[B&A] Computação na Lógica de Predicados

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1 [B&A] Computação na Lógica de Predicados Soluções dos Exercícios 1. Transforme as seguintes fbf s para a forma normal prenex, elimine os quantificadores e transforme-as para a forma normal clausal. (a) x.( P (x, y) y.p (y, x)) x.( P (x, y) y.p (y, x)) x.(p (x, y) y.p (y, x)) x. y 1.(P (x, y) P (y 1, x)) Note que ao final deste passo a fórmula obtida é equivalente à fórmula original. y. x. y 1.(P (x, y) P (y 1, x)) Passo 3: Skolemizar eliminar existenciais x.(p (x, a) P (f(x), x)) Note que ao fim deste passo a fórmula obtida é satisfatível exatamente nas mesmas circunstâncias que a fórmula original. P (x, a) P (f(x), x) Observe que a fórmula acima já está na forma normal conjuntiva reduzida. (b) x.(p (z, x) R(x, y)) ( x.p (z, x) x.r(x, y)) x.(p (z, x) R(x, y)) ( x.p (z, x) x.r(x, y)) x. (P (z, x) R(x, y)) ( x.p (z, x) x.r(x, y)) x.( P (z, x) R(x, y)) ( x.p (z, x) x.r(x, y)) x 1.(( P (z, x 1 ) R(x 1, y)) ( x.p (z, x) x.r(x, y))) x 1. x 2.(( P (z, x 1 ) R(x 1, y)) (P (z, x 2 ) x.r(x, y))) x 1. x 2. x 3.(( P (z, x 1 ) R(x 1, y)) P (z, x 2 ) R(x 3, y)) y. z. x 1. x 2. x 3.(( P (z, x 1 ) R(x 1, y)) P (z, x 2 ) R(x 3, y)) Passo 3: Skolemizar x 3.(( P (b, c) R(c, a)) P (b, d) R(x 3, a)) ( P (b, c) R(c, a)) P (b, d) R(x 3, a) ( P (b, c) P (b, d) R(x 3, a)) ( R(c, a) P (b, d) R(x 3, a)) Lógica Aplicada à Computação 1

2 (c) x.p (x, y) y.(p (y, x) R(a, f(x, y))) x.p (x, y) y.(p (y, x) R(a, f(x, y))) x. P (x, y) y.(p (y, x) R(a, f(x, y))) x 1.( P (x 1, y) y.(p (y, x) R(a, f(x, y)))) x 1. y 1.( P (x 1, y) (P (y 1, x) R(a, f(x, y 1 )))) x. y. x 1. y 1.( P (x 1, y) (P (y 1, x) R(a, f(x, y 1 )))) Passo 3: Skolemizar x 1.( P (x 1, c) (P (g(x 1 ), b) R(a, f(b, g(x 1 ))))) P (x 1, c) (P (g(x 1 ), b) R(a, f(b, g(x 1 )))) ( P (x 1, c) P (g(x 1 ), b)) ( P (x 1, c) R(a, f(b, g(x 1 )))) (d) x. y.(p (x, f(a, y)) x.r(x)) Não há conectivos destes tipos para serem eliminados. x. y. x 1.(P (x, f(a, y)) R(x 1 )) A fórmula já se encontra fechada. Passo 3: Skolemizar x.(p (x, f(a, g(x))) R(h(x))) P (x, f(a, g(x))) R(h(x)) A fórmula já se encontra na forma normal conjuntiva reduzida. (e) ( x.(p (x, y) y.r(y, z)) z.p (z, x)) ( x.( P (x, y) y.r(y, z)) z.p (z, x)) x.( P (x, y) y.r(y, z)) z.p (z, x) x. ( P (x, y) y.r(y, z)) z. P (z, x) x.(p (x, y) y.r(y, z)) z. P (z, x) x.(p (x, y) y. R(y, z)) z. P (z, x) x 1.((P (x 1, y) y. R(y, z)) z. P (z, x)) x 1. y 1.((P (x 1, y) R(y 1, z)) z. P (z, x)) x 1. y 1. z 1.((P (x 1, y) R(y 1, z)) P (z 1, x)) x. y. z. x 1. y 1. z 1.((P (x 1, y) R(y 1, z)) P (z 1, x)) Passo 3: Skolemizar y 1. z 1.((P (d, b) R(y 1, c)) P (z 1, a)) Lógica Aplicada à Computação 2

3 (P (d, b) R(y 1, c)) P (z 1, a) (P (d, b) P (z 1, a)) ( R(y 1, c) P (z 1, a)) 2. Determine o unificador mais geral para cada um dos seguintes pares de termos ou fórmulas. Se estes não são unificáveis, diga o porquê. a. P (x, f(a, x)) P (b, y) b. P (x, f(g(a, y), z)) P (b, f(g(a, f(w, c)), h(y, x))) c. f(a, f(b, f(c, x))) f(a, y) d. f(x, f(a, f(y, c))) f(z, f(z, f(f(a, c), w))) Unificadores para os termos e fórmulas acima podem ser: a. x := b y := f(a, x) = f(a, b) Daí, o umg será σ = [x := b, y := f(a, b)] b. x := b y := f(w, c) z := h(y, x) = h(f(w, c), b) Daí, o umg será σ = [x := b, y := f(w, c), z := h(f(w, c), b)] c. y := f(b, f(c, x)) Daí, o umg será σ = [y := f(b, f(c, x))] d. x := z = a z := a y := f(a, c) w := c Daí, o umg será σ = [x := a, y := f(a, c), w := c, z := a] 3. Exibir uma refutação por resolução para cada uma dos seguintes conjuntos de cláusulas. Algumas dicas: Faça a separação padrão de um par de cláusulas antes de unificar. Indique cada substituição unificadora claramente. Realize a substituição unificadora em ambas as cláusulas. Não existe limite para a quantidade de vezes que se usa uma cláusula em particular. Lógica Aplicada à Computação 3

4 a. P (a, x, x) P (f(y, x), w, f(x, z)) P (y, w, z) P (f(a, f(b, a)), f(c, a), x) b. Q(a, b) Q(f(y, x), g(z)) Q(y, z) Q(f(x, f(c, f(d, a))), w) c. R(x, a, a) R(x, f(x, y), z) R(x, y, z) R(x, f(y, z), f(y, w)) R(x, z, w) R(b, f(b, f(c, f(b, a))), x) d. P (x, e, x) P (y, z, v) P (y, v, w) P (e, z, w) P (a, f(u, v), e) P (e, f(f(b, c), a), a) e. P (c, a, f(x)) P (f(y), a, f(z)) P (y, x, z) P (f(f(y)), z, f(f(f(z)))) f. P (x, f(x, y), g(a)) P (a, x, z) P (g(y), f(a, x), z) P (g(z), f(a, f(a, a)), z) P (a, f(a, z), z) Realizando as refutações para cada conjunto de cláusulas acima, podemos obter: a. Antes de mais nada, façamos a separação das 3 cláusulas: P (a, x, x) = P (a, x 1, x 1 ) P (f(y, x), w, f(x, z)) P (y, w, z) = P (f(y, x 2 ), w, f(x 2, z)) P (y, w, z) P (f(a, f(b, a)), f(c, a), x) = P (f(a, f(b, a)), f(c, a), x 3 ) P (a, x 1, x 1 ) P (f(y, x 2 ), w, f(x 2, z)) P (y, w, z) σ 1 = [y := a, w := x 1, z := x 1 ] P (a, x 1, x 1 )P (f(a, x 2 ), x 1, f(x 2, x 1 )) P (a, x 1, x 1 ) P (f(a, x 2 ), x 1, f(x 2, x 1 )) P (f(a, f(b, a)), f(c, a), x 3 ) σ 2 = [x 2 := f(b, a), x 1 := f(c, a), x 3 := f(f(b, a), f(c, a))] P (f(a, f(b, a)), f(c, a), f(f(b, a), f(c, a)) P (f(a, f(b, a)), f(c, a), f(f(b, a), f(c, a)) b. Fazendo a separação das 2 últimas cláusulas: Q(a, b) Q(f(y, x), g(z)) Q(y, z) = Q(f(y, x 1 ), g(z)) Q(y, z) Q(f(x, f(c, f(d, a))), w) = Q(f(x 2, f(c, f(d, a))), w) Q(a, b) Q(f(y, x 1 ), g(z)) Q(y, z) σ 1 = [y := a, z := b] Q(a, b)q(f(a, x 1 ), g(b)) Q(a, b) Q(f(a, x 1 ), g(b)) Q(f(x 2, f(c, f(d, a))), w) σ 2 = [x 2 := a, x 1 := f(c, f(d, a)), w := g(b)] Q(f(a, f(c, f(d, a))), g(b)) Q(f(a, f(c, f(d, a))), g(b)) Lógica Aplicada à Computação 4

5 c. Fazendo a separação das 4 cláusulas: R(x, a, a) = R(x 1, a, a) R(x, f(x, y), z) R(x, y, z) = R(x 2, f(x 2, y 1 ), z 1 ) R(x 2, y 1, z 1 ) R(x, f(y, z), f(y, w)) R(x, z, w) = R(x 3, f(y 2, z 2 ), f(y 2, w)) R(x 3, z 2, w) R(b, f(b, f(c, f(b, a))), x) = R(b, f(b, f(c, f(b, a))), x 4 ) R(x 2, f(x 2, y 1 ), z 1 ) R(x 2, y 1, z 1 ) R(b, f(b, f(c, f(b, a))), x 4 ) σ 1 = [x 2 := b, y 1 := f(c, f(b, a)), z 1 := x 4 ] R(b, f(b, f(c, f(b, a))), x 4 ) R(b, f(c, f(b, a)), x 4 ) R(b, f(b, f(c, f(b, a))), x 4 ) Daí temos, usando a umg: R(b, f(c, f(b, a)), x 4 ) R(b, f(c, f(b, a)), x 4 ) R(x 3, f(y 2, z 2 ), f(y 2, w)) R(x 3, z 2, w) σ 2 = [x 3 := b, y 2 := c, z 2 := f(b, a), x 4 := f(c, w)] R(b, f(c, f(b, a)), f(c, w))r(b, f(c, f(b, a)), f(c, w)) R(b, f(b, a), w) R(b, f(b, a), w) Continuando o processo de resolução: R(b, f(b, a), w) R(x 2, f(x 2, y 1 ), z 1 ) R(x 2, y 1, z 1 ) σ 3 = [x 2 := b, y 1 := a, z 1 := w] R(b, f(b, a), w) R(b, f(b, a), w) R(b, a, w) R(b, a, w) R(x 1, a, a) σ 4 = [x 1 := b, w := a] R(b, a, a) R(b, a, a) d. Considere as duas primeiras cláusulas: P (y, z, v) P (y, v, w) P (e, z, w) P (x, e, x) Construindo a árvore de refutação em conjunto com a unificação a seguir: σ 1 = [x := e, y := e, z := e, v := e, w := e] Teremos: P (e, e, e) P (e, e, e) P (e, e, e)p (e, e, e) P (e, e, e) P (e, e, e) P (e, e, e) P (e, e, e) P (e, e, e) e. Fazendo a separação das três claúsulas: P (c, a, f(x)) = P (c, a, f(x 1 )) P (f(y), a, f(z)) P (y, x, z) = P (f(y 1 ), a, f(z 1 )) P (y 1, x 2, z 1 ) P (f(f(y)), z, f(f(f(z)))) = P (f(f(y 2 )), z 2, f(f(f(z 2 )))) P (f(y 1 ), a, f(z 1 )) P (y 1, x 2, z 1 ) P (f(f(y 2 )), z 2, f(f(f(z 2 )))) σ 1 = [y 1 := f(y 2 ), z 2 := a, z 1 := f(f(a))] P (f(f(y 2 )), a, f(f(f(a)))) P (f(y 2 ), x 2, f(f(a))) P (f(f(y 2 )), a, f(f(f(a)))) P (f(y 2 ), x 2, f(f(a))) Lógica Aplicada à Computação 5

6 Continuando: P (f(y 2 ), x 2, f(f(a))) P (f(y 1 ), a, f(z 1 )) P (y 1, x 2, z 1 ) σ 2 = [y 1 := y 2, x 2 := a, z 1 := f(a)] P (f(y 2 ), a, f(f(a)))p (f(y 2 ), a, f(f(a))) P (c, a, f(a)) P (c, a, f(a)) P (c, a, f(x 1 )) σ 3 = [x 1 := a] P (c, a, f(a)) P (c, a, f(a)) f. Fazendo a separação das 3 cláusulas: P (x, f(x, y), g(a)) = P (x 1, f(x 1, y 1 ), g(a)) P (a, x, z) P (g(y), f(a, x), z) = P (a, x 2, z 1 ) P (g(y 2 ), f(a, x 2 ), z 1 ) P (g(z), f(a, f(a, a)), z) P (a, f(a, z), z) = P (g(z 2 ), f(a, f(a, a)), z 2 ) P (a, f(a, z 2 ), z 2 ) P (x 1, f(x 1, y 1 ), g(a)) P (a, x 2, z 1 ) P (g(y 2 ), f(a, x 2 ), z 1 ) σ 1 = [x 1 := a, x 2 := f(a, y 1 ), z 1 := g(a)] P (a, f(a, y 1 ), g(a)) P (a, f(a, y 1 ), g(a)) P (g(y 2 ), f(a, f(a, y 1 )), g(a)) P (g(y 2 ), f(a, f(a, y 1 )), g(a)) Usando agora a terceira cláusula acima: P (g(y 2 ), f(a, f(a, y 1 )), g(a)) P (g(z 2 ), f(a, f(a, a)), z 2 ) P (a, f(a, z 2 ), z 2 ) σ 2 = [y 1 := a, y 2 := g(a), z 2 := g(a)] P (g(g(a)), f(a, f(a, a)), g(a)) P (g(g(a)), f(a, f(a, a)), g(a)) P (a, f(a, g(a)), g(a)) P (a, f(a, g(a)), g(a)) Daí: P (a, f(a, g(a)), g(a)) P (x 1, f(x 1, y 1 ), g(a)) σ 3 = [x 1 := a, y 1 := g(a)] P (a, f(a, g(a)), g(a))p (a, f(a, g(a)), g(a)) 4. Mostre que Γ α, quando: (a) Γ = { P (x) R(x, y), P (x)} e α = R(x, y) Mostraremos que Γ α, isto é, P (x) R(x, y), P (x) R(x, y). Com efeito, temos: premissa P (x) R(x, y) premissa P (x) R(x, y) (b) Γ = {P (x, x), P (x, z) P (x, y) P (y, z)} e α = P (a, a) Mostraremos que Γ, α, isto é, P (x, x), P (x, z) P (x, y) P (y, z), P (a, a). premissa premissa P (x, x) P (a, a) σ = [x := a] P (a, a) P (a, a) Lógica Aplicada à Computação 6

7 5. Apresente uma refutação para a negação da fórmula x. y. (P (y, x) z. (P (f(x), f(z)) x 1. P (x 1, x))) x 2. P (f(f(x 2 )), x) Negando esta fórmula teremos: ( x. y. (P (y, x) z. (P (f(x), f(z)) x 1. P (x 1, x))) x 2. P (f(f(x 2 )), x)) Para facilitar a manipulação inicial desta fórmula, abreviemos: A = (P (y, x) z. (P (f(x), f(z)) x 1. P (x 1, x))) B = P (f(f(x 2 )), x)) Com isso: ( x. y.( A) x 2.( B)) x. y.( A) x 2.( B) x. y.( A) x 2.(B) Iremos refutar, portanto: x. y.( A) x 2.(B) Substituindo A e B pelas suas respectivas definições, retirando e, e transformando para a FNP, teremos: ( x. y. (P (y, x) z. (P (f(x), f(z)) x 1. P (x 1, x))) x 2. P (f(f(x 2 )), x)) x. y.( (P (y, x) z. (P (f(x), f(z)) x 1. P (x 1, x)))) x 2.P (f(f(x 2 )), x) x. y.(p (y, x) z. (P (f(x), f(z)) x 1. P (x 1, x))) x 2.P (f(f(x 2 )), x) x. y.(p (y, x) z.(p (f(x), f(z)) x 1. P (x 1, x))) x 2.P (f(f(x 2 )), x) x. y.(p (y, x) z.( P (f(x), f(z)) x 1. P (x 1, x))) x 2.P (f(f(x 2 )), x) x 3.( y.(p (y, x 3 ) z.( P (f(x 3 ), f(z)) x 1. P (x 1, x 3 ))) x 2.P (f(f(x 2 )), x)) x 3. y.(p (y, x 3 ) z.( P (f(x 3 ), f(z)) x 1. P (x 1, x 3 )) x 2.P (f(f(x 2 )), x)) x 3. y. z.(p (y, x 3 ) ( P (f(x 3 ), f(z)) x 1. P (x 1, x 3 )) x 2.P (f(f(x 2 )), x)) x 3. y. z. x 1.(P (y, x 3 ) ( P (f(x 3 ), f(z)) P (x 1, x 3 )) x 2.P (f(f(x 2 )), x)) x 3. y. z. x 1. x 2.(P (y, x 3 ) ( P (f(x 3 ), f(z)) P (x 1, x 3 )) P (f(f(x 2 )), x)) Tomando o fecho existencial: x. x 3. y. z. x 1. x 2.(P (y, x 3 ) ( P (f(x 3 ), f(z)) P (x 1, x 3 )) P (f(f(x 2 )), x)) Fazendo a skolemização: x 3. y. z. x 1.(P (y, x 3 ) ( P (f(x 3 ), f(z)) P (x 1, x 3 )) P (f(f(a)), b)) Ocultando os universais: P (y, x 3 ) ( P (f(x 3 ), f(z)) P (x 1, x 3 )) P (f(f(a)), b) Como a fórmula obtida já está na FNCR, acabamos de obter as seguintes cláusulas: (C1) P (y, x 3 ) (C2) P (f(x 3 ), f(z)) P (x 1, x 3 ) (C3) P (f(f(a)), b) Aplicando agora o método de resolução, podemos obter: Lógica Aplicada à Computação 7

8 P (y, x 3 ) P (f(x 3 ), f(z)) P (x 1, x 3 ) σ 1 = [y := x 1 ] P (x 1, x 3 ) P (f(x 3 ), f(z)) P (x 1, x 3 ) P (f(x 3 ), f(z)) P (y, x 3 ) σ 2 = [y := f(f(z)), x 3 := f(z)] P (f(f(z)), f(z)) P (f(f(z)), f(z)) Lógica Aplicada à Computação 8