Resolução. Resolução. Resolução. Resolução. Programação em Lógica. Resolução na Lógica de Predicados: Unificação. Lógica de Primeira Ordem Parte IV

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1 Ciência da Computação Lógica de Primeira Ordem Parte IV Prof. Sergio Ribeiro Material adaptado de Lógica Matemática da Profª Joseluce Farias DSC/UFCG O Princípio da (Lógica Proposicional) Para quaisquer duas cláusulas C1 e C2, se existe um literal L1 em C1 que seja complementar a um literal L2 em C2, então retire L1 e L2 de C1 e de C2 respectivamente, e construa a disjunção das cláusulas remanescentes. A cláusula assim construída é dita ser um resolvente de C1 e C2. 2 Exemplo: Considere as seguintes cláusulas C1 e C2 abaixo: C1: P R C2: ~P Q R Q é um resolvente de C1 e C2. 3 Teorema 1: Dado duas cláusulas C 1 e C 2, um resolvente C de C 1 e C 2 é conseqüência lógica de C 1 e C 2. Def. 1 Dado um conjunto S de cláusulas, uma resolução (dedução) de uma cláusula C a partir de S é uma seqüência finita C 1,...,C k de cláusulas tal que cada C i é uma cláusula em S ou um resolvente de cláusulas precedendo C i, e C k = C. Uma dedução de a partir de S é chamada uma refutação de S. 4 Exemplo: Prove que o conjunto de cláusulas S é insatisfatível: S = {~P Q, ~Q, P} Tautologia ~((~P Q) ~Q P) nega a tautologia: ~~((~P Q) ~Q P) 1. ~P Q C1 2. ~Q C2 3. P C3 4. Q Res(1,3) 5. Res(2,4) Conclusão: como ocorre a expansão fechada, então a negação da tautologia foi refutada. Logo, o conjunto de cláusulas é insatisfatível. 5 na Lógica de Predicados: Aplicar o Princípio da implica em procurar literais complementares. Para cláusulas sem variáveis é muito simples. Para cláusulas com variáveis, é necessário fazer substituições para unificar os literais. Exemplo: C 1 : P(x) Q(x) C 2 : ~P(f(y)) R(y) 6 1

2 : Ex: C 1 : (P(x) Q(x)) e C 2 : (~P(f(y)) R(y)) Aplicando-se as substituições s 1 e s 2 à C 1 e C 2, C 1 : P(x) Q(x) s 1 = {x/f(a)} C 2 : ~P(f(y)) R(y) s 2 = {y/a} Obtém-se C 1 e C 2, C 1 : P(f(a)) Q(f(a)) C 2 : ~P(f(a)) R(a) Aplicando-se o princípio da à C 1 e C 2 obtém-se o resolvente C: C: Q(f(a)) R(a) 7 Outras substituições também poderiam ser aplicadas. Exercício: Para s 1 = {x/f(f(a))} e s 2 = {y/f(a)}, Qual seria o resolvente obtido? Teria outras possíveis substituições? Uma substituição mais geral seria substituir x por f(y) em C 1 e obter-se: C 1 *: P(f(y)) Q(f(y)) e um resolvente mais geral C: C: Q(f(y)) R(y) 8 A cláusula C é a cláusula mais geral no sentido de que todas as outras cláusulas que podem ser obtidas pelo processo anterior são instâncias de C. Por exemplo, C é uma instância de C. C: Q(f(y)) R(y) C : Q(f(a)) R(a) Def. 2 Uma substituição θ é chamada um unificador para um conjunto de expressões {E 1,...,E n } se e somente se E 1 θ = E 2 θ =... = E n θ O conjunto {E 1,...,E n } é dito ser unificável se existe um unificador para ele Def. 3 Um unificador σ para um conjunto de expressões {E 1,...,E n } é um unificador mais geral (umg) se, e somente se, para cada unificador θ para o conjunto, existe uma substituição λ tal que θ = σ λ. Exemplo: E = {Q(x), Q(f(y))} Entre outras possíveis substituições, θ unifica E θ = {x/f(a), y/a} e o umg σ = {x/f(y)} Existe uma substituição λ tal que θ = σ λ Essa substituição seria: λ = {y/a} {x/f(a), y/a} = σ λ {x/f(a), y/a} = {x/f(y)} {y/a} {x/f(a), y/a} = {x/f(a), y/a} Para outra substituição θ = {x/f(f(a)), y/f(a)}, λ seria {y/f(a)}

3 : Definições : Definições Def. 4 Se dois ou mais literais (com o mesmo sinal) de uma única cláusula C tem um unificador mais geral σ, então Cσ é chamado um fator de C. Exemplo: Seja C = P(x) P(f(y)) ~Q(x) P(x) e P(f(y)) tem um umg σ = {x/f(y)} Cσ = P(f(y)) ~Q(f(y)) é um fator de C : Definições Def. 5 Sejam C1 e C2 duas cláusulas sem variáveis comuns. Sejam L1 e L2 literais de C1 e C2, respectivamente. Se L1 e ~L2 tem um unificador mais geral σ, então a cláusula: (C1σ L1σ) (C2σ L2σ) é chamada um resolvente binário de C1 e C2. 15 : Definições Exemplo: Sejam C1: P(x) Q(x) (C2 não tem x) C2: ~P(a) R(y) (C1 não tem y) literais L1 = P(x) L2 = ~P(a), então, ~L2 = P(a) umg de L1 e ~L2 é σ = {x/a} logo, (C1σ L1σ) (C2σ L2σ) = Q(a) R(y) é um resolvente binário de C1 e C2. 16 : Definições Def. 6 Um resolvente de cláusulas C1 e C2 é um dos seguintes resolventes binários: (i) um resolvente binário de C1 e C2. (ii) um resolvente binário de C1 e um fator de C2. (iii) um resolvente binário de um fator de C1 e C2. (iv) um resolvente binário de um fator de C1 e um fator de C2. : Definições Exemplo: Sejam C1 = P(x) P(f(y)) R(g(y)) C2 = ~P(f(g(a))) Q(b) Um fator de C1 é: C1 = P(f(y)) R(g(y)) Um resolvente binário de C1 e C2 é: C = R(g(g(a))) Q(b)

4 : Definições Teorema 2: Se C é um resolvente de duas cláusulas C1 e C2 então C é consequência lógica de C1 e C2. 19 O Sistema Formal da Def. 7 O Sistema Formal da R consiste de: (i) Classe de linguagens Para cada alfabeto de 1ª ordem, há o conjunto das cláusulas sobre este alfabeto. (ii) Axiomas Nenhum. (iii) Regras de Inferência Regra da definida como: Se C e C são cláusulas e C é um resolvente de C e C, então derive C de C e C. 20 O Sistema Formal da Observe que a noção de uma dedução (derivação ou prova) em R é formalizada de maneira semelhante à noção de dedução em um sistema formal axiomático, no qual usa-se regras de inferência e axiomas. 21 O Sistema Formal da Teorema 3: Teorema da Correção Para todo conjunto S de cláusulas, se existe uma refutação a partir de S em R, então S é insatisfatível. tudo que se deriva é semanticamente correto Teorema 4: Teorema da Completude Para todo conjunto S de cláusulas, se S é insatisfatível, então existe uma refutação a partir de S em R. se é consequência lógica, existe uma derivação 22 Exemplo 1: Considere o que segue e a seguinte Questão ou Consulta: Quem é o chefe de João? gerente(josé, Vendas) trabalha(joão, Vendas) FATOS trabalha(y, x) gerente(z, x) chefe(z, y) REGRA Transformando essa descrição para cláusulas e fazendo derivações: 1. gerente(josé, Vendas) 2. trabalha(joão, Vendas) 3. ~trabalha(y, x) ~gerente(z, x) chefe(z, y) 4. ~trabalha(y, Vendas) ~gerente(josé, Vendas) chefe(josé, y) 5. ~trabalha(y, Vendas) chefe(josé, y) 6. ~trabalha(joão, Vendas) chefe(josé, João) 7. chefe(josé, João) σ3(z/josé, x/vendas) Res(1,4) σ5(y/joão) Res(2,6)

5 Exemplo 2: A figura que segue representa a maneira que as caixas estão arrumadas: C A B chão Use a Linguagem da Lógica de 1ª Ordem para descrever essa arrumação, ou seja, as caixas que estão notopo, no chão e o que está sobre cada caixa. Uma regra de restrição observada para as caixas que estão no topo é: as caixas que estão no topo, não têm nenhuma caixa sobre elas. 25 Descrição da situação: 1. chão(a) 2. chão(b) 3. topo(c) 4. sobre(c, A) 5. x(topo(x) ~ y(sobre(y, x)) Questão: tem algum bloco sobre o bloco C? F A T O S REGRA 26 Métodos Básicos de (Refutação) Transformando para cláusulas e fazendo derivações: 1. chão(a) 2. chão(b) 3. topo(c) 4. sobre(c, A) 5. ~topo(x) ~sobre(y, x) 7. ~topo(c) ~sobre(y, C) 8. ~sobre(y, C) σ5(x/c) Res(3,7) 27 Método de por Saturação 1. Dado um conjunto finito de cláusulas S, construa uma sequência S0, S1,... de conjuntos de cláusulas da forma seguinte: S0 = S Sn+1= Sn {C : C é um resolvente de cláusulas em Sn} 2.Pare com SIM quando for gerada. 3.Pare com NÃO quando não houver novos resolventes a derivar. 28 Métodos Básicos de (Refutação) Esse procedimento: sempre pára com SIM quando S for insatisfatível (método é refutacionalmente completo). nunca pára quando S for satisfatível e existir um conjunto infinito de resolventes obtidos a partir de S. sempre pára com NÃO quando S for satisfatível mas o conjunto de resolventes obtido a partir de S é finito. 29 Exemplo: S = {P Q, ~P Q, P ~Q, ~P ~Q} S0: 1. P Q 2. ~P Q 3. P ~Q 4. ~P ~Q S1: 5. Q Res(1, 2) 6. P Res(1, 3) 7. Q ~Q Res(1, 4) 8. P ~P Res(1, 4) 9. Q ~Q Res(2, 3) 10. P ~P Res(2, 3) 11. ~P Res(2, 4) 12. ~Q Res(3, 4) 30 5

6 Exemplo (continuação): S2: 13. P Q Res(1, 7) 14. P Q Res(1, 8) Q Res(5, 7) 38. Q Res(5, 9) 39. Res(5, 12) 31 Métodos Básicos de (Refutação) Outros métodos com implementações mais eficientes: Método por Saturação com Filtragem Método de por conjunto de Suporte Método da Linear Esses métodos implementam a visando otimização. Para isso, evitam gerar resolventes (novas cláusulas) que sejam irrelavantesa decisão de insatisfatibilidadedo conjunto de cláusulas. O método mais eficiente é o da Linear, segue um exemplo: 32 Métodos Básicos de Exemplo: Seja S o seguinte conjunto de cláusulas: 1. chama(a, b) 2. usa(b, e) 3. ~chama(x, y), depende(x, y) 4. ~usa(x, y), depende(x, y) 5. ~chama(x, z), ~depende(z, y), depende(x, y) Questão: depende(a, e)? A seguinte sequência de cláusulas é uma refutação linear a partir de S: 33 Métodos Básicos de 1. chama(a, b) 2. usa(b, e) 3. ~chama(x, y), depende(x, y) 4. ~usa(x, y), depende(x, y) 5. ~chama(x, z), ~depende(z, y), depende(x, y) 6. ~depende(a, e) (negação da tese) 7. ~chama(a, z), ~depende(z, e) Res(5,6) λ(x/a, y/e) 8. ~depende(b, e) Res(1,7) λ(z/b) 9. ~usa(b, e) Res(4,8) λ(x/b, y/e) 10. Res(2,9) 34 Métodos Básicos de Exemplo 2: Seja S o seguinte conjunto de cláusulas: 1. genitor(pam, bob) 2. genitor(tom, bob) F 3. genitor(tom, liz) A T 4. genitor(bob, ana) O 5. genitor(bob, pat) S 6. genitor(pat, jim) 7. ~genitor(x,z) descendente (X,Z) 8. ~genitor(x,y) ~descendente (Y,Z) descendente(x,z) Questão: descendente(tom,pat)? REGRAS A seguinte sequência de cláusulas é uma refutação linear a partir de S: 35 Métodos Básicos de 1. genitor(pam, bob) 2. genitor(tom, bob) 3. genitor(tom, liz) 4. genitor(bob, ana) 5. genitor(bob, pat) 6. genitor(pat, jim) 7. ~genitor(x,z) descendente (X,Z) 8. ~genitor(x,y) ~descendente (Y,Z) descendente(x,z) 9. ~descendente(tom, pat) (negação da tese) 10. ~genitor(tom,y) ~descendente (Y, pat) descendente(tom, pat) σ8(x/tom, Z/pat) 11. ~genitor(tom,y) ~descendente (Y, pat) Res(9,10) 12. ~genitor(tom, bob) ~descendente (bob, pat) σ11(y/bob) 13. ~descendente (bob, pat) Res(2,12) 14. ~genitor(bob, pat) descendente (bob, pat) σ7(x/bob, Z/pat) 15. ~genitor(bob, pat) Res(13,14) 10. Res(5,15) 36 6