9. Mecânica de Fluidos

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2 Constantes: Material Densidade: ρ/(kg m 3 ) Água destilada 1, Água salgada 1, Gelo 0, Ar a CNPT 1, 29 Hidrogénio a CNPT 8, Num copo com uma base quadrada de 6 cm de lado é colocado um cubo de gelo com volume V gelo = 64 cm 3. No copo deitam-se mais 2 dl de água e este fica completamente cheio mas sem entornar. A massa do copo é de m = 50 g. a) Qual o peso do copo com o gelo? Solução: Sem água, o peso do copo com gelo é P 0 = (m + ρ gelo V gelo )g = 1,07 N. b) Qual a percentagem de gelo submerso e qual o peso do copo com o gelo e a água? Como o peso do gelo é equilibrado pela força de impulsão da água, se for x a altura de gelo submersa e X a sua altura total, tem-se ρ gelo XAg = ρágua xag onde A é a área da base do cubo de gelo. Eliminando as variáveis comuns, obtemos x X = ρ gelo = 91,7 % ρágua Quanto ao peso pedido, basta adicionar ao resultado de a) o peso do líquido, P = P 0 + ρágua Vágua g = 3,03 N. 115

3 c) Quando o gelo derrete a água entorna? Justifique o raciocínio com cálculos. Qual o peso do copo com a água inicial e a água correspondente ao gelo derretido? Não, ao derreter o gelo diminui de volume ao aumentar de densidade indo ocupar o volume da parte submersa do cubo. Com efeito, se for A a área do cubo, o volume submerso de gelo é Por sua vez a massa de gelo é V s = Ax = A ρ gelo ρágua X = ρ gelo ρágua V gelo m gelo = ρ gelo V gelo = ρágua V liquido onde o último termo corresponde ao volume do gelo derretido. Conjugando as duas expressões verificamos que V s = V liquido. O peso antes e depois do gelo se derreter é o mesmo uma vez que a massa se mantém O objectivo de um trabalho experimental consiste em medir a densidade de uma substância plástica, verde, que se sabe ser inferior à da água. Para tal usa-se uma amostra desse material com forma de paralelepípedo quadrangular de lados a = 10 cm, b = c = 5 cm. Coloca-se a amostra, com a face maior na horizontal, numa tina com água e verifica-se que fica submersa em x = 1,0 cm. Responda às seguintes questões: a) Escreva a equação de Newton para a amostra de plástico a flutuar na água. Explique a origem de cada uma das forças. F = P0 + I = 0 onde P 0 = mg é o peso do paralelepípedo e I = ρ fluido V fluido g é a força de impulsão exercida pelo fluído de densidade ρ fluido quando o corpo imerso desloca de um volume de líquido V fluido. b) Calcule a expressão para a densidade do plástico, em função da densidade da água e de x. Quando o corpo está em equilíbrio, a força de impulsão do líquido sobre a parte submersa do corpo deste compensa o seu peso. 116

4 Assim temos ρ plástico = x b ρ água = 0,2ρágua = kg/m 3 c) Calcule a massa da amostra de plástico. Solução: Como determinamos em b) a densidade da peça de plástico, basta calcular o seu volume, V plástico = abc = 250 cm 3 e temos m = ρ plástico V plástico = 50 g. d) Suponha que quer pôr uns soldadinhos em cima da amostra, assegurando que ainda flutuam. Determine o peso máximo dos soldadinhos que podem ser colocados em cima da amostra sem que esta se afunde. Para que se mantenha um equilíbrio, a força de impulsão do líquido tem de compensar a soma dos pesos do plástico, P 0 e dos soldadinhos, P s. Como o valor máximo da força de impulsão ocorre quando o plástico está todo submerso, (x = b) o seu valor é ρ agua V g, onde V é o volume do plástico,e obtemos P s (ρ agua ρ plastico )V g Substituindo valores, obtemos P s = 1,96 N isto é, a massa máxima dos soldadinhos será de 200 g A Agente XX07 ficou presa num armazém/garagem e corre perigo de vida. O Colega, XY07, situado no exterior, informa-a que lhe restam 14 minutos e 29 segundos para sair. Agindo com a rapidez que o momento exigia, XX07 iniciou uma busca desenfreada do que poderá fazer a diferença entre a vida e a morte. Numas caixas fechadas encontrou umas substâncias químicas que, como rapidamente se apercebe, poderão fazer explodir a porta de aço se misturadas nas proporções correctas. De um vaso cilíndrico retirou umas flores de plástico há muito esquecidas e foi buscar um outro recipiente que, pela forma e pelos vestígios nas paredes, já teria visto peixes. Do chão apanhou uma folha amarrotada de papel quadriculado, que alisou. Olhou para o lado. Se aquela torneira deitasse água estava salva. Faltavam três passos para perceber o seu destino. Um arrepio percorreu-lhe o corpo... Eureka! A sorte sorri aos corajosos. 117

5 Com a folha de papel quadriculado verificou que a base do vaso tinha 6 cm de diâmetro. Deitou alguma água no ex-aquário. XX07 coloca o vaso cilíndrico dentro de água e verifica que este vaso flutua mas fica parcialmente submerso, sendo que a base do vaso fica a x o = 0, 5 cm sob do nível da água. O tempo urge e XY07, do exterior, faz-lhe as perguntas que se seguem. Coloque-se na posição de XX07, responda às perguntas correctamente... e em menos de 10 minutos! a) Determine a expressão para a força da impulsão em função de x. b) Qual a relação entre o valor de x para o caso em que o vaso está vazio, x = x o, e a massa do vaso, m v? Calcule a massa do vaso cilíndrico vazio. c) XX07 põe um pouco de uma substância azul no vaso e este fica parcialmente submerso com x = 1,5 cm. Qual a massa que colocou no vaso? d) A Agente XX07 coloca substâncias químicas no vaso e este vai-se afundando. Determine a relação entre a massa das substâncias químicas no vaso e o valor de x (em que o vaso se afunda mas sem meter água), i.e. faça a graduação da escala determinando a relação m = m(x). Indique qual a quantidade de massa a que corresponde x = 1 quadradinho da folha de papel (x = 5 mm) Calcule a força total exercida na parede de uma represa (pela água e pela atmosfera) sabendo que a parede tem 20 m de largura, L, e 10 m de altura, H. Sugestão: Comece por calcular a força exercida pela água num elemento de superfície ds = L dh a uma profundidade h. Imagine que na base da represa se abre um pouco uma comporta e a abertura tem 2 m de largura e h 2 = 0, 5 cm de altura. Qual a velocidade de saída da água através da comporta, no instante em que esta é aberta? Como se sabe a pressão à profundidade h é P = P 0 + ρgh, onde P 0 é a pressão atmosférica à superfície. A força exercida na banda ds é df = P ds = P 0 Ldh + ρglhdh Integrando df ao longo da altura obtemos a força exercida na parede: H H df = P 0 L dh + ρgl hdh = P 0 LH ρglh2 0 O primeiro termo corresponde à força exercida pela pressão atmosférica e é equilibrada pela pressão exercida na outra face da parede. Assim 0 118

6 a parede tem de ser capaz de suportar a pressão da água dada pelo segundo termo. Substituindo os valores indicados, tem-se Fágua = 9, N. Para calcular a velocidade de saída da água na comporta, recorremos ao princípio de Bernoulli e podemos escrever: P 0 + ρgh = P + ρgh ρv2 onde P é a pressão de saída de água. Resolvendo em ordem a v tem-se 2(P 0 P ) v = + 2g(H h ρ ) Como o orifício é na base da comporta e a sua altura muito pequena, podemos tomar h 0. Por outro lado P é a pressão atmosférica P = P 0 pelo que, neste caso, o primeiro termo na raiz é nulo. Assim, vem v = 2gH Substituindo valores, vem v = 14 m /s Uma bomba de vácuo é usada para retirar água de um poço. Qual o desnível máximo entre a localização da bomba e da água do poço para que a bomba possa funcionar? h max = P atm /(ρg) 10 m 9.6. Época de incêndios. Precisa de ir comprar uma bomba de pressão para encher o depósito de água no quartel dos Bombeiros com água de um furo. A água terá que se elevar a h = 15 m. Determine a pressão mínima que a bomba tem que fazer na água no fundo do furo para que esta se eleve até ao cimo do depósito. A equação de Bernoulli diz-nos que para cada ponto temos a relação P + ρgh ρv2 = constante Para simplificar o problema, podemos considerar que velocidade da água é a mesma à saída da bomba e na saída da mangueira que abastece o depósito, não influenciando o cálculo da pressão. Uma vez que 119

7 a entrada da bomba está à pressão atmosférica, a pressão à saída da bomba é P atm + P bomba, onde P bomba é a pressão produzida pela bomba. Por sua vez, o depósito a uma altura h também está à pressão atmosférica. Assim, aplicando a equação de Bernoulli nos dois locais, obtemos P atm + P bomba = P atm + ρgh isto é, P bomba = ρgh = 1, Pa = 1,47 bar 1 2 h 9.7. Um tubo de Venturi, esquematicamente representado na figura ao lado, pode ser usado para medir a velocidade de um fluido incompressível sabendo p 1 p 2. Considere que a secção do tubo em 1 é A 1 = 4 cm 2 e a secção em 2 é A 2 = 1 cm 2, h = 3 cm. a) Determine p 1 p 2 em função de h. A diferença de pressão entre os dois tubos é p 1 p 2 = ρg h = 294 Pa b) Determine a expressão que permite calcular v 1, a velocidade do fluido em 1. Calcule expressão para calcular v 2, a velocidade do fluido em 2. Aplicando a equação de Bernoulli a este caso, temos p ρv2 1 = p ρv2 2 Usando a equação da continuidade, temos também A 1 v 1 = A 2 v 2. Combinando estas equações deduzimos v 1 = A 2 2(p1 p 2 ) ρ(a 2 1 A2 2 ) v 2 = A 1 A 2 v 1 c) Calcule o caudal de ar que passa no tubo de Venturi. R: Q = A i v i = 2,2 l /s 120

8 9.8. Um depósito cilíndrico, aberto na parte superior, é usado para guardar líquidos. Na parede lateral do depósito há um orifício que geralmente está fechado com uma rolha e que fica a 20 cm do fundo (y 1 = 20 cm). A secção do orifício é A 1 = 6 cm 2. O diâmetro do depósito é d = 0,5 m. a) Se lhe aconselharem a não encher o depósito com água em mais de 1,7 m de altura (y 2 = 1,7 m) porque a rolha pode saltar, determine a pressão máxima que a rolha suporta. Qual a força máxima que a água exerce na rolha? b) Suponha que se esqueceu de uma torneira aberta e que a rolha saltou mesmo. A que distância do depósito irá cair a água que sai do orifício? Dê a resposta em função da altura da água no depósito, y 2, e da distância a que o orifício está do fundo, y (*) Um depósito cilíndrico, aberto na parte superior, cheio de água é colocado em cima de uma base com rodas que pode deslocar-se em cima de uma mesa. Na parede lateral do depósito há um orifício que geralmente está fechado com uma rolha e que fica a 2 cm do fundo (y 1 = 2 cm) (ver figura ao lado). A secção do orifício é A = 6 mm 2. Quando a água no depósito atinge uma altura y 2 = 20 cm, a rolha salta e a água sai entornando-se na mesa. a) Qual a velocidade da água à saída do depósito? b) Determine o fluxo em m 3 /s e em kg/s. c) Determine a força que actua no carrinho devido à saída da água. A Um fluxo de água constante que sai de uma torneira enche um copo com volume V = 125 cm 3 em 16,3 s. A abertura da torneira tem de diâmetro d torneira = 0,96 cm. Determine o diâmetro do fio de água a uma distância de 13 cm da abertura da torneira. R: 0,247 cm Na figura 9.1 está representado um sistema de rega. A água é armazenada num depósito cilíndrico (A), a uma altura de 3 m do solo (h). A base do depósito tem 2 m 2 de área, a altura da água no depósito é inicialmente h a = 70 cm. A água sai por uma mangueira cuja extremidade (B) está a uma distância ao solo de 5 cm, a sua secção tem uma área de A B = 2 cm 2 e faz um ângulo de 45 o com a horizontal. Na mangueira há uma torneira (T), regulável remotamente por computador. a) Qual o valor da velocidade da água à saída da mangueira? Justifique. 121

9 0,7 m A 3 m T B 45 o Figura 9.1.: Depósito de água A relação entre a velocidade de saída da água do depósito e da mangueira, é v A = A B A A v B Atendendo que quer o depósito quer a torneira estão à pressão atmosférica, a equação de Bernoulli permite-nos escrever ρg(h + h a ) ρv2 A = ρgh B ρv2 B Usando a relação acima entre as velocidades, obtemos v B = A 2 A 2g(h + h a h B ) A 2 A = 8,46 m A2 /s B b) Qual o caudal no instante inicial? O caudal é, Φ = v B A B = 8,46 m /s m 2 = 1, m 3 /s = 1,69 L /s c) Qual a zona de relva que o sistema consegue regar? Sugestão: Calcule a distância máxima e mínima a que chega a água, considerando que o depósito se pode esvaziar por completo. Como o ângulo é fixo, a distância a que o jacto de água chega vai variar com a velocidade de saída entre um valor máximo quando o depósito está cheio até zero quando este se esvazia. O jacto 122

10 de água tem uma trajectória parabólica com velocidade vertical v y (t) = v B sin α gt e deslocamento em XX, x(t) = v B cos α t. Se desprezarmos a altura inicial h B, um cálculo simples permite-nos obter a distância máxima x max = 2v2 B sin α cos α g Substituindo valores, obtemos x max 7,3 m. Evidentemente a distância mínima é zero. No entanto, para um cálculo mais rigoroso, devemos levar em conta a altura de partida h B. A água vai levar um tempo t 1 = (v B sin α)/g a chegar à uma altura máxima h M e levará um tempo t 2 = 2h M /g a cair. Uma vez conhecido h M, a distância máxima será x max = v B cos α (t 1 + t 2 ). Podemos determinar h M recorrendo ao estudo anterior da cinemática mas é interessante usar a equação de Bernoulli para os pontos inicial e o correspondente à altura máxima do jacto: donde obtemos P ρv2 B + ρgh B = P ρ(v B cos α) 2 + ρgh M h M = 1 2g v2 B sin 2 α + h B Substituindo em t 2 e usando a aproximação (1 + x) a 1 + ax para x 1, vem t 2 v ( B sin α 1 + gh ) B g vb 2 sin2 α usando este valor e t 1 em x max, obtemos ( x max v2 B sin α cos α 2 + gh ) B g vb 2 sin2 α Note a semelhança com a aproximação anterior. valores, obtemos x max = 7,35 m. Substituindo Um depósito com água tem uma abertura situada a uma altura variável, y. A abertura tem de secção S = 9 mm 2. O depósito, aberto para o exterior na parte superior, tem de dimensões de base: 50 cm 50 cm e de altura h = 40 cm. Considere que o depósito está completamente cheio de água. a) Determine a velocidade de saída da água do depósito em função da altura y a que se encontra a abertura. Considere que o depósito é mantido cheio através de uma torneira. 123

11 b) Determine a expressão que permite calcular o alcance da água que sai do depósito em função de y. c) Determine o alcance da água se y = 20 cm. Determine, nesta situação, o caudal de água da torneira para assegurar que o depósito está sempre cheio Um recipiente com altura h está cheio de água. Na parte lateral há um orifício que, quando está aberto, deixa sair a água do recipiente. O orifício está a uma altura y mas que pode variar. Para que altura y o alcance da água que sai do recipiente é máximo? 124