História da Matemática Outros Sistemas de Numeração PROF LÚCIO COELHO

Transcrição

1 História da Matemática Outros Sistemas de Numeração PROF LÚCIO COELHO

2 Outros Sistemas de Numeração Na Mesopotâmia O Sistema Romano A Civilização Maia O Sistema Indo Arábico Os Incas

3 Na Mesopotâmia Na região do atual Iraque, desenvolveram-se vários povos, como sumérios, assírios e babilônios. Estes povos sucederam-se na região e fundiram suas culturas de tal forma que serão tratados aqui genericamente como mesopotâmicos.

4 Na Mesopotâmia O sistema mesopotâmico lembra o dos egípcios, mas apenas no início. A diferença pode ser vista a seguir, a partir do número 60:

5 Nota-se que nos quatro últimos números, a notação é diferente do sistema de base 10 dos egípcios. Isso se deve ao fato de os mesopotâmicos utilizarem um sistema de base 60. Por isso, nota-se que para 63 tem-se 60+3, para 72 tem-se 60+12, para 81 tem-se e para 90 temse 60+30, e assim sucessivamente. O sistema de base sessenta revela seus vestígios até os dias de hoje em nossa cultura: - nossas horas têm 60 minutos e nossos minutos, 60 segundos; - o ano tem cerca de 360 dias, e como o movimento dos astros para os povos antigos era associado à circunferência, isso influiu na sua divisão em 360 partes iguais e em 6 partes de 60, nascendo o ângulo de 60 da trigonometria.

6 Mas o sistema numérico da Mesopotâmia apresenta alguns inconvenientes. Observe: Os três números representados acima são diferentes embora todos sejam escritos com os mesmos sinais. O que muda é a distância entre os sinais; dessa foram, se um escriba escrevesse os números apressadamente, sem cuidar com os espaçamentos, certamente haveria confusão entre os números.

7 Observe a sequência abaixo: E como seria a notação do 60? Eis outro problema, uma vez que as civilizações mesopotâmicas não haviam inventado um símbolo para representar o nada, o zero. Somente na fase final daquela civilização é que surgiram as primeiras noções para o zero. Até então, a notação do 60 causou muita confusão.

8 Uma das várias explicações possíveis para a base sessenta, formulada por Georges Ifrah, é a de que ela seria originária da base doze, que tinha uma explicação anatômica através das doze falanges dos 4 dedos da mão que eram contados pelo polegar. Entretanto, segundo o próprio Ifrah, a origem da base sessenta ainda é um mistério pois ainda não se encontrou uma explicação plenamente aceitável (IMENES, LELLIS, 1999, p. 22, 27).

9 O Império Romano

10 O Império Romano ocupou os territórios que hoje são de Portugal, Espanha, França, Itália, parte da Inglaterra, entre outros, influenciando a cultura e a língua de todos esses países. Tal influência estendeu-se séculos mais tarde para as Américas (e para o Brasil em particular) devido à colonização espanhola e portuguesa. O sistema de numeração romano deixou seus vestígios até os dias de hoje, como nos nomes de reis e imperadores (Ex: Dom Pedro II), papas (João Paulo II), nas numerações de livros (Volume IV), em relógios, nas fachadas de prédios antigos registrando a data de sua construção, etc.

11 Os símbolos do sistema numérico romano são: Símbolo I V X L C D M Valor Principais regras: - os símbolos I, X e C podem ser repetidos até 3 vezes. - se o símbolo de valor maior vem antes do de valor menor, somam-se seus valores. É o princípio aditivo, presente também entre os egípcios. - se o símbolo de valor menor vem antes do de maior valor, ou vem entre dois símbolos de valores maiores, faz-se uma subtração. É o princípio subtrativo.

12 Para números muito grandes, era utilizado um traço horizontal acima do(s) algarismo(s) indicando que o seu valor deveria ser multiplicado por Exemplo: ഥXDCIV ( ) + ( ) + (5 1) = Logo, ഥXDCIV = A maior desvantagem do Sistema Romano era a dificuldade para realizar operações. Pode até parecer simples, mas não podemos esquecer que, na época, ainda não se conhecia o Sistema Indo-Arábico.

13 Só por uma questão de aventura, vamos tentar realizar as operações a seguir, buscando, ao máximo, utilizar o Sistema Romano sem os truques que já estamos acostumados. Portanto, vamos evitar coisas do tipo: vai um ou pedir emprestado. 1ª) ª) Aos curiosos recomendo acessar o blog de Décio Adams:

14 ENEM 2012 (2ªaplic.) O sistema de numeração romana, hoje em desuso, já foi o principal sistema de numeração da Europa. Nos dias atuais, a numeração romana é usada no nosso cotidiano essencialmente para designar os séculos, mas já foi necessário fazer contas e descrever números bastante grandes nesse sistema de numeração. Para isto, os romanos colocavam um traço sobre o número para representar que esse número deveria ser multiplicado por Por exemplo, o número ഥX representa o número , ou seja, De acordo com essas informações, os números MCCV e XLIII são, respectivamente, iguais a A) e B) e C) e D) e E) e

15 A Civilização Maia

16 A civilização maia se desenvolveu na península de Yucatán, na América Central, onde viveu por mais de vinte séculos. No início, o povo maia vivia em pequenos grupos que cultivavam milho, feijão e abóbora. Após períodos de grandes realizações, esse povo entrou em decadência sem causas conhecidas. Várias hipóteses foram levantadas, para explicar o motivo do término da civilização maia: uma catástrofe, a invasão de povos estrangeiros, uma epidemia ou a revolta dos camponeses contra os sacerdotes. Há poucos relatos quanto à história da civilização maia, uma vez que muitos dados foram exterminados quando ocorreu a conquista pelos povos espanhóis.

17 Quanto à matemática desenvolvida pelos povos maias, observouse que o seu sistema de numeração utilizava os seguintes símbolos: ponto ( ), barra ( ) e uma concha ( ), sendo que esta última representava o zero, conceito até então desenvolvido apenas pela civilização hindu primitiva. Os maias estabeleceram o valor relativo dos algarismos de acordo com a sua posição. Seu sistema de numeração era vigesimal. Com os pontos e a barra consegue-se escrever os algarismos até 19, seguindo duas regras: 1ª) Os números de 1 a 4 são formados com a combinação dos pontos, ou seja, para o número 1, utiliza-se um ponto. Para o algarismo 2, usam-se 2 pontos, sendo um colocado do lado do outro. 2ª) O número 5 é representado por uma barra, sendo que estas são combinadas em no máximo 3, sendo colocadas uma superior à outra.

18 A partir daí, utiliza-se uma combinação de pontos e barras: O número 20 era representado do seguinte modo: Outros exemplos:

19 ENEM 2015 (2ª aplic.) Os maias desenvolveram um sistema de numeração vigesimal que podia representar qualquer número inteiro, não negativo, com apenas três símbolos. Uma concha representava o zero, um ponto representava o número 1 e uma barrinha horizontal, o número 5. Até o número 19, os maias representavam os números como mostra a Figura 1:

20 Números superiores a 19 são escritos na vertical, seguindo potências de 20 em notação posicional, como mostra a Figura 2. Ou seja, o número que se encontra na primeira posição é multiplicado por 20 0 = 1, o número que se encontra na segunda posição é multiplicado por 20 1 = 20 e assim por diante. Os resultados obtidos em cada posição são somados para obter o número no sistema decimal. Um arqueólogo achou o hieroglifo da Figura 3 em um sítio arqueológico: O número, no sistema decimal, que o hieroglifo da Figura 3 representa é igual a A) 279. B) 539. C) D) E)

21 Os Hindus e Árabes (Indo-arábicos) Embora já existissem sistemas numéricos com o uso do zero na Índia e entre os maias, apenas por volta do ano 1000 é que o zero e os atuais símbolos gráficos foram trazidos para a Europa pelos árabes e por isso são chamados algarismos arábicos ou indo-arábicos (CIVITA, 1968, p. 464). A própria palavra algarismo vem do vocábulo árabe alkharizm. Na Índia, no século VI d.c., os sacerdotes lograram deter e dominar o Nada: o zero foi descoberto no anonimato da severa casta dos sacerdotes, anonimato em que o indivíduo se encasulava a fim de atingir o Nirvana.

22 Os hindus possuíam uma numeração falada clara até dezenas. Posteriormente facilitaram o trabalho inventando a melhor notação numérica até então desenvolvida. Diferentemente de outros povos como romanos e egípcios, que buscaram representar números de forma ilustrada, por meio de uma notação figurada, os hindus tomaram por base para a representação à numeração falada. Comparando-se as palavras um, dois, sete se observa que elas não tem o menor traço em comum, diferentemente da representação figurada em que se revelam traços em comum. A numeração falada não tem tendência à repetição como a figuração. Escolheram representar todo número por um símbolo próprio. Assim, a partir do século III a.c., todo número recebe na Índia, além de um nome próprio, um sinal característico: é o algarismo, um símbolo arbitrário, que em nada de comum possuía com as letras correntes (KARLSON, 1961, p. 18, 19).

23 Ao problema de ter que atribuir um símbolo específico para cada número, o que obrigaria a produzir-se infinitos símbolos, os hindus solucionaram, por exemplo, escrevendo quarenta como a justaposição de vinte e vinte, trezentos pela combinação do três com o cem. Entretanto, ao contrário do costume atual, as ordens de grandeza se escreviam à esquerda das maiores (KARLSON, 1961, p. 19, 20) A invenção do zero pelos hindus deveu-se ao ábaco. Diferentemente dos pesados ábacos romanos, dotados de pedras, os ábacos hindus provavelmente eram uma tábua coberta de areia onde se desenhavam as colunas e escreviam na areia dispensando as pedras. Mas como se fazia no ábaco a notação de um número como mil e três? Poderiam deixar vazia a coluna das centenas, omitindo-a, e preencher a coluna do milhar e das unidades. Faltava então a coluna das centenas. Mas os hindus resolveram representar essa omissão por intermédio de um ponto, uma cruz ou um pequeno anel, e tal símbolo, indicativo da falta de uma coluna, era designado por khâ, buraco. Este buraco é o nosso zero, como se designou o nada (KARLSON, 1961, p. 20).

24 Fica evidente a grande vantagem desta notação que pode ser chamada de posicional. Não é mais necessário inventar símbolos novos para a imensidade dos números, bastando unicamente os nove algarismos e mais aquele estranho buraco, o khâ, o zero. A disposição em casas da notação hindu reproduz o princípio do ábaco (KARLSON, 1961, p. 22). Ou seja, o Sistema de Valores Posicionais ou Sistema Posicional tem a vantagem, em face de sistemas como o romano, de poder representar com uma quantidade restrita de sinais, números arbitrariamente grandes, sem precisar inventar novos sinais (DICIONÁRIO, 1980, p. 112).

25 ENEM 2016 O ábaco é um antigo instrumento de cálculo que usa notação posicional de base dez para representar números naturais. Ele pode ser apresentado em vários modelos, um deles é formado por hastes apoiadas em uma base. Cada haste corresponde a uma posição no sistema decimal e nelas são colocadas argolas; a quantidade de argolas na haste representa o algarismo aquela posição. Em geral, colocam-se adesivos abaixo das hastes com os símbolos U, D, C, M, DM e CM que correspondem, respectivamente, a unidades, dezenas, centenas, unidades de milhar, dezenas de milhar e centenas de milhar, sempre começando com a unidade na haste da direita e as demais ordens do número no sistema decimal nas hastes subsequentes (da direita para esquerda), até a haste que se encontra mais à esquerda. Entretanto, no ábaco da figura, os adesivos não seguiram a disposição usual. Nessa disposição, o número que está representado na figura A) B) C) D) E)

26 A Civilização Inca

27 Situado em uma área compreendendo as regiões da Argentina, Chile, Bolívia, Equador e Peru, o Império Inca compôs uma grande civilização que chegou a ter quinze milhões de integrantes. Segundo alguns estudos, os incas atingiram essa marca impressionante no curto prazo de duas décadas. Composta majoritariamente por índios da etnia quíchua, a civilização inca se formou inicialmente em torno da região da cidade peruana de Cuzco. Esta civilização é conhecida principalmente por suas majestosas construções e incríveis engenharias.

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30 Considerado um grande império, este povo possuía formas de governo, religião e idioma organizados. Apesar do grande conhecimento dessa civilização, os historiadores acreditavam que eles não possuíam uma forma de escrita, até o descobrimento dos Quipus ( nós em quíchua, a língua dos incas).

31 Existem raros exemplares dos quipus, cerca de 500, hoje guardados em museus. De acordo com relatos estes instrumentos são constituídos de uma corda espessa principal á qual estão ligadas outras de 20 a 50 cm de comprimento, sendo que um quipu pode conter até 2000 cordas. Estas são amarradas em sentidos diferentes e a maior parte contém nós. Um estudo realizado em 1912, pelo antropólogo americano Leslie Leland Locke, descreveu que o valor dos números codificados pelos nós dependia de sua posição ao redor das cordas. Cada uma possuía normalmente três grupos de nós, um inferior, utilizado para as unidades, um central, para as dezenas e um próximo à corda principal, para as centenas. Seu estudo ainda confirmou que cada grupo de cordas pendentes era enlaçado por uma corda superior cujo valor indicado correspondia à soma das outras.

32 Observando esta representação podemos concluir que o sistema de numeração dos Incas é similar ao nosso sistema de base 10. Para demonstrar isto foram estudados também os tipos de nós de cada quipu. Estes seriam de três tipos: o simples, o longo e o nó em oito. Na corda os nós eram divididos em grupos de um a nove nós (igual ao nosso sistema de nove algarismos numerais), cada grupo sujeito a uma potência de 10. O zero era indicado pela ausência de nós em um grupo. Desta maneira não existe ambiguidade para as unidades, ás vezes percebendo-se vários números indicados sobre uma mesma corda.

33 De acordo com estudos, estes artefatos eram utilizados para anotar de forma minuciosa todo o tipo de informação, como o recenseamento, estocagem, mineração e mão de obra, entre outros; desta maneira cada quipu constituía um livro contábil. O grande mistério destes objetos é que além de servirem para a numeração, também teriam sido depositários de uma informação literária, como datas importantes da história, de leis e de tratados de paz cuja decifração ainda divide os especialistas.

34 ENEM 2014 Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicionai: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares Na Figura 1, o quipus representa o número decimal Para representar o zero" em qualquer posição, não se coloca nenhum nó. O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é A) 364. B) 463. C) D) E)

35 Referências CIVITA, Victor. (Ed.) Conhecer Dicionário Enciclopédico. São Paulo : Abril Cultural, v. 2, 1968, p DICIONÁRIO de matemática. São Paulo : Melhoramentos, IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Os números na história da civilização. São Paulo : Scipione, KARLSON, Paul. A magia dos números. Rio de Janeiro : Globo,