FERNANDES; FRANCO, 2002). A radiação numa antena pode ser explicada através da figura 2.1 a qual mostra uma fonte de tensão conectada a uma linha de transmissão. Aqui pode-se evidenciar as etapas descritas acima: a fonte conectada à estrutura irradiante δ estabelece uma tensão V (t) = V 0 sen(2π f ). Conforme descrito em (I), tem-se uma corrente do tipo I(t) = I 0 sen(2π f +φ), que flui por δ com densidade superficial J(x,y,z,t)[ A m 2 ], esse fluxo gera ρ(x,y,z,t)[ C (II), E ρ (x,y,z,t) é gerado devido a densidade volumétrica de cargas ρ(x,y,z,t). E, devido a m 3 ]. De

23 Capítulo 2. Teoria de Antena 6 densidade superficial de corrente J(x,y,z,t), H J (x,y,z,t) é estabelecido. De (III), A variação de H J (x,y,z,t) no tempo leva à formação de E H (x,y,z,t), somando-se os componentes E H (x,y,z,t) e E ρ (x,y,z,t) chega-se ao campo elétrico total E(x,y,z,t), o qual dá origem à densidade de corrente de deslocamento J D (x,y,z,t). Por fim, conforme (IV), H D (x,y,z,t) é estabelecido devido a J D (x,y,z,t). Desde que seja mantida a fonte de tensão as etapas acima acontecem ciclicamente e a radiação é estabelecida. Figura 2.1: Etapas da radiação em uma antena. Pode-se evidenciar a presença desse campo ao longo da estrutura através de linhas de força, que são tangenciais ao campo, bem como, a sua magnitude que é diretamente proporcional ao número de linha de força. Conforme exposto, devido à variação dos campos elétricos e magnéticos, ondas eletromagnéticas são criadas e viajam entre os condutores do guia. Quando essas perturbações se aproximam da abertura da antena, são formadas ondas no espaço livre pela conexão da abertura final às linhas de forças. Desde que, a fonte senoidal continue a criar perturbações elétricas - ondas eletromagnéticas são criadas continuamente, trafegam através da linha de transmissão até a antena, e são irradiadas para o espaço livre (BALANIS, 1997).

24 Capítulo 2. Teoria de Antena Campos no Espaço R 3 As características e o relacionamento entre os campos E(r,θ,φ,t) e H(r,θ,φ,t) apresentam diferentes comportamentos a depender da distância r do ponto P(θ,φ,t) à antena. Tal comportamento peculiar depende especificamente da relação ente r e λ, definindo duas regiões básicas de irradiação denominadas de campos próximos (r λ) e campos distantes (r λ) Regiões de Campos Próximos Esta região é definida como a parte no espaço R 3 onde a distância r entre a antena e D 3 λ qualquer ponto P(θ,φ,t) pertencente a região, é tal que r λ - empiricamente adota-se a distância de r < 0,62, onde D é a maior dimensão física da antena e λ é o comprimento da onda irradiada). Nessa região E θ e H φ estão defasados no tempo, tornando o fluxo de potência nas extremidades do ressoador altamente reativo. Fisicamente significa a existência de ondas estacionárias no interior desta região, que faz com que a energia irradiada flua para frente e para traz. Ou seja, nessa região há a tendência de manter confinada a potência fornecida pela antena sem irradiá-la para( frente, exceto no seu limite ) D externo - início da denominada zona intermediária de Fresnel 0,62 3 λ < r < 2D2 λ aqui, começa a haver irradiação efetivamente, conforme figura Região de Campos Distantes - Região de Fraunhofer A região de Fraunhofer é a região no espaço R 3 na qual a distância r entre a antena e qualquer ponto P(θ,φ,t) pertencente a região, é tal que r λ (empiricamente adota-se a distância de 2D2 λ ). Nessa região E θ e H φ estão em fase no tempo - nessas condições a onda eletromagnética irradiada possui seus campos E e H relacionados da mesma forma que numa onda plana incidente. Portanto, a energia eletromagnética é efetivamente irradiada através do espaço R 3 em conseqüência do alinhamento de fase entre E θ (FERNANDES; FRANCO, 2002). e H φ Campos Distantes para um Dipolo Hertziano A radiação na região de campos distantes para um dipolo Hertziano, pode ser entendida com o auxílio do sistema de coordenadas esféricas mostrado na figura 2.6. A direção

25 Capítulo 2. Teoria de Antena 8 D Figura 2.2: Densidade superficial de fluxo de potência para as regiões definidas pelos raios: R cp = 0,62 3 λ e R cd = 2D2 λ. vertical é dada pelo eixo y é a horizontal pelo plano xz, θ e φ são os ângulos de elevação e azimute respectivamente. Assim xy é o plano de elevação (φ = 0) ou plano-e, o qual contém o vetor campo elétrico na direção de máxima propagação. Enquanto xz é o plano azimutal ( θ = π 2 ) - Plano-H, onde ocorre a direção de máxima propagação do vetor campo magnético (BALANIS, 1997). Considerando, ainda, um dipolo Hertziano (com comprimento L e diâmetro menor que um comprimento de onda) e assumindo-se que uma corrente I(0) flui através de seu comprimento. Se o dipolo é colocado na origem, ao longo do eixo y, então conforme (BALANIS, 1997), pode-se escrever: E θ = jη KI(0)Le jkr senθ 4πr E r = η I(0)Le jkr cosθ (2πr) 2 H φ = j KI(0)Le jkr senθ 4πr [ jkr 1 ] (kr) 2, (2.4) [ ], (2.5) jkr [ ], (2.6) jkr

26 Capítulo 2. Teoria de Antena 9 Figura 2.3: Campos distantes no sistema de coordenadas esféricas para um dipolo Hertzano. com, H r = 0 H θ = 0 E φ = 0. Para a região de campos distantes os termos r 2 e r 3 podem ser desprezados, assim as equações 2.4 a 2.8 podem ser escritas como: KI(0)Le jkr E θ = jη senθ, (2.7) 4πr KI(0)Le jkr H φ = j senθ, (2.8) 4πr sendo: η - Impedância intrínseca do espaço livre; k = 2π λ - Número de onda; r - Raio para o sistema de coordenadas esférica. E r = 0, (2.9) Assumindo-se que os campos E θ e H φ variam senoidalmente com o tempo, percebe-se que: as funções 2.7 e 2.8 são transversais entre si; a relação E θ H φ = η = 120π - é a impedância intrínseca do espaço livre (válida quando o meio de propagação é o vácuo ou ar seco); e a

27 Capítulo 2. Teoria de Antena 10 magnitude dos campos E θ e H φ é inversamente proporcional ao raio r. A direção de E θ e H φ, é definida pelo vetor de Poynting ao longo de r, e indica a direção de propagação da onda. O vetor de Poynting é dado por (BALANIS, 1997) = 1 2 ( ) [ ] Var E H m 2. (2.10) 2.5 Parâmetros de Antenas Do vetor de Poynting complexo chega-se à potência média irradiada pela antena: 2π π P rad = rad ds = rad r 2 senθdθdφ [W], (2.11) s 0 0 na qual: ds = r 2 senθdθdφ ˆr - Vetor diferencial de superfície; rad = Re { }[ W m 2 ] de potência irradiada. O termo { rad r 2} [ W - Vetor de Poynting médio, que determina a densidade superficial rad 2 ] é denominado intensidade de radiação, e mede a potência irradiada pela antena por unidade de ângulo sólido, ou ainda, densidade sólido-angular de potência irradiada. Assim a intensidade de radiação de uma antena é definida por: U = rad r 2 [ ] W rad 2. (2.12) Padrão de radiação F(θ,φ) de uma antena é uma expressão analítica que define a intensidade normalizada do campo elétrico E θ (θ,φ) resultante em cada ponto da superfície esférica S e de raio r e em cujo centro encontra-se a antena: F(θ,φ) = E θ (θ,φ) E θ max, (2.13) sendo E θmax o valor máximo de E θ (θ,φ) que ocorre para a particular direção (θ,φ) = (θ max,φ max ) do espaço R 3 sendo θ max e φ max os valores para os ângulos θ e φ que maximizam a grandeza E θ (θ,φ). O gráfico de tal função é denominado diagrama de irradiação. O padrão de irradiação F(θ,φ) é dado em Decibéis por 2.14 :

28 Capítulo 2. Teoria de Antena 11 F(θ,φ) db = 20log F(θ,φ), (2.14) por seu turno o padrão de potência de uma antena é dado por 2.15: logo seu valor em Decibéis é 2.16: P(θ,φ) = F(θ,φ) 2, (2.15) donde temos a seguinte equivalência: P(θ,φ) db = 10log F(θ,φ) 2 = 20log F(θ,φ), (2.16) P(θ,φ) db = F(θ,φ) db. (2.17) Figura 2.4: Diagramas de irradiação, lóbulos principal e secundários. (a) Diagrama de irradiação linear; (b) diagrama de irradiação polar. Considerando o diagrama de irradiação da figura 2.4, pode-se extrair as seguintes propriedades: Lóbulo principal - ocorre na direção que contém a maior concentração de potência irradiada, lóbulos secundários - todos os que não são principal. HPBW (Half Power Beam Width), largura de feixe com centro no máximo de F(θ,φ) db, para a qual a potência irradiada caí à metade. Tal grandeza é também conhecida como ângulo de meia potência. FNBW (First Null Beam Width), largura de feixe com centro no máximo de F(θ,φ) db, para a qual a potência irradiada caí ao seu primeiro valor mínimo.

29 Capítulo 2. Teoria de Antena 12 A diretividade de uma antena é um índice que mede a habilidade em concentrar a potência irradiada na direção de máxima propagação. Ou seja, mede a capacidade de concentrar energia dentro de um ângulo sólido. D = U max U med = 4π Ω a, (2.18) na qual: Ω a = 2π π0 0 P(θ,φ)senθdθdφ [sr] - Ângulo sólido de feixe; U max - Valor máximo da intensidade de radiação; U med - Intensidade de radiação caso a potência fosse irradiada uniformemente em todas as direções no R 3, ou seja, é a intensidade de radiação resultante de um irradiador isotrópico. Ganho de potência é a razão entre a máxima densidade superficial de potência irradiada rad (θ max,φ max ) pela antena e radmed = P e caso a antena fosse um irradiador 4πr 2 isotrópico com 100% de eficiência (η = 1, P a = P e ) e alimentado por uma potência P e. G = rad(θ max,φ max ) P e = η rad(θ max,φ max) P a = ηd, (2.19) 4πr 2 4πr 2 Portanto, o ganho de potência G de uma antena, será no máximo igual à sua diretividade. Ademais, 10logG define o parâmetro dbi, ganho em db em relação a um irradiador isotrópico. No entanto, devido a essa estrutura ser fisicamente irrealizável, é comum utilizar-se o parâmetro dbd - ganho em relação ao dipolo de meia onda. A impedância de entrada de uma antena é a apresentada à linha de transmissão que a alimenta ou à estrutura de acoplamento que a une à linha de transmissão. Z a = V a I a = R a + jx a [Ω], (2.20) sendo R a a resistência de radiação e X a a reatância própria. Relação de onda estacionária (ROE), é a relação entre o sinal incidente e o refletido, sendo um parâmetro de suma importância para os sistemas de comunicação, pois a medida que essa taxa começa a crescer aumenta as perdas do sistema. Γ é o coeficiente de reflexão dado por: ROE = V max V min = I max I min = 1 + Γ 1 Γ, (2.21)

30 Capítulo 2. Teoria de Antena 13 Γ = Z L Z 0 Z L + Z 0. (2.22) A Perda de retorno indica a proporção entre a potência incidente e a refletida, definida como: PR = 20 log Γ [db], (2.23) Tanto a perda de retorno quanto o coeficiente de onda estacionárias, são excelentes índices para a determinação da performance de antenas, sendo aceito na prática, valores menores que 1,3 para esse e acima de -10dB para aquele. A Largura de banda é a faixa na qual a antena opera satisfazendo determinados parâmetros de performance. A largura de banda (LB), pode ser especificada: (I) Sob forma percentual (utilizado quando a largura de banda é muito menor que a freqüência central): na qual: F S - Freqüência superior; F i - Freqüência inferior; F c - Freqüência central; LB = F s F i F c, (2.24) (II) Pelo posicionamento de freqüências (F s e F i ) - utilizado quando F s é maior igual ao dobro de F i : LB = F s F i. (2.25) A Polarização de uma antena, define a direção do vetor E do campo eletromagnético por ela irradiado com relação a um plano de referência. A forma mais geral de polarização é a Elíptica - quando o vetor E gira em um plano perpendicular à direção de propagação da onda eletromagnética (FERNANDES; FRANCO, 2002).

31 Capítulo 2. Teoria de Antena 14 Figura 2.5: Perda de retorno e largura de banda, para uma antena com freqüência central em 500 Hz. Figura 2.6: (a) Polarização elíptica. (b) Polarização linear horizontal, caso particular de (a). (c) Polarização linear vertical, também, caso particular de (a).

32 Capítulo 2. Teoria de Antena Antenas de Microfita Introdução Nesta seção são abordadas as principais características acerca das antenas de microfita com patch retangular, de modo a produzir subsídios para os estudos dos capítulos posteriores. Primeiramente será feita uma introdução sobre aspectos históricos, exemplificando as vantagens e limitações em seu uso. Depois são discutidas as principais técnicas de alimentação eletromagnética. Finalmente, são mostrados os métodos de análise de maior aplicação às antenas de microfita Aspectos Históricos O conceito de irradiadores em microfita surgiu em 1953, porém as primeiras antenas práticas foram desenvolvidas a partir de 1970 por Howell e Munson (BAHL; BHARTIA, 2001). A partir de então foram desenvolvidas antenas e arranjos de microfita explorando suas vantagens, tais como: pequeno volume, peso reduzido, configuração planar, compatibilidade com circuitos integrados, baixo custo de fabricação e a possibilidade de atuar com freqüência dual Linha de Microfita A linha de microfita é uma estrutura não-homogênea com o modo de propagação híbrido não-tem. O substrato concentra predominantemente as linhas dos campos eletromagnéticos. Quanto maior a permissividade elétrica relativa do substrato (ε r ), maior será a concentração de energia nesta região. Vários dispositivos podem ser fabricados utilizando linhas de microfita entre eles estão os ressoadores, antenas, filtros, acopladores direcionais e divisores de potência. As antenas de microfita apresentam várias aplicações tais como: comunicação via satélite, radares, telemetria em mísseis, sensoriamento remoto, comunicações móveis, etc. A antena de microfita na sua forma mais simples é composta de um elemento metálico (patch) depositado sobre um substrato (dielétrico) que por sua vez está sobre um plano de terra (uma fina camada metálica), como mostra a figura 2.7. O patch pode ter várias geometrias tais como: quadrado, retangular, circular, elíptica, triangular ou qualquer outra configuração de acordo com as características desejadas. Em

33 Capítulo 2. Teoria de Antena 16 Figura 2.7: Antena de microfita convencional. geral para facilitar a análise teórica são comumente escolhidas as formas mostradas na figura 2.8. A forma do elemento metálico influencia na distribuição de corrente e por conseqüência na distribuição dos campos na superfície da antena. Logo, a irradiação pode ser determinada através da distribuição de campo entre o patch metálico e o plano de terra, bem como, em termos de distribuição de corrente de superfície no patch. Figura 2.8: Formas comuns de patchs Vantagens e Limitações das Antenas de Microfita As antenas de microfita apresentam algumas vantagens quando comparadas com as antenas convencionais usadas para microondas (BAHL; BHARTIA, 2001), tais como: Baixo peso e configuração fina; Polarizações linear e circular são possíveis com alimentação simples; Antenas com polarização dual e freqüência dual são facilmente realizáveis;

34 Capítulo 2. Teoria de Antena 17 Podem ser facilmente embarcadas com circuitos integrados de microondas; Linhas de alimentação e redes de casamento de impedância podem ser fabricadas simultaneamente com a estrutura da antena. Entretanto, apresentam algumas limitações: Largura de banda limitada; Baixo ganho ( 6 db); Excitação de ondas de superfície; A utilização de substratos com alta constante dielétrica é preferível, pois facilitam a integração com MMIC s (Circuitos Integrados Monolíticos de Microondas) entretanto, substratos com altas constantes dielétricas possuem largura de banda estreita e baixa eficiência de irradiação, decorrente da alta concentração dos campos em torno da região de alta permissividade. Existem muitas formas de diminuir o efeito dessas limitações, como por exemplo, a redução da excitação de ondas de superfície através da utilização de substratos PBG, redução do acoplamento entre o patch e plano de terra utilizando-se materiais magnéticodielétrico - com valor moderado de permissividade e permeabilidade alta (µ > ε) (MOSAL- LAEI; SARABANDI, 2004). Um aumento na largura de banda pode ser obtido, também, com antenas de patchs empilhados ou com multicamadas dielétricas Técnicas de Alimentação Antenas de microfita podem ser alimentadas por uma variedade de métodos. Esses podem ser classificados em duas categorias: contactados e não contactados. Nas técnicas por contato, a fonte de RF é ligada fisicamente ao patch usando linhas de microfita ou conector coaxial. Enquanto que, nas técnicas não-conectado, a ligação é feita por acoplamento eletromagnético. As quatro formas mais comuns são: linha de microfita, sonda coaxial (Conexão direta), acoplamento por abertura e proximidade (BALANIS, 1997).

35 Capítulo 2. Teoria de Antena 18 Alimentação por Linha de Microfita Nesta técnica, uma linha de microfita conecta o patch à extremidade da antena como mostra a figura 2.9, as vantagens em se usar tal processo é a facilidade de construção, pois é implementado diretamente sobre o substrato, além de se integrar facilmente a circuitos impressos. Figura 2.9: Alimentação via linha de microfita. Alimentação Coaxial Essa técnica é muito comum em estruturas de microfita como visto na figura O condutor interno do conector coaxial transpõe o dielétrico e é soldado ao patch, enquanto o outro condutor (externo) é soldado diretamente ao plano de terra. A principal vantagem aqui, é que a alimentação pode ser feita em qualquer local do patch, fácil fabricação e tem baixos espúrios de radiação. Entretanto, impõe limitações à largura de banda. Figura 2.10: Alimentação via conector coaxial. Acoplamento por Abertura Os métodos de acoplamento são os de mais difícil fabricação, principalmente o acoplamento por abertura. Essa técnica consiste de dois substratos separados por um plano de

36 Capítulo 2. Teoria de Antena 19 terra. Abaixo do substrato 1 há uma linha de alimentação de microfita que fornece energia através de um slot (abertura) no plano de terra, como visto na figura Figura 2.11: Alimentação via acoplamento por abertura. Esse arranjo permite uma otimização independente do mecanismo de alimentação e do elemento de irradiação. O nível de acoplamento é determinado através do formato e localização da abertura. Como o plano de terra separa o patch da linha de alimentação, as radiações superiores são minimizadas. As desvantagens dessa técnica são: dificuldade de fabricação devido às múltiplas camadas, e baixa largura de banda. Acoplamento por Proximidade Essa técnica de alimentação consiste em uma linha de alimentação colocada entre dois substratos dielétricos, conforme figura 2.12 o patch é colocado sobre o substrato superior, enquanto que o plano de terra é colocado sob o substrato inferior. As principais vantagens nessa técnica é que elimina a radiação de alimentação superior e oferece alta largura de banda. O casamento de impedância é atingido variando-se a largura da linha de transmissão e espessura dos substratos. Figura 2.12: Alimentação via acoplamento por proximidade.

37 Capítulo 2. Teoria de Antena 20 A tabeta 2.1 faz uma síntese das técnicas exploradas acima, mostrando as principais características, vantagens e limitações (BAHL; BHARTIA, 2001). Características Linha de Alimentação Acoplamento Acoplamento Microfita Coaxial por Aberturdade por Proximi- Espúrios de Maior Maior Menor Médio Radiação Confiabilidade Ótima Boa (a depender Boa Boa da solda) Fabricação Fácil Fácil Difícil Difícil Casamento de Impedância Fácil Fácil Fácil Fácil Largura de 2-5% 2-5% 2-5% 13% Banda Tabela 2.1: Tabela comparativa entre as diversas técnicas de alimentação Métodos de Análise Os principais métodos de análise de antenas de microfita são: o da linha de transmissão, o modelo da cavidade, ambos aproximados e os de onda completa - dentre os quais incluem-se o Método da Linha de Transmissão Equivalente - LTE ou Método da Imitância, o Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Método da Linha de Transmissão Transversa - LTT, o qual será usado neste trabalho. Esses baseiam-se em equações diferenciais integrais e utilizam-se do método dos momentos e de funções de base para determinar as soluções. Modelo da Linha de Transmissão (LT) No modelo da Linha de Transmissão (LT), o patch e a linha de alimentação são modeladas por seções de LT. A antena é então representada por uma seção ressonante onde a impedância característica (Z 0 ) e a constante de fase de propagação (β) são determinados pelos parâmetros do substrato e dimensões da antena planar. Considerando uma patch retangular alimentado por uma linha de microfita conforme figura 2.13, quando os campos eletromagnéticos que se propagam ao longo da linha encontram uma descontinuidade

38 Capítulo 2. Teoria de Antena 21 (início do patch), nesse ponto, devido à mudança de largura W da microfita, são gerados campos de fuga (de franja) nas bordas do patch. Esses efeitos de franja têm como característica armazenar energia, logo são modelados por capacitores (C). Por outro lado, uma parte desses campos irradia potência no espaço o que é representado por uma condutância (G) em paralelo com (C). Em seguida os campos se propagam através do patch até a outra extremidade onde, devido as dimensões finitas W e l ultrapassam o limite físico do patch. Aqui mais uma vez aparece o efeito dos campos de fuga, e são modelados como visto anteriormente por uma associação paralelo de (C) e (G). O processo descrito acima causa um acréscimo elétrico nas dimensões do patch e é modelado acrescentando-se ao comprimento l o fator l em ambos os lados do patch, dessa forma tem-se as dimensões efetivas. A figura 2.13.b mostra a distribuição do campo elétrico ao longo da antena, que pode ser aproximada pela expressão E 0 cos(πx/l). Assim as condições de contorno são satisfeitas, o campo elétrico é máximo nas bordas e nulo no centro da antena (l/2) Figura 2.13: Modelo da linha de transmissão: (a) efeito franja com um incremento l; (b) distribuição do campo elétrico ao longo da antena. Conforme descrito acima a antena pode ser modelada através do circuito da figura 2.14, os seus parâmetros e as dimensões são dados pelas equações abaixo. Figura 2.14: Circuito equivalente para antena de microfita, pelo modelo da linha de transmissão. ( εre f f + 0,3 )( ) W h + 0,264 l = 0,412h ( εre f f 0,258 )( ), (2.26) W h + 0,8 l e f f = l + 2 l, (2.27)

39 Capítulo 2. Teoria de Antena 22 ε e f f = ε r ε r 1 2 [ h W ] 1/2, (2.28) [ c (m ) 2 ( n ) ] 2 1/2 Fr = 2 +, (2.29) ε e f f L W sendo F r a freqüência de ressonância. Os índices m e n representam os modos de propagação na antena, W = c 2F r (εr + 1) 2, (2.30) C = ε Wl h. (2.31) Modelo da Cavidade O Modelo da Cavidade pode manipular qualquer geometria de patch, tratando a antena como sendo uma cavidade com paredes ressonantes, onde na base e no topo há paredes elétricas e nas laterais paredes magnéticas. Os campos na antena são considerados como sendo os campos na cavidade, dessa forma serão expandidos em termos de modos ressonantes na cavidade, na qual cada modo tem a sua freqüência de ressonância dada pela equação 2.32 (BALANIS, 1997). Fr mnp = 1 2π µε (mπ ) 2 ( nπ + h L ) 2 ( pπ ) 2, + (2.32) W sende c a velocidade da luz. Os índices m, n, p representam os modos de propagação. Embora esse modelo seja relativamente simples de implementar e aplicar a diversos formatos de antenas, há algumas limitações em seu uso, principalmente devido às aproximações iniciais. Dessa forma, esse modelo não oferece um resultado satisfatório para antenas com substratos mais espessos, com patch empilhados e arranjos de antenas Métodos de Onda Completa A análise de estruturas planares a partir de modelos aproximados (descritos acima), oferece relevante rapidez nas formulações, no entanto, incluem uma parcela de erro devido

40 Capítulo 2. Teoria de Antena 23 as simplificações feitas, sobretudo quando se trata de aplicações em altas freqüências e substratos anisotrópicos. Assim, a análise a partir de um método rigoroso é imprescindível para a precisão dos resultados com substratos metamateriais. É sabido que o modo de propagação da microfita se modifica devido à interface dielétrico-ar, tornando-se um modo híbrido não-tem. Logo, o método de análise deve considerar a natureza híbrida dos modos de propagação, por esse motivo tais métodos são chamados de análise dinâmica ou de onda completa. Os mais relatados na literatura são: o Método da Linha de Transmissão Equivalente - LTE ou Método da Imitância, o Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Método da Linha de Transmissão Transversa - LTT. Esse será utilizado ao longo deste trabalho, com uma nova formulação para metamateriais. Por esse motivo é desnecessário apresentá-lo neste momento, pois é detalhado com todo o formalismo matemático no capítulo Conclusões Nesse capítulo foi apresentado conceitos e grandezas essenciais ao entendimento dos temas que serão abordados nos capítulos seguintes, situando assim, o leitor acerca do trabalho desenvolvido.

41 Capítulo 3 Substrato Metamaterial O eletromagnetismo vem recebendo grande atenção por grupos de pesquisa ao redor do mundo devido à gama de aplicações práticas que esses estudos possibilitam. Os avanços gerados pelas grandes guerras mundiais e pela guerra fria, impulsionam a demanda por materiais e abrem uma nova área de trabalho em eletromagnetismo. Tal avanço levou ao desenvolvimento de materiais artificiais com características dielétricas e magnéticas desejáveis. Atualmente meios de fabricação e técnicas inovadoras vêm possibilitando a fabricação de materiais com características que não podem ser encontradas na natureza (SUDHAKARAN, 2006). Tais materiais são chamados metamateriais - MTM. Esses também, podem ser definidos como estruturas eletromagnéticas efetivas, homogêneas, artificiais, com propriedades incomuns que não são encontradas em materiais na natureza (CALOZ; ITOH, 2000). Uma estrutura homogênea efetiva é aquela em que o comprimento médio estrutural de célula p (Fig. 3.4) é muito menor que um comprimento de onda guiada λ g. Assim, esse comprimento médio de célula deve ser pelo menos menor que um quarto de comprimento de onda - p < λ g 4. Essa condição de referência p = λ g 4 será denominada como o limite de homogeneidade efetiva, para garantir que os fenômenos espalhamento/difração sucumbirão frente à refração quando uma onda se propaga dentro do meio metamaterial. Os principais parâmetros constitutivos são a permissividade ε e a permeabilidade µ, relacionados ao índice de refração n dado por (CALOZ; ITOH, 2000): n = ± µ r ε r, (3.1) na qual µ r e ε r são respectivamente a permeabilidade e permissividade relativas, relacionadas à permeabilidade e permissividade no espaço livre dadas por µ 0 = µ µ r = 4π 10 7 H/m e ε 0 = ε ε r = F/m, respectivamente. Na equação 3.1 o sinal ± para

42 Capítulo 3. Substrato Metamaterial 25 o valor duplo da função raiz quadrada admite quatro possibilidades de combinações de sinais para µ e ε - (+,+), (+,-), (-,+) e (-,-), que são ilustrados no diagrama da Fig Enquanto as três primeiras combinações são bem conhecidas em materiais tradicionais, a última (-,-) com permissividade e permeabilidade simultaneamente negativas é uma nova classe de materiais os materiais canhotos ou do inglês left-handed. Figura 3.1: Diagrama de permissividade - permeabilidade e índice de refração (CALOZ; ITOH, 2000). 3.1 Definição de Metamateriais Esquerdinos Estes materiais como uma conseqüência de seus duplos parâmetros negativos mostrados na figura 3.1, são caracterizados por fase e velocidade de grupo antiparalelas ou índice de refração negativo, equação 3.1. Os materiais esquerdinos (ME) são claramente metamateriais de acordo com a definição dada na seção anterior, uma vez que são artificiais, efetivamente homogêneos (p < λ g 4 ) e possuem características não usuais como o índice de refração negativo. Estes materiais foram inicialmente propostos por Viktor Vaselago em 1968 (VESE- LAGO, 1968) onde pela primeira vez ambos os parâmetros dielétricos -permissividade ε e permeabilidade µ - são negativos. Ele os definiu como materiais left-handed. Quando uma onda eletromagnética passa por esses materiais o vetor de campo elétrico, o vetor de

43 Capítulo 3. Substrato Metamaterial 26 campo magnético e o vetor de onda obedecem à regra da mão esquerda ao contrário de materiais naturais, cujos vetores obedecem à regra da mão direita e possuem parâmetros de material positivos. Os materiais com parâmetros positivos são nomeados materiais destros (MD). A Fig. 3.2 mostra a direção dos vetores desses materiais. Pode-se observar que o vetor de pointing e o vetor de onda estão em direções opostas no metamaterial ME, enquanto obedecem à mesma direção no caso dos materiais MD. Figura 3.2: Diagrama mostrando os vetores de pointing, de onda elétrico e magnético em materiais comuns (a) e metamateriais left-handed (b). Os ME possuem características não usuais como: lei de Snell, radiação e efeito Doppler, reversos (VESELAGO, 1968). A Fig. 3.3 mostra as direções de propagação de onda usando diagramas de raios para o material convencional MD e o ME, quando uma onda incide obliquamente no material. Pode-se observar que no material natural a refração da onda na primeira interface é para cima em relação à normal, enquanto no material artificial é para baixo. Figura 3.3: Diagrama de raios mostrando a direção de propagação de onda (a) material natural, (b) metamaterial left-handed. Vaselago concluiu em seu artigo, que algumas substâncias naturais poderiam exibir características ME. Ele então sugeriu: substancias girotrópicas possuindo plasma e propriedades magnéticas (metais ferrimagnéticos puros ou semicondutores); onde tanto a permissividade quando a permeabilidade são tensores (estruturas anisotrópicas), pode-

44 Capítulo 3. Substrato Metamaterial 27 riam possibilitar o desenvolvimento de um LH. No entanto ele reconheceu: (VESE- LAGO, 1968), infelizmente,..., nós não conhecemos sequer uma substância que possa ser isotrópica e possuir permeabilidade negativa de fato nenhum LH foi descoberto em seu tempo. Foram necessários mais de 30 anos - após publicado seu artigo, para desenvolver o primeiro metamaterial ME e demonstrá-lo experimentalmente. Esse material não foi uma substância natural como esperava-se, mas uma estrutura efetivamente homogênea e artificial - um metamaterial, construído por Smith e seus colaboradores na Universidade da Califórnia em São Diego (SMITH et al., 2000b). Essa estrutura foi proposta por Pendry et al. na Faculdade Imperial, Londres (PENDRY, 2000). Prendy introduziu o tipo plasmático ε-negativo/µ-positivo e ε-positivo/µ-negativo mostrado na Fig. 3.4, que podem ser projetados em freqüência plasmática na faixa de microondas. Ambas as estruturas possuem um tamanho médio de célula p muito menor que o comprimento de onda guiada λ g (p λ g ) sendo assim uma estrutura artificial, efetivamente homogênea, com características incomuns, logo um metamaterial. Figura 3.4: Estrutura TW - Thin Wire, construído com fios finos de metal em (a); estrutura SRR - split ring resonator, construído com anéis circulares em (b) e (c) Metamaterial TW-SRR, formado pela junção das estruturas TW e SRR. O metamaterial descrito na Fig. 3.4(a) é o fio fino de metal (thin-wire - TW ). Se a excitação do campo elétrico E é paralela ao eixo dos fios ( E y), induz-se uma corrente ao longo desses e se estabelece um momento de dipolo elétrico equivalente, e esse metamaterial exibe uma função de freqüência do tipo plasmática para a permissividade da seguinte forma (PENDRY, 2000), na qual ωpe 2 = 2πc 2 p 2 ln( p r ) ε r (ω) = 1 ω2 pe ω 2 + ζ 2 + j ζ ωpe 2 ω(ω 2 + ζ 2 ), (3.2) (c - velocidade da luz, r - raio dos fios) é a freqüência plasmática

45 Capítulo 3. Substrato Metamaterial 28 elétrica, ajustado na faixa de GHz; ξ = ε 0( pω pe r ) 2 πσ (σ - condutividade do metal) é o fator de amortecimento devido às perdas do metal. Pode-se notar nessa formula que: Re(ε r ) < 0 ω 2 < ω pe ξ 2, (3.3) desde que ξ 2 = 0, tem-se: Re(ε r ) < 0 ω 2 < ω pe. (3.4) Por outro lado a permeabilidade é simplesmente µ = µ 0, uma vez que não há presença de material magnético e o momento de dipolo magnético não é gerado. Deve-se notar que os fios são considerados muito maiores que um comprimento de onda (teoricamente ao infinito), o que significa que são excitados em freqüências situadas bem abaixo de sua primeira ressonância. O metamaterial descrito na Fig. 3.4(b) é o ressoador de anel partido (split-ring resonator - SSR). Se a excitação do campo magnético H é perpendicular ao plano dos anéis ( H z) induz-se uma corrente na malha fechada e se estabelece um momento dipolo magnético, e esse metamaterial exibe uma função de freqüência do tipo plasmática para a permissividade como se segue (PENDRY, 2000), µ r (ω) = 1 Fω2 (ω 2 ω 2 0m ) (ω 2 ω 2 0m )2 + (ωζ ) 2 + j Fω 2 ζ (ω 2 ω 2 0m )2 + (ωζ ) 2, (3.5) ( ) 2 sendo F = π rp (r - raio interno do anel menor), ω0m = c ( 3p π ln 2dr 3 s ) (d - largura dos anéis, s - espaço radial entre os anéis) a freqüência de ressonância magnética, que pode ser ajustada para GHz; ζ = 2pR rµ 0 (R - resistência do metal por unidade de comprimento) é o fator de compensação devido às perdas. Deve-se notar que a estrutura SRR possui uma resposta magnética - apesar de não incluir materiais condutores magnéticos, devido à presença de momentos de dipolos magnéticos artificiais gerados pelos anéis ressoadores. A equação 3.6 revela que uma faixa de freqüência pode existir quando Re(µ r ) < 0, Re(µ r ) < 0 ω 0m < ω < ω 0m 1 F, (3.6) na qual ω pm é a freqüência plasmática magnética. Uma diferença essencial entre as expressões plasmáticas para a permissividade e a permeabilidade é que a última é de natureza ressonante µ(ω = ω 0m ) = devido à ressonância dos SRRs, dados por ω 0m =

46 Capítulo 3. Substrato Metamaterial 29 c ( 3p π ln 2dr 3 s ) (PENDRY, 2000). O circuito equivalente do SRR é mostrado na Fig. 3.5 (PENDRY, 2000). Na configuração de anel duplo Fig. 3.5(a), o acoplamento capacitivo e indutivo entre os anéis maior e menor é modelado por uma capacitância de acoplamento (C m ) e um transformador n. Na configuração de anel simples Fig. 3.5(b), o modelo do circuito é um simples RLC com freqüência ressonante ω 0 = 1 LC. O SRR duplo é essencialmente equivalente ao SSR simples se o acoplamento mútuo é fraco, porque as dimensões dos dois anéis são muito próximas, assim L 1 L 2 L e C 1 C 2 C resultando em uma freqüência ressonante combinada próxima a do SRR simples com as mesmas dimensões, porém com um maior momento magnético devido a maior densidade de corrente. Figura 3.5: Modelo de circuito equivalente do SRR, (a) SRR configuração dupla e (b) configuração simples. Uma forma de utilizar essas estruturas (thin-wire - TW e split-ring resonator - SSR) em conjunto, é formar um substrato TW-SRR que consiste da junção de ambas as estruturas em um único dielétrico com as estruturas dispostas em lados opostos do substrato Fig. 3.4(c), resultados para esse substrato podem ser vistos nas Fig. 3.6 e 3.7. Freqüência Hz Figura 3.6: Resultados teóricos computacionais para uma estrutura TW-SRR, permeabilidade. Embora do ponto de vista físico os metamateriais TW-SRR com anéis circulares sejam bastante interessantes, na prática são de pouca valia em engenharia para aplicações planares. Uma alternativa foi apresentada por Shelby (SHELBY et al., 2001), onde são utilizados anéis quadrados e linhas de transmissão como é mostrada na Fig. 3.8.

47 Capítulo 3. Substrato Metamaterial 30 Figura 3.7: Resultados teóricos computacionais para uma estrutura TW-SRR, permissividade. Figura 3.8: Metamateriais (p λ g ) construídos apenas com metais comuns e dielétricos, (a) ε-negativo/µpositivo, (b) ε-positivo/µ-negativo e (c) estrutura SRR-TW (SHELBY et al., 2001). Os metamateriais descritos são bi-anisotrópicos e caracterizados por tensores permissividade e permeabilidade uniaxiais (SMITH et al., 2000a): µ xx 0 0 µ = µ 0 0 µ yy 0 (3.7) 0 0 µ zz ε xx 0 0 ε = ε 0 0 ε yy 0 (3.8) 0 0 ε zz A estrutura mostrada na Fig. 3.4(c) pode apresentar características de material esquerdino monodimensional, uma vez que apenas uma direção é permitida para o par ( E, H), assim tem-se: ε xx (ω < ω pe ) < 0 ou ε xx (ω ω pe ) > 0; ε yy = ε zz > 0; µ xx (ω 0m < ω < ω pm ) < 0 ou µ xx (ω 0m ω ω pm ) > 0; µ yy = µ xx > 0. Já a estrutura da Fig. 3.8(c) pode ser um matetrail esquerdino bidimensional, e permite a seguinte configuração: ε xx (ω <

48 Capítulo 3. Substrato Metamaterial 31 ω pe ) < 0 ou ε xx (ω ω pe ) > 0; ε yy = ε zz > 0; µ xx e µ zz < 0 para ω 0m < ω < ω pm ou µ xx e µ zz > 0 para ω 0m ω ω pm ; µ yy > 0 (SMITH et al., 2000a). Tal fato ocorre, pois o vetor E é direcionado ao longo dos fios - obrigatoriamente em uma única direção. Nada obsta, que o vetor H varie em duas dimensões, desde que ao longo dos anéis quadrados. 3.2 Superfície de Impedância Reativa Uma alternativas para as estruturas SRR-TW, é usar uma superfície de impedância reativa (RIS) como substrato. Essas estruturas podem ser projetadas para possuir a propriedade de refletir a potência total: como um condutor puramente elétrico (PEC - perfectly electric conductor) ou um condutor puramente magnético (PMC - perfectly magnetic conductor) e, ao mesmo tempo, ser capaz de armazenar energia elétrica ou magnética (SARABANDI et al., 2006). A estrutura RIS, é formada por uma camada capacitiva impressa em um dos lados de um substrato dielétrico separada por um plano de terra metálico - do lado oposto à camada capacitiva - no substrato dielétrico. A freqüência de ressonância da superfície depende: do valor dos elementos capacitivos; da distância entre a camada capacitiva e a superfície metálica e da permissividade da camada dielétrica. A construção de uma RIS pode ser feita usando capacitores integrados dispostos de forma periódica. A Fig. 3.9 mostra um arranjo periódico de dipolos cruzados, os quais se acoplam através de capacitores integrados em suas terminações. Essa estrutura tem o comportamento de uma PEC. Tal estrutura é equivalente a um circuito LC paralelo no qual a impedância é sempre reativa. A utilização dessa estrutura como substrato dielétrico, consiste em empilhar a RIS sob a estrutura desejada melhorando o seu desempenho. 3.3 Metamaterial Planar com Uma Camada Uma configuração metamaterial planar com uma única camada foi proposta em 2004 por David R. e seus colaboradores (DAVID et al., 2004), nesse artigo estruturas SRR quadradas são dispostas em um lado da superfície do substrato formando um conjunto de células ressonantes, enquanto na outra face encontram-se estruturas TW formadas a partir de linhas metálicas planares Fig Essa configuração será utilizada nessa dissertação, pois é conveniente para aplicações em estruturas planares podendo ser usadas como substratos em antenas de microfita.

49 Capítulo 3. Substrato Metamaterial 32 Figura 3.9: Estrutura RIS Figura 3.10: Metamaterial planar com uma camada, construído a partir de uma arranjo de estruturas TW e SRR. 3.4 Conclusões Neste capítulo foi apresentada uma introdução sobre algumas estruturas metamateriais e suas características, como fatores que motivaram a utilização dessas estruturas em substrato para os dispositivos que serão descritos neste trabalho, devido à gama de melhorias e inovações possíveis de ser realizadas. Apresentou-se, também, a caracterização

50 Capítulo 3. Substrato Metamaterial 33 matemática dos MTM (TW-SRR) que será aplicada aos programas desenvolvidos neste trabalho.

51 Capítulo 4 Método da Linha de Transmissão Transversa - Aplicado a Metamateriais 4.1 Introdução No estudo das linhas de transmissão planares, sobretudo em linhas de microfita para altas freqüências, é necessário a análise dos campos eletromagnéticos através de métodos rigorosos, os quais consideram a natureza híbrida dos modos de propagação, pois esses se modifica devido à interface dielétrico-ar tornando-se um modo híbrido não TEM. Tais métodos são chamados de análise dinâmica ou de onda completa, como o Método da Linha de Transmissão Equivalente - LTE ou Método da Imitância, o Método dos Potenciais Vetoriais de Hertz e o Método da Linha de Transmissão Transversa - LTT. Esses em particular, fazem a mudança para o domínio espectral como forma de simplificar a análise da estrutura. Outro motivação é que a maior parte do desenvolvimento algébrico independe da geometria analisada, sendo a função de base (responsável por representar as características físicas da estrutura) escolhida de acordo com a geometria. O objetivo deste capítulo é desenvolver as equações dos campos eletromagnéticos pelo método da Linha de Transmissão Transversa - LTT (FERNANDES, 1984) no domínio da transformada de Fourier (DTF) (BRACEWELL, 1965). Diferentemente de outros métodos de onda completa o Método LTT utiliza a direção de propagação y, transversa a direção real de propagação z. Dessa forma há redução do tempo computacional quando implementado em algumas linguagens computacionais, como o Fortran.

52 Capítulo 4. Método LTT - Aplicado a Metamateriais Desenvolvimento dos Campos Transversais Nessa seção os campos para a região do substrato metamaterial de uma antena de microfita com Patch retangular são determinados. As equações gerais dos campos - equações finais do método LTT - são obtidas a partir das equações de Maxwell. Partindo-se das equações 4.1 e 4.2, E = jωµ H, (4.1) H = jωε E, (4.2) os vetores campo elétrico e magnético são decompostos nas suas três componentes: fazendo, H = H y + H t = H x ˆx + H y ŷ + H z ẑ, (4.3) e E = E y + E t = E x ˆx + E y ŷ + E z ẑ, (4.4) = y + t = t + yŷ = x ˆx + + (4.5) yŷ zẑ, com H t = H x + H z - Campo magnético na direção transversa, (4.6) E t = E x + E z - Campo elétrico na direção transversa, (4.7) e finalmente, t = ˆx + (4.8) x zẑ. Para o caso do metamaterial temos: µ xx 0 0 µ = µ 0 0 µ yy 0, (4.9) 0 0 µ zz

53 Capítulo 4. Método LTT - Aplicado a Metamateriais 36 Substituindo (4.3) a (4.5) em (4.2), tem-se: ε xx 0 0 ε = ε 0 0 ε yy 0. (4.10) 0 0 ε zz ou ( x ˆx + yŷ + ) ε xx 0 0 E x ˆx ( H x ˆx + H y ŷ + H z ẑ) = jωε 0 zẑ 0 ε yy 0 E y ŷ, (4.11) 0 0 ε zz E z ẑ x H y ẑ x H z ŷ y H x ẑ + y H z ˆx + z H x ŷ z H y ˆx (4.12) = jωε 0 ( E x ε xx + E y ε yy + E z ε zz ), separando-se as componentes transversais x e z de 4.12, tem-se: reescrevendo, x H y ẑ y H x ẑ + y H z ˆx z H y ˆx = jωε 0 ( E x ε xx + E z ε zz ), (4.13) como: ( H y z ˆx ) ( H y x ẑ + H x y ẑ ) H z y ˆx = jωε 0 ( E x ε xx + E z ε zz ), (4.14) e ( H y z ˆx ) H y x ẑ = yŷ H t, (4.15) ( H x y ẑ ) H z y ˆx = t H y, (4.16)

54 Capítulo 4. Método LTT - Aplicado a Metamateriais 37 então, que resulta em ( ) ) yŷ H t + ( t H y = jωε 0 ( E x ε xx + E z ε zz ), (4.17) E x + E z = ou utilizando a equações 4.7 e 4.18, 1 ( t H y + yŷ ) jωε 0 (ε xx + ε zz ) H t, (4.18) E t = Substituindo 4.4 a (4.5) em 4.1, tem-se: 1 ( t H y + yŷ ) jωε 0 (ε xx + ε zz ) H t. (4.19) ou ( x ˆx + yŷ + ) µ xx 0 0 H x ˆx ( E x ˆx + E y ŷ + E z ẑ) = jωµ 0 zẑ 0 µ yy 0 H y ŷ, (4.20) 0 0 µ zz H z ẑ x E y ẑ x E z ŷ y E x ẑ + y E z ˆx + z E x ŷ z E y ˆx (4.21) = jωµ 0 ( H x µ xx + H y µ yy + H z µ zz ), separando as componentes transversais x e z de 4.21, tem-se: reescrevendo, x E y ẑ y E x ẑ + y E z ˆx z E y ˆx = jωµ 0 ( H x µ xx + H z µ zz ), (4.22) ( x E y ẑ ) ( z E y ˆx + y E z ˆx ) y E x ẑ = jωµ 0 ( H x µ xx + H z µzz), (4.23)

55 Capítulo 4. Método LTT - Aplicado a Metamateriais 38 como: e ( y E z ˆx ) y E x ẑ = yŷ E t, (4.24) então, ( x E y ẑ ) z E y ˆx = t E y, (4.25) que resulta em, ( ) ) yŷ E t + ( t E t = jωε 0 ( H x µ xx + H z µ zz ) (4.26) H x + H z = ou utilizando a equações 4.6 e 4.27, 1 ( t E y + yŷ ) jωµ 0 (µ xx + µ zz ) E t, (4.27) H t = 1 ( t E y + yŷ ) jωµ 0 (µ xx + µ zz ) E t. (4.28) Para E t, substituindo 4.28 em 4.19, tem-se: jωε 0 (ε xx + ε zz ) E t = t H y + [ yŷ 1 jωµ 0 (µ xx + µ zz ) ( t E y + yŷ E t )], (4.29) ou 1 jωε 0 (ε xx + ε zz ) E t = t H y + ( jωµ 0 (µ xx + µ zz ) yŷ t E y + yŷ ) E t, (4.30) mas,

56 Capítulo 4. Método LTT - Aplicado a Metamateriais 39 [( ŷ ( t E y ) = ŷ x ˆx + ) ] ( E y ŷ = ŷ zẑ x ˆx E y ŷ + ) zẑ E y ŷ (4.31) ( = ŷ x E y ẑ ) z E y ˆx (4.32) = ŷ x E y ẑ ŷ z E y ˆx (4.33) = x E y ˆx + z E y ẑ (4.34) = t E y, (4.35) e ( ) ( ) ( ŷ yŷ E t = ŷ yŷ ( E x ˆx + E z ẑ) = ŷ yŷ E x ˆx + ) yŷ E z ẑ (4.36) ( = ŷ y E x ẑ + ) y E z ˆx (4.37) = y E x ˆx y E z ẑ (4.38) substituindo 4.35 e 4.39 em 4.29, tem-se: = y E t, (4.39)

57 Capítulo 4. Método LTT - Aplicado a Metamateriais 40 ou 1 jωε 0 (ε xx + ε zz ) E t = t H y + jωµ 0 (µ xx + µ zz ) y ( t E y y E t ), (4.40) jωµ 0 (µ xx + µ zz )[ jωε 0 (ε xx + ε zz ) E t ] = (4.41) jωµ 0 (µ xx + µ zz ) t H y + y t E y 2 y 2 E t, ou ainda, ω 2 µ 0 (µ xx + µ zz )ε 0 (ε xx + ε zz ) E t + 2 y 2 E t = jωµ 0 (µ xx + µ zz ) t H y + y t E y, (4.42) mas: (ω 2 µ 0 (µ xx + µ zz )ε 0 (ε xx + ε zz ) + 2 y 2 ) E t = y t E y jωµ 0 (µ xx + µ zz ) t H y, (4.43) 2 y 2 = k2 y, (4.44) k 2 0 = ω 2 µ 0 ε 0, (4.45) logo, substituindo 4.44 a 4.46 em 4.43, tem-se: k 2 = ω 2 µε, (4.46) assim, [k 2 0(µ xx + µ zz )(ε xx + ε zz ) + k 2 y] E t = y t E y jωµ 0 (µ xx + µ zz ) t H y, (4.47)

58 Capítulo 4. Método LTT - Aplicado a Metamateriais 41 E t = ( ) 1 [k0 2(µ xx + µ zz )(ε xx + ε zz ) + ky] 2 y t E y jωµ 0 (µ xx + µ zz ) t H y. (4.48) Para H t, substituindo 4.19 em 4.28, tem-se: jωµ 0 (µ xx + µ zz ) H t = t E y + yŷ [ 1 ( t H y + yŷ )] jωε 0 (ε xx + ε zz ) H t, (4.49) ou jωµ 0 (µ xx + µ zz ) H t = t E y + 1 ( jωε 0 (ε xx + ε zz ) yŷ t H y + yŷ ) H t, (4.50) utilizando 4.35 e 4.39, mudando E por H, e substituindo em 4.50, tem-se: jωµ 0 (µ xx + µ zz ) H t = t E y + 1 ( jωε 0 (ε xx + ε zz ) yŷ t H y y ) H t, (4.51) ou jωµ 0 (µ xx + µ zz )( jωε 0 (ε xx + ε zz )) H t + 2 = jωε 0 (ε xx + ε zz ) t E y + y t H y, y 2 H t (4.52) ou [ 2 ] y 2 + ω2 µ 0 (µ xx + µ zz )ε 0 (ε xx + ε zz ) H t = jωε 0 (ε xx + ε zz ) t E y + y th y, (4.53) substituindo 4.44 a 4.46 em 4.53,tem-se: então, [k 2 0(µ xx + µ zz )(ε xx + ε zz ) + k 2 y] H t = jωε 0 (ε xx + ε zz ) t E y + y t H y, (4.54) H t = ( 1 [k0 2(µ xx + µ zz )(ε xx + ε zz ) + ky] 2 jωε 0 (ε xx + ε zz ) t E y + y th y ). (4.55)

59 Capítulo 4. Método LTT - Aplicado a Metamateriais 42 Da equação 4.48 tem-se: ou então, [ ] 1 E t = E x + E z = [k0 2(µ xx + µ zz )(ε xx + ε zz ) + ky] 2 [ ( y x ˆx + ) ( E y jωµ 0 (µ xx + µ zz ) zẑ x ˆx + ) ] H y, zẑ [ ] 1 E t = E x + E z = [k0 2(µ xx + µ zz )(ε xx + ε zz ) + ky] 2 [ 2 y x E y ˆx + 2 ( y z E y ẑ + jωµ 0 (µ xx + µ zz ) H x y ẑ + )] H z y ˆx, (4.56) (4.57) E x = [ 1 2 ] [k0 2(µ xx + µ zz )(ε xx + ε zz ) + ky] 2 y x E y + jωµ 0 µ xx H z y + jωµ 0 µ zz H z y, (4.58) e E z = [ 1 2 ] [k0 2(µ xx + µ zz )(ε xx + ε zz ) + ky] 2 y z E y jωµ 0 µ xx H x y jωµ 0 µ zz H x y. (4.59) De maneira análoga, para a equação 4.55, tem-se: ou então, [ ] 1 H t = H x + H z = [k0 2(µ xx + µ zz )(ε xx + ε zz ) + ky] 2 [ ( y x ˆx + ) ( H y + jωε 0 (ε xx + ε zz ) zẑ x ˆx + ) ] E y, zẑ [ ] 1 H t = H x + H z = [k0 2(µ xx + µ zz )(ε xx + ε zz ) + ky] 2 [ 2 H y x y ˆx + 2 ( H y z y ẑ + jωε 0 (ε xx + ε zz ) x E y ẑ )] z E y ˆx, (4.60) (4.61)

60 Capítulo 4. Método LTT - Aplicado a Metamateriais 43 H x = [ 1 2 ] [k0 2(µ xx + µ zz )(ε xx + ε zz ) + ky] 2 H y x y jωε 0 ε xx z E y jωε 0 ε zz z E y, (4.62) e H z = [ 1 2 ] [k0 2(µ xx + µ zz )(ε xx + ε zz ) + ky] 2 H y z y + jωε 0 ε xx x E y + jωε 0 ε zz x E y. (4.63) Das equações 4.58, 4.59, 4.62, 4.63 chega-se as equações gerais para microfita com substrato metamaterial: Ẽ x = [ ] 1 [γ 2 + k0 2(µ jα n + ωµ 0 µ xx β k H y + ωµ 0 µ zz β k H y ; (4.64) xx + µ zz )(ε xx + ε zz )] yẽy Ẽ z = [ ] 1 [γ 2 + k0 2(µ jβ k ωµ 0 µ xx α n H y ωµ 0 µ zz α n H y ; (4.65) xx + µ zz )(ε xx + ε zz )] yẽy H x = [ ] 1 [γ 2 + k0 2(µ jα n xx + µ zz )(ε xx + ε zz )] y H y ωε 0 ε xx β k Ẽ y ωε 0 ε zz βkẽ y ; (4.66) H z = Nas quais: [ ] 1 [γ 2 + k0 2(µ jβ k xx + µ zz )(ε xx + ε zz )] y H y + ωε 0 ε xx α n Ẽ y + ωε 0 ε zz α n Ẽ y. (4.67) k 2 y = γ 2, (4.68) γ 2 = α 2 n + β 2 k k2 i, (4.69) k 2 i = ω 2 µε, (4.70)

61 Capítulo 4. Método LTT - Aplicado a Metamateriais 44 x = jα n, (4.71) e para a região de metamaterial, tem-se: z = jβ k, (4.72) k 2 i = ω 2 µ 0 ε 0 µ yy ε yy. (4.73) 4.3 Conclusões Foi apresentado o desenvolvimento matemático e a determinação dos campos eletromagnéticos gerais para ressoador de microfita com substrato metamaterial, utilizando-se o Método da Linha de Transmissão Transversa. Tal processo constitui-se em inovação no estudo dessas estruturas, pois possibilita a sua caracterização através de um método de análise rigorosa.

62 Capítulo 5 Campos Eletromagnéticos na Antena de Microfita Retangular Com Substrato Metamaterial 5.1 Introdução Nesse capítulo é apresentado o desenvolvimento das equações dos campos eletromagnéticos para uma antena de microfita retangular com substrato metamaterial, para tanto é usado o método da linha de transmissão transversa, pois a análise através de métodos de onda completa se faz necessária para a obtenção de resultados exatos e eficientes. Partindo-se das equações de Maxwell, as componentes dos campos elétrico e magnético Ẽ x, Ẽ z, H x, H z são escritos em função das componentes Ẽ y e H y no domínio da transformada de Fourier. Tomando-se uma solução geral da equação de onda de Helmohltz (será vista adiante), e aplicando-se as condições de contorno adequadas, são obtidas as constantes envolvidas nessa solução em função do campo elétrico fora da fita, que são aplicadas às equações tangenciais resultando em uma equação matricial não homogênea envolvendo as densidades de corrente na fita. Em seguida aplica-se o método dos momentos, as densidades de corrente são expandidas em funções de base, obtendo-se uma equação matricial homogênea. A solução não-trivial desse sistema é a equação característica da estrutura, cujas raízes permitem a obtenção da freqüência de ressonância complexa da antena e os campos tangenciais à fita, que servirão de subsídio para o cálculo dos campos distantes da antena. O procedimento descrito pode ser sintetizado através do fluxograma 5.1.

63 Capítulo 5. Campos Eletromagnéticos na Antena de Microfita Com Substrato MTM 46 Figura 5.1: Fluxograma descritivo das etapas a serem realizadas nesse capítulo. 5.2 Antena de Microfita Retangular com Substrato Metamaterial O dispositivo em estudo é composto por um patch metálico retangular sobre um substrato metamaterial que tem na parte inferior uma lâmina condutora conhecida como plano de terra, conforme figura 5.2. Figura 5.2: Antena retangular de microfita com substrato metamaterial. Durante a análise o efeito da espessura da lâmina condutora é desprezado e são considerados os parâmetros dimensionais e eletromagnéticos da estrutura e o sistema cartesiano,

64 Capítulo 5. Campos Eletromagnéticos na Antena de Microfita Com Substrato MTM 47 conforme ilustrados nas figuras 5.3 e 5.4. Figura 5.3: Seção transversal de uma antena de microfita com patch de largura W. Figura 5.4: Vista superior de uma antena de microfita com patch de largura W e comprimento l. 5.3 Determinação das Equações dos Campos Eletromagnéticos Nessa seção, são desenvolvidas detalhadamente as soluções das equações de ondas para antena de microfita com substrato metamaterial na região 1. Para região 2 é considerado o espaço livre. Das equações de Maxwell tem-se: E = jωµ H, (5.1) e H = jωε E, (5.2) sendo para o caso de substrato metamaterial:

65 Capítulo 5. Campos Eletromagnéticos na Antena de Microfita Com Substrato MTM 48 e µ xx 0 0 µ = µ 0 0 µ yy 0, (5.3) 0 0 µ zz ε xx 0 0 ε = ε 0 0 ε yy 0. (5.4) 0 0 ε zz Como as soluções das equações de onda são feitas considerando a direção de propagação, as equações 5.3 e 5.4 se tornam: ε = ε 0 ε yy, (5.5) e µ = µ 0 µ yy. (5.6) De 5.1, calculando-se o rotacional tem-se: substituido 5.2 em 5.7, E = jωµ H, (5.7) assim, 1 E = ω 2 ε 0 ε yy µ 0 µ yy E, (5.8) ( E) 2 E = ω 2 ε 0 ε yy µ 0 µ yy E, (5.9) como a região é livre de cargas e correntes elétricas, tem-se pelas equações de Maxwell que: logo, pode-se escrever 5.9 como segue, 1 Identidade Vetorial A = ( A) 2 A E = 0, (5.10)

66 Capítulo 5. Campos Eletromagnéticos na Antena de Microfita Com Substrato MTM 49 2 E + ω 2 ε 0 ε yy µ 0 µ yy E = 0, (5.11) esta relação é válida para todas as componentes de E e, em particular para E y, ou seja: decompondo-se o operador 2, tem-se 2 E y + ω 2 ε 0 ε yy µ 0 µ yy E y = 0, (5.12) assim 5.12 é dada por: 2 = 2 x y z 2, (5.13) 2 E y x E y y E y z 2 + ω2 ε 0 ε yy µ 0 µ yy E y = 0. (5.14) Da teoria da transformada de Fourier, tem-se: e 2 E y x 2 = α2 n E y, (5.15) 2 E y z 2 = β 2 k E y. (5.16) Transformando-se 5.14 para o domínio da transformada de Fourier, tem-se: ou, ainda α 2 n E y + 2 E y y 2 β 2 k E y + ω 2 ε 0 ε yy µ 0 µ yy E y = 0, (5.17) para γ 2 = α 2 n + β 2 k k2, tem-se: 2 E y y 2 (α2 n + β 2 k k2 ) E y = 0, (5.18) com k = ω 2 ε 0 ε yy µ 0 µ yy E y. 2 E y y 2 γ2 E y = 0, (5.19) que: A equação 5.19 é a equação de onda para E y. De maneira análoga para H y, mostra-se

67 Capítulo 5. Campos Eletromagnéticos na Antena de Microfita Com Substrato MTM 50 2 H y y 2 γ2 H y = 0. (5.20) Através das equações de onda de Helmohltz apresentadas em 5.19 e 5.20 são encontradas as soluções para as componentes dos campos em y para as regiões da estrutura abaixo. Figura 5.5: Seção transversal de uma antena retangular de microfita com patch de largura W. Para região 1: Ẽ y1 = A 1e cosh(γ 1 y), (5.21) e H y1 = A 1h senh(γ 1 y). (5.22) Para região 2: Ẽ y2 = A 2e e γ 1y, (5.23) e H y2 = A 2h e γ 1y. (5.24) Substituindo as equações 5.21 e 5.22 em 4.64 a 4.67 tem-se para região 1: Ẽ x1 = j (γ k2 1 ) [α nγ 1 A 1e senh(γ 1 y) + jωβ k µ 0 (µ x1 + µ z1 )A 1h senh(γ 1 y)], (5.25) Ẽ z1 = j (γ k2 1 ) [β kγ 1 A 1e senh(γ 1 y) jωα n (µ x1 + µ z1 A 1h µ 0 )senh(γ 1 y)], (5.26) H x1 = j (γ k2 1 ) [α nγ 1 A 1h cosh(γ 1 y) jωβ k ε 0 (ε x1 + ε z1 )A 1e cosh(γ 1 y)], (5.27)

68 Capítulo 5. Campos Eletromagnéticos na Antena de Microfita Com Substrato MTM 51 H z1 = j (γ k2 1 ) [β kγ 1 A 1h cosh(γ 1 y) + jωα n ε 0 (ε x1 + ε z1 )A 1e cosh(γ 1 y)], (5.28) sendo: e k 2 1 = k 2 0(µ x1 + µ z1 )(ε x1 + ε z1 ), (5.29) γ 2 1 = α 2 n + β 2 k k2 0µ y1 ε y1. (5.30) Substituindo as equações 5.23 e 5.24 nas equações gerais do método LTT para dielétricos (Apêndice A), tem-se para região 2: Ẽ x2 = j (γ k2 2 ) [ αn γ 2 A 2e e γ 2y + jωβ k µ 2 A 2h e γ 2y ], (5.31) Ẽ z2 = j (γ k2 2 ) [ βk γ 2 A 2e e γ 2y jωα n µ 2 A 2h e γ 2y ], (5.32) H x2 = j (γ k2 2 ) [ αn γ 2 A 2h e γ 2y jωβ k ε 2 A 2e e γ 2y ], (5.33) sendo, H z2 = j (γ k2 2 ) [ βk γ 2 A 2h e γ 2y + jωα n ε 2 A 2e e γ 2y ], (5.34) k 2 2 = k 2 0µ r2 ε r2. (5.35) 5.4 Aplicação Das Condições de Contorno e Determinação das Constantes Desconhecidas Em y = g tem-se as condições de contorno dadas por Ẽ x1 = Ẽ x2 = Ẽ xg, (5.36) e Ẽ z1 = Ẽ z2 = Ẽ zg. (5.37) De 5.36 tem-se:

69 Capítulo 5. Campos Eletromagnéticos na Antena de Microfita Com Substrato MTM 52 ou j (γ k2 1 ) [α nγ 1 A 1e senh(γ 1 g) + jωβ k µ 0 (µ x1 + µ z1 )A 1h senh(γ 1 g)] (5.38) = j (γ k2 2 ) [ αn γ 2 A 2e e γ 2y + jωβ k µ 2 A 2h e γ 2y ] = Ẽ xg, De 5.37 tem-se: A 1e = j(γ2 1 + k2 1 )Ẽ xg jωβ k µ 0 (µ x1 + µ z1 )A 1h senh(γ 1 g). (5.39) α n γ 1 senh(γ 1 g) ou j (γ k2 1 ) [β kγ 1 A 1e senh(γ 1 g) jωα n µ 0 (µ x1 + µ z1 )A 1h senh(γ 1 g)] (5.40) = j (γ k2 2 ) [ βk γ 2 A 2e e γ 2y jωα n µ 2 A 2h e γ 2y ] = Ẽ zg, Substituindo 5.39 em 5.41 tem-se: A 1h = (γ2 1 + k2 1 )Ẽ zg jβ k γ 1 A 1e senh(γ 1 g). (5.41) ωα n µ 0 (µ x1 + µ z1 )senh(γ 1 g) A 1h = em decorrência, tem-se para A 1e : β k Ẽ xg α n Ẽ zg ωµ 0 (µ x1 + µ z1 )senh(γ 1 g), (5.42) e De 5.38 e 5.40 tem-se: A 1e = jα nẽxg + jβ k Ẽ zg. (5.43) γ 1 senh(γ 1 g) A 2e = j(γ2 2 + k2 2 )Ẽ xg + jωβ k µ 2 A 2h e γ 2y α n γ 2 e γ 2y, (5.44) A 2h = (γ2 2 + k2 2 )Ẽ zg + jβ k γ 2 A 2e e γ 2y ωα n µ 2 e γ 2y. (5.45)

70 Capítulo 5. Campos Eletromagnéticos na Antena de Microfita Com Substrato MTM 53 Substituindo 5.44 em 5.45 tem-se: em decorrência, tem-se para A 2e : [ ] βk Ẽ xg α n Ẽ zg A 2h = e γ2y, (5.46) ωµ 2 [ ] jαn Ẽ xg jβ k Ẽ zg A 2e = e γ2y. (5.47) γ Aplicação das Condições de Contorno Magnéticas e Determinação da Matriz Admitância Após a obtenção das constantes dos campos, é aplicada a condição de contorno magnética na interface onde se localiza a fita condutora (y = g) para a figura 5.3. As condições de contorno utilizadas são (FARIAS; FERNANDES, 1997), H x1 H x2 = J zg, (5.48) e H z1 H z2 = J xg. (5.49) A aplicação das condições de contorno 5.48 e 5.49, pode ser escrita na forma matricial, gerando uma matriz que relaciona os campos elétricos tangenciais à interface da fita e as densidades de corrente tangenciais. Essa é chamada de matriz admitância ou impedância, dependendo da forma como a equação é representada (COLLIN, 2001), (POZAR, 1998). [ ] [ ] Yxx Y xz ][Ẽxg J xg = Y zx Y zz Ẽ zg J zg [ ][ ] Zxx Z xz J xg = Z zx Z zz J zg [Ẽxg Ẽ zg ] - Matriz Admitância, (5.50) - Matriz Impedância. (5.51) Aplicando a condição de contorno magnética 5.48 tem-se:

71 Capítulo 5. Campos Eletromagnéticos na Antena de Microfita Com Substrato MTM 54 j coth(γ 1 g) (γ k2 1 ) j (γ2 2 + k2 2 ) [ ( αn Ẽ zg + β k Ẽ xg α n γ 1 ωµ 0 (µ x1 + µ z1 ) [ α n γ 2 ( αn Ẽ zg + β k Ẽ xg ωµ 2 ) jωβ k ε 0 (ε x1 + ε z1 ) ( )] jβk Ẽ zg + jα n Ẽ xg γ 1 ) jωβ k ε 2 ( jβk Ẽ zg jα n Ẽ xg γ 2 )] = J zg, (5.52) ordenando os termos de acordo com 5.50 tem-se: Y zx = jα [ nβ k γ2 coth(γ 1 g)(γ1 2 + ω2 ε 0 µ 0 (ε x1 + ε z1 )(µ x1 + µ z1 )) ωµ 0 γ 1 γ 2 (γ1 2 + k2 1 )(µ + γ 1(γ2 2 + ] ω2 ε 2 µ 2 ) x1 + µ z1 ) (γ2 2 + k2 2 ) ; (5.53) Y zz = j [ γ2 coth(γ 1 g)( αnγ ω2 βk 2ε 0µ 0 (ε x1 + ε z1 )(µ x1 + µ z1 )) ωµ 0 γ 1 γ 2 (γ1 2 + k2 1 )(µ + γ 1( αnγ ω2 βk 2ε ] 2µ 2 ) x1 + µ z1 ) (γ2 2 + k2 2 ). (5.54) Aplicando a condição de contorno magnética 5.49 tem-se: j coth(γ 1 g) (γ k2 1 ) + j (γ k2 2 ) [ ( αn Ẽ zg + β k Ẽ xg β k γ 1 ωµ 0 (µ x1 + µ z1 ) [ β k γ 2 ( αn Ẽ zg + β k Ẽ xg ωµ 2 ) + jωα n ε 0 (ε x1 + ε z1 ) ( )] jβk Ẽ zg + jα n Ẽ xg γ 1 ) + jωα n ε 2 ( jβk Ẽ zg jα n Ẽ xg γ 2 )] = J xg, (5.55) ordenando os termos de acordo com 5.50 tem-se: [ j γ2 coth(γ 1 g)(βk 2 Y xx = γ2 1 ω2 αnε 2 0 µ 0 (ε x1 + ε z1 )(µ x1 + µ z1 )) ωµ 0 γ 1 γ 2 (γ1 2 + k2 1 )(µ + γ 1(+βk 2γ2 2 ω2 α 2 ] nε 2 µ 2 ) x1 + µ z1 ) (γ2 2 + k2 2 ) ; (5.56) Y xz = Y zx. (5.57) No estudo de estruturas de microfita a análise é feita através das densidades de corrente na lâmina condutora, portanto, essas são expandidas em termos de funções de base (BAHL; BHARTIA, 2001). Sendo assim, seria necessário recalcular todas as equações dos campos para torná-las em função de J xg e J zg, entretanto, a referida sugestão pode ser simplificada, e muito, ao se inverter a equação matricial 5.50, logo:

72 Capítulo 5. Campos Eletromagnéticos na Antena de Microfita Com Substrato MTM 55 [ ] [ ] 1 Zxx Z xz Yxx Y xz =, (5.58) Z zx Z zz é importante ressaltar que a inversão matricial acima só é possível se as matrizes admitância e impedância forem simétricas, isto é, sendo [Y ] a inversa de [Z], então [Z] é a inversa de [Y ] Assim, obtêm-se a equação matricial da impedância [Z] em função das densidades de corrente [ J], na qual os termos Z xx, Z xz, Z zx, Z zz são as componentes da função diádica de Green da estrutura em estudo, dada por Y zx [ ][ ] Zxx Z xz J xg = Z zx Z zz J zg Y zz [Ẽxg Ẽ zg ]. (5.59) 5.6 Expansão das Densidades de Corrente em Termos de Funções de Base O método de Galerkin é um caso particular do método dos momentos, onde as funções de peso são consideradas iguais às funções de expansão ou funções de base (COLLIN, 2001). Assim, efetua-se o produto interno da equação matricial da impedância pelos conjugados das funções de base como será abordado mais adiante. Esse método é usado com eficiência na análise de estruturas planares na faixa de freqüências de microondas e ondas milimétricas. Para sua aplicação à estrutura em estudo, são definidas funções de base que devem representar as características físicas das distribuições de corrente na fita condutora. A escolha dessas funções é de fundamental importância para a expansão dos campos elétricos tangenciais à interface da fita condutora ou para a expansão das densidades de corrente que existem na superfície da fita condutora. Logo, condicionam a estabilidade e convergência do método dos momentos (BAHL; BHARTIA, 2001). A escolha das funções de base deve ser tal que obedeçam às condições de contorno da estrutura (BAHL; BHAR- TIA, 2001). No estudo de estruturas de microfita, tanto os campos elétricos quanto as densidades de corrente podem ser expandidos em funções de base. Como existe campo elétrico apenas fora da fita condutora, seria necessário utilizar-se de mais funções de base do que para o caso da expansão das densidades de corrente, pois a área que contém os campos (fora da fita condutora) é muito maior do que a área que contém as densidades de corrente (superfície da fita), assim é preferível expandir as densidades de corrente (que estão presentes apenas na fita condutora), pois, utiliza-se menos funções de base.

73 Capítulo 5. Campos Eletromagnéticos na Antena de Microfita Com Substrato MTM 56 Ao se obter a equação 5.59, aplica-se as funções de base adequadas para aproximar os valores das densidades de corrente à forma da função real, conforme apresentado por e J xg (x,z) = J zg (x,z) = M a xm f xm (x,z), (5.60) m=1 N a zm f zm (x,z), (5.61) m=1 onde M e N são números inteiros e positivos que podem ser feitos iguais a 1 (um) mantendo os resultados com uma ótima aproximação dos resultados reais. Fazendo-se a aproximação M = N = 1 e calculando a dupla transformada de Fourier conforme definida em (BRACEWELL, 1965) as equações 5.60 e 5.61 tomam a seguinte forma: os termos a x e a z são constantes desconhecidas. J xg (α n,β k ) = a x f x (α n,β k ), (5.62) J zg (α n,β k ) = a z f z (α n,β k ), (5.63) Para este trabalho foram utilizadas duas funções de bases nas direções cartesianas OX e OZ. As suas escolhas baseou-se em trabalhos anteriores, onde foram comprovadas as suas eficácias (FERNANDES, 1984). E são definidas por: Para a direção OZ: f z (x,z) = f z (x) f z (z), (5.64) com e que no domínio espectral são: 1 f z (x) = ( w ), (5.65) 2 2 x 2 f z (z) = cos ( πz ), (5.66) l componente espectral da função em Z, variando com a variável espectral α n ( w ) f z (α n ) = πj 0 α n, (5.67) 2

74 Capítulo 5. Campos Eletromagnéticos na Antena de Microfita Com Substrato MTM 57 componente espectral da função em Z, variando com a variável espectral β k sendo as variáveis espectrais α n e β k dadas por f z (β k ) = 2πl cos( β kl 2 ) π 2 (β k l) 2, (5.68) com e α n = n xπ b, (5.69) b = db 2, (5.70) db = 15w; (5.71) com e β k = n zπ dl, (5.72) dl = L 2, (5.73) L = 15l. (5.74) A combinação das duas componentes 5.67 e 5.68 resulta na transformada de Fourier de 5.64, como sgue: f z (α n,β k ) = 2π2 l cos( β kl 2 ) ( π 2 (β k l) 2 J 0 α n w 2 sendo J 0 a função de Bessel de primeira espécie e ordem zero. ), (5.75) Por se tratar de uma estrutura simétrica foi utilizado a mesma função de base tanto para a direção OX quanto OZ, necessariamente, fazendo as devidas adequações quanto as variáveis espectrais e as dimensões da estrutura. Conforme o supracitado tem-se para a direção OX f x (x,z) = f x (x) f x (z). (5.76) com, 1 f x (z) = ( l ), (5.77) 2 2 z 2

75 Capítulo 5. Campos Eletromagnéticos na Antena de Microfita Com Substrato MTM 58 e f x (x) = cos ( πx ), (5.78) w que no domínio espectral são: componente espectral da função em X, variando com a variável espectral β k ( ) l f x (β k ) = πj 0 β k, (5.79) 2 componente espectral da função em X, variando com a variável espectral α n f x (α n ) = 2πwcos( α nw 2 ) π 2 (α n w) 2, (5.80) a combinação das duas componentes 5.79 e 5.80 resulta na transformada de Fourier de 5.76, com abaixo: f x (α n,β k ) = 2π2 wcos( α nw 2 ) ( ) π 2 (α n w) 2 J l 0 β k. (5.81) Equação Característica e Cálculo da Freqüência de Ressonância Complexa As componentes J xg ; J zg ; Ẽ xg ; Ẽ zg da matriz impedância definida em 5.59, são funções desconhecidas, no entanto, os campos elétricos e as densidades de correntes são diferentes de zero em regiões complementares na interface do dielétrico. Logo, aplicando-se o produto interno do sistema de equações 5.59 com uma função teste existente apenas na região da fita, de acordo com o método de Galerkin - que utiliza uma função teste igual à função de base da densidade de corrente. Pode-se eliminar os campos Ẽ xg e Ẽ zg. Desde que, a função teste seja definida em uma região complementar à função de base do campo elétrico, esse produto interno é nulo fazendo com que o sistema de equações 5.59 se torne homogêneo, como segue: [ Kxx K xz K zx K zz ][ ax a z ] [ ] 0 =, (5.82) 0 os elementos da matriz [K] são: K xx = f x Z xx f x ; (5.83)

76 Capítulo 5. Campos Eletromagnéticos na Antena de Microfita Com Substrato MTM 59 K xz = K zx = K zz = f z Z xz f x ; (5.84) f x Z zx f z ; (5.85) f z Z zz f z. (5.86) O determinante da matriz de parâmetros K da equação 5.82 deve ser igual a zero para que o sistema tenha uma solução não-trivial. A equação formada por este determinante fornece uma raiz que é a Freqüência Angular de Ressonância Complexa. 5.8 Conclusão O estudo apresentado neste capítulo sobre o Ressoador Retangular de Microfita mostra uma análise dinâmica da estrutura através do método LTT, que a partir das equações de Maxwell chega-se às equações gerais dos campos eletromagnéticos, permitindo o cálculo da freqüência de ressonância complexa. Para a obtenção efetiva dos resultados propostos, foi escrito um programa computacional na linguagem FORTRAN, que através do método numérico de NEWTON RAPH- SON consegue chegar à raiz da equação característica a partir de uma aproximação inicial. As principais vantagens e contribuições do presente trabalho são a utilização de um método de onda completa para o cálculo da freqüência de ressonância de uma antena de patch retangular com substrato metamaterial, já que trata-se de uma estrutura nova, ainda não caracterizada na literatura. Além de fornecer os campos eletromagnéticos tangenciais à fita, essenciais ao cálculo dos campos distantes da antena (será visto no Cap.6). O programa desenvolvido oferece o potencial para projetar antenas de alta performance e com largo grau de liberdade de projeto, pois os parâmetros µ e ε podem assumir qualquer valor.

77 Capítulo 6 Diagrama de Radiação 6.1 Introdução Existem diversos métodos e técnicas para o cálculo dos campos distantes de uma antena de microfita, a maioria baseia-se em equações analíticas fechadas, resultado de simplificações da estrutura. Por isso, esses procedimentos incorrem em erros. Neste trabalho são determinados os campos distantes através de um método de onda completa (LTT), o que garante uma solução precisa. 6.2 Campos Distantes Primeiramente, será desenvolvida a teoria de cálculo dos campos distantes para uma antena de abertura, posteriormente, generalizada para antenas de microfita (OLIVEIRA, 1996). Considerando-se uma abertura com dimensões 2a e 2b em um plano infinito, localizada em y = 0, conforme mostrado na figura 6.1. Na região do espaço livre, o campo elétrico deve satisfazer à equação de onda de Helmholtz. ( 2 + K0 2 ) E(x,y,z) = 0, (6.1) sendo K 2 0 = ω2 µ 0 ε 0. Como a região é livre de cargas e correntes elétricas, tem-se pelas equações de Maxwell que: E = 0. (6.2)

78 Capítulo 6. Diagrama de Radiação 61 Figura 6.1: Ressoador de aberura. Da definição de transformada de Fourier (BRACEWELL, 1965), tem-se: e Ẽ(α,y,β) = E(x,y,z)e j(αx+βy) dxdy, (6.3) E(x,y,z) = 1 4π 2 Ẽ(α,y,β)e j(αx+βy) dαdβ. (6.4) Assim, aplicando-se 6.3 e 6.4 à equação 6.2, tem-se: sendo γ 2 = k 2 0 α2 β 2. ( 2 ) y 2 + γ2 Ẽ(α,y,β) = 0, (6.5) A solução geral para 6.5 é do tipo: que corresponde à radiação na direção de propagação y. Ẽ(α,y,β) = f (α,β)e jγy, (6.6) O campo elétrico, para y > 0 pode então ser representado por: ou E(x,y,z) = 1 4π 2 f (α,β)e jγy e j(αx+βy) dαdβ, (6.7)

79 Capítulo 6. Diagrama de Radiação 62 E(x,y,z) = 1 4π 2 na qual k = αâ x + γâ y + βâ z, e r = xâ x + yâ y + zâ z. f (α,β)e jk r dαdβ, (6.8) O campo elétrico, para y > 0 (Fig. 6.1), é formado pela superposição de ondas do tipo f (α,β)e jk r, havendo duas possibilidades a serem discutidas para a constante γ: (I) γ é real (α 2 + β 2 < k0 2 ), e nesse caso, as ondas são propagantes e contribuem para a energia do campo distante. (II) γ é imaginário (α 2 + β 2 > k0 2 ), aqui, as ondas são evanescentes e não contribuem para a energia do campo distante. Dessa forma, serão considerados os valores α e β para os quais α 2 + β 2 < k0 2, já que são eles que efetivamente contribuem para a energia do campo distante. Partindo-se de 6.2 e resolvendo o divergente tem-se: logo, ( f (α,β)e jk r) = 0, (6.9) f k = 0. (6.10) Assim, f y pode ser determinado a partir de f x e f z, dessa forma, conclui-se que o campo em y > 0 (Fig. 6.1), campo elétrico no espaço livre f y, é função somente das componentes tangenciais do campo elétrico na abertura f x e f z (OLIVEIRA, 1996), (DAMIANO et al., 1990). Para a estrutura em análise (Fig. 6.1) em y = 0, tem-se: E t (x,0,z) = E a (x,z) = 1 4π 2 f (α,β)e j(αx+βy) dαdβ, (6.11) na qual o índice t indica a componente tangencial, e E a (x,z) é o campo elétrico na abertura. Aplicando a transformada de Fourier, tem-se: f (α,β) = E a (x,z)e j(αx+βy) dxdz. (6.12)

80 Capítulo 6. Diagrama de Radiação 63 Da Figura 6.1, tem-se: x = r senθ cosφ, (6.13) y = r cosθ, (6.14) Assim, z = r senθ senφ. (6.15) ou k r = αx + γy + βz, (6.16) k r = αr senθ cosφ + γr cosθ + βrsenθ senφ. (6.17) A condição de fase estacionária garante que, para r muito grande (região de campos distantes), k r não varia com α e β, logo: Usando-se 6.17 e 6.18, obtem-se: k r α = 0, e k r = 0. (6.18) β e em decorrência da relação α 2 + β 2 + γ 2 = k 2 0 senθ cosφ α = γ, (6.19) cosθ senθ senφ β = γ, (6.20) cosθ e das equações 6.19 e 6.20, obetem-se: logo, γ = k 0 cosθ, (6.21) α = k 0 senθ cosφ, (6.22)

81 Capítulo 6. Diagrama de Radiação 64 e β = k 0 senθ senφ. (6.23) Princípio de Equivalência dos Campos O princípio da equivalência de campos de Schelkunoff (MARTIN, 1984) estabelece que o campo em uma região com perdas pode ser especificado através das fontes internas à região juntamente com as componentes tangenciais de campo elétrico na fronteira, ou pelas fontes internas à região mais as componentes tangenciais de campo magnético na fronteira, ou ainda, o campo elétrico tangencial em parte da fronteira e o magnético no restante. Deste princípio (MARTIN, 1984), os campos eletromagnéticos fora da superfície fechada podem ser determinados através da substituição da superfície fechada por convenientes densidades elétricas e magnéticas de corrente, conforme a Fig. 6.2 Figura 6.2: Equivalência dos campos. No gráfico (a) E 1 e H 1 são os campos gerados pelas fontes e campos E e H na superfície S 1. Em (b) E s e H s são os campos gerados pelas densidades de corrente elétrica e magnética J s e M s, respectivamente. As densidades de corrente J s e M s são dadas por: e [ ] J s = n H s H, (6.24) [ ] M s = n E s E. (6.25) Desde que H = E = 0 - princípio da equivalência de Love (OLIVEIRA, 1996), tem-se:

82 Capítulo 6. Diagrama de Radiação 65 e J s = n H s, (6.26) M s = n E s. (6.27) Considerando-se a abertura da Fig. 6.1 com área S. De acordo com o princípio da equivalência, pode-se determinar o campo distante gerado por uma fonte, a partir das três situações seguintes (MARTIN, 1984): 1. J s 0 e M s 0; 2. J s 0 e M s = 0; 3. J s = 0 e M s 0. Assim, pode-se determinar os campos elétrico e magnético para as três situações acima, encontrando-se previamente os vetores potenciais elétrico e magnético A(r) e A m (r), e em seguida expandido-os em termos de E θ e E φ. Para o primeiro caso ( J s 0 e M s 0 ), tem-se: A( r) = µ 0 4πr e jk 0 r A m ( r) = ε 0 4πr e jk 0 r Para o segundo caso ( J s 0 e M s = 0 ), tem-se: A( r) = µ 0 4πr e jk 0 r Para o terceiro caso ( J s = 0 e M s 0 ), tem-se: s s s J s ( r )e jk 0 r r dx dz, (6.28) M s ( r )e jk 0 r r dx dz. (6.29) 2 J s ( r )e jk 0 r r dx dz. (6.30) sendo A m ( r) = ε 0 4πr e jk 0 r s 2 M s ( r )e jk 0 r r dx dz, (6.31)

83 Capítulo 6. Diagrama de Radiação 66 r = x â x + z â z, (6.32) J s = â y H a, (6.33) e M s = â y E a. (6.34) Encontrados os potenciais elétricos e magnéticos, pode-se determinar os campos distantes a partir das equações e E θ = jωa θ jωη 0 A mφ, (6.35) E φ = jωa φ jωη 0 A mθ, (6.36) nas quais η 0 é a impedância intrínceca do espaço livre. Através da definição de transformada de Fourier, equações 6.22, 6.23, 6.28 e 6.36, obtém-se as equações para o campo elétrico distante de acordo com as fontes consideradas ( J s 0 e M s 0; J s 0 e M s = 0; J s = 0 e M s 0), assim tem-se: 1. J s 0 e M s 0: e E θ = jk 0e jk 0 r 4π r [Ẽxg cosφ + Ẽ zg senφ + η 0 cosθ( H zg cosφ H xg senφ) ], (6.37) E φ = jk 0e jk 0 r 4π r 2. J s 0 e M s = 0: [ (Ẽzg cosφ Ẽ xg senφ)cosθ η 0 ( H zg senφ + H xg cosφ) ] ; (6.38) e E θ = jk 0η 0 e jk 0 r 2π r ( H zg cosφ H xg senφ ) cosθ, (6.39)

84 Capítulo 6. Diagrama de Radiação J s = 0 e M s 0: E φ = jk 0η 0 e jk 0 r 2π r ( H zg senφ + H xg cosφ ) ; (6.40) e E θ = jk 0e jk 0 r 2π r (Ẽxg cosφ + Ẽ zg senφ ), (6.41) E φ = jk 0e jk 0 r 2π r (Ẽzg cosφ Ẽ xg senφ ) cosθ. (6.42) Nas equações acima os termos Ẽ xg e Ẽ zg, H xg e H zg são respectivamente as componentes do campo elétrico e magnético tangenciais à fita, no domínio da transformada de Fourier. Em ambas as funções os índices x e z indicam as direções cartesianas Campos Tangenciais à Fita Os campos tangenciais à fita (Ẽ xg e Ẽ zg ) na interface superior da antena são determinados a partir do método LTT em conjunto com o método de Galerkin, a precisão de tal procedimento depende da escolha minuciosa das funções de bases adequadas, conforme ilustrado no Cap. 5. De posse da equação característica da antena 5.82, foram determinadas as constantes desconhecidas a x e a z contidas nas equações de expansão das densidades de corrente 5.60 e 5.61 com o objetivo de determinar as densidades de corrente na fita. Assim determinou-se os campos tangenciais a partir do sistema de equações [ ] [ ] Yxx Y xz ][Ẽxg J xg =. (6.43) Y zx Y zz Ẽ zg J zg Campos Distantes para uma Antena Retangular de Microfita A radiação na região de campos distantes para uma antena de microfita pode ser entendida com o auxílio do sistema de coordenadas esféricas mostrado na figura 6.3. A direção vertical é dada pelo eixo y é a horizontal pelo plano xz, θ e φ são os ângulos de elevação e azimute respectivamente. Assim xy é o plano de elevação (φ = 0) ou plano-h, o qual contém o vetor campo magnético na direção de máxima propagação. Enquanto xz

85 Capítulo 6. Diagrama de Radiação 68 é o plano azimutal ( θ = π 2 ) ou Plano-E, onde ocorre a direção de máxima propagação do vetor campo elétrico (BALANIS, 1997). Desta forma define-se: Plano E ( θ = 90, 0 < φ < 90 e 270 < φ < 360 ), Plano H ( φ = 0, 0 < θ < 180 ). Figura 6.3: Campos distantes no sistema de coordenadas esféricas. Para antenas de microfita, tem-se o modelo de radiação através de aberturas laterais e, portanto, as expressões para o campo distante são dadas através das equações e E θ = jk 0e jk 0 r 2π r (Ẽxg cosφ + Ẽ zg senφ ), (6.44) 6.3 Conclusão E φ = jk 0e jk 0 r 2π r (Ẽzg cosφ Ẽ xg senφ ) cosθ. (6.45) Nesse capítulo foi demonstrado o cáculo dos campos distantes para uma antena de abertura, utilizando-se da condição de fase estacionária, e em seguida, generalizado para o caso de uma antena de microfita. A equação geral encontrada para os campos no