A EVOLUÇÃO DOS NÚMEROS ATRAVÉS DAS CIVILIZAÇÕES

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1 A EVOLUÇÃO DOS NÚMEROS ATRAVÉS DAS CIVILIZAÇÕES LOVO, Leiliane de Fátima 1 SOUZA, Luana da Silva 2 BARANECK, Elda Fátima Zampiva 3 RESUMO O presente artigo estrutura-se em torno do objetivo de descrever o processo histórico da evolução dos números; bem como sua importância na vida humana. Nesse sentido, o estudo buscar informações contextuais sobre a evolução dos números, como sugiram nas principais civilizações, seu desenvolvimento e suas aplicabilidades dentro de um contexto histórico. Assim, para o desenvolvimento desta pesquisa, baseamo-nos, dentre outros, nos estudos realizados por Assis (2015), Barthélemy (1999), Boyer (1996), Guelli (1998), Gongorra e Sodré (2005) e Ifrah ( ); a fim de que pudéssemos construir nossa base teórico-conceitual e; por conseguinte, mostrar a evolução dos números dentro dos diversos sistemas numéricos e relacionar uma metodologia histórica com os dias atuais, esclarecendo algumas dúvidas e analisando formas de deixar mais claro o processo de ensino aprendizagem da Matemática. Palavras-chave: Matemática. História dos Números. Necessidade Humana. ABSTRACT This article is structured around the goal of describing the historical process of the evolution of the numbers ; as well as its importance in human life. In this sense, the study fetch contextual information about the evolution of numbers suggest as the main civilizations, their development and their applicability within a historical context. Thus, for the development of this research, we rely, among others, in studies conducted by Assisi (2015 ), Bartholomew (1999 ), Boyer (1996 ), Guelli (1998 ), and Gongorra Sodre (2005) and Ifrah ( ) ; so that we could build our theoretical and conceptual base and ; therefore, show the evolution of the numbers within the various number systems and relate a historical methodology to the present day, clarifying some questions and analyzing ways to make clearer the teaching process learning of mathematics. Keywords : Mathematics. History of Numbers. Human Need. 1 Graduanda em Matemática com Licenciatura Plena pela FACIMED. 2 Graduanda em Matemática com Licenciatura Plena pela FACIMED. 3 Professora orientadora. Graduada em Matemática pela Universidade Federal de Rondônia (UNIR), com Licenciatura Plena. 104

2 INTRODUÇÃO O objetivo deste artigo é o de compreender e analisar os diferentes processos de contagem e sistemas de numeração que antecederam e foram essenciais para evolução dos números na sociedade contemporânea. O princípio de contagem baseava-se em relações biunívoca em que se faz corresponder cada elemento de um conjunto a um determinado símbolo e que era uma conjectura era utilizada por muitos povos. Dessa forma, por meio de uma série de situações, o homem aprendeu a contemplar sua percepção limitada de número e passou a se utilizar de outros meios para suprir a necessidade existente naquele período. Como artifício utilizado para responder a essa necessidade, surgiu o processo de contar que, segundo a história a percepção dos números, foi um dos maiores avanços da humanidade. A história da Matemática, além de nos remeter ao passado da evolução numérica; ainda nos mostra caminhos para que o professor possa fazer comparações entre o presente e o passado, fazendo com que o aluno perceba o quão valioso foi esse processo para evolução humana. Ademais, também favorece o processo de contextualização dos conceitos matemáticos, possibilitando ao educando um melhor desenvolvimento do processo de o ensino/aprendizagem por meio de comparações entre o concreto e o abstrato. A EVOLUÇÃO DOS NÚMEROS E A NECESSIDADE DO HOMEM DE CONTAR Na antiguidade, o ser humano não necessitava contar, nem de criar símbolos para registrar quantidades. O senso numérico existente nesse período era satisfatório para atender às suas necessidades; pois se vivia em cavernas e, quando a caça diminuía no local onde estava, deslocava-se em busca de novas fontes de alimentos. Com o passar dos tempos, e em decorrência de diversos fatores, o homem começou a residir de forma fixa em determinados locais; criou residência e deixou de ser nômade, já eu, agora, dedicava-se ao cultivo de certas plantas e à criação de rebanhos, fatores que o levaram à necessidade de contagem para melhor administrar os recursos de que necessitava para sobreviver. Um dos primeiros sistemas de contagem foi desenvolvido tendo como base os dedos das mãos; pois, somando os dedos das duas mãos, ele conseguia representar até dez elementos 105

3 e, combinando-os com os dedos dos pés, poderia ir até 20. A partir do momento em que os dedos se tornaram inadequados, ou insuficientes, para esse processo; passou-se à utilização de pequenas pedras para representação dos elementos dos rebanhos e, posteriormente, para o próprio rebanho. Nesse processo, portanto, a contagem era realizada fazendo-se a correspondência entre cada objeto (dedo ou pedra) e parte da coleção. Boyer (1996, p. 02) diz que Quando o homem primitivo usava tal método de representação, ele freqüentemente amontoava as pedras em grupos de cinco, pois os quíntuplos lhe eram familiares por observação das mãos e pés humanos. Já Barthélemy (1999, p. 17) afirma que, [...] é mais fácil verificar a presença de todos os animais de um rebanho se tivermos representado previamente cada um deles por uma pedrinha. Costa, Costa e Batista (2006, p. 11) ressaltam que: No caso das pedrinhas, cada animal que saia para o pasto de manhã correspondia a uma pedra que era guardada num saco. No fim do dia, quando os animais voltavam do pasto, era feita a correspondência inversa: para cada animal que retornava, era retirada uma pedra do saco. Se no fim sobrasse alguma pedra era porque faltava algum dos animais. E se fosse acrescentado um animal ao rebanho era só acrescentar mais uma pedra. (...) A correspondência biunívoca "unidade a unidade não era feita somente com pedras, mas eram usadas também nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas, entre outros tipos de marcação. Mas não foi só de contar que o homem teve necessidade, a agricultura fez o homem desenvolver sua percepção de tempo e de espaço que o levou a estabelecer, a partir das observações feitas ao seu redor; noções relativas às fases da Lua e às estações do ano que se constituíram nos primeiros indícios de um calendário. (GONGORRA; SODRÉ, 2005). Segundo Barthélemy (1999, p. 17), a [...] enumeração constitui a primeira operação. Estudos apontam que, em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais primitivas, encontra-se junto ao homem o sentido de número e de contagem. Nesse sentido, Howard (2004, p. 25) diz que É razoável admitir que a espécie humana, mesmo nas épocas mais primitivas, tinha algum senso numérico, pelo menos ao ponto de reconhecer mais ou menos quando se acrescentavam ou retiravam alguns objetos de uma coleção pequena. Segundo Boyer (1996, p. 03), [...] o homem difere de outros animais de modo mais acentuado pela sua linguagem cujo desenvolvimento foi essencial para que surgisse o pensamento matemático abstrato. No que se refere ao pensamento abstrato, o ser humano, 106

4 nesse período, não conseguia associar de forma concreta algo vivenciado com alguma realidade vivida. Em decorrência dessa constatação, a matemática fica impossibilitada de se concretizar, pois, nessa época, tudo ainda era muito superficial com relação ao conhecimento matemático porque as descobertas ainda estavam acontecendo. Segundo Brasil (2006, p. 13), a Matemática foi construída ao mesmo tempo como uma forma de pensamento e como uma ferramenta que o homem utilizava para organizar suas idéias e ajudar a entender as leis que governam o universo e os fenômenos naturais. Em relação à época do surgimento dos números, não é possível determinar uma data exata para a aparição dessa forma de linguagem; mas, provavelmente, ela precedeu de vários milhões de anos à aparição da escrita. É por isso que Howard (2004, p. 25) afirma que O conceito de número e o processo de contar desenvolveram-se tão antes dos primeiros registros históricos (há evidências arqueológicas de que o homem já há uns anos, era capaz de contar) que a maneira como ocorreram é largamente conjectural. Quando algumas civilizações começaram a registrar as quantidades que deram origem aos números; passou-se a utilizar o processo de representação pela repetição de traços verticais, conforme Figura 1: Figura 1: Origem dos números Fonte: À medida que a civilização avançava, esses traços se tornaram insuficientes e, então, começaram a surgir os primeiros sistemas de numeração constituídos por um conjunto de símbolos e com regras utilizadas para sua representação. SISTEMA NUMÉRICO OU SISTEMAS DE NUMERAÇÃO Segundo estudiosos, a evolução dos diferentes sistemas de numeração desenvolveuse por meio de um processo lento; algumas vezes incorporando elementos de outras culturas dentro de sua composição, mostrando também algumas formas de evolução, nem sempre mencionadas no nosso processo de ensino. 107

5 Assim, a partir deste momento, passaremos a estudar os principais sistemas de numeração conhecidos e que são, comumente, trabalhados no ensino fundamental, analisando suas principais características e curiosidades. SISTEMA DE NUMERAÇÃO EGÍPCIO Uma das civilizações mais antigas é a dos egípcios que se desenvolveu junto às margens do rio Nilo. Os egípcios desenvolveram um sistema de numeração de base dez e adotavam símbolos para representar as primeiras potências de dez. Com isso, interpretavam determinada quantidade por meio do símbolo a que ela estava relacionada. Berlinghoff e Gouvêa (2012, p. 65) dizem que: Durante os séculos de antes de 3000 a.c. a cerca de 1000 a.c., a antiga civilização egípcia melhorou o sistema de marcação escolhendo mais alguns símbolos para os números e enfileirando-os até que os valores somados resultassem no número desejado. Os números eram hieroglíficos, isto é, eram pequenos desenhos de coisas comuns (ou não tão comuns). Essas formas de representação, seus significados e as notações correspondentes na atualidade podem ser melhor visualizados na Figura 2: Figura 2: Sistema de Numeração Egípcio Fonte: 108

6 O sistema de numeração egípcio não era posicional, ou seja, sua representação não dependia da posição do símbolo; mas era aditivo, pois seus valores eram somados quando se agregava mais de um símbolo, retratado na Figura 3: Figura 3: Sistema de Numeração de Base 10 Fonte: SISTEMA DE NUMERAÇÃO DA MESOPOTÂMIA OU BABILÔNICO Berlinghoff e Gouvêa (2012; p. 66), informa que, Dos vales do Tigre e do Eufrates, a região conhecida como Mesopotâmia (agora parte do Iraque), do período entre 2000e 200 a.c., surgiu o sistema babilônico de numeração. O sistema de numeração da Mesopotâmia até o número 9 apresenta muitas semelhanças com o sistema de numeração egípcio. Este sistema era considerado de base 60. Embora não haja uma resposta concreta acerca do porquê da base 60, uma das hipóteses é de que o número 60 permite várias subdivisões, ele pode ser dividido em metades, em terços, quartos, quintos, entre outros (DOMINGUES, 1991). O sistema era cuneiforme, pois seus desenhos eram gravados em forma de cunhas em pedaços de argila como representados pela Figura 4: 109

7 Figura 4: Sistema de Numeração Mesopotâmico de Base 60 Fonte: Também conhecido como sistema de numeração babilônico, o sistema de numeração Mesopotâmico usava apenas 2 símbolos. O cravo indica o número 1. A asna indica o número 10. Estes símbolos podiam ser repetidos até nove vezes. No caso do cravo, ele era utilizado para representar os números de 1 a 9; a asna representava os números de 10 a 90. (BIANCHINI, 2011). Dessa forma, até o número 59, esse sistema era aditivo. Por exemplo, para escrever o número 4, eram acrescentados 4 sinais correspondentes ao número 1 (cravo), para se escrever o número 21; utilizavam-se dois símbolos que correspondiam ao número 10 (asna) e um símbolo que era igual ao número 1(cravo). (DOMINGUES, 1991). O sistema de numeração da Mesopotâmia também não apresentava o número 0 (zero). Além de apresentar alguns inconvenientes como, por exemplo, a representação para o número 3, 62, 121 em que se utilizavam os mesmos símbolos; porém, em posições diferentes (IMENES e LELLIS 1999), como pode ser observado na figura 5: 110

8 Figura 5: Sistema de Numeração Babilônico Fonte: Lellis e Imenes (1999). Acerca do sistema de numeração babilônico, Souza (2011, p. 07) afirma que: [...] era uma mistura de base dez com base sessenta, no qual os números menores que 60 eram representados pelo uso de um sistema de base 10 simples, por agrupamentos; e o número 60 e os maiores eram designados pelo princípio da posição na base sessenta (...). Ainda hoje utilizamos este sistema ao medir o tempo em horas, minutos e segundos e os ângulos em graus. Um símbolo em uma seqüência fica, então, multiplicado por 60 cada vez que avançamos uma casa à esquerda. Segundo Imenes e Lellis (1999, p. 26), [...] o professor marroquino George Ifrah dedicou boa parte de sua vida pesquisando sobre a história dos números, e não encontrou uma explicação plenamente eficaz quanto a origem da base sessenta. Desse modo, o sistema de numeração babilônico era aditivo e posicional o que o diferenciava do sistema de numeração egípcio. SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO Assim como o sistema de numeração egípcio e babilônico, a numeração romana também é aditiva, mas com um aspecto peculiar introduzindo, mais tarde, a subtração. A combinação de valores de dois símbolos também era encontrada por subtração. O sistema numérico romano é um dos sistemas da Antiguidade que não desapareceu por completo e, ainda hoje, é comumente usado para representar horas nos mostradores de relógios, nas fachadas de prédios antigos, para representar datas, etc. (IMENES; LELIS, 1999). Souza (2011, p. 11) afirma que Roma foi o centro de uma das mais notáveis civilizações da antiguidade, período que se manteve entre os anos 753 a.c. (data atribuída à sua fundação) e 1453 (data atribuída à queda do Império Romano do Oriente). 111

9 Os romanos utilizavam 7 letras como numerais, como nos mostra a figura 6: Figura 6: Sistema de Numeração Romano Fonte: Gongorra e Sodré (2005, p. 16) nos mostram que estas letras obedeciam a três princípios, que será apresentado no quadro 1: Quadro 1: Princípios de Representação do Sistema Romano de Numeração PRINCÍPIO EXEMPLOS 1 Todo símbolo numérico que possui valor VI = = 6 XII = = 12 menor do que o que está à sua esquerda, CLIII = = deve ser somado ao maior Todo símbolo numérico que possui valor menor ao que está à sua direita, deve ser subtraído do maior. 3 Todo símbolo numérico com um traço horizontal sobre ele representa milhar e o símbolo numérico que apresenta dois traços sobre ele representa milhão. IX = 10-1 = 9 XL = = 40 VD = = 495 XII = X = LII = Fonte: Quadro elaborado pelas autoras com base em Gongorra e Sodré (2005, p. 16). Imenes e Lellis (1999 p. 34) exemplificam, ainda, que os símbolos I, X, C, podem ser usados até três vezes, como exemplifica o quadro 2: Quadro 2: Símbolos que Poderiam ser Repetidos no Sistema Romano de Numeração SÍMBOLO EXEMPLO REPRESENTAÇÃO I II 2 X XX 20 C DCCC 800 Fonte: Quadro elaborado pelas autoras com base em Imenes e Lellis (1999 p. 34). 112

10 Bianchini (2011, p. 09) destaca outra curiosidade do sistema romano ao afirmar que [...] a repetição das letras V, L e D não ocorre, pois VV, LL, DD, VVV, por exemplo, têm como representação X, C, M, XV, respectivamente. A numeração romana foi usada em livros até século XVIII, nos países europeus. SISTEMA DE NUMERAÇÃO CHINÊS O sistema numérico chinês do tipo híbrido é tido como um sistema de numeração tradicional e posicional cujas operações encontram-se relacionadas ao produto e à soma. Imenes & Lellis (1999, p. 28) informam que Na longa história da civilização chinesa, houve mais de um sistema numérico. O sistema de numeração mais utilizado pelos chineses apresentava os seguintes símbolos, conforme projetados na Figura 7: Figura 7: Sistema de Numeração Chinês Fonte: Esses símbolos são conhecidos ainda nos dias atuais, tanto pelos chineses quanto pelos japoneses; embora eles utilizem, também, o mesmo sistema de numeração que nós. O antigo sistema de numeração chinês apresenta regras bem interessantes; como pode ser observado na Figura 8: 113

11 Figura 8: Sistema de Numeração Chinês Fonte: Esse sistema de numeração é decimal e apresenta algumas semelhanças com nosso sistema de numeração atual. Comparativamente, a nossa maneira de escrever 25 é muito semelhante a dos chineses; a diferença é que, no nosso caso, o dez fica escondido, não aparece na escrita. (IMENES; LELLIS, 1999). SISTEMA DE NUMERAÇÃO GREGO A cultura grega faz parte da base da civilização ocidental. Foram os gregos os criadores das Olimpíadas e, também, são eles os responsáveis pelo surgimento de algumas ciências, como a Medicina e a Matemática. (IMENES; LELLIS, 1999). Howard (2004, p. 35) descreve que O sistema de numeração grego, conhecido como jônico ou alfabético, cujas origens situam-se já por volta do ano 450 a.c., é um exemplo desse sistema cifrado. Ele é decimal e emprega 27 caracteres as letras do alfabeto grego mais três outras obsoletas: digamma, koppa e sampi. Embora se usassem letras maiúsculas (as minúsculas só muito mais tarde vieram a substituí-las). 1 A figura seguinte ilustra o sistema de numeração adotado pelos gregos. Na primeira coluna de cada um dos quadros, há a representação do sistema de numeração grego antes da introdução das letras minúsculas e, na coluna seguinte, como ficou após o conhecimento das letras minúsculas. (BOYER, 1996). As demais colunas representam, respectivamente; o nome o símbolo e a correspondência ao sistema numérico atual no Ocidente,vejamos Figura 9: 114

12 Figura 9: Sistema de Numeração Grego Fonte: Segundo Boyer (1996, p. 41), [...] para os primeiros nove múltiplos de mil, o sistema adotou as primeiras nove letras do alfabeto, e essas letras eram precedidas por um risco ou um acento. SISTEMA DE NUMERAÇÃO MAIA A civilização maia habitou a América Central durante mais de mil anos, por volta de 300 a.c. e tinha um sistema de numeração semelhante ao babilônico, eles também utilizavam apenas dois símbolos para representar seus números, um ponto (.) para o número um e um traço horizontal ( ) para o número cinco. (BERLINGHOFF; GOUVÊA, 2010). Esse sistema de numeração dos maias era de base 20 cuja origem encontra-se relacionada à soma dos dedos dos pés e das mãos. Além disso, os maias utilizavam de um símbolo para representar o nada, a ausência de algo que era representado pela forma de uma concha. Eles também usavam agrupamentos símbolos para representar números grandes os quais eram dispostos verticalmente, enquanto valores menores eram colocados na horizontal. (IMENES; LELLIS, 1999). Figura 10: Representação dos Símbolos Maias Dispostos na Horizontal. Fonte : 115

13 Figura 11: Exemplos do Sistema de Numeração Maia. Fonte: Imenes; Lellis (1999, p. 37). Figura 12: Representação dos Símbolos Maias Dispostos na Vertical. Fonte: Bernard Gundlach (1992, p. 35), relata que: Talvez o uso sistemático mais antigo de um símbolo para zero num sistema de valor relativo se encontre na matemática dos maias das Américas Central e do Sul. O símbolo maia do zero era usado para indicar a ausência de quaisquer unidades das várias ordens do sistema de base vinte modificado. Esse sistema era muito mais usado, provavelmente, para registrar o tempo em calendários do que para propósitos computacionais. O número 20 era representado por 1 ponto e 1 concha, o número 21 por 2 pontos, o 22 por 3 pontos; e, assim, sucessivamente. Porém, é importante observar a posição que cada ponto ocupa; pois isso irá diferenciar os valores ou quantidades representados. (IMENES; LELLIS, 1999). Assim, no sistema de numeração maia, o símbolo. (ponto) poderia ser usado até 4 vezes, enquanto o símbolo (traço horizontal) só era utilizado até no máximo 3 vezes, esse sistema também era posicional. 116

14 SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO Os algarismos indo-arábicos formam um sistema de numeração criado pelos Hindus, aperfeiçoado e difundido ao longo dos séculos principalmente pelos árabes. Todos os sistemas de numeração criados anteriormente foram substituídos pelo indo-arábico o qual utilizamos e que o mundo usa até hoje; pois facilita o cálculo de situações cotidianas por conter o algarismo zero, ser decimal e posicional. (IMENES; LELLIS, 2005, apud MARIUS; ALMEIDA). Berlinghoff e Gouvêa (2012, p. 65) afirmam que Nosso modo atual de escrever números é chamado indo-arábico. Inventado na Índia em algum tempo antes de 600 d.c. e refinado nos séculos seguintes, ele foi adotado pelos árabes durante a expansão do Islã sobre a Índia nos séculos VII e VIII. Segundo Bianchini (2011, p.16), Os símbolos criados pelos indianos para a escrita de números sofreram várias modificações ao longo do tempo, até chegar à representação atual. Esse processo de modificações pode melhor ser entendido a partir da figura 13: Figura 13: Evolução do Sistema de Numeração Indo-Arábico Fonte : O primeiro número inventado foi o 1; ele significava o homem e sua unicidade; o segundo número, o 2, significava a mulher da família, a dualidade e o número 3 (três) significava muitos, multidão, o que significava que um número como o 5 não era entendido como 5 unidades, mas como um símbolo independente (GONGORRA; SODRÉ, 2005). Outra descoberta importante para esse período foi a criação do número zero que, segundo Souza (2011, p.15), [...] a origem do zero não é conhecida, mas acredita que 117

15 antecedeu o ano 800 d.c.; pois o matemático persa Al Khowarizmi, apresenta, em um livro escrito no ano 825 d.c.; um sistema hindu completo. Ifrah (1997, p. 700), enfatiza que Perante a necessidade de marcar a ausência de unidades numa certa posição, os hindus recorreram a um novo símbolo, que posteriormente designaremos por zero. Este possui ao mesmo tempo um verdadeiro significado numérico: aquele de número «nulo». O sistema de numeração indo-arábico é de base 10 e também é posicional, mas para que uma notação numérica seja corretamente adaptada à prática das operações escritas é necessário, não somente que ela descanse sobre o princípio da posição; mas que possua também símbolos expressivos distintos. Outra condição para que esse sistema de numeração seja perfeito, é possuir o zero. (IFRAH, 1997). Ao analisar a nossa volta, não é difícil encontrar uma situação que não esteja, direta ou indiretamente, ligada com os números. Segundo contexto histórico, os números, inicialmente, eram utilizados para medir quantidades, hoje são usados pelo menos para 5 funções sociais (contar, medir, codificar, ordenar, quantificar). 42). De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais PCNS (BRASIL 1999, p. A história da matemática pode oferecer uma importante contribuição ao processo de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a matemática como uma condição humana, ao mostrar as necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer comparações entre conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o professor cria condições para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento. Desse modo, é fundamental o conhecimento acerca da historicidade da origem e da evolução das formas de representação dos números a fim de que o profissional da área de Matemática possa melhor adequar e utilizar seus conhecimentos para possibilitar ao aluno o domínio e a aplicação de suas habilidades e competências em Matemática. CONCLUSÕES Conforme pesquisa realizada e cujos dados se encontram apresentados no presente artigo, podemos perceber que a história da evolução dos números é um valioso recurso para se perceber como a teoria e a prática matemática foram criadas; bem como tal instrumento serviu 118

16 (e serve), como um dos grandes divisores para o desenvolvimento tanto matemático como evolutivo do conhecimento humano, pois os números podem ser utilizados como solução para resolver questões do cotidiano, contribuindo, assim, de maneira significante para diversas áreas do saber. Assim como evoluiu o sistema de numeração, as civilizações também evoluíram e isso propiciou muitas mudanças desde o inicio das civilizações até os dias atuais; pois os números estão presentes em basicamente todas nossas atividades. O processo de ensino-aprendizagem é uma construção coletiva, processo em que o professor deve atuar como facilitador. Como os processos de representação numérica continuam a evoluir; é essencial, dentro desse contexto, valorizar experiências cotidianas do aluno e contextualizá-las junto aos conceitos e princípios da Matemática a fim de que ele possa agregar conhecimento ao seu local de vivências cotidianas. A construção da significação dos números passa pela experiência evolutiva do conhecimento humano através dos tempos e constitui uma forma única e fundamental de representação de si mesmo e do mundo em que ele está inserido. REFERÊNCIAS BARTHÉLEMY, Georges anos de matemática: a evolução das idéias. Ellipses Édition Marqueting. S.A BOYER, Carl B. História da matemática. 2ª Ed. São Paulo: Blucher Acesso em 10/03/ Acesso em 18/03/ Acesso em 18/03/2015. IFRAH, G. Os números: história de uma grande invenção. 3.ed. Traduzido por Stella M. Freitas Senra. São Paulo: Globo, GONGORRA, Miriam & SODRÉ, Moreira, Ensino Fundamental: A origem dos números ENCEEJA- Brasilia-MEC/INEP acesso em 14/05/

17 acesso em 14/05/ acesso em 14/05/2015 IFRAH, Georges (1997). História universal dos algarismos (tomo1). Rio de Janeiro: Editora Nova Fronteira. (Tradução portuguesa do original de 1994) SOUZA, Eronildo de Jesus Souza - Cefetba sobre a história dos números 2011 MATEMÁTICA : livro do estudante : ensino fundamental / Brasília : MEC : INEP Coordenação : MURRIE, Zuleika defelice. 2. ed., p MATEMÁTICA : livro do estudante : ensino fundamental / Sâo Paulo MEC : INEP Coordenação: BIANCHINI, Edwaldo, 7. ed., p editora moderna. GUNDLACH. Bernard H., Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula; números e numerais: Editora atual, 78p. 1ª edição (1992). BERLINGHOFF, William P, & GOUVÊA, Fernando Q., A matemática através dos tempos - 2ª edição , editora Edgard Blucher Ltda, 279p. PCN Parâmetros Curriculares Nacionais EM. Ministério da Educação. Brasília: