OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL MEDIANTE PROGRAMAÇÃO SEMIDEFINIDA. Elmer Giovanni Bazán Córdova

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1 OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL MEDIANTE PROGRAMAÇÃO SEMIDEFINIDA Elmer Giovanni Bazán Córdova Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Mecânica. Orientador: José Herskovits Norman Rio de Janeiro Junho de 2012

2 OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL MEDIANTE PROGRAMAÇÃO SEMIDEFINIDA Elmer Giovanni Bazán Córdova DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA MECÂNICA. Examinada por: Prof. José Herskovits Norman, Dr.Ing. Prof. Fernando Pereira Duda, D.Sc. Prof. Antonio André Novotny, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL JUNHO DE 2012

3 Córdova, Elmer Giovanni Bazán Otimização estrutural mediante programação semidefinida/elmer Giovanni Bazán Córdova. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, XI, 64 p.: il.; 29, 7cm. Orientador: José Herskovits Norman Dissertação (mestrado) UFRJ/COPPE/Programa de Engenharia Mecânica, Referências Bibliográficas: p Otimização estrutural. 2. Programação semidefinida. 3. Algoritmo do ponto interior. I. Norman, José Herskovits. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Mecânica. III. Título. iii

4 A meus pais, Elmer e María, pelo carinho e constante apoio iv

5 Agradecimentos Ao Prof. José Herskovits, pela orientação, apoio e conhecimentos transmitidos ao longo da realização deste trabalho. Ao Prof. Nelson Maculan, pelo apoio e motivação para fazer o curso de Mestrado na UFRJ. Ao Prof. Miguel Aroztegui, pela amizade e apoio na realização deste trabalho. Aos colegas e amigos do Laboratório OptimizE: Arminda, Henry, Jorge, Mario, Helena e Elielson. Agradeço à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pelo suporte financeiro. v

6 Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) OTIMIZAÇÃO ESTRUTURAL MEDIANTE PROGRAMAÇÃO SEMIDEFINIDA Elmer Giovanni Bazán Córdova Junho/2012 Orientador: José Herskovits Norman Programa: Engenharia Mecânica As técnicas de programação semidefinida (SDP) são muito eficientes na solução de problemas de otimização estrutural [1]. Um problema clássico em otimização estrutural consiste em minimizar o peso da estrutura sob certas restrições que podem ser as frequências naturais assim como a complacência. Apresenta-se, neste trabalho, uma reformulação do algoritmo FDIPA-SDP para resolver problemas de otimização estrutural, sem mudar a estrutura das matrizes empregadas na análise estrutural pelo método dos elementos finitos (MEF). O algoritmo apresentado baseia-se no algoritmo de pontos interiores proposto por Aroztegui [2], que resolve as condições de otimalidade de Karush-Kuhn-Tucker para SDP, empregando-se iterações tipo Newton. Finalmente, são apresentados exemplos numéricos em aplicações de otimização estrutural. vi

7 Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) SEMIDEFINITE PROGRAMMING FOR STRUCTURAL OPTIMIZATION Elmer Giovanni Bazán Córdova June/2012 Advisor: José Herskovits Norman Department: Mechanical Engineering The Semidefinite Programming Techniques (SDP) are very efficient in solving structural optimization problems. A classic problem in structural optimization consists on minimizing the weight of the structure under certain constraints that may be related to the natural frequencies as well as the compliance. In this work, a reformulation of the algorithm FDIPA-SDP to solve structural optimization problems is presented without changing the structure of the matrices used in structural analysis by the finite element method (FEM). The algorithm presented is based on the interior point algorithm proposed by Aroztegui [1] that solves the Karush-Kuhn-Tucker SDP optimality conditions employing Newton-like iterations. Finally, numerical examples are presented in structural optimization applications. vii

8 Sumário Lista de Figuras Lista de Tabelas x xi Introdução 1 1 Preliminares Notações Programação matemática Matrizes SDP Funções Vetores e Matrizes Produto de Kronecker Produto de Kronecker Produto Simétrico de Kronecker Transformação linear Complacência Complemento de Schur Programação Matemática Método dos Elementos Finitos Formulação do problema de Otimização Estrutural Introdução Componentes de um problema de Otimização Estrutural Identificação e definição das variáveis de projeto Definição da função objetivo (função custo) Identificação e definição das restrições Tipos de problemas de Otimização Estrutural Otimização Dimensional Otimização de Forma Otimização Topológica Problema de otimização não linear viii

9 2.4.1 Notações e Definições Condições de otimalidade de primeira ordem (KKT) Programação semidefinida (SDP) Formulação tradicional do problema de volume mínimo Problema de autovalores Propriedades do λ min Formulação SDP do problema de volume mínimo Algoritmo de pontos interiores e direções viáveis (FDIPA) Introdução Descrição do algoritmo FDIPA Hipóteses e Definições Cálculo da direção de busca Direção viável Busca Linear Algoritmo FDIPA Algoritmo de pontos interiores e direções viáveis para programação semidefinida (FDIPA-SDP) Introdução Notações e definições Condições de otimalidade de primeira ordem de KKT Descrição do algoritmo FDIPA-SDP Matriz do sistema linear Cálculo da direção de busca Direção viável Busca linear Atualização Algoritmo FDIPA-SDP Testes Numéricos Exemplo 1 - Problema Exemplo 2 - Treliça de 10 barras Exemplo 3 - Treliça de 10 barras sujeita a restrições de deslocamento 57 6 Conclusões 60 Referências Bibliográficas 62 ix

10 Lista de Figuras 1 Processo de Otimização Estrutural Função convexa Função semi-contínua superiormente Exemplo de uma função semi-contínua superiormente Padrão esparso do produto de Kronecker das matrizes A e I Padrão esparso do produto simétrico de Kronecker das matrizes A e I Uma treliça bidimensional Definição do elemento barra bidimensional Co-senos diretores Condições de KKT do problema Possível descontinuidade do λ min Direção de busca do algoritmo FIDPA Busca Linear de Armijo Convergência do algoritmo FDIPA-SDP para o Exemplo Treliça de 10 barras com carregamento simples Otimização da treliça de 10 barras do Exemplo Convergência do algoritmo FDIPA-SDP para o Exemplo Otimização da treliça de 10 barras para o Exemplo Convergência do algoritmo FDIPA-SDP da treliça de 10 barras do exemplo x

11 Lista de Tabelas 5.1 Otimização do exemplo Evolução da redução do volume da estrutura do Exemplo Estrutura ótima obtida para a treliça de 10 barras do exemplo Evolução da redução do volume da estrutura do Exemplo Estrutura ótima obtida para a treliça de 10 barras do exemplo xi

12 Introdução Neste trabalho, apresenta-se um modelo de otimização estrutural para minimizar o peso de estruturas de treliças mediante a implementação da programação semidefinida ao algoritmo FDIPA (Feasible Direction Interior Point Algorithm), considerando como restrições as frequências naturais da estrutura, a complacência e os deslocamentos dos nós. A otimização estrutural tem como objetivo a busca de uma estrutura viável que minimize uma função custo e verifique um conjunto de restrições. A função custo mais comumente utilizada na engenharia é o peso total da estrutura sob restrições mecânicas impostas, sejam elas estáticas ou dinâmicas [3]. A otimização de forma e tamanho de estruturas com restrições de frequência natural é muito útil quando se deseja melhorar o comportamento dinâmico destas [4]. Um problema de programação semidefinida linear (SDP) é um problema de minimização de uma função linear sobre restrições lineares tais que as variáveis são matrizes semidefinidas positivas [1]. Se a função ou as restrições são não lineares o problema se denomina programação semidefinida não linear (NL-SDP) [2]. Uma aplicação da programação semidefinida, que recebeu menos atenção foi o projeto estrutural, onde os problemas mais conhecidos são problemas de otimização estrutural [5]. Neste caso, existem duas variantes: Minimizar o peso da estrutura tal que sua frequência natural permanece acima de um valor crítico; Minimizar a complacência (trabalho feito pelas forças externas) da treliça, sujeita a um conjunto de forças que a estrutura tem que suportar. Recentemente, tem-se encontrado algumas aplicações no campo da otimização estrutural. Para estruturas tais como treliças, placas com deformação plana, pórticos planos, placas com seção transversal sanduíche, etc., as matrizes de rigidez e massa são funções lineares das variáveis de projeto e os problemas de otimização com restrições de frequências naturais e complacência podem ser formuladas por SDP [1]. 1

13 A otimização estrutural tem que seguir um esquema coerente, definido por CASTELEIRO [6], nos seguintes termos: Formulação do problema de Otimização A otimização estrutural pode ser definida como um problema geral de programação matemática, como a minimização de uma certa função objetivo (peso estrutural, concentração de tensões, custo, etc.), sujeita a restrições que devem ser respeitadas, expressas geralmente como desigualdades em função das variáveis de projeto que definem o comportamento estrutural (esforços, tensões, deslocamentos inferiores a certos valores admissíveis, limitações geométricas, etc.). Geração de um modelo de Otimização Definição da estrutura através de um conjunto de variáveis de projeto que determinam suas propriedades, de modo que se possa realizar sua análise mediante um determinado procedimento de cálculo estrutural e assim obter a informação necessária para o planejamento do problema de otimização (tensões, deslocamentos, etc.). Novos métodos de solução de problemas Desenvolvimento e aplicação de novos métodos de solução de problemas de programação matemática. A estrutura apresentada na Figura 1 é utilizada para ilustrar o processo de otimização estrutural descrito por CASTELEIRO [6]. Trata-se de uma treliça de três barras, onde a função objetivo é o peso da estrutura, com peso inicial W i, e as variáveis de projeto são as áreas das barras A 1, A 2 e A 3 e o ângulo α. A estrutura está sujeita a uma carga P dada e considera-se como restrição a tensão máxima admissível σ máx. Depois da realização do processo de otimização, mediante alguma técnica de programação matemática, os resultados mostraram que as áreas das barras 1 e 3, na configuração final da estrutura, são maiores que na configuração inicial e o valor da área da barra 2 tornou-se nulo, portanto, o peso final da estrutura foi reduzido em 10%, ou seja, W f = 0, 9W i. Estado da arte WEI et al. [4] utilizaram algoritmos genéticos paralelos para otimizar as dimensões e forma das estruturas de treliças com restrições de frequência natural e minimizaram o peso da estrutura evitando os efeitos da ressonância causada por excitações externas. 2

14 Função Objetivo: Variáveis do projeto: Dados: Dados: Figura 1: Processo de Otimização Estrutural 3

15 AROZTEGUI [2] utilizou uma técnica de programação semidefinida não linear na otimização estrutural de materiais lineares elásticos e propôs um novo modelo de otimização de estruturas planas, no qual minimiza-se o volume de estruturas planas com restrições definidas sobre o tensor de elasticidade e restrições locais de tensão ou deslocamento. ACHTZINGER e KOCVARA [7] formularam diferentes problemas de otimização topológica de estruturas discretas, mediante a programação semidefinida: o problema de minimização do peso da estrutura para diferentes casos de carregamento, o problema de maximização do autovalor mínimo da estrutura e, o problema de minimização da complacência (maximização da rigidez) estrutural. BEN-TAL e NEMIROSKI [8] apresentaram uma formulação SDP para o projeto topológico robusto de estruturas com restrições de complacência. OHSAKI et al. [9] mostraram que as treliças ótimas com multiplicidade de frequências naturais podem ser obtidas sem dificuldades através da técnica de programação semidefinida, e o método pode ser estendido a restrições de flambagem. Objetivos Este trabalho ter como objetivos: Otimizar uma estrutura de treliças fazendo uso da técnica de programação semidefinida; Reduzir o peso de uma estrutura de treliças tendo como restrições as frequências naturais e os deslocamentos; Implementar o algoritmo de pontos interiores e direções viáveis para programação semidefinida (FDIPA-SDP); Mostrar resultados numéricos para o problema de otimização estrutural. Organização do trabalho O trabalho está organizado em seis capítulos, distribuídos da forma que sigue: No capítulo 1, apresentam-se algumas notações e definições matemáticas necessárias ao desenvolvimento dos conceitos para a formulação de problemas de programação semidefinida não linear, e também, uma introdução ao método dos elementos finitos para a solução da análise estrutural de treliças. No capítulo 2, apresenta-se a formulação do problema de otimização estrutural, em duas versões: a formulação tradicional e a formulação para programação semidefinida. 4

16 No capítulo 3, apresenta-se o algoritmo FDIPA para resolver problemas de otimização não linear da forma: minimizar f (x) x R n sujeito a: g (x) 0 onde, x R n é o vetor das variáveis de projeto, f : R n R é a função objetivo e, g : R n R m é a função das restrições de desigualdade. Neste capítulo, são definidos os conceitos de programação matemática não linear e o fundamento teórico necessário para a compreensão do método, que é a base do algoritmo de programação semidefinida. forma: No capítulo 4, apresenta-se o algoritmo FDIPA-SDP para resolver problemas da minimizar f (x) x R n sujeito a: G (x) 0 onde, x R n é o vetor das variáveis de projeto, f : R n R é a função objetivo e, G : R n S m é um mapeamento de R n no espaço S m das matrizes reais simétricas m m. A partir da implementação do algoritmo FDIPA-SDP apresentam-se, no capítulo 5, exemplos numéricos que mostram a utilização prática da formulação de problemas SDP em comparação com a formulação tradicional. Os exemplos numéricos mostrados são os seguintes: um problema teste algébrico da coleção de problemas teste de Schittkowski [10] e, dois problemas de otimização estrutural nos quais consideram-se restrições de complacência, frequência natural e deslocamentos. Finalmente, no capítulo 6, são apresentadas as conclusões e as sugestões para trabalhos futuros. 5

17 Capítulo 1 Preliminares Neste capítulo, apresentam-se algumas notações e definições que serão utilizadas ao longo deste trabalho. 1.1 Notações Programação matemática Um problema de otimização não linear sujeito a restrições de desigualdade pode ser formulado da seguinte maneira: minimizar f (x) x R n sujeito a: g (x) 0 (1.1) onde, a função f : R n R é chamada a função objetivo e, g : R n R m é a função das restrições de desigualdade. Denote-se por n o número de variáveis de projeto e m o número de restrições de desigualdade. O vetor das variáveis de projeto é denotado por x = [ x 1,..., x n ] T e o vetor de restrições é denotado por g (x) = [ g 1 (x),..., g m (x)] T. O vetor gradiente de uma função f : R n R é denotado por: [ f (x) f (x) =,..., x i ] T f (x) R n (1.2) x n As derivadas parciais de g i em relação a x i são agrupadas na matriz g (x) R n m denotada por: g (x) = [ ] g 1 (x),..., g m (x) (1.3) 6

18 A Hessiana de f em x é denotada por: 2 f (x)... x f (x) = f (x)... x n x 1 2 f (x) x 1 x n. 2 f (x) x 2 n (1.4) onde as componentes 2 f(x) x i x j, i, j = 1,..., n são as derivadas parciais de segunda ordem da função f Matrizes SDP Para matrizes definidas (ou semidefinidas) positivas, o conjunto de matrizes simétricas de ordem n n é denotado por S n. A matriz A é chamada semidefinida positiva se x T Ax 0 para todo x R n e é chamada definida positiva se x T Ax > 0 para todo x 0 R n. O conjunto de matrizes semidefinidas positivas denota-se por S+ n e o conjunto de matrizes definidas positivas denota-se por S++. n 1.2 Funções Definição (Conjunto Convexo). Seja C um subconjunto de R n. C é um conjunto convexo se, para qualquer par de pontos x, y C, e para qualquer λ [0, 1], o ponto λx + (1 λ) y pertence também a C. Definição (Função Convexa). Uma função f : C R definida em um conjunto convexo C é convexa se, e somente se, para todo x, y C e para λ [0, 1], se verifica que: f (λx + (1 λ)y) λf (x) + (1 λ) f (y) (1.5) Se para todo λ (0, 1) e x y e λ (0, 1) vale que: f (λx + (1 λ)y) < λf (x) + (1 λ) f (y) (1.6) diremos que f é estritamente convexa. Definição (Função quasiconvexa). Uma função f é quasiconvexa se, e somente se, para qualquer x e y, e para qualquer λ [0, 1], a seguinte desigualdade é satisfeita: f (λx + (1 λ)y) max {f (x), f (y)} (1.7) 7

19 Figura 1.1: Função convexa Definição (Função semi-contínua superiormente). Uma função f : X R diz-se semi-contínua superiormente (scs) [11] no ponto a X quando, para cada c > f (a) dado, existe δ > 0 tal que x X, x a < δ implica f (x) < c. Figura 1.2: Função semi-contínua superiormente Exemplo Seja a função: 1, x < 0 f (x) = 1, x 0 semi-contínua superiormente em x 0 = 0, como mostra-se na Figura

20 Figura 1.3: Exemplo de uma função semi-contínua superiormente 1.3 Vetores e Matrizes Definição (Matriz Identidade). Uma matriz identidade é uma matriz diagonal onde seus elementos são todos iguais a um, isto é: I n =..... (1.8) Definição (Matriz Simétrica). Uma matriz quadrada A R n n é chamada simétrica se a matriz e sua transposta são iguais, isto é: A T = A (1.9) Definição (Matriz esparsa). Uma matriz é esparsa quando o número de elementos nulos é muito maior que o número de elementos não nulos. Definição (Menores principais de uma matriz). Seja uma matriz quadrada A R n n. Define-se M i como uma submatriz de A formada por as i-primeiras filas e as i-primeiras colunas de A. Os menores principais de A são os determinantes das submatrizes M 1, M 2,..., M n. Exemplo Seja a matriz A: A =

21 Definem-se as submatrizes de A como: M 1 = ( 1), M2 = , M 3 = Portanto, os menores principais da matriz A são: M 1 = 1, M 2 = 3, M 3 = 0 Definição (Matriz Definida Positiva). Uma matriz M R n n é definida positiva quando: v T Mv > 0 (1.10) para qualquer v 0 R n. Teorema (Propriedades de uma matriz definida (ou semidefinida) positiva). Seja X S n. Os seguintes enunciados são equivalentes: 1. X S+ n ou X 0 (X é semidefinida positiva); 2. z T Xz 0, z R n ; 3. λ min (X) 0, onde λ min é o menor autovalor da matriz X; 4. Todos os menores principais do X são não negativos; 5. X = LL T para algum L R n n é chamada descomposição de Cholesky da matriz X. Demonstração. Ver [12]. Definição Para toda matriz simétrica U de ordem n n, o vetor vec (U) R n2 define-se como: vec (U) = (u 11,..., u n1, u 12,..., u n2, u 1n,... u nn ) T (1.11) Exemplo Seja a matriz A = Logo vec (A) = [ ] T 1, 1, 2, 1, 2, 4, 2, 4, 3 10

22 Definição Para toda matriz simétrica U de ordem n n, o vetor svec (U) R 1 2 n(n+1) define-se como: svec (U) = ( u 11, 2u 21,..., 2u n1, u 22, 2u 32,..., 2u n2,..., u nn ) T (1.12) tal que: svec (U) T svec (U) = tr ( U T U ) = vec (U) T vec (U) (1.13) Exemplo Seja a matriz A do exemplo anterior, logo: svec (A) = [ 1, 2, 2 2, 2, 4 ] T 2, 3 Definição (Traça de uma matriz). Para uma matriz quadrada A de ordem n, define-se a traça da matriz A como a soma dos elementos da diagonal de A, isto é: tr (A) = n a ii (1.14) i=1 Teorema Sejam A R n n e B R n n. Os seguintes enunciados são equivalentes: n 1. tr (A) = λ i (A) i=1 2. tr (A) = tr(a T ) 3. tr (AB) = tr (BA) 4. tr(ab T ) = vec (A) T vec (B) = n a ij b ij i,j=1 Demonstração. Ver [5]. Definição (Produto interno de matrizes). O produto interno entre matrizes em R m n define-se a partir do produto, a transposta e a traça de matrizes, isto é: A B = A, B = tr ( A T B ) n m = a ij b ij, A, B R m n (1.15) i=1 j=1 Exemplo Sejam as matrizes: A = 1 3, B = o produto interno é: A, B = tr ( A T B ) = 2 11

23 Definição (Norma de uma matriz). Define-se a norma Frobenius em R m n da matriz A, denotada por A F como: 1/2 m n A F = (a ij ) 2 i=1 j=1 (1.16) onde A R m n. interno como: A norma de Frobenius em R n n define-se através do produto A = A, A = tr (AA T ) (1.17) a qual satisfaz as seguintes condições: 1. A > 0 se A O, e O = 0, onde O é a matriz com todos seus elementos nulos; 2. ca = c A, para todo c R; 3. A + B A + B ; 4. AB A B. Demonstração. Ver [13]. Definição (Valores próprios e vetores próprios). Um problema de valor próprio (ou autovalor) é definido como: Ay = λy (1.18) onde, A R n n. Deseja-se encontrar uma solução não trivial, ou seja, quer se encontrar um vetor próprio (ou autovetor) não nulo e o correspondente valor próprio λ que satisfaz a Equação A Equação 1.18 pode ser escrita como: (A λi) y = 0 (1.19) Uma solução não nula para y poderá ser obtida quando A λi seja uma matriz singular, ou seja: det (A λi) = 0 (1.20) A Equação 1.20 é chamada Equação característica. Pode-se encontrar as n raízes ou valores próprios λ 1, λ 2,..., λ n. Denote-se por λ min = λ 1 o menor autovalor e λ max = λ n o maior autovalor. Para cada valor próprio λ i, o vetor próprio associado y i pode ser obtido da Equação 1.19, isto é: (A λ i I) y i = 0 (1.21) 12

24 1.4 Produto de Kronecker Produto de Kronecker Define-se o produto de Kronecker [5] de duas matrizes G R m n e K R r s, pela matriz bloco de ordem mr ns, da forma: G K = [g ij K], i = 1,..., m, j = 1,..., n (1.22) Teorema Sejam K, L, G e H matrizes reais: 1. (G K) vec (H) = vec ( KHG ) T ; 2. (G K) T = G T K T ; 3. (G K) 1 = G 1 K 1 ; 4. (G K) (H L) = (GH) (KL). Demonstração. Ver [12]. Exemplo Sejam as matrizes A e B, tais que: A = 1 2, B = O produto de Kronecker é: C = A B = Produto Simétrico de Kronecker O produto simétrico de Kronecker [5] de duas matrizes G R n n e K R n n (não necessariamente simétricas), é uma aplicação (G s K) definida por: (G s K) u = 1 2 svec ( KUG T + GUK T ) (1.23) onde, u é um vetor tal que u = svec(u), sendo U uma matriz simétrica n n. Note que (G s K) é um operador linear definido implicitamente na Equação Considerando a matriz ortogonal Q R 1 2 n(n+1) n2 com a propriedade seguinte: Qvec (U) = svec (U) e Q T svec (U) = vec (U), U S n, (1.24) 13

25 a representação matricial de G s K pode ser caracterizada como no seguinte resultado. Teorema Seja Q R 1 2 n(n+1) n2 a única matriz ortogonal que satisfaz a Equação Para qualquer G R n n e K R n n tem-se: G s K = 1 2 Q (G K + K G) QT (1.25) Demonstração. Ver [5]. No próximo exemplo apresentaremos uma comparação entre o produto de Kronecker e o produto simétrico de Kronecker. Exemplo Sejam as matrizes A e I, onde a matriz A é uma matriz em banda e a matriz I é uma matriz identidade, com as formas seguintes: A = e I = As Figuras 1.4 e 1.5 abaixo, mostram o padrão esparso do produto de Kronecker e do produto simétrico de Kronecker das matrizes A e I respectivamente. Observando a distribuição dos elementos em cada uma das figuras, pode-se concluir que o custo computacional, no caso do produto de Kronecker é menor do que no caso do produto simétrico de Kronecker. 14

26 O padrão esparso foi obtido pelo comando spy do MATLAB nz = 580 Figura 1.4: Padrão esparso do produto de Kronecker das matrizes A e I nz = 535 Figura 1.5: Padrão esparso do produto simétrico de Kronecker das matrizes A e I. 15

27 1.5 Transformação linear Uma transformação (ou mapeamento) T é uma aplicação, que satisfaz: 1. T (u + v) = T (u) + T (v), para todo u, v no domínio de T ; 2. T (cu) = ct (u), para todo u e todo escalar c. Demonstração. Ver [12]. 1.6 Complacência Define-se a complacência W [1] como o trabalho externo equivalente à energia de deformação: ( W = p T u = u T Ku = 2 p T 1 ) 2 ut Ku = p T K 1 p (1.26) 1.7 Complemento de Schur Teorema Seja a matriz: M = A B T B (1.27) C onde A é uma matriz definida positiva é C é uma matriz simétrica, então a matriz: D = C B T A 1 B (1.28) é chamada o complemento de Schur de A em M. equivalentes: Os seguintes enunciados são M é definida (ou semidefinida) positiva. D é definida (ou semidefinida) positiva. Demonstração. Ver [5]. 1.8 Programação Matemática Definição (Região viável). Define-se Ω o conjunto de pontos viáveis do problema (1.1) como: Ω = {x R n : g (x) 0} (1.29) 16

28 Definição (Conjunto de restrições ativas). Dado um ponto x Ω, o conjunto de restrições de desigualdade ativas é: I (x) := {g i : g i (x) = 0, x Ω, i = 1,..., m} (1.30) Definição (Direção viável). Um vetor d R n é uma direção viável em x Ω se existe θ > 0 tal que x + td Ω para todo t [0, θ). Definição (Direção de descida). Um vetor d R n é uma direção de descida para uma função suave φ : R n R em x R n se existe ψ > 0 tal que φ (x + td) < φ (x) para todo t (0, ψ). Se d T φ (x) < 0, então d é uma direção de descida para φ em x. Definição (Mínimo local). O ponto x Ω é um mínimo local de f, se existe um ɛ > 0 tal que f (x ) f (x) para todo x Ω B (x, ɛ). Onde B (x, ɛ) é a bola aberta de centro x e raio ɛ. Definição (Mínimo local estrito). O ponto x Ω é um mínimo local estrito de f, se existe um ɛ > 0 tal que f (x ) < f (x) para todo x Ω B (x, ɛ). Definição (Ponto regular). Um ponto x é dito ponto regular das restrições do problema (1.1) se o conjunto { g i (x) : i I (x)} é linearmente independente. Definição (Espaço tangente). O espaço tangente no ponto regular x é dado por: T (x) := { d : gi T d = 0, i I (x) } (1.31) 1.9 Método dos Elementos Finitos A análise estrutural usa três equações básicas, chamadas equações de compatibilidade, de equilíbrio e constitutivas, também chamadas de relação tensãodeformação. O Método dos Elementos Finitos usa os conceitos de discretização do contínuo e de matriz de interpolação, que fornece os deslocamentos em um ponto, no interior do elemento, em função de seus deslocamentos nodais. O análise de estruturas de treliças pode ser obtido pelo método dos elementos finitos. Na Figura 1.6 [14] mostra-se uma treliça plana típica. Uma estrutura de treliças só tem membros sujeitos a duas forças, tração ou compressão. Em uma treliça, os carregamentos e as reações são aplicadas somente nos nós, e todos os membros estão conectados nos extremos por meio de articulações sem fricção. No caso de uma treliça, os eixos das barras têm sentidos diferentes, portanto existem dois tipos de coordenadas, as coordenadas locais s e as coordenadas globais (x, y). 17

29 Nó Elemento barra Força nodal Figura 1.6: Uma treliça bidimensional. Sistema local de coordenadas Sistema global de coordenadas Figura 1.7: Definição do elemento barra bidimensional. A Figura 1.7 [15] mostra um elemento barra bidimensional de uma estrutura de treliças. Os nós 1 e 2 são, respectivamente, o nó inicial e o nó final de um elemento barra bidimensional e. Cada nó tem dois graus de liberdade no sistema global de coordenadas. O ângulo φ define a rotação do eixo da barra em relação ao sistema global de coordenadas. O sistema local de coordenadas consiste no eixo s que encontra-se alinhado ao longo do elemento do nó 1 até o nó 2. O sistema global de coordenadas está fixo e não depende da orientação do elemento. 18

30 O elemento barra é unidimensional no sistema local de coordenadas, assim os vetores deslocamento e força nodal são definidos como: u (e) = [ u (e) s1 f (e) = [ f (e) 1s u (e) s2 f (e) 2s ] T (1.32) ] T (1.33) No sistema global de coordenadas, a força nodal tem duas componentes, similarmente, cada deslocamento nodal tem duas componentes, assim pode-se definir os vetores deslocamento e força nodal como: u (e) = [ ] u (e) 1 v (e) 1 u (e) 2 v (e) T 2 (1.34) f (e) = [ f (e) 1x f (e) 1y f (e) 2x f (e) 2y ] T (1.35) O comprimento do elemento barra pode ser determinado através de seus nós 1 e 2, segundo: L (e) = (x (e) 2 x (e) ) 2 ( (e) 1 + y 2 y (e) ) 2 1 (1.36) Figura 1.8: Co-senos diretores. Tomando-se como referência a Figura 1.8, definem-se os valores l (e) e m (e) como: Define-se a matriz de transformação T como: l (e) = cos φ (e) = x(e) 2 x (e) 1 (1.37) L (e) m (e) = sin φ (e) = y(e) 2 y (e) 1 (1.38) L (e) T (e) = l(e) m (e) 0 0 (1.39) 0 0 l (e) m (e) Pode-se relacionar os vetores deslocamentos e forças nodais do elemento barra 19

31 e nos sistemas local e global, mediante a matriz de transformação, assim: u (e) = T (e) u (e) (1.40) T (e)t f (e) = f (e) (1.41) Como o elemento barra é unidimensional no sistema de coordenadas local, então a matriz de rigidez, referida ao sistema local de coordenadas s, é definida como: K (e) = A(e) E (e) L (e) 1 1 (1.42) 1 1 Podem-se relacionar as matrizes de rigidez nos sistemas global e local mediante a matriz de transformação, assim: K (e) = T (e)t K (e) T (e) (1.43) Substituindo-se a Equação 1.39 na Equação 1.43 temos que: K (e) = A(e) E (e) L (e) l 2 (e) l (e) m (e) l 2 (e) l (e) m (e) l (e) m (e) m 2 (e) l (e) m (e) m 2 (e) l 2 (e) l (e) m (e) l 2 (e) l (e) m (e) l (e) m (e) m 2 (e) l (e) m (e) m 2 (e) (1.44) Da Equação 1.44, pode-se observar que a matriz de rigidez do elemento barra depende do comprimento L, da rigidez axial EA, e do ângulo de orientação φ. A matriz de rigidez é simétrica e semidefinida positiva e os elementos da diagonal da matriz são zeros ou maiores que zero. A partir da matriz de rigidez e das forças nodais de cada elemento e no sistema global, é feita então a montagem da matriz de rigidez K e das forças nodais f globais da estrutura em função da conexão entre os elementos [16], obtendo-se a Equação de equilíbrio global da estrutura: Ku = f (1.45) A matriz de massa do elemento barra é dada por: M = L 0 ρann T dv (1.46) sendo ρ a densidade do elemento, N o vetor das funções de forma, e V o volume do elemento. 20

32 O vetor das funções de forma para o elemento barra é dado por: N T = [ N 1 (x) ] N 2 (x) (1.47) sendo as funções de forma: N 1 (x) = x x 2 L N 2 (x) = x x 1 L (1.48) (1.49) Usando-se as funções de forma e substituindo-se na Equação 1.46 temos que a matriz de massa do elemento barra no sistema local de coordenadas é dada por: M (e) = ρ(e) A (e) L (e) (1.50) 1 2 A matriz de massa no sistema global de coordenadas é dada por: M (e) = ρ(e) A (e) L (e) (1.51) A montagem da matriz de massa global M é feita da mesma maneira que a montagem da matriz de rigidez. 21

33 Capítulo 2 Formulação do problema de Otimização Estrutural 2.1 Introdução A otimização estrutural busca selecionar uma configuração ótima de um conjunto de possíveis candidatos. Um importante passo na otimização é transcrever as afirmações verbais de um problema de otimização em uma bem definida afirmação matemática. Na afirmação verbal, o objetivo de um problema de otimização é encontrar o projeto ótimo que minimize (ou maximize) uma função objetivo (ou função custo) sujeita a certas restrições dadas. Exemplos de funções objetivo em análise estrutural são o peso, a rigidez ou a complacência, a fadiga, o nível de ruído, a amplitude e a frequência natural, a segurança, etc [17]. 2.2 Componentes de um problema de Otimização Estrutural Para formular um problema de otimização estrutural [17] é importante definir três componentes do problema: as variáveis de projeto, a função objetivo e a função de restrições Identificação e definição das variáveis de projeto As variáveis de projeto em um problema de otimização estrutural podem ser: o tamanho dos elementos, os parâmetros de configuração e, os parâmetros de propriedades físicas e mecânicas [18]. O tamanho de cada elemento, que é a variável de projeto mais simples, pode representar a área da seção transversal de uma barra, 22

34 o momento de inércia de um elemento em flexão, ou a espessura de uma placa. A i-ésima variável de projeto denota-se por x i onde i = 1,..., n e o conjunto de variáveis são armazenadas em um vetor coluna, tal como visto na Equação 2.1: x = [ x 1,..., x n ] T (2.1) sendo n o número de variáveis de projeto. independentes. As variáveis de projeto devem ser Definição da função objetivo (função custo) Uma vez definidas as variáveis de projeto, o passo seguinte é definir a função objetivo do problema. A função objetivo depende das variáveis de projeto. A função objetivo é a função a minimizar (ou maximizar) em um processo de otimização, e, constitui a base para selecionar um projeto aceitável. A função objetivo é uma função escalar das variáveis de projeto e, denota-se por f (x), e, representa a propriedade mais importante de um projeto, como o custo ou o peso, mas é possível representar a função objetivo como uma função de várias das propriedades desejáveis. O peso é a propriedade mais empregada como função objetivo Identificação e definição das restrições Uma restrição, em qualquer tipo de problema, é uma limitação que deve ser satisfeita para que o projeto seja aceitável. A limitação poder ser imposta diretamente em uma variável ou grupo de variáveis (restrição explícita), ou pode ainda representar uma limitação sobre quantidades cuja dependência com as variáveis de projeto não é possível definir diretamente (restrição implícita). Existem dois tipos de restrições: igualdade e desigualdade. As restrições de igualdade fornecem relações entre as variáveis do projeto ou podem impor condições que deve satisfazer a um projeto viável. Quando a relação é linear, é possível eliminar do processo de otimização uma das variáveis de projeto, e, assim, reduzir o número de dimensões do problema. As restrições de desigualdade são mais utilizados em problemas estruturais e fornecem os limites de rendimento. Por exemplo, o esforço máximo no projeto deve ser menor que o esforço admissível do material. Algumas restrições limitam por cima ou por baixo as variáveis de projeto. A ideia de uma restrição de desigualdade é importante no projeto estrutural ótimo, para visar a otimalidade é essencial permitir projetos nos quais nem todas as restrições são satisfeitas diretamente [18]. 23

35 2.3 Tipos de problemas de Otimização Estrutural Existem três classes de otimização, e na concepção do projeto deve-se escolher qual delas utilizar: otimização dimensional, otimização geométrica e otimização topológica [3] Otimização Dimensional A otimização dimensional utiliza como variável de projeto um parâmetro de um elemento estrutural. No caso de uma estrutura de treliças, a variável de projeto pode ser a área da seção transversal da barra, e para uma placa, a variável de projeto é a sua espessura, e, necessita utilizar técnicas de discretização do domínio para possibilitar a obtenção de uma solução numérica via método dos elementos finitos Otimização de Forma A otimização de forma tem como objetivo definir a melhor fronteira de um sólido com relação a uma função custo e restrições mecânicas de projeto. O domínio deste problema necessita ser discretizado para existir um número finito de pontos ao longo da fronteira e, assim, possibilitar uma solução numérica via método dos elementos finitos Otimização Topológica A otimização topológica tem como objetivo definir, da melhor forma possível, a distribuição de material em um domínio pré-determinado, considerando-se uma função custo e as restrições mecânicas. A variável de projeto, neste caso, é o próprio domínio, no qual se pode retirar o material, ou seja, criar furos. O domínio do problema da topologia necessita ser discretizado para se trabalhar apenas com um número finito de pontos para se obter uma solução numérica aproximada das equações diferencias parciais do problema. 2.4 Problema de otimização não linear Um problema de otimização não linear diferenciável sujeito a restrições de desigualdade pode ser formulado da seguinte maneira: minimizar f (x) x R n sujeito a: g (x) 0 (2.2) 24

36 onde, x R n é o vetor das variáveis de projeto, f : R n R é a função objetivo e, g : R n R m é a função das restrições de desigualdade, sendo f e g, funções de classe C 1, e, pelo menos uma delas é não linear Notações e Definições Denota-se por x = [x 1,..., x n ] T o vetor das variáveis de projeto, g (x) = [g 1 (x),..., g n (x)] T o vetor de restrições, f (x) R n o vetor gradiente de f, g (x) R n m a matriz dos gradientes de g. G (x) é uma matriz diagonal tal que G ii (x) = g i (x) e λ R m é uma variável auxiliar chamada o multiplicador de Lagrange. Definição (Função Lagrangiana). Define-se a função Lagrangiana L : R n R m R, associada ao problema 2.2, como: m L (x, λ) = f (x) + λ T g (x) = f (x) + λ i g i (x) (2.3) i=1 Definição (Gradiente da função Lagrangiana). Define-se o gradiente da função Lagrangiana em relação a x, associada ao problema 2.2, como: m x L (x, λ) = f (x) + λ i g i (x) (2.4) i=1 Definição (Hessiana da função Lagrangiana). Define-se a Hessiana da função Lagrangiana H : R n R m R n m, associada ao problema 2.2, como: m H (x, λ) = 2 f (x) + λ i 2 g i (x) (2.5) i=1 Definição (Restrição ativa). Uma restrição de desigualdade é chamada ativa, se g i (x) = 0, e, inativa, se g i (x) < Condições de otimalidade de primeira ordem (KKT) As condições de otimalidade de primeira ordem de Karush-Kuhn-Tucker, correspondentes ao problema 2.2, podem ser escritas da seguinte maneira: f(x ) + g(x )λ = 0 (2.6) G(x )λ = 0 (2.7) λ 0 (2.8) g(x ) 0 (2.9) 25

37 Definição (Par de KKT). Um vetor (x, λ ) satisfazendo as Equações 2.6 e 2.7 é chamado um par estacionário do problema 2.2 e um par KKT, se este satisfizer as condições de KKT Definição (Ponto de KKT). Um vetor x é um ponto estacionário se existe λ tal que as igualdades 2.6 e 2.7 são verdadeiras, e, será um ponto de KKT, se todas as Equações forem confirmadas. Curvas de nível de Figura 2.1: Condições de KKT do problema 2.2. A Figura 2.1 mostra uma interpretação geométrica destas condições [13]. Note-se que o ponto x é um mínimo da função f. Temos somente restrições de desigualdade com duas variáveis de projeto. A restrição g 3 (x) 0 é inativa, isto é g 3 (x ) < 0; daí λ 3 = 0. Pela primeira condição de otimalidade de KKT, temos: f(x ) + g 1 (x )λ 1 + g 2 (x )λ 2 = 0, (2.10) que é equivalente à: f(x ) = g 1 (x )λ 1 g 2 (x )λ 2, (2.11) onde, λ 1 > 0 e λ 2 > 0. Portanto, f (x ) deve ser uma combinação linear dos vetores g 1 (x ) e g 2 (x ) com coeficientes positivos. Neste caso, os coeficientes são os multiplicadores KKT. 26

38 2.5 Programação semidefinida (SDP) A programação semidefinida (SDP) é um tipo de problema de otimização convexa com muitas propriedades numéricas atrativas [5]. YAMASHITA et al. [19] formulam um problema de programação semidefinida não linear (NL-SDP) da seguinte maneira: minimizar f (x) x R n sujeito a: h (x) = 0 X (x) 0 (2.12) onde f : R n R, h : R n R p e X : R n S m são funções suáveis e de classe C 2, S m denota o conjunto de matrizes reais simétricas de ordem m m, a matriz X (x) é semidefinida positiva. O problema 2.12 é uma extensão de um problema SDP linear. Para o caso de problemas SDP lineares, as funções f e g são lineares e a matriz X (x) é definida como: X (x) = onde A i S m, i = 1,..., n e B S m. n x i A i B (2.13) i=1 Os problemas SDP lineares incluem problemas de programação linear, problemas de programação quadrática convexa e problemas de programação cone de segunda ordem, todos eles com diversas aplicações. Um problema SDP linear pode ser formulado segundo: minimizar tr C, X sujeito a: A i X = b i, i = 1,..., m (2.14) X 0 onde C, A i S n e a matriz X S n é semidefinida positiva. 2.6 Formulação tradicional do problema de volume mínimo Nesta seção, considera-se uma estrutura de treliças elástica linear de dimensão finita, discretizada pelo método dos elementos finitos. Assumem-se pequenas deformações. Denotem-se por m o número de membros da estrutura, n o número de graus de liberdade (gdl), x R m o vetor das variáveis de projeto, K (x) S n a matriz de rigidez, M (x) S n a matriz de massa, s o número de casos de carregamentos, 27

39 f R n s a matriz que contém os vetores casos de carregamentos f l R n, e u R n s a matriz que contém os vetores deslocamentos u l R n. As variáveis de projeto são os volumes das barras e as restrições são a Equação de equilíbrio, as frequências naturais e a complacência. Define-se Equação de equilíbrio ao seguinte sistema linear: K (x) u l = f l, l = 1,..., s (2.15) O vetor deslocamento u l pode ser obtido através da resolução do sistema linear dado pela Equação O objetivo de um problema de otimização estrutural é encontrar uma estrutura com o menor peso possível que satisfaça à equação de equilíbrio e certas restrições. Na solução do problema, algumas das possíveis barras podem ficar com volume de material nulo. Para estruturas tais como treliças, assume-se que as matrizes de rigidez e massa são funções lineares das variáveis de projeto [1]. Dessa forma, pode-se definir tais matrizes como: m K (x) = x i K i (2.16) i=1 m M (x) = x i M i (2.17) i=1 onde K i S n e M i S n são matrizes constantes, sendo x i K i e x i M i as matrizes de rigidez e massa dos elementos. Assume-se que x i 0, para i = 1,..., m, o que implica que K (x) 0 e M (x) 0. Como as matrizes de rigidez e massa reduzidas K i e M i são constantes, então pode-se calcular a derivada das matrizes em relação a x i como: Problema de autovalores K (x) = K i x i (2.18) M (x) = M i x i (2.19) A equação diferencial do movimento de uma estrutura para vibrações livres é: M (x) ü + K (x) u = 0 (2.20) Assume-se que a solução da Equação 2.20 tem a forma: u = Φe jωt (2.21) 28

40 Substituindo a Equação 2.21 na Equação 2.20, temos: ω 2 M (x) Φe jωt + K (x) Φe jωt = 0 (2.22) A Equação 2.22 pode ser escrita como: [ ω 2 M (x) Φ + K (x) Φ ] e jωt = 0 (2.23) Como e jωt 0, então tem-se o seguinte problema de autovalores: K (x) Φ = λm (x) Φ (2.24) onde, os autovalores λ são o quadrado das frequências naturais do sistema, ou seja, λ = ω 2 e os autovetores associados Φ representam os modos de vibração da estrutura. Para garantir a existência de uma solução não trivial da Equação 2.24, verifica-se que: det (K (x) λm (x)) = 0 (2.25) O desejável em uma estrutura sob carregamentos dinâmicos é que todas suas frequências naturais sejam bem maiores do que a máxima frequência possível dos carregamentos. Para garantir isto, precisa-se impor apenas que a menor das frequências naturais da estrutura seja maior do que um valor previamente conhecido que considere a maior frequência possível dos carregamentos multiplicada por um coeficiente de segurança. Com isto, impede-se que a estrutura falhe sob carregamentos dinâmicos. Assim, a restrição das frequências naturais para um problema de autovalores [20] pode ser escrita como: λ min (x) λ (2.26) Define-se a função λ min (x) como o menor autovalor do problema (2.24), como: λ min (x) = min {λ : Φ 0 R n : K (x) Φ = λm (x) Φ} (2.27) Propriedades do λ min Define-se o conjunto X como: X := {x R n : x 0} (2.28) Agora, podem ser definidas algumas propriedades do λ min (x) [8]: 1. λ min ( ) é finito e não negativo em X ; 29

41 2. Para todo x X, λ min (x) = sup {λ : K (x) λm (x) 0} (2.29) 3. Para todo x X, λ min (x) = inf u:m(x)u 0 u T K (x) u u T M (x) u (2.30) 4. λ min ( ) é semi-contínua superiormente em X ; 5. λ min ( ) é quasiconvexa em X. Na formulação tradicional do problema de otimização topológica, minimiza-se o volume ou peso da estrutura, sujeita a condições de equilíbrio e restrições da menor frequência natural [7]. Levando-se em consideração as afirmações descritas anteriormente, o problema de volume mínimo na formulação tradicional é definido como: minimizar x R m,u R n s sujeito a: m x i i=1 ( m ) x i K i u l = f l, l = 1,..., s i=1 f T l u l γ, l = 1,..., s x i 0, i = 1,..., m λ min (x) λ (2.31) sendo u R n s a matriz dos vetores deslocamentos, x i K i a matriz de rigidez dos elementos da estrutura, γ o limite superior da complacência, λ o valor limite da frequência natural. (x, u) x i. A função objetivo para o problema de mínimo volume é A dificuldade desta formulação está na função λ min (x). Esta função pode ser descontínua [7] quando certas componentes do vetor x são nulos, como é mostrado no exemplo seguinte. Exemplo Considere a treliça de quatro barras mostrada na Figura 2.2. A treliça é simétrica com respeito ao eixo x, e somente são consideradas duas variáveis de projeto x 1 e x 2. As matrizes de rigidez e massa, que dependem das variáveis de projeto x 1 e x 2, 30

42 Figura 2.2: Possível descontinuidade do λ min são as seguintes: x x K (x) = x 2 1, x 2 0, 32 e x 1 2, x M (x) = 1 2, x 2 4, x 2 4, 47 Usando-se a Equação 2.25, os autovalores são: ( ) 2 x 1 2 x 1 1, 28 x 2 0, 32 x 2 (λ 1, λ 2, λ 3, λ 4 ) =,,, 2, 83 x 1 2, 83 x 1 4, 47 x 2 4, 47 x 2 Logo, a função λ min (x) tem os seguintes valores: λ min (x) = 0, 32 4, 47 0, 07, para x 2 > 0, x 1 > 0 λ min (x) = 2 2, 83 0, 71, para x 2 = 0, x 1 > 0 e, portanto, tem-se uma descontinuidade em x 2 = 0, pelo fato do autovalor ser indefinido e λ min (x) salta ao segundo menor autovalor. 0, 32 4, 47 x 2 x 2 31

43 2.7 Formulação SDP do problema de volume mínimo OHSAKI e KANNO [1] estabelecem que, para estruturas tais como treliças, as matrizes de rigidez e massa são funções lineares das variáveis do projeto, e os problemas de otimização com restrições de complacência e frequência natural podem ser formulados por SDP. Para reformular um problema de otimização tradicional é necessário definir o seguinte resultado auxiliar mostrado por ACHTZINGER [7]. Proposição Sejam x R m e x 0 sendo fixos γ R n e l = {1,..., s}. Então existem u l R n que satisfaz: K (x) u l = f l (2.32) e f T l u l γ (2.33) se e somente se: γ fl T f l 0 (2.34) K (x) Demonstração. Ver [7]. Portanto, a formulação do problema de volume mínimo para programação semidefinida é: minimizar x R m sujeito a: m x i i=1 γ fl T f l 0 K (x) x i 0, i = 1,..., m K (x) λm (x) 0 (2.35) m Neste problema, γ e λ são dados e, minimiza-se o volume das barras x i. Nesta i=1 formulação, o problema é convexo e as funções objetivo e restrições são suaves em relação à variável de projeto x. Pode-se observar que a restrição de igualdade reverte para a seguinte forma: ( m ) x i K i u l = f l i=1 fl T u l γ γ f T l f l 0 (2.36) K (x) 32

44 Além disso, a equivalência entre as restrições do menor autovalor [7] nas formulações tradicional e SDP é: λ min (x) λ K (x) λm (x) 0 (2.37) 33

45 Capítulo 3 Algoritmo de pontos interiores e direções viáveis (FDIPA) 3.1 Introdução Neste capítulo, apresenta-se o algoritmo de pontos interiores e direções viáveis (FDIPA) proposto por HERSKOVITS [21], para lidar com problemas de otimização não linear diferenciável com restrições de igualdade e desigualdade. Neste caso em particular, consideram-se somente restrições de desigualdade, portanto, um problema de otimização não linear diferenciável sujeito a restrições de desigualdade pode ser formulado como se segue: minimizar f (x) x R n sujeito a: g (x) 0 (3.1) onde, x R n é o vetor das variáveis de projeto, x = [x 1,..., x n ] T, f : R n R é a função objetivo, g : R n R m é a função das restrições de desigualdade, g (x) = [g 1 (x),..., g n (x)] T, f e g são funções de classe C 1 delas é não linear. e pelo menos uma O algoritmo FDIPA converge globalmente para pontos de Karush-Kuhn-Tucker. O algoritmo requer um ponto inicial x, no interior da região definida pelas restrições de desigualdades, gerando uma sequência de pontos no interior desta região. Quando temos somente restrições de desigualdades, a função objetivo é reduzida em cada iteração. O método requer somente a solução de dois sistemas de equações lineares, com a mesma matriz em cada iteração, seguida de uma busca linear inexata. No algoritmo FDIPA, o esquema das iterações é definido como segue: Primeiro estágio: define uma direção de descida por meio de resolução de um sistema linear nas variáveis primal e dual; 34