O princípio de Arquimedes

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1 O princípio de Arquimedes Você já parou para pensar como um grande transatlântico, produzido com toneladas de aço, cuja densidade é maior que a da água, é capaz de flutuar no mar? Ou então, por que carregar uma pessoa dentro de uma piscina é muito mais fácil que fora dela? A resposta a essas questões está relacionada com a força de empuxo que a água exerce sobre os corpos que se encontram imersos nela. Nesta atividade, você irá aprender um pouco mais sobre a teoria produzida pela ciência para explicar esses fatos: o Princípio de Arquimedes. O princípio de Arquimedes pode ser expresso da seguinte maneira: Um corpo, total ou parcialmente imerso em um fluido, sofre a ação de uma força de empuxo exercida pelo fluido. Essa força tem direção vertical, sentido de baixo para cima e módulo igual à do peso do fluido deslocado pelo corpo. Como todo princípio congrega, de modo muito resumido, um grande conjunto de ideias, vamos explicá-lo em pormenores no texto que se segue. Imagine que seja colocado um cilindro maciço no interior de um recipiente com água, como o representado na figura ao lado. A água exerce pressão sobre todas as paredes desse cilindro. Lembrando que a pressão é o resultado da aplicação de uma força sobre determinada área, pode-se dizer que a água está exercendo forças sobre todas as paredes do cilindro. Porém, a pressão varia com a profundidade e, por conseguinte, as forças aplicadas às paredes do cilindro também, como está representado pelo tamanho dos vetores na figura ao lado. Ocorre que as forças horizontais, por terem mesmo módulo em posições opostas da parede, para uma mesma profundidade, se anulam. No entanto, as forças verticais, que atuam sobre as paredes superior e inferior do cilindro não se anulam, pois a pressão no fundo é maior que em cima. Logo, há uma força resultante que aponta para cima, na direção vertical (veja a figura ao lado). Esta força é chamada de empuxo e é exercida pela água sobre o cilindro. Essa força de empuxo aparece sobre qualquer corpo que esteja imerso, total ou parcialmente, em qualquer fluido. Por exemplo, no exato momento em que lê este texto, você está recebendo uma força de empuxo do ar, simplesmente porque está imerso em um mar de ar. Mas qual o valor dessa força de empuxo? O princípio de Arquimedes diz que ela é igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo. Para compreender melhor o que isso significa, acompanhe a sequência mostrada na figura 1, logo abaixo. Em A, estão representados dois recipientes. O recipiente I possui um tubo que possibilita a saída de água, caso ela ultrapasse o nível do tubo. Esse recipiente está completamente cheio de água até o nível. Se algum objeto for colocado em seu interior, a água irá transbordar e cairá no recipiente II. A figura B mostra exatamente isso: um cilindro foi colocado no recipiente I e expulsou parte da água. Mas o volume de água que transbordou é exatamente igual ao volume do cilindro. Por isso, dizemos que esse é o líquido deslocado pelo cilindro. Se esse líquido for colocado em uma balança (como em C) e determinado o seu peso, o valor obtido será exatamente igual ao valor da força de empuxo que o cilindro recebe da água, ou seja, o valor do empuxo é numericamente igual ao peso do líquido deslocado. Na atividade experimental que propomos mais adiante, você terá a oportunidade de comprovar esse resultado.

2 Figura 1 Se o empuxo é igual ao peso do líquido deslocado, fica fácil entender que quanto maior a quantidade de líquido deslocado maior será o empuxo. É isto o que ocorre com um grande transatlântico. Embora sua massa e, portanto, seu peso sejam muito grandes, uma boa parte dele fica submersa na água. Essa parte submersa desloca uma grande quantidade de água, responsável por exercer uma grande força de empuxo sobre o navio, suficiente para equilibrar seu peso (veja a figura ao lado). Calculando o empuxo Não seria prático se em todas as vezes que se desejasse determinar o empuxo de um líquido sobre um corpo nele imerso fosse necessário mergulhar o corpo nesse líquido. Há uma expressão matemática que nos possibilita determinar o valor do empuxo se conhecermos algumas das características do corpo e do líquido. Considere um recipiente contendo um líquido de densidade ρ, no qual foi colocado um corpo de volume V. Nessa situação, o corpo recebe uma força de empuxo E que é igual ao peso do líquido deslocado pelo corpo P LD : E P LD Porém, o peso da quantidade de líquido deslocada, P LD, pode ser obtido multiplicando a massa de líquido deslocada, m LD, pelo valor da aceleração gravitacional g. Deste modo, a equação anterior pode ser reescrita como: E m LD A massa de líquido deslocada pode ser obtida multiplicando a densidade do líquido, ρ LD, pelo volume, V LD, desse líquido. Deste modo a equação acima toma a forma: E LD V Contudo, o volume do líquido deslocado pelo corpo é exatamente igual ao volume do corpo que se encontra imerso. Dessa forma, podemos reescrever a equação acima como: g LD g E LD V C g (1) Onde ρ LD é a densidade do líquido, V C é o volume do corpo que se encontra imerso no líquido e g é a aceleração gravitacional. Embora tenhamos usado o exemplo de um líquido, a expressão

3 acima pode ser usada para qualquer fluido, seja líquido ou gás. Além disso, ela é válida para corpos que estejam total, ou parcialmente, imersos no fluido. Um aspecto importante a ser mencionado é o fato de que o empuxo não se modifica após o corpo estar totalmente imerso no fluido. Uma vez completamente imerso, o corpo não pode deslocar mais fluido. Como está representado na sequência de figuras a seguir, entre as figuras 2 e 5 há um aumento no valor da força de empuxo, pois o corpo está, cada vez mais, deslocando uma maior quantidade de líquido. Já nas figuras 5, 6 e 7, o empuxo tem o mesmo valor, pois o volume de líquido deslocado é o mesmo: o volume total do corpo. Agora que você já aprendeu um pouco mais sobre o empuxo, é hora de exercitar. Convidamos você a fazer isso realizando a atividade experimental proposta a seguir. Atividade experimental: verificando o Princípio de Arquimedes O objetivo dessa atividade é possibilitar que você comprove que o empuxo sobre um corpo imerso em um fluido é realmente igual ao peso do fluido deslocado por esse corpo. Você vai precisar de: 1 dinamômetro 1 balança 2 garrafas PET 2 L 1 objeto que caiba na garrafa PET 1 pedaço de mangueira Um pouco de detergente A figura abaixo mostra os materiais necessários. A seguir falamos brevemente sobre eles.

4 De todos os materiais mostrados na figura acima, os mais difíceis de conseguir são o dinamômetro e a balança. O dinamômetro é um dispositivo usado para medir forças. Você poderá encontrá-lo em sua escola ou poderá adquiri-lo em lojas que comercializam materiais para laboratório. A balança pode ser de cozinha, de preferência digital, pois fornece uma leitura mais precisa. Corte as garrafas de PET de modo a obter dois copos: um deles com um comprimento aproximado de 17 cm e o outro com 7 cm. O pedaço de mangueira possui comprimento de 9 cm e diâmetro externo de 1 cm. O objeto pode ter qualquer forma, mas deve caber no copo de garrafa PET e não deve ser de material poroso, de modo a não absorver água. É preciso que ele possua, também, densidade maior que a da água. Em nosso caso usamos uma bola de sinuca. Procedimentos Passo 1 - Faça um furo a 2 cm da borda do copo de 17 cm para encaixar a mangueira. Se ficar alguma fresta entre o furo na garrafa e a parede da mangueira, use cola quente para vedar possíveis vazamentos. Veja que a mangueira fica inclinada em relação à parede da garrafa PET, como mostra o diagrama da figura abaixo à direita.

5 Passo 2 - Feito isso, encha o copo com água até que ela atinja o nível da mangueira. Note que se você colocar a água cuidadosamente no recipiente, mesmo após o nível da água ter passado um pouco do nível da mangueira, a água ainda não começa a entornar. Isso ocorre devido à tensão superficial da água e pode atrapalhar o experimento. Por isso, sugerimos que você pingue 4 a 5 gotas de detergente na água. O detergente diminui a tensão superficial e reduz esse efeito. Assim, certifique-se de que a água esteja realmente no nível da mangueira. O melhor para isso é encher o copo até transbordar e esperar que a água pare de escorrer pelo tubo. Passo 3 - Meça, na balança, a massa do copo menor. Anote esse valor. Massa do copo menor:. Coloque esse copo menor embaixo da extremidade da mangueira do copo maior (veja as figuras abaixo).

6 Passo 4 - Agora, você irá determinar o peso do objeto. Pendure o objeto no dinamômetro e leia o valor do peso diretamente na escala do dinamômetro. Lembre-se de que, no equilíbrio, o peso do objeto é igual à tensão na mola. Anote esse valor no espaço abaixo. Peso real do objeto:. Passo 5 - Represente no diagrama da figura abaixo, à direita, as forças que atuam sobre o objeto nessa situação. Passo 6 - Após determinar o peso do objeto fora da água, mergulhe-o no copo maior. Atenção: cuidado para não molhar o dinamômetro. Note como o peso do objeto parece diminuir. Você pode notar isso por meio da nova leitura do dinamômetro. Observe, também, que ao imergir o objeto, parte da água transborda para o copo menor.

7 Passo 7 - Espere o sistema ficar totalmente em equilíbrio (sem movimento da água), com o objeto completamente imerso. Faça a leitura do peso do objeto na água. Anote esse valor no espaço abaixo. Peso do objeto na água (peso aparente):. Passo 8 - Represente, no diagrama da figura abaixo, as forças que atuam sobre o objeto nessa nova situação. Naturalmente, a massa do objeto não pode ter sido alterada somente porque ele foi colocado na água. Logo, seu peso também não pode ter sofrido mudança. Portanto, o novo peso indicado pelo dinamômetro é um peso aparente. Passo 9 - A partir das forças representadas na figura ao lado, aplique a condição de equilíbrio de forças ao objeto e escreva uma expressão para o empuxo do corpo, em função do peso do corpo e da tensão do dinamômetro (que é igual ao peso aparente). Passo 10 - Com base nas leituras do peso real, do peso aparente e na expressão anterior, determine o valor do empuxo. Anote esse valor no espaço abaixo. Força de empuxo sobre o objeto:. Você determinou o valor do empuxo a partir da diferença nas leituras do dinamômetro. Mas foi dito no texto introdutório sobre o Princípio de Arquimedes que o empuxo tem um valor igual ao do peso do líquido deslocado pelo objeto. Quando você colocou o objeto na água, parte da água transbordou. Esse volume de líquido foi deslocado pelo corpo. Para determinar o peso desse líquido, siga os procedimentos descritos a seguir. Passo 11 - Meça a massa do copo menor com a água. Diminua desse valor a massa do copo, já determinada no passo 3. Anote esse valor no espaço abaixo. Massa de água deslocada:. Passo 12 - Calcule o peso dessa massa de água. Anote esse valor no espaço abaixo. Peso do líquido deslocado:. O valor obtido por você para o peso do líquido deslocado é aproximadamente igual ao valor do empuxo que você

8 encontrou no passo 10? Esse experimento confirma que o empuxo é igual ao peso do líquido deslocado? Você já verificou que o empuxo é mesmo igual ao peso do líquido deslocado. É de se esperar que a expressão matemática (1), apresentada no texto sobre o Princípio de Arquimedes, forneça o mesmo valor. Nessa parte da atividade, você a empregará para verificar isso. Passo 13 Determine o valor do volume do objeto que você está usando no experimento. Se o objeto for um sólido regular, como uma esfera, um cilindro, ou um cubo, você pode efetuar as medidas de suas dimensões e calcular o valor do volume por meio de equações matemáticas. Se o sólido for irregular, você pode colocá-lo em uma proveta graduada cheia de água para determinar seu volume. Para isso, leia o volume apenas da água. Depois coloque o objeto e leia novamente o volume. A diferença das duas leituras é o volume do objeto. Passo 14 Sabendo que a densidade da água é ρ=1000 kg/m 3, e que a aceleração gravitacional é aproximadamente igual a 9,8 m/s 2, calcule o valor do empuxo usando a expressão (1): E LD VC g O valor encontrado é semelhante aos outros dois? É provável que haja pequenas diferenças em função das medidas realizadas, da precisão dos aparelhos e da habilidade em realizar o experimento, mas os valores devem ficar bem próximos uns dos outros. A título de exemplo, fornecemos a seguir algumas medidas que realizamos com o experimento das fotografias mostradas nessa atividade. Peso real (P R ) do objeto, medido com o dinamômetro, como no passo 4: P R = T 1 = 1,23 N Peso aparente (P A ) do objeto, medido com o dinamômetro, como no passo 7: P A = T 2 = 0,41 N

9 Aplicando a condição de equilíbrio na figura acima, à direita, temos: E + T 2 = P R então E = P R T 2 E = 1,23 0,41 = 0,82 N Agora, precisamos comparar esse valor com outra forma de determinar o empuxo. A massa do copo menor, medida conforme o passo 3, foi de 15 g. E a massa total do copo com a água deslocada, medida como no passo 11, foi de 97 g. Logo, a massa de água deslocada é igual a 82 g. Essa é a massa de água deslocada, que possui um peso de 0,80 N. Portanto, o valor do peso do líquido deslocado pelo objeto está muito próximo do valor do empuxo determinado pelas leituras do dinamômetro, o que era de se esperar, pelo Princípio de Arquimedes. Por fim, para calcular o empuxo usando a expressão (1), determinamos inicialmente o volume do objeto. Como o objeto utilizado por nós foi uma esfera, determinamos seu raio com um paquímetro (r = 0,0270 m) e usamos a expressão que fornece o volume da esfera. V 4 r V (0,0270) V 8,24x10 m 5 Aplicando na expressão (1): E 10008,24x10 9,8 0, 81N Portanto, usando qualquer um dos três métodos, obtivemos valores muito próximos. Referências DRAYCOTT, L. T.; LYON, K. W. & DYKES, A. G. Elementary Practical Physics. 3 ed. London: Edward Arnold, DOCA, R. H.; BISCUOLA, G. J.; VILLAS BOAS, N. Tópicos de física 1: mecânica. 18 ed. reformada e ampliada. São Paulo: Saraiva, MÁXIMO, A.; ALVARENGA, B. Curso de física. 5 ed. Volume 1. São Paulo: Scipione, HEWITT, P. G. Física conceitual. Tradução: Trieste Freire Ricci e Maria Helena Gravina. 9 ed. Porto Alegre: Bookman, 2002.