Equações do estado Termodinâmica Aula [22/ ]

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1 Equações do estado Termodinâmica Aula [22/ ] Tuong-Van Nguyen Escola Politécnica Universidade de São Paulo 1 / 27

2 Plano Modelos termodinâmicos Equações do estado cúbicas 2 / 27

3 Plano Modelos termodinâmicos Equações do estado cúbicas 2 / 27

4 Plano Modelos termodinâmicos Equações do estado cúbicas 2 / 27

5 Objetivos Após esta aula, você poderá: (1) apresentar as diferentes categorias de modelos termodinâmicos; (2) descrever e comparar as principais equações cúbicas; 3 / 27

6 Objetivos Após esta aula, você poderá: (1) apresentar as diferentes categorias de modelos termodinâmicos; (2) descrever e comparar as principais equações cúbicas; 3 / 27

7 Introdução Ponto de ebulição da água h =0m patm = 101,3 kpa Teb ' 100 C h = 3000 m p patm Teb ' 88 C h = 8848 m p = 33,7 kpa Teb ' 70 C 4 / 27

8 Introdução Ponto de ebulição da água h =0m patm = 101,3 kpa Teb ' 100 C h = 3000 m p patm Teb ' 88 C h = 8848 m p = 33,7 kpa Teb ' 70 C 4 / 27

9 Introdução Ponto de ebulição da água h =0m patm = 101,3 kpa Teb ' 100 C h = 3000 m p patm Teb ' 88 C h = 8848 m p = 33,7 kpa Teb ' 70 C 4 / 27

10 Descricão O que é um modelo termodinâmico? relação matemática entre grandezas de estado (p, V, T ); descreve as propriedades de fluidos e sólidos (u, h, s, c p, c v ); usa-se para projetar e avaliar processos (Ẇ, Q, η) 5 / 27

11 Descricão O que é um modelo termodinâmico? relação matemática entre grandezas de estado (p, V, T ); descreve as propriedades de fluidos e sólidos (u, h, s, c p, c v ); usa-se para projetar e avaliar processos (Ẇ, Q, η) Relação geral A temperatura T, volume V e pressão p não são grandezas independentes - são conectadas por uma relação de forma geral: f (p, V, T ) = 0 (1) 5 / 27

12 Modelo dos gáses perfeitos Definição de um gás perfeito partículas com dimensões desprezíveis movendo-se aleatoriamente e não interagindo 6 / 27

13 Relação dos gáses perfeitos pv = nrt (2) onde: p, pressão [Pa]; V, volume ocupado pelo gás [m 3 ]; n, quantidade de gás [mol]; R, constante universal dos gáses perfeitos, 8,314 [J/(mol K)]; T, temperatura (absoluta) [K]; υ, volume molar [m 3 /mol], definido como V ; n pυ = RT (3) 7 / 27

14 Desvio de comportamento ideal Fator de compressibilidade Substâncias puras Z pυ RT (4) Nitrogênio (N 2) Metano (CH 4) Fator de compressibilidade Z [-] K 200 K 300 K Pressão p [bar] Fator de compressibilidade Z [-] K 200 K 300 K Pressão p [bar] 8 / 27

15 Forças intermoleculares Introdução gás ideal: Z = 1; V real = V ideal gás real: Z = Z(T, p) 1; V real V ideal 9 / 27

16 Forças intermoleculares gás ideal: Z = 1; V real = V ideal gás real: Z = Z(T, p) 1; V real V ideal O gás real se comporta como ideal (Z = 1) em p e T : há poucas moléculas em temperatura elavada; distância média entre as moléculas muito grande 9 / 27

17 Limitações Moléculas pontos materiais; Moléculas se atraem; Forças de atração; Propriedades dos hidrocarbonetos; Equilíbrio líquido-vapor; Moléculas não são esféricas; Precisão perto do ponto crítico; Precisamos outros modelos! 10 / 27

18 cadeia de moléculas Lee-Kesler base molecular Modelos termodinâmicos viriais Benedict- Webb-Rubin fluidos associativos Redlich e Kwong Modificacões de Starling cúbicos van der Waals Peng e Robinson 11 / 27

19 cadeia de moléculas Lee-Kesler base molecular Modelos termodinâmicos viriais Benedict- Webb-Rubin fluidos associativos Redlich e Kwong Modificacões de Starling cúbicos van der Waals Peng e Robinson 11 / 27

20 cadeia de moléculas Lee-Kesler base molecular Modelos termodinâmicos viriais Benedict- Webb-Rubin fluidos associativos Redlich e Kwong Modificacões de Starling cúbicos van der Waals Peng e Robinson 11 / 27

21 cadeia de moléculas Lee-Kesler base molecular Modelos termodinâmicos viriais Benedict- Webb-Rubin fluidos associativos Redlich e Kwong Modificacões de Starling cúbicos van der Waals Peng e Robinson 11 / 27

22 (1) apresentar as diferentes categorias de modelos termodinâmicos; (2) descrever e comparar as principais equações cúbicas; (3) calcular as propriedades físicas de misturas simples; (4) argumentar o uso desses modelos para aplicações reais. 12 / 27

23 Descricão O que é um equação de estado cúbica? relação matemática entre grandezas de estado (p, V, T ); volume V em primeira, segunda ou terceira ordem; usa-se para avaliar processos de gás natural 13 / 27

24 Descricão O que é um equação de estado cúbica? relação matemática entre grandezas de estado (p, V, T ); volume V em primeira, segunda ou terceira ordem; usa-se para avaliar processos de gás natural Relação geral A temperatura T, volume V e pressão p não são grandezas independentes - são conectadas por uma relação de forma geral: Z 3 + c 2(p c, T c)z 2 + c 1(p c, T c)z + c 0(p c, T c) = 0 (5) 13 / 27

25 Primeiro modelo cúbico (van der Waals) Moléculas pontos materiais; Moléculas se atraem; van der Waals a e b 14 / 27

26 Primeiro modelo cúbico (van der Waals) Moléculas pontos materiais; Moléculas se atraem; van der Waals a e b 14 / 27

27 Primeiro modelo cúbico (van der Waals) Moléculas pontos materiais; Moléculas se atraem; van der Waals a e b 14 / 27

28 Primeiro modelo cúbico (van der Waals) Moléculas pontos materiais; Moléculas se atraem; van der Waals a e b 14 / 27

29 Modelo dos gáses perfeitos p = RT υ (6) 15 / 27

30 Modificações (p+ a ) = RT υ 2 υ (6) Consideramos: a, constante para corrigir o parâmetro de atração; a = 27(R Tc )2 64p c 15 / 27

31 Modelo do van der Waals (p+ a υ 2 ) = RT (υ b) (6) Consideramos: e a, constante para corrigir o parâmetro de atração; a = 27(R Tc )2 64p c b, constante para corrigir o volume das moléculas; b = (R Tc ) 8p c 15 / 27

32 Exemplo: pressão de ruptura num tanque de cloro fabricação de cilindros de cloro comprimido; vendas: cilindro de 4,0 L contendo 500 g de cloro (Cl 2) a 25 C; pressão de ruptura de 40 atm; cloro (Cl 2), M=70,9 g/mol T c=144 C, p c=70 bar Calcule (i) o fator de compressibilidade Z, (ii) a pressão p num cilindro usando a lei dos gáses ideais e (iii) a equacão cubíca do van der Waals. 25 C 4 L (p + aυ ) (υ b) = RT (7) g Cl 2 a = 27(R Tc)2 64p c (8) b = (R Tc) 8p c (9) 16 / 27

33 Segundo modelo cúbico (Redlich e Kwong) Forças de atração; Propriedades dos hidrocarbonetos; Equilíbrio líquido-vapor; Redlich e Kwong at 0,5 17 / 27

34 Segundo modelo cúbico (Redlich e Kwong) Forças de atração; Propriedades dos hidrocarbonetos; Equilíbrio líquido-vapor; Redlich e Kwong at 0,5 17 / 27

35 Segundo modelo cúbico (Redlich e Kwong) Forças de atração; Propriedades dos hidrocarbonetos; Equilíbrio líquido-vapor; Redlich e Kwong at 0,5 17 / 27

36 Segundo modelo cúbico (Redlich e Kwong) Forças de atração; Propriedades dos hidrocarbonetos; Equilíbrio líquido-vapor; Redlich e Kwong at 0,5 17 / 27

37 Modelo do van der Waals (p+ a υ 2 ) = RT (υ b) (10) 18 / 27

38 Modificações ( p + ) a = RT υ (υ+b) (υ b) (10) onde: a, constante para corrigir o parâmetro de atração; a = 0, R2 2,5 T c p c ; b, constante para corrigir o volume das moléculas; b = 0, R Tc p c 18 / 27

39 Modelo do Redlich e Kwong ( p + ) a = RT T 0,5 υ (υ+b) (υ b) (10) onde: e a, constante para corrigir o parâmetro de atração; a = 0, R2 2,5 T c p c ; b, constante para corrigir o volume das moléculas; b = 0, R Tc p c T 0,5, (impacto da temperatura sob o parâmetro de atração); 18 / 27

40 Terceiro modelo cúbico (Redlich, Kwong e Soave) Equilíbrio líquido-vapor; Moléculas não são esféricas; Redlich, Kwong e Soave a(t 0,5, ω) 19 / 27

41 Terceiro modelo cúbico (Redlich, Kwong e Soave) Equilíbrio líquido-vapor; Moléculas não são esféricas; Redlich, Kwong e Soave a(t 0,5, ω) 19 / 27

42 Terceiro modelo cúbico (Redlich, Kwong e Soave) Equilíbrio líquido-vapor; Moléculas não são esféricas; Redlich, Kwong e Soave a(t 0,5, ω) 19 / 27

43 Terceiro modelo cúbico (Redlich, Kwong e Soave) Equilíbrio líquido-vapor; Moléculas não são esféricas; Redlich, Kwong e Soave a(t 0,5, ω) 19 / 27

44 Moléculas não são esféricas; e.g hidrocarbonetos pesados no petroléo Numéro molécular Forma molécular Esferidade da molécula Forças intramoléculares Fator acêntrico onde: p sat a pressão de vapor à T = 0, 7T c; ω = 0» molécula esférica (gáses nobres) ω = 1 log( psat p c ) (11) 20 / 27

45 Moléculas não são esféricas; e.g hidrocarbonetos pesados no petroléo Numéro molécular Forma molécular Esferidade da molécula Forças intramoléculares Fator acêntrico onde: p sat a pressão de vapor à T = 0, 7T c; ω = 0» molécula esférica (gáses nobres) ω = 1 log( psat p c ) (11) 20 / 27

46 Moléculas não são esféricas; e.g hidrocarbonetos pesados no petroléo Numéro molécular Forma molécular Esferidade da molécula Forças intramoléculares Fator acêntrico onde: p sat a pressão de vapor à T = 0, 7T c; ω = 0» molécula esférica (gáses nobres) ω = 1 log( psat p c ) (11) 20 / 27

47 Exemplo: validade do modelo do Redlich e Kwong Avaliar alguns processos de producão de fertilizantes (amônia, NH 3). Verificar se é razoável usar o modelo do Redlich e Kwong calculando o fator acêntrico. ω = 1 log( psat p c ) (12) onde p sat a pressão de vapor à T 284 K = 633 kpa ep c = 11,3 MPa 21 / 27

48 Exemplo: validade do modelo do Redlich e Kwong Avaliar alguns processos de producão de fertilizantes (amônia, NH 3). Verificar se é razoável usar o modelo do Redlich e Kwong calculando o fator acêntrico. ω = 1 log( psat p c ) (12) onde p sat a pressão de vapor à T 284 K = 633 kpa ep c = 11,3 MPa Molécula Fator acêntrico Acetileno 0,187 Amônia 0,253 Argon 0 Dióxido de carbono 0,228 Decano 0,484 Hélio -0,39 Hidrogênio -0,22 Krypton 0 Neon 0 Nitrogênio 0,04 21 / 27

49 Modelo do Redlich e Kwong ( p + ) a = RT T 0,5 υ (υ+b) (υ b) (13) 22 / 27

50 Modificações ( ) a p + T 0,5 υ (υ+b) = RT (υ b) (13) Reconsideramos: T 0,5, constante para corrigir o parâmetro de atração; 22 / 27

51 Modelo do Redlich, Kwong e Soave ( ) a α p + υ (υ + b) = R T (υ b) (13) Reconsideramos: T 0,5, constante para corrigir o parâmetro de atração; e consideramos α, função para corrigir o termo de atração (α(t 0,5, ω)); α = ( 1 + ( 0, , 574 ω 0, 176 ω 2) ( )) 1 Tr 0,5 2 a = 0, 4278 R2 T c 2 p c b = 0, 0867 R Tc p c 22 / 27

52 Quarto modelo cúbico (Peng e Robinson) Precisão perto do ponto crítico; Processos de gás natural Peng e Robinson a(t ) 23 / 27

53 Quarto modelo cúbico (Peng e Robinson) Precisão perto do ponto crítico; Processos de gás natural Peng e Robinson a(t ) 23 / 27

54 Quarto modelo cúbico (Peng e Robinson) Precisão perto do ponto crítico; Processos de gás natural Peng e Robinson a(t ) 23 / 27

55 Quarto modelo cúbico (Peng e Robinson) Precisão perto do ponto crítico; Processos de gás natural Peng e Robinson a(t ) 23 / 27

56 Modelo do Redlich, Kwong e Soave ( ) a α p + υ (υ + b) = R T (υ b) (14) 24 / 27

57 Modificações ( p + ) a α = RT (υ 2 + 2bυ b 2 ) (υ b) (14) Reformulamos o termo de atração: ( υ 2 + 2bυ b 2), para corrigir a influência do volume das moléculas; 24 / 27

58 Modelo do Peng e Robinson ( ) a α p + (υ 2 + 2bυ b 2 ) = RT (υ b) (14) Reformulamos o termo de atração: ( υ 2 + 2bυ b 2), para corrigir a influência do volume das moléculas; e ajustamos: α, função para corrigir o termo de atração (α(t, ω)); α = ( 1 + ( 0, , ω 0, ω 2) ( 1 T 0,5 r a = 0,45724 R2 T c 2 p c b = 0,07780 R Tc p c )) 2 24 / 27

59 Exemplo: processo petroquímico de produção de benzeno Benzeno pode se produzir numa refinaria típica com um vazão de 105 kmol/h, e é necessario calcular o vazão volumétrico, usando todos os modelos cubícos, aos seguinte estados: ao ponto crítico; T = 278 K e p = 101,3 kpa; T = 444 K e p = 405,3 kpa Compare os resultados entre modelos de gás perfeito; van der Waals; Redlich e Kwong; Redlich, Kwong e Soave; e Peng e Robinson. 3f4366aeb9c157cf9a30c90693eafc55 25 / 27

60 Três raízes da equação cúbica: se tem três raízes reais: a menor = volume da fase líquida (se relevante) a maior = volume da fase vapor (se relevante) 26 / 27

61 Lista dos modelos cúbicos Moléculas pontos materiais; Moléculas se atraem; Forças de atração; Propriedades dos hidrocarbonetos; Equilíbrio líquido-vapor; Moléculas não são esféricas; Precisão perto do ponto crítico; Processos de gás natural van der Waals Redlich e Kwong Modificacões de Soave Peng e Robinson a e b at 0.5 Factor acêntrico ω e a(t 0.5, ω) a(t ) 27 / 27

62 Lista dos modelos cúbicos Moléculas pontos materiais; Moléculas se atraem; Forças de atração; Propriedades dos hidrocarbonetos; Equilíbrio líquido-vapor; Moléculas não são esféricas; Precisão perto do ponto crítico; Processos de gás natural van der Waals Redlich e Kwong Modificacões de Soave Peng e Robinson a e b at 0.5 Factor acêntrico ω e a(t 0.5, ω) a(t ) 27 / 27

63 Lista dos modelos cúbicos Moléculas pontos materiais; Moléculas se atraem; Forças de atração; Propriedades dos hidrocarbonetos; Equilíbrio líquido-vapor; Moléculas não são esféricas; Precisão perto do ponto crítico; Processos de gás natural van der Waals Redlich e Kwong Modificacões de Soave Peng e Robinson a e b at 0.5 Factor acêntrico ω e a(t 0.5, ω) a(t ) 27 / 27

64 Lista dos modelos cúbicos Moléculas pontos materiais; Moléculas se atraem; Forças de atração; Propriedades dos hidrocarbonetos; Equilíbrio líquido-vapor; Moléculas não são esféricas; Precisão perto do ponto crítico; Processos de gás natural van der Waals Redlich e Kwong Modificacões de Soave Peng e Robinson a e b at 0.5 Factor acêntrico ω e a(t 0.5, ω) a(t ) 27 / 27

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