III Bienal da SBM. Uma Grosa de Problemas de Matemática

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1 III Bienal da SBM Goiânia - 06 a 10 de novembro de 2006 Uma Grosa de Problemas de Matemática Ricardo Misturini 1 Rogério Ricardo Steffenon 2 UNISINOS - Universidade do Vale do Rio dos Sinos Avenida Unisinos, 950, São Leopoldo-RS CEP Brasil 01 Aluno do Curso de Licenciatura em Matemática da UNISINOS 2 Doutor em Matemática - UFRGS. Professor da UNISINOS.

2 Apresentação Neste mini-curso apresentamos uma grosa(doze dúzias) de belos problemas de matemática, cuja resolução utiliza argumentos elementares e relativamente simples. Acreditamos que a resolução de problemas de entretenimento, problemas lógicos e desafios matemáticos são excelentes alternativas de ensino e estímulo para os alunos estudarem Matemática. Neles aparecem vários assuntos interessantes da matemática como, por exemplo: médias(aritmética, geométrica e harmônica), aritmética (indução matemática, sistemas de numeração, mdc, mmc, equações diofantinas), probabilidade, seqüência de Fibonacci, grafos e lógica. Os problemas não estão separados por assunto, pois achamos que o aluno deve procurar resolver o problema sem se preocupar se o mesmo envolve probabilidade ou progressão geométrica, por exemplo. Claro que, em alguns casos, o enunciado deixa claro qual é o tema que aparece no problema. Além disso, os problemas não estão colocados em ordem crescente de grau de dificuldade, podendo ser encontrados problemas mais difíceis entre aqueles do início, assim como mais fáceis no final. Esses problemas foram obtidos de diversas fontes: livros, internet, revistas de olimpíadas, etc. Muitos foram adaptados, outros foram propostos por alunos e professores. Para quem tem interesse em problemas de matemática, sugerimos o site da Olimpíada Brasileira de Matemática(www.obm.org.br), onde encontramos links para as diversas olimpíadas de matemática realizadas pelo Brasil e pelo mundo. Além disso, sugerimos fortemente a consulta à revista Eureka, disponível nesse site. Finalmente gostaríamos de indicar alguns ótimos livros, que podem ser consultados: 1. A Matemática do Ensino Médio, Volume 2, de Elon Lages Lima et al. 2. Divertimentos Matemáticos, de Martin Gardner. 3. É divertido resolver problemas, de Josimar Silva e Luís Lopes. 4. Moscow Puzzles, de Boris A. Kordemsky. 5. O Enigma de Sherazade, de Raymond Smullyan. 6. O homem que calculava, de Julio Cesar de Mello e Souza. 7. Olimpíadas de Matemática do Estado do Rio de Janeiro, de Antonio Luiz Santos et al. 8. Problemas Selecionados de Matemática, de Antonio Luiz Santos.

3 Problema 1. Em um programa de televisão, um candidato deve responder 15 perguntas. A primeira pergunta vale 1 ponto, a segunda vale 2 pontos, a terceira vale 4 pontos, e, assim, sucessivamente, dobrando sempre. O candidato responde a todas as perguntas e ganha os pontos correspondentes às respostas que acertou, mesmo que erre algumas. (a) Qual o número de pontos que o candidato fará se acertar todas as perguntas? (b) Quantas e quais as perguntas o candidato acertou se o número de pontos obtidos for igual a 20736? Problema 2. Diofanto foi uma criança feliz durante 1/6 de sua vida. Após mais 1/12 começou a cultivar uma barba. Passados mais 1/7(de sua vida) casou-se e somente no quinto ano após o seu casamento nasceu-lhe um filho, que morreu quatro anos antes que o pai e que viveu apenas a metade do que viveu o pai. Quantos anos viveu Diofanto? Problema 3. Ricardo gosta de meditar numa pequena capela no alto de uma montanha. Num certo dia ele subiu o monte a uma velocidade de 2km/h e desceu a montanha a uma velocidade de 6 km/h. Qual foi a velocidade média imprimida durante o percurso(ida e volta)? Problema 4. Num torneio de tênis individual há 1024 participantes. Sabendo que a disputa é do tipo mata-mata*, quantos jogos são realizados para se definir o vencedor? *Os jogadores são divididos em grupos de 2, ao acaso, e jogadores de um mesmo grupo jogam entre si. Os perdedores são eliminados e os vencedores são divididos novamente em grupos de 2 e assim por diante até restar um jogador, que é proclamado campeão. 1

4 Problema 5. Este problema é inspirado num programa de TV americano conhecido como Let s make a deal (Vamos fazer um negócio). Nesse show, dá-se ao concorrente finalista a chance de escolher uma entre três portas. Atrás de exatamente uma das portas, está um prêmio interessante (um carro, por exemplo); as outras duas portas ocultam prêmios de valor bem inferior (um bode atrás de cada porta, por exemplo). Pede-se ao concorrente que escolha uma porta. A esta altura, o apresentador do show, Monty Hall, que sabe o que tem atrás de cada porta, mostra ao concorrente um dos prêmios de menor valor atrás de uma das portas não escolhidas. Além disso, oferece ao concorrente a oportunidade de optar pela outra porta fechada. A questão é a seguinte: é vantajoso optar pela outra porta ou tanto faz? Problema 6. Comprei na feira um queijo que pesou 5 quilos numa balança de dois pratos. Desconfiei da pesagem e o vendedor propôs, como compensação, vender-me um queijo igual, desta vez pesado no outro prato da balança. O peso foi de 3,2 quilos. Ganhei ou perdi na transação? Qual é o verdadeiro peso do queijo? Problema 7. Dois ladrões roubaram um barril totalmente cheio com 8 litros de vinho. Para dividir o produto do roubo, só tinham 2 garrafas com 3 e 5 litros de capacidade, respectivamente. Como foi possível fazer a divisão em partes iguais de 4 litros, sabendo que nenhum dos 3 recipientes tem qualquer graduação? Problema 8. Precisamos cozinhar um ovo por 15 minutos. Dispomos de duas ampulhetas, uma que marca 7 minutos e outra 11 minutos. Existem duas maneiras diferentes de resolver o problema. Uma leva mais tempo, mas tem menos movimentos que a outra. Você sabe dizer quais são elas? 2

5 Problema 9. Suponha que você possua 81 moedas de um real, uma das quais é falsa e pesa mais do que uma verdadeira. Você tem uma balança de dois pratos mas não tem pesos. A única forma de pesagem consiste em pôr algumas moedas em cada prato e verificar se a balança está equilibrada. Mostre que 4 pesagens são suficientes para achar a moeda adulterada. Caso tenha dificuldade, tente resolver o problema com 3 moedas, fazendo apenas uma pesagem. Problema 10. Suponha que você possua 12 moedas de um real, uma das quais é falsa e tem peso diferente de uma verdadeira(não sabemos se a falsa pesa mais ou menos que uma verdadeira). Você tem uma balança de dois pratos mas não tem pesos. A única forma de pesagem consiste em pôr algumas moedas em cada prato e verificar se a balança está equilibrada. (a) Mostre que 3 pesagens são suficientes para achar a moeda adulterada. (b) Consegues resolver o mesmo problema com 13 moedas? E com 14 moedas? Problema 11. (a) São dadas quatro moedas de duas massas distintas, 2 de cada tipo. Como obter duas moedas de massas distintas fazendo apenas uma pesagem em uma balança com dois pratos, sem pesos auxiliares? (b) São dadas oito moedas de duas massas distintas, 4 de cada tipo. Como obter duas moedas de massas distintas fazendo não mais de duas pesagens em uma balança com dois pratos, sem pesos auxiliares? (c) São dadas 128 moedas de duas massas distintas, 64 de cada tipo. Como obter duas moedas de massas distintas fazendo não mais de 7 pesagens um uma balança com dois pratos, sem pesos auxiliares? 3

6 Problema 12. Imagine que um prédio de quatro andares deva ser pintado usando-se uma cor para cada andar. Sabendo que as cores utilizadas podem ser verde e amarelo e que andares consecutivos não poderão ser pintados de amarelo, de quantas maneiras é possível fazer a pintura deste prédio? E se o prédio tiver 12 andares? Problema 13. Existem dois tipos de anos bissextos: aqueles que são múltiplos de 4 mas não são de 100 e aqueles que são múltiplos de 400. Por exemplo, serão anos bissextos 2008, 2056 e 2400; não serão anos bissextos 2039 e (a) O matemático Harold Scott MacDonald Coxeter nasceu no ano de 1907 e faleceu em Durante a vida desse grande geômetra, quantos anos foram bissextos? (b) Sabendo que 1 o de janeiro de 2007 será numa segunda-feira, qual o primeiro ano após 2007 em que 1 o de janeiro será novamente numa segunda-feira? (c) Escolhido um ano ao acaso, qual a probabilidade dele ser bissexto? Problema 14. Em 1991, Eduardo começou a colecionar calendários. calendário de 1999 seria igual ao de Anos mais tarde ele verificou que o (a) Quantos calendários diferentes existem? (b) Em que ano Eduardo terá todos os diferentes tipos de calendários? Problema 15. Numa escola há 6 salas de aula. Uma funcionária possui as seis chaves que abrem essas salas, mas ela não sabe a que porta corresponde cada uma das chaves. No máximo quantas tentativas serão necessárias para que ela saiba com certeza qual é a chave que abre cada uma das portas? 4

7 Problema 16. Nicolas, Guilherme, Vanessa, Natália e Sandra estão formando uma roda e se divertindo com o seguinte jogo. Um deles escolhe um número(maior que 50 e menor que 100) e o diz em voz alta, a pessoa que estiver à sua esquerda o divide pelo seu maior divisor primo e diz o resultado em voz alta e assim sucessivamente. Ganha a pessoa que disser em voz alta o número 1, e o jogo termina. Nicolas deve começar o jogo. Se ele quiser vencer, qual número poderá escolher? Problema 17. Um prisioneiro ficará em liberdade se alcançar o topo de uma escada de 99 degraus. Porém não pode fazê-lo ao seu modo, uma vez que ele é obrigado a subir somente 1 degrau a cada dia dos meses ímpares e descer 1 degrau a cada dia dos meses pares. (a) Começando no dia 1 o de janeiro de 2007, em que dia alcançará a liberdade? (b) E se a escada tivesse 100 degraus, em que dia alcançaria a liberdade? Problema 18. Dois homens caminhavam no deserto. Um deles possuia 5 litros de água e 5 cinco pães e o outro trazia 3 litros de água e 3 pães. No momento em que se preparavam para descansar, avistaram um homem que estava bastante exausto e com sede. Resolveram repartir a água e os pães igualmente entre os três. Dois dias depois chegaram a um oásis. Ao se despedir, em sinal de agradecimento, o homem deu 8 moedas de ouro para os dois que tinham salvo a sua vida. Se a divisão foi feita de forma justa, com quantas moedas cada um deles ficou? Problema 19. Frederico tinha uma coleção de bolinhas de gude. Na última contagem ele verificou que a quantidade de bolinhas era um número de quatro algarismos e múltiplo de 99. Ele sempre anotava a quantidade de bolinhas num papel. Só que seu irmão Joãozinho apagou dois algarismos, trocando por duas letras. Com isso ficou escrito 3Y X2. Você é capaz de descobrir quantas são as bolinhas de Frederico? 5

8 Problema 20. Pedro e João se encontraram após vários anos. João contou que era casado e que tinha três filhos cujo produto das idades era igual a 72 e que a soma das idades era igual ao número do apartamento em que morava com a família. Mas Pedro ainda não tinha como saber qual era a idade dos filhos de João. Então João disse que o mais novo adora beber suco de laranja. Agora Pedro já sabia quantos anos tinha cada um dos filhos de João. Você saberia a resposta? Problema 21. Carla possui algumas moedas, mas, por mais que ela tente, não consegue combiná-las para formar exatamente dois reais. Como no Brasil as moedas são de R$ 0,01, R$ 0,05, R$ 0,10, R$ 0,25, R$ 0,50 e R$ 1,00, qual é a maior quantia que ela pode possuir? Problema 22. Um fazendeiro que dispõe de R$ ,00 pretende gastar essa importância na compra de cavalos e bois. Sabendo cada cavalo custa R$ 350,00 e cada boi R$ 450,00, obtenha uma equação diofantina que modele este problema. (a) Quantas e quais são as soluções desse problema? (b) Qual o número de bois e cavalos que ele deve comprar se quiser comprar a maior quantidade de animais? Problema 23. Patrícia levou consigo R$ 1.200,00 para comprar um presente para o seu filho que havia ingressado na universidade. Ao regressar para casa, o seu marido perguntou quanto havia custado o presente. Ela respondeu da seguinte forma: - Não te direi quanto custou, só posso te dizer que o preço do presente, quando lido ao contrário, é igual a 9 vezes o valor do presente. Quanto custou o presente? 6

9 Problema 24. Você está assistindo um jogo de futebol e lá pelas tantas surge a seguinte questão: - Qual é a probabilidade de que pelo menos dois dos 22 jogadores em campo façam aniversário no mesmo dia(dia e mês)? (*) * É muito provável que você nunca tenha pensado nisso durante uma partida de futebol... Problema 25. Perguntado sobre quantos alunos ele tinha naquele ano, um professor escreveu no quadro: alunos, dos quais 153 são guris e 276 são gurias. Inicialmente a resposta nos pareceu estranha, mas logo compreendemos que o professor não empregou o sistema decimal. Qual sistema ele usou? Problema 26. Adriano costuma cortar o cabelo de 25 em 25 dias e Beto de 30 em 30 dias. Numa certa quarta-feira ambos cortaram o cabelo. Daí a quantos dias vai haver nova coincidência? Em que dia da semana será isso? Problema 27. Um homem entra numa loja e decide comprar o DVD Os grandes golpes do século XX. O DVD custa R$ 30,00 e ele paga com uma nota de R$ 50,00. Sem troco, a atendente vai até a farmácia ao lado e troca a nota de R$ 50,00 por duas notas de R$ 20,00 e uma nota de R$ 10,00. O homem leva o DVD e uma nota de R$ 20,00. No dia seguinte, entra o dono da farmácia dizendo que a nota de R$ 50,00 era falsa. A dona da loja então troca a nota falsa por outra verdadeira. Sem o dinheiro do troco, sem o DVD e sem a nota que deu ao dono da farmácia, qual foi afinal, o prejuízo da dona da loja? 7

10 Problema 28. Três canibais e três missionários estão viajando juntos e chegam à margem de um rio. Eles desejam atravessar para a outra margem para, desta forma, continuar a viagem. O único meio de transporte disponível é um barco que comporta no máximo duas pessoas. Há uma outra dificuldade: em nenhum momento o número de canibais pode ser superior ao número de missionários pois desta forma os missionários estariam em grande perigo de vida. Como deve ser feita a travessia, sem que haja risco de vida para os missionários? Problema 29. Anteontem Roberta tinha 25 anos. No ano que vem, ela vai fazer 28 anos. Explique como isso é possível. Problema 30. Na Krugerrândia, uma passagem aérea para Kruskalândia custa menos de Kr$200 e lá existem moedas de Kr$1, Kr$3, Kr$9, Kr$27 e Kr$81. A compra de uma passagem aérea pode ser feita apenas em máquinas de venda do aeroporto, e essas máquinas aceitam apenas moedas e não devolvem troco. Bruno vai para a Kruskalândia de avião para visitar seu amigo Bernardo. (a) Qual é a menor quantidade de moedas que precisa carregar consigo para assegurar-se de que terá o valor exato da passagem? (b) Caso ele chegue ao aeroporto e descubra que o valor da passagem aumentou, quais os valores acima de Kr$ 199 que ele conseguirá pagar com as moedas do item (a)? Problema 31. Armindo comprou várias galinhas campeãs em pôr ovos. Ao testar a eficiência das galinhas, ele observou que, a partir das 7 horas,de minuto em minuto o número de ovos na cesta duplicava. Às 9 horas a cesta estava cheia. A que horas a cesta estava pela metade? 8

11 Problema 32. Francisco coleciona figurinhas de bandeiras de países e de jogadores de futebol. Ele guarda essas figurinhas em envelopes, colocando apenas figurinhas do mesmo tipo em cada envelope. Os envelopes dele continham 9, 15, 16, 17, 26 e 34 figurinhas. No sábado passado Francisco deu um envelope de presente para seu irmão Henrique. Com isso, Henrique constatou que o número de figurinhas de jogadores de futebol agora é igual ao dobro do número de figurinhas de bandeiras de países. (a) Quantas figurinhas havia no envelope que ele deu para o irmão? (b) Qual o tipo de figurinha há em cada um dos envelopes que ele ficou? Problema 33. Danilo encontros três amigos e disse que havia trocado de carro. Então ele propôs uma brincadeira: - Bem amigos, vamos fazer um exercício de lógica. Eu digo que a cor do meu carro novo é vermelha ou azul ou preta. Cada um de vocês tenta adivinhar e, quando as informações forem suficientes, eu comentarei os palpites e veremos se conseguem descobrir qual é a cor do carro. - O meu palpite é que ele não é azul, falou o primeiro. - Eu digo que ele é vermelho ou preto, disse o segundo. - Creio que ele seja vermelho, opinou o terceiro. Nesse momento Danilo interveio e disse: - Vocês podem parar de dar palpites. Afirmo que pelo menos um de vocês acertou e pelo menos um errou. Qual é a cor do carro dele? 9

12 Problema 34. Rafael, Rodrigo e Josué se encontram depois de muito tempo. Josué diz que tem quatro filhos. Rafael e Rodrigo resolvem fazer uma aposta: Rafael aposta que ele tem três filhos de um mesmo sexo e um filho do outro; Rodrigo afirma que ele tem duas meninas e dois meninos. Qual é a probabilidade de acerto de cada um deles nessa aposta? Problema 35. Uma jarra tem 600ml de uma mistura de água e suco de limão, na qual 20% é de suco de limão. Quanto de água devemos acrescentar para que a mistura passe a ter 5% de suco de limão? Problema 36. Numa biblioteca há dez estantes com muitos livros em cada uma delas. Além disso, dispomos de uma balança eletrônica(como as que existem em farmácias). Resolva cada uma das situações abaixo: (a) Sabemos que, em nove delas, cada livro pesa 1 kg e que, em uma delas, cada livro pesa 1,01 kg. Como descobrir, com uma pesagem apenas, qual a estante dos livros de 1,01 kg e, em conseqüência, quais são as estantes com os livros de 1kg? (b) Sabemos que, em algumas estantes, cada livro pesa 1 kg e nas outras, cada livro pesa 1,01 kg, podendo inclusive haver apenas livros de um dos tipos. Como descobrir, com uma pesagem apenas, quais as estantes dos livros de 1kg? (c) Sabemos que, em algumas estantes, cada livro pesa 1 kg, em outras cada livro pesa 1,01 kg e nas outras cada livro pesa 1,02 kg, podendo inclusive haver apenas livros de um dos tipos. Como descobrir, com uma pesagem, quais as estantes dos livros de 1kg, de 1,01 kg? Problema 37. Caio gastou todo o dinheiro que tinha no bolso em quatro lojas. Em cada uma gastou um real a mais do que a metade do que tinha ao entrar na loja. Quanto dinheiro Caio tinha ao entrar na primeira loja? 10

13 Problema 38. Numa sala estão 200 pessoas, das quais 99% são homens. Quantos homens devem deixar a sala para que a percentagem de homens na sala passe a ser de 98%? Problema 39. Um cachorro persegue uma lebre. Enquanto o cachorro dá 5 pulos, a lebre dá 8 pulos. Porém, 2 pulos de cachorro equivalem a 5 pulos de lebre. Sendo a distância entre os dois igual a 36 pulos de cachorro, qual deve ser o número de pulos que o cachorro deve dar para alcançar a lebre? Problema 40. Um rei estava bastante velho e já não enxergava mais muito bem. Certo dia comprou cinco escravos. Dois deles, que diziam sempre a verdade, tinham olhos castanhos, e os outros três, de olhos azuis, sempre mentiam. Os cinco forma organizados em fila. O rei deveria, assim, adivinhar em que ordem eles estavam dispostos, fazendo apenas duas perguntas, uma para cada escravo diferente. Ele se dirigiu ao segundo escravo da fila e perguntou: - Se eu perguntasse para o primeiro da fila qual é a cor dos olhos dele, o que ele responderia? O segundo escravo falou: - Ele diria: os meus olhos são azuis. O terceiro escravo, localizado no centro da fila, foi questionado da seguinte forma: - De que cor são os olhos desse jovem que acabo de interrogar? O terceiro escravo respondeu: - Ele tem olhos azuis. Agora o rei já sabe qual é a cor dos olhos de cada um dos escravos. Qual é a resposta? 11

14 Problema 41. (a) Marcelo tem dois filhos. Sabendo que não são duas meninas, qual a probabilidade de serem dois meninos? (b) José Pedro tem dois filhos. O mais velho é um menino. Qual é a probabilidade de serem ambos meninos? Problema 42. Um pai tem 40 anos e a soma das idades dos seus três filhos é 22 anos. Dentro de quantos anos a idade do pai será a soma das idades dos filhos? Problema 43. Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas quando eu tinha a tua idade. Quando tu tiveres a minha idade, a soma das nossas idades será de 45 anos. Quais são as nossas idades? Problema 44. Josaine é uma menina muito esperta. Um dia alguém lhe perguntou qual era a sua idade. Ela respondeu: - Daqui a quatro anos terei o triplo da idade que tinha quatro anos atrás. Qual é a idade de Josaine? Problema 45. Virgínia viajou de carro para a serra no final de semana. Ela percorreu um certo trecho da estrada a uma velocidade constante. Num certo momento ela passa por uma placa que indica a quilometragem na via. Uma hora depois, passa por outra placa, contendo os mesmos dois algaalgarismos, mas em ordem inversa. Quinze minutos depois, passa por uma terceira placa, contendo os mesmos algarismos, na ordem que os viu na primeira placa, mas separados por um zero. Com que velocidade Virgínia viajou nesse trecho? 12

15 Problema 46. As idades de duas pessoas há 8 anos estavam na razão de 8 para 11; agora estão na razão de 4 para 5. Qual é a idade de cada uma delas atualmente? Problema 47. Numa cesta há cinco maçãs. Como podemos dividir essas frutas entre cinco meninas, deixando uma maçã na cesta? Problema 48. Na família de Jairo há uma grande coincidência, pois ele, a esposa, os três filhos e os pais dele fazem aniversário em datas muito próximas. Essas datas são 3 de agosto, 5 de agosto, 12 de agosto, 16 de agosto, 20 de agosto, 31 de agosto e 6 de setembro. Jairo pretende fazer uma festa para comemorar todos esses aniversários no dia em que a soma das diferenças entre a data escolhida e a data de cada aniversário, em valor absoluto, seja mínima. Em que dia deve ser feita a comemoração desses aniversários? Problema 49. Um carro percorreu uma rodovia a três velocidades diferentes, cada uma delas no mesmo tempo. Sabendo que as velocidades foram de 40 km/h, 70 km/h e 100 km/h, qual foi a velocidade média do carro nesse percurso? Problema 50. Na cidade de Itapipoca alguns animais são realmente esquisitos. Dez por cento dos cães pensam que são gatos e dez por cento dos gatos pensam que são cães. Todos os outros animais são perfeitamente normais. Certo dia todos os cães e gatos de Itapipoca foram testados por um psicólogo, verificando-se então que 20% deles pensavam que eram gatos. Que porcentagem dos animais eram realmente cães? 13

16 Problema 51. Um carro andou numa rodovia a três velocidades diferentes, sendo que em cada uma das etapas ele percorreu a mesma distância. Sabendo que as velocidades foram de 40 km/h, 70 km/h e 100 km/h, qual foi a velocidade média do carro nesse percurso? Problema 52. Um carro sai de A para B e outro sai de B para A, simultaneamente, em linha reta, com velocidades constantes e se cruzam em um ponto situado a 720m do ponto de partida mais próximo. Completada a viagem, cada um deles pára 10 minutos e regressa, com a mesma velocidade da ida. Na volta cruzam-se em um ponto situado a 400m do outro ponto de partida. Qual a distância de A até B? Problema 53. Em uma cela, há uma passagem secreta que conduz a um porão de onde partem três túneis. O primeiro túnel dá acesso à liberdade em 1 hora; o segundo, em 3 horas; o terceiro leva ao ponto de partida em 6 horas. Em média, quanto tempo os prisioneiros que descobrem os túneis levam para escapar da prisão? Problema 54. Suponha que, no problema anterior, os prisioneiros que entram pelo terceiro túnel, quando voltam ao ponto de partida, não se lembram de qual foi o túnel em que entraram e, portanto, escolhem para a próxima tentativa um entre os três túneis. Problema 55. (a) Um dado perfeito tem as faces marcadas com 1,1,2,2,3,3. O dado vai ser lançado duas vezes. Qual a probabilidade de que a soma dos resultados seja par? (b) E se o dado for lançado n vezes e n começar a crescer, o que acontece com esta probabilidade? Sugestão: começar a calcular a probabilidade nos casos n = 3, 4, 5 e fazer uma conjectura. 14

17 Problema 56. Berenice e Márcia caminhavam sobre uma estrada de ferro e entraram num túnel bastante estreito, no qual havia apenas espaço para o trem. Quando completavam 2/5 do percurso do túnel, ouviram o trem se aproximar por trás delas. Berenice começou a correr de encontro ao trem e conseguiu sair do túnel praticamente no instante em que o trem entrava nele. Márcia correu no sentido oposto a Berenice, conseguindo sair do túnel praticamente no instante em que o trem saía dele. Sabendo que ambas correram a uma velocidade de 13 km/h, qual era a velocidade do trem? Problema 57. Se 6 meninos comem 6 sanduíches em 6 minutos, em quantos minutos 100 meninos comerão 100 sanduíches? Problema 58. Maria Helena acaba de comprar um carro novo. O gerente da revenda orientou que ela fizesse um revezamento nos pneus para que tenha aproveitamento máximo dos memos. Ele disse para ela que um pneu novo dura km, quando usado numa roda dianteira, e dura km, quando usado na traseira. (a) Com 4 pneus novos e fazendo um rodízio adequado entre eles, quantos quilômetros um carro pode rodar? Explique como fazê-lo. (b) Quantos quilômetros ela poderia rodar se colocasse o estepe(pneu reserva)novo no rodízio? Como fazer nesse caso? Problema 59. Dois jogadores apostaram R$ 10,00 cada em um jogo de cara-e-coroa, combinando que o primeiro a conseguir 6 vitórias ficaria com o dinheiro da aposta. O jogo, no entanto, precisava ser interrompido quando um dos jogadores tem 5 vitórias e o outro tem 3. Qual é a divisão justa da quantia apostada? 15

18 Problema 60. Numa rua há cinco casas de 5 diferentes cores: amarela, azul, branca, verde, vermelha. Em cada casa mora um homem de uma diferente nacionalidade: argentino, chileno, paraguaio, brasileiro, uruguaio. Esses 5 homens bebem diferentes bebidas: água, café, cerveja, chá, vinho. Eles têm cinco profissões diferentes: professor, médico, dentista, engenheiro, advogado. Além disso, possuem diferentes animais de estimação: um cão, um cavalo, um gato, um pássaro, um peixe. Nenhum deles tem o mesmo animal, nem a mesma profissão e nem bebem a mesma bebida. Também temos as seguintes informações: 1. O paraguaio mora na casa vermelha. 2. O uruguaio tem um cão como animal de estimação. 3. O chileno bebe chá. 4. A casa verde fica ao lado esquerdo da casa branca. 5. O homem que mora na casa verde bebe café. 6. O engenheiro tem um pássaro. 7. O dentista mora na casa amarela. 8. O homem que mora na casa do centro bebe vinho. 9. O brasileiro mora na primeira casa. 10. O professor mora ao lado do que tem um gato. 11. O homem que tem o cavalo mora ao lado do dentista. 12. O médico bebe cerveja. 13. O argentino é advogado. 14. O brasileiro mora ao lado da casa azul. 15. O professor é vizinho do que bebe água. Com essas informações, você é capaz de dizer quem é quem? 16

19 Problema 61. Uma máquina do tempo é controlada por um conjunto de chaves do tipo liga-desliga numeradas de 1 a 10(da esquerda para a direita) e dispostas lado a lado. A n-ésima chave posicionada em liga viaja 2 n 1 anos para o futuro se n é ímpar e 2 n 1 anos para o passado se n é par e se uma chave está na posição desliga ela não produz nenhum efeito. Sabendo que o efeito provocado por várias chaves posicionadas em liga é igual à soma dos seus efeitos individuais, se convencionarmos liga=1 e desliga=0, respondas às questões abaixo: (a) Qual deverá ser a disposição das chaves se quisermos viajar 144 anos para o passado? (b) E se quisermos viajar 144 anos para o futuro? Problema 62. Um bar vende suco e refresco de laranja. Ambos são fabricados diluindo-se em água um concentrado de laranja. As proporções são de 1 parte de concentrado para 3 de água, no caso do suco; e de 1 parte para 6 de água, no caso do refresco. Supondo que Cláudio tenha alguns litros de suco já preparados e não tenha mais o concentrado, quanto de suco e quanto de água ele deve usar para fazer 840 ml de refresco? Problema 63. Você tem uma balança de dois pratos, um peso de 100g e um peso de 400g. Fazendo três pesagens, separe 18 quilos de feijão em uma porção de 4 quilos e outra de 14 quilos. Problema 64. Uma questão de múltipla escolha tem 5 alternativas. Dos alunos de uma turma, 50% sabem resolver a questão, enquanto os demais chutam a resposta. Um aluno da turma é escolhido ao acaso. (a) Qual é a probabilidade de que ele tenha acertado a questão? (b) Dado que o aluno acertou a questão, qual é a probabilidade de que ele tenha chutado? 17

20 Problema 65. Qual é a quantidade total de letras de todas as respostas incorretas desta questão? (A) Quarenta e oito. (B) Quarenta e nove. (C) Cinqüenta. (D) Cinqüenta e um. (E) Cinqüenta e quatro. Problema 66. Um avião de 100 lugares foi fretado para uma excursão. A companhia exigiu de cada passageiro R$ 800,00 mais R$ 10,00 por cada lugar vago. Para que número de passageiros a rentabilidade da empresa é máxima? Problema 67. O tanque de um carro tem 22 litros de uma mistura de álcool e gasolina, sendo que o álcool representa 25% da mistura. Vamos substituir certa quantidade de litros desta mistura por igual quantidade de álcool, a fim de que a nova mistura apresente uma porcentagem de 50% de álcool. Quantos litros devem ser substituídos? Problema 68. Um exame de laboratório tem eficiência de 95% para detectar uma doença quando ela de fato existe. Além disso, o teste aponta um resultado falso positivo para 1% das pessoas sadias testadas. Se 0,5% da população tem a doença, qual é a probabilidade de que uma pessoa, escolhida ao acaso, tenha a doença, sabendo que o seu exame foi positivo? Problema 69. Luiz Eduardo percebeu que para numerar as páginas de um livro, consecutivamente, a partir da página 1, foram usados 2007 algarismos. Qual é o número de páginas do livro de Luiz Eduardo? 18

21 Problema 70. Suponha que 16 seleções, entre as quais Brasil e Argentina, vão participar de um torneio. Serão formados quatro grupos de quatro seleções, através de sorteio. Qual é a probabilidade de que Brasil e Argentina fiquem no mesmo grupo? Problema 71. Quantas vezes, no mínimo, se deve lançar um dado para que a probabilidade de obter algum 6 seja superior a 90%? Problema 72. Rosane plantou três jabuticabeiras, formando um triângulo eqüilátero. Num certo dia ela estava no interior desse pomar e mediu a distância até cada uma das árvores, constatando as medidas de 5, 7 e 8 metros. Você é capaz de determinar o comprimento do lado desse triângulo? Problema 73. Imaginemos que temos à nossa frente dois recipientes, um com 2 litros de água e o outro com 5 litros de vinho. Um copo de 200ml desta água é transferido para o recipiente do vinho e misturado bem. A seguir, transfere-se um copo de 200ml dessa mistura para o recipiente da água. Há agora mais água no vinho do que vinho na água? Ou vice-versa? Problema 74. Numa escola há um corredor com 2007 armários numerados de 1 a 2007, inicialmente todos fechados alunos numerados de 1 a 2007, passam pelo corredor. O aluno de número k reverte o estado de todos os armários cujos números são múltiplos de k. Por exemplo, o aluno de número 4 mexe nos armários de números 4, 8, 12,..., abrindo os que encontra fechados e fechando os que encontra abertos. Ao final, depois da passagem do 2007 o aluno, quais armários ficarão abertos? 19

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