mínima Carbono silício Custos (R$/ton) Estoque (ton)

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1 Programação Linear, Programação Matemática e Métodos de Otimização I Prof. Valeriano A. de Oliveira Prof. Silvio Alexandre de Araujo Lista de Exercícios Nº. 1 Os exercícios a seguir foram retirados do Capítulo 2 do livro ARENALES, M., ARMENTANO, V., MORABITO, R. E YANASSE, H.-Pesquisa Operacional-2006 Exercício 2.1 Considere o problema da mistura definido na seção 2.2. Suponha que as frações dos componentes na mistura sejam limitadas inferiormente e superiormente por: b e b, i = 1,..., m, respectivamente. Estenda o modelo matemático para o problema da mistura, considerando estes limitantes. Exercício 2.2 Considere a extensão do problema da mistura no exercício 2.1. Suponha que se deseja produzir a quantidade Q da mistura (por exemplo, 360kg) e os ingredientes estão disponíveis em estoque nas quantidades E j, j = 1,..., n. Estenda o modelo matemático da mistura. (Sugestões: Considere a variável x j como sendo a quantidade do ingrediente j em Q unidades da mistura. O total dos ingredientes agora deve somar Q e b mínima do componente i em Q unidades da mistura). min i min i max i Q é a quantidade Exercício 2.3 Uma fundição tem de produzir 10 toneladas de um tipo de liga metálica e, para isto, tem disponível: lingotes de ferro, grafite e sucata. Dois componentes são relevantes para a liga: carbono e silício. A tabela a seguir fornece a fração destes elementos nos ingredientes disponíveis, seus custos unitários, suas disponibilidades em estoque, bem a composição da liga (i.e., porcentagens mínimas e máximas de cada componente na liga). Escreva um modelo de otimização linear para determinar as quantidades dos ingredientes para comporem a liga metálica, de modo que as especificações técnicas sejam satisfeitas e o custo seja mínimo. Transforme o modelo na forma padrão. Tabela 2.28 composição dos ingredientes ingredientes liga lingotes grafite sucata composição Composição (%) mínima Carbono silício Custos (R$/ton) Estoque (ton) composição máxima Exercício 2.4 Considere a extensão do problema da mistura no exercício 2.2. Suponha que K misturas devem ser produzidas a partir dos mesmos ingredientes (por exemplo, rações para caninos, felinos, galináceos, etc.), nas quantidades Q k, k = 1,..., K. Considere b e b as frações mínimas e máximas do componente i na mistura k, i = 1,..., m, k = 1,..., K. Os custos unitários dos ingredientes são c j, j = 1,..., n. Estenda o modelo matemático do exercício 2.2 para várias misturas, de modo cada mistura k atenda as especificações técnicas e o custo total seja mínimo. (Sugestão: seja x jk a quantidade do ingrediente j na mistura k e x j1 + x j x jk é o total do ingrediente j utilizado em todas as misturas, que não pode superar a quantidade em estoque do ingrediente j). min ik max ik

2 Exercício 2.5. Considere o problema no exercício 2.3. Suponha agora que duas ligas metálicas devem ser preparadas e os mesmos ingredientes são utilizados em ambas. A liga especificada no exercício 2.3 é referida como liga 1 e Q 1 = 10 toneladas desta liga deve ser produzida. A outra liga, referida como liga 2, deve ser produzida Q 2 = 6 toneladas e sua composição é dada a seguir. Tabela 2.29 composição da liga 2 Liga 2 composição composição mínima composição máxima Carbono silicio Escreva um modelo de otimização linear para a produção das duas ligas. Transforme o modelo obtido na forma padrão. Exercício 2.6 Considere o problema da mistura na seção 2.2. Suponha que os ingredientes estejam divididos em três classes: C 1, C 2 e C 3, isto é, o conjunto de todos os ingredientes: {1,2,...,n} = C 1 C 2 C 3 (por exemplo, uma dieta alimentar é constituída de carnes, que constituem a classe 1, cereais a classe 2, verduras e legumes a classe 3). A mistura deve ter: de 20% a 30% de ingredientes da classe C 1, de 50% a 60% de C 2 e de 30% a 40% de C 3. Escreva um modelo matemático, em que as composições especificadas sejam atendidas (veja o modelo da seção 2.2) e as novas restrições de classe sejam verificadas. (Sugestões: o modelo pode ser escrito considerando que x é quantidade de ingredientes da classe 1, ou j C 1 supondo que os ingredientes estejam organizados por classe: C 1 = {1,2,...,j 1 }, C 2 = {j 1 +1,..., j1 j 2 },... e x é a quantidade de ingredientes da classe 1). j j = 1 Exercício 2.7 Considere o problema da mistura no exercício 2.1. Em algumas aplicações, é indesejável que um número grande de ingredientes seja utilizado, por razões operacionais. Suponha que no máximo três ingredientes devam ser utilizados na mistura. Uma abordagem heurística para considerar esta nova restrição pode ser a seguinte. Suponha que o problema da mistura seja resolvido, sem a restrição de três ingredientes, e a solução envolve 4 ingredientes, digamos, x 1 >0, x 2 >0, x 3 >0, x 4 >0 (as demais variáveis têm valores nulos, ou seja, os demais ingredientes não são escolhidos para constituir a mistura). Este é um problema relaxado, pois não inclui todas as restrições do problema. Como se deseja usar apenas três ingredientes, podemos resolver problemas menores, combinando-se os três ingredientes que aparecem na solução: 1 2 3, ou 1 2 4, ou 2 3 4, isto é, resolvendo-se problemas com menos variáveis (x 1, x 2, x 3, ou x 1, x 2, x 4, ou x 2, x 3, x 4 ) e decidindo-se pela melhor solução. (Esta abordagem heurística pode funcionar bem, mas a melhor solução pode envolver outro ingrediente que não foi usado na solução relaxada, pois as três alternativas podem não ter solução factível). Formule um modelo matemático para incluir a nova restrição (Sugestão: Defina y j uma variável que assume apenas valores 0 ou 1, de modo que: y j = 1 se x j > 0 e y j = 0, caso contrário. As restrições x j y j descrevem estas restrições lógicas. A soma destas variáveis fornece o número de ingredientes usados na mistura. Tais modelos são estudados no capítulo 3 Otimização discreta). Exercício 2.8 * Considere a extensão do problema da mistura no exercício 2.2. Suponha, em adição, que a demanda ocorra em períodos de um horizonte de planejamento, digamos, Q 1, Q 2,..., Q T são as quantidades (em toneladas) da mistura que devem estar disponíveis ao final dos períodos 1, 2,..., T (por exemplo, Q 1 é a quantidade de uma ração que deve estar disponível no final da semana 1). A capacidade do misturador no período t, em quantidade de mistura, é limitada por C t (os períodos podem corresponder a intervalos de tempo variados e, j

3 portanto, a capacidade pode variar por período. Por exemplo, os períodos 1 e 2 podem ser um dia de trabalho e o período 3 pode ser 4 dias. Isto é comum na prática, em que os períodos iniciais são detalhados e os períodos finais agregados, pois os dados estão sujeitos a alterações e somente as decisões correspondentes aos primeiros períodos são de fato implementadas. Depois de implementar as decisões dos primeiros períodos, diz-se que o horizonte é rolado, com novos dados incluídos, e o problema resolvido novamente. Esta estratégia é conhecida como horizonte rolante 1 ). A demanda num período pode ser maior do que a capacidade de produção, de modo que se faz necessário antecipar a produção e manter o produto em estoque (veja os modelos dinâmicos de planejamento da produção da seção 2.2, pois a solução lote-por-lote, isto é, produzir para a demanda, pode ser infactível) e os custos de produção podem variar de um período para outro (custos de energia elétrica, hora extra, etc.). Considere c t ($/tonelada) o custo de produzir uma tonelada da mistura no período t e d t ($/tonelada) o custo de estocar uma tonelada da mistura no final do período t. Seja E j1 o estoque do ingrediente j, j = 1,..., n, disponível para o período 1. Considere que haja reposição do estoque do ingrediente j ao longo do horizonte de planejamento (compras efetuadas anteriormente), digamos, E jt é a quantidade de ingrediente j a ser adicionada ao estoque do ingrediente j no período t. Escreva um modelo matemático para determinar como devem ser as produções da mistura em cada período, de modo que a demanda seja atendida em cada período, bem como as misturas atendam as especificações técnicas, isto é, com a composição dentro dos limites definidos e o custo de produção e estocagem sejam minimizados. (Sugestão: Defina a variável x jt como sendo a quantidade do ingrediente j no total de mistura produzida no período t. A quantidade z t = x 1t x nt é o total produzido da mistura no período t e não é necessariamente igual a Q t. Defina também a variável I t como a quantidade de mistura em estoque no final do período t). Proponha uma extensão desse modelo para o caso de várias misturas (exercício 2.4). Exercício 2.9 Devido à grande permeabilidade, areias são usadas na constituição de filtros de Estações de Tratamento de Águas de abastecimento (ETA) como meio filtrante, por interceptar impurezas existentes na água afluente. Essas areias são dispostas em camadas, que devem obedecer às composições granulométricas estabelecidas por norma técnica, por exemplo, nas seguintes quantidades: Tabela 2.30 composição de um filtro Faixa granulométrica (mm) Volume de areia ( m 3 ) 0,42 0, ,59 0, ,71 0, ,84 1, ,00 1, ,19 1,41 8 Para construção das unidades de filtração de uma ETA, areias são exploradas de diferentes portos, com composições granulométricas distintas. Os custos totais de dragagem, transporte, seleção e preparo para a utilização da areia são conhecidos por unidade de volume (m 3 ) para cada porto. Na tabela a seguir, as composições granulométricas de dois tipos de areia são fornecidas, além dos custos totais. Por exemplo, 17% da areia proveniente do porto 1 tem os diâmetros de seus grãos entre 0,42mm e 0,59mm, 16% entre 059 e 0,71, etc. e custa $ 25,00 por m 3. 1 Araújo e Arenales (2004) utilizam a técnica de horizonte rolante na programação da produção em uma fundição de grande porte.

4 Tabela 2.31 composição das areias disponíveis Volume de areia / m 3 Faixa granulométrica (mm) porto 1 porto 2 0,42-0,59 0,17 0,13 0,59-0,71 0,16 0,11 0,71-0,84 0,18 0,14 0,84-1,00 0,10 0,09 1,00-1,19 0,09 0,12 1,19-1,41 0,05 0,07 custo ( $/m 3 ) 25,00 19,00 Escreva um modelo matemático de otimização linear para determinar a combinação das diferentes areias de modo a atender às especificações da norma, com o custo mínimo possível. Os exercícios 1 a 14 a seguir foram retirados do no Capítulo 2 do livro Otimização Combinatória e Programação Linear dos autores Marco Cesar Goldbarg e Henrique Pacca L. Luna. 1. Problema das Calças e das Camisas Uma determinada confecção opera com dois produtos: calças e camisas. Como tratam-se de produtos semelhantes, possuem uma produtividade comparável e compartilham os mesmos recursos. A programação da produção é realizada por lotes de produto. O departamento de produção informa que são necessários 10 homens hora para um lote de calças e 20 homens hora para um lote de camisas. Sabe-se que não é necessária mão-deobra especializada para a produção de calças, mas são necessários 10 homens hora desse tipo de mão-de-obra para produzir um lote de camisas. O departamento de pessoal informa que a força máxima de trabalho disponível é de 30 homens hora de operários especializados e de 50 homens hora de não-especializados. Da planta de produção, sabemos que existem apenas duas máquinas com capacidade de produzir os dois tipos de produto, sendo que a máquina 1 pode produzir um lote de calças a cada 20 horas e um lote de camisas a cada 10 horas, não podendo ser utilizada por mais de 80 horas no período considerado. A máquina 2 pode produzir um lote de calças a cada 30 horas e um lote de camisas a cada 35 horas, não podendo ser utilizada por mais de 130 horas no período considerado. São necessários dois tipos de matéria-prima para produzir calças e camisas. Na produção de um lote de calças são utilizados 12 quilos da matéria-prima A e 10 da B. Na produção de um lote de camisas são utilizados 8 quilos da matéria-prima A e 15 da B. O almoxarifado informa que, por imposições de espaço, só pode fornecer 120 quilos de A e 100 quilos de B no período considerado. Sabendo-se que o lucro pela venda é de 800 reais nos lotes de camisas e de 500 reais nos lotes de calças, formule o problema de maximizar o lucro da operação produtiva em pauta. 2. Problema do Pedido de Socorro Um posto de rádio capta a seguinte mensagem: Somos náufragos do navio Intrépido. Estamos isoladas em uma ilha de coordenadas... No momento sofremos com diversos problemas: as cobras venenosas, algumas pessoas com diarréia, os nativos canibais e a falta de água e alimentos. Temos duas armas, mas a munição está praticamente no fim. Só temos uma ampola de soro antiofídico e o suprimento de água e comida acabou. Somos 20 pessoas, nos enviem ajuda!!. O chefe da patrulha de salvamento da área só possui um helicóptero, que por sua vez só pode fazer uma viagem de socorro até a isolada e longínqua ilha. O grupo de salvamento sabe que o resgate por mar vai levar três dias para chegar. Para sobreviver, o grupo necessita de seis caixas de alimento, quatro de água, duas de munição e duas com remédios e soro antiofídico. Em valor para a

5 sobrevivência, as caixas de munição e remédios são duas vezes mais importantes do que as de água e quatro vezes mais importantes do que as de alimentos. Sabendo-se que apenas sete caixas poderão ser transportadas no helicóptero, elaborar o programa que otimiza a carga de socorro. 3. Problema da Refinaria Em uma determinada refinaria, o petróleo bruto sofre os seguintes processamentos antes de ser transformado em gás / óleo ou gasolina bruta: A Tabela abaixo representa a capacidade máxima de processamento de cada unidade de operação. Formular o problema de modo a maximizar os lucros totais, solucionando-o graficamente. CAPACIDADE MÁXIMA DE PROCESSAMENTO Operação Produto Produto Gasolina Bruta (Ton/ano) Gás/Óleo (Ton/ano) Destilação Dessulfuração Reforming Cracking Lucros Unitários 10,00 reais/ton 7,00 reais/ton 4. Problema do Reflorestamento Uma companhia de reflorestamento possui áreas de plantio em quatro municípios. A empresa considera o uso de espécies de árvores: pinus, carvalho, nogueira e araucária. A Tabela a seguir resume os dados do problema: DADOS DE PLANTIO E PRODUTIVIDADE Produção Anual Esperada Renda Anual Cidade /Hectare Unidade Esperada Monetária/Hectare Área Pinus Carvalho Nogueira Araucária Pinus Carvalho Nogueira Araucária Disponível _ _._ Produção Mínima ,8 3,5 em Formule o problema de designar as áreas de plantio por município de forma a maximizar a renda.

6 5. O Problema do Hospital O diretor de um hospital deve escolher um esquema de designação de leitos e quartos em uma nova ala que será construída. Existem três tipos de quartos possíveis: Com um leito. Com dois leitos. Com três leitos. O total de quartos a construir não pode ultrapassar 70. Por imposições de demanda deverão ser oferecidos pelo menos mais 120 leitos. A percentagem de quartos de um leito deve ser restrita entre 15 a 30% do total de quartos. A necessidade em área construída é de: 10 m 2 por quarto com um leito. 14 m 2 por quarto com dois leitos. 17 m 2 por quarto com três leitos. Os pacientes dos quartos com dois e três leitos exigem apenas 80% da mão-de-obra que os do quarto individual. O que o hospital recebe por cada paciente internado é inversamente proporcional à capacidade do número de pessoas do quarto em que ele está internado. Considerando o hospital sempre lotado, formule o problema de forma a: Minimizar o esforço da mão-de-obra em apoio médico e administrativo. Maximizar a arrecadação global. Maximizar o número de leitos. Minimizar o espaço necessário para a nova ala. 6. O Problema da Compra de Aviões da VAB A Viação Aérea Brasileira está estudando a compra de três tipos de aviões: Boeing 717 para as pontes aéreas de curta distância, Boeing para vôos domésticos e internacionais de média distância e MD-l1 para vôos internacionais de longa distância. Em um estudo preliminar, considerou-se que a capacidade máxima dos aviões a serem comprados será sempre preenchida para efeito de planejamento. Os dados de planejamento constam da Tabela abaixo: DADOS OPERACIONAIS DOS AVIÕES Tipo do Avião Custo Receita Teórica Pilotos Aptos Tipo do Avião Milhões US$ Milhões US$ Pilotos Aptos BOEING 717 5, BOEING , MD-11 6, A verba disponível para as compras é de 220 milhões de dólares. Os pilotos de MD- 11 podem pilotar todos os aviões da empresa, mas os demais pilotos só podem ser escalados às aeronaves a que foram habilitados. Cada aeronave necessita de dois pilotos para operar. As oficinas de manutenção podem suportar até 40 Boeings 717. Um Boeing equivale, em esforço de manutenção, a 3/4, e um MD-11 a 5/3, quando referidos ao Boeing 717. Formular o modelo de PL do problema de otimizar as aquisições de aviões. 7. O Problema da Frota de Ônibus Suponhamos que o número de ônibus requerido para o atendimento da demanda de um determinado corredor de transporte para a i-ésima hora do dia seja, =1,2,,24, onde cada ônibus trafega seis horas consecutivas. Se o número de ônibus no período excede o mínimo requerido, isto resultaria em um custo adicional por ônibus/hora. Formule o problema como um PPL de modo que o custo adicional resultante seja minimizado. 8. O Problema do Corredor de Transporte Um sistema ferroviário de transporte suburbano dá escoamento principalmente as demandas

7 , e de três grandes bairros, A, B e C, em direção ao centro da cidade. Entre cada um desses bairros existe uma pequena redução na demanda de transporte devido ao tráfego regional. Essa redução é calculada percentualmente em 5% a cada intervalo entre os grandes bairros. O sistema ferroviário é, em princípio, insuficiente para arcar com toda a demanda e necessita de uma complementação rodoviária, sob pena de entrar em colapso. Em virtude desse fato, podemos considerar que o sistema ferroviário trabalha sempre em sua capacidade maxima. Junto a cada estação ferroviária existe uma opção de embarque para um sistema rodoviário de desafogo. A percentagem da redução da demanda proporcionada pelo corredor rodoviário sobre a demanda do sistema ferroviário é denominada nível de desafogo. O custo total do sistema rodoviário é diretamente proporcional a soma das parcelas de desafogo em cada estação. A capacidade de operação do sistema ferroviário é associada ao trecho considerado no transporte, sendo denominadas por,, unidades de demanda, como mostra a Figura a seguir: Esquema do sistema de transporte Determinar o nível percentual de desafogo que deve possuir o sistema rodoviário em cada estação para que, em qualquer trecho da ferrovia, a demanda não ultrapasse os valores estipulados e de modo a minimizar o custo do sistema global. O trajeto de transporte inicia-se sem demanda anterior na estação A. 9. O Problema da Fábrica de Plásticos Uma empresa fabrica malas, bolsas, pastas e sacolas de plástico. Ela compra sua matériaprima em rolos com uma certa largura e corta em tiras adequadas a cada tipo de objeto produzido. Sabendo-se que existem três tamanhos para cada item, as possibilidades de cortes estão resumidas na Tabela abaixo: QUANTITATIVOS PARA OS CORTES Quantidade de Itens Dentro de Cada Método de Corte P B

8 Malas M G P Bolsas M G CONTINUAÇÃO DA TABELA Quantidade de Itens Dentro de Cada Método de Corte P Pastas M G P Sacolas M G Perda Em um determinado dia os pedidos para a fabricação são (pequeno, médio, grande): malas: 10,20, 13; bolsas: 5, 2, 6; pastas: 4, 3, 12; sacolas: 5, 5, 3. Formular o problema de PL associado a cada um dos seguintes critérios: Minimizar as perdas de material. Minimizar o volume não vendido das peças somado com as perdas de material. Minimizar o estoque não vendido. 10. O Problema das Camisetas Uma certa fábrica de camisetas deseja aproveitar as finais de um campeonato de futebol para vender camisetas dos times envolvidos. Os jogos vão durar quatro semanas. O custo de produção de cada camiseta é R$ 2,00 nas duas primeiras semanas e subirá para R$ 2,50 nas duas últimas, quando a concorrência demandar por material no mercado. A demanda semanal de camisetas será de 5.000,10.000, e 60,000. A capacidade máxima de produção da empresa é de camísetas. Na primeira e na segunda semana a empresa poderá, em um esforço excepcional, carrear mão-de-obra em horas extras e fabricar mais camisetas em cada semana. Nesse caso, o custo dessas camisetas será de R$ 2,80. O excesso de produção pode ser estocado a um custo de R$ 0,20 por unidade por semana. Pedido 1: Formular o modelo de PL que minimize os custos. Pedido 2: Após o planejamento anterior, a direção da empresa verificou que a demanda iria variar substancialmente dentro dos quatro modelos de camiseta que representavam os quatro times disputando as finais. Apesar da demanda total ser exatamente aquela anteriormente levantada, o valor das camisetas iria variar em conformidade com o time e sua posição no campeonato. Nas duas primeiras semanas todos os times estariam em pé de igualdade até que

9 fosse decidido os dois finalistas. A partir daí, as camisetas dos times eliminados cairiam em valor e em demanda no mercado, e as dos times finalistas subiriam conforme a Tabela abaixo: DEMANDA DE CAMISETAS Semana Demanda Valor Demanda Valor Demanda Valor Demanda Valor Time A Time B Time Finalista C Time Finalista D Sabendo-se que existe um completo equilíbrio entre os quatro finalistas, formular o modelo que maximize os lucros da empresa produtora de camisetas. 11. O Problema dos Ovos de Páscoa Um fabricante de ovos de páscoa trabalha durante o ano para atender à grande demanda de ovos por ocasião da Páscoa. A fábrica produz quatro tipo de ovos e dois bolos. Basicamente os insumos críticos de fabricação são os mesmos variando apenas quantitativamente e podem ser resumidos na tabela a seguir. Os custos finais dos produtos estão cotados em unidades monetárias. CONSUMO DOS INSUMOS PARA OS OVOS DE PÁSCOA Insumos Críticos Produtos Chocolate Recheio Embalagem Mão-de-Obra Custo Final Ovo g 5 Unidades 1 Folha 0,05h 1 U.M. Ovo g 10 Unidades 1,5 Folhas 0,08h 2 U.M. Ovo g 20 Unidades 2,0 Folhas 0,1h 3 U.M. Ovo g 30 Unidades 2,5 Folhas 0,12h 4 U.M. Bolo Tipo g 7 Unidades 2,0 Folhas 0,lh 3 U.M. Bolo Tipo g 12 Unidades 3,0 Folhas 0,15h 4 U.M. Os quantitativos totais disponíveis dos insumos para a empresa, dentro da qualidade exigida, são: QUANTITATIVOS DISPONÍVEIS DOS INSUMOS Períodos Chocolate Recheio Embalagem Mão-de-Obra Abr-Mai kg 10 4 Unidades 5 x 10 3 Folhas hs Jun-Set kg 10 4 Unidades 8 x 10 5 Folhas hs Out-Jan kg 10 4 Unidades 7 x 10 3 Folhas hs Fev-Mar kg 10 4 Unidades 8 x 10 4 Folhas hs As entregas dos ovos e bolos fabricados podem ser realizadas no seguinte esquema: DEMANDA (O) E PREÇO (P) DE OVOS E BOLOS Ovo 15 Ovo 20 Ovo 25 Ovo 30 Bolo T1 Bolo T2 Períodos D P D P D P D P D P D P Abr-Mai 4x10 5 3u.m. 2x10 5 5u.m u.m. 4x10 4 9u.m. 2x10 5 6u.m. 2x10 4 7u.m. Jun-Set (*) Out-Jan u.m u.m u.m u.m u.m. - - Fev-Mar u.m u.m. 2x10 4 4u.m u.m. 4x10 4 4u.m u.m.

10 Custos de Armazena -gem (por 0,2 u.m. 0,3 u.m. 0,4 u.m. 0,5 u.m. 0,5 u.m. 0,5 u.m. período) Capacida de de Armazena gem Total (em unidades) 4x10 5 6x10 5 4x10 5 6x x10 4 (*) As células vazias indicam que não existe demanda prevista no período, contudo pode haver produção para o estoque. Formule o problema de planejar o melhor esquema de produção e venda dos ovos de páscoa. 12. O Problema da Evacuação de Emergência Uma determinada região está sendo ameaçada pela ruptura de uma barragem e deve ser evacuada em, no máximo, dez horas. São no total homens, mulheres e crianças a transportar. Cada pessoa poderá levar até dez quilos de bagagem pessoal. Toda a região foi isolada e só circulam veículos autorizados para que se evitem acidentes e engarrafamentos. Para efetuar a evacuação estão disponíveis os meios: RESUMO DOS DADOS OPERACIONAIS Quantidade de Unidades Disponíveis Capacidade de Transporte Veículo de 6 Ton do Exército Veiculo de ¼ Ton do Exército Helicóptero Ônibus Microônibus Veículo de Passeio pessoas 5 pessoas 10 pessoas 30 pessoas 15 pessoas 5 pessoas para Bagagem 1 ton 20kg 50 kg 1 ton 500 kg 100 kg Viagem 10 u.m. 4u.m. 75u.m. 5u.m. 3u.m. 2u.m. Tempo de Viagem 1 h 45 min 10 min 45 min 30 min 30min Para minimizar o pânico, as crianças deverão viajar acompanhadas por suas mães. Existem 10 famílias com 5 filhos, 25 com 4 filhos, 150 com 3, 450 com 2 e 350 com 1. Os carros de passeio só poderão fazer uma viagem de evacuação, ficando, por segurança, retidos fora da área de perigo. Formular o programa de evacuação que minimize os custos finais da operação. 13. O Problema do Aluno Atarefado Um certo aluno está cursando o último ano do segundo grau e se preparando para o vestibular. Nessa difícil fase, ele precisa equilibrar sua carga de estudo e lazer, pois esse é um dos fatores importantes para se obter sucesso nesse exame. A Tabela a seguir, fornecida por seu colégio, mostra a distribuição da carga de aulas ao longo dos meses do ano: DISTRIBUIÇÃO DA CARGA HORÁRIA

11 Mar Abr Mai Jun Ago Set Out Nov Dez Matemática Química Física Biologia Português Línguas Geografia História E a seguinte distribuição de trabalhos (T) e provas (P) no segundo grau: DISTRIBUIÇÃO DAS PROVAS Mar Abr Mai Jun Ago Set Out Nov Dez Matemática P P P P 2P T P P P Química T P P T 2P T P P P Física P T P P 2P P T P P Biologia T P P T 2P T P P P Português P T P P 2P P T P P Línguas P P P P P P P P P Geografia T P P T P T P T P História P T T P P P T P T Cada prova exige uma preparação em estudo de 10 horas. Cada trabalho escolar consome 4 horas de esforço. Considera-se o mês com quatro semanas de sete dias e que o aluno dorme 8 horas por dia, não estuda no domingo, gasta uma hora por dia em deslocamentos e duas com as refeições. Sabe-se ainda que é desejável que o aluno tenha pelo menos 20 horas de lazer por mês e 250 horas ao longo dos nove meses de preparação, além do descanso do dia de domingo e das férias de julho, para evitar a estafa. Formular o problema de maximizar o aproveitamento do estudo, levando-se em conta que a carga horária de estudo despendida em um mês em que o descanso é igual a 20 horas possui apenas 50% da eficiência dos meses em que o descanso é maior ou igual a 40 horas e 70% dos meses em que esse valor varia entre 20 e 40 horas. 14. O Problema da Distribuição de Facilidades Cenário 1 Uma companhia possui duas fábricas, uma em São Paulo e outra em Curitiba. A empresa possui também quatro depósitos que facilitam a distribuição de seus produtos: um em Manaus e os outros em Natal, Rio de Janeiro e Belo Horizonte. A companhia vende seus produtos no atacado nas cidades em que possui fábricas ou depósitos e em mais seis outras praças. A distribuição dos custos unítários origem x destino, incluído o transporte e as taxas está resumida na tabela abaixo (custos em R$ 10 por tonelada): CUSTO DE OPERAÇÃO DOS DEPÓSITOS Destino Fábricas Depósitos Origem SP CRT MA RJ NAT BH Manaus 1,5 -

12 Rio 0,5 0,3 Natal 1,0 0,5 Belo Horizonte 0,2 0,2 1,0 2, ,5-1,0 3,5 2,5-1,5-0,5 0,5 2,0 0,2 2,5-1,5 1,0 1, ,5-2,0 0,5 1,5 1,0-1,0-1,5 1,5 Certos clientes expressam sua preferência em serem atendidos da seguinte forma: EXIGÊNCIAS DOS CLIENTES Origem Cliente SP CRT RJ NAT x x x x x x Cada fábrica possui uma capacidade mensal de produção e os depósitos um limite de armazenagem do seguinte modo: São Paulo: toneladas Curitiba: toneladas Manaus: toneladas Rio de Janeiro: toneladas Natal: toneladas Belo Horizonte: toneladas Cada praça demanda o seguinte volume de produção: São Paulo: toneladas Curitiba: toneladas Manaus: ton Rio de Janeiro: ton Natal: ton Belo Horizonte: ton P 1 : ton; P 2 : ton; P 3 : ton; P 4 : ton; P 5 : ton; P 6 : ton.

13 1. Formular o modelo que minimiza o custo total da distribuição da produção. 2. Considerando que exista um custo de transbordo e estocagem, não incluído nas tabelas anteriores, C i, i = 1, 2, 3, 4, associado a cada depósito, reformular o problema. 3. Qual o efeito imediato de uma possível ampliação na capacidade dos depósitos? Considerar que a política de investimento para a ampliação dos depósitos seria motivo de um outro estudo mais aprofundado. 4. Seria possível atender a todas as preferências dos clientes? Essas preferências poderiam ser incluídas de alguma forma no modelo de programação? Cenário 2 No problema anterior é possível abrir um novo depósito em Salvador e um em Recife ou ainda ampliar os depósitos de Natal e do Rio de Janeiro. A tabela a seguir resume os impactos, apresentando os custos finais das alternativas. ESTUDO DE MODIFICAÇÃO DO SISTEMA Conseqüência da Ampliação x Novos Depósitos Custos (R$ 10 4 ) Capacidade (1.000 ton) Salvador Recife Natal Rio de Janeiro Economia Gerada com o Fechamento (R$ 10 4 ) Manaus 10 Belo Horizonte 5 Como a empresa não admite operar mais de cinco depósitos, poderão ser fechados os depósitos de Belo Horizonrte ou Manaus, alcançando-se alguma economia face a esse fechamento. A distribuição dos custos operacionais dos novos depósitos e suas capacidades de atendimento estão resumidas na tabela a seguir: DISTRIBUIÇÃO DE CUSTOS OPERACIONAIS Origem Fábricas Depósitos Destino SP CRT SAL REC Salvador 1,0 1,5 Recife 1,5 2, ,5 2,5 0,3 0,5 0,5 0,5 0,0 0,3 0,5 0,0 Manaus 2,5 2,0 Belo Horizonte 2,0 2,5 Formule o programa de Programação Matemática para otimizar a tomada de decisão na escolha da política de localização de recursos.