PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP TALITA CARVALHO SILVA DE ALMEIDA

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO PUC/SP TALITA CARVALHO SILVA DE ALMEIDA SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS E CABRI 3D: UM ESTUDO DE TRUNCATURAS BASEADAS NO RENASCIMENTO MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA São Paulo 2010

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3 TALITA CARVALHO SILVA DE ALMEIDA SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS E CABRI 3D: UM ESTUDO DE TRUNCATURAS BASEADAS NO RENASCIMENTO Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação da Professora Doutora Maria José Ferreira da Silva. PUC/SP 2010

4 Banca Examinadora

5 Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de foto copiadoras ou eletrônicos. Assinatura: São Paulo e Data:

6 Dedico este trabalho aos meus pais, Henrique e Eliana, pelo amor, compreensão, paciência e incentivo sempre.

7 AGRADECIMENTOS Primeiro agradeço a DEUS e aos meus anjos da guarda, pela força, pela proteção e pela oportunidade de iniciar e concluir esta importante etapa de minha vida. A querida Professora Doutora Maria José Ferreira da Silva, pela orientação, apoio e amizade. Ao Professor Mestre Mário Thomaz (in memorian), por ter me estimulado a iniciar o mestrado. Aos membros da banca, Professores Doutores Iran Abreu Mendes e FumiKazu Saito, pelas valiosas sugestões e contribuições para essa pesquisa. Ao corpo docente do Programa de Estudos Pós- Graduados em Educação Matemática da PUC-SP, especialmente, aos Professores Doutores Saddo Ag Almouloud, Benedito Antonio da Silva, Cileda de Queiroz e Silva Coutinho e Sandra Maria Pinto Magina. A todos os Funcionários do Centro de Ciências Exatas da PUC-SP, especialmente ao Francisco, pela amizade e pela ajuda final na formatação da dissertação. Aos amigos do Programa de Estudos de Pós-Graduados em Educação Matemática, Juliana, Rosana, Pimenta, Ana Lúcia, Edna, Gilson, Victória, Patrícia, Ivete e Aida.

8 A querida amiga Victória, pela amizade, apoio e sugestões preciosas. Aos meus amados pais, Henrique e Eliana, por me proporcionarem condições para estudar. A minha avó Margarida, meu amor incondicional. Ao meu namorado Érico, pelo amor e apoio sempre. Ao meu tio Roberto, pelo carinho, amizade, apoio e acolhida nessa fase de minha vida. A minha irmã Thais; meu cunhado Sandy; minhas tias Thereza, Alzira e Ulcirene; minhas primas Paloma, Ana Paula e Nayana. E a todos os meus familiares, por acreditarem em mim e por estarem sempre ao meu lado. A CAPES, pela concessão da bolsa de estudos. A todas as pessoas que, de certa forma, contribuíram para a realização desta pesquisa. A Autora

9 RESUMO O presente trabalho tem como objetivo revisitar o objeto matemático Sólidos Arquimedianos por meio de suas construções no ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D. Assim, a pergunta de pesquisa foi: o objeto matemático Sólidos Arquimedianos pode ser resgatado como objeto de ensino para a Escola Básica, utilizando como habitat o ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D? Para investigar processos de construção para esses sólidos, recorremos a um estudo bibliográfico desenvolvido com base em material já elaborado, constituídos principalmente de livros e artigos científicos. O referencial teórico baseou-se na Transposição Didática e na Problemática Ecológica de Yves Chevallard (1991), para promover a articulação entre a análise epistemológica e a análise didática, além de apontar características outras que determinam a sobrevivência do objeto matemático Sólidos Arquimedianos enquanto objeto de ensino, e na teoria dos Registros de Representação Semiótica de Duval (1995), para identificar e analisar quais os registros mobilizados para a construção desses sólidos, bem como evidenciar os tratamentos e conversões efetuados. A escolha metodológica pela pesquisa bibliográfica contribuiu para o alcance do objetivo desejado, visto que nos permitiu encontrar um procedimento matemático realizado por renascentistas para a obtenção de arquimedianos a partir de cortes nas arestas de sólidos platônicos. As análises das construções realizadas ajudaram a perceber que os tratamentos apenas figurais não são suficientes para a construção dos Sólidos Arquimedianos no Cabri 3D, faz-se necessário mobilizar um registro discursivo suporte para que os pontos de corte em sólidos platônicos possam ser encontrados. Nesse sentido, constatamos que o Cabri 3D se confirmou como um habitat para o estudo dos Sólidos Arquimedianos, na medida em reconheceu como objeto todos os saberes que determinam a existência desse objeto matemático enquanto objeto de ensino. Palavras-Chave: Sólidos Arquimedianos. Cabri 3D. Transposição Didática. Registros de Representação Semiótica.

10 ABSTRACT This research aims to revisit the mathematical object Archimedean Solids through their constructions on the environment of Dynamic Geometry Cabri 3D. Thus, the research question was: Can the mathematical object Solids Archimedean be rescued as the object of education for the Basic School using the environment as habitat Dynamic Geometry Cabri 3D? To investigate processes of construction for these solid, we resort to a bibliographic developed based on material already prepared, consisting of books and scientific articles. The theoretical framework was based on the Theory of Didactic Transposition to promote the relationship between the epistemological analysis and didactic analysis, while identifying characteristics that determine the survival of the Archimedean Solids mathematical object as the object of education, and the theory of Register of Representation Semiotics of Duval (1995), to identify and analyze the register mobilized for the construction of solid as well as highlight treatments and conversions made. The methodological choice for literature contributed to the achievement of the desired goal, since it allowed us to find a mathematical procedure performed by Renaissance to obtain Archimedean from cut edges of Platonic solids. The analysis of the constructions helped us realize that the only figural treatments are not sufficient for the construction of the Archimedean solids in Cabri 3D, it is necessary to mobilize a record discursive support for the cut-off points on Platonic solids can be found. Accordingly, we find that Cabri 3D was confirmed as a habitat for the study of Archimedean Solids, because recognized as an object all the knowledge that determine the existence of mathematical object as an object of education. Key-words: Archimedean Solids. Cabri 3D. Didactic Transposition. Register of Representation Semiotics.

11 LISTA DE FIGURAS Figura 1. Representação de poliedro como sólido, superfície e estrutura Figura 2. Planificação da superfície de um poliedro Figura 3. Planificações de superfícies de poliedros Figura 4. Poliedro convexo e poliedro não-convexo Figura 5. Elementos de um poliedro Figura 6. Diferentes tipos de ângulos Figura 7. Definição de Sólidos Arquimedianos Figura 8. Exemplo de poliedros arquimedianos Figura 9. Prisma e Antiprisma retos regulares Figura 10. Arquimedianos estudados em Geometria Prática Figura 11. Sólidos considerados arquimedianos Figura 12. Caixa de ferramentas poliedros Figura 13. Caixa de ferramentas poliedros regulares Figura 14. Tetraedro regular Figura 15. Caixa de medidas Figura 16. Comprimento do segmento AB Figura 17. Ferramenta ponto médio Figura 18. Ponto médio da aresta do prisma Figura 19. Ferramenta plano Figura 20. Plano de secção Figura 21. Ferramenta recorte de poliedro Figura 22. Recorte de poliedro Figura 23. Ferramenta planificação Figura 24. Ferramenta abrir poliedro Figura 25. Planificação da superfície do dodecaedro regular Figura 26. Diferentes tratamentos

12 Figura 27. Diferentes conversões Figura 28. Sólidos de Platão Figura 29. Descrição de Pappus sobre os sólidos arquimedianos Figura 30. Tetraedro truncado e cuboctaedro Figura 31. Escrito de Piero della Francesca de um Tetraedro truncado Figura 32. Escrito de Piero della Francesca de um Cuboctaedro Figura 33. Hexágono regular a partir de um triângulo eqüilátero Figura 34. Tetraedro truncado, octaedro truncado, icosaedro truncado Figura 35. Cubo truncado e Dodecaedro truncado Figura 36. Desenho de Leonardo da Vinci do Icosidodecaedro Figura 37. Desenho de Leonardo da Vinci do Rombicuboctaedro...91 Figura 38. Icosidodecaedro e rombicuboctaedro Figura 39. Cuboctaedro truncado e cubo achatado Figura 40. Planificação da superfície do cubo achatado Figura 41. Construção do cubo achatado a partir do cubo Figura 42. Rombicosidodecaedro e icosidodecaedro truncado Figura 43. Estrutura de poliedros em madeira Figura 44. Planificação de superfície de poliedros em madeira Figura 45. Dodecaedro achatado Figura 46. Superfície de um dodecaedro achatado em madeira Figura 47. Mistério Cosmográfico de Kepler Figura 48. Classificação de poliedros de Kepler Figura 49. Exemplo Lema 2(i) Figura 50. Exemplo Lema 2(ii) Figura 51. Dois tipos de vértices de mesma espécie Figura 52. Sólidos Arquimedianos Figura 53. Rombicuboctaedro e pseudo rombicuboctaedro Figura 54. Sólidos Arquimedianos obtidos por truncaturas

13 Figura 55. Arquimedianos obtidos por truncaturas modificadas Figura 56. Truncamento tipo Figura 57. Truncamento tipo Figura 58. Eliminação do canto do tetraedro, do cubo e do dodecaedro Figura 59. Eliminação do canto do octaedro Figura 60. Eliminação do canto do icosaedro Figura 61. Cuboctaedro gerado a partir do cubo ou octaedro Figura 62. Icosidodecaedro a partir do dodecaedro ou icosaedro Figura 63. Face hexagonal Figura 64. Pontos de corte no triângulo Figura 65. Face octogonal Figura 66. Pontos de corte no quadrado Figura 67. Face decagonal Figura 68. Pontos de corte no pentágono Figura 69. Circunferência circunscrita ao decágono Figura 70. Triângulo Figura 71. Triângulo Figura 72. Ferramenta cubo Figura 73. Cubo Figura 74. Pontos médios das arestas do cubo Figura 75. Plano de secção (cubo) Figura 76. Eliminação do canto do cubo Figura 77. Cuboctaedro Figura 78. Ferramenta octaedro regular Figura 79. Octaedro Regular Figura 80. Pontos médios das arestas do octaedro regular Figura 81. Plano de secção (octaedro regular) Figura 82. Eliminação do canto do octaedro regular

14 Figura 83. Ferramenta dodecaedro regular Figura 84. Dodecaedro regular Figura 85. Pontos médios das arestas do dodecaedro regular Figura 86. Plano de secção (dodecaedro regular) Figura 87. Eliminação do canto do dodecaedro regular Figura 88. Icosidodecaedro Figura 89. Ferramenta icosaedro regular Figura 90. Icosaedro Regular Figura 91. Pontos médios das arestas do dodecaedro regular Figura 92. Plano de secção (dodecaedro regular) Figura 93. Eliminação do canto do icosaedro regular Figura 94. Face triangular ABC Figura 95. Ferramenta tetraedro regular Figura 96. Tetraedro regular Figura 97. Arestas do tetraedro divididas em três partes congruentes Figura 98. Plano de secção (tetraedro regular) Figura 99. Eliminação do canto do tetraedro regular Figura 100. Tetraedro truncado Figura 101. Ferramenta octaedro regular Figura 102. Octaedro regular Figura 103. Arestas do octaedro dividas em três partes congruentes Figura 104. Plano de secção (octaedro regular) Figura 105. Eliminação do canto do octaedro regular Figura 106. Octaedro truncado Figura 107. Ferramenta icosaedro regular Figura 108. Icosaedro regular Figura 109. Arestas do icosaedro dividas em três partes iguais Figura 110. Plano de secção (icosaedro regular)

15 Figura 111. Eliminação do canto do icosaedro regular Figura 112. Icosaedro truncado Figura 113. Triângulo eqüilátero Figura 114. Ferramenta comprimento Figura 115. Comprimento da aresta (cubo) Figura 116. Ferramenta calculadora Figura 117. Inserindo expressão na calculadora (cubo truncado) Figura 118. Transferência de medida para a aresta do cubo Figura 119. Plano de secção (cubo II) Figura 120. Eliminação do canto do cubo II Figura 121. Cubo truncado Figura 122. Conversão entre os registros figural e algébrico Figura 123. Inserindo a expressão na calculadora (dodecaedro truncado) Figura 124. Transferência de medida para a aresta do dodecaedro regular Figura 125. Plano de secção (dodecaedro regular II) Figura 126. Eliminação do canto do dodecaedro regular II Figura 127. Dodecaedro truncado Figura 128. Ferramenta transferência de Medidas Figura 129. Transferindo medidas Figura 130. Ferramentas distância e comprimento Figura 131. Calculadora Figura 132. Ferramenta semi-reta Figura 133. Criação semi-reta Figura 134. Ferramenta ponto Figura 135. Ponto 1 na semi-reta Figura 136. Ferramenta esfera Figura 137. Ponto 2 e ponto 3 na semi-reta Figura 138. Ferramenta segmento

16 Figura 139. Criação segmento Figura 140. Ferramenta paralela Figura 141. Criação paralelas

17 LISTA DE QUADROS Quadro 1. Recursos do Cabri 3D Quadro 2. Números de triângulos eqüiláteros que podem concorrer em um vértice Quadro 3. Números de quadrados que podem concorrer em um vértice Quadro 4. Números de pentágonos regulares que podem concorrer em um vértice Quadro 5. Características Poliedros de Platão Quadro 6. Descrição de Pappus sobre os sólidos arquimedianos Quadro 7. Sólidos Arquimedianos no Renascimento Quadro 8. Tipos de vértices que não formam um ângulo sólido Quadro 9. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de quatro lados e no máximo quatro polígonos de três lados Quadro 10. Possibilidades de ângulos sólidos formados por dois polígonos de quatro lados e dois polígonos de três lados Quadro 11. Possibilidades de ângulos sólidos formados por três polígonos de quatro lados e dois polígonos de três lados Quadro 12. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de cinco lados e no máximo quatro polígonos de três lados Quadro 13. Possibilidades de ângulos sólidos formados por dois polígonos de cinco lados e no máximo dois polígonos de três lados Quadro 14. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de seis lados e no máximo três polígonos de três lados Quadro 15. Possibilidades de ângulos sólidos formados por dois polígonos de seis lados e um polígono de três lados Quadro 16. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de sete ou mais lados e três lados Quadro 17. Possibilidades de ângulos sólidos formados por mais de um polígono de sete ou mais lados e três lados Quadro 18. Possibilidades de ângulos sólidos formados por polígonos de quatro lados e cinco ou mais lados

18 Quadro 19. Possibilidades de ângulos sólidos formados por polígonos de cinco lados e seis ou mais lados Quadro 20. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de quatro lados, dois polígonos de três lados e um polígono de cinco ou mais lados Quadro 21. Possibilidades de ângulos sólidos formados por dois polígonos de quatro lados e um polígono de cinco ou mais lados Quadro 22. Possibilidades de ângulos sólidos formados por três polígonos que não são de três lados Quadro 23. Pseudo Rombicuboctaedro Quadro 24. Características numéricas dos arquimedianos estudados Quadro 25. Características numéricas a partir do tipo de truncamento

19 SUMÁRIO CONSIDERAÇÕES INICIAIS CAPITULO 1 ESTUDOS PRELIMINARES IDÉIA DE POLIEDRO ALGUNS ESTUDOS EM GEOMETRIA ESPACIAL OS POLIEDROS NOS DOCUMENTOS OFICIAIS OS SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS EM MATERIAIS DIDÁTICOS DESENHO GEOMÉTRICO E GEOMETRIA DESCRITIVA GEOMETRIA DINÂMICA E CABRI 3D OS TRÊS PÓLOS DA COMUNICAÇÃO CAPÍTULO 2 PROBLEMÁTICA DELIMITAÇÃO DO PROBLEMA PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS QUADRO TEÓRICO NOÇÃO DE TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA E A PROBLEMÁTICA ECOLÓGICA REGISTRO DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA CAPÍTULO 3 ESTUDO HISTÓRICO POLIEDROS REGULARES O DESENVOLVIMENTO DOS SÓLIDOS DE ARQUIMEDES SOLIDOS ARQUIMEDIANOS NO RENASCIMENTO SISTEMATIZAÇAO DE KEPLER TREZE OU QUATORZE ARQUIMEDIANOS? CAPÍTULO 4 ESTUDO DIDÁTICO E MATEMÁTICO OPERAÇÃO DE TRUNCAMENTO ARQUIMEDIANOS OBTIDOS POR TRUNCAMENTO TIPO ARQUIMEDIANOS OBTIDOS POR TRUNCAMENTO TIPO AS CONSTRUÇÕES E SUAS ANÁLISES TRUNCAMENTO TIPO TRUNCAMENTO TIPO AS CARACTERÍSTICAS NUMÉRICAS DOS POLIEDROS OBTIDOS CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS APÊNDICE A: TRANSFERINDO MEDIDAS NO CABRI 3D APÊNDICE B: APLICANDO O TEOREMA DE TALES NO CABRI 3D

20 CONSIDERAÇÕES INICIAIS 1 As possibilidades interativas advindas da informática e os seus diversos usos na educação matemática são aspectos que sempre chamaram minha atenção. Talvez pelo fato de ter formação na área de tecnologia, além de ser professora de matemática. De fato meu interesse estava, desde meu ingresso no mestrado ou mesmo antes, em desenvolver um trabalho em geometria espacial auxiliado pelo ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D, software que conheci em 2004 na condição de aluna da especialização em educação matemática da Universidade do Estado do Pará. Assim, faltava escolher o objeto matemático de estudo para dar início a pesquisa. No programa de Pós Graduação em Educação Matemática da PUC-SP, eu e outra aluna, tivemos a oportunidade de ministrar uma oficina de Cabri 3D. Nosso intuito era apresentar as ferramentas e recursos do software via construções geométricas espaciais. Para isso, elaboramos um material que apresentava tais ferramentas e recursos por meio de atividades propostas. Uma das atividades trazia o passo a passo da construção do sólido arquimediano cuboctaedro, sem, no entanto nomeá-lo ou mesmo ilustrá-lo. Observamos que essa atividade incomodou vários de nossos colegas presentes, pois uma vez concluída a construção a mesma era apagada e recomeçada, como se a figura gerada não fosse à esperada. Essa situação nos fez perceber que a maioria dos alunos desconhecia o cuboctaedro, bem como os outros Sólidos Arquimedianos. A situação exposta me levou a procurar trabalhos em geometria espacial que discorressem a respeito desses sólidos, na tentativa de talvez entender o porquê desse não conhecimento. No entanto, para minha surpresa, percebi que pesquisas e até mesmo livros de geometria espacial a respeito do assunto quase inexistiam no Brasil. 1 Essa dissertação está conforme as regras do Acordo Ortográfico. 18

21 Essa inquietação contribuiu em grande parte para a escolha do tema do presente trabalho na medida em que me fez investigar além do objeto matemático em questão, processos de construções para esses sólidos. Desse modo, eu e minha orientadora decidimos desenvolver nosso estudo no ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D, por o considerarmos uma ferramenta potencial de ajuda ao raciocínio, principalmente pela possibilidade de corrigir e aperfeiçoar continuamente construções geométricas espaciais ao longo das simulações. Para tanto, tomamos por hipótese que o Cabri 3D possibilita o estudo dos Sólidos Arquimedianos, pois além de favorecer a representação de objetos tridimensionais, permite manipulá-las, o que facilita a exploração e a elaboração de conjecturas. Desse modo, objetivamos com a pesquisa revisitar o objeto matemático Sólidos Arquimedianos por meio de suas construções no ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D. Assim, nos propomos responder à seguinte questão de pesquisa: O objeto matemático Sólidos Arquimedianos pode ser resgatado como objeto de ensino para a Escola Básica, utilizando como habitat o ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D? Para respondê-la investigamos na história processos de construção para esses sólidos e verificamos se o ambiente proposto permite que tais construções sejam realizadas. O presente trabalho foi estruturado em quatro capítulos. No primeiro capítulo, apresentamos estudos preliminares importantes para a composição de nossa problemática. Nesse capítulo, destacamos algumas idéias que envolvem o termo poliedro, apontamos como os Sólidos Arquimedianos são abordados em pesquisas realizadas em Educação Matemática, nos documentos oficias e em materiais didáticos, assinalamos as possíveis causas para o declínio das disciplinas Desenho Geométrico e Geometria Descritiva, bem como apresentamos uma reflexão acerca da complementaridade entre as duas disciplinas citadas e o ambiente Cabri 3D. No segundo capítulo trazemos a problemática, na qual destacamos nosso problema de pesquisa, procedimentos metodológicos e nosso quadro teórico. O terceiro capítulo tece considerações a respeito da história dos Sólidos de 19

22 Arquimedes, traz a demonstração da existência de apenas treze sólidos e apresenta um procedimento matemático descoberto no Renascimento que possibilita a construção dos mesmos. No último capítulo, apresentamos o nosso estudo didático e matemático a respeito dos Sólidos Arquimedianos que aponta uma possibilidade para o ensino e aprendizagem e sua inclusão na Educação Básica por meio do ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D. Essa possibilidade está atrelada a sistematização do procedimento de construção renascentista. Por fim, apresentamos algumas considerações finais, oriundas das construções realizadas no Cabri 3D, a resposta para a nossa questão de pesquisa, bem como algumas perspectivas futuras. 20

23 CAPITULO 1 ESTUDOS PRELIMINARES Iniciamos o capítulo com algumas idéias que envolvem o termo poliedro e com a apresentação de alguns estudos já realizados em Geometria Espacial. Em seguida, destacamos como os documentos oficiais sugerem o ensino dos Sólidos Arquimedianos, bem como a maneira que esse conteúdo é abordado em materiais didáticos. Por fim, apontamos as possíveis causas do abandono das disciplinas Desenho Geométrico e Geometria Descritiva, um possível ambiente informático que possibilite o estudo de poliedros, além de uma reflexão acerca da complementaridade existente entre o Desenho Geométrico, a Geometria Descritiva e o ambiente informático proposto. 1.1 IDÉIA DE POLIEDRO Wenninger (1996) lembra que a geometria é, por vezes, definida como o estudo do espaço ou de figuras no espaço de duas dimensões, para as figuras planas, polígonos, e de três dimensões para poliedros. A idéia de conjunto é utilizada pelo autor para definir polígono como um conjunto de segmentos que limitam uma porção do espaço bidimensional, e poliedros como um conjunto de figuras planas que limitam uma porção do espaço tridimensional. Para Cromwell (2008) a definição de poliedros assinalada por Wenninger (1996) pode ser interpretada de muitas maneiras, pois não fornece qualquer restrição para a forma como os polígonos estão dispostos ou que tipos de polígonos podemos usar. No entanto para o autor, tal definição tem sido produtiva, já que possibilita o termo poliedro envolver várias direções e conduzir para o estudo de diferentes tipos de objetos poliédricos. O autor, ainda, afirma que estabelecer uma definição geral para poliedros é impossível, uma vez que diversos escritores têm aplicado o mesmo termo para idéias distintas, algumas mutuamente exclusivas. Se em um nível mais elementar perguntarmos se um poliedro é um objeto sólido ou uma superfície oca, para Cromwell (2008) essas respostas dependem do período em que os geômetras viveram e os problemas que eles estudaram. Para um agrimensor da Grécia antiga, por exemplo, um poliedro era um sólido, ao longo dos últimos anos, 22

24 tornou-se, segundo o autor, mais conveniente pensar em poliedros como superfícies ocas. Entretanto, o autor aponta que há ainda estudiosos que consideram poliedros apenas como estrutura, como mostramos na Figura 1. Figura 1. Representação de poliedro como sólido, superfície e estrutura. No Brasil, de acordo com o Novo Dicionário da Língua Portuguesa (Aurélio), o termo poliedro é designado para sólido limitado por polígonos planos. Contudo ao observarmos a definição de Poliedro apresentada em livros de Geometria Espacial, percebemos contradições nos discursos dos autores, que embora considerem poliedros como sólidos, não os definem como tal. Freire (1897, p. 146) em Primeiras Noções de Geometria Prática admite poliedro como sendo os volumes limitados por superfícies planas. Em um primeiro momento, a definição dada nos permite considerar poliedro como sólido, entretanto, há uma passagem no livro em que o autor revela as faces como os planos que formam o poliedro. (Ibid., p.147). Tal afirmação se confirma nas representações de poliedros, observadas na Figura 2, em que o autor apresenta a planificação como exemplo do mesmo. Figura 2. Planificação da superfície de um poliedro. Fonte: Freire, 1897, p

25 Para Carvalho (1960, p. 80), em Programa de Desenho para a primeira e segunda séries ginasiais, os poliedros são sólidos completamente limitados por polígonos planos e os sólidos são caracterizados por possuírem três dimensões: comprimento, largura e altura ou espessura. No entanto, o exemplo dado pelo autor, conforme mostra a Figura 3, elucida a idéia de poliedro apenas como uma superfície. Figura 3. Planificações de superfícies de poliedros. Fonte: Carvalho, 1960, p.93. Lima et. al. (1999) em A Matemática do Ensino Médio iniciam a discussão a respeito de Poliedro designando-o, de uma forma geral, como sólido formado por faces, mas o definem como uma reunião de um número finito de polígonos planos. (Ibid., p.232). 24

26 Para os mesmos autores, conforme mostra a Figura 4, um poliedro é convexo se qualquer reta (não paralela a nenhuma de suas faces) o corta em, no máximo, dois pontos. (LIMA ET AL, 1999, p.233). Figura 4. Poliedro convexo e poliedro não-convexo. Fonte: Lima et. al., 1999, p A definição adotada pelos autores torna clara a idéia de poliedro como superfície. Contudo, vale ressaltar que em outro momento, os mesmos autores estudam o volume de poliedros e o definem como a quantidade de espaço por ele ocupado. (LIMA et. al., 1999, p.251). Diferente das definições já apresentadas, Rangel (1982, p. 6) afirma que poliedro é toda superfície poliédrica fechada. É, portanto, a superfície que pode ser concebida como um conjunto de polígonos tais que cada lado de uma face pertence sempre, e no máximo, a duas faces. De acordo com o autor, por hábito de linguagem, é comum se referir ao nome do corpo, em vez do nome da superfície que o limita, como por exemplo, diz-se cubo, quando se quer referir à superfície cúbica. Embora a idéia de poliedro para o autor seja a de superfície, ele considera seu volume quando diz que dois poliedros são eqüilaventes quando têm o mesmo volume. (Ibid., p. 9). Nesse sentido, o autor confunde volume com capacidade. Já Dolce e Pompeo (1998, p.124), em Fundamentos de Matemática Elementar: geometria espacial, discorrem a respeito de Poliedro Convexo como segue. Consideremos um número finito n (n 4) de polígonos planos convexos (ou regiões poligonais convexas) tais que: a) dois polígonos não estão num mesmo plano; b) cada lado de polígono é comum a dois e somente dois polígonos; 25

27 c) o plano de cada polígono deixa os demais polígonos num mesmo semi-espaço. Nessas condições, ficam determinados n semi-espaços, cada um dos quais tem origem no plano de um polígono e contém os restantes. A intersecção desses semi-espaços é chamado poliedro convexo. Um poliedro convexo possui: faces, que são os polígonos convexos; arestas, que são os lados dos polígonos e vértices, que são os vértices dos polígonos. A reunião das faces é a superfície do poliedro. A definição apresentada de poliedro convexo como a intersecção de semiespaços nos conduz assumir poliedro não como um sólido. Assim, em um primeiro momento, somos levados a crer que os autores entendem poliedro como uma superfície. No entanto, os mesmos autores, em Fundamentos de Matemática Elementar: geometria plana, definem polígono como a reunião de segmentos e não como uma superfície, como segue: dada uma seqüência de pontos de um plano (A 1, A 2,..., A n ) com n 3, todos distintos, onde três pontos consecutivos não são colineares, considerando-se consecutivos A n-1, A n e A 1, assim como A n, A 1, e A 2, chama-se polígono à reunião dos segmentos A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n-1 A n, A n A 1 (POMPEO e DOLCE, 2006, p. 132). Se considerarmos a definição de polígono apresentada pelos autores, a idéia de poliedro como superfície também é descartada, pois, a idéia que prevalece é a de poliedro como estrutura, e, portanto, não há volume e nem capacidade. Kaleff (1998), embora não defina Poliedros, em Vendo e Entendendo Poliedros, a todo momento designa-o como um sólido. Tal interpretação ocorre quando a autora descreve dois tipos de representação concreta que podem favorecer o reconhecimento e análise de propriedades geométricas por parte do aluno: o modelo casca, que representa a superfície do poliedro, e o modelo esqueleto, que representa a estrutura das arestas do poliedro. A maioria das definições apresentadas nos conduz a um problema que envolve a interpretação do termo poliedro. Ora, se considerarmos poliedro como a reunião de um número finito de faces, entendemos que a idéia que prevalece é a de um objeto oco e não a de um objeto sólido, e nesse caso não há volume, mas 26

28 sim capacidade. A idéia de volume nos remete a admitir poliedro como algo que não seja oco, nem vazio. Ponte (2000, p.15) adverte que a capacidade é muitas vezes confundida com o volume e, por vezes, as crianças têm dificuldade em separar o volume de um objeto do seu peso. Enquanto que volume de um objeto é a quantidade de espaço que ocupa, a capacidade é a quantidade de espaço ou de líquido que pode conter. Diante das definições apresentadas, percebemos contradições na maioria dos discursos dos autores em relação ao termo poliedro. Acreditamos que, embora seja possível definir poliedro de diferentes maneiras, isto é, como sólido, como superfície ou ainda como estrutura, precisamos ser coerentes com a definição adotada. No trabalho, assumimos a idéia de poliedro como um sólido e adotamos a definição de poliedro convexo apresentada por Dolce e Pompeo (1998). Contudo, definimos polígono como a reunião de uma linha fechada simples formada apenas por segmentos de reta com a sua região interna, conforme Giovanni, Castrucci e Giovanni Jr. (1998, p. 202). Alguns termos básicos, listados abaixo e ilustrados na Figura 5, serão mencionados no decorrer do trabalho. Cada polígono é chamado de face de um poliedro. Um segmento comum a duas faces é chamado de aresta. Um ponto comum a várias arestas e faces é chamado de vértice. vértice aresta face Figura 5. Elementos de um poliedro Fonte: Cromwell, 2008, p

29 Existem também vários tipos de ângulos em um poliedro: ângulo plano, ângulo sólido e ângulo diedral, respectivamente mostrados na Figura 6. O ângulo no canto de uma face poligonal é chamado de ângulo plano. O ângulo sólido é a região do poliedro próxima a um vértice, em outras palavras, é um pedaço do canto e está delimitada por três ou mais ângulos planos. O ângulo entre duas faces adjacentes é chamado de ângulo diedral e para encontrá-lo marca-se um ponto na aresta compartilhada e cria-se uma perpendicular à aresta em cada uma das duas faces passando pelo ponto marcado. O ângulo diedral é o ângulo entre as duas linhas. Figura 6. Diferentes tipos de ângulos. Assim, em continuidade aos nossos estudos analisamos as pesquisas que se aproximam do tema de pesquisa. 1.2 ALGUNS ESTUDOS EM GEOMETRIA ESPACIAL Nessa parte do trabalho, procuramos analisar as pesquisas em Geometria Espacial que retratassem em seus estudos os Sólidos de Arquimedes. A procura no Banco de Dissertações e Teses da Capes por pesquisas em Geometria Espacial, considerando o descritor geometria espacial, nos conduziu a um total de 35 trabalhos, 27 relacionados à Educação ou Educação Matemática, 4 à Engenharia, 1 à Biologia, 1 à Ciências Ambientais, 1 à Ciência da Comunicação e 1 à Ciência da Computação. Das pesquisas relacionadas à área de Educação ou Educação Matemática, percebemos que apenas duas retratam em seus estudos os Sólidos Arquimedianos. No entanto, esse levantamento nos permitiu constatar que 19 28

30 pesquisas se aproximam por considerarem a representação e visualização em Geometria Espacial, habilidades importantes para o desenvolvimento do raciocínio geométrico espacial do indivíduo. Nesse sentido, procuramos então, não apenas no Banco de Teses da Capes, mas no Brasil, por estudos em Matemática e em Educação Matemática que discutissem a questão da visualização e representação em Geometria Espacial, e também por pesquisas que abordassem o conteúdo matemático Sólidos Arquimedianos. Nessa busca encontramos vários estudos em Educação Matemática que ressaltam a importância de se incentivar o desenvolvimento da habilidade de visualizar tanto objetos do mundo real, quanto conceitos, processos e fenômenos matemáticos. Dentre esses, destacamos os trabalhos de Kaleff e Rei (1994); Kaleff, Rei e Garcia (1996) e Kaleff (1998) relacionados à visualização e interpretação de sólidos geométricos e os estudos de Cavalca (1997), Montenegro (2005) e Flores (2007) que retratam a questão da visualização de forma mais abrangente. Quanto a trabalhos que abordam o objeto matemático Sólidos Arquimedianos, encontramos apenas o estudo de Allan (1997) e as dissertações de Fernandes (2008) e Silva (2008). As dificuldades apresentadas pelos alunos na visualização de sólidos geométricos e a desmotivação que muitos apresentavam nas aulas de Geometria Espacial levaram Kaleff e Rei (1994) a procurar meios que facilitassem o ensino de propriedades geométricas dos sólidos e tornassem esse ensino mais atrativo e motivador. Para as autoras umas das formas de se desenvolver o raciocínio espacial seria construir os sólidos geométricos por meio de materiais concretos. Tais construções dariam ao aluno não só a oportunidade de observar e utilizar várias relações espaciais, mas ao mesmo tempo, por meio da manipulação dos materiais concretos, o mesmo seria motivado à ação e teria estimulada a sua criatividade. Foi nesse sentido que Kaleff e Rei (1994) utilizaram, em suas práticas materiais concretos, como canudos e varetas, para a construção de estruturas que representassem esqueletos dos cinco sólidos platônicos construídos por 29

31 meio de suas arestas. A seqüência de construção dos sólidos foi à seguinte: tetraedro, octaedro, icosaedro e cubo. As autoras assinalaram que alunos entre 13 e 15 anos perceberam que, após construírem os quatros sólidos, a idéia da construção do dodecaedro surgiu naturalmente. Dessa forma, enfatizaram a importância de uma abordagem pedagógica que permita o aluno criar imagens, interpretar desenhos, conjecturar e intuir soluções para problemas, habilidades úteis não apenas para o desenvolvimento de idéias matemáticas, mas também para o desenvolvimento integral do ser humano. Já Kaleff, Rei e Garcia (1996) com o propósito de investigar como professores e futuros professores interpretavam desenhos e calculavam volumes de sólidos construídos por pequenos cubos, desenvolveram um estudo com 590 indivíduos, entre professores e alunos do curso de graduação em matemática, com diferentes experiências de escolaridade e em diferentes meios sociais. Para avaliar e quantificar tais observações, as autoras elaboraram e aplicaram um questionário relacionado a objetos tridimensionais. Com as respostas dadas as autoras constataram significativas deficiências apresentadas pelos sujeitos investigados no que tange a visualização e interpretação de informações pictóricas implícitas, necessárias para a determinação do volume de sólidos, além de deficiências outras relativas a diversos conceitos matemáticos elementares. A preocupação com a visualização em Geometria levou Kaleff (1998) a desenvolver um trabalho que contribuísse para sua valorização, enfatizando as representações e suas interpretações. Nesse sentido, um material para professores foi desenvolvido para que conteúdos pouco explorados nos programas escolares, como os sólidos platônicos e os poliedros regulares convexos duais 2, fossem revisitados e vivenciados de maneira dinâmica e objetiva. Para Kaleff (1998, p.16) ao visualizar objetos geométricos, o indivíduo passa a ter controle sobre o conjunto das operações mentais básicas exigidas no trato da Geometria. Contudo, segundo a autora, é importante não confundir a 2 Segundo Veloso (1998), diz-se que dois poliedros são duais um do outro se consideramos um poliedro qualquer e obtermos os vértices do outro poliedro a partir dos pontos centrais das faces adjacentes do primeiro poliedro. 30

32 habilidade de perceber o objeto matemático em sua totalidade, habilidade de visualização, com a percepção visual das representações disponíveis deste objeto. A autora pontua que embora haja muitas discussões sobre a forma como a visualização se processa na mente, é importante considerá-la principalmente na Geometria e assinala que a habilidade de visualização não é inata a todos os indivíduos, contudo pode ser desenvolvida. Para Kaleff (1998), um dos caminhos seria dispor de um apoio didático baseado em materiais concretos representativos do objeto geométrico de estudo. Compartilhando esta mesma assertiva, de que alguns indivíduos simplesmente não possuem capacidade de visualização, Cavalca (1998) elaborou uma seqüência didática com o propósito de desenvolver com alunos do terceiro grau, que apresentavam tal carência, as habilidades necessárias para a visualização, interpretação de objetos espaciais e suas representações. A seqüência de atividades desenvolvida pelo autor, com material concreto e suas representações com lápis e papel, ajudou os alunos a desenvolverem suas capacidades de interpretar representações distintas de um mesmo objeto matemático e resolver problemas por meio de processos apoiados na visualização. Para Cavalca (1998, p. 163), isto significa que eles conseguiram estabelecer uma relação mais adequada entre os objetos do espaço e a representação plana deles, e dessa forma, evidenciou que é possível desenvolver a habilidade de visualização mesmo em alunos adultos. Montenegro (2005) também acredita que a habilidade de visualização pode ser estimulada, contudo adverte que não pode ser [...] tida como específica; ela englobaria diferentes tipos de aprendizagem que procuram identificar relações de posição, direção, tamanho, forma e distância entre objetos. Ela percebe detalhes e os agrupa em conjuntos; ou os monta em padrões dentro de uma base conhecida. (Ibid., p.8). O autor conduziu a pesquisa com 41 alunos do Ensino Médio com o intuito de analisar como objetos espaciais eram visualizados por eles. Na pesquisa, seis testes foram aplicados, com distintas figuras, em diferentes posições. Os resultados obtidos evidenciaram muitas dificuldades por parte dos 31

33 alunos em representar objetos tridimensionais, a representação mais utilizada foi a perspectiva Cavaleira. Para o autor, desenvolver as capacidades de visualização e representação é ter estimulada a criatividade humana, inteligência para criar coisas novas. Da mesma forma, Flores (2007) considera a visualização importante para a aquisição dos conhecimentos geométricos, e atribui à geometria uma atividade do olhar, considerada pela autora, um tanto complexa por envolver outros elementos que não estejam relacionados, exclusivamente, às figuras em si e nem a capacidade visual de cada um de nós. A autora sugere que analisemos uma imagem como representação de um modo de olhar e apresenta a perspectiva como suporte tanto da representação, quanto da epistemologia de um modo específico do olhar. (Ibid., p. 20). Para a autora entender como esse olhar se fez em perspectiva, pode nos ajudar a compreender o problema da visualização no ensino de Matemática, uma vez que a intimidade entre a visualização e a geometria não se restringe ao espaço de sala de aula, tão pouco às questões atuais. (FLORES, 2007, p.17). O que a autora sugere é deslocar o pólo do processo de ensino e de aprendizagem centrado no aluno e apromixar-se do saber instituído. (Ibid., p.36). Em outras palavras, compreender tanto o lugar efetivo do conhecimento, quanto a relação que o professor tem com o saber que ele ensina. Flores (2007) ao investigar na história, na arte e na técnica, um conhecimento de um saber, o da técnica em perspectiva, e mostrar como o modo de olhar, os saberes e os sujeitos foram se construindo, pôde compreender as dificuldades e os erros de interpretação visual dos alunos, bem como relacionalos a construção de um olhar estabelecido em uma ordem que se deu há séculos atrás. Nos estudos apresentados até aqui, percebemos a preocupação dos autores em amenizar dificuldades no que tange a visualização, interpretação e representação de objetos tridimensionais ou mesmo procurar meios didáticos que possibilitem o desenvolvimento de tais capacidades. Acreditamos também que esses aspectos são importantes e precisam ser considerados, entretanto como fogem do escopo principal deste trabalho serão explorados em trabalhos futuros. 32

34 Quanto aos estudos que envolvem o objeto matemático Sólidos Arquimedianos, observamos que Allan (1997) os apresenta por meio de um breve estudo histórico sobre poliedros e nos indica um processo geral que envolve suas construções. O processo de lapidação sugerido pelo autor, consiste em cortar pedaços de um sólido regular qualquer para a obtenção de outro sólido em que todas as arestas são congruentes. Contudo, o autor não ilustra nenhum sólido arquimediano e tão pouco os nomeia apenas nos indica o sólido platônico a partir do qual se originam. Esse estudo contribuiu para o desenvolvimento de nossa pesquisa, sobretudo em relação aos aspectos históricos apontadas pelo autor. Em relação às pesquisas de Fernandes (2008) e Silva (2008) percebemos que ambas compartilham do mesmo sólido arquimediano. Suas pesquisas estão relacionados à WebQuest Bola de Futebol e a Matemática, desenvolvida pelas autoras para o ensino e aprendizagem do sólido arquimediano icosaedro truncado. A WebQuest apresenta tarefas que envolvem noções relativas aos Sólidos Arquimedianos, bem como competências para o trabalho geométrico, tais como: leitura e interpretação de textos, definições em matemáticas, princípios das construções geométricas, dentre outros. A WebQuest traz, ainda, a tarefa de construir um modelo do icosaedro truncado utilizando papel cartão, além das instruções necessárias para sua confecção. Enquanto Fernandes (2008) analisou o papel que o professor desempenhava ao utilizar a WebQuest, Silva (2008) procurou investigar como esta metodologia de ensino pode colaborar para o desenvolvimento de conteúdos matemáticos com alunos do Ensino Médio. Ambas as autoras dedicaram um capítulo de suas dissertações ao estudo matemático, ainda que tímido, dos sólidos arquimedianos. Como os objetivos do estudo não estavam relacionados com o objeto matemático em si, mas com a utilização e interação dos alunos e professores com a WebQuest, não temos como apontar resultados no que tange a construção do conhecimento matemático. Nas pesquisas apresentadas, identificamos que o estudo matemático dos Sólidos Arquimedianos no Brasil é pouco explorado, talvez pela dificuldade relacionada a visualização e representação desses sólidos, bem como da compreensão de noções e propriedades geométricas espaciais. 33

35 Diante das dificuldades apresentadas a respeito da representação e visualização de objetos espaciais, procuramos observar como o ensino de Sólidos Arquimedianos é sugerido pelos documentos oficiais. 1.3 OS POLIEDROS NOS DOCUMENTOS OFICIAIS Os Documentos Oficiais de Educação em Matemática, seja para o nível fundamental, seja para o nível médio, destacam a importância do papel da educação no desenvolvimento das pessoas e da sociedade, além de estabelecerem diretrizes baseadas em orientações gerais para que sirvam de apoio ao ato de ensinar. Todos concordam quanto à importância do ensino de Geometria como forma de proporcionar o desenvolvimento de um pensamento matemático específico, baseado na leitura e interpretação do espaço do qual fazemos parte. O estudo da Geometria cria oportunidade para melhor compreender e representar os vários tipos de organização desse espaço, isto é, as obras do homem ou da natureza. afirmam que: Nesse sentido, Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN, 1998, p.122) a Geometria desempenha um papel fundamental no currículo, na medida em que possibilita ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender, descrever e representar de forma organizada, o mundo em que vive. Também é fato que as questões geométricas costumam despertar o interesse dos adolescentes e jovens de modo natural e espontâneo. Além disso, é um campo fértil de situações-problema que favorece o desenvolvimento da capacidade para argumentar e construir demonstrações. A escolha dos conteúdos específicos relativos ao tema Geometria, seu ensino e recursos, a metodologia utilizada para abordar esse conhecimento, bem como o espaço para que seu ensino e aprendizagem ocorram, são fatores importantes apontados e discutidos. Em geral, os documentos oficiais sinalizam que para a seleção desses conteúdos, critérios orientadores devem ser estabelecidos como forma de evitar a quantidade excessiva de informações. A seleção de conteúdos a serem 34

36 trabalhados em Geometria deve estar relacionada à sua relevância científica e cultural e sua assimilação é essencial para a produção de novos conhecimentos, o que permite o desenvolvimento e/ou aprimoramento de competências e habilidades. As Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006, p.7), também, apontam a contextualização e interdisciplinaridade como princípios condutores da organização curricular e, portanto são aspectos que precisam ser considerados nessa seleção. Tais aspectos devem possibilitar a conexão entre conceitos matemáticos e entre formas distintas de pensamento matemático, ou ainda, relevância cultural dentro ou fora da matemática. O estudo dos Sólidos de Arquimedes, conhecidos também por sólidos semi-regulares, pode se tornar evidente e justificável segundo esses aspectos, uma vez que estabelecem conexão com outras áreas do conhecimento (biologia, arte, arquitetura, cartografia...) e suas representações fazem parte do nosso contexto social e cultural. Nesse sentido, observamos as orientações sinalizadas nesses documentos em respeito ao ensino dos Sólidos de Arquimedes. Embora, esses sólidos não sejam mencionados, seu ensino está vinculado ao conteúdo matemático Poliedro. Os PCN (1998) apontam em quatro blocos - Números e Operações; Espaço e Forma; Grandezas e Medidas; e Tratamento da Informação - os conteúdos matemáticos a serem ensinados. Tal documento propõe que o trabalho com o bloco Espaço e Forma que aborda conteúdos relativos à Geometria - seja realizado com a exploração de situações que envolvam construções com régua e compasso, ao passo que propriedades de figuras planas possam ser aplicadas e visualizadas, além de construções de demais relações. Em relação aos conceitos e procedimentos pontuados neste bloco, esse documento destaca a: [...] classificação de figuras tridimensionais e bidimensionais, segundo critérios diversos, como: corpos redondos e poliedros; poliedros regulares e não-regulares; prismas, pirâmides e outros poliedros; círculos, polígonos e outras figuras; número de lados dos polígonos; eixos de simetria de um polígono; paralelismo de lados, medidas de ângulos e de lados. (BRASIL, 1998, p. 73, grifo nosso). 35

37 Esse mesmo documento aponta a construção de figuras geométricas espaciais como meio de capacitar o aluno a identificá-las, interpretá-las e representá-las no plano, bem como classificá-las utilizando noções de paralelismo, perpendicularismo e de ângulo. Embora atenção maior seja dada para a Geometria Plana nesse nível de ensino, a noção de figuras tridimensionais é introduzida. Dentre essas noções, apontamos Poliedros como conteúdo a ser trabalhado com os alunos. Ainda que propriedades mais particulares de Poliedros regulares e não-regulares não sejam evidenciadas, percebemos a preocupação em classificar, desde o nível fundamental, formas geométricas básicas espaciais a fim de que possam ser reconhecidas e diferenciadas. As orientações sinalizadas para a Geometria, em especial Poliedros, que compõem o Ensino Médio são as mesmas dadas ao Ensino Fundamental. Entretanto, nesse nível de ensino, essas orientações se intensificam e desenvolvem de maneira mais ampla as capacidades de abstração e raciocínio. Pode-se verificar tal afirmação ao observar as orientações dadas pelos PCN+ (2002, p.125, grifo nosso) ao trabalho com Poliedros em Geometria Espacial: elementos dos poliedros, sua classificação e representação; sólidos redondos; propriedades relativas à posição: intersecção, paralelismo e perpendicularismo; inscrição e circunscrição de sólidos. Usar formas geométricas espaciais para representar ou visualizar partes do mundo real, como peças mecânicas, embalagens e construções. Interpretar e associar objetos sólidos a suas diferentes representações bidimensionais, como projeções, planificações, cortes e desenhos. Utilizar o conhecimento geométrico para leitura, compreensão e ação sobre a realidade. Compreender o significado de postulados ou axiomas e teoremas e reconhecer o valor de demonstrações para perceber a Matemática como ciência com forma específica para validar resultados. Nesse sentido, o currículo de Geometria do Ensino Médio, com o intuito de complementar a formação inicial no Ensino Fundamental, deve garantir que os alunos estendam e aprofundem alguns conteúdos geométricos já ensinados ou introduzidos, como no caso de Poliedros. 36

38 Os Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio (2000) enfatizam que o trabalho com representação de figuras planas e espaciais deve ser também aprofundado e sistematizado. Essa competência amplia a compreensão e percepção do espaço e permite estabelecer relações entre suas propriedades com a geometria plana e sua representação com os objetos que lhe deram origem. É nesse sentido que [...] as habilidades de visualização, desenho, argumentação lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas podem ser desenvolvidas com um trabalho adequado de Geometria, para que o aluno possa usar as formas e propriedades geométricas na representação e visualização de partes do mundo que o cerca. (BRASIL, 2000, p.44). A visualização, portanto, assume um papel importante na exploração e construção dos conceitos matemáticos, particularmente da Geometria. A preocupação com o seu desenvolvimento, bem como a elaboração e interpretação de suas representações no plano, deve ocupar uma posição de destaque em todo o processo de ensino e aprendizagem. Identificando a importância de se desenvolver uma educação visual adequada, as Orientações Curriculares para o Ensino Médio (2006) afirmam que para trabalhar com poliedros, existem também programas interessantes. Neles, há poliedros em movimento, sob diferentes vistas, acompanhados de planificação. São programas apropriados para o desenvolvimento da visualização espacial. (BRASIL, 2006, p.89). A Informática e as ferramentas advindas da computação introduziram uma dimensão mais dinâmica, em que formas virtuais, além de ganharem aspectos de uma realidade quase material, podem ser manipuladas e transformadas de diferentes maneiras. Como podemos observar, os documentos oficiais sugerem o estudo de poliedros, mas não detalham os tipos de poliedros a serem ensinados. Sugerem, também, que seu ensino esteja atrelado a construções de figuras geométricas planas e espaciais sem, no entanto apontar um caminho. Embora o uso das tecnologias seja pontuado como recurso didático para ensino e aprendizagem de poliedros, o que facilitaria a sua construção e visualização, é pouco enfatizado. 37

39 Como os Sólidos Arquimedianos não são mencionados nesses documentos, procuramos observar como são discutidos e apresentados em materiais didáticos, o que mostramos no que segue. 1.4 OS SÓLIDOS ARQUIMEDIANOS EM MATERIAIS DIDÁTICOS Pretendemos nesse tópico observar, no Brasil, como os Sólidos Arquimedianos são abordados e como estão organizados em materiais didáticos, paradidáticos e materiais de apoio ao professor. Fernandes (2008) em sua dissertação de mestrado realizou esse levantamento e constatou que o objeto matemático Sólidos Arquimedianos não aparecia explícito nos materiais pesquisados. Dos nove livros observados, a autora constatou que esse conteúdo aparecia apenas por meio de exemplos e exercícios, em geral, relacionados à Relação de Euler e à convexidade, mas sem qualquer definição ou mesmo nomeação correspondente. O icosaedro truncado é o sólido arquimediano que mais aparece, provavelmente, por ser associado à bola de futebol. Persistindo nessa busca, encontramos um material do GESTAR 3 que aborda esse conteúdo matemático com definição e exemplos, Caderno de Teoria e Prática 3: matemática nas formas geométricas e na ecologia. A definição apresentada dos Sólidos Arquimedianos, conforme mostra a Figura 7, se confunde com a de poliedros semi-regulares, que em geral são tratados como sinônimos. Figura 7. Definição de Sólidos Arquimedianos. Fonte: Brasil, 2008, p Programa de Gestão Escolar aprovado pelo Ministério da Educação para oferecer formação continuada em língua portuguesa e matemática aos professores do ensino fundamental (6º ao 9º ano) em exercício nas escolas públicas. Esse material tem sido usado na formação de professores na Bahia, Tocantins e Pernambuco e está disponível no site 38

40 Essa definição comunga da mesma idéia de Veloso (1998) que apresenta os Sólidos Arquimedianos da seguinte maneira: se na definição que demos de poliedro regular mantivermos a condição das faces serem polígonos regulares, mas não a de serem todas congruentes, obtemos uma família mais ampla de sólidos, estudada por Arquimedes ( a. C.). Note-se que as arestas são todas congruentes, e os vértices também. As faces são polígonos regulares, mas enquanto nos platônicos eram apenas de um tipo, aqui poderão ser de vários tipos. É ainda necessário acrescentar a condição de que todo o vértice pode ser transformado noutro vértice por uma simetria de poliedro. A estes sólidos é habitual chamar arquimedianos ou semi-regulares. (Ibid., p.235). No Caderno de Teoria e Prática 3, ainda estão ilustrados três poliedros prisma reto triangular, prisma reto hexagonal e octaedro truncado, como mostra a Figura 8, apresentados como arquimedianos. Figura 8. Exemplo de poliedros arquimedianos. Fonte: Brasil, 2008, p

41 Segundo Veloso (1998, p. 235), os prismas cujas faces laterais são regulares, de acordo com a definição dada, são arquimedianos. Do mesmo modo, também os antiprismas de faces regulares são arquimedianos. No entanto, os infinitos prismas e antiprismas não são em geral incluídos na família dos arquimedianos. De acordo com Eves (2004, p. 358), um antiprisma é obtido de um prisma efetuando-se uma rotação de sua base superior em seu próprio plano de modo a fazer seus vértices corresponderem aos lados da base inferior, e ligando então, em zigue-zague, os vértices das duas bases. Os prismas e antiprismas retos de base regular cujas faces laterais são quadrados e triângulos eqüiláteros respectivamente contemplam a definição dos Sólidos Arquimedianos, conforme mostra a Figura 9. No entanto, para Veloso (1998) a família dos arquimedianos é finita, uma vez que temos infinitos prismas e antiprismas retos de bases regulares, isto é, de vértices do tipo (4,4,n) e (3,3,3,n) respectivamente, sendo n o número de lados do polígono base. O autor, ainda assinala que, assim como os platônicos, podemos investigar quantos poliedros arquimedianos podem existir e chegaríamos à conclusão que não podem existir mais do que treze tipos de poliedros diferentes. Figura 9. Prisma e Antiprisma retos regulares. Além do material anteriormente citado, encontramos também no Brasil, um livro sobre poliedros produzido por Rangel (1982), Engenheiro Civil e Doutor em Ciências Físicas e Matemáticas. Segundo o próprio autor, o livro se originou 40

42 de uma apostila com circulação praticamente restrita, na época, à Escola de Engenharia da Universidade Federal do Rio de Janeiro. O livro Poliedros apresenta um estudo detalhado a respeito dos Sólidos Arquimedianos contemplado com definição, classificação, propriedades, demonstração e ilustração dos treze sólidos. Para Rangel (1982), todo arquimediano é semi-regular, mas nem todo poliedro semi-regular é arquimediano. Segundo o autor, poliedro semi-regular é todo poliedro que se apresenta de uma das duas seguintes formas: 1. Os ângulos sólidos são todos iguais entre si, mas as faces não são iguais, embora sejam polígonos regulares. Esses poliedros são chamados poliedros semi-regulares equiangulares ou poliedros semi-regulares arquimedianos. 2. As faces são todas iguais entre si, mas os ângulos sólidos não são iguais. Esses poliedros são chamados poliedros semregulares equifaciais ou poliedros semi-regulares nãoarquimedianos. (Ibid., p.36). O autor classifica os poliedros semi-regulares equiangulares ou arquimedianos em três grupos: os poliedros semi-regulares equiangulares individuais, que são os treze sólidos de Arquimedes; os prismas arquimedianos, prismas retos regulares; e os antiprismas arquimedianos, antiprismas retos regulares. Embora o foco do nosso trabalho não esteja em observar currículos de outras áreas de conhecimento para ratificar a presença dos Sólidos Arquimedianos, o material produzido nos dá indícios que esses sólidos, com uma nomenclatura diferente da habitual, eram estudados na Engenharia. Pelas observações realizadas, podemos constatar a carência de informações a respeito do objeto matemático Sólidos Arquimedianos no Brasil. A dificuldade de encontrar materiais, na Escola Básica, que discorram sobre os mesmos, pode ser uma possível causa para que muitos desconheçam sua existência. Contudo vale ressaltar que nem sempre foi assim. Para confirmar essa assertiva, apresentamos dois livros de Desenho Geométrico que nos fornecem informações sobre alguns dos Sólidos Arquimedianos: Primeiras Noções de Geometria Prática de Olavo Freire, publicado em 1897 e Programa de Desenho 41

43 para a primeira e segunda séries ginasiais de Benjamin de A. Carvalho, publicado em Para Freire (1897) os Sólidos Arquimedianos são irregulares e simétricos por terem todos os planos que os formam simetricamente dispostos. O autor ilustra cinco representações dos treze sólidos arquimedianos, com planificações de suas superfícies, mostradas na Figura 10, e nos indica o sólido a partir do qual se originam. Figura 10. Arquimedianos estudados em Geometria Prática. Fonte: Freire, 1897, p Entretanto Carvalho (1960, p.92) define os Sólidos Arquimedianos como poliedros semi-regulares que têm suas faces formadas por polígonos regulares ou não, mas diferentes entre si, embora dispostos simetricamente no espaço (CARVALHO, 1960, p.92). A Figura 11 ilustra três exemplos desses sólidos. Figura 11. Sólidos considerados arquimedianos. Fonte: Carvalho, 1960, p

44 Os livros apresentados levam-nos a inferir que esse objeto matemático já fez parte da grade curricular de Matemática, mais especificamente em Desenho Geométrico, disciplina que de acordo com Zuin (2002), permaneceu oficialmente por quarenta anos consecutivos nos currículos escolares 1931 a Para compreender o motivo que levou ao desaparecimento desse conhecimento de ensino, procuramos identificar as possíveis causas do abandono da disciplina Desenho Desenho Geométrico e Geometria Descritiva da grade curricular de matemática. 1.5 DESENHO GEOMÉTRICO E GEOMETRIA DESCRITIVA Nesse tópico, nos baseamos nos estudos de Silva (2006) que em sua dissertação de mestrado Proposta de Aprendizagem sobre a importância do Desenho Geométrico e da Geometria Descritiva avaliou as razões do declínio do ensino das duas disciplinas, e em algumas considerações de Zuin (2002), Rabello (2005) e Pavanello (1993). Silva (2006) realizou um estudo histórico a respeito da ocorrência do Desenho Geométrico e da Geometria Descritiva no Brasil, além do estudo da legislação de ensino a partir de De acordo com o autor, a geometria foi implantada no Brasil no século XVIII, mas é no século XIX que começa a ser ensinada. Nesse século, o Desenho Geométrico e a Geometria Descritiva são vistos como meios de fomentar e atingir o desenvolvimento industrial e assim promover o progresso do país. Segundo o autor, a disciplina Desenho Geométrico constava na grade curricular do Ensino Primário, cuja geometria estava voltada para prática, conforme já mostrado na Figura 9, e a disciplina Geometria Descritiva contemplava o currículo do Ensino Secundário. Segundo Rabello (2005) no século XX o Desenho Geométrico, a Geometria Descritiva bem como a Perspectiva, eram assuntos que contemplavam a prova de desenho no exame de capacitação, atualmente vestibular, de Arquitetura e Engenharia. 43

45 Na metade do século XX, novas reformas no Sistema de Ensino continuavam a serem feitas. Entretanto, para Silva (2006) é impossível precisar o momento em que o ensino de Desenho declinou. O autor aponta três reformas que contribuíram para que o Desenho Geométrico e a Geometria Descritiva fossem pouco a pouco eliminados da grade curricular. A primeira, Lei 4.024/61 Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB) que propôs opções de currículo em que a disciplina Desenho não era obrigatória. Para Zuin (2002, p.1), vemos surgir os primeiros sinais de desprestígio dessa área do conhecimento. A segunda, Lei 5.540/68 Lei da Reforma Universitária sinalizava a unificação do vestibular, como podemos observar em seu artigo 21: O concurso vestibular, referido na letra a do artigo 17, abrangerá os conhecimentos comuns às diversas formas de educação do segundo grau, sem ultrapassar este nível de complexidade, para avaliar a formação recebida pelos candidatos e sua aptidão intelectual para estudos superiores. (BRASIL, 1968). Silva (2006) pontua que é a partir dessa Lei que o ensino de Desenho começa a declinar. Com a reformulação do ensino superior, fixada por essa lei, o Desenho que já não constava em todas as formas de educação do segundo grau, desde a LDB 4.024/61, foi eliminado do vestibular. Qualquer discordância em relação às medidas torna-se impossível, porque estas são introduzidas durante a vigência do Decreto Lei 477/69. (PAVANELLO, 1993, p.14). A terceira e última reforma citada pelo autor, Lei 5692/71, acarretou consideráveis mudanças nos currículos escolares do Ensino Fundamental. Havia um núcleo de disciplinas obrigatórias e outros núcleos de disciplinas optativas, as quais poderiam integrar a parte diversificada do currículo. As escolas tinham a liberdade de construir a sua grade curricular apenas dentro da parte diversificada do currículo. [...] O Desenho tornara-se uma disciplina optativa da parte diversificada do currículo. (Zuin, 2006, p.1). Desse modo, Rabello (2005), Zuin (2002) e Silva (2006) concordam que com o advento das provas de múltipla escolha, resultado da unificação do vestibular, e da não obrigatoriedade do ensino de Desenho na Escola Básica, muitas escolas aboliram o ensino da disciplina Desenho Geométrico. 44

46 Além disso, Pavanello (1993) e Rabello (2005) pontuam que com a promulgação da referida lei, o Desenho foi substituído na grade curricular do ensino público, em todas as séries do 1 e 2 graus do Ensino Básico, por Educação Artística. Rabello (2005) lembra, ainda, que o Ministério da Educação e Cultura tornou obrigatória a inserção da disciplina de Educação Artística no segundo segmento do Ensino Fundamental. De acordo com os PCN de Artes (1997) a substituição ocorreu porque o ensino de Desenho Geométrico estava voltado essencialmente para o domínio técnico, centrado na figura do professor que privilegiava a reprodução de modelos. Segundo o documento, a disciplina Desenho era considerada mais por seu aspecto funcional do que uma experiência em arte. Valorizavam-se principalmente as habilidades manuais, os "dons artísticos", os hábitos de organização e precisão, mostrando ao mesmo tempo uma visão utilitarista e imediatista da arte. Os professores trabalhavam com exercícios e modelos convencionais selecionados por eles em manuais e livros didáticos. (BRASIL, 1997, p.22). Em contrapartida Rabello (2005, p. 50) assinala que, equivalente à educação musical ou às artes cênicas, nessas séries o desenho é tratado em sua forma mais elementar, sendo incluído ou excluído conforme as conveniências do momento. Convém lembrar que o desenho geométrico, a geometria descritiva e a perspectiva têm base conceitual matemática, não possuindo, em tese, afinidade estrutural com a área artística, salvo quanto à beleza das representações gráficas. Dentro desse contexto concordamos com Pavanello (1993, p.16) quando afirma que o abandono da Geometria, e assim das disciplinas Desenho Geométrico e Geometria Descritiva, deve ser caracterizado como uma decisão equivalente às medidas governamentais, em seus vários níveis, com relação à educação. A situação exposta leva-nos a inferir que a ausência das Disciplinas Desenho Geométrico e Geometria Descritiva da grade curricular de matemática contribuiu para que o objeto matemático Sólidos Arquimedianos não fosse mais abordado. Sabemos que esses sólidos não são facilmente representados, em 45

47 ambientes bidimensionais, sem domínio de conhecimentos e habilidades oferecidos pelo Desenho Geométrico. Nesse sentido, buscamos um ambiente computacional que se aproxime da filosofia dessa disciplina, isto é, que favoreça não só a representação e visualização de objetos tridimensionais como também possibilitem o estudo de suas propriedades por meio de suas construções. 1.6 GEOMETRIA DINÂMICA E CABRI 3D Muitas pesquisas em Educação Matemática têm mostrado que o uso da Geometria Dinâmica como recurso didático não só favorece a exploração e aquisição de conceitos geométricos, como também apresenta vantagens em relação às construções com régua e compasso no ambiente papel e lápis. Para Gravina (2001) a Geometria Dinâmica pode ser entendida como a implementação da geometria tradicional, aquela estática da régua e compasso, no computador, mas com caráter dinâmico. Essa característica dinâmica permite que a partir de uma única construção, um número arbitrário de experimentações seja efetuado, o que seria praticamente impossível com régua e compasso. Além disso, a autora afirma que: os ambientes de Geometria Dinâmica também incentivam o espírito de investigação Matemática: sua interface interativa, aberta à exploração e à experimentação, disponibiliza os experimentos de pensamento. Manipulando diretamente os objetos na tela do computador, e com realimentação imediata, os alunos questionam o resultado de suas ações/operações, conjecturam e testam a validade das conjecturas inicialmente através dos recursos de natureza empírica. (GRAVINA, 2001, p ). O termo Geometria Dinâmica é usado para designar softwares interativos que permitem a criação e manipulação direta de figuras geométricas a partir de suas propriedades. Assim, vemos emergir uma maneira de ensinar e aprender geometria, a partir da exploração experimental que possibilita a passagem de uma figura à outra pelo deslocamento quase contínuo dos elementos, viável apenas em ambientes dinâmicos. 46

48 Para Sangiacomo (1996), a geometria dinâmica permite além de um melhor estudo das propriedades geométricas uma importante distinção entre desenhar e construir. Para a autora, desenhar é visto como um caso particular, uma representação de um objeto geométrico geralmente relacionado com a reprodução da imagem mental que temos do mesmo. Contudo, as propriedades geométricas do objeto não são conservadas quando movimentamos essa representação em um ambiente dinâmico. Já construir é visto como um caso geral, uma representação do objeto geométrico a partir de suas propriedades, que se conservam mesmo quando a movimentamos. Enquanto os alunos trabalham sobre o traçado material, podemos dizer que eles não fizeram a passagem do desenho para a figura geométrica. Essa passagem só é efetivada quando as propriedades geométricas passam a ter significado e a concepção de classe de figuras, seus representantes e suas propriedades seja assimilada. (SANGIACOMO, 1996, p. 40). 47 Construída uma figura em um ambiente dinâmico, tratamos de investigar suas propriedades. Para isso arrastamos a figura até deformá-la, dentro das restrições impostas pela construção. Enquanto fazemos isso, muitas relações e medidas vão se alterando na figura e isso nos permite reconhecer seus invariantes bem como a existência de uma classe de figuras representando o objeto geométrico. A manipulação direta dos elementos básicos da figura cria um dinamismo cuja vantagem está em conservar as relações entre seus componentes. Para Veloso (1998, p. 96), a procura do que permanece constante no meio de tudo o que varia, é a razão pela qual este ambiente é apropriado para apoiar um ensino renovado da geometria plana. Assim como a Geometria Plana, a Geometria Espacial pode, também, ser ensinada em um ambiente de Geometria Dinâmica. O ambiente computacional Cabri 3D 4 é o primeiro software de manipulação direta desenvolvido para simular o trabalho com três dimensões. Nesse sentido, todo tipo de figura tridimensional 4 O Cabri 3D foi desenvolvido por Cabrilog e apresenta os mesmos princípios e objetivos do projeto Cabri Géomètre, disponível no site

49 pode ser construída, visualizada e manipulada nesse ambiente, que além de preservar as propriedades de figuras geométricas espaciais, permite mudar o ponto de vista em relação ao objeto representado. A seguir, optamos por apresentar, as caixas de ferramentas poliedros e poliedros regulares, por estarem relacionadas com o objeto matemático em questão, bem como os recursos oferecidos pelo software. Caixa de ferramentas poliedros: qualquer poliedro convexo pode ser construído ao acionar essa caixa, como mostra a Figura 12. Figura 12. Caixa de ferramentas poliedros. Caixa de ferramentas poliedros regulares: para usar qualquer ferramenta dessa caixa, como mostra a Figura 13, acionamos primeiro com o mouse o poliedro regular escolhido. Em seguida, devemos criar no plano de base um ponto, arrastar o mouse e dar um último clique para finalizar. A Figura 14 mostra um exemplo de um tetraedro regular obtido a partir da seqüência acima realizada. Figura 13. Caixa de ferramentas poliedros regulares 48

50 Figura 14. Tetraedro regular Caixa de ferramentas medidas: para usar qualquer ferramenta dessa caixa, como mostra a Figura 15, devemos acionar a medida desejada e clicar no objeto já construído no plano de base. A Figura 16 mostra o comprimento do segmento AB. Figura 15. Caixa de medidas. Figura 16. Comprimento do segmento AB. Ferramenta ponto médio: para obter o ponto médio das arestas de um poliedro qualquer, como mostra a Figura 17, basta acionar essa ferramenta e indicar uma aresta qualquer, conforme mostra a Figura

51 Figura 17. Ferramenta ponto médio. Figura 18. Ponto médio da aresta do prisma. Ferramenta plano: para obter um plano de secção, acionamos essa ferramenta, como mostra a Figura 19, e indicamos com o clique do mouse três pontos distintos, conforme mostra a Figura 20. Figura 19. Ferramenta plano. 50

52 Figura 20. Plano de secção. Ferramenta recorte de poliedro: para utilizar essa ferramenta, como mostra a Figura 21, devemos criar um poliedro e um plano que o intersecta. Em seguida, acionamos recorte de poliedro e clicamos no poliedro e no plano. A Figura 22 mostra o procedimento realizado. Figura 21. Ferramenta recorte de poliedro Figura 22. Recorte de poliedro. Ferramenta planificação: para usar essa ferramenta, conforme mostra a Figura 23, devemos criar um poliedro qualquer, em seguida utilizar a 51

53 ferramenta abrir poliedro, mostrada na Figura 24, para depois obter a planificação de sua superfície. A figura 25 ilustra o processo para gerar a planificação do dodecaedro regular. Figura 23. Ferramenta planificação. Figura 24. Ferramenta abrir poliedro. Figura 25. Planificação da superfície do dodecaedro regular. 52

54 Os principais recursos do Cabri 3D, bem com suas respectivas funções são mostrados no Quadro 1. Quadro 1. Recursos do Cabri 3D. Recurso Função Tecla Escape Cancela a seleção de objetos Pressionar a tecla ESC Apagar Excluir os conteúdos selecionados Selecionar o objeto e pressionar a tecla DELETE Esconder/Mostrar Atributos Ajuda de Ferramentas Mudar de Vista Esconde ou mostra objetos criados Altera cores, tamanho, estilo de superfície, espessura dos objetos criados Mostra-se uma janela com instruções de auxílio para cada ferramenta selecionada Altera a posição do objeto sem deformá-lo Selecionar a última opção ao pressionar o botão direito do mouse em cima do objeto Clicar sobre o objeto com o botão direito do mouse F1 Manter o botão direito do mouse pressionado sobre o objeto e arrastá-lo Desfazer Desfaz uma ação realizada CTRL + Z Animação Anima um ponto sobre o objeto F10 Revisar a Construção Mostra todas as ações realizadas para a construção de um objeto F11 Rótulo Nomeia objetos Clicar no objeto e nomeá-lo com a ajuda do teclado Caixa de Texto Insere uma caixa de texto para anotações Menu documento : nova vista texto Observamos que o Cabri 3D não só possui ferramentas matemáticas que permitem a construção de poliedros, mas a vantagem de oferecer a manipulação direta de suas representações sob diferentes pontos de vista, dinamismo que favorece a visualização de objetos tridimensionais. Diante do exposto, e por acreditar que o Cabri 3D renova o ensino de Geometria Espacial com representações dinâmicas, pensamos que seja oportuno 53

55 fazer uma reflexão acerca da complementaridade existente entre o papel do Desenho Geométrico, da Geometria Descritiva e da Geometria Dinâmica como meios de formulação conceitual ampliada. 1.7 OS TRÊS PÓLOS DA COMUNICAÇÃO Para fazermos essa reflexão recorremos aos três pólos complementares da comunicação: o oral, o escrito e o virtual. A relação entre esses três pólos é abordada por Lévy (2002) que discute aspectos ligados a comunicação humana e seu processo compreensivo. O autor discorre sob a temporalidade social e os modos de conhecimentos que surgem do uso das novas tecnologias intelectuais baseadas na informática, se alguns tempos sociais e estilos de saber peculiares estão ligados aos computadores, a impressão, a escrita e os métodos mnemotécnicos das sociedades orais não foram deixados de lado. (LÉVY, 2002, p.75). Para o autor, essas antigas tecnologias intelectuais ainda são importantes no estabelecimento dos referenciais intelectuais e espaços-temporais das sociedades humanas. É com esse pensamento que Lévy (2002) analisa as evoluções contemporâneas sob o império da informática como continuidade de uma história das tecnologias intelectuais e das formas culturais que a elas estão vinculadas. Sabe-se que a linguagem é o principal instrumento de memória e de desenvolvimento de representações. Para o autor, a produção de representações nas sociedades sem escrita está quase, senão toda, baseada na memória humana associada ao manejo da linguagem, isto é, contos e narrativas. Nestas culturas, qualquer proposição que não seja periodicamente retomada e repetida em voz alta está condenada a desaparecer. (Ibid., p.83). Por esta razão, somado a dificuldade em produzir representações singulares, uma vez que há distorções entre mensagens originais e as representações que associamos a elas, a memória humana, para o autor, não apresenta um desempenho de um equipamento ideal para armazenar e recuperar informações. 54

56 Com a escrita, as representações perduram em formatos outros, suas singularidades passam a ser transmitidas e a durarem de forma autônoma, uma vez que se torna muito mais cômodo conservá-las. Os contos e narrativas, característicos das sociedades sem escrita, agora se encontram registrados em papel. Para Lévy (2002), a passagem do manuscrito ao impresso transformou ainda mais a transmissão dos textos, o uso das representações tornou-se mais intenso e difundido na sociedade. Assim surge outro tipo de memória, uma memória objetiva, impessoal que traz uma verdade independente dos sujeitos que a comunicam. Sem a escrita, não há datas nem arquivos, não há listas de observações, tabelas de números, estaríamos no eterno retorno e na deriva insensível da cultura oral. (Ibid., p. 96). No entanto para o autor, como a escrita aposta no tempo, o principal obstáculo da comunicação diferida trazida por essa tecnologia intelectual está relacionado a distância entre o emissor e o receptor, a impossibilidade de interação em um mesmo contexto para a construção de uma interpretação comum. Isso pode tornar a mensagem escrita obscura para o leitor. O terceiro pólo se inicia com a rede digital, inovação que de acordo com Lévy (2002) transformou a informática em um meio de criação, comunicação e simulação. O computador aos poucos vai se transformando em um instrumento poderoso de visualização, nele a imagem torna-se ponto de apoio de novas tecnologias intelectuais. Nesse sentido, a informática nasce não apenas para dar continuidade ao trabalho de acumulação e de conservação realizado pela escrita, mas a noção de tempo real, um tempo condensado no presente, na operação em andamento. Modelos inscritos em papel, agora se encontram também inseridos em programas de computador, podendo ser explorados de maneira interativa e dinâmica, o que suscita o conhecimento por simulação. Para Lévy (2002, p.124), Enquanto a escrita permite estender as capacidades da memória a curto prazo [ o que explica sua eficácia como tecnologia intelectual], a informática da simulação e da visualização, ainda 55

57 que também estenda a memória de trabalho, funciona mais como um módulo externo suplementar para a faculdade de imaginar. A simulação permite desenvolver as habilidades necessárias para a visualização uma vez que modelos mais complexos podem ser explorados e em maior número do que se estivesse reduzido aos recursos da oralidade primária e da escrita. Por essa razão a simulação, de acordo com o ator, remete a um aumento dos poderes da imaginação e da intuição. A simulação por computador faz emergir uma nova maneira de representar objetos geométricos, representações estáticas produzidas em ambientes de lápis e papel, agora podem se tornar representações dinâmicas, dotadas de certa autonomia de ação e reação. Para Lévy (2002, p.121), o conhecimento por simulação é sem dúvida um dos gêneros de saber que a informática transporta. É esse gênero de saber que aqui recorremos para o ensino e aprendizagem da Geometria Espacial, em especial dos Sólidos Arquimedianos, saber que traz a possibilidade de estudar por meio de simulações digitais fenômenos acessíveis ou não à experiência. O conhecimento por simulação possibilitou o desenvolvimento de programas voltados para o ensino, como é o caso do Cabri 3D que diferente da escrita, pólo característico do Desenho Geométrico, permite que construções de objetos geométricos espaciais sejam enriquecidas ou modificadas sem que seja necessário recomeçá-las. Além disso, uma vez realizada uma construção, esta pode ser manipulada à vontade, com parâmetros de cor, tamanho, textura etc. Nesse sentido, o Cabri 3D assume um papel complementar em relação ao Desenho Geométrico estudado em ambiente lápis e papel, pois não institui uma nova Geometria, apenas traz uma linguagem mais acessível a compreensão humana de objetos geométricos. Lévy (2002) elucida bem a idéia de complementaridade entre os pólos da oralidade primária, da escrita e da informática ao enfatizar que não correspondem de maneira simples a épocas determinadas, posto que a cada instante e a cada lugar essas tecnologias intelectuais estão sempre presentes, entretanto com intensidade variável. 56

58 As reflexões realizadas até aqui, assim como os tópicos já apresentados evidenciam a necessidade de buscar contribuições para o ensino do objeto matemático Sólidos Arquimedianos na Escola Básica, além de formar as bases para a construção de nossa problemática presente no capítulo a seguir. 57

59 CAPÍTULO 2 PROBLEMÁTICA Nesse capítulo apresentamos nossa questão de pesquisa, os procedimentos metodológicos do estudo e o nosso quadro teórico. 2.1 DELIMITAÇÃO DO PROBLEMA As reflexões pontuadas no capítulo anterior nos permitiram identificar que os problemas de ensino e aprendizagem de Geometria Espacial têm relação com aspectos ligados à visualização e interpretação de objetos tridimensionais e suas representações, por isso a preferência dos autores por métodos didáticos que privilegiem tais capacidades. Identificamos, também, que embora existam alguns estudos sobre poliedros, em geral sobre os poliedros convexos regulares devido à simplicidade de suas formas, os que se dedicam a estudar os Sólidos Arquimedianos quase inexistem. Lembramos ainda, que os Sólidos Arquimedianos eram estudados em Desenho Geométrico, disciplina que dava suporte para que suas propriedades geométricas fossem exploradas por meio de suas construções. Contudo, com a substituição de Desenho Geométrico por Educação Artística no currículo, esse conhecimento de ensino passou a não ser mais abordado. Cogitamos que a ausência de pesquisas que explorem o objeto matemático Sólidos Arquimedianos pode também estar associada à carência de literatura a respeito desses poliedros no Brasil, assim como à dificuldade em visualizá-los e representá-los. Em geral, sabemos que há perda de informações quando representamos objetos tridimensionais no plano, uma vez que representações bidimensionais de objetos espaciais quase sempre não correspondem à formação de suas imagens mentais. Há um conflito do que é visto no espaço e o que é representado no plano. Acreditamos, que o Cabri 3D pode ser o ambiente que possibilite a realização de tal estudo, pois não só favorece a representação de figuras 58

60 espaciais como também permite manipulá-las, o que facilita a exploração, a elaboração de conjecturas e a validação ou refutação de resultados. Diante das considerações feitas anteriormente, nosso objetivo principal é revisitar o objeto matemático Sólidos Arquimedianos por meio de suas construções no ambiente de Geometria dinâmica Cabri 3D. Assim, elaboramos a seguinte questão: O objeto matemático Sólidos Arquimedianos pode ser resgatado como objeto de ensino para a Escola Básica, utilizando como habitat o ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D? A seguir apresentamos a metodologia utilizada para responder nossa questão de pesquisa e o nosso quadro teórico. 2.4 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS Lakatos e Marconi (2001) assinalam que o contato direto do pesquisador com tudo aquilo que foi escrito a respeito do assunto, oferece meios, tanto para a definição e resolução de problemas já conhecidos, quanto à exploração de novas áreas, isto é, a descoberta de novos fatos ou dados, em qualquer campo do conhecimento. Nesse sentido, todo o estudo apresentado no primeiro capítulo está de acordo com a linha de pensamento dos autores, uma vez que permitiu o contato com aspectos conceituais a respeito do objeto matemático Sólidos Arquimedianos, conteúdo pouco conhecido pela maioria dos professores matemáticos que atuam na Educação Básica, bem como evidenciou relações construtivas do objeto geométrico com régua e compasso e com o auxílio do Cabri 3D. É essa descoberta de relações que direciona o caminho de nossa pesquisa, a possibilidade de resgatar esse conhecimento para a matemática ensinada com o auxílio da tecnologia implementada no ambiente de geometria dinâmica Cabri 3D. No entanto para tal sucesso, é inevitável a apropriação do objeto de estudo, e para isso recorremos a fontes histórias para não só auxiliar a compreensão dos processos de desenvolvimento desse conhecimento, mas 59

61 também evidenciar tendências e posturas a serem consideradas no planejamento de ensino. Assim, para responder ao problema de pesquisa proposto neste trabalho recorremos a um estudo bibliográfico desenvolvido com base em material já elaborado, constituído principalmente de livros e artigos científicos. De acordo com Gil (2009, p. 44), embora a pesquisa bibliográfica seja considerada como a primeira etapa de toda a pesquisa científica, há pesquisas desenvolvidas exclusivamente a partir de fontes bibliográficas. Para o autor, a principal vantagem da pesquisa bibliográfica reside no fato de permitir ao investigador a cobertura de uma gama de fenômenos muito mais ampla do que aquela que poderia pesquisar diretamente. Essa vantagem torna-se particularmente importante quando o problema de pesquisa requer dados muito dispersos pelo espaço. (GIL, 2009, p.45). Gil (2009, p. 45), ainda pontua que a pesquisa bibliográfica é indispensável em estudos históricos, uma vez que em muitas situações, não há outra maneira de conhecer os fatos passados se não com base em dados bibliográficos, isto é, em dados baseados em fontes primárias. Diante do exposto e tendo em vista que o estudo dos Sólidos Arquimedianos no material encontrado é realizado a partir da planificação de suas superfícies e o que pretendemos é estudá-los por meio de suas construções no ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D, se faz necessário um estudo bibliográfico para investigar processos de construção para esses sólidos, bem como verificar se tais construções podem ser realizadas no ambiente proposto. 2.5 QUADRO TEÓRICO Neste tópico, são abordadas as teorias que dão suporte a nossa pesquisa, a Noção de Transposição Didática e a Problemática Ecológica de Yves Chevallard e a Teoria dos Registros de Representação Semiótica de Raymond Duval. 60

62 As teorias de Chevallard mencionadas são importantes na medida em que nos aproximam do objeto de estudo Sólidos Arquimedianos, pois permitem a articulação entre a análise epistemológica e a análise didática, além de apontar características outras que determinam a sobrevivência desse objeto matemático enquanto objeto de ensino. Já a noção de registros de representação semiótica instituída por Duval é importante por considerar os diversos tipos de representação utilizados em matemática, e dessa forma nos é útil para identificar e analisar quais os registros mobilizados para a construção dos Sólidos Arquimedianos, bem como evidenciar os tratamentos e conversões efetuados NOÇÃO DE TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA E A PROBLEMÁTICA ECOLÓGICA A idéia de transposição didática foi formulada pelo sociólogo Michel Verret, em No entanto, foi com o matemático Yves Chevallard, em 1980, que essa idéia se inseriu em um contexto mais específico, o da Didática da Matemática. A noção de transposição didática introduzida por Chevallard (1991) distingue os diferentes saberes envolvidos no processo de ensino e de aprendizagem, além de analisar a transformação de um objeto de saber em um objeto de ensino. Um conteúdo de saber que é designado como saber a ensinar sofre então, um conjunto de transformações adaptativas que vão torná-lo apto a ocupar um lugar entre os objetos de ensino. O trabalho que transforma um saber a ensinar em um objeto de ensino é chamado de transposição didática. (CHEVALLARD, 1991, p.45). Chevallard (1991) apresenta a transposição didática como um fenômeno inerente a qualquer processo de ensino. De acordo com o autor, um conceito ao ser transposto, de um contexto de saber ao outro, passa por modificações. Isso quer dizer que qualquer conceito matemático ao ser ensinado, ainda que se aproxime do contexto de saber a partir do qual o originou, adquire outros significados, próprios do contexto o qual será inserido. Esse processo de 61

63 transposição vai transformar o saber científico, atribuindo-lhe um novo status epistemológico: o saber escolar. Para Pais (2008, p. 16), o estudo da trajetória percorrida pelo saber escolar permite visualizar as influências recebidas do saber científico, bem como de outras fontes. São influências que moldam não só o aspecto conceitual como também didático, em conseqüência da defesa do pressuposto que as praxeológicas matemáticas e didáticas são indissociáveis. Chevallard (1991) evidencia que a relação entre o saber científico e o saber escolar é um dos pontos fundamentais em toda a didática. Essa relação ocorre em um ambiente que configura o contexto escolar, denominado de Sistema Didático, que está inserido em um ambiente mais amplo, o Sistema de Ensino. O Sistema de Ensino, por exemplo, seriam os sistemas educacionais que de certa forma influenciam o universo da sala de aula, isto é, o Sistema Didático. O Sistema de Ensino, ainda, se encontra inserido em um contexto mais amplo e complexo, a Sociedade. O entorno imediato de um sistema didático está constituído inicialmente pelo sistema de ensino, que reúne o conjunto de sistemas didáticos e tem ao seu lado um conjunto diversificado de dispositivos estruturais que permitem o funcionamento didático e que intervém nos diversos níveis. (CHEVALLARD, 1991, p.27). Qualquer instituição cuja intenção é didática é considerada por Chevallard (1996) como um sistema didático. Para o autor, a constituição de tal sistema pressupõe a existência de pelo menos três termos: professor, aluno e um ou vários investimentos didáticos, isto é, o próprio saber. A inclusão do saber, também como elemento fundamental no processo, acaba por indicar duas novas relações: relação professor-saber e relação aluno-saber. [...] uma vez que se torna possível falar desse terceiro termo, tão curiosamente esquecido: o saber, pode formular-se uma pergunta que concede à polêmica seu verdadeiro interesse: O que é então aquilo que, no sistema didático, se coloca sob o estandarte de O Saber? O saber ensinado que concretamente encontra o observador, que relação estabelece com o que se proclama dele fora desse âmbito? E que relação estabelece então com o saber sábio, o dos matemáticos? Quais distâncias existem entre um e outro? (CHEVALLARD, 1991, p.15). 62

64 O autor define três tipos de saberes: Saber Sábio, Saber a Ensinar e Saber Ensinado. O Saber Sábio é aquele produzido nas universidades ou institutos de pesquisa, porém não está diretamente associado ao ensino da Escola Básica. Esse saber, ao ser transposto para o contexto escolar transformase em outro tipo de saber, Saber a Ensinar, adaptado para sua apresentação aos alunos. O Saber a Ensinar é o saber que aparece nos programas, livros didáticos e materiais instrucionais, mas isso não garante que ele seja assim apresentado para os alunos. Nesse sentido, identifica-se uma segunda Transposição Didática que transforma o Saber a Ensinar em Saber Ensinado. Cada um desses saberes se refere a sujeitos pertencentes a grupos sociais diferentes, com interesses distintos e com normas próprias que influenciam nas modificações do saber ao longo da trajetória epistemológica. Contudo, existem ainda fatores externos ao Sistema de Ensino, inseridos em um contexto mais amplo, onde todos os três tipos de saberes coexistem e se influenciam. O conjunto das fontes de influências que atuam na seleção dos conteúdos que deverão compor os programas escolares e determinam todo o funcionamento do processo didático recebeu de Chevallard, o nome de noosfera, da qual fazem parte cientistas, professores, especialistas, políticos, autores de livros e outros agentes da educação. (PAIS, 2008, p. 16). É na noosfera que se encontram diretamente ou indiretamente todos aqueles que ocupam os cargos principais do funcionamento didático e os representantes da sociedade, a fim de que determinem a forma final do saber a ensinar, além dos objetivos e dos métodos que conduzem tal prática de ensino. Nesse sentido, a matemática ensinada deve ser compatível com seu meio social, em especial, com a esfera de produção da matemática de um lado, e com a instituição dos pais pelo outro. Para Chevallard (1991), a Transposição Didática funciona como um instrumento de análise que evidencia o percurso de um saber, desde sua origem até a sala de aula. Sendo assim, essa análise pode indicar características que possibilitam definir a sobrevivência de um saber enquanto um objeto de ensino. A primeira delas está relacionada ao fato de que o Saber Sábio para se transformar em Saber a Ensinar deve ser consensual, isto é, não se devem ter dúvidas 63

65 daquilo que está sendo ensinado. A segunda característica está relacionada à operacionalidade do Saber a Ensinar, isto é, a possibilidade de que atividades e tarefas sejam produzidas a partir dele. Para não se ter dúvida a respeito do objeto matemático Sólidos Arquimedianos faz-se então necessário investigar e compreender a origem das idéias que possibilitaram sua descoberta, bem como observar as circunstâncias em que elas se desenvolveram. Esse estudo histórico pode nos aproximar da aplicabilidade desse conhecimento e identificar também atividades que podem ser produzidas a partir dele. Contudo é ainda necessário que sejam satisfeitas algumas condições para que um objeto de ensino, ou ainda um Sistema Didático, possa existir ou continuar existindo. Ecologicamente, a sua existência apela geralmente a outros tipos de sistemas didáticos que reunirão, por exemplo, no que diz respeito à escola primária, o mesmo aluno e o mesmo saber à volta de outros professores. (CHEVALLARD, 1996, p ). Nesse sentido a existência do objeto matemático Sólidos Arquimedianos enquanto objeto de ensino sugere a existência de saberes outros presentes ou não na matemática ensinada. Esse encadeamento de saberes é o que Chevallard denomina de ecologia didática dos objetos matemáticos. A problemática ecológica apresentada pelo autor não só amplia o campo de análise como, também, permite abordar os problemas que se estabelecem entre os diferentes objetos do saber a ensinar. Segundo Almouloud (2007), os objetos possuem inter-relações hierárquicas que possibilitam evidenciar e analisar as estruturas ecológicas dos objetos. Para Artaud (1998) essas inter-relações entre objetos permitem o controle didático do professor e cognitivo do aluno, controle sem o qual o contrato de ensino não seria possível. Essas relações hierárquicas entre objetos são facilmente observadas na matemática, por exemplo, ao se ensinar o conceito de pirâmide a um aluno, conceitos como vértice, aresta, face, polígono, ângulo, dentre outros, precisam ser mobilizados. É nesse sentido que a estrutura ecológica do objeto matemático pirâmide é evidenciada. 64

66 Artaud (1998), ainda, afirma que a ecologia didática dos objetos se apresenta como um meio de questionar o real, o que existe, e por quê? Mas também, o que não existe e por quê? Poderia existir? Sobre quais condições?. (Ibid., p.1). Para a autora, esse questionamento ecológico tende a aproximar o pesquisador das dependências dos objetos que ele estuda e afirma que o mesmo já se fazia presente nos primeiros estudos sobre os processos de transposição. De acordo com o pensamento da autora é a transposição didática que permitirá evidenciar quais os saberes envolvidos que determinam a existência do objeto matemático Sólidos Arquimedianos enquanto objeto de ensino, isto é, sua ecologia didática. A ecologia didática se apóia nas idéias da ecologia biológica - nicho, habitat, ecossistema para tentar explicar as relações entre os objetos e no estudo do próprio objeto. A idéia de ecossistema é utilizada por Chevallard (1991) para indicar um conjunto de saberes que ali vivem e evidenciar como esses saberes interagem entre si. A alteração de um único saber pode acarretar modificações em todo o ecossistema, podendo ocorrer perda do equilíbrio existente. Segundo Almouloud (2007, p. 114), Chevallard introduz a noção de habitat de um objeto matemático como sendo o tipo de instituição onde se encontra o saber relacionado ao objeto de estudo, que por sua vez determinará a função desse saber, ou seja, determinará seu nicho. De acordo com Artaud (1998), um objeto não vive isoladamente, então se faz necessário identificar, ou até mesmo fazer viver, um complexo de objetos em torno do próprio objeto. É nesse sentido que a problemática ecológica aparece de maneira mais explícita, uma vez que convém examinar os diferentes espaços em que encontramos o objeto matemático e os saberes com os quais ele entra em associação, em outras palavras, seus habitats. Nesse sentido para que o ambiente de Geometria dinâmica Cabri 3D seja um habitat para o estudo dos sólidos de Arquimedes é necessário que reconheça como objetos todos os saberes que determinam a existência desses sólidos enquanto objeto de ensino, ou ainda, se necessário, permitir que esses saberes existam, isto é, fazê-los viver. 65

67 Chevallard (1996) insere a didática da matemática no campo da antropologia cognitiva e considera três temas primitivos: os objetos, as pessoas e as instituições. Para o autor, os objetos ocupam uma posição privilegiada, visto que são tidos como o material de base da construção teórica considerada. Qualquer coisa pode ser um objeto e esse existe se alguma pessoa ou instituição o reconhece e se relaciona com ele. As pessoas e as instituições também são objetos, mas de um tipo particular. Por exemplo, as instituições são caracterizadas por qualquer coisa que se produza, se utiliza e se ensina (ALMOULOUD, 2007, p. 113) e as pessoas são os sujeitos das instituições. Dessa forma, em nosso trabalho os objetos que ocupam posição privilegiada são os Sólidos Arquimedianos, a instituição escolhida para o ensino é o Cabri 3D e o sujeito da instituição é a pesquisadora. Assim, com base na teoria de Chevallard procuramos evidenciar quais saberes determinam a existência dos Sólidos Arquimedianos enquanto objeto de ensino, bem como se tais saberes estão presentes ou são reconhecidos pela instituição Cabri 3D. Para identificar quais registros são mobilizados para a construção dos sólidos arquimedianos, bem como suas articulações nos apoiamos na noção de registro de representação semiótica de Duval REGISTRO DE REPRESENTAÇÃO SEMIÓTICA Duval (2002) assinala que as mudanças que a Educação Matemática vem sofrendo nos últimos cinqüenta anos têm como base pesquisas relacionadas à psicologia, tecnologias e as novas exigências de avaliação. Entretanto, essas mudanças têm se efetivado mais no currículo da matemática e em seu ensino, do que na compreensão do processo de sua aprendizagem. Para entender as dificuldades que muitos alunos têm na compreensão da matemática, a natureza dessas dificuldades, bem como onde elas se encontram, Duval (2008) afirma que não podemos buscar essa compreensão apenas no campo matemático. Aponta a necessidade de estabelecer uma estrutura epistemológica específica para a atividade matemática e de entender que as funções cognitivas do pensamento que a envolvem não podem ser dissociadas. 66

68 De acordo com Duval (2008), uma abordagem cognitiva é necessária, pois o propósito de se ensinar matemática, em formação inicial não é formar futuros matemáticos e muito menos apresentar instrumentos que só terão, talvez, utilidade mais tarde, mas sim um propósito de contribuição e fomentação para o desenvolvimento de suas capacidades de raciocínio, análise e visualização. Nesse sentido, é necessário ir além dos estudos locais do conceito, que são desenvolvidos em cada nível do currículo, bem como da mera referência às teorias muito gerais da aprendizagem. Segundo Duval (2008, p. 12), a originalidade de uma abordagem cognitiva está em procurar inicialmente descrever o funcionamento cognitivo que possibilite a um aluno compreender, efetuar e controlar ele próprio a diversidade dos processos matemáticos que lhes são propostos em situação de ensino. Analisar o conhecimento matemático de um ponto de vista de aprendizagem e compreender as principais dificuldades que os estudantes apresentam, em cada nível do currículo, que os impedem de irem mais além, não é uma tarefa fácil. Nesse sentido, o que é relevante ser analisado a fim de evidenciar condições de aprendizagem em matemática? O autor destaca que a complexidade do funcionamento cognitivo é subjacente às atividades matemáticas mais simples ou mais elementares, pois a diferença entre a atividade requerida pela matemática e aquela requerida em outros domínios de conhecimento não deve ser procurada nos conceitos (DUVAL, 2008, p.13), mas sim na importância da visualização e na grande variedade de representações utilizadas em matemática. A representação e a visualização estão no núcleo de sua compreensão e o papel de ambas é fundamental no pensar e aprender matemática. A representação refere-se a uma escala grande de atividades do significado: opinião constante e holística sobre algo, várias maneiras de evocar e denotar objetos, como a informação é codificada. No contrário, a visualização parece enfatizar imagens e a intuição empírica de objetos e de ações físicas. (DUVAL, 2002, p.1, tradução nossa). 67

69 Dentro desse contexto, nos limitamos a esboçar a complexa arquitetura cognitiva desenvolvida por Duval a respeito do uso das representações em matemática, a visualização será explorada em trabalhos futuros. Noções de Registros de Representação Semiótica Para qualificar os diversos tipos de representação utilizados em matemática a noção de registro de representação semiótica é instituída por Duval (2008). Entretanto, antes de definirmos registro de representação semiótica, nos cabe aqui outra discussão importante e fundamental para melhor compreensão dessa noção. O que é Semiótica? O que é Representação Semiótica? De acordo com Santaella (2006) o nome semiótica vem da raiz grega semeion, que quer dizer signo. Semiótica quer dizer ciência dos signos, mas signo como linguagem. A semiótica é a ciência que tem por objeto de investigação todas as linguagens possíveis, ou seja, que tem por objetivo o exame dos modos de constituição de todo e qualquer fenômeno como fenômeno de produção de significação e de sentido (SANTAELLA, 2006, p.13). Segundo a autora, a confusão se estabelece quando entendemos linguagem como sinônimo de língua. Nesse sentido, alerta para uma distinção necessária. O século XX testemunhou o crescimento de duas ciências da linguagem, a Lingüística, ciência da linguagem verbal, e a Semiótica, ciência de toda e qualquer linguagem. Destaca, ainda, que para desatarmos o nó que essa confusão traz é necessária a discriminação entre linguagens verbais e não verbais. Para Santaella (2006) o uso da língua que falamos e que fazemos uso para escrever - isto é, na sua manifestação como linguagem verbal (oral ou escrita) - é tão natural e evidente que tendemos a não perceber que esta não é a única forma de linguagem que somos capazes de ver, ouvir e ler. Existe uma variedade de outras linguagens, não-verbais, que se constituem ou vem se constituindo em sistemas de produção de significação e de sentido. Dessa maneira, o termo linguagem se refere a todo e qualquer sistema de signos 68

70 humanos ou aparentemente inumanos, como as linguagens binárias, linguagem dos ruídos, a linguagem do silêncio etc. A partir da definição de semiótica apresentada pode-se entender representação semiótica como: uma representação construída a partir da mobilização de um sistema de sinais. Sua significação é determinada, de um lado, pela sua forma no sistema semiótico e de outro lado, pela referência ao objeto representado. (HENRIQUES, 2006, p.17). Para Duval (2002) existem dois tipos de representações cognitivas: as representações semióticas e as representações físico-orgânicas. As representações semióticas são produzidas intencionalmente com o uso de sistemas semióticos (sentenças, gráficos, diagramas, desenhos...) cuja produção pode ser interna (mental) ou externa. As representações físico-orgânicas são casualmente produzidas, isto é, por um sistema orgânico (imagens visuais do sonho ou da memória) ou por um dispositivo físico (reflexões, fotografias...). No primeiro caso, o índice das representações que denota o objeto representado é uma seleção explícita porque cada unidade significativa resulta de uma escolha. No outro caso, o índice das representações é o resultado de uma ação física do objeto representado em algum sistema orgânico ou em algum dispositivo físico. Para o autor, o uso de representações semióticas para o pensamento matemático é essencial, pois, ao contrário de outros campos do conhecimento (botânica, geologia, astronomia, física...), não há nenhuma outra maneira de ter acesso aos objetos matemáticos a não ser por meio delas. Nos outros campos do conhecimento, as representações semióticas são imagens ou descrições sobre alguns fenômenos do mundo externo real que podemos ter acesso perceptual e instrumental sem recorrer a estas representações. Na matemática isso não é possível. Duval (1995) pontua que a distinção entre um objeto e sua representação é de fundamental importância para a compreensão da matemática visto que sem essa distinção haverá perda de compreensão, o que torna os conhecimentos adquiridos inutilizáveis no seu contexto de aprendizagem. A linguagem natural, uma figura geométrica, a linguagem da escrita dos números, uma fórmula algébrica, uma representação gráfica, uma representação decimal, uma 69

71 representação fracionária, são exemplos de representações semióticas que revelam sistemas semióticos diferentes. Segundo Duval (1995), alguns sistemas semióticos diferem de outros sistemas, também semióticos, (por exemplo, código de Morse) por permitirem o cumprimento de três funções cognitivas: comunicação, produção do sujeito para os outros; objetivação, produções do sujeito para si; tratamento, produções do sujeito para si e para os outros. Para o autor, são essas as funções que permitem desenvolver um nível de funcionamento consciente em relação ao fenômeno observado. Dessa forma, Duval (1999 apud ALMOULOUD, 2007, p. 80) define um registro de representação semiótica como: um sistema semiótico que tem as funções cognitivas fundamentais no funcionamento cognitivo consciente, ou seja, sendo uma maneira típica de representar um objeto matemático, ou um problema, ou uma técnica. Para tanto, todos os sistemas semióticos que permitem realizar as três funções cognitivas são considerados por Duval (1995) como Registros de Representação Semiótica. Os registros matemáticos mais destacados pelo autor são: língua natural, numérico, figural, algébrico e gráfico. Para Almouloud (2007) a noção de registro facilita o processo de ensino e de aprendizagem na medida em que concede meios ao professor para tornar mais acessível a compreensão de conteúdos matemáticos. Todavia, para que a compreensão matemática aconteça, faz-se necessário a realização de atividades que mobilizem simultaneamente dois registros (no mínimo) de representação ou ainda, a possibilidade de mudar a todo o momento de registro de representação. De acordo com Duval (2002), cada registro de representação semiótica tem uma maneira específica de trabalhar. Nesse sentido, para analisar a matemática em uma perspectiva de ensino e aprendizagem, é necessário distinguir dois tipos de transformações semióticas: Os tratamentos: são transformações de uma dada representação no mesmo registro onde foi formada. O tratamento possibilita a geração de uma nova representação a partir de uma representação já dada 70

72 ou explorada. Por exemplo, as figuras geométricas dão também ascensão às transformações intrínsecas na forma de configurações a partir de considerações prévias de propriedades matemáticas. Nesse caso, essas transformações são como as transformações visuais. Outro exemplo é resolver uma equação ou efetuar um cálculo ficando no mesmo sistema de escrita. As conversões: são transformações de uma dada representação em uma representação em outro registro, conservando os mesmos objetos indicados. Por exemplo, passar da escrita dos números fracionários para a escrita dos números decimais ou a transformação de equações em gráficos cartesianos. Duval (1995) sinaliza dois tipos de tratamento: os tratamentos algoritmizáveis e os não algoritmizáveis, conforme mostra a Figura 26. Os tratamentos algoritmizáveis por seguirem uma seqüência de instruções bem definida, são encontrados nos registros algébrico, numérico e gráfico. Já os tratamentos não algoritmizáveis, por não seguirem uma seqüência de instruções, são encontrados nos registros de língua natural e figural. Tratamento algoritmizável Tratamento não algoritmizável 6 x (9 + 3 x 2) / (2 x 4 11) 6 x (9 + 6) / (8 11) 6 x 15 / (- 3) 90 / (- 3) - 30 Figura 26. Diferentes tratamentos. 71 Com o surgimento da Geometria Dinâmica e com base no registro figural instituído por Duval (1995), Salazar (2009) em sua tese de doutorado considerou o registro figural dinâmico 5. No trabalho, também consideramos esse registro, pois 5 O termo registro figural dinâmico foi introduzido por Salazar (2009) para designar o registro figural utilizado em ambientes de Geometria Dinâmica.

73 além dos Sólidos Arquimedianos serem construídos no ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D, acreditamos que o registro figural dinâmico permite melhor evidenciar os tratamentos especificamente figurais que dão as figuras um papel heurístico 6 e explicar a variabilidade desse papel de uma situação à outra. No entanto, assim como o registro figural, o registro figural dinâmico não preenche nenhuma função discursiva 7. A respeito das conversões, Duval (1995) pontua que podem ser realizadas entre registros que não envolvem a língua natural (símbolos, gráficos e equações) e com registros que a envolvem (gráficos e textos, compreensão de um enunciado, língua formal e língua natural). A Figura 27 traz exemplos de conversões que envolvem o registro figural e um registro discursivo, registros requeridos em qualquer atividade geométrica. Conversão que envolve a língua natural Rotação de uma pirâmide em torno de um eixo segundo um ângulo de cento e oitenta graus. Conversão que não envolvem a língua natural r // s r s Figura 27. Diferentes conversões. 6 Possibilidade de descobrir, por meio da manipulação da figura, propriedades geométricas, bem como outros elementos. 7 A função discursiva está aqui relacionada a todas as maneiras de registrar observações a partir dos tratamentos realizados no registro figural. Estas podem ser registradas por meio dos registros língua natural, simbólico e algébrico. 72

74 Segundo Duval (2008) a escolha de um registro de representação adequado bem como as diferentes representações de um mesmo objeto matemático dentro de um mesmo registro (tratamento) não é suficiente para que a compreensão matemática se estabeleça. Para que ocorra tal aprendizado, faz-se necessário a articulação de no mínimo dois registros de representação. No entanto, Se muitos estudantes podem aprender algum tratamento, poucos deles podem realmente converter representações. [...] Em geral, os professores dão mais importância aos processos matemáticos do que a sua aplicação aos problemas da vida diária, ou problemas econômicos e físicos. (DUVAL, 2002, p. 5, tradução nossa). Duval (2008) aponta a conversão de representações como um problema crucial na aprendizagem da matemática e a observa por dois pontos de vista: o matemático e o cognitivo. Do ponto de vista matemático, a conversão, não chama atenção por que não tem nenhum papel intrínseco nos processos de justificação ou de prova, pois eles se fazem baseados em um tratamento efetuado em um registro determinado, necessariamente discursivo. (DUVAL, 2008, p.16). Nesse sentido, essa atividade ocorre, apenas, na escolha de registros em que os tratamentos realizados serão mais econômicos ou na obtenção de um segundo registro que sirva de apoio aos tratamentos que se realizam em outro registro. Do ponto de vista cognitivo, é a atividade de conversão que, ao contrário, aparece como a atividade de transformação representacional fundamental, aquela que conduz aos mecanismos subjacentes à compreensão. (DUVAL, 2008, p. 16). Segundo Duval (2002) o que determina o caráter natural ou arbitrário de uma atividade de conversão é a congruência ou a não-congruência entre registros. Explica congruência como uma representação de partida ser mais ou menos transparente a uma representação de chegada. A congruência ou nãocongruência de toda conversão dependem de seu sentido. Uma conversão pode ser congruente em um sentido e não-congruente no sentido oposto. 73

75 Por exemplo, a expressão XY 0 e a representação gráfica cartesiana de dois quadrantes determinados respectivamente pelos semi-eixos Y e X positivos, X e Y negativos, são congruentes se passamos do registro algébrico para o registro gráfico, no entanto não são no sentido inverso. (DUVAL, 1995, p.19). Os contrastes causados pela não congruência podem ser observados em uma maneira sistemática em todos os estágios do currículo, dos problemas verbais mais elementares na escola preliminar ao nível da universidade. Segundo Duval (2002), a maioria dos professores, matemáticos e mesmo psicólogos dão pouca atenção à diferença da natureza entre o tratamento e a conversão, pois quando uma mudança de registro é introduzida na aprendizagem escolhe-se geralmente um sentido e os casos que são congruentes. Há algo como, instinto, evitar as situações de não-congruência que conduzem às dificuldades reais. Mas é impossível evitar especialmente quando a transferência do conhecimento é requerida. Então as falhas são explicadas como engano conceitual, o que é uma explicação inadequada, desde que nós temos um contraste dos sucessos e das falhas para os mesmos objetos matemáticos em situações muito similares. Na realidade o fato que os estudantes não reconhecem mais, quando o sentido da conversão é mudado, revela uma falta da coordenação entre os registros. A coordenação entre registros não é uma conseqüência para compreender a matemática, ao contrário, é uma condição essencial. (Duval, 2002, p.6, tradução nossa). Para a análise de uma situação em termos de registros de representação semiótica, Duval (1995) explica a necessidade de determinar o funcionamento de representação próprio de um registro, bem como as unidades significantes de uma representação desse registro. Para determinar essas unidades, Almouloud (2007) pontua que precisamos considerar todas as variáveis possíveis de representação. Dessa forma, destaca dois tipos de variações que devem ser diferenciados: variações estruturais e as variações cognitivas. As variações estruturais transformam uma dada representação em outra identificável no mesmo registro e as variações cognitivas, consideradas também variáveis estruturais, preservam a referência, ou parte dela, ao objeto representado. Ainda afirma que, as unidades significantes de uma representação só podem ser identificadas por meio das variações cognitivas. 74

76 Nesse sentido, é preciso se deter no que realmente interessa quando se analisa a aprendizagem sob o ponto de vista cognitivo. Duval (1995) salienta que a conversão é o instrumento que determina o funcionamento da representação próprio em um registro, pois distingue as variações unicamente estruturais das variações cognitivas propriamente ditas. Duval (2008) ressalta que não se deve entender a conversão como uma operação simples e local, ou ainda reduzi-la a uma codificação. A passagem de um sistema de equações a sua representação gráfica poderia ser feita aplicando a regra em que um ponto é associado a um par ordenado sobre um sistema de coordenadas. Esse é um exemplo elementar que Duval (2008) apresenta ao reduzir a atividade de conversão a uma simples codificação. Ao efetuar essa conversão, devem-se considerar as variáveis próprias dos gráficos (inclinação, intersecção com os eixos etc.) e das equações (coeficientes positivos ou negativos, raízes etc.). Ainda, segundo Duval (2008), essa regra não possibilita uma apreensão global e qualitativa, indispensável para a determinação das variáveis cognitivas, que permitem identificar as unidades pertinentes próprias de cada um dos dois registros. Para Henriques (2007, p.19) existe, além da codificação, outra atividade bem próxima à conversão: a interpretação. Essas duas atividades, conversão e interpretação não devem ser jamais confundidas, pois a interpretação requer uma mudança de quadro ou de contexto. Almouloud (2007) salienta que a noção de quadro desenvolvida por Régine Douady, ainda que considere os registros de representação, fundamentase nas diferentes abordagens e nos diferentes domínios matemáticos e não a sistemas semióticos. Segundo Duval (1999 apud ALMOULOUD, 2007) a mudança de quadro é uma atividade que precisa ser pensada e sugerida pelo professor, o que não garante a percepção de mudança por parte do aluno. Já para que ocorra a mudança de registro é necessária a compreensão, do aluno, de conceitos e propriedades matemáticas envolvidas para que tal conversão seja efetuada. O ponto chave da teoria de Duval (1995) está na distinção entre um objeto e sua representação e na compreensão da matemática como uma 75

77 atividade que mobiliza inevitavelmente uma variedade de registros de representação semiótica. Duval (2008) prioriza o estudo da conversão e não o estudo do tratamento visto que é por meio da atividade de conversão que se evidenciam as variáveis cognitivas próprias ao funcionamento de cada registro e se exploram as variações de congruência e não-congruência que podem surgir entre registros nas diversas representações dos objetos matemáticos. Para Duval (1995) a articulação e/ou a coordenação entre diferentes registros de representação é condição necessária para a compreensão matemática, ainda que diversas abordagens didáticas não a considerem. Estas conexões entre registros compõem a arquitetura cognitiva, na qual estudantes podem reconhecer o mesmo objeto por meio de diferentes representações, bem como fazer conexões objetivas entre a matemática empírica e a dedutiva. A aprendizagem da matemática, em especial da geometria, implica na construção desta arquitetura cognitiva. Tem início com a coordenação de um registro que fornece a visualização, registro figural, e de outro registro para executar as funções discursivas. Dessa maneira os alunos desenvolvem consideravelmente suas capacidades de utilizar os conhecimentos já adquiridos e suas possibilidades de adquirir novos conhecimentos matemáticos. Diante do exposto, para identificar quais os registros de representação semiótica que articulados possibilitam a construção dos Sólidos Arquimedianos, e se essa articulação promove conversões congruentes ou não, é necessário partir para o estudo do objeto matemático. Como os Sólidos Arquimedianos não estão presentes na matemática ensinada e quase inexistem trabalhos a respeito deles, julgamos necessária a apropriação desse objeto matemático via estudo histórico, contemplado no próximo capítulo. 76

78 CAPÍTULO 3 ESTUDO HISTÓRICO Neste capítulo, destacamos aspectos históricos relacionados ao tema Sólidos Arquimedianos, importantes para a construção do conhecimento proposto. Para compreender o desenvolvimento desses sólidos, realizamos uma breve discussão acerca dos poliedros platônicos para em seguida apresentarmos o primeiro estudo matemático dos Sólidos de Arquimedes, bem como sua sistematização. 3.1 POLIEDROS REGULARES Segundo Soler (2007) não se sabe com exatidão em que época o cubo, o tetraedro regular, o octaedro regular, o dodecaedro regular e o icosaedro regular, tornaram-se conhecidos. Contudo, a autora assinala que há investigações que sugerem o conhecimento desses cinco sólidos pelos pitagóricos, e outras que indicam que os pitagóricos conheciam apenas a construção de três deles tetraedro, cubo e dodecaedro e que se deve a Teeteto 8 um estudo teórico dos cinco poliedros regulares, em particular do octaedro e do icosaedro. De acordo com Eves (1992), a teoria geral a respeito dos cinco sólidos formulada por Teeteto foi descrita por volta de 380 a.c. Tal teoria, observada no livro XIII de Os Elementos de Euclides, apresenta a construção geométrica sobre os cinco corpos e demonstra que não podem existir outros. Em Os Elementos, os sólidos regulares são tratados nos livros XI, XII e XIII. Mas é no livro XIII, a partir da proposição 13 9, que Euclides estuda sistematicamente esses cinco sólidos. As proposições 13, 14, 15, 16 e 17 apresentam as construções do tetraedro, octaedro, cubo, icosaedro e dodecaedro, respectivamente. A proposição 18, expor os lados das cinco figuras e compará-las entre si. (EUCLIDES, 2009, p. 589), institui as relações entre as arestas desses sólidos e o diâmetro da superfície esférica. É a partir dessa proposição que Euclides (2009, p. 592) afirma e demonstra que exceto as cinco 8 Segundo Veloso (1998), um dos matemáticos gregos mais importantes da época de Platão, ensinou na Academia fundada por este em Atenas em 385 a.c. 9 Construir uma pirâmide e contê-la pela esfera e provar que o diâmetro da esfera é, em potência, uma vez e meia o lado da pirâmide (EUCLIDES, 2009, p. 577). 78

79 ditas figuras não será construída outra figura, contida por eqüiláteras e também eqüiângulas iguais entre si. Sigamos sua demonstração. Pois, um ângulo sólido não é construído, certamente, por dois triângulos [eqüiláteros] ou, em geral, planos. Mas por três triângulos, o da pirâmide, e por quatro, o do octaedro, e por cinco, o do icosaedro; mas por seis triângulos tanto, eqüiláteros quanto eqüiângulos, construídos junto a um ponto, não existirá um ângulo sólido; pois, sendo o ângulo [sólido] de um triângulo eqüilátero dois terços de um reto, os seis serão iguais a quatro retos; o que é impossível; pois todo ângulo sólido é contido por um menor do que quatro retos. Pelas mesmas coisas, então, nem um ângulo sólido é construído por mais do que seis ângulos planos[medindo cada um dois terços do ângulo reto]. Mas o ângulo do cubo é contido por três quadrados; e por quatro é impossível; pois sendo o ângulo [interno] do pentágono eqüilátero um reto e um quinto, os quatro ângulos serão maiores do que quatro retos. Mas por pentágonos eqüiláteros e eqüiângulos, certamente por três, o do dodecaedro; e por quatro, é impossível. Nem, por certo, por outras figuras poligonais [regulares] será contido um ângulo sólido, pelo mesmo absurdo. Portanto, exceto as figuras ditas, uma outra figura sólida não será construída, contida por eqüiláteras e também eqüiângulas; o que era preciso provar. (Ibid., p. 592). Vale ressaltar que ao mencionar triângulo, Euclides quer dizer triângulo eqüilátero, já que sempre se refere a polígonos regulares. De acordo com Veloso (1998), o fato de Euclides terminar Os Elementos com a proposição 18, conduz alguns autores a acreditarem que o propósito principal da obra é demonstrar a existência de somente cinco sólidos regulares. Essa demonstração considera todas as possibilidades de união de polígonos regulares e para isso se baseia nas seguintes observações: Para que se forme um ângulo sólido, a soma dos ângulos planos que concorrem em um vértice tem que ser menor que 360. Em cada vértice do ângulo sólido devem concorrer no mínimo três faces. À medida que aumenta o número de lados de um polígono regular a medida do ângulo sólido aumenta. Dessa forma conclui-se que não podemos construir sólidos regulares, concorrendo em cada vértice: seis ou mais triângulos, mais de três quadrados, mais de três pentágonos, três ou mais hexágonos, e assim sucessivamente. 79

80 Nos Quadros 2, 3 e 4 relacionamos os números possíveis de triângulos eqüiláteros, quadrados e pentágonos regulares, respectivamente, que podem concorrer em um vértice. Quadro 2. Números de triângulos eqüiláteros que podem concorrer em um vértice. Número de triângulos eqüiláteros Soma dos ângulos planos que concorrem em um vértice Poliedro 3 < 360 Tetraedro 4 < 360 Octaedro 5 < 360 Icosaedro 6 = 360? 7 > 360? Quadro 3. Números de quadrados que podem concorrer em um vértice. Número de quadrados Soma dos ângulos planos que concorrem em um vértice Poliedro 3 < 360 cubo 4 = 360? 5 > 360? Quadro 4. Números de pentágonos regulares que podem concorrer em um vértice. Número de pentágonos regulares Soma dos ângulos planos que concorrem em um vértice Poliedro 3 < 360 dodecaedro 4 > 360? Os cinco sólidos regulares, mostrados na Figura 28, receberam a denominação de sólidos platônicos, pois Platão ( a.c.) os cita em Timeu, diálogo em que apresenta reflexões a respeito da origem do universo e do homem. De acordo com Eves (2004), nessa mesma obra, Platão descreve os 80

81 cinco corpos e mostra como modelos desses sólidos podem ser construídos a partir de triângulos, quadrados e pentágonos. Figura 28. Sólidos de Platão. Fonte: Cromwell, 2008, p. 57 Platão, também, associa os quatro sólidos mais fáceis de construir - tetraedro, cubo, octaedro e icosaedro aos quatro elementos primordiais da natureza fogo, terra, ar e água, respectivamente. Segundo Soler (2007), a terra, forma mais sólida e menos móvel, corresponde ao cubo; o fogo, mais agudo e mais móvel, o tetraedro; o ar foi relacionado ao octaedro por rodopiar facilmente, o que lembra a instabilidade do ar; e a água ao icosaedro, por apresentar maior volume. Mas existe, um quinto elemento, o dodecaedro, que de acordo com Eves (2004), é associado com o Universo ou ao cosmos, por ter dez faces e ao zodíaco, por ter doze secções. Em respeito às considerações atuais sobre os cinco sólidos platônicos, de acordo com Eves (1992), elas tendem a ser topológicas. Para o autor isso pode ser observado em uma definição moderna em que um sólido [platônico] é um poliedro convexo regular se todas as suas faces são polígonos regulares congruentes entre si, se seus vértices são convexos e se em cada vértice incide o mesmo número de faces. (Ibid., p. 59). A regularidade de poliedros convexos, também, pode surgir por analogia à regularidade de polígonos convexos, como explica Soler (2007, p. 46): um polígono [convexo] regular tem lados e ângulos iguais; como os lados do polígono se correspondem com as faces dos poliedros e os vértices com os vértices, a idéia de poliedro [convexo] regular que pode desprender-se por analogia é a de um poliedro que tem as faces iguais e regulares e também ângulos iguais que formam as faces nos vértices. 81

82 No Quadro 5 apresentamos algumas características a respeito de cada poliedro de Platão. A última coluna mostra quantas arestas partem de cada vértice do poliedro regular, bem como o tipo de polígono que corresponde suas faces. Por exemplo, a configuração do vértice (3.3.3) nos indica que de cada vértice do tetraedro regular partem três arestas e que o mesmo está rodeado por três triângulos eqüiláteros. Quadro 5. Características Poliedros de Platão. Vértices por Faces por Configuração dos Poliedros Faces Arestas Vértices faces vértices vértices Tetraedro Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro O estudo dos poliedros convexos regulares se faz necessário para entendermos outra classe de poliedros com algumas características em comum, os poliedros arquimedianos que são estudados a seguir. 3.2 O DESENVOLVIMENTO DOS SÓLIDOS DE ARQUIMEDES Alguns temas em geometria ficam adormecidos durante anos, ou séculos, para depois tornarem a despertar o interesse de alguns estudiosos, que retomam a sua exploração e descobrem novos caminhos de estudo. Um desses temas é o estudo dos Sólidos de Arquimedes (287 a.c -212 a.c.). De acordo com Eves (2004), os trabalhos originais de Arquimedes que tratam de sólidos estão perdidos, assim como grande parte das obras dos matemáticos gregos. Seus trabalhos são conhecidos, principalmente, pelas escritas de comentadores. Pappus de Alexandria ( d.c.), um 82

83 comentador do início do quarto século, fornece-nos informações, a respeito desses sólidos, em sua extensa obra denominada: Coleção Matemática, que reúne uma lista eclética de obras antigas, algumas atualmente perdidas. A Coleção Matemática de Pappus é composta por oito livros, ou capítulos, cada um existindo como obra única. De acordo com Cromwell (2008), é um manual para os clássicos, uma consideração sistemática das obras mais importantes da matemática grega e inclui comentários e descrições históricas de muitos trabalhos. É apenas no quinto livro da obra que Pappus atribui a Arquimedes a descoberta dos treze sólidos. Embora muitos sólidos possam ser concebidos tendo todos os tipos de faces, aqueles que parecem ser formados regularmente são mais merecedores de atenção. Estes incluem não apenas os cinco sólidos encontrados por Platão [...] mas também os sólidos, em número treze, que foram descobertos por Arquimedes e que contém polígonos eqüilaterais e eqüiangulares, mas não similares. (PAPPUS, 1876, p.353). A descrição de Pappus a respeito dos treze Sólidos de Arquimedes, de acordo com o número total de faces pode ser vista na Figura 29. Figura 29. Descrição de Pappus sobre os sólidos arquimedianos. Fonte: Pappus, 1876, p.353 e

84 Pappus (1876) organizou essas informações de acordo com o número total de faces de cada poliedro arquimediano. Iniciou sua discussão com os três poliedros que apresentam 14 faces e com os dois poliedros que apresentam 26 faces. Em seguida apresenta três poliedros com 32 faces e apenas um de 38 faces. Por fim, apresenta dois poliedros de 62 faces e um único poliedro de 92 faces. No estudo de Pappus não há qualquer nomeação para os sólidos arquimedianos. Para melhor compreensão, a descrição realizada por Pappus para os treze sólidos de Arquimedes está organizada no Quadro 6. A primeira coluna apresenta o nome dado a cada sólido por Kepler, a segunda apresenta o total de faces que cada poliedro possui e as demais indicam os polígonos que formam suas faces. Quadro 6. Descrição de Pappus sobre os sólidos arquimedianos. Números de Sólidos Faces Triângulos Quadrados Pentágonos Hexágonos Octógonos Decágonos Tetraedro truncado Cuboctaedro Octaedro truncado Cubo truncado Rombicuboctaedro 26 Cuboctaedro truncado Icosidodecaedro Icosaedro truncado Dodecaedro truncado Cubo achatado Rombicosidodecaedro Icosidodecaedro truncado Dodecaedro achatado É dessa maneira que o primeiro estudo matemático dos sólidos arquimedianos, pós-arquimedes, é realizado. Tudo indica que esse estudo matemático só foi retomado no século XV com Kepler, talvez o primeiro a sistematizá-lo. Entretanto, no período do Renascimento, diversos artistas e matemáticos se interessaram pelo estudo e representação desses sólidos. Esses artistas, para variar seus desenhos, cortavam cantos e arestas de sólidos platônicos, o que naturalmente produzia alguns Sólidos Arquimedianos como resultado. 84

85 3.3 SOLIDOS ARQUIMEDIANOS NO RENASCIMENTO Nesse tópico apresentamos os artistas do Renascimento que produziram sólidos arquimedianos em suas obras, bem como os procedimentos utilizados que levaram a redescoberta dos mesmos. Field (1997) assinala que cinco renascentistas Piero della Francesca ( ), Luca Pacioli ( ), Leonardo da Vinci ( ), Albert Durer ( ) e Daniele Barbaro ( ) descreveram em suas obras os Sólidos de Arquimedes sem o conhecimento do estudo de Arquimedes, relatado por Pappus, em escritos que foram impressos em 1588 e seus manuscritos não estavam disponíveis antes de Para Field (1997), a história da redescoberta de poliedros arquimedianos durante o Renascimento não é a da recuperação de um texto clássico perdido, diz respeito à redescoberta da matemática real, matemática figurada por profissionais que exerceram atividades outras que não a de matemáticos, o que neste caso poderia ter sido puramente racional. Dos cinco renascentistas apontados por Field (1997), três deles Piero della Francesca, Leonardo da Vinci e Albert Durer estão presentes na obra biográfica de Coolidge (1950 apud Brolezzi, 1991) Matemática dos Grandes Amadores cujo destaque maior é dado a matemáticos não profissionais. Coolidge (1950 apud Brolezzi, 1991, p. 211) considerou que: através de séculos têm havido um certo número de homens, não matemáticos profissionais, que fizeram contribuições significativas para essa, a mais antiga das Ciências. Pareceu-me que valia a pena fazer algum estudo das contribuições desses homens que, por falta de um termo melhor, chamei amadores. Os artistas renascentistas como sinaliza Field (1997), não estavam interessados, pelo menos não a sério, na regularidade combinatória desses sólidos, mas na existência de uma esfera circunscrita. Como a busca de outros sólidos também inscritíveis em uma esfera era o que os movia, os cortes sobre as arestas de sólidos platônicos não poderiam ser feitos de maneira arbitrária. O processo utilizado por esses artistas, que deu origem a essa redescoberta, é 85

86 chamado de truncatura, eliminação de partes de um sólido de forma simétrica que pode ser feita sobre seus vértices ou sobre suas arestas. Embora, não haja qualquer explicitação ou esquematização do estudo das relações entre sólidos platônicos e os sólidos arquimedianos e os diferentes processos de construção a partir de truncaturas, Field (1997) pontua que tais artistas tiveram que se dirigir a Os Elementos de Euclides, mais especificamente ao livro XIII. O autor, ainda, destaca dois livros pseudo-euclidianos, livro XIV e livro XV, cuja importância não está em sua autoria (provavelmente considerados por seus autores como suplementos do livro 13 de Euclides), mas sim em seu conteúdo. O livro XIV discorre a respeito da secção áurea e as relações métricas entre os poliedros regulares inscritos em uma mesma esfera. O livro XV apresenta sólidos regulares inscritos em outros sólidos. Esses dois livros, apontados por Field (1997), são as supostas fontes para a redescoberta de alguns sólidos arquimedianos por Piero della Francesca. Piero della Francesca ( ) De acordo com Cromwell (2008), os princípios para representações realistas do espaço estabelecido por Alberti 10 não foram suficientes para permitir que desenhos mais complexos, como o de poliedros, fossem produzidos. Embora os métodos de construção de poliedros fossem conhecidos por Alberti, ele não os descreveu. Foi Piero della Francesca que os apresentou pela primeira vez e após isso, a construção de poliedros em perspectivas tornou-se uma característica normal para pintores. Piero della Francesca, pintor do século XV, foi também um estudioso em matemática. Conhecedor de Os Elementos de Euclides, ele escreveu vários tratados matemáticos, três deles já recuperados e impressos, mas não em seu nome. Field (1997) afirma que dois desses tratados, Trattato d Abaco (1450) e Libellus de Quinque corporibus regularibus (1480), apresentam alguns estudos 10 De acordo com Veloso (1998), Leon Battista Alberti nasceu em Florença em 1404, foi pintor, compositor, poeta e filósofo, mas ficou mais conhecido como arquiteto e autor da primeira análise científica da perspectiva. 86

87 realizados com poliedros regulares e fornecem a construção de alguns sólidos arquimedianos. Segundo o autor, Trattato d Abaco é um tratado derivado de duas obras de Leonardo de Pisa ( ), também conhecido como Fibonacci. Nesse tratado, os problemas apresentados por Piero della Francesca envolvem dois sólidos arquimedianos, o tetraedro truncado e o cuboctaedro, ilustrados na Figura 30. Figura 30. Tetraedro truncado e cuboctaedro. Fonte: Kepler, 1864, p.123 e 124. Para o tetraedro truncado temos o exemplo: existe um corpo esférico cujo diâmetro é seis; nele, quero colocar um corpo com oito faces, quatro triângulos e quatro hexágonos. Eu pergunto: quais são suas arestas?. (FRANCESCA, p. 230 apud FIELD, 1997, p. 248, tradução nossa). Para completar essa descrição Piero della Francesca fornece-nos um diagrama, como mostra a Figura 31, em que um círculo indica a esfera circunscrita. Para Field (1997), Piero della Francesca sabia que esse novo sólido resultaria de cortes nos cantos de um tetraedro regular, entretanto não apresentou qualquer informação de como esse sólido pôde ter sido redescoberto. 87

88 Figura 31. Escrito de Piero della Francesca de um Tetraedro truncado. Fonte: Field, 1997, p.249. Para o cuboctaedro temos o exemplo: existe um corpo esférico, cujo diâmetro é seis braças; nele, quero colocar uma figura com quatorze faces, seis quadrados e oito triângulos, de arestas congruentes. Eu pergunto: qual é a medida de cada aresta? Tal figura é obtida a partir do cubo, porque ele (o cubo) tem seis faces e oito cantos; cortando seus oito cantos, obtêm-se quatorze faces, como segue. Você tem o cubo ABCD.EFGH, divide cada lado na metade: AB no ponto I, CD no ponto L, BD no ponto K, AC no ponto M...(FRANCESCA, p. 231 e 232 apud FIELD, 1997, p. 248, tradução nossa). O digrama fornecido por Piero della Francesca, conforme mostra a figura 32, utiliza, mais uma vez, um círculo para indicar a presença da esfera circunscrita. Para esse sólido, Piero della Francesca adverte quanto à forma como deve ser construído, visto que por meio dos pontos médios de suas arestas, os cantos de um cubo são removidos de forma simétrica. Seu diagrama, no entanto, omite o cubo. Figura 32. Escrito de Piero della Francesca de um Cuboctaedro. Fonte: Field, 1997, p

89 Já o livro Libellus Quinque Corporibus Regularibus de Piero della Francesca descreve, de acordo com Field (1997), cinco sólidos arquimedianos obtidos pela eliminação dos cantos dos sólidos platônicos. Como já observado, executar truncaturas em um desenho ou em um sólido requer descobrir o ponto em que o corte será efetuado, e isso implica cálculos. Field (1997) assinala que Piero della Francesca introduz os cinco arquimedianos tetraedro truncado, cubo truncado, icosaedro truncado, dodecaedro truncado e octaedro truncado a partir de problemas que relacionam a aresta do sólido com o diâmetro de sua esfera circunscrita. Assim, segundo o autor, quando as faces do sólido de partida são triângulos (tetraedro, octaedro e icosaedro), Piero della Francesca forma faces hexagonais pela divisão das arestas em três partes iguais, como mostra a Figura 33. Figura 33. Hexágono regular a partir de um triângulo eqüilátero. Fonte: Field, 1997, p Esse procedimento resulta nos sólidos arquimedianos conhecidos como tetraedro truncado, octaedro truncado e icosaedro truncado, ilustrados na Figura 34. Figura 34. Tetraedro truncado, octaedro truncado, icosaedro truncado. Fonte: Cromwell, 2008, p

90 Os dois sólidos arquimedianos restantes, dodecaedro truncado e cubo truncado, mostrados na Figura 35, são obtidos por cortes nas arestas do dodecaedro regular e do cubo, respectivamente, sólidos que os originam. Dessa forma, faces formadas por octógonos e decágonos são obtidas como resultado. Figura 35. Cubo truncado e Dodecaedro truncado. Fonte: Cromwell, 2008, p De acordo com Field (1997), parece ter sido Piero della Francesca quem inventou o uso da truncatura como um procedimento matemático, em que mostrou preocupação com a simetria e com o tratamento de formas tridimensionais, ao invés de reduzir o problema a uma série de problemas bidimensionais em planos distintos. O autor, ainda, pontua o grau de habilidade incomum para um pintor em manusear composições pictóricas no espaço, o que evidencia capacidade de visualização tridimensional bastante desenvolvida. Além de Piero della Francesca, os artistas Luca Pacioli e Leonardo da Vinci redescobriram alguns sólidos arquimedianos como segue. Luca Pacioli ( ) e Leonardo da Vinci ( ) Luca Bartolomeo de Pacioli foi um monge franciscano e célebre matemático italiano. Segundo Cromwell (2008), em uma de suas obras mais importantes, De Divina Proportioni (publicada em 1509), é apresentado um estudo de sólidos regulares e outros sólidos que podem ser derivados a partir deles. Nessa obra, seis dos sólidos arquimedianos aparecem, dois dos quais não estão presentes nas obras de Piero della Francesca. Assim como o trabalho de Piero della Francesca a respeito de poliedros, De Divina Proportioni de Luca Pacioli fornece pouca informação sobre a forma 90

91 como os sólidos arquimedianos são obtidos, além de complicações adicionais assinaladas por Field (1997). Para o autor, uma dessas complicações está relacionada aos diagramas, que acompanham parte do trabalho. Estes diagramas por sua vez ilustram os sólidos, que se sabe terem sido desenhados por Leonardo da Vinci e que contém muitas informações que não constam no texto. Para Field (1997) isso pode ser observado nas Figuras 36 e 37, desenhos de Leonardo da Vinci que salientam a estrutura dos poliedros, representando somente as suas arestas, informações não fornecidas por Luca Pacioli. Figura 36. Desenho de Leonardo da Vinci do Icosidodecaedro. Fonte: Field, 1997, p.257. Figura 37. Desenho de Leonardo da Vinci do Rombicuboctaedro. Fonte: Field, 1997, p.258. Field (1997) afirma que os seis sólidos arquimedianos trazidos por Pacioli são produzidos pelo método de truncamento descrito por Piero della Francesca no Trattato d Abaco. Assim, Pacioli redescobre também o tetraedro truncado, o icosaedro truncado, o octaedro truncado, o cuboctaedro e outros dois sólidos que 91

92 não aparecem nas obras de Piero della Francesca, icosidodecaedro e o rombicuboctaedro, ilustrados na Figura 38. Figura 38. Icosidodecaedro e rombicuboctaedro. Fonte: Cromwell, 2008, p.160. Assim como o cuboctaedro, o icosidodecaedro é obtido por truncaturas sobre os pontos médios das arestas dos sólidos platônicos dodecaedro ou icosaedro. O rombicuboctaedro resulta de truncaturas no sólido arquimediano cuboctaedro, mas Pacioli não fornece qualquer informação que explique tal truncatura. Para Field (1997), o estilo geral da obra de Pacioli seria a desculpa para a ausência de uma explicação matemática da origem do novo sólido. Além do procedimento de truncatura descoberto por Piero della Francesca para a obtenção de sólidos arquimedianos, outro procedimento matemático é apontado por Dürer, mostrado no que segue. Albert Dürer ( ) Segundo Cromwell (2008), Albert Dürer dedicou muitos dos seus últimos anos de vida a estudos teóricos de textos clássicos, cujo interesse no espírito humanista do Renascimento abrangia áreas como a Matemática, em especial a Geometria, a Geografia, a Arquitetura e a Engenharia. Em 1525, publicou Unterweysung der Messung MIT dem Zirkel um Richtscheyt in Linien Ebnen unnd Gantzen Corporen (Instrução da Arte da Medição com Compasso e Regras de Linhas, Planos e Corpos Sólidos), um trabalho compreendido em quatro livros. Segundo Field (1997), no primeiro livro discute conceitos básicos da geometria (ponto e reta) e avança para conceitos 92

93 mais complexos. O segundo traz discussões a respeito de polígonos regulares e, Dürer, expõe como polígonos regulares podem ser incorporados em ornamentos, pisos e pavimentações. No terceiro livro aborda problemas de arquitetura e engenharia e no quarto os sólidos arquimedianos são introduzidos. Sete arquimedianos são discutidos em conjunto com sólidos platônicos e cada um deles é ilustrado apenas pela planificação de sua superfície. Dos sete arquimedianos descritos, Field (1997) sinaliza que quatro podem ter sido retirados da obra, De Divina Proportioni, de Pacioli (tetraedro truncado, cuboctaedro, octaedro truncado e o rombicuboctaedro), um da obra Libellus Quinque Corporibus Regularibus de Piero della Francesca (cubo truncado) e os dois restantes, cuboctaedro truncado e cubo achatado, ilustrados na Figura 39, podem ter sido redescobertos por ele. Figura 39. Cuboctaedro truncado e cubo achatado. Fonte: Cromwell, 2008, p.160. Com base nos escritos de Dürer sobre o arquimediano cuboctaedro truncado, Field (1997) pontua a ausência de um procedimento matemático evidente, ou ainda indicativo, que aponte como o novo sólido foi redescoberto. No entanto, de acordo com o autor, o procedimento efetuado por Dürer parece não ter sido o truncamento, mas sim o procedimento de construção de sólido a partir da planificação de sua superfície. Field (1997) sinaliza que a idéia de construção introduzida por Dürer torna mais simples a representação da superfície dos sólidos arquimedianos por sua forma planificada do que por perspectiva. Ainda para o autor, esse método pode ter sido essencial para a redescoberta do cubo achatado por Dürer. 93

94 O cubo achatado foi descrito por Dürer como um sólido de seis faces quadradas e trinta e duas faces triangulares, com vinte quatro ângulos sólidos e sessenta arestas. A planificação da superfície do sólido, ilustrada na Figura 40 destaca uma simetria diferente dos arquimedianos anteriores e desta forma nos leva a crer que ele não pode ser obtido por um processo simples de truncamento, como os descritos por Piero della Francesca. Figura 40. Planificação da superfície do cubo achatado. Fonte: Field, 1997, p.268. A Figura 41 mostra que o cubo achatado pode ser construído a partir do cubo. De acordo com Schreiber, Fischer e Sternath (2007), o problema está em encontrar x e y de modo que todas as arestas sejam congruentes, o que resulta na equação x 3 2x 2 2x 1 2. Figura 41. Construção do cubo achatado a partir do cubo. Fonte: Schreiber, Fischer e Sternath, 2008, p

95 O método da planificação introduzido por Dürer também foi utilizado por Danielle Barbaro para ilustrar onze dos treze sólidos arquimedianos que apresentamos no que segue. Danielle Barbaro ( ) Segundo Field (1997), a maneira pela qual os sólidos arquimedianos são retratados na obra Pratica della perspectiva (1568 e 1569) de Danielle Barbaro, é muito semelhante à De Divina Proportioni de Pacioli, pois o foco está na apresentação visual desses sólidos e apenas uma breve discussão matemática nos é fornecida. Todos os onze sólidos arquimedianos apresentados em sua obra são obtidos por truncaturas, fato que para Field (1997) pode explicar a ausência do sólido arquimediano cubo achatado redescoberto por Dürer. No entanto, o autor sinaliza que Danielle Barbaro utiliza o método de planificação de Dürer para ilustrá-los. Dos onze sólidos arquimedianos descritos por Barbaro, dois deles, rombicosidodecaedro e icosidodecaedro truncado, ilustrados na Figura 42, não haviam sido ainda obtidos, ou talvez indicados, por Piero della Francesca, Luca Pacioli e Albert Dürer. Figura 42. Rombicosidodecaedro e icosidodecaedro truncado. Fonte: Cromwell, 2008, p.161. De acordo com Field (1997), Danielle Barbaro redescobriu o rombicosidodecaedro ao truncar as arestas do icosidodecaedro em seus pontos médios. No entanto, não há qualquer informação da maneira como obteve o icosidodecaedro truncado. 95

96 Para finalizar, apresentamos no Quadro 7, uma síntese que possibilita observar melhor os sólidos arquimedianos redescobertos pelos artistas do Renascimento. A primeira coluna mostra a nomenclatura dada por Kepler a cada sólido arquimediano, e as demais indicam em que obras os sólidos aparecem. A letra T refere-se ao Trattato d Abaco e a letra L a Libellus Quinque Corporibus Regularibus, ambas as obras de Piero della Francesca. Quadro 7. Sólidos Arquimedianos no Renascimento. Sólido Arquimediano Piero della Francesca Luca Pacioli Albert Dürer Danielle Barbaro Cubo truncado L - Tetraedro truncado T, L Dodecaedro Truncado L - - Icosaedro Truncado L - Octaedro Truncado L Cuboctaedro truncado - - Icosidodecaedro truncado Cuboctaedro T Icosidodecaedro - - Rombicuboctaedro - Rombicosidodecaedro Cubo achatado Dodecaedro achatado Além de pinturas, a madeira foi também um meio utilizado por artesões no Renascimento para representar poliedros. Segundo Cromwell (2008), alguns artistas renascentista associavam a perspectiva com marchetaria, considerada no período do Renascimento como arte de construir objetos tridimensionais tendo como principal suporte a madeira. A madeira era uma espécie de marca registrada, motivo de sua popularidade. 96

97 Sólidos Arquimedianos em Madeira De acordo com Cromwell (2008), as formas simples de poliedros eram as favoritas dos artesões e assim, poliedros platônicos e alguns arquimedianos foram produzidos. O autor apresenta, na Figura 43, um bloco em madeira feito por artesões florentinos em Pontua, ainda, que para tornar a construção mais difícil e expor maior habilidade técnica, os artesões produziam apenas as estruturas de poliedros para que todas as faces se tornassem visíveis. Poliedros inscritos em outros também foram produzidos. Figura 43. Estrutura de poliedros em madeira. Fonte: Cromwell, 2008, p Muitos autores afirmam que Kepler foi o primeiro a explorar todos os Sólidos Arquimedianos. No entanto, Schreiber, Fischer e Sternath (2007) apontam evidências que a história sobre esses sólidos, dita e aceita até hoje pode não estar completa. De acordo com os autores, no outono de 2006, em um curso de criação de um catálogo digital para a Galeria Albertina 11, foi dada atenção, mais uma vez, para as telas de quarenta blocos construídos a partir de cortes em madeira que exibem sólidos regulares e semi-regulares. Todos os Sólidos Arquimedianos foram apresentados por meio da planificação de suas superfícies, uma delas é mostrada na figura Museu de arte de Viena, na Áustria. 97

98 Figura 44. Planificação de superfície de poliedros em madeira. Fonte: Schreiber, Fischer e Sternath, 2008, p O catálogo foi feito por Gisela Fischer, que descobriu recentemente em três dos blocos, a assinatura de Hieronymus Andreae, conhecido na história da arte como colaborador de Dürer, além de editor e impressor. Com a assinatura de Andreae nos blocos, os autores puderam presumir uma conexão com os trabalhos de Dürer, Com a morte de Andreae em 1556, os autores estabeleceram um ano limite para a produção dos blocos e assim constataram que anterior a Kepler existiu um matemático, ainda que desconhecido, interessado em explorar todos os Sólidos Arquimedianos. No entanto, segundo os autores, nenhuma informação se tem a respeito desse desconhecido, talvez pelo fato de inexistirem documentos impressos acerca dos blocos produzidos. Ainda assim, os autores listam detalhes do projeto dos quarenta blocos. A conexão do trabalho desse matemático desconhecido com Dürer, também pode ser justificada por ambos compartilharem do mesmo método para a produção de superfícies de Sólidos Arquimedianos, o da planificação. Para os autores, assim como Dürer obteve o cubo achatado, esse matemático obteve o dodecaedro achatado, mostrado na Figura 45, único sólido arquimediano que ainda não havia sido explorado. A planificação da superfície desse sólido é mostrada na Figura

99 Figura 45. Dodecaedro achatado. Fonte: Cromwell, 2008, p.92. Figura 46. Superfície de um dodecaedro achatado em madeira. Fonte: Schreiber, Fischer e Sternath, 2008, p Com a planificação da superfície do dodecaedro achatado representada em bloco de madeira, o conjunto completo dos treze Sólidos Arquimedianos pode ter sido explorado antes mesmo de Kepler. A seguir apresentamos o estudo matemático sobre os Sólidos Arquimedianos realizado por Kepler que não só retoma o estudo de Pappus, mas também o sistematiza. 99

100 3.4 SISTEMATIZAÇAO DE KEPLER Nesse tópico, indicamos algumas razões que despertaram o interesse de Kepler ao estudo dos poliedros, a demonstração da existência de apenas treze Sólidos Arquimedianos, bem como a nomeação dada por Kepler a cada um desses sólidos. Segundo Garozzo (1975), Johannes Kepler ( ) nasceu na cidade de Weil der stadt, na região do Wurttemberg. Ele viveu em uma época de transição, final da Idade Média e início da Idade Moderna, em meio a uma Europa turbulenta, cheia de transtornos políticos e religiosos. Embora seja lembrado principalmente por suas obras astronômicas, Kepler foi um autor prolífico e escreveu sobre assuntos diversos. Assim como Copérnico e Galileu, Kepler foi um grande explorador do espaço. Garozzo (1975) afirma que Kepler embora fosse adepto de Copérnico, visto que reconhecia as vantagens matemáticas do novo sistema planetário, foi além da explicação cinemática do universo copernicano, pois procurava uma explicação mais física dos fenômenos celestes, de natureza quase dinâmica. Kepler atraído pelo sistema de Copérnico e pelas leituras de Pitágoras e Platão desejava desvendar os mistérios do cosmos. Dessa forma, percebeu que o corpo mais importante do universo, a fonte única de toda e qualquer energia e movimento, não era a terra, mas o sol. E para estabelecer a ordem que presidia à distribuição dos planetas chegou a exprimir uma relação entre os cinco poliedros platônicos e as órbitas dos seis planetas até então conhecidos: Mercúrio, Vênus, Terra, Marte, Júpiter e Saturno. Segundo Schoot (2001), Kepler acreditava que as distâncias entre as órbitas dos planetas só poderia ser estabelecida pela forma dos cinco poliedros platônicos. Entre as órbitas de Mercúrio e Vênus situava-se um octaedro, entre as órbitas de Vênus e Terra um icosaedro, entre as órbitas de Terra e Marte um dodecaedro, entre as órbitas de Marte e Júpiter um tetraedro, e entre as órbitas de Júpiter e Saturno um cubo. Ainda segundo o autor, Kepler acreditava que cada corpo celeste possuía sua própria esfera e se movia ao longo de sua superfície, 100

101 além de também acreditar que a distância entre cada planeta do centro do universo não era constante. Com esse raciocínio, Kepler pensou explicar, não somente a ordem espacial dos planetas, cuja escolha não poderia ter sido arbitrária, mas também seu número. Acreditava que Deus, criador de coisas perfeitas, havia usado para construir o universo somente figuras geométricas perfeitas. De acordo com Garozzo (1975), ninguém antes de Kepler procurou deduzir o número e dimensões das órbitas para tentar compreender os planos do criador. Sua teologia, crença em Deus criador, somado ao seu misticismo pitagórico, o levou a procurar a ordem matemática subjacente a fenômenos da natureza. Nesse sentido, segundo Cromwell (2008), o modelo poliédrico de Kepler do universo, ilustrado na Figura 47, foi motivado pelo desejo de tentar explicar a estrutura do universo e expor as relações geométricas harmoniosas utilizadas pelo grande arquiteto na criação do universo. Figura 47. Mistério Cosmográfico de Kepler. Fonte: Cromwell, 2008, p O interesse em poliedros abrange toda a carreira de Kepler. Eles ocorrem em seu primeiro tratado publicado, Mistério Cosmográfico, em que descreve e explica a sua concepção do sistema planetário tendo como base o modelo heliocêntrico de Copérnico, e também em uma de suas últimas grandes obras, Harmonices Mundi, obra em que Kepler revela sua visão do cosmos em 101

102 que a ciência se mistura com poesia, filosofia, teologia e misticismo. Embora, mais tarde, Kepler tenha se convencido de que os sólidos platônicos não davam as proporções exatas na distribuição dos planetas no universo, seus estudos deram notáveis contribuições ao estudo dos poliedros. Os escritos de Kepler a respeito dos sólidos arquimedianos estão presentes no segundo livro de sua obra Harmonices Mundi (De Congruentia Figurarum Harmonicarum). Os dois primeiros, dos cinco livros, abordam polígonos e as diferentes maneiras nas quais eles formam congruências no plano e no espaço. No livro I, Kepler define polígono regular como eqüilateral e eqüiângular e polígono semi-regular apenas como eqüilateral, e restringe a atenção para aqueles que têm quatro lados. No livro II, ele investiga as maneiras que polígonos regulares ou semi-regulares podem ser arranjados em torno de um ponto, o que conduz a construção de poliedros. Kepler classifica e descreve os tipos de poliedros que o interessam, como pode ser visto na Figura 48. Cromwell (2008) afirma que para Kepler uma congruência é perfeita quando todos os vértices estão igualmente cercados e a subdivide em poliedros mais perfeitos e poliedros perfeitos a um menor grau. Os poliedros mais perfeitos são contemplados por faces iguais, estes são ainda subdivididos em regulares e semi-regulares, isto é, de acordo com suas faces, polígonos regulares ou semi-regulares. O poliedro que Kepler considera perfeito a um menor grau tem faces regulares de vários tipos: arquimedianos e as famílias de prismas e antiprismas, em que alguns são considerados imperfeitos. Figura 48. Classificação de poliedros de Kepler Fonte: Cromwell, 2008, p

103 Segundo o autor, Kepler descreve exemplos de vários tipos de poliedros. Os poliedros regulares são os primeiros a serem enumerados, pois observa que essa classificação constitui a última proposição em Os Elementos de Euclides. Sua demonstração segue a de Euclides, já que ele tenta arranjar polígonos em torno de um ponto e eliminar todas as possibilidades cuja soma dos ângulos supere 360. Dessa forma, as cinco possibilidades existentes resultam nos Sólidos de Platão. De acordo com Cromwell (2008), Kepler conheceu o trabalho de Pappus a respeito dos Sólidos de Arquimedes e por meio de uma análise sistemática concluiu que prismas e antiprismas também satisfaziam a definição dada por Pappus aos sólidos, até então, nada havia sido escrito sobre isso. Ainda, para o autor é provável que Kepler tenha sido o primeiro a observar o antiprisma. Para enumerar os Sólidos de Arquimedes, Kepler considerou todas as possíveis maneiras que um ângulo sólido pode ser formado a partir de polígonos regulares. Kepler utilizou dois lemas para tornar o processo mais fácil. Lema 1: Se todas as faces de um poliedro convexo são polígonos regulares, então, no máximo, três tipos diferentes de faces podem aparecer em torno de qualquer ângulo sólido. Os quatro polígonos regulares com os menores ângulos internos são: o triângulo (60 ), o quadrado (90 ), o pentágono (108 ) e o hexágono (120 ). A soma desses quatro ângulos é maior que 360. Como a soma ultrapassa 360, é fácil notar que esses quatro polígonos regulares não podem cercar um vértice. Com um conjunto diferente, isto é, de quatro ou mais polígonos regulares diferentes, em torno de um vértice, o total da soma dos ângulos é ainda maior. Portanto, quatro ou mais tipos diferentes de polígonos regulares não podem cercar um vértice. Lema 2: Um poliedro em que todos os ângulos sólidos estão rodeados da mesma maneira não pode ter ângulos sólidos conforme mostra o Quadro

104 Quadro 8. Tipos de vértices que não formam um ângulo sólido. (i) Em que a é impar e b c. (ii) Em que a c Fonte: Cromwell, 2008, p.159. i. Como todos os ângulos sólidos têm o mesmo tipo, isto é, estão rodeados da mesma maneira, a face do polígono de b lados deve alternar com a face do polígono de c lados cercando a fronteira de um polígono de face a. Entretanto, se a for ímpar ocorre uma contradição, conforme mostra a Figura 49. Figura 49. Exemplo Lema 2(i). ii. Nesse caso, consideramos a maneira em que as faces devam ser arranjadas em torno de um polígono de 3 lados. Em cada ângulo sólido, a face oposta ao polígono de 3 lados é um polígono de b lados. Desde que todos os vértices tenham o mesmo tipo, o tamanho dos polígonos de 3 lados deve ser anexado aos polígonos de a lados e polígonos de c lados, e estes devem alternar em torno do polígono de 3 lados. Isto leva a uma inconsistência, como mostra a Figura

105 Figura 50. Exemplo Lema 2(ii). Fonte: Cromwell, 2008, p.162. O segundo lema é usado por Kepler para excluir certas combinações de polígonos que contém um número ímpar de lados. Kepler afirma que três polígonos de tipos diferentes não podem formar um ângulo sólido em uma figura perfeita se algum deles tem um número ímpar de lados. Depois de demonstrar o Lema 2, Kepler afirma que existem treze congruências sólidas as quais são perfeitas a um menor grau. A partir delas nós obtemos os Sólidos Arquimedianos. A única figura perfeita, para Kepler, é a esfera, por isso considera os sólidos arquimedianos como figuras perfeitas a um menor grau. A demonstração a seguir, é baseada nas idéias de Kepler com adicionais de Peter R. Cromwell. A diferença básica entre as duas demonstrações está na distinção feita por Cromwell (2008) entre tipos e espécies de um vértice. Para Cromwell (2008) a distinção entre a definição das faces que estão vinculadas a um ângulo sólido e a específica ordem em que elas ocorrem é necessária. O autor entende espécie de um ângulo sólido como uma lista desordenada das faces presentes e como tipo de um ângulo sólido a ordem específica em que as faces ocorrem ao redor do vértice. Por exemplo, conforme mostra a Figura 51, a espécie do ângulo sólido delimitado por dois triângulos e dois quadrados compreende dois tipos de ângulo sólido, isso se deve a maneira como essas faces estão arranjadas. 105

106 Figura 51. Dois tipos de vértices de mesma espécie Fonte: Cromwell, 2008, p.158. Os diagramas representam a região em torno de um vértice e os números indicam os tipos e as relativas posições dos polígonos os quais cercam o vértice. Esta informação pode ser, também, escrita na forma (3,4,3,4) e (3,3,4,4), a qual lista em ordem (horária) o número de lados de cada face. Segue a demonstração. Teorema: Considera-se que todos os ângulos sólidos de um poliedro convexo sejam do mesmo tipo. Além de duas famílias de tipos (4,4,n) e (3,3,3,n), existem treze tipos de ângulos sólidos que podem ocorrer. Essas possibilidades são realizadas pelas famílias de prismas, antiprismas e dos Sólidos Arquimedianos, respectivamente. O teorema é provado por exaustão, isto é, por esgotar todas as possíveis combinações de faces que podem cercar um ângulo sólido e esgotar aquelas que não respeitam a condição de existência, conforme já mostradas nos lemas 1 e 2. O primeiro lema mostra que as espécies de ângulos sólidos presentes podem ter, no máximo, três tipos de polígonos regulares e deve haver, por definição, pelo menos dois tipos de polígonos. Primeiro, considera-se aquelas espécies de ângulo sólido em que existem dois tipos de faces. (1) Espécie de ângulo sólido limitado por polígonos de 3 lados e polígonos de 4 lados. Se na espécie de um ângulo sólido existir um único polígono de 4 lados, então pode haver, no máximo, quatro polígonos de 3 lados, uma vez que a soma entre os ângulos de 5 ou mais polígonos de 3 lados e um polígono de 4 lados é superior 106

107 a 360.Desta forma, existem três tipos possíveis de ângulos sólidos, conforme mostra o Quadro 9. Quadro 9. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de quatro lados e no máximo quatro polígonos de três lados. A soma dos ângulos planos é maior que 360. Portanto, não pode ser considerada. 5x(60 ) + 1x(90 ) = 390 (3,3,3,3,3,4) A soma dos ângulos planos é menor que 360. Resulta em um Cubo achatado. 4x(60 ) + 1x(90 ) = 330 (3,3,3,3,4) A soma dos ângulos planos é menor que 360. Resulta em um antiprisma quadrangular. (3,3,3,4) 3x(60 ) + 1x(90 ) = 270 Impossível. Excluído pelo Lema 2 (i). (3,3,4) Fonte: Cromwell, 2008, p.163. Se existirem dois polígonos de 4 lados na espécie de ângulo sólido, então pode haver, no máximo, dois polígonos de 3 lados. Dois polígonos de 4 lados e três ou mais polígonos de 3 lados não podem formar um ângulo sólido, pois a soma dos ângulos planos é maior ou igual a

108 As espécies de ângulos sólidos que contém dois polígonos de 4 lados e dois polígonos de 3 lados vêm em dois tipos, como indica o Quadro 10. Quadro 10. Possibilidades de ângulos sólidos formados por dois polígonos de quatro lados e dois polígonos de três lados A soma dos ângulos planos é 360. Essa espécie não forma um ângulo convexo, mas sim planar. Portanto, não pode ser considerada. (3,3,3,4,4) 3x(60 ) + 2x(90 ) = 360 Impossível. Excluído pelo Lema 2 (ii). (3,3,4,4) A soma dos ângulos planos é menor que 360. Resulta em cuboctaedro. (3,4,3,4) 2x(60 ) + 2x(90 ) = 300 A soma dos ângulos planos é menor que 360. Resulta em um prisma triangular. 1x(60 ) + 2x(90 ) = 240 (3,4,4) Fonte: Cromwell, 2008, p Se existirem mais do que dois polígonos de 4 lados no ângulo sólido, então existe uma única possibilidade que é indicada no Quadro

109 Quadro 11. Possibilidades de ângulos sólidos formados por três polígonos de quatro lados e dois polígonos de três lados. A soma dos ângulos planos é maior 360. Portanto, não pode ser considerada. 2x(60 ) + 3x(90 ) = 390 (3,3,4,4,4) A soma dos ângulos planos é menor que 360. Resulta em um Rombicuboctaedro. 1x(60 ) + 3x(90 ) = 330 (3,4,4,4) Fonte: Cromwell, 2008, p A soma dos ângulos de três polígonos de 4 lados e dois polígonos de 3 lados supera 360, assim como a soma de quatro ou mais polígonos de 4 lados. (2) Espécie de ângulo sólido limitado por polígonos de 3 lados e polígonos de 5 lados. A análise desse caso é a mesma do caso anterior. Se existir apenas um polígono de 5 lados, então pode haver, no máximo, quatro polígonos de 3 lados. Os dois possíveis tipos ocasionam no dodecaedro achatado e no antiprisma pentagonal, conforme mostra o Quadro 12. Quadro 12. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de cinco lados e no máximo quatro polígonos de três lados.. A soma dos ângulos planos é maior que 360. Portanto, não pode ser considerada. (3,3,3,3,3,5) 5x(60 ) + 1x(108 ) =

110 A soma dos ângulos planos é menor que 360. Resulta em um Dodecaedro achatado.. (3,3,3,3,5) 4x(60 ) + 1x(108 ) = 348 (3,3,3,5) A soma dos ângulos planos é menor que 360. Resulta em um antiprisma pentagonal. 3x(60 ) + 1x(108 ) = 288 Impossível. Excluído pelo Lema 2 (i). (3,3,5) Fonte: Cromwell, 2008, p Se existirem dois polígonos de 5 lados na espécie de ângulo sólido então podem haver, no máximo, dois polígonos de 3 lados. Mais uma vez a espécie que contém dois polígonos de 3 lados vem em dois tipos, como mostra o Quadro 13. Quadro 13. Possibilidades de ângulos sólidos formados por dois polígonos de cinco lados e no máximo dois polígonos de três lados.. A soma dos ângulos planos é maior que 360. Portanto, não pode ser considerada. (3,3,3,5,5) 3x(60 ) + 2x(108 ) = 396 Impossível. Excluído pelo Lema 2 (ii). (3,3,5,5) 110

111 A soma dos ângulos planos é menor que 360. Resulta em um Icosidodecaedro. (3,3,5,5) 2x(60 ) + 2x(108 ) = 336 Impossível. Excluído pelo Lema 2 (i). (3,5,5) Fonte: Cromwell, 2008, p (3) Espécie de ângulo sólido limitado por polígonos de 3 lados e polígonos de 6 lados. Neste caso quando as espécies contém um único polígono de 6 lados, podem existir, no máximo, três polígonos de 3 lados. Quatro polígonos de 3 lados e um polígono de 6 lados não podem formar um ângulo convexo mas sim planar. Três polígonos de 3 lados e um polígono de 6 lados formam um antiprisma hexagonal de vértice do tipo (3,3,3,6). O caso de dois polígonos de 3 lados e um polígono de 6 lados é excluído. O Quadro 14 exemplifica as espécies mencionadas. Quadro 14. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de seis lados e no máximo três polígonos de três lados. (3,3,3,3,6) A soma dos ângulos planos é 360. Essa espécie não forma um ângulo convexo, mas sim planar. Portanto, não pode ser considerada. 4x(60 ) + 1x(120 ) =

112 A soma dos ângulos planos é menor que 360. Resulta em um antiprisma hexagonal. (3,3,3,6) 3x(60 ) + 1x(120 ) = 300 Impossível. Excluído pelo Lema 2 (i). (3,3,6) Fonte: Cromwell, 2008, p.164. Se existirem dois polígonos de 6 lados no ângulo sólido, então pode haver apenas um polígono de 3 lados. De outra maneira, a soma dos ângulos é igual ou maior a 360. O único caso, (3,6,6), corresponde ao tetraedro truncado. Mais do que dois polígonos de 6 lados não podem formar um ângulo sólido (ver Quadro 15). Quadro 15. Possibilidades de ângulos sólidos formados por dois polígonos de seis lados e um polígono de três lados. A soma dos ângulos planos é 360. Essa espécie não forma um ângulo convexo, mas sim planar. Portanto, não pode ser considerada. (3,3,6,6) 2x(60 ) + 2x(120 ) = 360 A soma dos ângulos planos é menor que 360. Resulta em um Tetraedro Truncado. 1x(60 ) + 2x(120 ) = 300 (3,6,6) 112

113 A soma dos ângulos planos é 360. Essa espécie não forma um ângulo convexo, mas sim planar. Portanto, não pode ser considerada. (6,6,6) 3x(120 ) = 360 Fonte: Cromwell, 2008, p (4) Espécie de ângulo sólido que contém polígonos de 3 lados e polígonos de n lados, em que n 7. Nenhuma das espécies de ângulos sólidos que contém um único polígono de n lados pode formar um sólido arquimediano. A única possibilidade é (3,3,3,n), o antiprisma com um polígono base de n lados, conforme indica o Quadro 16. Quadro 16. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de sete ou mais lados e três lados. A soma dos ângulos planos é maior que 360. Portanto, não pode ser considerada. 4x(60 ) + 1x(α) > 360 (3,3,3,3,n) A soma dos ângulos planos é menor que 360. Resulta em um antiprisma. (3,3,3,n) 3x(60 ) + 1x(α) < 360 Impossível. Excluído pelo Lema 2 (i). (3,3,n) Fonte: Cromwell, 2008, p Se houver mais de um polígono de n lados no ângulo sólido então a única possibilidade é ter dois polígonos de n lados e um polígono de 3 lados. Se n é

114 ímpar, então este tipo de ângulo sólido não pode ser formado (lema 2(i)). E se n é par e maior do que 10, a soma dos ângulos planos é igual ou maior que 360. O Quadro 17 indica as espécies mencionadas. Quadro 17. Possibilidades de ângulos sólidos formados por mais de um polígono de sete ou mais lados e três lados. A soma dos ângulos planos é maior que 360. Portanto, não pode ser considerada. 2x(60 ) + 2x(α) > 360 (3,3,n,n) A soma dos ângulos planos é menor que 360. Resulta em um Cubo Truncado. (3,8,8) 1x(60 ) + 2x(135 ) = 330 A soma dos ângulos planos é menor que 360. Resulta em um Dodecaedro Truncado. (3,10,10) 1x(60 ) + 2x(144 ) = 348 (3,12,12) A soma dos ângulos planos é 360. Essa espécie não forma um ângulo convexo, mas sim planar. Portanto, não pode ser considerada. 1x(60 ) + 2x(150 ) = 360 Fonte: Cromwell, 2008, p Essa é a completa análise de todas as espécies de ângulo sólido que contém polígono de 3 lados e um outro tipo de polígono. As outras espécies que contém apenas dois tipos de polígonos são investigadas a seguir. 114

115 (5) Espécie de ângulo sólido que contém polígonos de 4 lados e polígonos de n lados (n 5). Se existir uma única face composta por um polígono de n lados, então o tipo de ângulo sólido deve ser (4,4,n), uma vez que a soma dos ângulos planos de três ou mais polígonos de 4 lados e um polígono de n lados é maior que 360. O caso admissível é um prisma com um polígono base de n lados. Se existirem duas faces compostas de polígonos de n lados então existe somente um único polígono de 4 lados (de outra maneira a soma dos ângulos ultrapassaria 360 ). Então, o tipo de ângulo sólido é (4,n,n): Se n 8, então a soma do ângulo é igual ou maior que 360. Se n é ímpar, então a parte (i) do lema 2 mostra que nenhum poliedro é possível. O único caso possível é (4,6,6), poliedro chamado de octaedro truncado. A possibilidade de três ou mais polígonos de n lados com polígonos de 4 lados é excluída pela soma dos ângulos. O Quadro 18 indica as espécies mencionadas. Quadro 18. Possibilidades de ângulos sólidos formados por polígonos de quatro lados e cinco ou mais lados. A soma dos ângulos planos é maior que 360. Portanto, não pode ser considerada. (4,4,n,n) 4x(90 ) + 2x(α) > 360 A soma dos ângulos planos é 360. Essa espécie não forma um ângulo convexo, mas sim planar. Portanto, não pode ser considerada. (4,8,8) 1x(90 ) + 2x(135 ) >

116 A soma dos ângulos planos é menor que 360. Resulta em um Octaedro Truncado. (4,6,6) 1x(90 ) + 2x(120 ) = 330 Fonte: Cromwell, 2008, p (6) Espécie de ângulo sólido com polígonos de 5 lados e polígonos de n lados (n 6). Um único polígono de n lados não pode formar parte de um ângulo sólido, pois a soma dos ângulos de três polígonos de 5 lados e um polígono de n lados é maior que 360 e um ângulo de tipo (5,5,n) é excluído pela parte (i) do lema 2. Se existirem dois polígonos de n lados, então a soma dos ângulos mostra argumentos que o ângulo sólido deve ser do tipo (5,n,n). O menor valor dado a n resulta em um icosaedro truncado (5,6,6). Para qualquer valor maior de n a soma dos ângulos planos é maior do que 360. Mais do que dois polígonos de n lados conduz a uma soma de ângulos igual ou maior a 360. O Quadro 19 indica as espécies mencionadas. Quadro 19. Possibilidades de ângulos sólidos formados por polígonos de cinco lados e seis ou mais lados. (5,5,n,n) A soma dos ângulos planos é maior que 360. Portanto, não pode ser considerada. 2x(108 ) + 2x(α) > 360 (5,7,7) A soma dos ângulos planos é maior que 360. Portanto, não pode ser considerada. 1x(108 ) + 2x(900 /7) >

117 (5,6,6) A soma dos ângulos planos é menor que 360. Resulta em um Icosaedro Truncado. 1x(108 ) + 2x(120 ) = 348 Fonte: Cromwell, 2008, p.166. Em qualquer outra espécie de ângulo sólido que contém somente dois tipos de polígonos, a menor possibilidade da soma dos ângulos resulta em dois polígonos de 6 lados e um de 7 lados, e esta é maior do que 360. Assim, todas as espécies de ângulos sólidos que contém apenas dois tipos de polígonos já foram abordadas. Mantém-se a considerar as espécies que envolvem três tipos de polígono. (7) Espécie de ângulo sólido que contém polígonos de 3 lados, polígonos de 4 lados e polígonos de n lados (n 5). Assume-se, em primeiro lugar, que existe um único polígono de n lados. Se houvesse um polígono de 4 lados poderia haver, no máximo, dois polígonos de 3 lados; as espécies que contém dois polígonos de 3 lados são excluídas pela parte (ii) do lema 2; e o tipo de ângulo (3,4,n) é excluído pela parte (i) do lema 2. O Quadro 20 indica a situação exposta. Quadro 20. Possibilidades de ângulos sólidos formados por um polígono de quatro lados, dois polígonos de três lados e um polígono de cinco ou mais lados. A soma dos ângulos planos é maior que 360. Portanto, não pode ser considerada. (3,3,3,4,n) 3x(60 ) + 1x(90 ) + 2x(α) > 360 Impossível. Excluído pelo Lema 2 (ii). (3,n,3,4) 117

118 Impossível. Excluído pelo Lema 2 (ii). (3,3,n,4) Impossível. Excluído pelo Lema 2 (i). (3,4,n) Fonte: Cromwell, 2008, p Se existem dois polígonos de 4 lados e um único polígono de n lados no ângulo sólido, então pode haver um único polígono de 3 lados, conforme mostra o Quadro 21, de outra maneira a soma dos ângulos ultrapassaria 360. A soma dos ângulos é também superior a 360 se n 6. Quadro 21. Possibilidades de ângulos sólidos formados por dois polígonos de quatro lados e um polígono de cinco ou mais lados. A soma dos ângulos planos é 360. Essa espécie não forma um ângulo convexo, mas sim planar. Portanto, não pode ser considerada. (3,4,4,6) 1x(90 ) + 2x(90 ) + 1x(120 ) = 360 A soma dos ângulos planos é 360. Essa espécie não forma um ângulo convexo, mas sim planar. Portanto, não pode ser considerada. (3,4,6,4) 1x(90 ) + 2x(90 ) + 1x(120 ) = 360 Impossível. Excluído pelo Lema 2 (ii). (3,4,4,5) 118

119 A soma dos ângulos planos é menor que 360. Resulta em um Rombicosidodecaedro. (3,4,5,4) 1x(60 ) + 2x(90 ) +1x(108 ) = 348 Fonte: Cromwell, 2008, p (8) Espécie de ângulos sólidos que contém três tipos de face, faces que não são polígonos de 3 lados. Supõe-se que quatro faces formam o ângulo sólido. A menor combinação possível é ter dois polígonos de 4 lados, um de 5 lados e um de 6 lados. A soma dos ângulos internos desses polígonos é maior do que 360. Dessa forma, devem existir três polígonos diferentes que formam o ângulo sólido. A parte (i) do lema mostra que, neste caso, nenhum dos polígonos pode ter um número ímpar de lados. A menor combinação possível de faces é (4,6,8) que corresponde ao grande rombicuboctaedro (ou cuboctaedro truncado). A próxima menor combinação é (4,6,10) que corresponde ao grande rombicosidodecaedro (ou icosidodecaedro truncado). Em todas as outras combinações de faces a soma dos ângulos é muito grande para produzir um ângulo sólido. O Quadro 22 mostra a situação exposta. Quadro 22. Possibilidades de ângulos sólidos formados por três polígonos que não são de três lados. A soma dos ângulos planos é menor que 360. Resulta em um Cuboctaedro Truncado. (4,6,8) 1x(90 ) + 1x(120 ) +1x(135 ) =

120 A soma dos ângulos planos é menor que 360. Resulta em um Icosidodecaedro Truncado. (4,6,10) 1x(90 ) + 1x(120 ) +1x(144 ) = 354 A soma dos ângulos planos é 360. Essa espécie não forma um ângulo convexo, mas sim planar. Portanto, não pode ser considerada. (4,6,12) 1x(90 ) + 1x(120 ) + 1x(150 ) = 360 A soma dos ângulos planos é maior que 360. Portanto, não pode ser considerada. 1x(90 ) + 1x(135 ) + 1x(144 ) = 369 (4,8,10) Fonte: Cromwell, 2008, p Todas as possibilidades de colocar polígonos regulares juntos para formar um ângulo sólido foram consideradas e todos os tipos de ângulos sólidos que não são excluídos pela simples condição dos lemas anteriores podem ser candidatos a poliedros perfeitos, a um menor grau. Depois de excluir, as famílias de prismas e antiprismas, as treze possibilidades remanescentes são denominadas Sólidos de Arquimedes, mostradas na Figura

121 Figura 52. Sólidos Arquimedianos. Fonte: Kepler, 1864, p.123 a 126. De maneira sistemática, Kepler determinou que os treze poliedros descritos são arquimedianos. No entanto, os nomes que Kepler atribui aos sólidos de Arquimedes não refletem o seu método de construí-los, posto que a atribuição se dá pela forma como os sólidos podem ser produzidos por truncamento. Para Field (1997), o mérito de Kepler está em reencontrar o conjunto completo dos Sólidos Arquimedianos e demonstrar que só existem treze. Nesse sentido, somos levados a crer que cada uma das possibilidades enumeradas para os vértices dos poliedros somente nos conduz a um único poliedro. No entanto, isso não acontece para um sólido arquimediano, como apresentado no que segue. 3.5 TREZE OU QUATORZE ARQUIMEDIANOS? Para Cromwell (2008), a descrição de Pappus dos Sólidos Arquimedianos como figuras compostas por polígonos eqüilaterais e eqüiangulares, mas não similares, não é suficiente para caracterizá-los. A condição de Pappus requer apenas que um sólido arquimediano tenha como faces polígonos regulares, quanto à disposição dessas faces nada foi mencionado. 121

122 É importante ressaltar, que de acordo com a definição adotada por Pappus e depois por Kepler, existem quatorze e não treze Sólidos Arquimedianos. Cromwell (2008) aponta que Miller ao tentar fazer um modelo do rombicuboctaedro, ficou surpreso ao verificar que tinha reunido pedaços de maneira incorreta. O autor aponta que os pedaços reunidos por Miller são os chamados poliedros elementares de Norman Johnson, que os definiu como poliedro de faces regulares que não podem ser separados por um plano em dois menores poliedros de faces também regulares. Todos os outros poliedros de faces regulares podem ser formados por estas unidades básicas reunidas em diferentes maneiras. O sólido encontrado por Miller, chamado de pseudo rombicuboctaedro, de acordo com Cromwell (2008) e Veloso (1998), também era familiar a Kepler, o que mais tarde o fez considerar os Sólidos Arquimedianos em número quatorze. No entanto, Kepler não acrescentou qualquer outra informação. O quadro 23 traz a ilustração do pseudo rombicuboctaedro, bem como suas características numéricas. Quadro 23. Pseudo Rombicuboctaedro. Características: 24 vértices; 18 faces quadradas; 8 faces triangulares; 48 arestas. O Sólido de Miller respeita a definição dada aos Sólidos Arquimedianos por apresentar todos os ângulos sólidos iguais, arestas congruentes e faces de mais de um tipo. Cromwell (2008) pontua o interesse de alguns estudiosos em considerar esse poliedro como o décimo quarto sólido arquimediano. Isso, entretanto, falha em um ponto: os verdadeiros Sólidos Arquimedianos, assim como os sólidos platônicos, tem uma natureza estética que o sólido de Miller não possui. Essa natureza provém de seu elevado grau de simetria uma propriedade, que de acordo com Cromwell (2008), pode ser facilmente apreciada e entendida no nível intuitivo. Portanto, a condição dos ângulos sólidos serem 122

123 todos congruentes não é a característica mais importante dos sólidos arquimedianos, mas sim o fato de todos os ângulos sólidos serem indistinguíveis a partir de outro. Na Figura 53, temos o sólido arquimediano rombicuboctaedro à direita, e o pseudo rombicuboctaedro ou Sólido de Miller à esquerda. Observa-se que os vértices continuam com os mesmos polígonos e dispostos da mesma maneira. Porém, não há qualquer transformação de simetria do poliedro que transforme o vértice A no vértice B, por exemplo. Assim, esse poliedro obtido é muito menos simétrico que o rombicuboctaedro. Os vértices em um sólido arquimediano são cercados por mesmas faces arranjadas de uma mesma maneira, e cada vértice desempenha o mesmo papel no poliedro como um todo. Para o sólido de Miller este não é o caso. Ao observar a Figura 53 podemos constatar que a parte inferior do sólido foi deslocada em 45º. Figura 53. Rombicuboctaedro e pseudo rombicuboctaedro. Fonte: Veloso, 1998, p 241. De acordo com Soler (2007, p.135), se quisermos excluir esse poliedro da família dos arquimedianos, uma nova definição para os poliedros arquimedianos deve ser considerada. Nesse sentido, a autora sugere a seguinte definição: são poliedros que têm faces regulares de mais de uma classe, enquanto que todos os vértices se transformam um nos outros por seu grupo de rotação. Conforme mencionado anteriormente, os Sólidos Arquimedianos apresentam duas características principais. A primeira delas é que toda face do poliedro é um polígono regular, embora as faces não sejam todas do mesmo tipo. 123

124 A segunda está relacionada à congruência de um vértice do poliedro a qualquer outro, uma vez que as faces estão arranjadas na mesma ordem em torno de cada vértice. Embora os sólidos arquimedianos sejam atribuídos a Arquimedes, Kepler parece ter sido o primeiro matemático a sistematizá-los. Ele, ainda, descobriu duas infinitas famílias de prismas e antiprismas que também possuem vértices congruentes e faces regulares. Os prismas regulares satisfazem a definição de poliedros semi-regulares se as faces laterais são quadrados. O mesmo acontece se os antiprismas regulares apresentarem como faces laterais triângulos eqüiláteros. Entretanto, como em ambos os casos não há limite para o número de poliedros que respeitem essa condição, eles não serão de nosso interesse. Também foi demonstrado que além dessas duas famílias existem apenas treze Sólidos Arquimedianos. Esses sólidos também podem ser obtidos como produto de uma modificação, isto é, por truncamento de outros poliedros, processos de construção estudados e determinados no próximo capítulo. 124

125 CAPÍTULO 4 ESTUDO DIDÁTICO E MATEMÁTICO No presente capítulo retomamos alguns aspectos e pontos já mencionados, no segundo e no terceiro capítulos, para apresentar uma possibilidade para o ensino e a aprendizagem dos Sólidos Arquimedianos e sua inclusão na Educação Básica por meio do ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D. Essa possibilidade surgiu a partir do estudo histórico dos Sólidos Arquimedianos, posto que nos permitiu identificar o truncamento, procedimento matemático utilizado por artistas renascentistas para a obtenção de onze dos treze Sólidos Arquimedianos. Esse procedimento evidenciou um caminho de construção para os sólidos bem diferente do apresentado nos livros encontrados de Desenho Geométrico, a planificação de suas superfícies. Nesse capítulo, discorremos sobre a operação de truncamento, bem como os tipos de truncamentos possíveis para a obtenção de sete Sólidos Arquimedianos, obtidos a partir de truncaturas diretas em sólidos platônicos. Trazemos, também, a matemática utilizada em cada processo de construção, assim como os passos de geração no Cabri 3D de cada arquimediano a partir do sólido platônico de origem. Realizadas as construções no Cabri 3D, partimos para a análise de cada arquimediano construído com base em nosso quadro teórico, identificando os saberes matemáticos e os registros de representação envolvidos no processo. É a partir dessa análise que a questão de pesquisa - O objeto matemático Sólidos Arquimedianos pode ser resgatado como objeto de ensino para a Escola Básica, utilizando como habitat o ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D? - é respondida. 4.1 OPERAÇÃO DE TRUNCAMENTO Nesse tópico, apresentamos a sistematização da operação de truncamento de Piero della Francesca e os tipos de truncamentos efetuados em sólidos platônicos para a obtenção de Sólidos Arquimedianos. 126

126 Existem apenas treze Sólidos Arquimedianos e todos são obtidos por operações sobre os sólidos platônicos. A Figura 54 ilustra onze dos treze Sólidos Arquimedianos, incluindo os nomes, que podem ser obtidos por meio de uma sucessão de cortes, chamados de truncaturas. Os demais, cubo achatado e dodecaedro achatado, são obtidos por snubificação 12 de sólidos platônicos. Figura 54. Sólidos Arquimedianos obtidos por truncaturas. Os sete primeiros arquimedianos, ilustrados na Figura 54, são obtidos a partir de truncaturas feitas nas arestas de um único sólido, sendo este platônico. Os quatro últimos - cuboctaedro truncado, rombicuboctaedro, icosidodecaedro truncado e rombicosidodecaedro - são obtidos a partir de truncaturas nas arestas de três sólidos, um deles platônico, como mostra a Figura 55, e seguem uma seqüência de truncamento. 12 Nesse caso, segundo Veloso (1998) a operação consiste em afastar todas as faces de um poliedro platônico, girá-las a 45 e preencher os espaços vazios resultantes com triângulos. 127

127 Figura 55. Arquimedianos obtidos por truncaturas modificadas. A Figura 55 nos indica que a partir do cubo ou do octaedro regular podemos chegar nos arquimedianos cuboctaedro truncado e rombicuboctaedro, entretanto observamos que um poliedro intermediário (com faces retangulares e octogonais) aparece no processo. Dessa forma, para chegarmos nos arquimedianos indicados, o poliedro intermediário deve ter suas arestas truncadas de maneira que os retângulos resultem em quadrados. O mesmo acontece para os arquimedianos icosidodecaedro truncado e rombicuboctaedro obtidos a partir do icosaedro regular ou do dodecaedro regular. Nesse sentido, para a obtenção de arquimedianos a partir de truncaturas em platônicos, optamos denominar de truncaturas diretas, as truncaturas que envolvem apenas um sólido, sendo este platônico, e de truncaturas modificadas, as truncaturas diretas em sólidos platônicos seguidas de transformações convenientes. Tendo em vista que a construção dos onze Sólidos Arquimedianos se inicia a partir de sólidos platônicos, optamos estudar no trabalho os arquimedianos obtidos por truncaturas diretas, os demais serão estudados em trabalhos futuros. 128

128 Os sete arquimedianos 13 obtidos por truncaturas diretas, conservam uma relação com os poliedros platônicos que se torna mais evidente a partir da operação de truncamento. Tal operação está aqui relacionada ao corte de cantos de poliedros platônicos de maneira a obter poliedros com todas as faces regulares. Para a obtenção desses sete arquimedianos, consideramos dois tipos de truncamento: TRUNCAMENTO TIPO 1: nesse tipo de truncamento, o corte se realiza por planos que passam pelos pontos médios das arestas do poliedro platônico de partida que concorrem em um vértice. A Figura 56 ilustra o arquimediano cuboctaedro obtido a partir de truncaturas nas arestas do cubo. Figura 56. Truncamento tipo 1. TRUNCAMENTO TIPO 2: nesse tipo de truncamento, o corte nas arestas do platônico de partida se realiza por planos a uma distância adequada de cada vértice, para que por cada face do poliedro de partida resulte em um polígono regular. A Figura 57 ilustra o arquimediano cubo truncado obtido a partir de truncaturas nas arestas do cubo. Figura 57. Truncamento tipo Cuboctaedro, icosidodecaedro, tetraedro truncado, octaedro truncado, icosaedro truncado, cubo truncado e dodecaedro truncado. 129

129 Ambos os tipos de truncamento nos conduzem a eliminação de cantos do poliedro de partida. Ao eliminar cantos de poliedros platônicos deduz-que 1. Quando eliminamos um canto do tetraedro regular, do cubo ou do dodecaedro regular, obtemos um triângulo, conforme mostra a Figura 58, uma vez que em seus vértices concorrem três arestas. Figura 58. Eliminação do canto do tetraedro, do cubo e do dodecaedro. 2. Na eliminação de um canto do octaedro regular obtemos um quadrilátero, Figura 59, visto que quatro arestas concorrem em seus vértices. Figura 59. Eliminação do canto do octaedro. 3. Já na eliminação de um canto do icosaedro, vértice em que cinco arestas concorrem, um pentágono é obtido, conforme mostra a Figura 60. Figura 60. Eliminação do canto do icosaedro. 130

130 As características numéricas, isto é, número de arestas de cada face, bem como o número vértices e ordem de um poliedro obtido por truncamento podem ser estabelecidos a partir do sólido que se trunca e dependem também do tipo de truncamento como mostramos a seguir ARQUIMEDIANOS OBTIDOS POR TRUNCAMENTO TIPO 1 Dois Sólidos Arquimedianos são obtidos ao truncar poliedros platônicos por planos que passam pelos pontos médios de suas arestas: cuboctaedro e icosidodecaedro. Os próprios nomes dos sólidos sugerem os poliedros platônicos a partir do qual se originam: Cuboctaedro: esse arquimediano apresenta quatorze faces, seis quadradas e oito triangulares, e pode ser obtido por truncaturas nos pontos médios das arestas cubo ou do octaedro regular. A Figura 61 ilustra o cuboctaedro (no centro) gerado a partir do cubo (à esquerda) ou do octaedro (à direita). Figura 61. Cuboctaedro gerado a partir do cubo ou octaedro. Icosidodecaedro: esse arquimediano apresenta trinta e duas faces, doze pentagonais e vinte triangulares, e pode ser obtido por truncaturas nos pontos médios das arestas do dodecaedro regular ou icosaedro regular. A Figura 62 ilustra o icosidodecaedro (centro) gerado a partir do dodecaedro regular (à esquerda) ou do icosaedro regular (à direita). 131 Figura 62. Icosidodecaedro a partir do dodecaedro ou icosaedro.

131 4.1.2 ARQUIMEDIANOS OBTIDOS POR TRUNCAMENTO TIPO 2 Cinco Sólidos Arquimedianos são obtidos ao truncar poliedros platônicos por planos que passam por pontos, em cada aresta, eqüidistantes a seus vértices: tetraedro truncado, cubo truncado, octaedro truncado, dodecaedro truncado e icosaedro truncado. Seus nomes sugerem os poliedros platônicos a partir do qual se originam. Os cinco sólidos arquimedianos obtidos por esse tipo de truncamento apresentam dois tipos de faces. Cada tipo de face está relacionado à eliminação do canto do poliedro platônico ou à truncatura de arestas das faces. Quanto às faces que provêm das truncaturas das arestas de platônicos, apresentamos três casos, a saber: Tetraedro truncado, Octaedro truncado e Icosaedro truncado: esses poliedros se originam de poliedros platônicos cujas faces são formadas por triângulos eqüiláteros (tetraedro, octaedro e icosaedro), conforme mostra a Figura 63. As arestas das faces do tetraedro regular, octaedro regular e icosaedro regular quando truncadas resultam em faces hexagonais regulares. Figura 63. Face hexagonal. Para que as faces hexagonais regulares dos arquimedianos (tetraedro truncado, octaedro truncado e icosaedro truncado) sejam obtidas a partir das faces triangulares regulares dos poliedros de partida (tetraedro regular, octaedro regular e icosaedro regular), precisamos encontrar a distância entre o vértice e o ponto da aresta do platônico de partida em que deve ser efetuada a truncatura. Nesse sentido, dada uma face ABC triangular do platônico de partida, como pode ser observada na Figura 64, tem-se que: P 1 e P 2 são os pontos de 132

132 corte da aresta AB; P 3 e P 4 são pontos de corte da aresta BC; P 5 e P 6 são os pontos de corte da aresta AC; a é a aresta da face e d a distância entre um vértice e um ponto de corte. Figura 64. Pontos de corte no triângulo. Podemos então deduzir, que o triângulo AP 1 P 6 é eqüilátero, pois M(Â)=60º e AP 1 AP 6. Dessa forma, temos que: d = a 2d, logo d = a/3. Com d encontrado, as truncaturas nas arestas dos poliedros platônicos de partidas podem ser realizadas. Cubo truncado: esse poliedro se origina do cubo cujas faces são formadas por quadrados. As arestas das faces do cubo quando truncadas devem resultar em faces octogonais regulares, como mostra a Figura 65. Figura 65. Face octogonal. Para que as faces octogonais regulares do arquimediano cubo truncado sejam obtidas a partir das faces quadradas do poliedro de partida cubo, precisamos encontrar a distância entre o vértice e o ponto da aresta do cubo em que deve ser efetuada a truncatura. 133

133 Nesse sentido, dada uma face ABCD do cubo, como pode ser observada na Figura 66, tem-se que: P 1 e P 2 são os pontos de corte da aresta AB; P 3 e P 4 são pontos de corte da aresta BC; P 5 e P 6 são os pontos de corte da aresta CD; P 7 e P 8 são os pontos de corte da aresta AD; a é a aresta da face e d a distância entre um vértice e um ponto de corte. Figura 66. Pontos de corte no quadrado. Podemos então deduzir que, o triângulo AP 1 P 8 é retângulo, pois M(Â)=90º. Dessa forma, aplicando o teorema de Pitágoras, temos que: d² d² (a 2d)² 2d² (a 2d)² 2d² (a 2d)² d 2 a 2d d 2 2d a d( 2 2) a d a 2 2 Observamos que a distância encontrada é um número irracional, portanto vamos trabalhar com uma distância aproximada. Com a distância encontrada, as truncaturas nas arestas do cubo podem ser efetuadas. Dodecaedro truncado: esse poliedro se origina do dodecaedro regular cujas faces são formadas por pentágonos regulares. As arestas das faces do dodecaedro regular quando truncadas devem resultar em faces decagonais regulares, como mostra a Figura

134 Figura 67. Face decagonal. Para que as faces decagonais regulares do arquimediano dodecaedro truncado sejam obtidas a partir das faces pentagonais regulares do poliedro de partida dodecaedro regular, precisamos encontrar a distância entre o vértice e o ponto da aresta do dodecaedro regular em que deve ser efetuada a truncatura. Nesse sentido, dada uma face ABCDE do dodecaedro regular, como pode ser observada na Figura 68, tem-se que: P 1 e P 2 são os pontos de corte da aresta AB; P 3 e P 4 são pontos de corte da aresta BC; P 5 e P 6 são os pontos de corte da aresta CD; P 7 e P 8 são os pontos de corte da aresta DE; P 9 e P 10 são os pontos de corte da aresta AE; a é a aresta da face e d a distância entre um vértice e um ponto de corte. Figura 68. Pontos de corte no pentágono. Dessa forma, se tomarmos o triângulo AP 1 P 10, com M(Â)=108º, pela lei dos cossenos podemos deduzir que: (a 2d) 2 = d 2 + d 2 2dd.cos108 (1). Por 135

135 outro lado sabemos que cos108 = cos( ), ou seja, cos108 = cos90..cos18 - sen90.sen 18. Assim, concluímos que cos108 = - sen18 (2). Com a substituição de (2) em (1), obtemos: (a - d) 2 = d 2 + d 2 + 2dd.sen18 (3). Observamos que se encontramos sen18 e o substituirmos na equação (3), encontramos d. Deste modo, precisamos encontrar sen18. Para tanto, ao observarmos a Figura 68, percebemos que os pontos de corte na face ABCDE do dodecaedro regular, corresponderão aos vértices de uma das faces decagonais regulares do arquimediano dodecaedro truncado. Para encontrarmos o sen18 e assim obter d, consideramos a circunferência circunscrita a uma das faces do dodecaedro truncado, como vemos na Figura 69, que tem centro em O e raio r e l 10 o lado do decágono regular. Dessa forma, se tomarmos o triângulo OP 4 P 5, com M(Ô)=36, podemos deduzir que: o triângulo OP 4 P 5 é isósceles, pois os segmentos OP 4 e OP 5 são congruentes. Pela soma dos ângulos internos de um triângulo, podemos também concluir que os ângulos P 4 e P 5 medem 72. O Figura 69. Circunferência circunscrita ao decágono. Obtendo a bissetriz OQ do ângulo O, como mostra a Figura 70, podemos concluir que: os triângulos OQP 4 e OQP 5 são retângulos e que os segmentos QP 4 e QP 5 correspondem a metade do lado do decágono. Assim, sen18 = l 10 /2r (4). 136

136 Figura 70. Triângulo 1. Para encontrarmos l 10 e assim sen18, retomamos o triângulo OP 4 P 5 e obtemos a bissetriz P 4 T do ângulo P 4, como mostra a Figura 71. Se tomarmos o triângulo P 4 P 5 T, pela propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo, concluímos que o ângulo P 4 TP 5 mede 72, logo P 4 T l 10. Como no triângulo P 4 OT, os segmentos P 4 T e OT são congruentes, concluímos que OT l 10. Assim, aplicando o teorema da bissetriz interna no triângulo OP 4 P 5, podemos deduzir que r/ l 10 =l 10 / (r-l 10 ) l r l 10 r 2 = 0. Figura 71. Triângulo 2. Desenvolvendo a equação polinomial do 2, deduzimos que: r 5 r ² l 10 (5) 2 137

137 Com l 10 determinado podemos obter sen18. Para isso, substituímos (5) em (4) e concluímos que: 5 1 sen 18º (6) 4 Encontrado sen18, podemos encontrar d. Para isso, substituímos (6) em (3) e concluímos que: (a 2d )² 2d² 2d² (a 2d )² d² (a 2d )² d² (a (a a (a 2d )² 2d )² 2d 2d )² d. 4 d². 3 d². 3 3 d² (7) Para tornarmos a igualdade acima mais simples, consideramos: 3 5 x y, com x e y reais (8) Ao desenvolvermos a igualdade, chegamos ao sistema de equações: x y 4xy 3 5 Dessa maneira, podemos deduzir que: 5 x e 2 y 1 2 Substituindo em (8) os valores de x e y encontrados, constatamos que: 138

138 (10) Se substituirmos (10) em (7) encontramos d: a a 2d 2d 1 d. d a 2d d a d a d 5 d. 2 2a Observamos que a distância encontrada é um número irracional, portanto, vamos trabalhar com uma distância aproximada. Encontrada a distância entre o vértice do dodecaedro regular e o ponto da aresta em que será efetuada a truncatura, a construção do dodecaedro truncado pode ser iniciada. Diante do que foi exposto, podemos observar que os Sólidos Arquimedianos obtidos por truncamento tipo 2 só podem ser construídos se encontrada a distância entre o vértice do poliedro platônico de partida e o ponto de corte. Como para cada caso já determinamos como encontrar os pontos de corte, no que segue mostramos as construções dos Sólidos Arquimedianos obtidos por truncamento tipo 1 e tipo 2 realizadas com o auxílio do ambiente Cabri 3D. 139

139 4.2. AS CONSTRUÇÕES E SUAS ANÁLISES Em nossa problemática propusemo-nos revisitar os Sólidos Arquimedianos por meio de suas construções no ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D. Essa parte do trabalho tem como propósito apresentar os passos de geração de cada arquimediano no Cabri 3D e analisar as construções com base na Ecologia dos objetos matemáticos de Chevallard e na teoria de Registro de Representação Semiótica de Duval. De acordo com Chevallard (1991), o objeto matemático Sólidos Arquimedianos existe se uma pessoa ou instituição o reconhece. Entretanto, para que esse mesmo objeto se transforme em objeto de ensino é necessário identificar onde ele vive, ou pode viver, e que função possui, isto é, seu habitat e seu nicho. Para identificar seu habitat, alguns aspectos precisam ser considerados, tais como: os saberes que possibilitam a existência do objeto matemático Sólidos Arquimedianos e as relações inter-hierárquicas entre esses saberes com o próprio objeto. Nesse sentido, nossas unidades de análise para cada sólido arquimediano obtido por truncaturas em arestas de sólidos platônicos têm por base os saberes mobilizados para suas construções, a função que cada saber assume no processo e as relações inter-hierárquicas entre o sólido arquimediano produzido e o sólido platônico que o originou. Dessa forma, nos aproximamos dos saberes envolvidos no processo e verificamos se o ambiente Cabri 3D, o reconhece como objeto, bem como contribui para que se transforme em objeto de ensino. Quanto à teoria de Duval (2002), nossas unidades de análise têm por base evidenciar os tratamentos efetuados no registro figural e a possível articulação entre o registro figural e um registro discursivo, diálogo indispensável em toda atividade geométrica. Nossas construções e análises são apresentadas truncamento, mostradas no que segue. por tipo de 140

140 4.2.1 TRUNCAMENTO TIPO 1 Nesse tópico são apresentadas as construções dos sólidos arquimedianos cuboctaedro e icosidodecaedro no ambiente Cabri 3D CUBOCTAEDRO Como vimos anteriormente, para gerar o cuboctaedro precisamos truncar as arestas, do cubo ou do octaedro regular, em seus pontos médios. Mostramos a seguir esse processo com o auxílio do Cabri 3D. Geração do cuboctaedro a partir do cubo no Cabri 3D Passo 1: Iniciamos o processo de geração do cuboctaedro com a criação do cubo. Para que o cubo seja criado, como mostram as Figuras 72 e 73, acionamos na caixa de ferramenta poliedro a ferramenta cubo. Em seguida clicamos com o mouse no plano de base, arrastando-o, e por fim um duplo clique. Figura 72. Ferramenta cubo. Figura 73. Cubo. 141

141 Passo 2: Com o cubo já criado, marcamos o ponto médio de cada aresta. Para isso, como mostra a Figura 74, acionamos a ferramenta ponto médio e indicamos com o clique do mouse as arestas do cubo. Figura 74. Pontos médios das arestas do cubo. Passo 3: Nesse passo, iniciamos o processo de eliminação dos cantos do cubo com a determinação do plano que deve ser criado. Para isso, com a utilização da ferramenta plano e com a indicação de três pontos médios das arestas que concorrem em um vértice, conforme mostra a Figura 75, obtemos o plano de secção. Figura 75. Plano de secção (cubo). Passo 4: Com a ferramenta recorte de poliedro, o primeiro canto do cubo será eliminado. Como mostra a Figura 76, indicamos o plano obtido no passo 3 e o canto do cubo que contém o vértice desejado. Com o recurso esconder/mostrar podemos optar em esconder o plano, o que facilita a eliminação dos demais cantos do cubo. 142

142 Figura 76. Eliminação do canto do cubo. Passo 5: Nesse passo efetua-se o mesmo procedimento do passo 4 para a eliminação dos demais cantos do cubo. A Figura 77 mostra o resultado obtido, isto é, o cuboctaedro. Figura 77. Cuboctaedro. Geração do cuboctaedro a partir do octaedro regular Passo 1: Iniciamos o processo de geração do cuboctaedro com a criação do octaedro regular. Como mostram as Figuras 78 e 79, para que o octaedro seja criado, acionamos na caixa de ferramenta poliedro a ferramenta octaedro. Em seguida clicamos com o mouse no plano de base, arrastando-o, e por fim um duplo clique. 143 Figura 78. Ferramenta octaedro regular.

143 Figura 79. Octaedro Regular. Passo 2: Com o octaedro já criado, como mostra a Figura 80, marcamos o ponto médio de cada aresta. Para isso acionamos a ferramenta ponto médio e em seguida indicamos com o clique do mouse as arestas do octaedro. Figura 80. Pontos médios das arestas do octaedro regular. Passo 3: Nesse passo, iniciamos o processo de eliminação dos cantos do octaedro regular. Assim, como mostra a Figura 81, um plano de secção deve ser criado com a utilização da ferramenta plano e com a indicação de três pontos médios das arestas que concorrem em um vértice. Figura 81. Plano de secção (octaedro regular). Passo 4: Com a ferramenta recorte de poliedro o primeiro vértice do octaedro regular será eliminado. Para isso, como mostra a Figura 82, indicamos o plano 144

144 obtido no passo 3 e o canto do octaedro que contém o vértice desejado. Com o recurso esconder/mostrar podemos optar em esconder o plano, o que facilita a eliminação dos demais cantos do octaedro. Figura 82. Eliminação do canto do octaedro regular. Passo 5: Nesse passo efetuamos o mesmo procedimento do passo 4 para a eliminação dos demais cantos do octaedro regular. O resultado obtido é o cuboctaedro, já ilustrado na Figura ICOSIDODECAEDRO Como vimos anteriormente, para gerar o icosidodecaedro precisamos truncar as arestas, do icosaedro regular ou do dodecaedro regular em seus pontos médios. Mostramos no que segue esse processo com o auxílio do Cabri 3D. Geração do icosidodecaedro a partir do dodecaedro regular no Cabri 3D Passo 1: Iniciamos o processo de geração do icosidodecaedro com a criação do dodecaedro regular. Como mostram as Figura 83 e 84, para que o dodecaedro seja criado, acionamos na caixa de ferramenta poliedro a ferramenta dodecaedro regular. Em seguida clicamos com o mouse no plano de base, arrastando-o, e por fim um duplo clique. 145 Figura 83. Ferramenta dodecaedro regular.

145 Figura 84. Dodecaedro regular. Passo 2: Com o dodecaedro já criado, marcamos o ponto médio de cada aresta e como mostra a Figura 85 selecionamos a ferramenta ponto médio, e em seguida indicamos com o clique do mouse as arestas do dodecaedro regular. Figura 85. Pontos médios das arestas do dodecaedro regular. Passo 3: Nesse passo, iniciamos o processo de eliminação dos cantos do dodecaedro regular. Assim, como mostra a Figura 86, um plano de secção deve ser criado com a utilização da ferramenta plano e com a indicação de três pontos médios das arestas que concorrem em um vértice. Figura 86. Plano de secção (dodecaedro regular). 146

146 Passo 4: Com a ferramenta recorte de poliedro, o primeiro canto do dodecaedro regular será eliminado. Para isso, como mostra a Figura 87, indicamos o plano obtido no passo 3 e o canto do dodecaedro regular que contém o vértice desejado. Com o recurso esconder/mostrar podemos optar em esconder o plano, o que facilita a eliminação dos demais cantos do dodecaedro regular. Figura 87. Eliminação do canto do dodecaedro regular. Passo 5: Nesse passo efetua-se o mesmo procedimento do passo 4 para a eliminação dos demais cantos do dodecaedro regular. A Figura 88 mostra o resultado obtido, isto é, o icosidodecaedro. Figura 88. Icosidodecaedro Geração do icosidodecaedro a partir do icosaedro regular no Cabri 3D Passo 1: Iniciamos o processo de geração do icosidodecaedro com a criação do icosaedro regular. Para que o icosaedro regular seja criado, como mostram as Figuras 89 e 90, acionamos na caixa de ferramenta poliedro a ferramenta 147

147 icosaedro regular. Em seguida clicamos com o mouse no plano de base, arrastando-o, e por fim um duplo clique. Figura 89. Ferramenta icosaedro regular. Figura 90. Icosaedro Regular. Passo 2: Com o icosaedro regular já criado, como mostra a Figura 91, marcamos o ponto médio de cada aresta. Para isso acionamos a ferramenta ponto médio e em seguida indicamos com o clique do mouse as arestas do poliedro. Figura 91. Pontos médios das arestas do dodecaedro regular. 148

148 Passo 3: Nesse passo, iniciamos o processo de eliminação dos cantos do icosaedro regular. Assim, como mostra a Figura 92, um plano de secção deve ser criado com a utilização da ferramenta plano e com a indicação de três pontos médios das arestas que concorrem em um vértice. Figura 92. Plano de secção (dodecaedro regular). Passo 4: Com a ferramenta recorte de poliedro o primeiro canto do icosaedro regular será eliminado. Para isso, como mostra a Figura 93, indicamos o plano obtido no passo 3 e o canto do poliedro que contém o vértice desejado. Com o recurso esconder/mostrar podemos optar em esconder o plano, o que facilita a eliminação dos demais cantos do icosaedro regular. Figura 93. Eliminação do canto do icosaedro regular. Passo 5: Nesse passo efetuamos o mesmo procedimento do passo 4 para a eliminação dos demais cantos do icosaedro regular. O resultado obtido, já ilustrado na Figura 88, é o icosidodecaedro. 149

149 ANÁLISE DAS CONSTRUÇÕES DOS ARQUIMEDIANOS CUBOCTAEDRO E ICOSIDODECAEDRO Observamos que as construções no Cabri 3D dos arquimedianos cuboctaedro e icosidodecaedro só foram possíveis a partir do estudo realizado no tópico anterior, no qual discutimos o processo de construção por truncamento tipo 1. Essa discussão foi fundamental para identificarmos que pontos de truncaturas, correspondem aos pontos médios das arestas dos poliedros platônicos de partida (cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro), sem isso as construções não seriam possíveis. Assim, entendemos que esses dois arquimedianos foram construídos a partir da articulação entre o registro figural dinâmico e um registro discursivo, nesse caso, registro da língua natural. Nesse sentido, os tratamentos apenas figurais construções do cubo, octaedro regular, icosaedro regular, dodecaedro regular, ponto médio, secção plana e eliminação dos cantos dos poliedros platônicos não foram suficientes para geração no Cabri 3D dos sólidos arquimedianos cuboctaedro e icosidodecaedro. Realizadas as construções no Cabri 3D dos sólidos arquimedianos cuboctaedro e icosidodecaedro, percebemos que apenas saberes geométricos viveram e interagiram entre si. Os saberes matemáticos envolvidos em todo o processo foram os poliedros de partida cubo e octaedro regular para a construção do cuboctaedro e os poliedros de partida icosaedro regular e dodecaedro regular para a construção do icosidodecaedro, além de ponto médio e de secção plana. Esses saberes envolvidos foram reconhecidos como objeto pela instituição Cabri 3D por meio das ferramentas cubo, octaedro regular, icosaedro regular, dodecaedro regular, ponto médio e plano, pois cada um deles desempenhou um papel na construção. Enquanto os poliedros platônicos apresentavam o objeto geométrico que seria truncado, isto é, o poliedro de partida, os pontos médios determinavam os pontos em que as truncaturas deveriam ser efetuadas e os planos auxiliavam a eliminação dos cantos do poliedro platônico de partida. Estendendo um pouco mais a problemática ecológica dos objetos matemáticos proposta por Chevallard, podemos ainda inserir em nossa análise a 150

150 idéia de competição entre saberes - apoiada no conceito de competição entre espécies da ecologia biológica. Assim, podemos dizer que o saber cubo e o saber octaedro regular desempenham a mesma função e competem entre si (pois ambos servem de poliedro de partida) no processo de construção do arquimediano cuboctaedro. O mesmo acontece com os saberes icosaedro regular e dodecaedro regular no processo de construção do icosidodecaedro. Percebemos relações inter-hierárquicas entre os poliedros platônicos de partida e os sólidos arquimedianos construídos. Os arquimedianos cuboctaedro e icosidodecaedro apresentam faces de dois tipos. Enquanto um tipo de face está atrelado à eliminação dos cantos, o outro tipo está atrelado a truncatura das arestas das faces. No caso do cuboctaedro gerado a partir do cubo, as suas oito faces triangulares provêm da eliminação dos oito cantos do cubo e as suas seis faces quadradas provêm das truncaturas das arestas das seis faces do cubo. Quando esse mesmo arquimediano é gerado a partir do octaedro regular, as suas seis faces quadradas passam a ser obtidas pela eliminação dos seis cantos do octaedro regular e as suas oito faces triangulares pelas truncaturas das arestas das oito faces do octaedro regular. Esse mesmo raciocínio pode ser observado no arquimediano icosidodecaedro com faces formadas por pentágonos e triângulos. Quando gerado a partir do icosaedro regular, as suas doze faces pentagonais provêm da eliminação dos doze cantos do icosaedro regular e suas vinte faces triangulares provêm das truncaturas das arestas das vinte faces do icosaedro regular. Quando esse mesmo arquimediano é obtido a partir do dodecaedro regular, as suas vinte faces triangulares passam a ser obtidas pela da eliminação dos vinte cantos do dodecaedro regular e as suas doze faces pentagonais pelas truncaturas das arestas das doze faces do dodecaedro regular. Outra relação observada entre o poliedro de partida e o arquimediano produzido diz respeito ao número total de vértices de ambos os poliedros arquimedianos construídos. Esse total é igual ao número de arestas dos poliedros platônicos de partida, visto que em cada aresta há somente um ponto de truncatura, o que origina cada vértice arquimediano. 151

151 Assim, entendemos que o Cabri 3D se confirmou como um habitat para o estudo dos Sólidos Arquimedianos cuboctaedro e icosidodecaedro na medida em que reconheceu como objetos todos os saberes que determinam a existência dos mesmos TRUNCAMENTO TIPO 2 Nesse tópico são apresentadas as construções no Cabri 3D dos sólidos arquimedianos: tetraedro truncado, octaedro truncado, icosaedro truncado, cubo truncado e dodecaedro truncado TETRAEDRO TRUNCADO, OCTAEDRO TRUNCADO E ICOSAEDRO TRUNCADO Como vimos anteriormente, o processo de geração dos Sólidos Arquimedianos tetraedro truncado, octaedro truncado e icosaedro truncado, inicia a partir da divisão das arestas dos poliedros platônicos de partida em três partes congruentes. Sabemos que as faces do tetraedro regular, octaedro regular e icosaedro regular (platônicos de partida), são formadas por triângulos eqüiláteros. Nesse sentido, como mostra a Figura 94, tomamos uma face triangular qualquer e apontamos com o uso de ferramentas do Cabri 3D, dois caminhos para dividir as arestas da face ABC em três partes congruentes. Um é por transferência de medidas que detalhamos no apêndice A, e o outro é pelo teorema de tales que também está detalhado no apêndice B. Figura 94. Face triangular ABC. 152

152 GERAÇÃO DO TETRAEDRO TRUNCADO NO CABRI 3D Passo 1: Iniciamos o processo de geração do tetraedro truncado com a criação do tetraedro regular. Como mostram as Figuras 95 e 96, para que o tetraedro regular seja criado, acionamos na caixa de ferramenta poliedro a ferramenta tetraedro regular. Em seguida clicamos com o mouse no plano de base, arrastando-o, e por fim um duplo clique. Figura 95. Ferramenta tetraedro regular. Figura 96. Tetraedro regular. Passo 2: Com o tetraedro regular já criado, como ilustra a Figura 97, dividimos cada aresta do poliedro em três partes congruentes (apêndice A ou B). Figura 97. Arestas do tetraedro divididas em três partes congruentes. 153

153 Passo 3: Nesse passo, como mostra a Figura 98, iniciamos o processo de eliminação dos cantos do tetraedro regular. Assim, um plano de secção deve ser criado com a utilização da ferramenta plano e com a indicação de três pontos, das arestas que concorrem em um vértice, sendo esses os mais próximos do vértice desejado. Figura 98. Plano de secção (tetraedro regular). Passo 4: Com a ferramenta recorte de poliedro, o primeiro canto do tetraedro regular será eliminado. Para isso, como podemos ver na Figura 99, indicamos o plano obtido no passo 3 e o canto do tetraedro regular que contém o vértice desejado. Com o recurso esconder/mostrar podemos optar em esconder o plano, o que facilita a eliminação dos demais vértices. Figura 99. Eliminação do canto do tetraedro regular. Passo 5: Nesse passo efetuamos o mesmo procedimento do passo 3 e 4 para a eliminação dos demais cantos do tetraedro regular. A Figura 100 mostra o resultado obtido, isto é, o tetraedro truncado gerado no Cabri 3D. 154

154 Figura 100. Tetraedro truncado. GERAÇÃO DO OCTAEDRO TRUNCADO NO CABRI 3D Passo 1: Iniciamos o processo de geração do octaedro truncado com a criação do octaedro regular. Para criar esse octaedro regular, como mostram as Figuras 101 e 102, acionamos na caixa de ferramenta poliedro a ferramenta octaedro regular. Em seguida clicamos com o mouse no plano de base, arrastando-o, e por fim um duplo clique. Figura 101. Ferramenta octaedro regular. Figura 102. Octaedro regular. 155

155 Passo 2: Com o octaedro regular já criado, dividimos cada aresta do poliedro em três partes congruentes (apêndice A ou B). A Figura 103 mostra o resultado desse procedimento. Figura 103. Arestas do octaedro dividas em três partes congruentes. Passo 3: Nesse passo, iniciamos o processo de eliminação dos cantos do octaedro regular. Assim, conforme mostra a Figura 104, um plano de secção deve ser criado com a utilização da ferramenta plano e com a indicação de quatro pontos das arestas que concorrem em um vértice, sendo esses os mais próximos do vértice desejado. Figura 104. Plano de secção (octaedro regular) Passo 4: Com a ferramenta recorte de poliedro, o primeiro canto do octaedro regular será eliminado. Para isso, como mostra a Figura 105, indicamos o plano obtido no passo 3 e o canto do octaedro regular que contém o vértice desejado. Com o recurso esconder/mostrar podemos optar em esconder o plano, esse procedimento facilita a eliminação dos demais cantos do poliedro. 156

156 Figura 105. Eliminação do canto do octaedro regular. Passo 5: Nesse passo efetuamos o mesmo procedimento do passo 3 e 4 para a eliminação dos demais cantos do octaedro regular. A Figura 106 ilustra o octaedro truncado gerado no Cabri 3D. Figura 106. Octaedro truncado. GERAÇÃO DO ICOSAEDRO TRUNCADO NO CABRI 3D Passo 1: Iniciamos o processo de geração do icosaedro truncado com a criação do icosaedro regular. Para criar esse objeto, como mostram as Figura 107 e 108, acionamos na caixa de ferramenta poliedro a ferramenta icosaedro regular. Em seguida clicamos com o mouse no plano de base, arrastando-o, e por fim um duplo clique. Figura 107. Ferramenta icosaedro regular. 157

157 Figura 108. Icosaedro regular. Passo 2: Com o icosaedro regular já criado, dividimos cada aresta do poliedro em três partes congruentes (apêndice A ou B). O resultado desse procedimento é mostrado na Figura 109. Figura 109. Arestas do icosaedro dividas em três partes iguais. Passo 3: Nesse passo, como mostra a Figura 110, iniciamos o processo de eliminação dos cantos do icosaedro regular. Assim, um plano de secção deve ser criado com a utilização da ferramenta plano e com a indicação de três pontos. Figura 110. Plano de secção (icosaedro regular). 158

158 Passo 4: Com a ferramenta recorte de poliedro, o primeiro canto do octaedro regular será eliminado. Para isso, como mostra a Figura 111, indicamos o plano obtido no passo 3 e o canto do icosaedro regular que contém o vértice desejado. Com o recurso esconder/mostrar podemos optar em esconder o plano, o que facilita a eliminação dos demais cantos do icosaedro. Figura 111. Eliminação do canto do icosaedro regular. Passo 5: Nesse passo efetua-se o mesmo procedimento do passo 3 e 4 para a eliminação dos demais cantos. A Figura 112 ilustra o icosaedro truncado gerado no Cabri 3D. Figura 112. Icosaedro truncado. ANÁLISE DAS CONSTRUÇÕES DOS ARQUIMEDIANOS TETRAEDRO TRUNCADO, OCTEADRO TRUNCADO E ICOSAEDRO TRUNCADO Observamos que as construções no Cabri 3D dos arquimedianos tetraedro truncado, octaedro truncado e icosaedro truncado só foram possíveis a partir do estudo realizado no tópico anterior, no qual também discutimos o processo de construção por truncamento tipo 2. Essa discussão foi essencial para 159

159 identificarmos que a distância entre um ponto de truncatura e o vértice mais próximo dele, equivale a um terço da aresta do poliedro platônico de partida (tetraedro, octaedro e icosaedro). Sem essa discussão as construções realizadas no Cabri 3D não seriam possíveis. Assim, entendemos que esses três arquimedianos foram construídos a partir da articulação entre o registro figural dinâmico e um registro discursivo, nesse caso, o registro algébrico. Nesse sentido, os tratamentos apenas figurais construções do tetraedro regular, octaedro regular, icosaedro regular, secção plana e eliminação dos vértices dos poliedros platônicos não foram suficientes para geração no Cabri 3D dos sólidos arquimedianos tetraedro truncado, octaedro truncado e icosaedro truncado. Para que os três arquimedianos fossem construídos o registro algébrico precisou ser mobilizado a fim de que fosse determinada a que distância de cada vértice, do poliedro platônico de partida, a truncatura deveria ser realizada. A articulação imediata entre o registro figural dinâmico e o registro algébrico foi essencial para a conversão de representações, pois a representação figural precisou ser convertida para a escrita algébrica para poder ser tratada. Assim, o tratamento algébrico possibilitou encontrar o ponto de truncatura nas arestas dos poliedros de partida ao dividi-las em três partes congruentes. A conversão realizada entre a representação no registro figural e a representação no registro algébrico nos conduz a um fenômeno de congruência, pois entendemos que há facilidade em reconhecer e representar algebricamente a situação exposta na Figura 113, sabendo que o triângulo AP 1 P 6 é eqüilátero. Figura 113. Triângulo eqüilátero. É somente a partir dessa conversão, sentido figural-algébrico, e do tratamento algébrico efetuado que encontramos os pontos de truncaturas para a obtenção dos arquimedianos. 160

160 Entendemos, também, que a conversão no sentido oposto, isto é, algébrico-figural, é congruente pela facilidade em representar figuralmente a escrita algébrica d=a/3, sabendo que d é a distância entre um vértice do poliedro de partida e um ponto de truncatura e a a aresta desse mesmo poliedro. Realizadas as construções no Cabri 3D dos sólidos arquimedianos tetraedro truncado, octaedro truncado e icosaedro truncado, percebemos que saberes geométricos e algébricos viveram e interagiram entre si. Os saberes mobilizados na construção foram os poliedros de partida tetraedro regular para a construção do tetraedro truncado -, octaedro regular para a construção do octaedro truncado e o icosaedro regular para a construção do icosaedro truncado, além do teorema de tales ou tranferência de medidas e secção plana. A maioria dos saberes envolvidos na construção dos três arquimedianos foi reconhecida como objeto pela instituição Cabri 3D por meio das ferramentas tetraedro regular, octaedro regular, icosaedro regular e plano. No entanto, como o Cabri 3D não possui uma ferramenta que por si só divida um segmento em três partes congruentes, dois procedimentos foram apontados: teorema de tales e transferência de medidas. Para que ambos os procedimentos fossem efetuados na instituição proposta, foi necessário mobilizar um conjunto de saberes outros, tais como: semi-reta, ponto, ponto de intersecção, esfera, segmento, reta paralela, medida da aresta e operação de divisão. Esses saberes foram reconhecidos pela instituição Cabri 3D por meio das ferramentas semi-reta, ponto, ponto de intersecção, esfera, segmento, paralela, distância ou comprimento e calculadora, respectivamente. Cada saber mobilizado para a construção foi importante na medida em que apresentou uma função. A função de cada poliedro platônico no processo foi apresentar o objeto geométrico a partir do qual a truncatura se iniciou, a função do teorema de tales ou da transferência de medidas foi dividir as arestas do poliedro de partida em três partes congruentes e assim indicar os pontos de truncatura, e a função da secção plana foi auxiliar a eliminação dos cantos do poliedro platônico de partida. 161

161 Entendemos que as funções do teorema de tales e transferência de medidas, competiram entre si no processo de construção por ambas serem utilizadas apenas para a divisão das arestas dos poliedros de partida. Durante as construções, percebemos também relações inter-hierárquicas entre os poliedros platônicos de partida e os sólidos arquimedianos construídos. Percebemos que os arquimedianos tetraedro truncado, octaedro truncado e icosaedro truncado apresentam dois tipos de faces, faces que provêm de truncaturas nas arestas dos platônicos tetraedro regular, octaedro regular e icosaedro regular e faces que provêm da eliminação dos seus vértices. Observamos que o número das arestas em cada face dos arquimedianos obtidos a partir de truncaturas nas arestas dos platônicos equivale ao dobro do número de arestas da face do poliedro de partida. Outra relação observada entre o poliedro platônico de partida e o arquimediano produzido diz respeito ao número total de vértices dos poliedros arquimedianos construídos. Esse total é igual ao dobro de arestas dos poliedros platônicos de partida, visto que em cada aresta há dois pontos de truncatura, o que origina dois vértices arquimedianos. Assim, entendemos que o Cabri 3D se confirmou como um habitat para o estudo dos sólidos arquimedianos tetraedro truncado, octaedro truncado e icosaedro truncado na medida em que reconheceu como objetos todos os saberes que determinam a existência dos mesmos CUBO TRUNCADO Como vimos anteriormente, o processo de geração do sólido arquimediano cubo truncado inicia a partir de truncaturas realizadas nas arestas do cubo a uma distância adequada dos vértices. A distância d já encontrada no tópico anterior, como segue. a d (em que a é aresta do cubo), é utilizada na construção 2 2 Passo 1: Iniciamos o processo de geração do cubo truncado com a criação do cubo. Para que o cubo seja criado, acionamos na caixa de ferramenta poliedro a 162

162 ferramenta cubo, conforme já mostrado na Figura 73. Em seguida clicamos com o mouse no plano de base, arrastando-o, e por fim um duplo clique. Passo 2: Com o cubo já criado, como mostram as Figuras 114 e 115, obtemos o comprimento da aresta acionando a ferramenta comprimento e indicando uma das arestas do cubo. Figura 114. Ferramenta comprimento. Figura 115. Comprimento da aresta (cubo). Passo 3: Nesse passo obtemos os pontos de corte nas arestas. Para isso, como mostram as Figuras 116 e 117, acionamos a ferramenta calculadora, indicamos a com o clique do mouse o comprimento da aresta e inserimos a expressão. 2 2 Figura 116. Ferramenta calculadora. 163

163 Figura 117. Inserindo expressão na calculadora (cubo truncado). Passo 4: Para encontrar os pontos de cortes nas arestas, como mostra a Figura 118, utilizamos a ferramenta transferência de medidas (apêndice A) para transferir o resultado obtido no passo 3 para as arestas do cubo. Figura 118. Transferência de medida para a aresta do cubo. Passo 5: Nesse passo, iniciamos o processo de eliminação dos cantos do cubo. Assim, como mostra a Figura 119, um plano de secção deve ser criado com a utilização da ferramenta plano e com a indicação de três pontos das arestas que concorrem em um vértice, sendo esses os mais próximos do vértice desejado. Figura 119. Plano de secção (cubo II) 164

164 Passo 6: Com a ferramenta recorte de poliedro, o primeiro canto do cubo será eliminado. Para isso, como mostra a Figura 120, indicamos o plano obtido no passo 4 e o canto do cubo que contém o vértice desejado. Com o recurso esconder/mostrar podemos optar em esconder o plano, esse procedimento facilita a eliminação dos demais cantos do cubo. Figura 120. Eliminação do canto do cubo II. Passo 7: Nesse passo efetua-se o mesmo procedimento do passo 4 para a eliminação dos demais vértices. O resultado obtido, isto é, o cubo truncado gerado é ilustrado na Figura 121. Figura 121. Cubo truncado. ANÁLISE DA CONSTRUÇÃO DO ARQUIMEDIANO CUBO TRUNCADO Observamos que a construção no Cabri 3D desse arquimediano só foi possível a partir do estudo realizado no tópico anterior, no qual discutimos o processo de construção por truncamento tipo 2. Essa discussão foi essencial para identificarmos a que distância dos vértices do cubo seriam realizadas as 165

165 truncaturas. Sem essa discussão a construção do cubo truncado no Cabri 3D não seria possível. Constatamos que os pontos de truncaturas só puderam ser encontrados a partir da articulação entre o registro figural dinâmico e o registro algébrico, registro discursivo mais uma vez presente na construção de um arquimediano. Nesse sentido, os tratamentos apenas figurais construções do cubo, semi-reta, secção plana e eliminação dos vértices do cubo não foram suficientes para geração no Cabri 3D do arquimediano cubo truncado. Entendemos que a conversão realizada entre o registro figural e o registro algébrico em relação ao teorema de Pitágoras é espontânea, conforme mostra a Figura 122. Assim, consideramos a conversão no sentido figural-algébrico congruente, pois entendemos que há facilidade em reconhecer e representar algebricamente a figura. Registro figural Registro algébrico Figura 122. Conversão entre os registros figural e algébrico. No entanto, o tratamento efetuado no registro algébrico nos permitiu a chegar à escrita algébrica d. Escrita que nada tem de evidente e 2 2 espontânea em ser reconhecida e representada figuralmente. Nesse caso, entendemos que a conversão no sentido oposto, isto é, algébrico-figural nos conduz a um fenômeno de não congruência, problema essencial da semiótica considerado por Duval (1995). Realizada a construção no Cabri 3D do sólido arquimediano cubo truncado, percebemos que saberes geométricos e algébricos viveram e 166

166 interagiram entre si. Os saberes geométricos envolvidos em todo o processo, além do teorema de pitágoras - cubo, medida da aresta, semi-reta, secção plana foram reconhecidos pela instituição Cabri 3D, por meio das ferramentas cubo, comprimento, semi-reta e plano. Cada um desses saberes apresentou uma função no processo de construção. O saber cubo indicou o objeto geométrico a partir do qual a truncatura se iniciou, o saber semi-reta possibilitou indicar em cada aresta do cubo os pontos de truncaturas e a secção plana auxiliou a eliminação dos cantos do cubo. Durante a construção percebemos também relações inter-hierárquicas entre o poliedro platônico de partida, cubo, e o poliedro de chegada, cubo truncado. Lembramos que o arquimediano cubo truncado apresenta dois tipos de faces, tipo de face octogonal regular obtida a partir de truncaturas nas arestas do cubo e o tipo de face triangular regular obtida a partir da eliminação dos cantos do cubo. Assim, notamos que o número de arestas em cada face do arquimediano cubo truncado obtidos a partir de truncaturas de arestas do cubo equivale ao dobro do número de arestas da face do poliedro de partida cubo. Outra relação também notada diz respeito ao número total de vértices do cubo truncado equivalente ao dobro do número de arestas do cubo. Diante do exposto acreditamos que a instituição Cabri 3D se confirmou como um habitat para o estudo do sólido arquimediano cubo truncado,.uma vez que reconheceu como objetos todos os saberes que determinam sua existência DODECAEDRO TRUNCADO Como vimos anteriormente, o processo de geração do sólido arquimediano dodecaedro truncado inicia a partir de truncaturas realizadas nas arestas do dodecaedro regular a uma distância adequada dos vértices. A 2a distância d já encontrada no tópico anterior, d (em que a é aresta do 5 5 dodecaedro regular), é utilizada na construção como segue. Passo 1: Iniciamos o processo de geração do dodecaedro truncado com a criação do dodecaedro regular. Para que o dodecaedro regular seja criado, acionamos na 167

167 caixa de ferramenta poliedro a ferramenta dodecaedro regular, conforme já mostrado na Figura 84. Em seguida clicamos com o mouse no plano de base, arrastando-o, e por fim um duplo clique. Passo 2: Com o dodecaedro regular já criado, obtemos o comprimento da aresta, conforme já mostrado nas Figura 115 e 116, acionando a ferramenta comprimento, e indicando uma das arestas do poliedro. Passo 3: Nesse passo obtemos os pontos de corte nas arestas. Para isso, como mostra a Figura 123, acionamos a ferramenta calculadora e inserimos a 2a expressão, sendo a o comprimento da aresta. 5 5 Figura 123. Inserindo a expressão na calculadora (dodecaedro truncado). Passo 4: Para encontrar os pontos de cortes nas arestas, como mostra a Figura 124, transferimos o resultado obtido no passo 3 para as arestas do dodecaedro regular. Para isso utilizamos a ferramenta transferência de medidas (apêndice A). Figura 124. Transferência de medida para a aresta do dodecaedro regular. Passo 5: Nesse passo, iniciamos o processo de eliminação dos cantos do dodecaedro regular. Assim, como mostra a Figura 125, um plano de secção deve 168

168 ser criado com a utilização da ferramenta plano e com a indicação de três pontos de arestas que concorrem em um vértice, sendo esses os mais próximos do vértice. Figura 125. Plano de secção (dodecaedro regular II). Passo 6: Com a ferramenta recorte de poliedro, o primeiro canto do dodecaedro regular será eliminado. Para isso, como mostra a Figura 126, indicamos o plano obtido no passo 5 e o canto do dodecaedro regular que contém o vértice desejado. Com o recurso esconder/mostrar podemos optar em esconder o plano. Figura 126. Eliminação do canto do dodecaedro regular II. Passo 7: Nesse passo efetuamos o mesmo procedimento do passo 6 para a eliminação dos demais cantos. O resultado obtido, isto é, o dodecaedro truncado gerado é ilustrado na Figura Figura 127. Dodecaedro truncado.

169 ANÁLISE DA CONSTRUÇÃO DO ARQUIMEDIANO DODECAEDRO TRUNCADO Assim como a construção do cubo truncado, observamos que a construção no Cabri 3D do dodecaedro truncado só foi possível a partir do estudo realizado no tópico anterior, no qual discutimos o processo de construção por truncamento tipo 2. Essa discussão foi fundamental para identificarmos a que distância dos vértices do dodecaedro regular seriam realizadas as truncaturas. Sem essa discussão a construção desse arquimediano no Cabri 3D não seria possível. Da mesma forma que a construção do arquimediano cubo truncado, a construção do dodecaedro truncado só pôde ser realizada a partir da articulação entre o registro figural dinâmico e o registro algébrico. Nesse sentido, os tratamentos figurais presentes no processo construção do dodecaedro regular, medida da aresta, semi-reta, transferência de medida, secção plana e eliminação dos cantos do dodecaedro regular - também não foram suficientes para a geração no Cabri 3D do sólido arquimediano dodecaedro regular. Mais uma vez o registro algébrico nos serviu como registro suporte para que fossem encontrados os pontos de truncaturas nas arestas do poliedro platônico de partida. Para Duval (1995) isso acontece por que o registro figural não preenche nenhuma função discursiva, entretanto os tratamentos especificamente figurais dão às figuras um papel heurístico, isto é, a possibilidade de definir os diferentes tipos de modificação a qual é suscetível. É com esse pensamento que Duval afirma que toda atividade geométrica requer um diálogo contínuo entre a visualização e o discurso. Esse diálogo está bem presente no processo de construção do dodecaedro regular, pois a todo o momento recorremos a um registro discursivo, isto é, algébrico para registrar os tratamentos figurais realizados. Só assim a distância entre o vértice do dodecaedro regular e o ponto de truncatura pôde ser determinada. Entendemos que as conversões realizadas entre o registro figural e o registro algébrico foram congruentes, pois há facilidade em reconhecer e representar algebricamente a situação exposta na figura. No entanto, o 170

170 tratamento efetuado no registro algébrico nos permitiu chegar a escrita algébrica 2a d, nada fácil de representar figuralmente. Por isso, consideramos não 5 5 congruente a conversão no sentido inverso, isto é, algébrico-figural. Realizada a construção no Cabri 3D do sólido arquimediano dodecaedro truncado, percebemos que saberes geométricos e algébricos viveram e interagiram entre si. Os saberes matemáticos envolvidos - dodecaedro regular, medida da aresta, semi-reta e secção plana - foram reconhecidos de forma direta, pela instituição Cabri 3D por meio das ferramentas dodecaedro regular, comprimento, semi-reta e plano. Assim como as construções dos arquimedianos já mencionados, todos os saberes envolvidos foram essenciais para a construção do arquimediano dodecaedro truncado, tendo cada saber assumido uma função no processo de construção. Enquanto o saber dodecaedro regular indicou o objeto geométrico a partir do qual a truncatura se iniciou, o saber semi-reta possibilitou indicar em cada aresta do dodecaedro regular os pontos de truncaturas e a secção plana auxiliou a eliminação dos cantos do dodecaedro regular. Durante a construção percebemos também relações inter-hierárquicas entre o poliedro platônico de partida dodecaedro regular e o poliedro de chegada dodecaedro truncado. Indicamos que o arquimediano dodecaedro truncado também apresenta dois tipos de faces, o tipo de face decagonal regular obtida a partir de truncaturas nas arestas do dodecaedro regular e o tipo de face triangular regular obtida a partir da eliminação dos cantos do dodecaedro regular. Assim, observamos que o número das arestas em cada face do arquimediano dodecaedro truncado obtidos a partir de truncaturas nas arestas do dodecaedro regular equivale ao dobro do número de arestas da face do poliedro de partida. Outra relação também observada diz respeito ao número total de vértices do dodecaedro truncado igual ao dobro do número de arestas do dodecaedro regular. Diante do exposto, acreditamos que a instituição Cabri 3D se confirmou também como um habitat para o estudo do sólido arquimediano dodecaedro 171

171 truncado, visto que reconheceu como objetos todos os saberes que determinam sua existência. A partir das análises realizadas, apontamos no que segue as características numéricas dos poliedros arquimedianos obtidos, bem como a relação com o poliedro platônico de partida. 4.3 AS CARACTERÍSTICAS NUMÉRICAS DOS POLIEDROS OBTIDOS Durante o processo de construção dos arquimedianos observamos que qualquer sólido arquimediano obtido a partir de truncaturas diretas em um sólido platônico apresenta faces de dois tipos: faces que provêm de faces e faces que provêm da eliminação dos cantos do poliedro de partida. Isto quer dizer que as características numéricas (número de faces, de vértices, bem como a ordem 14 ) dos arquimedianos obtidos, indicadas no Quadro 24, dependem do número de faces e vértices do poliedro platônico de partida. Quadro 24. Características numéricas dos arquimedianos estudados. Arquimediano Características numéricas Superfície planificada 12 vértices; Cuboctaedro 6 faces quadradas; 8 faces triangulares; 24 arestas. 30 vértices; Icosidodecaedro 12 faces pentagonais; 20 faces triangulares; 60 arestas. 14 Número de arestas que concorrem em um vértice. 172

172 12 vértices; Tetraedro truncado 6 faces hexagonais; 4 faces triangulares; 18 arestas. 24 vértices; Octaedro Truncado 6 faces quadradas; 8 faces hexagonais; 36 arestas. 60 vértices; Icosaedro truncado 12 faces pentagonais; 20 faces hexagonais; 90 arestas. 24 vértices; Cubo truncado 6 faces octogonais; 8 faces triangulares; 36 arestas. 60 vértices; Dodecaedro truncado 12 faces decagonais; 20 faces triangulares; 90 arestas. Podemos também relacionar as características numéricas dos arquimedianos obtidos ao tipo de truncamento, conforme é mostrado no Quadro 25. A primeira coluna indica os tipos de truncamentos efetuados, já a segunda coluna indica que o número de arestas das faces que provém de faces depende do tipo de truncamento. No truncamento tipo 1 essas faces têm o mesmo número de arestas das faces do poliedro platônico de partida. Já no truncamento tipo 2 o número de arestas das faces duplica. A terceira coluna mostra que em ambos os tipos de truncamento, o número total de arestas do arquimediano obtido depende do número de vértices 173

173 ou arestas do poliedro de partida e de sua ordem. Nos poliedros obtidos pelo truncamento do tipo 1 o total de arestas do poliedro obtido é o produto entre o número de vértices do poliedro inicial e sua ordem. No truncamento do tipo 2 o total de arestas do poliedro obtido é o produto entre o número de arestas do poliedro inicial e sua ordem. Já na quarta coluna, está indicado que o número de vértices do poliedro resultante é igual ou o dobro do número de arestas do poliedro inicial. Com o truncamento do tipo 1 cada aresta do poliedro original se converte em um vértice, enquanto que com o truncamento do tipo 2, por cada aresta aparecem dois vértices. A última coluna mostra que os vértices dos poliedros resultantes no truncamento do tipo 1 são de ordem 4. Com o truncamento do tipo 2 se obtém poliedros com vértices de ordem 3. Quadro 25. Características numéricas a partir do tipo de truncamento. Tipo de Número de Número total Número total Ordem dos Truncamento arestas em de arestas de vértices vértices cada face Produto entre o Truncamento 1 Mesmo número do poliedro de partida número de vértices do poliedro de partida e sua ordem Igual ao número total de arestas do poliedro de partida Ordem quatro Produto entre o Dobro do Truncamento 2 O dobro do poliedro de partida número de arestas do poliedro de partida e sua número total de arestas do poliedro de partida Ordem três ordem estudo. A seguir apresentamos nossas considerações finais em relação ao 174

174 CONSIDERAÇÕES FINAIS Nesse momento, retomamos aspectos abordados ao longo dos capítulos anteriores deste trabalho, sendo oportuno mencionar a convergência de pontos de vista a respeito do que foi investigado, analisado e percebido. Consideramos também oportuno apontar as reais possibilidades de concretização desse estudo nas aulas de Geometria, bem como as possíveis adaptações que podem ser feitas com o auxílio da tecnologia, na perspectiva de contribuir para a melhoria da aprendizagem da Geometria Espacial na Educação Básica. Nossos estudos preliminares nos permitiram identificar que os principais problemas enfrentados pelo ensino e aprendizagem de Geometria Espacial estão associados à visualização, interpretação e representações de objetos tridimensionais. Tais problemas contribuem para que alguns conteúdos geométricos espaciais não sejam mais abordados, como por exemplo, os Sólidos de Arquimedes. Por outro lado, com o surgimento do conhecimento por simulação advindo da informática, programas de auxílio ao ensino têm sido desenvolvidos na busca de minimizar tais dificuldades, ou ainda, na possibilidade de resgatar conteúdos não mais presentes na matemática ensinada. A utilização de ambientes de Geometria Dinâmica, especialmente o Cabri 3D que simula um ambiente em três dimensões, pode contribuir para que conteúdos geométricos espaciais sejam recordados e revisitados com um dinamismo inexistente em ambiente lápis e papel. Nesse sentido, concordamos com Lévy (2002, p. 129) ao afirmar que à aparição de novas tecnologias intelectuais ativam à expansão de formas de conhecimento que durante muito tempo estiveram relegadas a certos domínios, bem como o enfraquecimento relativo de certo estilo de saber, mudanças de equilíbrio, deslocamentos de centros de gravidade. A ascensão do conhecimento por simulação deve ser entendida de acordo com uma modalidade aberta, plurívoca e distribuída. É dentro desse contexto que se inseriu nossa pesquisa, se propondo oferecer uma contribuição a estudos sobre ensino de matemática e o uso de tecnologias em Educação Matemática. Para tanto, tomamos como eixo, 176

175 apresentar uma possibilidade para o ensino e aprendizagem dos Sólidos Arquimedianos e sua inclusão na Educação Básica por meio do ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D aliada a história como fonte geradora de conhecimento. Os procedimentos metodológicos utilizados contribuíram para que o estudo do objeto matemático Sólidos Arquimedianos fosse realizado. Vale ressaltar que a metodologia utilizada nos permitiu evidenciar um processo de construção para esses sólidos bem diferente da planificação de superfície, estudada na disciplina Desenho Geométrico. O estudo bibliográfico, realizado a partir de fontes históricas, foi fundamental para a realização do estudo matemático do objeto proposto, uma vez que foi a partir dele que descobrimos a relação existente entre os sólidos arquimedianos e platônicos, além do procedimento matemático truncamento. Consideramos que os referenciais adotados na pesquisa, Transposição Didática e a Problemática Ecológica de Chevallard (1991) e Registro de Representação Semiótica de Duval (1995), foram pertinentes para nosso estudo. Com as teorias de Chevallard (1991), pudemos nos aproximar dos saberes matemáticos que entram em associação com o objeto matemático Sólidos Arquimedianos e assim identificar dentre eles, os saberes que determinam a existência desse objeto matemático enquanto objeto de ensino, bem como analisar ecologicamente as interações entre eles. Assim, foi possível distinguir os diferentes saberes envolvidos no processo de ensino e analisar a transformação do objeto de saber Sólidos Arquimedianos em um objeto a ser ensinado. Em se tratando dos registros de representação semiótica, constatamos que as construções dos arquimedianos no Cabri 3D só foram possíveis mediante a articulação entre o registro figural dinâmico e um registro discursivo. Desse modo, concordamos com Duval (2002) quando afirma que toda atividade geométrica requer um diálogo contínuo entre a visualização (registro figural) e o discurso (registro discursivo). No trabalho, percebemos que o discurso pode ser realizado por meio do registro de língua natural e do registro algébrico. 177

176 Assim, podemos responder nossa questão de pesquisa - O objeto matemático Sólidos Arquimedianos pode ser resgatado como objeto de ensino para a Escola Básica, utilizando como habitat o ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D? considerando as reflexões apresentadas em nossas análises e nessa parte do trabalho. Diante do que foi apresentado, entendemos que esse ambiente se confirmou como um habitat para o ensino desses sólidos, na medida em que permitiu que as construções dos arquimedianos propostos fossem realizadas, reconhecendo como objetos todos os saberes que determinam a existência desse objeto matemático enquanto objeto de ensino. Para finalizar, acreditamos que a relevância de nossa pesquisa foi contribuir para uma reflexão acerca da utilização de meios informáticos em âmbito escolar para resgatar conteúdos matemáticos não mais ensinados. Nesse sentido, acreditamos na importância de outros estudos buscarem o auxílio de novas tecnologias intelectuais para que conteúdos matemáticos adormecidos ou mesmo esquecidos possam voltar a fazer parte do cotidiano escolar. Como pesquisa futura, tendo em vista o resultado positivo dessa investigação, acreditamos na possibilidade de elaborar e desenvolver uma seqüência de atividades, apoiada nos referenciais teóricos apresentados, no ambiente de Geometria Dinâmica Cabri 3D para que os Sólidos Arquimedianos sejam explorados e ensinados por meio de suas construções. Deste modo, o saber a ensinar Sólidos Arquimedianos passaria a ter também um status de saber ensinado, o que caracterizaria a segunda transposição didática proposta por Chevallard (1991). 178

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181 APÊNDICE A: TRANSFERINDO MEDIDAS NO CABRI 3D Para utilizar a ferramenta transferência de medidas do Cabri 3D, mostrada na Figura 128, é necessário indicar a medida que se deseja transferir e uma semi-reta. A Figura 129 mostra a transferência de uma medida para uma semi-reta de origem um vértice do cubo, e em seguida é omitida com o recurso esconder/mostrar. Figura 128. Ferramenta transferência de Medidas. Figura 129. Transferindo medidas. Podemos transferir qualquer medida. Para isso, como mostram as Figuras 130 e 131, podemos obtê-la com as ferramentas distância ou comprimento (ou digitando um valor na calculadora, conforme mostra a Figura

182 Figura 130. Ferramentas distância e comprimento. Figura 131. Calculadora. 185

183 APÊNDICE B: APLICANDO O TEOREMA DE TALES NO CABRI 3D Utilizando o teorema de tales podemos dividir um segmento qualquer em n partes iguais. Esse procedimento é mostrado no Cabri 3D para dividir um segmento em três partes iguais como segue. Com a ferramenta semi-reta, mostrada na Figura 132 traçamos uma semireta AD, conforme indica a Figura 133. Figura 132. Ferramenta semi-reta. Figura 133. Criação semi-reta. Na semi-reta AD, com a ferramenta ponto, mostrada na Figura 134, marcamos um ponto qualquer que chamaremos de P 1, conforme é indicado na Figura

184 Figura 134. Ferramenta ponto. Figura 135. Ponto 1 na semi-reta. Com a ferramenta esfera, indicada na Figura 136, construímos uma esfera com centro em P 1 e raio P 1 A para encontrar P 2, o ponto de intersecção entre a esfera e a semi-reta AD. Em seguida, outra esfera é construída com centro em P 2 e raio P 2 P 1 para encontrarmos P 3, conforme mostra a Figura 137. Figura 136. Ferramenta esfera. 187

185 Figura 137. Ponto 2 e ponto 3 na semi-reta. Com a ferramenta segmento, mostrada na Figura 138, traçamos o segmento P 3 B, conforme mostra a Figura 139. Figura 138. Ferramenta segmento. Figura 139. Criação segmento. 188

186 Com a ferramenta paralela, mostrada na Figura 140, traçam-se duas retas paralelas ao segmento P 3 B, passando por P 1 e P 2, para encontrar P 1 e P 2, os pontos de intersecção com a aresta AB, conforme mostra a Figura 141. Assim temos que A P 1 Ξ P 1 P 2 Ξ P 2 P 3. Figura 140. Ferramenta paralela. Figura 141. Criação paralelas. 189